高中数学必修四第二章习题
数学导学练人教B版全国通用必修四练习：第二章 平面向量2.3.2 Word版含答案(1)
2.1.3 向量的减法
1.掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.(重点) 2.理解相反向量的含义，能用相反向量说出向量相减的意义.(难点) 3.能将向量的减法运算转化为向量的加法运算.(易混点)
[基础·初探] 教材整理 1 向量的减法 阅读教材 P84 倒数“第 7 行”以上内容，完成下列问题.
【导学号：72010046】
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则 a 与 b 方向相同；
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则 a 与 b 有相等的模；
④若||a|－|b||＝|a－b|，则 a 与 b 方向相同.
【解析】 当 a，b 方向相同时有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|，当 a，b 方
“＋”，只需把表示向量的两个字母的顺序颠倒一下即可，如“－AB”改为“BA”.
[再练一题]
→→→ 2.如图 2121，在五边形 ABCDE 中，若四边形 ACDE 是平行四边形，且AB＝a，AC＝b，AE
→→→→→ ＝c，试用 a，b，c 表示向量BD，BC，BE，CD及CE.
图 2121
【解】 ∵四边形 ACDE 为平行四边形，
→→→ 所以||AB|－|AD||<|AC|
→→ → → ＝|AB＋AD|<|AB|＋|AD|，
→ 即 0<|AC|<4.
→ 【答案】 (1)D (2)①0 ②AB (3)2 (0,4)
1.向量加法与减法的几何意义的联系：
高中数学必修四
→→
→
→
(1)如图所示，平行四边形 ABCD 中，若AB＝a，AD＝b，则AC＝a＋b，DB＝a－b.
(北师大版)高中数学-必修四-同步习题-第二章平面向量 2.7.1 点到直线的距离公式
§7向量应用举例7.1点到直线的距离公式课时过关·能力提升1.已知点(3,m)到直线x的距离等于则等于A或解析:d -故m或答案:D2.若且分别是直线和直线的方向向量则的值可以分别是A.2,1B.1,2C.-1,2D.-2,1解析:直线l1的一个法向量为n1=(a,b-a),直线l2的一个法向量为n2=(a,4b).又分别为直线l1,l2的方向向量,则a+2(b-a)=0,-2a+4b=0,即a=2b,令b=1,则a=2.答案:A3.若点P在直线x+y-4=0上,O为坐标原点,则|OP|的最小值是()A解析:|OP|min即为原点到直线的距离,故|OP|min-答案:B4.已知两条平行直线l1:12x+5y-3=0和l2:12x+5y+m=0的距离为1,则m=()A.10B.-16C.10或-16D.13解析:在l1上取点则M到l2的距离d解得m=10或-16.答案:C5.过点P(1,-3),且与向量m=(5,2)平行的直线方程为.解析:设M(x,y)是所求直线上任一点,则∥m.因为所以2(x-1)-5(y+3)=0,即2x-5y-17=0.答案:2x-5y-17=06.已知点P(4,a)到直线4x-3y-1=0的距离不大于3,则a的取值范围是.解析:由题意,得点P(4,a)到直线4x-3y-1=0----≤3即|15-3a|≤15 解得0≤a≤10.所以a∈[0,10].答案:[0,10]7.已知直线l1:x+2y+10=0,直线l2:5x+my=0,若l1⊥l2,则实数m=. 解析:分别取直线l1和l2的法向量m=(1,2)和n=(5,m),则m⊥n,所以m·n=0.所以1×5+2m=0,解得m=答案:8.已知两点A(3,2),B(-1,4)到直线mx+y+3=0的距离相等,则m=.解析:由已知得直线的一个法向量为n=(m,1),其同向单位向量为n0在直线上任取一点P(0,-3),则依题意有·n0|=·n0|,---解得m或m=-6.答案:或9.已知直线l:mx+2y+6=0,向量(1-m,1)与l平行,则实数m的值为.解析:∵直线l的法向量n=(m,2)与向量(1-m,1)垂直,∴(m 2 · 1-m,1)=0,即m(1-m)+2=0,∴m=-1或m=2.答案:-1或210.用向量方法判断下列各组直线的位置关系.(1)l1:5x+4y=0,l2:5x+4y+1=0;(2)l1:3x+2y+1=0,l2:6x+4y+2=0;(3)l1:7x+y-2=0,l2:x-7y+1=0;(4)l1:4x-y+3=0,l2:3x+2y+1=0.分析利用两条直线的法向量间的关系来判断.解(1)分别取l1和l2的一个法向量m=(5,4)和n=(5,4),则m∥n,但点P(0,0)在l1上,不在l2上,故l1∥l2.(2)分别取l1和l2的一个法向量m=(3,2)和n=(6,4),则m∥n,且-在l1上,也在l2上,故l1与l2重合.(3)分别取l1和l2的一个法向量m=(7,1)和n=(1,-7),则m·n=1×7+1× -7)=0,所以m⊥n.故l1⊥l2.(4)分别取l1和l2的一个法向量m=(4,-1)和n=(3,2),则4×2-(-1 ×3≠0 且4×3+(-1 ×2≠0.所以m与n既不平行也不垂直.故l1和l2相交但不垂直.11.求经过点A(2,1),且与直线l:4x-3y+9=0平行的直线方程.解因为向量(4,-3)与直线l的方向向量垂直,所以向量n=(4,-3)与所求的直线的方向向量垂直.设P(x,y)为所求直线上的一动点,则点P在所求直线上,当且仅当n·所以4(x-2)+(-3)(y-1)=0.整理,得4x-3y-5=0.故所求的直线方程为4x-3y-5=0.★12.在△ABC中,A(4,1),B(7,5),C(-4,7),求∠A的平分线所在直线的方程.解(方法一)向量从而∠A的平分线所在直线的一个方向向量为--则∠A的平分线所在直线的方程可设为将点A(4,1)的坐标代入,得m=整理得∠A的平分线所在直线的方程为7x+y-29=0.(方法二)设为∠A的平分线所在直线的的一个方向向量,则有··由方法一可得即7λ+μ=0,令λ=-1,得μ=7,则从而∠A的平分线所在直线的方程为---即7x+y-29=0.。
2019高中数学第二章平面向量单元测试(二)新人教A版必修4
第二章 平面向量注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．设3,sin 2α⎛⎫= ⎪⎝⎭a ，1cos ,3α⎛⎫= ⎪⎝⎭b ，且∥a b ，则锐角α为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．75︒D ．45︒2．下列命题正确的是（ ） A ．单位向量都相等B ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线C ．若|a ＋b |＝|a －b |，则a ·b ＝0D ．若a 与b 都是单位向量，则a ·b ＝1．3．设向量()2,3a m m =-+，()21,2b m m =+-，若a 与b 的夹角大于90°，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()4,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()4,2,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭4．平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若()2,4AB =，()1,3AC =，则AD BD ⋅等于（ ） A ．8B ．6C ．8-D ．6-5．已知1=a ，6=b ，()2⋅-=a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．关于平面向量a ，b ，c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则存在λ∈R ，使得b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；③存在不全为零的实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题是（ ） A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知|a |＝5，|b |＝3，且12⋅-a b =，则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4-B ．4C ．125-D ．1258．设O ，A ，M ，B 为平面上四点，()1OM OB OA λλ=+-⋅，且()1,2λ∈，则（ ） A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上 C ．点A 在线段BM 上 D ．O ，A ，B ，M 四点共线9．P 是△ABC 内的一点，()13AP AB AC =+，则△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为（ ） A ．32B ．2C ．3D ．610．在△ABC 中，2AR RB =，2CP PR =，若AP mAB nAC =+，则m n +等于（ ） A ．23B ．79 C ．89D ．111．已知3a ＋4b ＋5c ＝0，且|a |＝|b |＝|c |＝1，则a ·(b ＋c )等于（ ）A ．45-B ．35-C ．0D ．3512．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，令a ⊙b ＝mq －np ．下面说法错误的是（ ） A ．若a 与b 共线，则a ⊙b ＝0B ．a ⊙b ＝b ⊙aC ．对任意的λ∈R ，有(λa )⊙b ＝λ(a ⊙b )D ．(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝|a |2|b |2二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．设向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，若向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，则λ＝________．14．a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________．15．已知向量a ＝(6,2)，14,2⎛⎫=- ⎪⎝⎭b ，直线l 过点A (3，－1)，且与向量a ＋2b 垂直，则直线l 的方程为________．16．已知向量()2,1OP =，()1,7OA =，()5,1OB =，设M 是直线OP 上任意一点(O 为坐标原点)，则MA MB ⋅的最小值为________．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)如图所示，以向量OA =a ，OB =b 为边作AOBD ，又13BM BC =，13CN CD =，用a ，b 表示OM 、ON 、MN ．18．(12分)已知a ，b 的夹角为120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：（1）(a －2b )·(a ＋b )； （2）|a ＋b |； （3）|3a －4b |．19．(12分)已知)1=-a，12⎛=⎝⎭b，且存在实数k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－k a＋t b，且x⊥y，试求2k tt+的最小值．20．(12分)设()2,5OA =，()3,1OB =，()6,3OC =．在线段OC上是否存在点M，使MA⊥MB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．(12分)设两个向量e1、e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夹角为60°，若向量2t e1＋7e2与e1＋t e2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．22．(12分)已知线段PQ过△OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设OA =a，OB =b，OP m=a，OQ n=b．求证：113 m n+=．2018-2019学年必修四第二章训练卷平面向量（二）答 案一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的） 1．【答案】D【解析】31sin cos 23αα⨯=，sin 21α=，290α=︒，45α=︒．故选D ．2．【答案】C【解析】∵|a ＋b |2＝a 2＋b 2＋2a ·b ，|a －b |2＝a 2＋b 2－2a ·b ，||+-=a b a b ． ∴0⋅a b =．故选C ． 3．【答案】A【解析】∵a 与b 的夹角大于90°，∴0⋅<a b ，∴()()()()221320m m m m -+++-<，即23280m m -<-，∴423m -<<．故选A ．4．【答案】A【解析】∵()1,1AD BC AC AB ==-=--，∴()()()1,12,43,5BD AD AB =-=---=--，∴()()1,13,58AD BD ⋅=--⋅--=． 故选A ． 5．【答案】C【解析】∵()22-=⋅-=a b a a b a ，∴3⋅a b =，∴31cos ,·162a b ⋅〈〉===⨯a b a b ， ∴,3a b π〈〉=．故选C ． 6．【答案】B【解析】由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ， 所以③错误；若⋅⋅a b =a c ，则()0-=a b c ，所以()⊥-a b c ，所以④正确， 即正确命题序号是①④，所以B 选项正确．7．【答案】A【解析】向量a 在向量b 上的投影为12cos ,43a b ⋅⋅〈〉=⋅==-=-a b a b a a a b b ． 故选A ． 8．【答案】B【解析】∵()()1OM OB OA OA OB OA λλλ=+-⋅=+-，∴AM AB λ=，λ∈(1,2)，∴点B 在线段AM 上，故选B ． 9．【答案】C【解析】设△ABC 边BC 的中点为D ，则22ABC ABD ABP ABP S S ADS S AP==△△△△． ∵()1233AP AB AC AD =+=，∴32AD AP =，∴32AD AP =．∴3ABC ABP S S =△△．故选C ． 10．【答案】B【解析】2224133393AP AC CP AC CR AC AB AC AB AC ⎛⎫=+=+=+-=+ ⎪⎝⎭，故有417939m n +=+=．故选B ． 11．【答案】B【解析】由已知得435=--b a c ，将等式两边平方得()()22435=--b a c ，化简得35⋅=-a c ．同理由534--c =a b 两边平方得a ·b ＝0，∴()35=⋅+=⋅-⋅a b c a b +a c ．故选B ． 12．【答案】B【解析】若a ＝(m ，n )与b ＝(p ，q )共线，则mq －np ＝0，依运算“⊙”知a ⊙b ＝0，故A 正确．由于a ⊙b ＝mq －np ，又b ⊙a ＝np －mq ，因此a ⊙b ＝－b ⊙a ，故B 不正确． 对于C ，由于λa ＝(λm ，λn )，因此(λa )⊙b ＝λmq －λnp ，又λ(a ⊙b )＝λ(mq －np )＝λmq －λnp ，故C 正确．对于D ，(a ⊙b )2＋(a ·b )2＝m 2q 2－2mnpq ＋n 2p 2＋(mp ＋nq )2＝m 2(p 2＋q 2)＋n 2(p 2＋q 2)＝(m 2＋n 2)(p 2＋q 2)＝|a |2|b |2，故D 正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．【答案】2【解析】∵a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，∴()()(),22,32,23λλλλλ=++++a b =． ∵向量λa ＋b 与向量()4,7--c =共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0．∴λ＝2． 14．【答案】7 【解析】∵()222222125552511310134920⎛⎫==+-⨯+-⨯⨯--⋅=⎝=⨯- ⎪⎭a b a b a b a b ．∴|5a －b |＝7．15．【答案】2390x y --=【解析】设P (x ，y )是直线上任意一点，根据题意，有()()()23,12,30AP x y ⋅+=-+⋅-=a b ，整理化简得2390x y --=． 16．【答案】8-【解析】设()2,OM tOP t t ==，故有()()()2212,752,152012528MA MB t t t t t t t ⋅=--⋅--=-+=--， 故当t ＝2时，MA MB ⋅取得最小值8-．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】1566OM =+a b ，2233ON =+a b ，1126MN =-a b ．【解析】BA OA OB =-=-a b ．∴11153666OM OB BM OB BC OB BA =+=+=+=+a b ．又OD =+a b ．1122226333ON OC CN OD OD OD =+=+==+a b ，∴221511336626MN ON OM =-=+--=-a b a b a b ．18．【答案】（1）12；（2）；（3） 【解析】（1）1cos1204242⎛⎫⋅=︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭a b a b ．(a －2b )·(a ＋b )＝a 2－2a ·b ＋a ·b －2b 2＝42－2×(－4)＋(－4)－2×22＝12． （2）∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝16＋2×(－4)＋4＝12．∴+=a b ．（3）|3a －4b |2＝9a 2－24a ·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴34-=a b 19．【答案】74-．【解析】由题意有2==a，1=b ．∵1102⋅=-=a b ，∴⊥a b ． ∵x·y ＝0，∴[a ＋(t 2－3)b ](－k a ＋t b )＝0．化简得334t tk -=．∴()()222117432444k t t t t t +=+-=+-．即2t =-时，2k t t+有最小值为74-． 20．【答案】存在，M 点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．【解析】设OM tOC =，t ∈[0,1]，则()6,3OM t t =， 即M (6t,3t )．()26,53MA OA OM t t =-=--，()36,13MB OB OM t t =-=--．若MA ⊥MB ，则()()()()263653130MA MB t t t t ⋅=--+--=．即45t 2－48t ＋11＝0，13t =或1115t =．∴存在点M ，M 点的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫⎪⎝⎭．21．【答案】1417,,2⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，得()()1212121227027t t t t +⋅+<+⋅+e e e e e e e e ，即(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0．整理得：()222112222770t t t ++⋅+<e e e e ．(*)∵|e 1|＝2，|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝60°．∴e 1·e 2＝2×1×cos 60°＝1， ∴(*)式化简得：2t 2＋15t ＋7<0．解得：172t -<<-．当向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2夹角为180°时，设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2) (λ<0)． 对比系数得270t t λλλ=⎧⎪=⎨⎪<⎩，∴2t λ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴所求实数t 的取值范围是1417,,2⎛⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 22．【答案】见解析． 【解析】证明 如右图所示， ∵()()1122OD OA OB =+=+a b ，∴()2133OG OD ==+a b ． ∴()111333PG OG OP m m ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭a b a a b ．PQ OQ OP n m =-=-b a ． 又P 、G 、Q 三点共线，所以存在一个实数λ，使得PG PQ λ=．∴1133m n m λλ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭a b b a ，∴11033m m n λλ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a +b ． ∵a 与b 不共线，∴103103m m n λλ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①②，由①②消去λ得：113m n +=．。
高中数学 第二章 平面向量 2.1向量的加法 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学试题
§2 从位移的合成到向量的加法2．1 向量的加法,)1．问题导航(1)任意两个向量都可以应用向量加法的三角形法则吗？(2)向量加法的三角形法则与平行四边形法则的使用条件有何不同？2．例题导读教材P77例1，例2，P78例3.通过此三例的学习，熟悉向量加法运算，学会利用向量加法解决实际生活问题．试一试：教材P81习题2－2 B组T1，T2，T3你会吗？1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知向量a，b，在平面内任取一点A 作法作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→结论向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O 作法以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB 结论对角线OC→就是a与b的和图形规定零向量与任一向量a的和都有a＋0＝0＋a＝a. 2．向量加法的运算律运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )(2)|a ＋b |≤|a |＋|b |等号成立的条件是a ∥b .( )(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 解析：(1)正确．根据向量和的定义知该说法正确． (2)错误．条件应为a ∥b ，且a ，b 的方向相同．(3)错误．当两个向量共线时，两向量的和向量与这两个向量中的任意一个都共线． 答案：(1)√ (2)× (3)×2．若a ，b 为非零向量，则下列说法中不正确的是( )A ．若向量a 与b 方向相反，且|a |>|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同B ．若向量a 与b 方向相反，且|a |<|b |，则向量a ＋b 与a 的方向相同C ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与a 的方向相同D ．若向量a 与b 方向相同，则向量a ＋b 与b 的方向相同解析：选B.因为a 与b 方向相反，|a |<|b |，所以a ＋b 与a 的方向相反，故B 不正确． 3．化简下列各向量： (1)AB →＋BC →＝________． (2)PQ →＋OM →＋QO →＝________．解析：根据向量加法的三角形法则及运算律得： (1)AB →＋BC →＝AC →.(2)PQ →＋OM →＋QO →＝PQ →＋QO →＋OM →＝PO →＋OM →＝PM →.答案：(1)AC → (2)PM →4．在△ABC 中，AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，则a ＋b ＋c ＝________．解析：由向量加法的三角形法则，得AB →＋BC →＝AC →，即a ＋b ＋c ＝AB →＋BC →＋CA →＝0. 答案：01．对向量加法的三角形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意向量．(2)注意事项：①两个向量一定首尾相连；②和向量的起点是第一个向量的起点，终点是第二个向量的终点． (3)方法与步骤：第一步，将b (或a )平移，使一个向量的起点与另一个向量的终点相连； 第二步：将剩下的起点与终点用有向线段相连，且有向线段的方向指向终点，则该有向线段表示的向量即为向量的和．也称“首尾相连，连首尾”．(4)图示：如图所示2．对向量加法的平行四边形法则的四点说明 (1)适用X 围：任意两个非零向量，且不共线．(2)注意事项：①两个非零向量一定要有相同的起点； ②平行四边形中的一条对角线所对应的向量为和向量．(3)方法与步骤：第一步：先把两个已知向量a 与b 的起点平移到同一点； 第二步：以这两个已知向量为邻边作平行四边形，则两邻边所夹的对角线所表示的向量即为a 与b 的和．(4)图示：如图所示已知向量作和向量如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a ＋b ＋c .(教材P 81习题2－2 A 组T 3)[解] 法一：如图(1)，在平面内作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ；再作BC →＝c ，则OC →＝a ＋b ＋c .法二：如图(2)，在平面内作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 与OB 为邻边作平行四边形OADB ，则OD →＝a ＋b ；再作OC →＝c ，以OD 与OC 为邻边作平行四边形ODEC ，则OE →＝a ＋b ＋c .方法归纳已知向量求作和向量的方法(1)用三角形法则，在平面内任取一点，顺次作两个向量等于已知向量，从起点到终点的向量就是两个向量的和．(2)用平行四边形法则，在平面内任取一点，从此点出发分别作两个向量等于已知向量，以它们为邻边作平行四边形，共起点的对角线对应的向量就是这两个向量的和．1．(1)如图所示，已知向量a 和b ，求作a ＋b .(2)如图，已知a ，b ，c 三个向量，试求作和向量a ＋b ＋c .解：(1)法一：(三角形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ；②连接OB ，则OB →＝a ＋b .法二：(平行四边形法则)如图所示．①在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；②以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b .(2)作出来的和向量如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，再作向量AB →＝b ，则得向量OB →＝a ＋b ，然后作向量BC →＝c ，则向量OC →即为所求．向量的加法运算(1)下列等式不正确的是( )①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ；②AB →＋BA →＝0；③AC →＝DC →＋AB →＋BD →. A ．②③ B ．② C ．① D ．③(2)设A ，B ，C ，D 是平面上任意四点，试化简： ①AB →＋CD →＋BC →； ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →.(教材P 81习题2－2A 组T 5(1)(2))[解] (1)选B.由向量的加法满足结合律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．(2)①AB →＋CD →＋BC →＝(AB →＋BC →)＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →. ②DB →＋AC →＋BD →＋CA →＝(DB →＋BD →)＋(AC →＋CA →)＝0＋0＝0.方法归纳向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．(2)应用原则利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．2．(1)在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是( ) A.AB →＝CD →，BC →＝AD → B.AD →＋OD →＝DA → C.AO →＋OD →＝AC →＋CD → D.AB →＋BC →＋CD →＝DA → (2)化简下列各式： ①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝________． ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝________．解析：(1)因为AO →＋OD →＝AD →，AC →＋CD →＝AD →，所以AO →＋OD →＝AC →＋CD →.(2)①(AD →＋MB →)＋(BC →＋CM →)＝AD →＋MB →＋BM →＝AD →＋0＝AD →. ②AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋FA →＝(AB →＋BC →)＋(DF →＋FA →)＋CD →＝AC →＋DA →＋CD →＝(AC →＋CD →)＋DA →＝AD →＋DA →＝0.答案：(1)C (2)①AD →②0向量加法的应用(1)已知图中电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|＝24 N ；绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|＝12 N ，则F 1与F 2的合力大小为________N ；方向为________．(2)如图是中国象棋的部分棋盘，“马走日”是象棋中“马”的走法，如果不从原路返回，那么“马”从A 经过B 再走回到A 最少需几步？(教材P 77例1，例2，P 78例3) [解](1)如图，根据向量加法的平行四边形法则，得合力F 1＋F 2＝OC →.在△OAC 中，|F 1|＝24，|AC →|＝12，∠OAC ＝60°，所以∠OCA ＝90°，|OC →|＝123， 所以F 1与F 2的合力大小为12 3 N ，方向为竖直向上．故填123和竖直向上．(2)如图，如果不从原路返回，那么所走路线为A →B →C →D →A ，即AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，所以最少需四步．本例(2)条件不变，若不限步数，那么“马”从A 经过B 再走回A 时，所走的步数有什么特点？解：若不限步数，则“马”从A 经过B 再走回A 时，不论如何走，均需走偶数步，且不少于四步．方法归纳向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量．(2)应用技巧：①准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；②将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解．3．(1)若a 表示向东走8 km ，b 表示向北走8 km ，则|a ＋b |＝________km ，a ＋b 的方向是________．(2)如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km 到达B 地接到受伤人员，然后又从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km 送往C 地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．解：(1)设OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝a ＋b .又因为|OA →|＝8，|OB →|＝8，所以|OC →|＝|a ＋b |＝8 2. 又因为∠AOC ＝45°，所以a ＋b 的方向是北偏东45°.故填82和北偏东45°.(2)设AB →，BC →分别表示飞机从A 地按北偏东35°的方向飞行800 km ，从B 地按南偏东55°的方向飞行800 km ，则飞机飞行的路程指的是|AB →|＋|BC →|；两次飞行的位移的和指的是AB →＋BC →＝AC →.依题意有|AB →|＋|BC →|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC ＝35°＋55°＝90°，所以|AC →|＝|AB →|2＋|BC →|2 ＝8002＋8002＝8002(km)．易错警示未能正确理解向量加法致误小船以10 3 km/h 的静水速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.[解析] 如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.[答案] 20[错因与防X] (1)解答本题，易将船的实际速度当成河水的流速与静水速度之和，导致得不到正确的实际航速关系式而出错．(2)①向量的和一般不能直接用模作和；要注意向量的方向的合成，如本例中用两个速度不能直接作和；②船在静水中的航行速度，水流的速度，船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接某某际航行速度，如本例中两个方向垂直，利用勾股定理求速度的大小．4．(1)一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h ，该船的实际航程为________km.(2)在静水中船的速度为20 m/min ，水流的速度为10 m/min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．解：(1)由题意，如图，OA →表示水流速度，OB →表示船在静水中的速度，则OC →表示船的实际速度．因为|OA →|＝2，|OB →|＝4，∠AOB ＝120°，则∠CBO ＝60°， 又因为∠AOC ＝∠BCO ＝90°，所以|OC →|＝23，所以船的实际航行速度为2 3 km/h ，则实际航程为23×3＝63(km)．故填6 3. (2)作出图形，如图．船速v 船与岸的方向成α角，由图可知v 水＋v 船＝v 实际，结合已知条件，四边形ABCD 为平行四边形，在Rt △ACD 中， |CD →|＝|AB →|＝|v 水|＝10 m/min ， |AD →|＝|v 船|＝20 m/min ，所以cos α＝|CD →||AD →|＝1020＝12，所以α＝60°，从而船与水流方向成120°的角． 故船行进的方向是与水流的方向成120°角的方向．1．已知下面的说法：①如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a ＋b 的方向与a 或b 的方向相同；②在△ABC 中，必有AB →＋BC →＋CA →＝0；③若AB →＋BC →＋CA →＝0，则A ，B ，C 为一个三角形的三个顶点； ④若a ，b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选B.①当a ＋b ＝0时，不成立；②说法正确；③当A ，B ，C 三点共线时，也可以有AB →＋BC →＋CA →＝0，故此说法不正确；④当a ，b 共线时，若a ，b 同向，则|a ＋b |＝|a |＋|b |；若a ，b 反向，则|a ＋b |＝||a |－|b ||；当a ，b 不共线时，|a ＋b |<|a |＋|b |，故此说法不正确．2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则下列等式中正确的是( )A.FD →＋DA →＝FA →B.FD →＋DE →＋FE →＝0C.DE →＋DA →＝EB →D.DA →＋DE →＝FD →解析：选A.如题图，可知FD →＋DA →＝FA →， FD →＋DE →＋FE →＝FE →＋FE →≠0， DE →＋DA →＝DF →，故A 正确．3．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．在四边形ABCD 中，若AC →＝AB →＋AD →，则( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D.由向量加法的平行四边形法则知四边形ABCD 是平行四边形．故选D.2．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC →＋DC →＋BA →＝( )A.BD →B ．DB → C.BC →D ．CB →解析：选C.BC →＋DC →＋BA →＝BC →＋(DC →＋BA →)＝BC →＋0＝BC →.3．已知a ，b ，c 是非零向量，则(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(a ＋b )，c ＋(b ＋a )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：选A.依据向量加法的交换律及结合律，每个向量式均与a ＋b ＋c 相等，故选A.4．如图所示的方格中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG →C.FO →D ．EO →解析：选C.设a ＝OP →＋OQ →，以OP ，OQ 为邻边作平行四边形，则夹在OP ，OQ 之间的对角线对应的向量即为向量a ＝OP →＋OQ →，则a 与FO →长度相等，方向相同，所以a ＝FO →.5．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |； ⑤|a ＋b |＝|a |＋|b |. A ．①② B ．①③ C ．①③⑤ D ．③④⑤解析：选C.因为(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →) ＝AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝a ＝0. 所以a∥b ，a ＋b ＝b ，即①③正确，②错误，而a ＝0时，|a ＋b |＝|b |＝|a |＋|b |，故④错误，⑤正确． 6．当非零向量a ，b 满足________时，a ＋b 平分以a 与b 为邻边的平行四边形的内角． 解析：由平面几何知识知，在平行四边形中，菱形的对角线平分其内角． 答案：|a |＝|b |7．矩形ABCD 中，|AB |＝3，|BC →|＝1，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于________． 解析：因为ABCD 为矩形，所以AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →＝AC →＋AC →，如图，过点C 作CE →＝AC →，则AC →＋AC →＝AE →，所以|AB →＋AD →＋AC →|＝|AE →|＝2|AC →|＝2|AB →|2＋|BC →|2＝4. 答案：48．在平行四边形ABCD 中，若|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，则四边形ABCD 是________(图形)．解析：如图所示，BC →＋BA →＝BD →，BC →＋AB →＝AC →， 又|BC →＋BA →|＝|BC →＋AB →|，所以|BD →|＝|AC →|，则四边形ABCD 是矩形． 答案：矩形9．如图所示，P ，Q 是三角形ABC 的边BC 上两点，且BP ＝QC .求证：AB →＋AC →＝AP →＋AQ →.证明：AB →＝AP →＋PB →，AC →＝AQ →＋QC →，所以AB →＋AC →＝AP →＋PB →＋AQ →＋QC →.因为PB →与QC →大小相等，方向相反，所以PB →＋QC →＝0， 故AB →＋AC →＝AP →＋AQ →＋0＝AP →＋AQ →. 10．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，在平行四边形OACB 中，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则在△OAC 中，∠ACO＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体的重力，|CO →|＝300 N ，所以|OA →|＝|CO →|cos 30°＝150 3 N ，|OB →|＝|CO →|cos 60°＝150 N.所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.[B.能力提升] 1．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同的点，则使MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0成立的点M 的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选B.根据所给的四个向量的和是一个零向量，即MA 1→＋MA 2→＋MA 3→＋MA 4→＝0.当A 1，A 2，A 3，A 4是平面上给定的4个不同点确定以后，在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量，故选B.2．已知|OA →|＝3，|OB →|＝3，∠AOB ＝60°，则|OA →＋OB →|＝( )A.3B ．3C ．23D ．3 3解析：选D.在平面内任取一点O ，作向量OA →，OB →，以OA →，OB →为邻边作▱OACB ，则OC →＝OA →＋OB →.由题意知四边形OACB 为菱形，又∠AOB ＝60°，所以|OC →|＝2×3×sin 60°＝3 3.3．已知G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝________．解析：如图，连接AG 并延长交BC 于E ，点E 为BC 中点，延长AE 到D ，使GE ＝ED ，则GB →＋GC→＝GD →，GD →＋GA →＝0，所以GA →＋GB →＋GC →＝0.答案：04．若|AB →|＝10，|AC →|＝8，则|BC →|的取值X 围是________．解析：如图，固定AB →，以A 为起点作AC →，则AC →的终点C 在以A 为圆心，|AC →|为半径的圆上，由图可见，当C 在C 1处时，|BC →|取最小值2，当C 在C 2处时，|BC →|取最大值18.答案：[2，18]5．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为5 km/h.如果此船实际向南偏西30°方向行驶2 km ，然后又向西行驶2 km ，你知道此船在整个过程中的位移吗？解：如图，用AC →表示船的第一次位移，用CD →表示船的第二次位移，根据向量加法的三角形法则知AD →＝AC →＋CD →，所以AD →可表示两次位移的和位移．由题意知，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝30°，所以BC ＝12AC ＝1，AB ＝ 3. 在等腰△ACD 中，AC ＝CD ＝2， 所以∠D ＝∠DAC ＝12∠ACB ＝30°， 所以∠BAD ＝60°，AD ＝2AB ＝23，所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°，位移的大小为2 3 km.6．(选做题)在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，且|AB →|＝|AD →|＝1，OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，cos ∠DAB ＝12.求|DC →＋BC →|与|CD →＋BC →|.解：因为OA →＋OC →＝OB →＋OD →＝0，所以OA →＝CO →，OB →＝DO →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又|AB →|＝|AD →|＝1，知四边形ABCD 为菱形．因为cos ∠DAB ＝12，∠DAB ∈(0，π)， 所以∠DAB ＝π3，所以△ABD 为正三角形， 所以|DC →＋BC →|＝|AB →＋AD →|＝|AC →|＝2|AO →|＝ 3.|CD →＋BC →|＝|BD →|＝|AB →|＝1.。
高中数学 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义课后习题 新人教A版必修4
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、A组1.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=,a与b的夹角为30°,则a·(a-2b)=()A.2-2B.4-2C.-4D.-2解析:a·(a-2b)=a2-2a·b=|a|2-2|a||b|cos 30°=4-2×2×=4-6=-2.答案:D2.已知|a|=2,|b|=1,|a+2b|=2,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析:∵|a+2b|=2,∴(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=12.∵|a|=2,|b|=1,∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则|a||b|cos θ=2cos θ=1,∴cos θ=.又0≤θ≤π,∴θ=.答案:B3.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是()A.-4B.4C.-2D.2解析:根据投影的定义,可得向量a在向量b方向上的投影为|a|cos α==-4,其中α为a与b的夹角.故选A.答案:A4.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为()A.2B.4C.6D.12解析:∵(a+2b)·(a-3b)=a2-a·b-6b2=|a|2-|a|·4cos 60°-6×16=|a|2-2|a|-96=-72,即|a|2-2|a|-24=0,∴|a|=6或|a|=-4(舍去),故选C.答案:C5.已知平面上三点A,B,C满足||=3,||=4,||=5,则的值等于()A.-25B.-20C.-15D.-10解析:由已知可得△ABC为直角三角形,则的夹角为,=0,∴·()==-||2=-25.答案:A6.已知向量a,b,且|a|=|b|=1,|a-b|=1,则|a+b|=.解析:∵|a-b|=1,∴a2-2a·b+b2=1.又|a|=|b|=1,∴a·b=.∴|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=1+2×+1=3,∴|a+b|=.答案:7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2,若a·b=0,则k的值为.解析:∵a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=k-2k e1·e2+e1·e2-2=k-2k·-2=2k-=0.∴k=.答案:8ABC中,AB=2,AC=3,D是边BC的中点,则=. 解析:∵D是边BC的中点,∴).又,∴)·()=)=×(32-22)=.答案:9.已知向量a,b的长度|a|=4,|b|=2.(1)若a,b的夹角为120°,求|3a-4b|;(2)若|a+b|=2,求a与b的夹角θ.解:(1)∵a·b=|a||b|cos 120°=4×2×=-4.又|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×42-24×(-4)+16×22=304,∴|3a-4b|=4.(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=42+2a·b+22=(2)2,∴a·b=-4,∴cos θ==-.又θ∈[0,π],∴θ=.10.已知向量a,b不共线,且|2a+b|=|a+2b|,求证:(a+b)⊥(a-b).证明:∵|2a+b|=|a+2b|,∴(2a+b)2=(a+2b)2.∴4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2,∴a2=b2.∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.又a与b不共线,a+b≠0,a-b≠0,∴(a+b)⊥(a-b).二、B组1.(2016·山东淄川一中阶段性检测)若向量a,b满足|a|=|b|=1,a⊥b,且(2a+3b)⊥(k a-4b),则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析:由题知,(2a+3b)·(k a-4b)=0,即2k a2+(3k-8)a·b-12b2=0,即2k-12=0,k=6.故选B.答案:B2.(2016·江西赣州期末考试)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若=1,则AB的长为()A.2B.1C. D.解析:在平行四边形ABCD中,,∴=()·=1,∴1-×1×||×cos 60°=1,解得||=.答案:D3.在△ABC中,AB⊥AC,AC=1,点D满足条件,则等于()A. B.1C. D.解析:∵AB⊥AC,∴=0.∴·()==0+=·()=)=×(1-0)=.答案:A4.(2016·新疆阿克苏高一期末)已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|a-b|=()A.2B.C.4D.解析:因为向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,所以a·b=-.所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=13.所以|a-b|=.答案:D5.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析:|2a-b|=.∵a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.∴|2a-b|=0或4.答案:0或46.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析:由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b共线同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)7.已知|a|=3,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=3a+5b,d=m a-3b.(1)当m为何值时,c与d垂直?(2)当m为何值时,c与d共线?解:(1)由向量c与d垂直,得c·d=0,而c·d=(3a+5b)·(m a-3b)=3m a2+(5m-9)a·b-15b2=27m+3(5m-9)-60=42m-87=0,∴m=,即m=时,c与d垂直.(2)由c与d共线,得存在实数λ,使得c=λd,∴3a+5b=λ(m a-3b),即3a+5b=λm a-3λb.又∵a与b不共线,∴解得即当m=-时,c与d共线.8)如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.(1)试用a,b表示向量;(2)若|b|=1,求.解:(1)=a-b,由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.∴b,则=a+b,=a+(-1)b.(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,则=a·[a+(-1)b]=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.。
人教A版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习
人教A 版高中数学 必修四 第二章 §2.4平面向量的数量积 教材课时同步培优练习一、本节主要知识点回顾1、两个非零向量夹角的概念已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.说明：（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向； （2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；（3）当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ； （4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a ||b |cos θ叫ａ与ｂ的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |cos θ，（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.⋅探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成a ⋅b ；今后要学到两个向量的外积a ×b ，而a ⋅b 是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a ≠0，且a ⋅b =0，则b =0；但是在数量积中，若a ≠0，且a ⋅b =0，不能推出b =0.因为其中cos θ有可能为0.（4）已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab=bc ⇒ a=c .但是a ⋅b = b ⋅c a = c如右图：a ⋅b = |a ||b |cos β = |b ||OA|，b ⋅c = |b ||c |cos α = |b ||OA|⇒ a ⋅b = b ⋅c 但a ≠ c(5)在实数中，有(a ⋅b )c = a (b ⋅c )，但是(a ⋅b )c ≠ a (b ⋅c )显然，这是因为左端是与c 共线的向量，而右端是与a 共线的向量，而一般a 与c 不共线.3、“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒C时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |.4、向量的数量积的几何意义：数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.5、两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 03︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=|| 4︒ cos θ =||||b a b a ⋅ 5︒ |a ⋅b | ≤ |a ||b |6、平面向量数量积的运算律（1）交换律：a ⋅ b = b ⋅ a（2）数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )（3）分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c7、 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，试用a 和b 的坐标表示b a ⋅.设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么j y i x a 11+=，j y i x b 22+=所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i ，所以b a ⋅2121y y x x +=这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x +=8、平面内两点间的距离公式一、 设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)二、 向量垂直的判定设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x三、 两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212121y x y x y y x x +++=二、典型例题精选例1、 已知|a |=6， |b |=4， a 与b 的夹角为60o 求(a+2b)·(a -3b).例2、 已知|a |=3， |b |=4， 且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a+kb 与a-kb 互相垂直.例3 、判断正误，并简要说明理由.①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.例4、 已知a 、b 都是非零向量，且a + 3b 与7a - 5b 垂直，a - 4b 与7a - 2b 垂直，求a 与b 的夹角.例5、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.证明：如图：平行四边形ABCD 中，DC AB =，BC AD =，AC =+∴||2=AD AB AD AB AD AB ⋅++=+2||222 而=- ，∴||2=⋅-+=-2||222 ∴|AC |2 + |BD |2 = 2222AD AB += 2222||||||||+++例6、 四边形ABCD 中，＝ａ，＝ｂ，＝с，＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，试问四边形ABCD 是什么图形?分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.解：四边形ABCD 是矩形，这是因为：一方面：∵ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，∴ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），∴(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）２即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四边形ABCD 两组对边分别相等.∴四边形ABCD 是平行四边形另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四边形ABCD 可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０，即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB ⊥BC .综上所述，四边形ABCD 是矩形.评述：(1)在四边形中，AB ，BC ，CD ，DA 是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.例7、已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?例8、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.解：设B 点坐标(x ， y )，则= (x ， y )，AB = (x -5， y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2-5x - 2y = 0 又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+2723232729410025221122y x y x y x y x y x 或 ∴B 点坐标)23,27(-或)27,23(；=)27,23(--或)23,27(-例9、对于任意非零向量a 与b ，求证：｜｜a ｜-｜b ｜｜≤｜a ±b ｜≤｜a ｜+｜b ｜证明：(1)两个非零向量a 与b 不共线时，a +b 的方向与a ，b 的方向都不同，并且｜a ｜-｜b ｜＜｜a ±b ｜＜｜｜+｜｜(2)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与.相同且｜+｜=｜｜＋｜｜.②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则|+|=||-||.同理可证另一种情况也成立。
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A 版必修4一、A 组1.已知非零向量 a, b 满足a +4b =0,则( )C a 与b 的方向相同D. a 与b 的方向相反解析：T a +4b =0,二 a =-4b, | a |= 4| b | ,且 a 与 b 的方向相反.答案：D1妙 4- BCA.1 -BA-BCB. Z:BA - BCC.--D.--I 1 IICD = -(CA + CB 解析：T 点D 是边AB 的中点，二).I~~TV 1I r^(CA + CB -BA + BC.•卫dg )=上.故选D .答案：D3.设a, b 不共线 J =a +k b, =n a +b(k ,m€ R),则A , B C 三点共线时有( )A.k=mB.km-仁0C km+1=0D.k+m=0i-1解析:若ABC 三点共线，则’共线,I I.存在唯一实数入,使二上=入“,.a +kb =X (m a +b),A. | a |+ 4| b |= 0B. a 与b 是相反向量2.如图所示1加=1*即 a +k b = Xm a + 入 b, •」几一/• km=1.即 km-1=0.答案:BA. △ ABC 的内部B. AC 边所在直线上C. AB 边所在直线上D. BC 边所在直线上4.如图,已知 lAB =a, AC =b,図/=3。
£,用a, b 表示眉D ,贝则4DA. a +Jb3 1B. 4a+4bC. ]a + ; b)5.已知P 是厶ABC 所在平面内的一点，池色=入卩月+PB ,其中入€ R 则点P —定在（上+解析：，兀入PP R, .UP R»PACB +•上P加••虽以共线.•••C P,A三点共线，故选B.答案:B6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.答案：9a7.如图，在平行四边形ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________I I I I I I解析:BE=BC^-CE = AD +答案—a+b &导学号08720054 在△ ABC中,点M为边AB的中点，若。
2016高中数学人教A版必修四第二章 71点到直线的距离公式72向量的应用举例 练习题含答案
§7 向量应用举例 7、1 点到直线的距离公式 7、2 向量的应用举例, )1、问题导航(1)已知直线l 的方向向量(M ,N )或法向量(A ,B ),如何设l 的方程？ (2)向量可以解决哪些常见的几何问题？ (3)向量可以解决哪些物理问题？ 2、例题导读P 102例1、通过本例学习,学会利用点到直线的距离公式计算点到直线的距离、 试一试:教材P 102练习T 1,T 2,T 3您会不？P 102例2、通过本例学习,学会利用向量方法解答平面几何问题的方法步骤、 试一试:教材P 104习题2－7 B 组T 1您会不？P 103例3,例4、通过此两例学习,学会利用向量方法解答物理中位移、力等问题、 试一试:教材P 104习题2－7 A 组T 3,B 组T 2您会不？1、直线l :Ax ＋By ＋C ＝0的法向量(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量、(2)若直线l的方向向量v ＝(B ,－A ),则直线l 的法向量n ＝(A ,B )、(3)与直线l 的法向量n 同向的单位向量n 0＝n|n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫A A 2＋B 2BA 2＋B 2、2、点到直线的距离公式点M (x 0,y 0)到直线l :Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2、 3(1)证明线段平行或相等,可以用向量的数乘、平行向量定理、 (2)证明线段垂直,可以用向量数量积运算、(3)利用向量数量积运算,可以求线段的长度、夹角及平面图形的面积、 4、用向量解决解析几何中的问题解析几何就是在平面直角坐标系内研究图形的性质,这类问题大多适用于向量的坐标运算,建立适当的平面直角坐标系,设出向量的坐标,将几何问题转化为向量的线性运算或数量积的运算、5、向量在物理中的应用向量有着丰富的物理背景,向量的物理背景就是位移、力、速度等,向量数量积的物理背景就是力所做的功,因此,利用向量可以解决一些物理问题、用向量法解决物理问题时,要作出相应的几何图形,以帮助我们建立数学模型、向量在物理中的应用,如求力的合成与分解,力做功等,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后再用获得的结果解释物理现象、1、判断正误、(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)求力F 1与F 2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、( )(2)若△ABC 为直角三角形,则有AB →·AC →＝0、( )(3)若向量AB →∥CD →,则AB ∥CD 、( )解析:(1)正确、物理中的力既有大小又有方向,所以力可以瞧作向量,F 1,F 2的合力可按照向量加法的三角形法则求解、(2)错误、因为△ABC 为直角三角形,角A 并不一定就是直角,有可能就是角B 或角C 为直角、(3)错误、向量AB →∥CD →时,直线AB ∥CD 或AB ,CD 重合、 答案:(1)√ (2)× (3)×2、已知A ,B ,C ,D 四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为( ) A 、梯形 B 、菱形 C 、矩形 D 、正方形解析:选A 、AB →＝(3,3),CD →＝(－2,－2),所以AB →＝－32CD →,AB →与CD →共线,但|AB →|≠|CD →|,故此四边形为梯形、3、两个大小相等的共点力F 1,F 2,当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为________N 、解析:根据题意,当F 1,F 2夹角为90°时, |F 1|2＋|F 2|2＝202,因为|F 1|＝|F 2|,所以|F 1|＝|F 2|＝102,则当F 1,F 2夹角为120°时,它们的合力大小为|AC →|＝102、 答案:10 24、在△ABC 中,若C ＝90°,AC ＝BC ＝4,则BA →·BC →＝________、 解析:因为C ＝90°,AC ＝BC ＝4,所以△ABC 为等腰直角三角形,所以BA ＝42,∠ABC ＝45°,所以BA →·BC →＝16、 答案:161、对直线l :Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量及法向量的两点说明(1)设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)为直线上不重合的两点,则P 1P 2→＝(x 2－x 1,y 2－y 1)及其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量、显然当x 1≠x 2时,向量⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1y 2－y 1x 2－x 1与P 1P 2→共线,因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－A B ＝1B(B ,－A )为直线l 的方向向量,由共线向量的特征可知(B ,－A )为直线l 的方向向量、(2)结合法向量的定义可知,向量(A ,B )与(B ,－A )垂直,从而向量(A ,B )为直线l 的法向量、 2、向量法在几何证明与计算中的几个主要应用 (1)A 、B 、C 三点共线的证法只需证AB →＝λBC →或 AB →＝(x 1,y 1),BC →＝(x 2,y 2)满足x 1y 2－x 2y 1＝0、 (2)证明AB ⊥AC 的方法只需证AB →·AC →＝0、(3)求A 、B 两点间距离的方法可把AB →表示成λa ＋μb 或者求坐标(x ,y ),然后利用向量的运算求解、 (4)求∠AOB 的方法利用数量积定义的变形cos ∠AOB ＝OA →·OB→|OA →||OB →|、3、向量在物理中应用时应注意的三个问题(1)把物理问题转化为数学问题,也就就是将物理量之间的关系抽象成数学模型、 (2)利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、(3)在解决具体问题时,要明确与掌握用向量方法研究物理问题的相关知识: ①力、速度、加速度与位移都就是向量;②力、速度、加速度与位移的合成与分解就就是向量的加、减法; ③动量m v 就是数乘向量;④功就是力F 与在力F 的作用下物体所产生的位移s 的数量积、向量在解析几何中的应用(1)经过点A (－1,2),且平行于向量a ＝(3,2)的直线方程就是________、(2)已知圆C :(x －3)2＋(y －3)2＝4及点A (1,1),M 就是圆C 上的任一点,点N 在线段MA 的延长线上,且MA →＝2AN →,求点N 的轨迹方程、[解] (1)在直线上任取一点P (x ,y ),则AP →＝(x ＋1,y －2), 由AP →∥a ,得(x ＋1)×2－(y －2)×3＝0,即2x －3y ＋8＝0、故填2x －3y ＋8＝0、 (2)设N (x ,y ),M (x 0,y 0)、因为MA →＝2AN →,所以(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1,y －1),所以⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2x －21－y 0＝2y －2即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x y 0＝3－2y又因为点M (x 0,y 0)在圆C :(x －3)2＋(y －3)2＝4上,所以(x 0－3)2＋(y 0－3)2＝4,所以(2x )2＋(2y )2＝4,即x 2＋y 2＝1,所以点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1、将本例(1)中的“平行于向量”改为“法向量为”结果如何？解:由法向量a ＝(3,2),设直线的方程为3x ＋2y ＋c ＝0,又A (－1,2)在直线上,所以3×(－1)＋2×2＋c ＝0,得c ＝－1,即3x ＋2y －1＝0、方法归纳向量在解析几何中的应用问题向量与解析几何的综合就是高考的热点、主要题型有:(1)向量的概念、运算、性质、几何意义与解析几何问题结合、(2)将向量作为描述问题或解决问题的工具、(3)以向量坐标运算为工具,考查直线与曲线相交、轨迹等问题、1、(1)已知两点A (3,2),B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等,则m ＝________、(2)已知点P (－3,0),点A 在y 轴上,点Q 在x 轴的正半轴上,点M 在直线AQ 上,满足P A →·AM→＝0,AM →＝－32MQ →、当点A 在y 轴上移动时,求动点M 的轨迹方程、解:(1)由已知得直线的一个法向量为n ＝(m ,1),其单位向量为n 0＝n|n |＝11＋m 2(m ,1),在直线上任取一点P (0,－3),则AP →＝(－3,－5),BP →＝(1,－7)、依题意有|AP →·n 0|＝|BP →·n 0|,即|－3m －5|1＋m 2＝|m －7|1＋m 2,解得m ＝12或m ＝－6、故填12或－6、(2)设点M (x ,y )为轨迹上的任一点,设A (0,b ),Q (a ,0)(a ＞0),则AM →＝(x ,y －b ),MQ →＝(a －x ,－y )、因为AM →＝－32MQ →,所以(x ,y －b )＝－32(a －x ,－y )、所以a ＝x 3,b ＝－y2,即A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－y 2,Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 30、P A →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－y 2,AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3y 2、因为P A →·AM →＝0,所以3x －34y 2＝0、即所求轨迹方程为y 2＝4x (x ＞0)、向量在平面几何中的应用如图正三角形ABC 中,D 、E 分别就是AB 、BC 上的一个三等分点,且AE 、CD 交于点P 、求证:BP ⊥DC 、(链接教材P 100例2)[证明] 设PD →＝λCD →,并设三角形ABC 的边长为a ,则有: P A →＝PD →＋DA →＝λCD →＋13BA →＝λ⎝⎛⎭⎫23BA →－BC →＋13BA →＝13(2λ＋1)BA →－λBC →、 又EA →＝BA →－13BC →,P A →∥EA →,所以13(2λ＋1)BA →－λBC →＝kBA →－13kBC →,于就是有⎩⎪⎨⎪⎧13(2λ＋1)＝k λ＝13k解得λ＝17、所以PD →＝17CD →、所以BP →＝BC →＋CP →＝17BC →＋47BA →,CD →＝23BA →－BC →、所以BP →·CD →＝⎝⎛⎭⎫17BC →＋47BA →·⎝⎛⎭⎫23BA →－BC → ＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0、 所以由向量垂直的等价条件知BP ⊥DC 、方法归纳用向量解决平面几何问题的两种常见思路 (1)向量的线性运算法选取基底―→把所求问题用基底线性表示 ―→利用向量的线性运算或数量积找相应关系―→把向量问题几何化 (2)向量的坐标运算法建立适当的平面直角坐标系―→把相关向量坐标化―→向量的坐标运算找相应关系―→把向量问题几何化2、(1)如图,在▱ABCD 中,E ,F 在对角线BD 上,且BE ＝FD ,则四边形AECF 的形状就是________、(2)如图所示,在平行四边形ABCD 中,BC ＝2BA ,∠ABC ＝60°,作AE ⊥BD 交BC 于点E ,求BE ∶EC 的值、解:(1)由已知可设AB →＝DC →＝a ,BE →＝FD →＝b ,故AE →＝AB →＋BE →＝a ＋b ,FC →＝FD →＋DC →＝b ＋a ,又a ＋b ＝b ＋a ,则AE →＝FC →,即AE ,FC 平行且相等,故四边形AECF 就是平行四边形、故填平行四边形、(2)法一:设BA →＝a ,BC →＝b ,|a|＝1,|b|＝2,则a·b ＝|a||b |cos 60°＝1,BD →＝a ＋b 、 设BE →＝λBC →＝λb ,则AE →＝BE →－BA →＝λb －a 、由AE ⊥BD ,得AE →·BD →＝0, 即(λb －a )·(a ＋b )＝0,解得λ＝25,所以BE ∶EC ＝25∶35＝2∶3、法二:以B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系, 设B (0,0),C (2,0),则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1232,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫5232、设E (m ,0),则BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5232,AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －12－32,由AE ⊥BD ,得AE →·BD →＝0,即52(m －12)－32×32＝0,解得m ＝45,所以BE ∶EC ＝45∶65＝2∶3、向量在物理中的应用一个物体受到同一平面内三个力F 1,F 2,F 3的作用,沿北偏东45°的方向移动了8m 、已知|F 1|＝2 N,方向为北偏东30°,|F 2|＝4 N,方向为北偏东60°,|F 3|＝6 N,方向为北偏西30°,求这三个力的合力F 所做的功、(链接教材P 103例4)[解] 以三个力的作用点为原点,正东方向为x 轴正半轴,正北方向为y 轴正半轴建立平面直角坐标系,如图所示、由已知可得F 1＝(1,3),F 2＝(23,2),F 3＝(－3,33)、 所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2,43＋2)、 又位移s ＝(42,42), 所以F ·s ＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝246(J)、 故这三个力的合力F 所做的功就是24 6 J 、方法归纳利用向量解决物理问题的思路及注意问题(1)向量在物理中的应用,实际上就是把物理问题转化为向量问题,然后通过向量运算解决向量问题,最后用所获得的结果解释物理现象、(2)在用向量法解决物理问题时,应作出相应图形,以帮助建立数学模型,分析解题思路、 (3)注意问题:①如何把物理问题转化为数学问题,也就就是将物理之间的关系抽象成数学模型;②如何利用建立起来的数学模型解释与回答相关的物理现象、3、(1)一质点受到平面上的三个力F 1,F 2,F 3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态、已知F 1,F 2成60°角,且F 1,F 2的大小分别为2与4,则F 3的大小为( )A 、6B 、2C 、2 5D 、27(2)点P 在平面上做匀速直线运动,速度向量v ＝(4,－3)(即点P 的运动方向与v 相同,且每秒移动的距离为|v |个单位)、设开始时点P 0的坐标为(－10,10),则5秒后点P 的坐标为( )A 、(－2,4)B 、(－30,25)C 、(10,－5)D 、(5,－10) (3)已知两恒力F 1＝(3,4)、F 2＝(6,－5)作用于同一质点,使之由点A (20,15)移动到点B (7,0),试求:①F 1、F 2分别对质点所做的功;②F 1,F 2的合力F 对质点所做的功、解:(1)选D 、因为力F 就是一个向量,由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1,F 2为邻边的平行四边形的对角线的长,故|F 3|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|·cos 60°＝4＋16＋8＝28,所以|F 3|＝27、(2)选C 、由题意知,P 0P →＝5v ＝(20,－15),设点P 的坐标为(x ,y ),则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20y －10＝－15解得点P 的坐标为(10,－5)、(3)设物体在力F 作用下的位移为s ,则所做的功为W ＝F ·s ,AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13,－15)、①W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13,－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J),W 2＝F 2·AB →＝(6,－5)·(－13,－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)、②W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6,－5)]·(－13,－15)＝(9,－1)·(－13,－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102(J)、易错警示向量在几何应用中的误区 在△ABC 中,已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB |AB →|＋AC |AC →|·BC →＝0且AB ·AC |AB →|·|AC →|＝12,则△ABC 的形状为________、[解析] 因为向量AB →|AB →|,AC →|AC →|分别表示与向量AB →,AC →同向的单位向量,所以以AB →|AB →|,AC →|AC →|为邻边的平行四边形就是菱形、根据平行四边形法则作AD →＝AB →|AB →|＋AC→|AC →|(如图所示),则AD 就是∠BAC 的平分线、 因为非零向量满足 ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0, 所以∠BAC 的平分线AD 垂直于BC ,所以AB ＝AC ,又cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝12,且∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC ＝π3,所以△ABC 为等边三角形、[答案] 等边三角形[错因与防范] (1)解答本题常会给出错误的答案为“直角三角形”,原因在于未能正确分析挖掘题设中的条件,直接根据数量积为零,就判断△ABC 为直角三角形、(2)为杜绝上述可能发生的错误,应该: ①注意知识的积累向量线性运算与数量积的几何意义就是解决向量问题的依据,如本例中AB →|AB →|,AC→|AC →|的含义,邻边相等的平行四边形就是菱形,菱形的对角线平分对角、②树立数形结合意识推导图形的形状时要以题目条件为依据全面进行推导,回答应力求准确,如本例求解时,以图形辅助解题,较为形象直观、4、(1)设A 1,A 2,A 3,A 4就是平面直角坐标系中两两不同的四点,若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R ),A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R ),且1λ＋1μ＝2,则称A 3,A 4调与分割A 1,A 2、已知平面上的点C ,D 调与分割点A ,B ,则下面说法正确的就是( )A 、C 可能就是线段AB 的中点 B 、D 可能就是线段AB 的中点C 、C 、D 可能同时在线段AB 上D 、C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上(2)设O 为△ABC 所在平面上一点,动点P 满足OP →＝OB →＋OC →2＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB→|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ,λ∈(0,＋∞),则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A 、重心B 、垂心C 、外心D 、内心 解析:(1)选D 、因为C ,D 调与分割点A ,B ,所以AC →＝λAB →,AD →＝μAB →,且1λ＋1μ＝2(*),不妨设A (0,0),B (1,0),则C (λ,0),D (μ,0),对A ,若C 为AB 的中点,则AC →＝12AB →,即λ＝12,将其代入(*)式,得1μ＝0,这就是无意义的,故A 错误;对B ,若D 为AB 的中点,则μ＝12,同理得1λ＝0,故B 错误;对C ,要使C ,D 同时在线段AB 上,则0＜λ＜1,且0＜μ＜1,所以1λ＞1,1μ＞1,所以1λ＋1μ＞2,这与1λ＋1μ＝2矛盾;故C 错误;显然D 正确、(2)选C 、设线段BC 的中点为D , 则OB →＋OC →2＝OD →、所以OP →＝OB →＋OC→2＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝OD →＋λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C , 所以OP →－OD →＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ＝DP →, 所以DP →·BC →＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|cos B ＋AC →|AC →|cos C ·BC → ＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|AB →|cos B ＋AC →·BC →|AC →|cos C＝λ ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|AB →|·|BC →|cos(π－B )|AB →|cos B ＋|AC →|·|BC →|cos C |AC →|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →|)＝0,所以DP ⊥BC ,即点P 一定在线段BC 的垂直平分线上,即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心、1、已知直线x ＋3y ＋9＝0,则直线的一个法向量为( ) A 、a ＝(1,3) B 、a ＝(3,1) C 、a ＝(3,－1) D 、a ＝(－3,－1)解析:选A 、直线Ax ＋By ＋C ＝0的法向量可以为(A ,B )、2、在△ABC 中,若AB →·BC →＋|AB →|2＝0,则△ABC 的形状就是( ) A 、锐角三角形 B 、等腰三角形 C 、直角三角形 D 、钝角三角形解析:选C 、因为AB →·BC →＋|AB →|2＝0,所以AB →·BC →＋AB →2＝0,即AB →·(BC →＋AB →)＝0、所以AB →·AC →＝0,所以AB →⊥AC →,即AB ⊥AC 、 所以A ＝90°、所以△ABC 就是直角三角形、 3、一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度就是40 m/s,则鹰的飞行速率为( )A 、803 m/sB 、4033m/sC 、8033 m/sD 、403 m/s解析:选C 、设鹰的飞行速度为v 1,鹰在地面上的影子的速度为v 2,则v 2＝40 m/s ,因为鹰的运动方向就是与水平方向成30°角向下,故|v 1|＝|v 2|32＝8033(m/s),故选C 、, [学生用书单独成册])[A 、基础达标]1、一个人骑自行车行驶速度为v 1,风速为v 2,则逆风行驶的速度的大小为( ) A 、v 1－v 2 B 、v 1＋v 2C 、|v 1|－|v 2|D 、v 1v 2解析:选C 、根据速度的合成可知、2、若O F 1→＝(2,2),OF 2→＝(－2,3)分别表示F 1,F 2,则|F 1＋F 2|为( ) A 、(0,5) B 、25 C 、2 2 D 、5 解析:选D 、因为F 1＋F 2＝(0,5), 所以|F 1＋F 2|＝02＋52＝5、3、过点A(2,3)且垂直于向量a ＝(2,1)的直线方程为( ) A 、2x ＋y －7＝0 B 、2x ＋y ＋7＝0 C 、x －2y ＋4＝0 D 、x －2y －4＝0解析:选A 、设所求直线上任一点P (x ,y ),则AP →⊥a 、又因为AP →＝(x －2,y －3), 所以2(x －2)＋(y －3)＝0,即所求的直线方程为2x ＋y －7＝0、4、若A i (i ＝1,2,3,4,…,n)就是△AOB 所在平面内的点,且OA i →·OB →＝OA →·OB →、给出下列说法:①|OA 1→|＝|OA 2→|＝…＝|OA n →|＝|OA →|; ②|OA i →|的最小值一定就是|OB →|; ③点A 、A i 在一条直线上、 其中正确的个数就是( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3解析:选B 、由OA i →·OB →＝OA →·OB →,可得(OA i →－OA →)·OB →＝0,即AA i →·OB →＝0,所以AA i →⊥OB →,即点A i 在边OB 过点A 的垂线上、 故三个命题中,只有③正确,故选B 、5、已知△ABC 中,A(2,－1),B(3,2),C(－3,－1),BC 边上的高为AD,则AD →等于( ) A 、(－1,2) B 、(1,－2) C 、(1,2) D 、(－1,－2)解析:选A 、设D (x ,y ),则AD →＝(x －2,y ＋1),BD →＝(x －3,y －2),BC →＝(－6,－3)、因为AD →⊥BC →,BD →∥BC →、所以⎩⎪⎨⎪⎧－6(x －2)－3(y ＋1)＝0－3(x －3)＋6(y －2)＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1所以AD →＝(－1,2)、6、已知三个力F 1＝(3,4),F 2＝(2,－5),F 3＝(x ,y ),满足F 1＋F 2＋F 3＝0,若F 1与F 2的合力为F ,则合力F 与力F 1夹角的余弦值为________、解析:因为F 1＋F 2＋F 3＝0,F 1＋F 2＝F , 所以F ＝－F 3,因为F 3的坐标为(－5,1), 所以F ＝－F 3＝(5,－1),设合力F 与力F 1的夹角为θ,则cos θ＝F 1·F |F 1||F |＝3×5＋4×(－1)32＋42·52＋(－1)2＝1126130、答案:11261307、已知直线的方向向量为a ＝(3,1),且过点A (－2,1),则直线方程为____________、解析:由题意知,直线的斜率为13,设直线方程为x －3y ＋c ＝0,把(－2,1)代入得c ＝5,故所求直线方程为x －3y ＋5＝0、 答案:x －3y ＋5＝08、已知|a |＝3,|b |＝4,|c |＝23,且a ＋b ＋c ＝0,则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________、解析:(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2(a ·c ＋b ·c ＋a ·b )＝0,所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－312、答案:－3129、在△ABC 中,AB →·AC →＝|AB →－AC →|＝6,M 为BC 边的中点,求中线AM 的长、解:因为|AB →－AC →|＝6,所以(AB →－AC →)2＝36、 即AB →2＋AC →2－2AB →·AC →＝36、又因为AB →·AC →＝6,所以AB →2＋AC →2＝48、又因为AM →＝12(AB →＋AC →),所以AM →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)＝14×(48＋12)＝15,所以|AM →|＝15,即中线AM 的长为15、10、已知点A (－1,0),B (0,1),点P (x ,y )为直线y ＝x －1上的一个动点、 (1)求证:∠APB 恒为锐角;(2)若四边形ABPQ 为菱形,求BQ →·AQ →的值、 解:(1)证明:因为点P (x ,y )在直线y ＝x －1上, 所以点P (x ,x －1),所以P A →＝(－1－x ,1－x ),PB →＝(－x ,2－x ),所以P A →·PB →＝2x 2－2x ＋2＝2(x 2－x ＋1)＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0,所以cos ∠APB ＝P A →·PB→|P A →||PB →|＞0,若A ,P ,B 三点在一条直线上,则P A →∥PB →, 得到(x ＋1)(x －2)－(x －1)x ＝0,方程无解, 所以∠APB ≠0,所以∠APB 恒为锐角、(2)因为四边形ABPQ 为菱形,所以|AB →|＝|BP →|,即2＝x 2＋(x －2)2,化简得到x 2－2x ＋1＝0,所以x ＝1,所以P (1,0),设Q (a ,b ),因为PQ →＝BA →,所以(a －1,b )＝(－1,－1),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝－1 所以BQ →·AQ →＝(0,－2)·(1,－1)＝2、[B 、能力提升]1、水平面上的物体受到力F 1,F 2的作用,F 1水平向右,F 2与水平向右方向的夹角为θ,物体在运动过程中,力F 1与F 2的合力所做的功为W ,若物体一直沿水平地面运动,则力F 2对物体做功的大小为( )A 、|F 2||F 1|＋|F 2|WB 、|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|W C 、|F 2||F 1|cos θ＋|F 2|W D 、|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW 解析:选D 、设物体的位移就是s ,根据题意有(|F 1|＋|F 2|·cos θ)|s |＝W ,即|s |＝W |F 1|＋|F 2|cos θ,所以力F 2对物体做功的大小为|F 2|cos θ|F 1|＋|F 2|cos θW 、 2、记max{x ,y }＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ≥y y x ＜y min{x ,y }＝⎩⎪⎨⎪⎧y x ≥yx x ＜y设a ,b 为平面向量,则( ) A 、min{|a ＋b |,|a －b |}≤min{|a |,|b |}B 、min{|a ＋b|,|a －b|}≥min{|a|,|b|}C 、max{|a ＋b|2,|a －b |2}≤|a|2＋|b|2D 、max{|a ＋b|2,|a －b|2}≥|a|2＋|b|2解析:选D 、对于min{|a ＋b|,|a －b |}与min{|a|,|b|},相当于平行四边形的对角线长度的较小者与两邻边长的较小者比较,它们的大小关系不确定,因此A ,B 均错,而|a ＋b|,|a －b|中的较大者与|a|,|b|可构成非锐角三角形的三边,因此有max{|a ＋b|2,|a －b|2}≥|a|2＋|b|2、3、已知△ABC 的面积为10,P 就是△ABC 所在平面上的一点,满足P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →,则△ABP 的面积为________、解析:由P A →＋PB →＋2PC →＝3AB →,得P A →＋PB →＋2PC →＝3(PB →－P A →),所以4P A →＋2(PC →－PB →)＝0,所以2P A →＝CB →,由此可得P A 与CB 平行且|CB |＝2|P A |,故△ABP 的面积为△ABC 的面积的一半,故△ABP 的面积为5、答案:54、在平面直角坐标系中,O 为原点,A (－1,0),B (0,3),C (3,0),动点D 满足|CD →|＝1,则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值就是________、解析:设D (x ,y ),由|CD →|＝1,得(x －3)2＋y 2＝1,向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1,y ＋3),故|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1,－3)距离的最大值,其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3,0)到点(1,－3)的距离加上圆的半径,即(3－1)2＋(0＋3)2＋1＝1＋7、答案:1＋75、在平面直角坐标系xOy 中,已知向量AB →＝(6,1),BC →＝(x ,y ),CD →＝(－2,－3),且BC →∥AD →、(1)求x 与y 间的关系;(2)若AC →⊥BD →,求x 与y 的值及四边形ABCD 的面积、解:(1)由题意得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(x ＋4,y －2),BC →＝(x ,y ),因为BC →∥AD →,所以(x ＋4)y －(y －2)x ＝0,即x ＋2y ＝0、①(2)由题意得AC →＝AB →＋BC →＝(x ＋6,y ＋1),BD →＝BC →＋CD →＝(x －2,y －3),因为AC →⊥BD →,所以AC →·BD →＝0,即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0,即x 2＋y 2＋4x －2y －15＝0,②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1或⎩⎨⎧x ＝－6y ＝3、 当⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1时,AC →＝(8,0),BD →＝(0,－4), 则S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16, 当⎩⎨⎧x ＝－6y ＝3时,AC →＝(0,4),BD →＝(－8,0), 则S 四边形ABCD ＝12|AC →||BD →|＝16, 综上⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6y ＝3四边形ABCD 的面积为16、 6、(选做题)已知e 1＝(1,0),e 2＝(0,1),现有动点P 从P 0(－1,2)开始,沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e 1＋e 2|;另一动点Q 从Q 0(－2,－1)开始,沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e 1＋2e 2|,设P 、Q 在t ＝0 s 时分别在P 0、Q 0处,问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为多少？解:e 1＋e 2＝(1,1),|e 1＋e 2|＝2,其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫2222;3e 1＋2e 2＝(3,2),|3e 1＋2e 2|＝13,其单位向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫313213、 依题意,|P 0P →|＝2t ,|Q 0Q →|＝13t ,所以P 0P →＝|P 0P →|⎝ ⎛⎭⎪⎫2222＝(t ,t ),Q 0Q →＝|Q 0Q →|⎝ ⎛⎭⎪⎫313213＝(3t ,2t ), 由P 0(－1,2),Q 0(－2,－1),得P (t －1,t ＋2),Q (3t －2,2t －1),所以P 0Q 0→＝(－1,－3),PQ →＝(2t －1,t －3),因为PQ →⊥P 0Q 0→,所以P 0Q 0→·PQ →＝0,即2t －1＋3t －9＝0,解得t ＝2、即当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2 s 、。
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习题课(2)
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知|b |＝3，a 在b 方向上的投影为，则a ·b 等于( )
32A ．3 B.9
2C ．2
D.12
解析：设a 与b 的夹角为θ.∵|a |cos θ＝，
3
2∴a ·b ＝|a ||b |cos θ＝3×＝.
329
2答案：B
2．已知|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－3，则|a ＋b |＝( )
A ．23
B ．35C.
D.2335
解析：|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝23.答案：C
3．若将向量a ＝(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转得到向量b ，
π4则向量b 的坐标为( )
A ．(－，－)
B ．(，)
223222
232
2C ．(－，)
D ．(，－)
32
22
232
22
2解析：设b ＝(x ，y )，由已知条件，知
|a |＝|b |，a ·b ＝|a ||b |cos45°.∴Error!
解得Error!或Error!
∵向量a 按逆时针旋转后，向量对应的点在第一象限，π
4∴x >0，y >0，
∴b ＝(，)，故选B.2232
2答案：B
4．已知＝(－3,1)，＝(0,5)，且∥，⊥，则点OA → OB → AC → OB → BC → AB
→ C 的坐标是( )
A ．(－3，－)
B ．(－3，)
29
429
4C ．(3，)
D ．(3，－)
29
429
4解析：设点C 的坐标为(x ，y )，则
＝(x ＋3，y －1)，＝(3,4)，
AC → AB
→ ＝(x ，y －5)．
BC
→ ∵∥，⊥，
AC → OB → BC → AB → ∴Error!
解得Error!∴C (－3，)．29
4答案：B
5．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使·OA → OB → AP
→ 有最小值，则点P 的坐标是( )
BP
→ A ．(－3,0) B ．(2,0)C ．(3,0)
D ．(4,0)
解析：设点P 的坐标为(x,0)，则＝(x －2，－2)，＝(x －4，－1)．AP → BP
→ ·＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)AP → BP
→ ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，·有最小值1，
AP → BP
→ 此时点P 的坐标为(3,0)，故选C.答案：C
6．设O 为△ABC 的外心，OD ⊥BC 于D ，且||＝，||＝1，则·(－)的值是( )
AB → 3AC → AD → AB → AC
→ A ．1 B ．2C.
D.23
解析：由题意知，D 为BC 的中点，＝(＋)，
AD → 12AB → AC
→ 所以·(－)＝(＋)·(－)＝(||2－||2)＝1，
AD → AB → AC → 12AB → AC → AB → AC → 12AB → AC
→ 故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
7．已知A (1,2)，B (3,4)，|n |＝，则|·n |的最大值为2AB
→ ________．
解析：＝(2,2)，||＝2，|·n |≤
AB → AB → 2AB
→ |||n |＝4，当且仅当与n 共线且同向时取等号．
AB → AB
→ 答案：4
8．若向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.
解析：由已知，得|c |＝|a |＋|b |，c ＝－a －b ，所以向量a 与b 同
向．
又因为向量c 与它们反向，所以a ·b ＋b ·c ＋c ·a
＝3cos0°＋4cos180°＋12cos180°
＝3－4－12＝－13.
答案：－13
9．已知正方形ABCD 的边长为2，点P 为对角线AC 上一点，
则(＋)·(＋)的最大值为________．
AP → BD → PB → PD
→ 解析：设＝λ(0≤λ≤2)，则
AP → AC
→ 2＋＝λ＋－AP → BD → AC → AD → AB → ＝λ(＋)＋－AD → AB → AD → AB → ＝(λ＋1)＋(λ－1)，
AD → AB
→
＋＝(＋)＋(＋)PB → PD → PA → AB → PA → AD → ＝2＋＋PA → AB → AD → ＝＋－2λAB → AD → AC → ＝(1－2λ)(＋)，AB → AD
→
∴(＋)·(＋)
AP → BD → PB → PD → ＝[(λ＋1)＋(λ－1)][(1－2λ)·＋(1－2λ)]
AD → AB → AB → AD
→ ＝(λ＋1)(1－2λ)2＋(λ－1)(1－2λ)·2
AD → AB
→ ＝－16λ2＋8λ(0≤λ≤2)．
2∴(＋)·(＋)的最大值为＝1.
AP → BD → PB → PD
→
－824×(－16)答案：1
三、解答题(共45分)
10．(本小题15分)已知向量a ＝(－2,2)，b ＝(5，k )．(1)若a ⊥b ，求k 的值；
(2)若|a ＋b |不超过5，求k 的取值范围．
解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，
即(－2,2)·(5，k )＝0，
(－2)×5＋2k ＝0⇒k ＝5.(2)a ＋b ＝(3,2＋k )，∵|a ＋b |≤5，
∴|a ＋b |2＝32＋(2＋k )2≤25，
得－6≤k ≤2.
11．(本小题15分)已知平面上三个向量a ，b ，c 的模均为1，它们之间的夹角均为120°.
(1)求证：(a －b )⊥c ；
(2)若|ka ＋b ＋c |>1(k ∈R)，求k 的取值范围．解：(1)证法1∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ，b ，c 之间夹角均为120°，
∴(a －b )·c ＝a ·c －b ·c ＝|a ||c |cos120°－|b ||c |cos120°＝0，
∴(a －b )⊥c
.
证法2如图所示，设＝a ，＝b ，＝c .由题意可知，连接
OA → OB → OC
→ AB ，AC ，BC 的三条线段围成正三角形ABC ，O 为△ABC 的中心，
∴OC ⊥AB ，又∵＝a －b ，∴(a －b )⊥c .
BA
→ (2)∵|ka ＋b ＋c |>1，
即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2ka ·b ＋2ka ·c ＋2b ·c >1，
∵a ·b ＝a ·c ＝b ·c ＝cos120°＝－，1
2∴k 2－2k >0，解得k <0，或k >2.即k 的取值范围是k <0，或k >2.
12．(本小题15分)平面直角坐标系内有点P (1，cos x )，Q (cos x,1)，x ∈[－，]．
π
4π
4(1)求向量和向量的夹角θ的余弦值；OP → OQ
→ (2)令f (cos x )＝cos θ，求f (cos x )的最小值．解：(1)由题意得，
＝(1，cos x )，＝(cos x,1)．OP → OQ
→ ∴·＝2cos x .OP → OQ
→ 又∵||＝，OP
→ 1＋cos2x ||＝，
OQ
→ 1＋cos2x ∴cos θ＝＝.
OP → ·OQ →
|OP → ||OQ →
|
2cos x 1＋cos2x ∴向量和向量的夹角θ的余弦值为.
OP → OQ
→
2cos x 1＋cos2x (2)由(1)得
f (cos x )＝，x ∈[－，]．
2cos x
1＋cos2x π4π
4设t ＝cos x ，则≤t ≤1.
2
2∴f (t )＝＝
，≤t ≤1.
2t
1＋t 22
t ＋1
t 22
可以证明，当≤t ≤1时，t ＋为减函数，
221
t 则f (t )＝是增函数．2t
1＋t 2∴f (cos x )的最小值是
f ()＝
＝.2
22×221＋(2
2)2
22
3。