2020年山东省德州市中考数学试卷及答案解析
2020年山东省德州市中考数学试卷和答案解析
2020年山东省德州市中考数学试卷和答案解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（4分）|﹣2020|的结果是（）A．B．2020C．﹣D．﹣2020解析：根据绝对值的性质直接解答即可．参考答案：解：|﹣2020|＝2020；故选：B．点拨：此题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键，是一道基础题．2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．参考答案：解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．故选：B．点拨：此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．（4分）下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a3解析：利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案．参考答案：解：6a﹣5a＝a，因此选项A不符合题意；a2•a3＝a5，因此选项B符合题意；（﹣2a）2＝4a2，因此选项C不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项D不符合题意；故选：B．点拨：考查整式的意义和运算，掌握运算法则是正确计算的前提．4．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图解析：根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．参考答案：解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．∴不改变的是左视图和俯视图．故选：D．点拨：本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭45678次数人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4B．5C．6D．7解析：利用加权平均数的计算方法进行计算即可．参考答案：解：＝＝6（次），故选：C．点拨：本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义是正确解答的前提．6．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米解析：根据多边形的外角和即可求出答案．参考答案：解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．点拨：本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．7．（4分）函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．解析：根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．参考答案：解：在函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．点拨：本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．8．（4分）下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4解析：根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可．参考答案：解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；故选：B．点拨：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9．（4分）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2解析：分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x≤2可得关于a的不等式，解之可得．参考答案：解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．点拨：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π解析：设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB 的面积，再根据S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）求解即可．参考答案：解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S 弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S 阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．点拨：本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小解析：根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．参考答案：解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c ＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．点拨：本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202解析：观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．参考答案：解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．点拨：考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）﹣＝．解析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．参考答案：解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．点拨：此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．14．（4分）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是120度．解析：根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．参考答案：解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为：120．点拨：此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为y＝．解析：直接利用位似图形的性质得出A′坐标，进而求出函数解析式．参考答案：解：∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y＝．故答案为：y＝．点拨：此题主要考查了位似变换以及待定系数法求反比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为20．解析：解方程得出x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．参考答案：解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．故答案为：20．点拨：本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．17．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．解析：直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案．参考答案：解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：＝．故答案为：．点拨：此题主要考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD 沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E 顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是①②④．解析：由折叠的性质可得∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，可证四边形ADED'是正方形，可得AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE ＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，可求A'F＝﹣2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED'＝30°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∠A'AF＝7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE＝∠D''GE＝52.5°，可证△AFA'∽△EFG，可判断④，即可求解．参考答案：解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'＝，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF＝＝＝2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F＝﹣2，故①正确；∵tan∠FED'＝＝＝，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度＝＝π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AFA'＝∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．点拨：本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x 值代入求值．解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．参考答案：解：＝＝＝，把x＝1代入．点拨：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有50人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为36%；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．解析：（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图即可：（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），由88＞84.5，即可得出结论；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．参考答案：解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；故答案为：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图：（3）能获奖．理由如下：∵本次比赛参赛选手50人，∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），又∵88＞84.5，∴能获奖；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率＝＝．点拨：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B 的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．解析：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD ＝60°，解直角三角形即可得到结论．参考答案：解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，∴AD＝＝20，∴BE＝AD＝20，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，∴CE＝20＝20，∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，∴AB＝ED＝40（米），答：楼房的高度为40米．点拨：此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB 的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．解析：（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD＝AOB＝90°，根据平行线的性质得到∠ODH＝90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB＝10，解直角三角形得到AC＝＝8，求得∠CAD＝∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH ＝∠OBD＝45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．参考答案：（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．点拨：本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？解析：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．根据等量关系：第一次花60元买A型画笔的支数＝第二次花100元买B型画笔的支数列出方程，求解即可；（2）根据超市给出的优惠方案，分x≤20与x＞20两种情况进行讨论，利用售价＝单价×数量分别列出y关于x的函数关系式；（3）将y＝270分别代入（2）中所求的函数解析式，根据x的范围确定答案．参考答案：解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．根据题意得，＝，解得a＝5．经检验，a＝5是原方程的解．答：超市B型画笔单价为5元；（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x，当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．所以，y关于x的函数关系式为y＝（其中x是正整数）；（3）当4.5x＝270时，解得x＝60，∵60＞20，∴x＝60不合题意，舍去；当4x+10＝270时，解得x＝65，符合题意．答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．点拨：本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是：（1）理解题意找到等量关系列出方程；（2）理解超市给出的优惠方案，进行分类讨论，得出函数关系式；（3）根据函数关系式中自变量的取值范围对答案进行取舍．24．（12分）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD 是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE ＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：SAS；（2）AD的取值范围是1＜AD＜5；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF 并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．解析：（1）由“SAS”可证△BED≌△CAD；（2）由全等三角形的性质可得AC＝BE＝4，由三角形的三边关系可求解；（3）延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性质可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；（4）延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通过证明△BEC ∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性质可得结论．参考答案：解：（1）∵AD是中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案为：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，∵点G是DF的中点，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝，＝，∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝，且CD＝NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG ＝NC，∴EG＝GC．点拨：本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为PA＝PM，其理由为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（﹣2，﹣2）（0，﹣1）（2，﹣2）（4，﹣5）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是抛物线．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．解析：（1）由题意可得GH是AM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可求解；（2）由（1）可知：PA＝PM，利用两点距离公式可求点P坐标；（3）依照题意，画出图象；（4）由两点距离公式可得﹣y＝，可求y关于x的函数解析式；（5）由两点距离公式可求BC＝OB＝OC，可证△BOC是等边三角形，可得∠BOC＝60°，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，可得∠BEC＝30°，则当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，求出点E的纵坐标即可求解．参考答案：解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，∴GH是AM的垂直平分线，∵点P是GH上一点，∴PA＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），故答案为：PA＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）∵PA＝PM，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣2），当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）∵PA＝PM，∴﹣b＝，∴b＝﹣5，∴点P（4，﹣5），故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；（3）依照题意，画出图象，猜想曲线L的形状为抛物线，故答案为：抛物线；（4）∵PA＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴﹣y＝，∴y＝﹣x2﹣1；（5）∵点B（﹣1，），C（1，），∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，∴BC＝OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC＝30°，设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n＝﹣m2﹣1，∵OE＝OB＝2，∴＝2，∴n 1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去），如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2﹣2．点拨：本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，圆的有关知识，两点距离公式等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．。
2020年山东省德州市中考数学试题(word版,含答案)
考生须知1．考生应按规定的时间入场，开始考试后15分钟禁止迟到考生进入考场。
2．考生入场时须主动出示《准考证》以及有效身份证件(身份证、军人、武警人员证件、未成年人的户口本、公安户籍部门开具的《身份证》号码证明、护照或者港、澳、台同胞证件)，接受考试工作人员的核验，并按要求在“考生花名册”上签自己的姓名。
3．考生只准携带必要的文具入场,如铅笔、签字笔、毛笔、水粉水彩颜料等，具体要求见招考简章。
禁止携带任何已完成作品以及各种无线通信工具(如寻呼机、移动电话)等物品。
如发现考生携带以上禁带物品，考生将作为违纪处理，取消该次考试成绩。
考场内不得擅自相互借用文具。
4．考生入场后按号入座，将本人《准考证》以及有效身份证件放在课桌上，以便核验。
5．考生答题前应认真填写试卷及答题纸上的姓名、准考证号等栏目并粘贴带有考生个人信息的条形码。
凡不按要求填写或字迹不清、无法辨认的，试卷及答题纸一律无效。
责任由考生自付。
6．开考后，考生不得中途退场。
如因身体不适要求中途退场，须征得监考人员及考点主考批准，并在退场前将试卷、答题纸如数上交。
7．考生遇试卷分发错误或试题字迹不清等情况应及时要求更换；涉及试题内容的疑问，不得向监考人员询问。
8．考生在考场内必须严格遵守考场纪律，对于违反考场规定、不服从监考人员管理和舞弊者，取消当次考试成绩。
9．考试结束铃声响时，考生要立即停止答题，并将试卷、答题纸按要求整理好，翻放在桌上，待监考人员收齐后方可离开考场。
任何考生不准携带试卷、答题纸离开考场。
离开考场后不准在考场附近逗留和交谈。
试卷第1页，总8页德州市二○二○年初中学业水平考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来.每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分.1.的结果是（ ） A.B.2020C. D.－20202.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（ ）A.B.C.D.4.如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形，若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A.主视图B.主视图和左视图C.主视图和俯视图D.左视图和俯视图5.为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表： 一周做饭次数4 5 6 7 8 人数 7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（ ）A.4B.5C.6D.76.如图，小明从点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°……照这样走下去，他第一次回到出发点时，共走路程为（）2020-1202012020-651a a -=235a a a ⋅=22(2)4a a -=-62a a a ÷=A AA.80米B.96米C.64米D.48米7.函数和（）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ） A.B. C. D.8.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形； ④对角线相等的平行四边形是矩形. 其中真命题的个数是（ ） A.1B.2C.3D.49.若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.10.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A.B. C. D.11.二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）ky x=2y kx =-+0k ≠x 2242332x x x x a--⎧>⎪⎨⎪->--⎩2x <a 2a ≥2a <-2a >2a ≤4π-4π+8π+4π+2y ax bx c =++A.若，是图象上的两点，则B.C.方程有两个不相等的实数根D.当时，随的增大而减小12.下面是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A.148B.152C.174D.202第Ⅱ卷（非选择题共102分）二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分.13._________.14.若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则该圆锥侧面展开图的圆心角是_________度. 15.在平面直角坐标系中，点的坐标是，以原点为位似中心，把线段放大为原来的2倍，点的对应点为.若点恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数的解析式为_________.16.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为_________. 17.如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是_________.()12,y -()25,y 12y y >30a c +=22ax bx c ++=-0x ≥y x =2cm 6cm A (2,1)-O OA A A 'A '29200x x -+=18.如图，在矩形中，，把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点.交于点，连接.有如下结论：①；②弧；③；④.上述结论中，所有正确的序号是_________.三、解答题：本大题共7小题，共78分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.先化简：，然后选择一个合适的值代入求值. 20.某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图.部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有_________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为_________； （2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；ABCD 2AB =+AD =AD AE D AB D 'AED '∆E αA ED '''∆EA 'BD 'F A D '''AB G AA 'A F '2-D D '''A AF A EG ''∆∆≌AA F EGF '∆∆∽2124244x x x x x x x -+-⎛⎫-÷⎪--+⎝⎭x（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率.21.如图，无人机在离地面60米的处，观测楼房顶部的俯角为30°，观测楼房底部的俯角为60°，求楼房的高度.22.如图，点在以为直径的上，点是半圆的中点，连接，，，，过点作交的延长线于点.（1）求证：直线是的切线；（2）若，，求，的长.23.小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支型画笔，第二次超市推荐了型画笔，但型画笔比型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的型画笔. （1）超市型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折.设小刚购买的型画笔支，购买费用为元，请写出关于的函数关系式. （3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买型画笔，则能购买多少支型画笔？ 24.问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围.她的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.C B A C AB OD AB AC BC AD BD D //DH AB CB H DH O 10AB =6BC =AD BH A B B A B B B B B x y y x B B ABC ∆6AB =4AC =AD AD ADE DE AD =BE BED CAD ∆∆≌请回答：（1）小红证明的判定定理是：___________________________； （2）的取值范围是__________________； 方法运用：（3）如图2，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，使，求证：.（4）如图3，在矩形中，，在上取一点，以为斜边作，且，点是的中点，连接，，求证：.25.如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标是，在轴上任取一点，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，过点作轴的垂线交直线于点.根据以上操作，完成下列问题.BED CAD ∆∆≌AD AD ABC ∆AD F BF AC E AE EF =BF AC =ABCD 12AB BC =BD F BF Rt BEF ∆12EF BE =G DF EG CG EG CG =A (0,2)-x M AM A M 12AM G H GH M x l GH P探究：（1）线段与的数量关系为_________，其理由为：__________________.（2）在轴上多次改变点的位置，按上述作图方法得到相应点的坐标，并完成下列表格：的坐标 …… 的坐标……猜想：（3）请根据上述表格中点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线，猜想曲线的形状是_________.验证：（4）设点的坐标是，根据图1中线段与的关系，求出关于的函数解析式. 应用：（5）如图3，点，，点为曲线上任意一点，且，求点的纵坐标的取值范围.德州市二○二○年初中学业水平考试PA PM x M P M (2,0)-(0,0)(2,0)(4,0)P (0,1)-(2,2)-P L L P (,)x y PA PM y x (B -C D L 30BDC ∠<︒D D y数学试题参考解答及评分意见一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BBBDCCDBAADC二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.14.120；15.；16.20；17. 18.①②④.三、解答题：（本大题共7小题，共78分）19.解：原式求值：略 20.解：（1）50 36%；（2）如图（3）能获奖.理由：因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为（人） 由频数直方图可得84.5~99.5这一范围人数恰好人， 又，所以能获奖.（4）设前四名获奖者分别为男1，男2，女1，女2，由题意可列树状图为：8y x -=162124244x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫=-÷⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭2(1)(2)(2)4(2)(2)(2)x x x x xx x x x x ⎡⎤-+--=-÷⎢⎥---⎣⎦2224(2)(2)4x x x x x x x --+-=⋅--24(2)(2)4x x x x x--=⋅--2x x-=5040%20⨯=88420++=8884.5>由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，所以（一男一女为主持人）.答：恰好选中一男一女为主持人的概率为. 21.解：过点作交于点， 由题意知，，. 在中， ∴ ∴在中， ∴ ∴∴（米） 答；这栋楼高为40米22.证明：（1）连接∵是的直径，是半圆的中点∴ ∵P 82123==23B BE CD ⊥CD E 30CBE ∠=︒60CAD ∠=︒Rt ACD ∆tan tan 60CDCAD AD∠=︒==AD ==BE AD ==Rt BCE ∆tan tan 30CE CBE BE ∠=︒==20CE ==602040ED CD CE =-=-=40AB ED ==OD AB O D AB 1902AOD AOB ∠=∠=︒//DH AB∴∴∴是的切线（2）连接∴是的直径∴，又是半圆的中点∴ ∴∴是等腰直角三角形∵∴ ∵，∴在中∵四边形是圆内接四边形∴∵∵由（1）知，∴∵∴∵∴∴解得90ODH ∠=︒OD DH ⊥DH O CD AB O 90ADB ∠=︒90ACB ∠=︒D ABAD DB =AD DB =ABD ∆10AB =10sin 10sin 4510AD ABD =∠=︒==10AB =6BC =Rt ABC ∆8AC ==ACBD 180CAD CBD ∠+∠=︒180DBH CBD ∠+∠=︒CAD DBH ∠=∠90AOD ∠=︒45OBD ∠=︒45ACD ∠=︒//DH AB 45BDH OBD ∠=∠=︒ACD BDH ∠=∠ACD BDH ∆∆∽AC AD BD BH ==254BH =22.解：（1）设超市型画笔单价元，则型画笔单价为元，由题意列方程得， 解得经检验，是原方程的解答：超市型画笔单价为5元（2）由题意知，当小刚购买的型画笔支数时，费用为当小刚购买的型画笔支数时，费用为 所以其中是正整数 （3）当时，解得，因为，故不符合题意，舍去.当时，，符合题意答：小刚能购买65支型画笔.24.解：（1）（2）（3）证明：延长至点，使∵是的中线∴在和中∴∴，又∵B a A (2)a -601002a a =-5a =5a =B B 20x ≤0.95 4.5y x x =⨯=B 20x >200.95(20)0.85410y x x =⨯⨯+-⨯⨯=+4.5,120410,20x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩x 4.5270x =60x =6020>410270x +=65x =B SAS 15AD <<AD A 'A D AD '=AD ABC ∆BD CD =ADC ∆A DB '∆AD A D ADC A DB CD BD '=⎧⎪'∠=∠⎨⎪=⎩ADC A DB '∆∆≌CAD A '∠=∠AC A B '=AE EF =∵∴又∵∴∴，又∵∵（4）证明：延长至点使，连接、、∵为的中点∴在和中∴∴，在中，∵∴ 又矩形中， ∴∴， ∴又∴∴又为的外角∴CAD AFE ∠=∠A AFE '∠=∠AFE BFD ∠=∠BFD A '∠=∠BF A B '=A B AC '=BF AC =CG H HG CG =HF CE HE G FD FG DG =HGF ∆CGD ∆HG CG HGF CGD FG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩HGF CGD ∆∆≌HF CD =HFG CDG ∠=∠Rt BEF ∆12EF BE =1tan 2EBF ∠=ABCD 12AB BC =12AB AD =1tan 2ADB ∠=EBF ADB ∠=∠//AD BC ADB DBC ∠=∠EBF ADB DBC ∠=∠=∠EFD ∠BEF ∆EFD EBF BEF ∠=∠+∠即∵∴∴即在和中， ∴ 又∴∴∴∴∴是直角三角形∵为的中点∴ 即.25.解：（1） 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（2）的坐标… … 的坐标… …（3）草图见图2；形状：抛物线90EFH HFD EBF ∠+∠=∠+︒90ADB BDC ∠+∠=︒EFH HFD EBF ADB BDC ∠+∠=∠+∠+∠2EFH EBF ∠=∠EFH EBC ∠=∠EFH ∆EBC ∆12EF BE =12HF BC =EF HF BE BC=EBC EFH ∠=∠EFH EBC ∆∆∽FEH BEC ∠=∠HEC CEF BEF CEF ∠+∠=∠+∠90HEC BEF ∠=∠=︒CEH ∆G CH 12EG CH =EG CG =PA PM =M (2,0)-(0,0)(2,0)(4,0)P (2,2)--(0,1)-(2,2)-(4,5)-（4）如图1，过点作轴于点，，，在中，即化简，得 所以关于的函数解析式为.（5）连接，，易得，又∴为等边三角形，∴当时，在的外接圆上，弧所对的圆心角为60° 其圆心在的垂直平分线轴上，∴的外接圆圆心为坐标原点，设，则，即①又点在该抛物线上P PE y ⊥E ||PA PM y ==|2|AE OE OA y =-=+||PE x =Rt PAE ∆222PA AE PE =+222|||||2|y x y =++2114y x =--y x 2114y x =--OB OC 2OB OC ==2BC =OBC ∆60BOC ∠=︒30BDC ∠=︒BDC ∆BC BC y BDC ∆O (,)D a b 2OD =2222a b +=D∴ ② 由①②联立解得：（舍去） 数形结合可得，当时，点的纵坐标的取值范围为2114b a =--12b=-22b =+30BDC ∠<︒D D y 02y <-。
2020年山东省德州市中考数学试卷含答案解析
2020年山东省德州市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．|﹣2020|的结果是（）A．B．2020C．﹣D．﹣20202．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a34．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图5．为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4B．5C．6D．76．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米7．函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．8．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤210．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小12．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．﹣＝．14．若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是度．15．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为．16．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为．17．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？24．（12分）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范围是；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（0，﹣1）（2，﹣2）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．2020年山东省德州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．|﹣2020|的结果是（）A．B．2020C．﹣D．﹣2020解：|﹣2020|＝2020；故选：B．2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．故选：B．3．下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a3解：6a﹣5a＝a，因此选项A不符合题意；a2•a3＝a5，因此选项B符合题意；（﹣2a）2＝4a2，因此选项C不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项D不符合题意；故选：B．4．如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．∴不改变的是左视图和俯视图．故选：D．5．为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4B．5C．6D．7解：＝＝6（次），故选：C．6．如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．7．函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．解：在函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．8．下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；故选：B．9．若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．10．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．11．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．12．如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．﹣＝．解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．14．若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是120度．解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为：120．15．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为y＝．解：∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y＝．故答案为：y＝．16．菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为20．解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．故答案为：20．17．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：＝．故答案为：．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是①②④．解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'＝，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF＝＝＝2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F＝﹣2，故①正确；∵tan∠FED'＝＝＝，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度＝＝π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AF A'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AF A'＝∠EFG，∴△AF A'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．解：＝＝＝，把x＝1代入．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有50人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为36%；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；故答案为：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图：（3）能获奖．理由如下：∵本次比赛参赛选手50人，∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），又∵88＞84.5，∴能获奖；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率＝＝．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，∴AD＝＝20，∴BE＝AD＝20，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，∴CE＝20＝20，∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，∴AB＝ED＝40（米），答：楼房的高度为40米．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．根据题意得，＝，解得a＝5．经检验，a＝5是原方程的解．答：超市B型画笔单价为5元；（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x，当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．所以，y关于x的函数关系式为y＝（其中x是正整数）；（3）当4.5x＝270时，解得x＝60，∵60＞20，∴x＝60不合题意，舍去；当4x+10＝270时，解得x＝65，符合题意．答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．24．（12分）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：SAS；（2）AD的取值范围是1＜AD＜5；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．解：（1）∵AD是中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案为：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，∵点G是DF的中点，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝，＝，∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝，且CD＝NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG＝NC，∴EG＝GC．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为P A＝PM，其理由为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（﹣2，﹣2）（0，﹣1）（2，﹣2）（4，﹣5）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是抛物线．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H 两点，∴GH是AM的垂直平分线，∵点P是GH上一点，∴P A＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），故答案为：P A＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）∵P A＝PM，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣2），当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）∵P A＝PM，∴﹣b＝，∴b＝﹣5，∴点P（4，﹣5），故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；（3）依照题意，画出图象，猜想曲线L的形状为抛物线，故答案为：抛物线；（4）∵P A＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴﹣y＝，∴y＝﹣x2﹣1；（5）∵点B（﹣1，），C（1，），∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，∴BC＝OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC＝30°，设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n＝﹣m2﹣1，∵OE＝OB＝2，∴＝2，∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去），如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2﹣2．。
山东省德州市2020年中考数学试卷
（1）线段PA与PM的数量关系为________，其理由为：________．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
…
P的坐标
…
…
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是________．
当时y随x的增大而减小选项d不符合题意由对称性可知时的函数值与时的函数值相等则当时函数值为则选项a符合题意又当时即选项b符合题意由函数的图象可知二次函数的图象与x轴有两个交点则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点因此关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根即方程有两个不相等的实数根选项c符合题意故答案为
（2）AD的取值范围是________；
（3）方法运用：
如图2，AD是 的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使 ，求证： ．
（4）如图3，在矩形ABCD中， ，在BD上取一点F，以BF为斜边作 ，且 ，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证： ．
25.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是 ，在x轴上任取一点M．连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形，是假命题；
④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的判定，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定逐一判断即可．
9.【解析】【解答】解：解不等式 ＞ ，得： ，
解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
2020年山东省德州市中考数学试卷解析版
2020年山东省德州市中考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.计算|-2020|的结果是（）A. -2020B. 2020C. -D.2.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A. B. C. D.3.下列运算正确的是（）A. 6a-5a=1B. a2•a3=a5C. （-2a）2=-4a2D. a6÷a2=a34.如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A. 主视图B. 主视图和左视图C. 主视图和俯视图D. 左视图和俯视图5.为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，一周做饭次45678数人数7612105A. 4B. 5C. 6D. 76.如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A. 80米B. 96米C. 64米D. 48米7.函数y=和y=-kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A. B.C. D.8.下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 49.若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A. a≥2B. a＜-2C. a＞2D. a≤210.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A. 24-4πB. 12+4πC. 24+8πD. 24+4π11.二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A. 若（-2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B. 3a+c=0C. 方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根D. 当x≥0时，y随x的增大而减小12.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A. 148B. 152C. 174D. 202二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.-=______．14.若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是______度．15.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（-2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为______．16.菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2-9x+20=0的一个根，则该菱形的周长为______．17.如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=+2，AD=．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是-2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．20.某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有______人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为______；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．21.如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．22.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB=10，BC=6，求AD，BH的长．23.小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B 型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？24.问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：______；（2）AD的取值范围是______；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，=，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且=，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG．25.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，-2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段PA与PM的数量关系为______，其理由为：______．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（-2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…______ （0，-1）（2，-2）______ …（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是______．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x 的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（-1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC ＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：|-2020|=2020；故选：B．根据绝对值的性质直接解答即可．此题考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键，是一道基础题．2.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】B【解析】解：6a-5a=a，因此选项A不符合题意；a2•a3=a5，因此选项B符合题意；（-2a）2=4a2，因此选项C不符合题意；a6÷a2=a6-2=a4，因此选项D不符合题意；故选：B．利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案．考查整式的意义和运算，掌握运算法则是正确计算的前提．4.【答案】D【解析】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．∴不改变的是左视图和俯视图．故选：D．根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看得到的图形，可得答案．本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的意义是解题关键．5.【答案】C【解析】解：==6（次），故选：C．利用加权平均数的计算方法进行计算即可．本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义是正确解答的前提．6.【答案】C【解析】解：根据题意可知，他需要转360÷45=8次才会回到原点，所以一共走了8×8=64（米）．故选：C．根据多边形的外角和即可求出答案．本题主要考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数．任何一个多边形的外角和都是360°．7.【答案】D【解析】解：在函数y=和y=-kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数y=的图象在第一、三象限，函数y=-kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数y=的图象在第二、四象限，函数y=-kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．8.【答案】B【解析】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；故选：B．根据平行四边形的判定、菱形的判定、正方形和矩形的判定判断即可．本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．9.【答案】A【解析】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为x≤2可得关于a的不等式，解之可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.【答案】A【解析】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA=OB=AB=4，∴S弓形AmB=S扇形OAB-S△AOB=-×42=π-4，∴S阴=6•（S半圆-S弓形AmB）=6•（•π•22-π+4）=24-4π，故选：A．设正六边形的中心为O，连接OA，OB首先求出弓形AmB的面积，再根据S阴=6•（S半圆-S弓形AmB）求解即可．本题考查正多边形和圆，扇形的面积，弓形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11.【答案】D【解析】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，a＜0，∴点（-1，0）关于直线x=1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（-2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（-1，0），（3，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0①，9a+3b+c=0②，①×3+②得：12a+4c=0，∴3a+c=0，故B选项不符合题意；当y=-2时，y=ax2+bx+c=-2，由图象得：纵坐标为-2的点有2个，∴方程ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x=1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n-1）=n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4=100+70+4=174（枚）．故选：C．观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n=10进行计算即可求解．考查了规律型：图形的变化类，观察图形，发现后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子是解题的关键．13.【答案】【解析】解：原式=3-=2．故答案为：2．先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．此题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，难度一般．14.【答案】120【解析】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2=4π（cm），设圆心角的度数是n度．则=4π，解得：n=120．故答案为：120．根据圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长，首先求得展开图的弧长，然后根据弧长公式即可求解．此题主要考查了圆锥的有关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．15.【答案】y=【解析】解：∵点A的坐标是（-2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（-4，2）或（4，-2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y=．故答案为：y=．直接利用位似图形的性质得出A′坐标，进而求出函数解析式．此题主要考查了位似变换以及待定系数法求反比例函数解析式，正确得出对应点坐标是解题关键．16.【答案】20【解析】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵x2-9x+20=0，因式分解得：（x-4）（x-5）=0，解得：x=4或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长=4AB=20．故答案为：20．解方程得出x=4或x=5，分两种情况：①当AB=AD=4时，4+4=8，不能构成三角形；②当AB=AD=5时，5+5＞8，即可得出菱形ABCD的周长．本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出AB是解决问题的关键．17.【答案】【解析】解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：=．故答案为：．直接利用轴对称图形的性质结合概率求法得出答案．此题主要考查了利用轴对称设计图案以及几何概率，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．18.【答案】①②④【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D=∠AD'E=90°=∠DAD'，AD=AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD=AD'=，∴四边形ADED'是正方形，∴AD=AD'=D'E=DE=，AE=AD=，∠EAD'=∠AED'=45°，∴D'B=AB-AD'=2，∵点F是BD'中点，∴D'F=1，∴EF===2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE=A'E=，∠D'ED''=α，∠EA'D''=∠EAD'=45°，∴A'F=-2，故①正确；∵tan∠FED'===，∴∠FED'=30°∴α=30°+45°=75°，∴弧D'D″的长度==π，故②正确；∵AE=A'E，∠AEA'=75°，∴∠EAA'=∠EA'A=52.5°，∴∠A'AF=7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AFA'=120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E=D''E，EG=EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE=∠D''GE，∵∠AGD''=∠A'AG+∠AA'G=105°，∴∠D'GE=52.5°=∠AA'F，又∵∠AFA'=∠EFG，∴△AFA'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．由折叠的性质可得∠D=∠AD'E=90°=∠DAD'，AD=AD'，可证四边形ADED'是正方形，可得AD=AD'=D'E=DE=，AE=AD=，∠EAD'=∠AED'=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE=A'E=，∠D'ED''=α，∠EA'D''=∠EAD'=45°，可求A'F=-2，可判断①；由锐角三角函数可求∠FED'=30°，由弧长公式可求弧D'D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可求∠EAA'=∠EA'A=52.5°，∠A'AF=7.5°，可判断③；由“HL”可证Rt△ED'G≌Rt△ED''G，可得∴∠D'GE=∠D''GE=52.5°，可证△AFA'∽△EFG，可判断④，即可求解．本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，弧长公式，等腰三角形的在，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．19.【答案】解：===，把x=1代入．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20.【答案】50 36%【解析】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%=50（人），“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%=10%，∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%-24%-10%-30%=36%；故答案为：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%=15（人），∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15-8=7（人），∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%=18（人），∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18-8=10（人）；补全图2频数直方图：（3）能获奖．理由如下：∵本次比赛参赛选手50人，∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%=20（人），又∵88＞84.5，∴能获奖；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率==．（1）用“89.5～99.5”的人数除以它们所占的百分比可得到调查的总人数；59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比，即可得出答案；（2）求出“69.5～74.5”这一范围的人数为15-8=7（人），“79.5～84.5”这一范围的人数为18-8=10（人）；补全图2频数直方图即可：（3）求出成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%=20（人），由88＞84.5，即可得出结论；（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．21.【答案】解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE=30°，∠CAD=60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD=tan60°==，∴AD==20，∴BE=AD=20，在Rt△BCE中，tan∠CBE=tan30°==，∴CE=20=20，∴ED=CD-CE=60-20=40，∴AB=ED=40（米），答：楼房的高度为40米．【解析】过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE=30°，∠CAD=60°，解直角三角形即可得到结论．此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，用到的知识点是俯角的定义、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形．22.【答案】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD=AOB=90°，∵DH∥AB，∴∠ODH=90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∵点D是半圆AB的中点，∴=，∴AD=DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB=10，∴AD=10sin∠ABD=10sin45°=10×=5，∵AB=10，BC=6，∴AC==8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD=180°，∵∠DBH+∠CBD=180°，∴∠CAD=∠DBH，由（1）知∠AOD=90°，∠OBD=45°，∴∠ACD=45°，∵DH∥AB，∴∠BDH=∠OBD=45°，∴∠ACD=∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴=，解得：BH=．【解析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠AOD=AOB=90°，根据平行线的性质得到∠ODH=90°，于是得到结论；（2）连接CD，根据圆周角定理得到∠ADB=∠ACB=90°，推出△ABD是等腰直角三角形，得到AB=10，解直角三角形得到AC==8，求得∠CAD=∠DBH，根据平行线的性质得到∠BDH=∠OBD=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．23.【答案】解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a-2）元．根据题意得，=，解得a=5．经检验，a=5是原方程的解．答：超市B型画笔单价为5元；（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y=0.9×5x=4.5x，当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y=0.9×5×20+0.8×5（x-20）=4x+10．所以，y关于x的函数关系式为y=（其中x是正整数）；（3）当4.5x=270时，解得x=60，∵60＞20，∴x=60不合题意，舍去；当4x+10=270时，解得x=65，符合题意．答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．【解析】（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a-2）元．根据等量关系：第一次花60元买A型画笔的支数=第二次花100元买B型画笔的支数列出方程，求解即可；（2）根据超市给出的优惠方案，分x≤20与x＞20两种情况进行讨论，利用售价=单价×数量分别列出y关于x的函数关系式；（3）将y=270分别代入（2）中所求的函数解析式，根据x的范围确定答案．本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用等知识，解题的关键是：（1）理解题意找到等量关系列出方程；（2）理解超市给出的优惠方案，进行分类讨论，得出函数关系式；（3）根据函数关系式中自变量的取值范围对答案进行取舍．24.【答案】SAS1＜AD＜5【解析】解：（1）∵AD是中线，∴BD=CD，又∵∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案为：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC=BE=4，在△ABE中，AB-BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）如图2，延长AD至H，使AD=DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，又∵∠ADC=∠BDH，AD=DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC=BH，∠CAD=∠H，∵AE=EF，∴∠EAF=∠AFE，∴∠H=∠BFH，∴BF=BH，∴AC=BF；（4）如图3，延长CG至N，使NG=CG，连接EN，CE，NF，∵点G是DF的中点，∴DG=GF，又∵∠NGF=∠DGC，CG=NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD=NF，∠CDB=∠NFG，∵=，=，∴tan∠ADB=，tan∠EBF=，∴∠ADB=∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠EBF=∠DBC，∴∠EBC=2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB=90°，∠DBC+∠BDC=90°，∴∠EFB=∠BDC=∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC=180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG=180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN=180°，∴∠EFN=2∠DBC，∴∠EBC=∠EFN，∵=，且CD=NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC=∠FEN，∴∠BEF=∠NEC=90°，又∵CG=NG，∴EG=NC，∴EG=GC．（1）由“SAS”可证△BED≌△CAD；（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=4，由三角形的三边关系可求解；（3）延长AD至H，使AD=DH，连接BH，由“SAS”可证△BHD≌△CAD，可得AC=BH，∠CAD=∠H，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH，可得BF=BH=AC；（4）延长CG至N，使NG=CG，连接EN，CE，NF，由“SAS”可证△NGF≌△CGD，可得CD=NF，∠CDB=∠NFG，通过证明△BEC∽△FEN，可得∠BEC=∠FEN，可得∠BEF=∠NEC=90°，由直角三角形的性质可得结论．本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．25.【答案】PA=PM线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（-2，-2）（4，-5）抛物线【解析】解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，∴GH是AM的垂直平分线，∵点P是GH上一点，∴PA=PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），故答案为：PA=PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点M（-2，0）时，设点P（-2，a），（a＜0）∵PA=PM，∴-a=，∴a=-2，∴点P（-2，-2），当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）∵PA=PM，∴-b=，∴b=-5，∴点P（4，-5），故答案为：（-2，-2），（4，-5）；（3）依照题意，画出图象，猜想曲线L的形状为抛物线，故答案为：抛物线；（4）∵PA=PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴-y=，∴y=-x2-1；（5）∵点B（-1，），C（1，），∴BC=2，OB==2，OC==2，∴BC=OB=OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC=60°，如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC=30°，设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n=-m2-1，∵OE=OB=2，∴=2，∴n1=2-2，n2=2+2（舍去），如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2-2．（1）由题意可得GH是AM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可求解；（2）由（1）可知：PA=PM，利用两点距离公式可求点P坐标；（3）依照题意，画出图象；（4）由两点距离公式可得-y=，可求y关于x的函数解析式；（5）由两点距离公式可求BC=OB=OC，可证△BOC是等边三角形，可得∠BOC=60°，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，可得∠BEC=30°，则当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，求出点E的纵坐标即可求解．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，圆的有关知识，两点距离公式等知识，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．。
2020年山东省德州市中考数学试卷(解析版)
德州市二○二○年初中学业水平考试 数学试题参考解答及评分意见一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13.14.120；15.8y x -=；16.20；17.1618.①①①. 三、解答题：（本大题共7小题，共78分）19.解：原式2124244x x x x x x x -+-⎛⎫⎛⎫=-÷⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭2(1)(2)(2)4(2)(2)(2)x x x x xx x x x x ⎡⎤-+--=-÷⎢⎥---⎣⎦ 2224(2)(2)4x x x x x x x --+-=⋅-- 24(2)(2)4x x x x x--=⋅-- 2x x-= 求值：略 20.解：（1）50 36%；（2）如图（3）能获奖.理由：因为本次参赛选手共50人，所以前40%的人数为5040%20⨯=（人） 由频数直方图可得84.5~99.5这一范围人数恰好88420++=人， 又8884.5>，所以能获奖.（4）设前四名获奖者分别为男1，男2，女1，女2，由题意可列树状图为：由树状图可知共有12种等可能的结果，恰好选中一男一女为主持人的结果有8种，所以P （一男一女为主持人）82123==. 答：恰好选中一男一女为主持人的概率为23. 21.解：过点B 作BE CD ⊥交CD 于点E ， 由题意知，30CBE ∠=︒，60CAD ∠=︒.在Rt ACD ∆中，tan tan 60CDCAD AD∠=︒==①AD ==①BE AD ==在Rt BCE ∆中，tan tan 30CE CBE BE ∠=︒==①20CE == ①602040ED CD CE =-=-= ①40AB ED ==（米） 答；这栋楼高为40米22.证明：（1）连接OD①AB 是O 的直径，D 是半圆AB 的中点 ①1902AOD AOB ∠=∠=︒ ①//DH AB ①90ODH ∠=︒①OD DH ⊥ ①DH 是O 的切线 （2）连接CD ①AB 是O 的直径①90ADB ∠=︒，90ACB ∠=︒ 又D 是半圆AB 的中点 ①AD DB = ①AD DB =①ABD ∆是等腰直角三角形 ①10AB =①10sin 10sin 4510AD ABD =∠=︒==①10AB =，6BC =①在Rt ABC ∆中8AC == ①四边形ACBD 是圆内接四边形 ①180CAD CBD ∠+∠=︒ ①180DBH CBD ∠+∠=︒ ①CAD DBH ∠=∠由（1）知90AOD ∠=︒，45OBD ∠=︒ ①45ACD ∠=︒ ①//DH AB①45BDH OBD ∠=∠=︒ ①ACD BDH ∠=∠ ①ACD BDH ∆∆∽①AC ADBD BH =BH= 解得254BH =22.解：（1）设超市B 型画笔单价a 元，则A 型画笔单价为(2)a -元， 由题意列方程得，601002a a=- 解得5a =经检验，5a =是原方程的解 答：超市B 型画笔单价为5元 （2）由题意知，当小刚购买的B 型画笔支数20x ≤时，费用为0.95 4.5y x x =⨯=当小刚购买的B 型画笔支数20x >时，费用为200.95(20)0.85410y x x =⨯⨯+-⨯⨯=+ 所以 4.5,120410,20x x y x x ≤≤⎧=⎨+>⎩其中x 是正整数（3）当4.5270x =时，解得60x =，因为6020>，故不符合题意，舍去. 当410270x +=时，65x =，符合题意 答：小刚能购买65支B 型画笔. 24.解：（1）SAS （2）15AD <<（3）证明：延长AD 至点A '，使A D AD '= ①AD 是ABC ∆的中线 ①BD CD =在ADC ∆和A DB '∆中AD A DADC A DB CD BD '=⎧⎪'∠=∠⎨⎪=⎩①ADC A DB '∆∆≌①CAD A '∠=∠，AC A B '=又①AE EF = ①CAD AFE ∠=∠①A AFE '∠=∠又①AFE BFD ∠=∠①BFD A '∠=∠①BF A B '=，又①A B AC '= ①BF AC =（4）证明：延长CG 至点H 使HG CG =，连接HF 、CE 、HE ①G 为FD 的中点 ①FG DG =在HGF ∆和CGD ∆中HG CG HGF CGD FG DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①HGF CGD ∆∆≌①HF CD =，HFG CDG ∠=∠ 在Rt BEF ∆中，①12EF BE =①1tan 2EBF ∠= 又矩形ABCD 中，12AB BC = ①12AB AD =①1tan 2ADB ∠=， ①EBF ADB ∠=∠ 又//AD BC ①ADB DBC ∠=∠①EBF ADB DBC ∠=∠=∠ 又EFD ∠为BEF ∆的外角 ①EFD EBF BEF ∠=∠+∠ 即90EFH HFD EBF ∠+∠=∠+︒ ①90ADB BDC ∠+∠=︒①EFH HFD EBF ADB BDC ∠+∠=∠+∠+∠①2EFH EBF ∠=∠即EFH EBC ∠=∠ 在EFH ∆和EBC ∆中12EF BE =，12HF BC = ①EF HFBE BC= 又EBC EFH ∠=∠ ①EFH EBC ∆∆∽ ①FEH BEC ∠=∠①HEC CEF BEF CEF ∠+∠=∠+∠ ①90HEC BEF ∠=∠=︒ ①CEH ∆是直角三角形 ①G 为CH 的中点 ①12EG CH =即EG CG =.25.解：（1）PA PM = 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等（2）（3）草图见图2；形状：抛物线（4）如图1，过点P 作PE y ⊥轴于点E ，||PA PM y ==，|2|AE OE OA y =-=+，||PE x =在Rt PAE ∆中，222PA AE PE =+ 即222|||||2|y x y =++ 化简，得2114y x =-- 所以y 关于x 的函数解析式为2114y x =--.（5）连接OB ，OC ，易得2OB OC ==，又2BC = ①OBC ∆为等边三角形，①60BOC ∠=︒当30BDC ∠=︒时，在BDC ∆的外接圆上，弧BC 所对的圆心角为60° 其圆心在BC 的垂直平分线y 轴上， ①BDC ∆的外接圆圆心为坐标原点O ，设(,)D a b ，则2OD =，即2222a b +=①又点D 在该抛物线上 ①2114b a =-- ①由①①联立解得：12b =-22b =+数形结合可得，当30BDC ∠<︒时，点D 的纵坐标D y 的取值范围为02y <-多送一套2019年北京卷，不喜欢可以删除2019年北京市中考数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为 （A ）60.43910 （B ）64.3910（C ）54.3910（D ）3439102．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（A ） （B ） （C ） （D ）3．正十边形的外角和为（A ）180 （B ）360 （C ）720 （D ）14404．在数轴上，点A ，B 在原点O 的两侧，分别表示数a ，2，将点A 向右平移1个单位长度，得到点C ．若CO=BO ，则a 的值为（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）15．已知锐角①AOB 如图，（1）在射线OA 上取一点C ，以点O 为圆心，OC 长为半径作，交射线OB 于点D ，连接CD ；（2）分别以点C ，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点M ，N ；（3）连接OM ，MN ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是 （A ）①COM=①COD （B ）若OM=MN ，则①AOB=20°（C ）MN①CD（D ）MN=3CD6．如果1m n +=，那么代数式()22221m n m n m mn m +⎛⎫+⋅- ⎪-⎝⎭的值为（A ）3-（B ）1-（C ）1 （D ）37．用三个不等式a b >，0ab >，11a b <中的两个不等式作为题设，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）38．某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分．B下面有四个推断：①这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在24.5-25.5之间 ①这200名学生参加公益劳动时间的中位数在20-30之间①这200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在20-30之间 ①这200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在20-30之间 所有合理推断的序号是 （A ）①①（B ）①①（C ）①①① （D ）①①①①二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．若分式1x x -的值为0，则x 的值为______.10．如图，已知ABC ，通过测量、计算得ABC 的面积约为______cm2.（结果保留一位小数）11．在如图所示的几何体中，其三视图中有矩形的是______.（写出所有正确答案的序号）12．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠∠＋＝__________°（点A ，B ，P 是网格线交点）.学生类别5第10题图CBA第11题图③圆锥②圆柱①长方体第12题图13．在平面直角坐标系xOy 中，点A ()a b ，()00a b >>，在双曲线1k y x =上．点A 关于x 轴的对称点B 在双曲线2k y x =上，则12k k +的值为______.14．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______．15．小天想要计算一组数据92，90，94，86，99，85的方差20s ．在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2，0，4，-4，9，-5．记这组新数据的方差为21s ，则21s ______2s . (填“>”，“=”或“<”)16．在矩形ABCD 中，M ，N ，P ，Q 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 上的点（不与端点重合）． 对于任意矩形ABCD ，下面四个结论中， ①存在无数个四边形MNPQ 是平行四边形； ①存在无数个四边形MNPQ 是矩形； ①存在无数个四边形MNPQ 是菱形； ①至少存在一个四边形MNPQ 是正方形． 所有正确结论的序号是______．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：()1142604sin π----++（）.图3图2图118．解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩19．关于x 的方程22210x x m -+-=有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．20．如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE=DF ，连接EF ． （1）求证：AC①EF ；（2）延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O ，若BD=4，tanG=12，求AO 的长．21．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：a ．国家创新指数得分的频数分布直方图（数据分成7组：30≤x ＜40，40≤x ＜50，50≤x ＜60，60≤x ＜70，70≤x ＜80，80≤x ＜90，90≤x≤100）；b ．国家创新指数得分在60≤x ＜70这一组的是：61.7 62.4 63.6 65.9 66.4 68.5 69.1 69.3 69.5 c ．40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：d ．中国的国家创新指数得分为69.5.（以上数据来源于《国家创新指数报告（2018）》） 根据以上信息，回答下列问题：（1）中国的国家创新指数得分排名世界第______；（2）在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线1l的上方．请在图中用“”圈出代表中国的点；（3）在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；（结果保留一位小数）（4）下列推断合理的是______．①相比于点A ，B 所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；①相比于点B ，C 所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小康社会”的奋斗目标，进一步提高人均国内生产总值．22．在平面内，给定不在同一直线上的点A ，B ，C ，如图所示．点O 到点A ，B ，C 的距离均等于a（a 为常数），到点O 的距离等于a 的所有点组成图形G ，∠ABC 的平分线交图形G 于点D ，连接AD ，CD ．（1）求证：AD=CD ；（2）过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，作DF ⊥BC ，垂足为F ，延长DF 交图形G 于点M ，连接CM ．若AD=CM ，求直线DE 与图形G 的公共点个数．/万元23．小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第i 组有i x 首，i =1，2，3，4；①对于第i 组诗词，第i 天背诵第一遍，第（1i）天背诵第二遍，第（3i ）天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，i =1，2，3，4；①每天最多背诵14首，最少背诵4首．解答下列问题： （1）填入3x 补全上表；（2）若14x =，23x =，34x =，则4x 的所有可能取值为_________；（3）7天后，小云背诵的诗词最多为______首．24．如图，P 是与弦AB 所围成的图形的外部的一定点，C 是上一动点，连接PC 交弦AB 于点D ．CBA小腾根据学习函数的经验，对线段PC ，PD ，AD 的长度之间的关系进行了探究． 下面是小腾的探究过程，请补充完整： （1）对于点C 在上的不同位置，画图、测量，得到了线段PC ，PD ，AD 的长度 的几组值，如下表：在PC ，PD ，AD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和 的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PC=2PD 时，AD 的长度约为______cm ．AB25. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：()10y kx k =+≠与直线x k =，直线y k =-分别交于点A ，B ，直线x k =与直线y k =-交于点C ．（1）求直线l 与y 轴的交点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB BC CA ，，围成的区域（不含边界）为W ． ①当2k=时，结合函数图象，求区域W 内的整点个数；①若区域W 内没有整点，直接写出k 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bxa 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上． （1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）； （2）求抛物线的对称轴；（3）已知点11(,)2P a ，(2,2)Q ．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．27．已知30AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH+，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转150︒，得到线段PN ，连接ON ． （1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON=QP ，并证明．28．在①ABC 中，D ，E 分别是ABC 两边的中点，如果上的所有点都在①ABC 的内部或边上，则称为①ABC 的中内弧．例如，下图中是①ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt①ABC 中，22AB AC D E ==，，分别是AB AC ，的中点．画出①ABC 的最长的中内弧，并直接写出此时的长；备用图图1BAOB ABCDE（2）在平面直角坐标系中，已知点()()()()0,20,04,00A B C t t >，，，在①ABC 中，D E ，分别是AB AC ，的中点．①若12t =，求①ABC 的中内弧所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围； ①若在①ABC 中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心P 在①ABC 的内部或边上，直接写出t的取值范围．AED CB2019年北京市中考数学答案参考答案与试题解析一. 选择题.二. 填空题.9. 1 10. 测量可知11. ①① 12. 45°13. 0 14. 12 15. =16. ①①①三. 解答题.17．【答案】18．【答案】2 x<19.【答案】m=1，此方程的根为121x x== 20.【答案】（1）证明：①四边形ABCD为菱形①AB=AD，AC平分①BAD①BE=DF①AB BE AD DF-=-①AE=AF①①AEF是等腰三角形①AC平分①BAD①AC①EF（2）AO =1.21. 【答案】 （1）17 （2）（3）2.7 （4）①① 22. 【答案】 （1）①BD 平分∠ABC ①∠=∠ABD CBD①AD=CD（2）直线DE 与图形G 的公共点个数为1. 23． 【答案】 （1）如下图 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组第3组 3x3x3x第4组（2）4，5，6（3）2324．【答案】（1）AD ， PC ，PD ；（2）（3）2.29或者3.9825.【答案】（1）()0,1（2）①6个①10k -≤<或2k =-26.【答案】（1）1(2,)B a ； （2）直线1x ；（3）1a ≤２．27.【答案】（1）见图（2）在①OPM中，=180150OMP POM OPM OPM ∠︒-∠-∠=︒-∠ 150OPN MPN OPM OPM ∠=∠-∠=︒-∠ OMP OPN ∴∠=∠（3）OP=2.28.【答案】（1）如图：1801180180n r l πππ=== （2）①1P y ≥或12P y≤；①02t <≤B CD E。
2020年山东德州市中考数学试卷及答案
男 1 女为主持人的概率． 21.如图，无人机在离地面 60 米的 C 处，观测楼房顶部 B 的俯角为 30°，观测楼房底部 A 的俯角为 60°，求 楼房的高度．
22.如图，点 C 在以 AB 为直径的 O 上，点 D 是半圆 AB 的中点，连接 AC，BC，AD，BD，过点 D 作 DH //AB
12 ③ △AAF ≌△AEG ；④ △AAF ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是________．
三、解答题：本大题共 7 小题，共 78 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
19.先化简：
x 1 x2
x
x
2
x2
4
x 4x
4
，然后选择一个合适的
x
值代入求值．
20.某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成 扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：
（1）本次比赛参赛选手共有________人，扇形统计图中“79.5~89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比 为________； （2）补全图 2 频数直方图； （3）赛前规定，成绩由高到低前 40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为 88 分，试判断他能否获 奖，并说明理由； （4）成绩前四名是 2 名男生和 2 名女生，若他们中任选 2 人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中 1
ADC≌EDB SAS .
故答案为： SAS
（2） ADC≌EDB,
AC BE 4,
AB 6,
2＜AE＜10,
AE 2AD,
1＜AD＜5,
故答案为：1 AD 5 （3）证明：延长 AD 至点 A ，使 AD AD ， ∵ AD 是 ABC 的中线 ∴ BD CD 在 ADC 和 ADB 中 AD AD ADC ADB CD BD ∴ ADC≌ADB ， ∴ CAD A, AC AB ， 又∵ AE EF ， ∵ CAD AFE ， ∴ A AFE ， 又∵ AFE BFD ， ∴ BFD A ∴ BF AB ， 又∵ AB AC ∴ BF AC
山东省德州市2020年中考数学试题(扫描版,含答案)
考生须知
1．考生应按规定的时间入场，开始考试后15分钟禁止迟到考生进入考场。
2．考生入场时须主动出示《准考证》以及有效身份证件(身份证、军人、武警人员证件、未成年人的户口本、公安户籍部门开具的《身份证》号码证明、护照或者港、澳、台同胞证件)，接受考试工作人员的核验，并按要求在“考生花名册”上签自己的姓名。
3．考生只准携带必要的文具入场,如铅笔、签字笔、毛笔、水粉水彩颜料等，具体要求见招考简章。
禁止携带任何已完成作品以及各种无线通信工具(如寻呼机、移动电话)等物品。
如发现考生携带以上禁带物品，考生将作为违纪处理，取消该次考试成绩。
考场内不得擅自相互借用文具。
4．考生入场后按号入座，将本人《准考证》以及有效身份证件放在课桌上，以便核验。
5．考生答题前应认真填写试卷及答题纸上的姓名、准考证号等栏目并粘贴带有考生个人信息的条形码。
凡不按要求填写或字迹不清、无法辨认的，试卷及答题纸一律无效。
责任由考生自付。
6．开考后，考生不得中途退场。
如因身体不适要求中途退场，须征得监考人员及考点主考批准，并在退场前将试卷、答题纸如数上交。
7．考生遇试卷分发错误或试题字迹不清等情况应及时要求更换；涉及试题内容的疑问，不得向监考人员询问。
8．考生在考场内必须严格遵守考场纪律，对于违反考场规定、不服从监考人员管理和舞弊者，取消当次考试成绩。
9．考试结束铃声响时，考生要立即停止答题，并将试卷、答题纸按要求整理好，翻放在桌上，待监考人员收齐后方可离开考场。
任何考生不准携带试卷、答题纸离开考场。
离开考场后不准在考场附近逗留和交谈。
试卷第1页，总8页。
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2020年山东省德州市中考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（4分）|﹣2020|的结果是（）A．B．2020C．﹣D．﹣20202．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a34．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4B．5C．6D．76．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米7．（4分）函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．8．（4分）下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49．（4分）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤210．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）﹣＝．14．（4分）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是度．15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为．16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为．17．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？24．（12分）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：；（2）AD的取值范围是；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为，其理由为：．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（0，﹣1）（2，﹣2）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．2020年山东省德州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分．1．（4分）|﹣2020|的结果是（）A．B．2020C．﹣D．﹣2020【解答】解：|﹣2020|＝2020；故选：B．2．（4分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故此选项不合题意；B、是中心对称图形但不是轴对称图形．故此选项符合题意；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项不合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项不合题意．故选：B．3．（4分）下列运算正确的是（）A．6a﹣5a＝1B．a2•a3＝a5C．（﹣2a）2＝﹣4a2D．a6÷a2＝a3【解答】解：6a﹣5a＝a，因此选项A不符合题意；a2•a3＝a5，因此选项B符合题意；（﹣2a）2＝4a2，因此选项C不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项D不符合题意；故选：B．4．（4分）如图1是用5个相同的正方体搭成的立体图形．若由图1变化至图2，则三视图中没有发生变化的是（）A．主视图B．主视图和左视图C．主视图和俯视图D．左视图和俯视图【解答】解：图1主视图第一层三个正方形，第二层左边一个正方形；图2主视图第一层三个正方形，第二层右边一个正方形；故主视图发生变化；左视图都是第一层两个正方形，第二层左边一个正方形，故左视图不变；俯视图都是底层左边是一个正方形，上层是三个正方形，故俯视图不变．∴不改变的是左视图和俯视图．故选：D．5．（4分）为提升学生的自理和自立能力，李老师调查了全班学生在一周内的做饭次数情况，调查结果如下表：一周做饭次数45678人数7612105那么一周内该班学生的平均做饭次数为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：＝＝6（次），故选：C．6．（4分）如图，小明从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米，又向左转45°…照这样走下去，他第一次回到出发点A时，共走路程为（）A．80米B．96米C．64米D．48米【解答】解：根据题意可知，他需要转360÷45＝8次才会回到原点，所以一共走了8×8＝64（米）．故选：C．7．（4分）函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：在函数y＝和y＝﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数y＝的图象在第一、三象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数y＝的图象在第二、四象限，函数y＝﹣kx+2的图象在第一、二、三象限，故选项C错误，故选：D．8．（4分）下列命题：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；③一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；④对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①一组对边平行且这组对边相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；②对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题；③一个角为90°且一组邻边相等的平行四边形是正方形，原命题是假命题；④对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题；故选：B．9．（4分）若关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（）A．a≥2B．a＜﹣2C．a＞2D．a≤2【解答】解：解不等式组，由①可得：x＜2，由②可得：x＜a，因为关于x的不等式组的解集是x＜2，所以，a≥2，故选：A．10．（4分）如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π【解答】解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．12．（4分）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【解答】解：根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分．13．（4分）﹣＝．【解答】解：原式＝3﹣＝2．故答案为：2．14．（4分）若一个圆锥的底面半径是2cm，母线长是6cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是120度．【解答】解：圆锥侧面展开图的弧长是：2π×2＝4π（cm），设圆心角的度数是n度．则＝4π，解得：n＝120．故答案为：120．15．（4分）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′．若点A'恰在某一反比例函数图象上，则该反比例函数解析式为y＝．【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，1），以原点O为位似中心，把线段OA放大为原来的2倍，点A的对应点为A′，∴A′坐标为：（﹣4，2）或（4，﹣2），∵A'恰在某一反比例函数图象上，∴该反比例函数解析式为：y＝．故答案为：y＝．16．（4分）菱形的一条对角线长为8，其边长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则该菱形的周长为20．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵x2﹣9x+20＝0，因式分解得：（x﹣4）（x﹣5）＝0，解得：x＝4或x＝5，分两种情况：①当AB＝AD＝4时，4+4＝8，不能构成三角形；②当AB＝AD＝5时，5+5＞8，∴菱形ABCD的周长＝4AB＝20．故答案为：20．17．（4分）如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．【解答】解：如图所示：当分别将1，2位置涂黑，构成的黑色部分图形是轴对称图形，故新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是：＝．故答案为：．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝+2，AD＝．把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A'ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F．A′D″交AB于点G，连接AA′．有如下结论：①A′F的长度是﹣2；②弧D'D″的长度是π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF．上述结论中，所有正确的序号是①②④．【解答】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，∴∠D＝∠AD'E＝90°＝∠DAD'，AD＝AD'，∴四边形ADED'是矩形，又∵AD＝AD'＝，∴四边形ADED'是正方形，∴AD＝AD'＝D'E＝DE＝，AE＝AD＝，∠EAD'＝∠AED'＝45°，∴D'B＝AB﹣AD'＝2，∵点F是BD'中点，∴D'F＝1，∴EF＝＝＝2，∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，∴AE＝A'E＝，∠D'ED''＝α，∠EA'D''＝∠EAD'＝45°，∴A'F＝﹣2，故①正确；∵tan∠FED'＝＝＝，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度＝＝π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AF A'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AF A'＝∠EFG，∴△AF A'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题：本大题共7小题，共78分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．（8分）先化简：（），然后选择一个合适的x值代入求值．【解答】解：＝＝＝，把x＝1代入．20．（10分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数直方图．部分信息如下：（1）本次比赛参赛选手共有50人，扇形统计图中“79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为36%；（2）补全图2频数直方图；（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖．某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由；（4）成绩前四名是2名男生和2名女生，若从他们中任选2人作为该校文艺晚会的主持人，试求恰好选中1男1女为主持人的概率．【解答】解：（1）本次比赛参赛选手共有：（8+4）÷24%＝50（人），“59.5～69.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为×100%＝10%，∴79.5～89.5”这一范围的人数占总参赛人数的百分比为100%﹣24%﹣10%﹣30%＝36%；故答案为：50，36%；（2）∵“69.5～79.5”这一范围的人数为50×30%＝15（人），∴“69.5～74.5”这一范围的人数为15﹣8＝7（人），∵“79.5～89.5”这一范围的人数为50×36%＝18（人），∴“79.5～84.5”这一范围的人数为18﹣8＝10（人）；补全图2频数直方图：（3）能获奖．理由如下：∵本次比赛参赛选手50人，∴成绩由高到低前40%的参赛选手人数为50×40%＝20（人），又∵88＞84.5，∴能获奖；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中1男1女的结果数为8，所以恰好选中1男1女的概率＝＝．21．（10分）如图，无人机在离地面60米的C处，观测楼房顶部B的俯角为30°，观测楼房底部A的俯角为60°，求楼房的高度．【解答】解：过B作BE⊥CD交CD于E，由题意得，∠CBE＝30°，∠CAD＝60°，在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan60°＝＝，∴AD＝＝20，∴BE＝AD＝20，在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan30°＝＝，∴CE＝20＝20，∴ED＝CD﹣CE＝60﹣20＝40，∴AB＝ED＝40（米），答：楼房的高度为40米．22．（12分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是半圆AB的中点，连接AC，BC，AD，BD．过点D作DH∥AB交CB的延长线于点H．（1）求证：直线DH是⊙O的切线；（2）若AB＝10，BC＝6，求AD，BH的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的中点，∴∠AOD＝AOB＝90°，∵DH∥AB，∴∠ODH＝90°，∴OD⊥DH，∴直线DH是⊙O的切线；（2）解：连接CD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵点D是半圆AB的中点，∴＝，∴AD＝DB，∴△ABD是等腰直角三角形，∵AB＝10，∴AD＝10sin∠ABD＝10sin45°＝10×＝5，∵AB＝10，BC＝6，∴AC＝＝8，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CAD+∠CBD＝180°，∵∠DBH+∠CBD＝180°，∴∠CAD＝∠DBH，由（1）知∠AOD＝90°，∠OBD＝45°，∴∠ACD＝45°，∵DH∥AB，∴∠BDH＝∠OBD＝45°，∴∠ACD＝∠BDH，∴△ACD∽△BDH，∴，∴＝，解得：BH＝．23．（12分）小刚去超市购买画笔，第一次花60元买了若干支A型画笔，第二次超市推荐了B型画笔，但B型画笔比A型画笔的单价贵2元，他又花100元买了相同支数的B型画笔．（1）超市B型画笔单价多少元？（2）小刚使用两种画笔后，决定以后使用B型画笔，但感觉其价格稍贵，和超市沟通后，超市给出以下优惠方案：一次购买不超过20支，则每支B型画笔打九折；若一次购买超过20支，则前20支打九折，超过的部分打八折．设小刚购买的B型画笔x支，购买费用为y元，请写出y关于x的函数关系式．（3）在（2）的优惠方案下，若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买多少支B型画笔？【解答】解：（1）设超市B型画笔单价为a元，则A型画笔单价为（a﹣2）元．根据题意得，＝，解得a＝5．经检验，a＝5是原方程的解．答：超市B型画笔单价为5元；（2）由题意知，当小刚购买的B型画笔支数x≤20时，费用为y＝0.9×5x＝4.5x，当小刚购买的B型画笔支数x＞20时，费用为y＝0.9×5×20+0.8×5（x﹣20）＝4x+10．所以，y关于x的函数关系式为y＝（其中x是正整数）；（3）当4.5x＝270时，解得x＝60，∵60＞20，∴x＝60不合题意，舍去；当4x+10＝270时，解得x＝65，符合题意．答：若小刚计划用270元购买B型画笔，则能购买65支B型画笔．24．（12分）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明△BED≌△CAD的判定定理是：SAS；（2）AD的取值范围是1＜AD＜5；方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使AE＝EF，求证：BF＝AC．（4）如图3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且＝，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG＝CG．【解答】解：（1）∵AD是中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△BED≌△CAD（SAS），故答案为：SAS；（2）∵△BED≌△CAD，∴AC＝BE＝4，在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，故答案为：1＜AD＜5；（3）如图2，延长AD至H，使AD＝DH，连接BH，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，∴△ADC≌△HDB（SAS），∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE，∴∠H＝∠BFH，∴BF＝BH，∴AC＝BF；（4）如图3，延长CG至N，使NG＝CG，连接EN，CE，NF，∵点G是DF的中点，∴DG＝GF，又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，∴△NGF≌△CGD（SAS），∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，∵＝，＝，∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，∴∠ADB＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∴∠EBF＝∠DBC，∴∠EBC＝2∠DBC，∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，∴∠EFN＝2∠DBC，∴∠EBC＝∠EFN，∵＝，且CD＝NF，∴∴△BEC∽△FEN，∴∠BEC＝∠FEN，∴∠BEF＝∠NEC＝90°，又∵CG＝NG，∴EG＝NC，∴EG＝GC．25．（14分）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．探究：（1）线段P A与PM的数量关系为P A＝PM，其理由为：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：M的坐标…（﹣2，0）（0，0）（2，0）（4，0）…P的坐标…（﹣2，﹣2）（0，﹣1）（2，﹣2）（4，﹣5）…猜想：（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是抛物线．验证：（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段P A与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．应用：（5）如图3，点B（﹣1，），C（1，），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标y D的取值范围．【解答】解：（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，∴GH是AM的垂直平分线，∵点P是GH上一点，∴P A＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），故答案为：P A＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）∵P A＝PM，∴﹣a＝，∴a＝﹣2，∴点P（﹣2，﹣2），当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）∵P A＝PM，∴﹣b＝，∴b＝﹣5，∴点P（4，﹣5），故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；（3）依照题意，画出图象，猜想曲线L的形状为抛物线，故答案为：抛物线；（4）∵P A＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），∴﹣y＝，∴y＝﹣x2﹣1；（5）∵点B（﹣1，），C（1，），∴BC＝2，OB＝＝2，OC＝＝2，∴BC＝OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴∠BOC＝60°，如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，∴∠BEC＝30°，设点E（m，n），∵点E在抛物线上，∴n＝﹣m2﹣1，∵OE＝OB＝2，∴＝2，∴n1＝2﹣2，n2＝2+2（舍去），如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，∴点D的纵坐标y D的取值范围为y D＜2﹣2．。