1对3春季-数学-8年级-第16讲-一次函数与四边形综合
一次函数与四边形的几何综合
一次函数与四边形1、如图所示，把矩形纸片 OABC 放入直角坐标系 xOy 中，使 OA 、OC 分别落在x 、y 轴的正半轴上，连接AC，且AC =OC/OA=1/2（1）求AC 所在直线的解析式；（2）将纸片OABC 折叠，使点A 与点C 重合（折痕为EF ），求折 叠后纸片重叠部分的面积．（3）求EF 所在的直线的函数解析式．2、如图，直线364y x =+与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点A 的坐标为（－6，0），P （x ，y ）是直线364y x =+上一个动点． （1）在点P 运动过程中，试写出△OPA 的面积s 与x 的函数关系式；（2）当P 运动到什么位置，△OPA 的面积为278，求出此时点P 的坐标； （3）过P 作EF 的垂线分别交x 轴、y 轴于C 、D ．是否存在这样的点P ，使△COD ≌△FOE ？若存在，直接写出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，平面直角坐标系中，直线l 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，点A 坐标为（1，0）∠ABO=30°，过点B 的直线m x y +=33与x 轴交于点C 。
（1）求直线l 的解析式及点C 的坐标.（2）点D 在x 轴上从点C 向点A 以每秒1个单位长的速度运动（0 ＜t ＜ 4 ），过点D 分别作DE ∥AB ，DF ∥BC ，交BC 、AB 于点E 、F ，连接EF ，点G 为EF 的中点.①判断四边形DEBF 的形状并证明；②求出t 为何值时线段DG 的长最短.（3）点P 是y 轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q ，使以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若点的坐标；若不.备用图4、如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知A点坐标为（a，0），B点坐标为（0，b），且a，b满足+|2a﹣b﹣2|=0．D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．（1）当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；（2）①求△OPD的面积S关于t的函数解析式；②如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．（3）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．5、如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA=8、OB=6，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．6、平面直角坐标系中，直线y＝3x＋6与x轴、y轴分别交于点B、C，不论k为何值，直线l：y ＝kx－2k都经过x轴上点A(1) 如图1，若直线l过点C，求直线l的解析式和点A的坐标(2) 如图2，将线段BC沿某个方向平移，点B、C对应的点M、N恰好在直线l和直线y＝2x－4上，当k＝1时，请你判断四边形BMNC的形状，并说明理由(3) 如图3，点P由点C向下平移个单位得到，点Q是x轴上的动点，以P、Q为顶点作菱形PRQT，且∠T＝60°．直线l经过顶点R，当点Q在x轴上运动（点R不与点A重合）时，k的值是否会发生变化？若不变，求出k的值；若变化，请说明理由。
一次函数与四边形综合公开课——轻舟数学
一次函数与四边形综合运用鹏程中学周天应教学目标：1、掌握求点的坐标和构造全等三角形的方法2、在解题的过程中提高学生分析问题、解决问题的能力。
3、在解决问题的过程中培养学生克服困难的勇气。
教学重点：求点的坐标教学难点：作辅助线构造全等三角形1、已知直线y=x+2与x轴、y轴交于A、B两点，点P在第一象限的直线AB上，S△ABC=1,点C与点B关于X轴对称。
（1）如图1,求点P的坐标。
（2）如图2,N(6,0),NQ⊥NP交AC的延长线于点Q ，求证：NP=NQ。
（3）在（2）的条件下求NQ的解析式。
2、如图（1），直线y=﹣x+3分别与y轴、x轴交于A、C两点，以OA、OC为边作正方形OABC，E是边OC上一点，将直线AE绕A点逆时针旋转45°与过E点垂直于AE的直线交于点D．（1）求A、C两点的坐标；（2）若直线AD的解析式为y=﹣x+3，求直线DE的解析式；（3）在x轴、y轴上分别找点M、N，使四边形BDMN的周长最小，求点M、N的坐标。
如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．如图，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）．（1）求G点坐标；（2）求直线EF解析式；（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．。
2024八年级数学上册第四章一次函数3一次函数的图象课件新版北师大版
2.如果某函数图象是直线且经过原点( 坐标轴除
外 )，那么它对应的函数是正比例函数 .
感悟新知
续表
知2－讲
因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比 例函数 y=kx ( k 为常数， k ≠ 0)的图象 . 一般选(0， 0)和(1， k)两点比较简便 画法 特别解读：正比例函数 y=kx( k 为常数， k ≠ 0)中， |k| 越大，直线与 x 轴相交所成的锐角越大，直线 越陡； |k| 越小，直线与 x 轴相交所成的锐角越 小，直线越缓
出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 自变量 横坐标
函数
对应
描点
组成的 图形
函数的 图象
函数值 纵坐标
感悟新知
2. 画函数图象的一般步骤
步骤
内容
列表
列表给出一些自变量及 其对应的函数值
描点
以表中自变量的值与对 应的函数值分别作为点 的横坐标和纵坐标，在 坐标平面内描出相应的 点
知1－讲
号.
◆k 决 定 一 次 函 数y=kx+b(k，b 为常数，k ≠ 0)的
增减性，b 决定函数图象与 y 轴交点的位置 .
知3－练
例4 [母题 教材P86做一做]在同一平面直角坐标系中，作 出下列函数的图象： (1)y1＝2x－1；(2)y2＝2x；(3)y3＝2x＋2. 然后观察图象，你能得到什么结论？
知2－练
知2－练
方法三 根据正比例函数的增减性比较函数值的大小. 因为k＝3>0，所以y随x的增大而增大，因为－1>－2， 所以y1>y2.
知2－练
3-1. 如图， 在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x， y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图象分别为l1，l2，l3，l4， 则下列关系中正确的是( B ) A. k1<k2<k3<k4 B. k2<k1<k4<k3 C. k1<k2<k4<k3 D. k2<k1<k3<k4
数学-8年级-第16讲-一次函数与四边形综合
1对3辅导教案1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．（此环节设计时间在10-15分钟）教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。
1．已知点A、B、C、D可以构成平行四边形，且点A（－1，0），点B（0，3），点C（3，0），则第四个顶点D的坐标为_________________________；参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；2．已知一次函数334y x=-+的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，如果点C在y轴上，存在点D使以xyBC A OxyD2D3D1BCA OA 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1）,设直线AC 的表达式为1y kx =+，∴1221,2k k =+=；∴直线AC 的表达式为112y x =+． （2）设点C 的坐标为（2,1m m +），∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴222(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．∴21260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）．∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16，∴D （0，16）．例题2：已知：直线364y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。
中考数学复习考点知识讲解与练习15 一次函数与四边形
中考数学复习考点知识讲解与练习专题15 一次函数与四边形一次函数与几何问题是考试中的常考点，也是是考热点，对刚进入一次函数学习的学生来讲，让其体会到了几何图形与函数结合在一起解决问题具有十分重要的意义，本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题在平面坐标系下把直线与几何图形融入一体，充分体现数形结合的思想，本中考数学复习考点知识讲解与练习 专题的题型特点：从单一知识点到多个知识点，从简单图形到复杂图形，让几何图形性质与函数的性质有机结合，汇集了一次函数与四边形相关的题型，对拓展学生思维，对提升学生的综合能力十分有益。
一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，()0,0O ，()4,0A ，60AOC ∠=，则对角线交点E 的坐标为( )A ．(B ．)2C ．)D ．(2．如图，在平面直角坐标系中，点()() 30 0,4A B -，，，将AOB 沿x 轴向右平移得DEC ,此时四边形ABCD 是菱形，则点C 的坐标是（）A ．()5,4B ．()4,5C ．()5,3D ．()3,53．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数142y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A ，B ，点P 的坐标为(1,1)m m +-，且点P 在ABO ∆的内部，则m 的取值范围是（）A ．13m <<B ．15mC ．15mD ．1m 或3m <4．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为()2,3，则菱形OABC 的面积是（ ）A B C D ．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，点B 的坐标为(0,2)-，则菱形ABCD 的面积为（）A ．16B ．32C ．D ．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 向下平移，再向右平移得到四边形1111A B C D ，已知1(3,5),(4,3),(3,3)A B A --，则点1B 坐标为（）A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,4)D ．(4,1)二、填空题 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是菱形．若点A 的坐标是(3，4)，则点B 的坐标是__________．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 0），B （1，1）．若平移点B 到点D ，使四边形OADB 是平行四边形，则点D 的坐标是_____．9．如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为（4，2），若四边形OABC 为菱形，则点C 的坐标为．10．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为（5，4），点P 为线段BC 上动点，当△POA 为等腰三角形时，点p 坐标为______________．11．如图，平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点B 的坐标为(10，6)，点P 为BC 边上的动点，当△POA 为等腰三角形时，点P 的坐标为_________．12．如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，AOB 是等腰三角形，5AO AB ==，6OB =，则点A 的坐标是______．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，四边形0ABC 是平行四边形，且A(4，0)，B(6，2)，则直线AC 的解析式为___________.14．如图，在平面直角坐标系中，点B 在x 轴上，AOB 是等边三角形，AB 2 ，则点A 的坐标为______．15．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是（2，1），则点C 的坐标是_____．16．已知在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC 的斜边AB 的端点,A B 分别在y 轴和x 轴上，且点(0,4)A ，(3,0)B ，直角顶点C 在第一象限，则点C 的坐标为__________．17．如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是菱形．若点A 的坐标是（6，8），则点C 的坐标是_____．18．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点()3,3P 处，两直角边分别与坐标轴交于点A 和点B ，则OA OB +的值为___________.19．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形OABC 是长方形，点A ，C 的坐标分别为(10,0)，(0,3)，D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ∆是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为_______.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)P ，点Q 在y 轴上，PQO ∆是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有______个．21．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，且点A 的坐标为(0,1)，则点,,B C D 的坐标分别为_______．22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，若点A 的坐标是()1,2，则点B 的坐标是________．23．如图，将平行四边形OABC 放置在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，若点C 的坐标是()1,3，点A 的坐标是()5,0，则点B 的坐标是________．24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形ABCD 是平行四边形，点,,A B C 的坐标分别为(0,2)A ，(1,0)B -，(4,0)C ，点E 是BC 的中点，点P 为线段AD 上的动点，若BEP △是等腰三角形，则点P 的坐标为_____．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，则正方形OABC 的面积为____．26．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝2x ﹣5的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ，则正方形OABC 的面积为_____．27．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，O （0，0），A （1，-2），B （3，1）则C 点坐标为．28．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是长方形，BC ∥OA ，点A 、C 的坐标分别为(10,0)A ，(0,4)C ，M 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当OPM ∆是腰长为5的等腰三角形时，则点P 的坐标为________________．29．在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点()8,8P 处，两直角边与坐标轴交于如图所示的点A 和点B ，则OA OB -的值为______.30．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC 为菱形，点A 在x 轴正半轴上，点A 的坐标为()4,0,60AOC ∠=︒，对角线,OB AC 相交于点E ，则点E 的坐标为______．31．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，()8,M s 、(),8N t 分别是边AB 、BC 上的两个动点，且OM MN ⊥，当ON 最小时，s t +=________．32．如图，在平面直角坐标系中，△OAB 是等腰直角三角形，∠OAB=90°，已知点A （4，3），点B 在第四象限，则点B 的坐标是_____．33．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形OAB 的斜边OA 与x 轴负半轴的夹角为60︒，若OAB 的面积是5，则点B 的坐标为_________.34．如图，在平面直角坐标系中，已知四个定点()30A -,、()1,1B -、()0,3C 、()1,3D -，点P 在四边形ABCD 内，则到四边形四个顶点的距离的和PA PB PC PD +++最小时的点P 的坐标为______．三、解答题35．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象经过点(6,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B -，与正比例函数2y x =的图象相交于点C ．（1）求此一次函数的解析式；（2）求出OBC 的面积；（3）点D 在此坐标平面内，且知以O 、B 、C 、D 为顶点四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点D 的坐标．36．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数24y x =-+的图像与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求点A 坐标和点B 坐标；（2）点C 是线段AB 上一点，点O 为坐标原点，点D 在第二象限，且四边形BCOD 为菱形，求点D 坐标；（3）在（2）的条件下，点P 为平面直角坐标系中一点，以B 、D 、A 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有满足条件的P 点坐标．37．如图，在平面直角坐标系中xOy 中，()4,0A ，OA OC =，60AOC ︒∠=且//CB OA ，OB 平分AOC ∠，点P 是四边形OABC 的内部的一点，且点P 到四边形OABC 的四条边的距离相等。
初二-第16讲-二元一次方程组与一次函数的关系
二元一次方程与一次函数的关系1.掌握二元一次方程组与一次函数的关系。
2.利用二元一次方程组确定一次函数的解析式。
教学建议：教师演变如何将一次函数变为二元一次方程。
分析二元一次方程组与一次函数的关系。
知识概述1、二元一次方程与一次函数的关系任何一个二元一次方程都可化成一次函数表达式的形式.一个二元一次方程的解有无数个，以一个二元一次方程的所有的解为坐标的点组成的图象与这个二元一次方程化成的一次函数的图象相同，是一条直线，如二元一次方程x－y＝2有无数个解，以这无数个解为坐标的点组成的图象就是一次函数y＝x－2的图象．一般地，以二元一次方程ax＋by＝c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同.2、二元一次方程组与一次函数的关系一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解；解一个二元一次方程组相当于确定相应两条直线交点的坐标．即二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数的图象的交点；反之两个一次函数的图象的交点坐标可以当作二元一次方程组的解.3、利用二元一次方程组确定一次函数的表达式（1）待定系数法：先设出函数表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法．（2）利用二元一次方程组确定一次函数的表达式是求一次函数表达式的主要方法，其一般步骤如下：①设出函数表达式：y＝kx＋b；②把已知条件代入，得到关于k，b的方程组；③解方程组，求出k，b的值；④写出其表达式．注意：待定系数法的步骤可总结为“设、代、解、写”．二、典型例题讲解例1、已知直线y＝x与y＝－2x＋1相交，则其交点坐标为__________．解析：由题意可知两条直线的交点坐标是方程组的解，解此方程组，得所以两条直线的交点坐标为．答案：规律总结：（1）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．（2）如果方程组无解，那么两图象无交点，反之，如果两图象无交点，那么方程组无解．例2、如图所示，一次函数的图象经过A（2，4）和B（0，2）两点，且与x轴交于C点．（1）求这个一次函数的表达式；（2）求三角形AOC的面积．分析：设定表达式，将A，B两点的坐标代入得方程组可求解．在直角坐标系中求三角形的面积，一般选择比较特殊的线段作为底，如x轴、y轴上的线段或平行于x轴、y轴的线段．解：（1）设一次函数表达式为y＝kx＋b，因为函数图象经过点A（2，4），B（0，2），则有解得所以该一次函数的表达式为y＝x＋2．（2）令y＝0，则由y＝x＋2，得x＝－2，则点C的坐标为（－2，0），所以OC＝|－2|＝2．过点A作AD⊥x轴于点D，则AD＝4，所以三角形AOC的面积为．方法归纳：确定一次函数y＝kx＋b（k≠0）的表达式，只要确定k，b的值即可．一般需要两个点的坐标，把两个点的坐标分别代入y＝kx＋b中，列出关于k，b的二元一次方程组，使问题得到解决．此法对于正比例函数y＝kx（k≠0）仍适用，不同的是确定正比例函数表达式只需一个点的坐标就可以解决．例3、用作图象的方法解方程组分析：用图象法解二元一次方程组的关键是要作出两个二元一次方程表示的函数的图象，找出它们的交点.解：由2x－3y＋3＝0得由5x－3y－6＝0得.在同一直角坐标系中作出直线和的图象，如图所示，得交点（3，3）所以方程组例4、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解析式为____________.分析：本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x＝6时，y＝－2，把它们代入y＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝x－4．②当k<O时则随x的增大而减小，则有：当x＝－3时，y＝－2；当x＝6时，y＝－5，把它们代入y ＝kx＋b中可得∴∴函数解析式为y＝－x－3.∴函数解析式为y＝x－4，或y＝－x－3.答案：y＝x－4或y＝－x－3.说明：本题充分体现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.1、直线y＝2x＋b与x轴的交点坐标是（2，0），则关于x的方程2x＋b＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝4C．x＝8 D．x＝102、如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x－2y＋3.5＝0 B．3x－2y－3.5＝0C．3x－2y＋7＝0 D．3x＋2y－7＝03、已知一次函数的图象都经过A（－2，0），且与y轴分别交于B、C两点，那么△ABC的面积是（）A．2 B．3C．4 D．64、小艳用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l1，l2，如图所示，她解的这个方程组是（）A．B．C． D．5、如图是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象，下列说法：①买2件时，甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为2元，其中正确的说法是（）A．①②B．②③④C．②③D．①②③6、已知方程组没有解，则一次函数y＝2－x与的图象必定（）A．重合B．平行C．相交D．无法判断7、如图，若点P（m，n）的坐标可以通过解关于x、y的方程组求得，则m和n的值最可能为（）A．m＝－，n＝0 B．m＝－3，n＝－2C．m＝－3，n＝4 D．m＝－，n＝28、在同一直角坐标系中，直线l1：y＝（k－2）x＋k和l2：y＝kx的位置可能是（）A．B．C．D．答案：ADCAD BCB9、如图，在同一直角坐标系内作出的一次函数y1，y2的图象l1，l2，则两条直线l1，l2的交点坐标可以看做方程组_________的解．答案：解：由图可知：直线l1过（2，3），（0，－1），因此直线l1的函数解析式为：y＝2x－1；直线l2过（2，3），（0，1），因此直线l2的函数解析式为：y＝x＋1；因此所求的二元一次方程组为．10、已知y是x的一次函数，下表给出了部分对应值，则m的值是_____________.x －1 2 5y 5 －1 m答案：－7解：设该一次函数的解析式为y＝kx＋b．由题意得解得故m的值是－7．【巩固练习】1、已知一次函数y＝3x－2k与y＝x＋k交点的纵坐标为6，求这两个函数图象与x轴、y轴的交点坐标．解：根据题意可列方程组解得所以其中一个一次函数表达式为，当x ＝0时，，所以与y轴的交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴的交点坐标为．另一个一次函数表达式为，所以与y轴交点坐标为；当y＝0时，，所以与x轴交点坐标为．所以一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．一次函数与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为．2、如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝mx＋n相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组请你直接写出它的解；（3）直线l2：y＝nx＋m是否也经过点P？请说明理由．解：（1）∵P（1，b）在直线y＝x＋1上，∴当x＝1时，b＝1＋1＝2．（2）（3）直线y＝nx＋m也经过点P．理由：因为点P（1，2）在直线y＝mx＋n上，所以m＋n＝2，即2＝n×1＋m，这说明直线y＝nx＋m也经过点P．3、请你根据图中图象所提供的信息解答下面问题：（1）分别写出a1、a2中变量y随x变化而变化的情况：（2）求出一个二元一次方程组，使它满足图象中的条件．解：（1）a1：y随x的增大而增大，a2：y随x的增大而减小；（2）直线a1经过点（0，－1）与（1，1），设它的解析式为：y＝kx＋b；得：解得：k＝2，b＝－1即它的解析式是：y＝2x－1．同理可求直线a2的解析式是，则所求的方程组是4、（南通）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（）A、B、C、D、分析：由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组．解：设经过图象上的点的坐标（0，－1）和（1，1）的解析式为y＝kx＋b，将（0，－1）和（1，1）坐标代入得方程组解得所以经过（0，－1）和（1，1）的直线的解析式为y＝2x－1，同理求得另一条直线的解析式是y＝－x＋2，因此所解的二元一次方程组是．故选D．点评：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．5、（上海中考节选并改编）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系如图所示．求y关于x的函数表达式，并写出它的自变量的取值范围．解：设y与x的函数表达式为y＝kx＋b（k≠0），由图象过点（10，10），（50，6），得所以y关于x的函数表达式为．6、通过电脑拨号上“因特网”的费用是由电话费和上网费两部分组成.以前我市通过“黄冈热线”上“因特网”的费用为电话费0.18元/3min，上网费为7.2元/小时.后根据信息产业部调整“因特网”资费的要求，自1999年3月1日起，我市上“因特网”的费用调整为电话费0.22元/3min，上网费为每月不超过60h，按4元/小时计算，超过60h部分，按8元/小时计算.（1）根据调整后的规定，将每月上“因特网”的费用y（元）表示为上网时间x(h)的函数；（2）资费调整前，网民晓刚在其家庭经济预算中，一直有一笔70h的上网费用支出，“因特网”资费调整后，晓刚要想不超过其家庭经济预算中的上网费用支出，他现在每月至多可上网多少小时？（3）从资费调整前后的角度分析，比较我市网民上网费用的支出情况.解：（1）当0≤x≤60时，当x＞60时，y＝60×4＋4.4x＋(x－60)×8＝12.4x－240.即调整后，每月上“因特网”的费用y与上网时间t的函数关系是：（2）资费调整前，上网70h所需费用为(3.6＋7.2)×70＝756(元).资费调整后，若上网60h，则所需费用为8.4×60＝504(元).因为756>504元，所以晓刚现在上网时间超过60h.由12.4x－240≤756，解得x≤80.32所以现在晓刚每月至多可上网约80.32h.（3）设调整前所需费用为y1(元)，调整后所需费用为y2(元).则y1＝10.8x，当0≤x≤60时，y2＝8.4x，10.8x＞8.4x，故y1＞y2；当x＞60时，y2＝12.4x－240，当y1＝y2时，11/ 11。
一次函数及四边形复习设计说明
一次函数及四边形复习设计说明一次函数部分的复习课，使学生明确并掌握本单元的基础知识，为后期复习一次函数的综合问题夯实基础。
可能由于在学习函数新课时理解的不是很好，所以谈到了函数的复习自然会引起学生极大的学习热情，而且对初三的同学来说时间是非常宝贵的，因此在复习课的环节上没有加许多的修饰，单刀直入。
对基础知识复习部分的设计，我是这样想的：必竟新课学完已经很久了，多数知识已经忘得差不多了，如果开篇就是一些空洞的基础理论，不仅仅提不起学生的学习兴趣，还会失去了学习一次函数的自信心，事实上孩子虽说理论上记得一般，但不见得题做不上，所以第一个环节设计了一组基础题，让孩子轻松过关，同时也帮助他们回忆起了已有的知识，这时再发挥教师的主导地位，及时进行知识梳理，使学生能轻松的将本单元的结构框架牢记心中。
通过对教材的掌握和对课标的理解，为了更好的巩固本单元的基础知识，我设计了三个不同梯度的训练：第一梯度，是用待定系数法求一次函数的解析式，“根据已知条件确定一次函数的表达式”.第二梯度，要求学生能读懂图象，会求两条直线的交点坐标，理解两条直线交点坐标在实际问题中的含义。
其中第二问是属发散问题，有利于学生理解图象，并充分的运用了数形结合的思想。
“会画一次函数图象，理解一次函数图象及性质，结合具体情境体会一次函数的意义”，理解一次函数与二元一次方程组的关系。
第三梯度，是求分段函数问题，本题既可运用待定系数法求解析式，也可根据函数图象具体意义，直接写出其函数关系式，并且在第二问中通过讨论让学生知道，要解决此问题不能就在一段函数上看，必须跨越两段函数，而这一问题的处理方法多种多样，既可以用方程的观点，又可以用函数的观点，体现了方程和函数的内在联系，同时采用讨论的方法还可以培养学生的发散思维和合作探究的精神。
结合本章内容可以对数形结合的方法顺势自然地理解，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势。
教学过程中，在函数解析式与图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用。
2022-2023学年上海初二下学期同步讲义第16讲 动点产生的面积问题解析版
第16讲 动点产生的面积问题运动变化题是随着图形的某一元素的运动变化，导致问题的结论改变或者保持不变的几何题，它揭示了“运动”与“静止”、“一般”与“特殊”的内在联系．解题的关键是分清几何元素运动的方向和捷径，注意在运动过程中哪些是变量，哪些不是变量，通常要根据几何元素所处的不同位置加以分类讨论，同时，综合运用勾股定理、方程和函数等知识，本节课的内容涉及三角形、特殊的四边形的面积问题．模块一：面积计算的问题 知识精讲本节主要是在函数背景下求三角形或四边形的面积问题，较复杂的题目可以采取“割补”的思想构造较简单的图形进行求解．例题解析例1.（2018·上海八年级期中）一次函数2y x m =-+的图像经过点(2,3)P -,且与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,求△AOB 的面积.【答案】14【详解】先将点P 坐标代入函数解析式，可求出m 值，再根据函数解析式求出A 、B 两点坐标即可求出△AOB 的面积.解：将()2,3P -代入2y x m =-+得，1,m =- 2 1.y x ∴=--当0y =时，1,2x =- ∴点A 坐标为（12-，0），当0x =时，1,y =- ∴点B 坐标为（0，-1），∴1, 1.2OA OB == ∴11111.2224AOB S OA OB =⋅⋅=⨯⨯=例2．（2020·上海市静安区实验中学八年级期中）一次函数222(2)mm y m x n --=-+的图像y 随x 增大而减小，且经过点(1,6)A ．求（1）mn 的值；（2）求该直线与坐标轴围成的三角形的面积及坐标原点到直线的距离. 【答案】（1）9mn =-；（2）该直线与坐标轴围成的三角形的面积为272，坐标原点到直． 【分析】（1）由一次函数的定义和性质列出方程和不等式求出m 的值，代入A 点坐标，可求出n 值；（2）由解析式可得y 轴截距与x 轴截距，然后根据三角形面积公式求解；利用勾股定理求出直线与坐标轴围成的三角形的斜边长，然后用等积法求解. 【详解】解：（1）222(2)mm y x x n --=-+是一次函数∴2221m m --=即(3)(1)0m m -+= 解得13m =；21m =-． 又y 随x 增大而减小∴20m -<即2m <∴1m =-∴一次函数解析式为：3y x n =-+代入点(1,6)A 得63n =-+∴n=9 ∴9mn =-（2）由（1）得：39y x =-+y 轴截距：9b =x 轴截距：933b k-=-=-∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积：112739222b S b k =••-=⨯⨯=设坐标原点到直线的距离为h ．有12722S h =⨯=∴h∴． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．例3．（2019·上海市闵行区七宝第二中学八年级期中）在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(1,0)，点C 的坐标为(0,4)，直线//CM x 轴. 点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ．（1）求b 的值和点D 的坐标；（2）在x 轴上有一点Q ，使BQD ∆的面积为8,求Q 点的坐标；（3）在x 轴的正半轴上是否存在一点P ，使得POD ∆为等腰三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）1b =，(3,4)D ；（2）1(3,0)Q 或2(5,0)Q -.（3）存在.1(5,0)P 或2(6,0)P 或325(,0)6P . 【分析】（1）先求出点B 的坐标，由直线过点B ，把点B 的坐标代入解析式，可求得b 的值；点D 在直线CM 上，其纵坐标为4，利用求得的解析式确定该点的横坐标即可； （2）过点D 作DE x ⊥轴，根据三角形面积公式求出BQ 的长，可得Q 点坐标； （3）△POD 为等腰三角形，有三种情况：OP OD =，PD OD =，PD PO =，故需分情况讨论，要求点P 的坐标，只要求出点P 到原点O 的距离即可； 【详解】 解：（1）B 与(1,0)A 关于原点对称∴(1,0)B -y x b =+过点B∴10b -+= ∴1b = ∴1y x =+当4y =时，14x +=∴3x = ∴(3,4)D ∴1b =，(3,4)D .（2）过点D 作DE x ⊥轴，垂足为E ，则4DE =DE 是BQD ∆在边BQ 上的高.182BQD S BQ DE ∆=•= ∴4BQ =∴在x 轴上存在两个Q 点满足条件.即：1(3,0)Q 或2(5,0)Q -. （3）存在.5OD①当OP OD =时5OP OD ==，(0,0)O∴1(5,0)P②当PD OD =时PD OD =，DE x ⊥∴DE 是OP 边得中线 ∴OE PE =DE x ⊥，5OD =，4DE =∴3OE = ∴6OP = ∴2(6,0)P③当PD PO =时设(,0)P aPD PO =∴PD a =在Rt PED ∆中，PD a =，3PE a =-，4DE =∴222(3)4a a =-+解得：256a =. ∴325(,0)6P 综上所述：1(5,0)P 或2(6,0)P 或325(,0)6P .【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及等腰三角形的判定和性质，注意分情况讨论是解决本题的关键．例4．（2020·上海市位育实验学校八年级月考）如图，直线1l 的解析式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A,B ，两条直线交于点C ，在直线2l 上存在一点P ，使得△ADP 的面积是△ADC 面积的2倍，那么点P 的坐标为____________【答案】（8，6）或（0，−6）【分析】已知l 1的解析式，令y ＝0求出D 点坐标，设l 2的解析式为y ＝kx ＋b ，由图联立方程组求出k ，b 的值，联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出S △ADC ，△ADP 与△ADC 底边都是AD ，根据△ADP 的面积是△ADC 面积的2倍，可得点P 的坐标． 【详解】由y ＝−3x ＋3，令y ＝0，得−3x ＋3＝0， ∴x ＝1， ∴D （1，0）；设直线l 2的解析表达式为y ＝kx ＋b ，由图象知：x ＝4，y ＝0；x ＝3，y ＝−32，代入表达式y ＝kx ＋b ，∴40332k b k b ⎧⎪⎨-⎪⎩＋＝＋＝∴326k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线l 2的解析表达式为y ＝32x −6； 由33362y x y x =-+⎧⎪⎨-⎪⎩＝， 解得23x y ⎧⎨-⎩＝＝，∴C （2，−3）， ∵AD ＝3，∴S△ADC＝12×3×|−3|＝92，∵△ADP与△ADC底边都是AD，△ADP的面积是△ADC面积的2倍，∴△ADC高就是点C到直线AD的距离的2倍，即C纵坐标的绝对值＝6，则P到AD距离＝6，∴点P纵坐标是±6，∵y＝32x−6，y＝6，∴32x−6＝6，解得x＝8，∴P1（8，6）．∵y＝32x−6，y＝−6，∴32x−6＝−6，解得x＝0，∴P2（0，−6）综上所述，P1（8，6）或P2（0，−6）．故填：（8，6）或（0，−6）.【点睛】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式是解题关键．例5．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）如图，直线1:33L y x=-+与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点(0,9)C，动点M从A点以每秒2个单位的速度沿x轴向左移动．（1）求A 、B 两点的坐标（2）求COM 的面积S 与M 的移动时间t （秒）之间的函数关系式； （3）当t 何值时COM AOB △≌△，并求此时M 点的坐标．（4）当t 何值时COM 的面积是AOB 一半，并求此时M 点的坐标．【答案】（1）A(9，0)；（2）B(0，3)；（2）S=()()8190 4.52819 4.52t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＞；（3）当t=3，M(3，0)，当t=6，M(-3，0)；（4）当t=154，M(32，0)；当t=214，M(-32，0) 【分析】（1）对于1:33L y x =-+，令x=0可求出B 点坐标，令y=0可求出A 点坐标； （2）分点M 在原点左侧和右侧两种情况，根据三角形的面积公式解答即可；（3）分点M 在原点左侧和右侧两种情况，根据全等三角形的性质列式求出t 的值，进而可求出点M 的坐标；（4）根据三角形的面积公式列式求出OM 的长，进而分点M 在原点左侧和右侧两种情况，可求出t 的值及点M 的坐标． 【详解】解：（1）当x=0时，y=3， ∴B(0，3)． 当y=0时，1033x =-+，x=9， ∴A(9，0)； （2）9÷2=4.5秒，当点M 在原点右侧时，即0≤t ≤4.5时，由题意得，OM=9-2t ， ∴S=()1192922OM OC t ⋅=-⨯=8192t -+． 当点M 在原点左侧时，即t ＞4.5时，由题意得，OM=2t-9， ∴S=()1129922OM OC t ⋅=-⨯=8192t -， ∴S=()()8190 4.52819 4.52t t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＞；（3）当点M 在原点右侧时，即0≤t ≤4.5时，∵COM AOB△≌△，∴OM=OB，∴9-2t=3，∴t=3，∴OM=9-6=3，∴M(3，0)；当点M在原点左侧时，即t＞4.5时，∵COM AOB△≌△，∴OM=OB，∴2t-9=3，∴t=6，∴OM=12-9=3，∴M(-3，0)；综上可知，当t=3，M(3，0)，当t=6，M(-3，0)；（4）S△AOB=112793222 OA OB⋅=⨯⨯=，∵S△COM=12S△AOB，∴1112792222 OM OC OM⋅=⨯=⨯，∴OM=32，当点M在原点右侧时，9-2t=32，∴t=154，此时M(32，0)；当点M在原点左侧时，2t-9=32，∴t=214，此时M(-32，0)，综上可知，当t=154，M(32，0)；当t=214，M(-32，0)． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积，全等三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．例6．（2019·上海嘉定区·上外附中八年级月考）如图，已知一次函数y=kx+3的图形经过点A (1， m)，与x 轴、y 轴分别相交于B 、C 两点，且∠ABO=45°，设点D 的坐标为(3，0) (1) 求m 的值；(2) 联结CD 、AD ，求△ACD 的面积；(3) 设点E 为x 轴上一动点，当∠ADC=∠ECD 时，求点E 的坐标．【答案】（1）m ＝4；（2）3ACDS；（3）点E 的坐标为（32，0）或（6，0）． 【分析】（1）求出点B 坐标，利用待定系数法求出直线BC 的解析式即可解决问题； （2）根据ACDABDBCDSSS进行计算即可；（3）分点E 在点D 左侧和点E 在点D 右侧两种情况，分别求出直线CE 1和直线CE 2的解析式即可得到对应的点E 的坐标．【详解】解：（1）∵一次函数y=kx+3的图象与x 轴、y 轴分别相交于B 、C 两点，∠ABO=45°， ∴OB ＝OC ＝3， ∴B （－3，0），将B （－3，0）代入y=kx+3得：0=－3k+3， 解得：k ＝1，∴直线BC 的解析式为：y ＝x+3，当x ＝1时，y ＝x+3＝4，∴m ＝4；（2）∵B （－3，0），C （0，3），D （3，0），A （1，4），∴BD ＝6， ∴116463322ACD ABD BCD S S S ； （3）如图所示，当点E 在点D 左侧时，∵∠ADC ＝∠E 1CD ，∴AD ∥CE 1，设直线AD 的解析式为：y ＝k 1x+b （k ≠0），代入A （1，4），D （3，0）得：11403k b k b=+⎧⎨=+⎩，解得：126k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AD 的解析式为：26y x =-+，故设直线CE 1的解析式为：2y x c =-+，代入C （0，3）得：3c =，∴直线CE 1的解析式为：23y x =-+，当y ＝0时，解得：32x =， ∴E 1（32，0）； 当点E 在点D 右侧时，AD 与CE 2交于点F ，∵∠ADC ＝∠E 2CD ，∴FC ＝FD ，∵OB ＝OD ＝3，∠ABO ＝45°，∴∠CDB ＝45°，∴∠ACD ＝45°＋45°＝90°，即∠ACF ＋∠FCD ＝90°，∵∠CAF ＋∠FDC ＝90°，∴∠ACF ＝∠CAF ，∴FC ＝FA ，∴F 为线段AD 的中点，∴点F 的坐标为()2,2，设直线CE 2的解析式为：23y k x =+，代入F ()2,2得：2223k ，解得：212k =-， ∴直线CE 2的解析式为：132y x =-+， 当y ＝0时，解得：6x =，∴E 2（6，0），综上所述，点E 的坐标为（32，0）或（6，0）．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算以及等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法，灵活运用数形结合的思想是解答本题的关键．例7.．（2019·上海市市西初级中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，点(6,0)A -，(4,3)B -，边AB 上有一点(,2)P m ，点C ，D 分别在边OA ，OB 上，联结CD ，//CD AB ，联结PC ，PD ，BC ．（1）求直线AB 的解析式及点P 的坐标；（2当CQ BQ =时，求出点C 的坐标；（3）在（2）的条件下，点R 在射线BC 上，ABO RBO S S ∆∆=，请直接写出点R 的坐标．【答案】（1）直线AB 解析式为y ＝32x ＋9，P 点坐标为（-143，2）（2）C 点坐标为（-2，0）（3）R （2，-6）．【分析】（1）由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法可求得直线AB 的解析式，再把P 点坐标代入直线解析式可求得P 点坐标；（2）由条件可证明△BPQ ≌△CDQ ，可证得四边形BDCP 为平行四边形，由B 、P 的坐标可求得BP 的长，则可求得CD 的长，利用平行线分线段成比例可求得OC 的长，则可求得C 的坐标；（3）由条件可知AR ∥BO ，故可先求出直线OB ，BC 的解析式，再根据直线平行求出AR 的解析式，联立直线AR 、BC 即可求出R 点坐标．【详解】（1）设直线AB 解析式为y ＝kx ＋b ， 把A 、B 两点坐标代入可得4360k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得329k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AB 解析式为y ＝32x ＋9， ∵(,2)P m 在直线AB 上，∴2＝−32m ＋9，解得m ＝-143， ∴P 点坐标为（-143，2）； （2）∵//CD AB ，∴∠PBQ ＝∠DCQ ，在△PBQ 和△DCQ 中PBQ DCQ CQ BQPQB DQC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△PBQ ≌△DCQ （ASA ），∴BP ＝CD ，∴四边形BDCP 为平行四边形，∵(4,3)B -，（-143，2），∴CD ＝BP =， ∵A （-6，0），∴OA ＝6，AB =∵CD ∥AB ，∴△COD ∽△AOB∴CO CD AO AB =，即6CO =，解得CO ＝2， ∴C 点坐标为（-2，0）；（3）∵ABO RBO S S ∆∆=，∴点A 和点R 到BO 的距离相等，∴BO ∥AR ，设直线BO 的解析式为y=nx ，把(4,3)B -代入得3=-4n ，解得n=-34x ∴直线BO 的解析式为y=-34x ， ∴设直线AR 的解析式为y=-34x+e ，把A(-6，0)代入得0=-34×（-6）+e 解得e=-92∴直线AR 的解析式为y=-34x-92， 设直线BC 解析式为y ＝px ＋q ，把C 、B 两点坐标代入可得4320k b k b -+=⎧⎨-+=⎩，解得323k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AB 解析式为y ＝-32x-3， 联立3942332y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩解得26x y =⎧⎨=-⎩∴R （2，-6）．【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、三角形的面积等知识点，解题的关键是熟知待定系数法求出函数解析式．例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数43y x b =-+的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为6．（1）直接写出点A 与点B 的坐标（用含b 的代数式表示）；（2）求b 的值；（3）如果一次函数43y x b =-+的图像经过第二、三、四象限，点C 的坐标为（2，m ），其中0m >，试用含m 的代数式表示△ABC 的面积．【答案】（1）3(,0)4A b ；(0,)B b （2）4± （3）3102m + 【分析】（1）由一次函数43y x b =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，令y=0求出x ，得到A 点坐标；令x=0，求出y ，得到B 点坐标；（2）根据一次函数43y x b =-+的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为6列出方程，即可求出b 的值； （3）根据一次函数43y x b =-+的图象经过第二、三、四象限，得出b=-4，确定A （-3，0），B （0，-4）．利用待定系数法求出直线AC 的解析式，再求出D （0，35m ），那么BD=35m+4，再根据S △ABC =S △ABD +S △DBC ，即可求解．【详解】解：（1）∵一次函数y=43-x+b 的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ， ∴当y=0时，43-x+b=0，解得x=34b ，则A （34b ，0）， 当x=0时，y=b ，则B （0，b ）；故 3(,0)4A b ；(0,)B b ; （2） ∵1136224AOB S OA OB b b =⋅⋅=⋅⋅= ∴216b =，∴4b =±；（3） ∵函数图像经过二、三、四象限，∴4b =-， ∴443y x =--. ∴(3,0)A -，(0,4)B -.设直线AC 的解析式为y kx t =+，将A 、C 坐标代入得032k t m k t =-+⎧⎨=+⎩解得535m k t m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 设直线AC 与y 轴交于点D ，则(0)53D m ，. ∴345BD m =+ ∵ABC ABD CBD S S S =+ ∴13(4)(32)102532ABC S m m =⋅+⋅+=+. 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式．例9．（2020·上海金山区·八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数()0y kx k =≠的图像经过点1(1,)2A ，点B 的坐标为()2,6． （1）求k 的值；（2）求OAB ∆的面积；（3）若点C （不与点A 重合）在此正比例函数()0y kx k =≠图像上，且点C 的横坐标为a ，求ABC ∆的面积．（用a 的代数式表示）【答案】（1）1=2k ；（2）52OAB S =△；（3）5522ABC S a =-△或5522ABC S a =-△ 【分析】（1）利用待定系数法求k 的值；（2）求直线OB 的解析式，从而求得D 点坐标，然后利用三角形面积公式求解；（3）过点C 做CE ⊥y 轴，交AB 于点E ，求得直线AB 的解析式，从而求得E 点坐标，然后利用三角形面积公式求解【详解】解：（1）将1(1,)2A 代入正比例函数()0y kx k =≠中得：1=2k （2）设直线OB 的解析式为y mx =，将B ()2,6代入，得： 2=6m ，解得：=3m∴直线OB 的解析式为：3y x =过点A 作AD ⊥x 轴，交OB 于点D则D 点坐标为（1，3）∴AD =15322-= ∴15222OAB S AD =⨯=△ （3）由题意可得：C 点坐标为1,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭过点C 做CE ⊥y 轴，交AB 于点E设直线AB 的解析式为1y k x b =+，将1(1,)2A ，B ()2,6代入，得： 111226k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得：111=25k b ⎧⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线AB 的解析式为：1152y x =- ∴E 点坐标为1101,11112a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴EC=110101011111111 a a a⎛⎫-+=-⎪⎝⎭∴1111101062241111 ABCS EC a⎛⎫=⋅-=-⎪⎝⎭△∴5522ABCS a=-△或5522ABCS a=-△【点睛】本题考查一次函数与几何综合，掌握一次函数图像上点的坐标特点，利用数形结合思想解题是关键．例10．（2019·上海市西延安中学八年级期中）已知一次函数y=-34x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．（1）求点B的坐标；（2）求直线AE的表达式；（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．【答案】（1）B（8，0）；（2）直线AE的表达式为y=-2x+6； (3) △OFB为等腰三角形，S△OBF=8.【分析】（1）对于一次函数y=-34x+6，令y=0和x=0求出对应的x与y的值，确定出OA及OB的长，即可确定出B的坐标；（2）由（1）得出A的坐标，利用勾股定理求出AB的长，过E作EG垂直于AB，由AE为角平分线，利用角平分线定理得到EO=EG，利用HL可得出直角三角形AOE与直角三角形AGE全等，可得出AO=AG，设OE=EG=x，由OB-OE表示出EB，由AB-AG=AB-AO表示出BG，在直角三角形BEG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OE的长，得出E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b（k≠0），将A和E的坐标代入，得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可得到直线AE的解析式；（3）延长BF与y轴交于K点，由AF为角平分线得到一对角相等，再由AF与BF垂直得到一对直角相等，以及AF为公共边，利用ASA得出三角形AKF与三角形ABF全等，可得出AK=AB，利用三线合一得到F为BK的中点，在直角三角形OBK中，利用斜边上的中线等于斜边的一半得到OF为BK的一半，即OF=BF，过F作FH垂直于x轴于H点，利用三线合一得到H为OB的中点，由OB的长求出OH的长，即为F的横坐标，将求出的横坐标代入直线AE解析式中求出对应的纵坐标，即为HF的长，以OB为底，FH为高，利用三角形的面积公式即可求出三角形BOF的面积；【详解】（1）对于y=-34x+6，当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，∴OA=6，OB=8，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，则A（0，6），B（8，0）；（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，∴EG=OE，在Rt△AOE和Rt△AGE中，{AE AE EO EG==∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），∴AG=AO，设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，解得：x=3，∴E（3，0），设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得：6?{?30bk b=+=，解得26kb=-⎧⎨=⎩则直线AE的表达式为y=-2x+6；(3)延长BF交y轴于点K，∵AE平分∠BAO，∴∠KAF=∠BAF，又BF⊥AE，∴∠AFK=∠AFB=90°∵AF=AF∴△AFK≌△AFB，∴FK=FB，即F为KB的中点，又∵△BOK为直角三角形，∴OF= 12BK=BF，∴△OFB为等腰三角形，过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图所示），∵OF=BF，FH⊥OB，∴OH=BH=4，∴F点的横坐标为4，设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，FH=|-2|=2，则S△OBF= 12OB•FH=12×8×2=8.例11.如图，已知直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，将直线y=x 向上平移1个单位长度得到直线PA ，点Q 是直线PA 与y 轴的交点，求四边形PQOB 的面积．【答案】65． 【解析】由题意可得：直线PA 的解析式为1+=x y令⎩⎨⎧+-=+=221x y x y ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==3431y x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛3431，P ． ∵点Q 是直线PA 与y 轴的交点， ∴()01Q ，． ∵直线l ：22y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，∴B （1，0），C （0，2）．∴65311211221=⨯⨯-⨯⨯=-=CPQ COB PQOB S S S △△四边形． 【总结】考察四边形面积的求法，不规则图形的面积用割补法来解决．例12.如图，已知直线AB ：2y x =+与直线OA ：13y x =交于点A ，与直线OB ：3y x =交于点B 两点．求△AOB 的面积．【解析】令⎪⎩⎨=x y 31，解得：⎩⎨-=1y ，则()31A --，． 令⎩⎨⎧=+=x y x y 32，解得：⎩⎨⎧==31y x ，则()13B ，． 设直线AB 与x 轴相交于C ，则C （－2，0），∴412213221=⨯⨯+⨯⨯=+=OCB OAC OAB S S S △△△． 【总结】考察三角形面积的求法，不能直接求面积则用割补法来解决，注意交点坐标的求法． 例13.如图，已知直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分，求直线l 的解析式．【解析】∵直线3y x =+的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （－3，0），B （0，3），∴293321=⨯⨯=OAB S △． 当OBA OBC S S △△32=时，则2932321⨯=⨯⨯C y ，则2=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－1，2），则直线l 的解析式为：2y x =-； 当OBA OBC S S △△31=时， 则2931321⨯=⨯⨯C y ，则1=C y ， ∵C 点在直线AB 上，∴C （－2，1），则直线l 的解析式为：x y 21-=． 综上直线l 的解析式为2y x =-或x y 21-=． 【总结】考察面积的求法，本题中要注意分类讨论．例14.如图，已知，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =12，四边形EFGH 的三个顶点E 、F 、H 分别在矩形ABCD 边AB 、BC 、DA 上，AE =2．（1）如图1，当四边形EFGH 为正方形时，求△GFC 的面积；（2）如图2，当四边形EFGH 为菱形，且BF =a 时，求△GFC 的面积．（用含a 的代数式表示）【难度】★★★【解析】（1）过点G 作GM ⊥BC 于M ．∵四边形EFGH 为正方形时，∴︒=∠+∠90BEF AEH∵︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠∵BEF AHE ∠=∠，B A ∠=∠，EF EH =，∴BEF AHE ≌△△同理可知：BEF MFG ≌△△∴2===AE BF GM∴10=-=BF BC FC ，则10=GFC S △；（2）过点G 作GM ⊥BC 于M ，连接HF∵AD ∥BC ，∴MFH AHF ∠=∠∵EH ∥FG ，∴GFH EHF ∠=∠∴MFG AHE ∠=∠∵MFG AHE ∠=∠，GMF A ∠=∠，GF EH =，∴MFG AHE ≌△△∴2==AE GM ∴()a a GM FC S GFC -=⨯-=⋅=122122121△． 【总结】本题主要考察菱形、正方形的性质和全等三角形的判定和性质．例15.如图1，正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D 在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ．（1）若△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2，求k 的值；（2）联结BE ，当BE 平分∠FBA 时，求k 的值．【难度】★★★【答案】（1）1=k ；（2）2=k ．【解析】（1）∵正方形ABCD 的边长为2，点A (0， 1)和点D在y 轴正半轴上，点B 、C 在第一象限，∴B (2， 1)，C (2， 3)，D (0， 3)．∵一次函数y ＝kx ＋2的图像l 交AD 、CD 分别于E 、F ， ∴E (0， 2)．设F (m ， 3)，∵△DEF 与△BCF 的面积比为1∶2， ∴()212221121=⨯-⨯⋅m m ，解得：1=m ，∴F (1， 3) ∵F (1， 3)在直线y ＝kx ＋2上，∴1=k ；（2）延长BE 交CD 的延长线于H ，∵BE 平分∠FBA ，∴ABE FBE ∠=∠∵CD ∥AB ，∴ABE H ∠=∠，∴FBE H ∠=∠，∴FB=HF∵AE =1，DE=1，∴AE=DE∵AE=DE ，BAE HDE ∠=∠，BEA HED ∠=∠∴△HED ≌△BEA∴HD=AB =2，∴H (－2， 3)设F (n ， 3)∵FB=HF ，∴()22222+=+-n n ，解得：21=n ， ∴F (21， 3) ∵F (21， 3)在直线y ＝kx ＋2上， ∴2=k ．【总结】考察等腰三角形的性质和两点之间的距离公式的运用，注意点的坐标与解析式的关系．例16.如图，在平面直角坐标系中，函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点A 的直线交y 轴正半轴于点M ，且点M 为线段OB 的中点．（1）求直线AM 的表达式；（2）试在直线AM 上找一点P ，使得S △ABP ＝S △AOB ，请求出点P 的坐标；（3）若点H 为坐标平面内任意一点，是否存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．【难度】★★★【答案】（1）6+=x y ；（2）P (6， 12)或P (－18， －12)；（3）H (－12， 0)或H (－6， 18)或H (56-， 518)． 【解析】（1）∵函数y ＝2x ＋12的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，∴A (－6， 0)，B (0， 12)∵点M 为线段OB 的中点， ∴M (0， 6)，则直线AM 的表达式为6+=x y ；（2）当点P 在AM 的延长线上时∵S △ABP ＝S △AOB ，∴OP ∥AB ，则可知直线OP 的表达式为x y 2=．∵P 在直线AM 上，∴令⎩⎨⎧+==62x y x y ，解得：⎩⎨⎧==126y x ， ∴P (6， 12)； 当P 在AM 的反向延长线上时，过P 点作PN ⊥OB ，垂足为H设P (n ， n+6)∵AONP ABO BPN ABP S S S S 梯形△△△--=， S △ABP ＝S △AOB ，()()()()1262166621126216621⨯⨯=--⨯--⨯-⨯⨯----⋅n n n n ，解得：18-=n ， 则P (－18， －12)．（3）存在点H ，使以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．若以AM 为底，BM 为腰，过点B 作AM 的平行线，当点H (－12， 0)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以BM 为底，AM 为腰，过点A 作BM 的平行线，当点H (－6， 18)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形；若以AB 为底，BM 为腰，过点M 作AB 的平行线，当点H (56-， 518)时，以A 、B 、M 、H 为顶点的四边形是等腰梯形．【总结】本题综合性较强，本题一方面考察面积的确定，另一方面考察等腰梯形的性质和分类讨论．例17.如图1，已知直角坐标平面内点A (2, 0)，P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点，PQ ⊥AP 交y 轴正半轴于点Q ．（1）试证明：AP ＝PQ ；（2）设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，那么b 关于a 的函数关系式是_______；（3）当S △AOQ ＝23S △APQ 时，求点P 的坐标．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）22-=a b ；（3）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ． 【解析】（1）过P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为H 、T ，∵P 是函数y ＝x （x ＞0）图像上一点∴PH=PT ，PH ⊥PT∵PQ ⊥AP ，∴QPT APH ∠=∠∵QPT APH ∠=∠，PH=PT ，QTP AHP ∠=∠∴△PHA ≌△PTQ∴AP ＝PQ ；（2）由（1）可得：TQ a AH =-=2∵OH OT TQ OQ ==+，∴a a b =-+2，即22-=a b ；（3）设()P a a ，， ∵2221-=⋅⋅=a OQ OA S AOQ △，222122+-==a a AP S APQ △， ∴()2232222+-=-a a a ， 解得：255±=a ． ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--255255，P 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++255255，P ．【总结】本题主要考察全等的运用，及三角形面积的求法，注意利用面积公式确定点的坐标． 模块二：与面积相关的函数解析式知识精讲本节主要研究点在运动的背景下，产生的面积与动点之间的关系，关键点是找出决定这个面积变化的几个量是怎样变化的，重点在于思维能力的培养，难度较大．例题解析例1.如图，矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，M 是CD 的中点，点P 在矩形的边上沿A B C M →→→运动，试写出△APM 的面积y 与点P 经过的路程x 之间的函数关系，写出定义域，并画出函数图像．【难度】★★【解析】当P 在AB 上运动时，即10≤<x ，y =x AP AD S APM =⋅=21△； 当P 在BC 上运动时，即31≤<x ，∵PCM ABP ABCM APM S S S S △△梯形△--=，∴y =454432123+-=----=x x x S APM △； 当P 在CM 上运动时，即273≤<x ， y =x x S APM -=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2722721△． 函数图像如由图所示．【总结】本题主要考察面积与动点的结合，注意进行讨论．例2.如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，点P 从点D 出发沿DA 边以每秒1cm 的速度移动，点Q 从点B 出发沿BC 边以每秒2cm 的速度移动（当点P 到达点A 时，点P 与点Q 同时停止移动），假设点P 移动的时间为x （秒），四边形ABQP 的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）在移动的过程中，求四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时x 的值；（3）在移动过程中，是否存在x 使得PQ ＝AB ，若存在，求出所有的x 的值；若不存在，请说明理由．【难度】★★【答案】（1）102+=x y （50≤≤x ）；（2）3=x ；（3）35=x 或311=x ． 【解析】（1）作AE ⊥BC 于E ，DF ⊥BC 于F ，∵AB ＝CD ＝AD ＝5cm ，BC ＝11cm ，∴BE=CF =3，则4=AE ．∵2DP x BQ x ==，， ∴()10242521+=⨯+-⨯=x x x y （50≤≤x ）； （2）当四边形ABQP 的面积与四边形QCDP 的面积相等时，四边形ABQP 的面积等于四边形ABCD 的面积的一半， ∴()41152121102⨯+⨯⨯=+x ，解得：3=x ； （3）∵PQ ＝AB ，AD //BC ，∴四边形ABQP 为平行四边形或等腰梯形． 当四边形ABQP 为平行四边形时，则AP ＝BQ ，∴x x 25=-，解得：35=x ；当四边形ABQP 为等腰梯形时，则四边形PQCD 为平行四边形，∴x x 211-=，解得：311=x ；综上所述，当PQ ＝AB 时，x 的值为53或113．【总结】本题主要考察动点背景下的平行四边形和等腰梯形的性质的综合运用．例3.已知：如图1，在线段AE 的同侧作正方形ABCD 和正方形BEFG （BE ＜AB ），连结EG 并延长交DC 于点M ，作MN ⊥AB ，垂足为N ，MN 交BD 于P ．设正方形ABCD 的边长为1．（1）证明：△CMG ≌△NBP ；（2）设BE ＝x ，四边形MGBN 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果按照题设方法作出的四边形BGMP 是菱形，求BE 的长．【难度】★★★【解析】（1）∵正方形ABCD 和正方形BEFG ，∴︒=∠45ABD ，︒=∠45BEG ∵CM ∥BE ，∴︒=∠=∠45BEG CMG ∵正方形ABCD ，MN ⊥AB ，∴四边形BCMN 是矩形， ∴CM=NB ． ∵CM=NB ，PNB C ∠=∠，PBN CMG ∠=∠ ∴△CMG ≌△NBP ；（2）∵正方形BEFG ，BE ＝x ，∴x BE BG ==， ∴x CG -=1，∴()()212111212+-=-+=x x x y （10<<x ）；（3）由已知可得：MN ∥BC ，MG ∥BP ， ∴四边形BGMP 是平行四边形．要使四边形BGMP 是菱形，则MG BG =，∴()x x -=12，解得：22-=x ， ∴当22-=BE 时，四边形BGMP 是菱形．【总结】本题考察正方形的性质和动点背景的下面积问题，解题时注意认真分析题目中的条件．例4.已知：在梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4，点E 在边AB 上，CE ＝CD ．（1）如图1，当∠BCD 为锐角时，设AD ＝x ，△CDE 的面积为y ，求y 与x 之间 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2） 当CD ＝5时，求△CDE 的面积．【难度】★★★【答案】（1）x x y 4212+-=（40<<x ）；（2）27或252．【解析】（1）过C 作CF ⊥AD 交AD 延长线于F∵AD //BC ，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴四边形ABCF 是正方形．∵CE ＝CD ，BC=CF ，∴△BCE ≌△FCD ，∴DF=BE ∵AD ＝x ，∴x DF -=4，∴x BE -=4 ∴ADE BEC ABCD y S S S =--△△梯形 ()()1114444222x x x x =+⨯-⋅⋅-⨯⨯- 2142x x =-+， 定义域为：40<<x ；（2）当∠BCD 为锐角时，∵CD ＝5时，CF=4，∴由勾股定理可得：3=DF ，则1=AD代入解析式中可得：27=y ；当∠BCD 为钝角时，易知3DF BE ==．∴CDEBCEADEABCD SS SS=--梯形111(47)43417222=⨯+⨯-⨯⨯-⨯⨯ 252=． 综上所述，△CDE 的面积为27或252． 【总结】考察全等三角形的构造和正方形的性质的综合运用，第（2）问要注意分类讨论．例5.如图1，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ．（1）当点E 恰为AB 中点时，求m 的值；（2）当点E 在线段OA 上，记△ODE 的面积为y ，求y 与m 的函数关系式并写出定义域； （3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形O 1A 1B 1C 1， 试判断四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，写出该重叠部分的面积；若改变，写出重叠部分面积S 关于m 的函数关系式．【难度】★★★【解析】∵四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3,0），（0,1），∴B （3,1）．（1）当点E 恰为AB 中点时，则E （3，21） ∵点E 在直线12y x m =-+上， ∴代入E 点坐标，可得：2=m ；（2）当点E 在线段OA 上，∵直线12y x m =-+交折线OAB 于点E ， ∴E （m 2，0），∴m m y =⋅⋅=1221（312m <≤）； （3）设O 1A 1与CB 相交于点M ，OA 与B 1C 1相交于点N ，则四边形O 1A 1B 1C 1与 矩形OABC 的重叠部分的面积为四边形DNEM 的面积． ∵DM ∥NE ，DN ∥ME ，∴四边形DNEM 是平行四边形∵NED MED ∠=∠，NED MDE ∠=∠，∴NED MED ∠=∠， ∴ME MD =，∴四边形DNEM 是菱形过D 作DH ⊥OA ，垂足为H ，设菱形DNEM 的边长为a∵D （22-m ，1），E （m 2，0）， ∴DH =1，HE =()2222m m --=，∴2NH EN EH a =-=-， 在直角△DHN 中，()22212+-=a a ，解得：45=a ∴菱形DNEM 的面积为：55144⨯=．【总结】本题综合性较强，一方面考查面积与动点的结合，另一方面考查面积的定值，注意进行分析．例6.如图1，在正方形ABCD 中，点E 在边AB 上（点E 与点A 、B 不重合），过点E 作FG ⊥DE ，FG 与边BC 相交于点F ，与边DA 的延长线相交于点G ．（1）当E 是AB 中点时，求证AG ＝BF ；（2）当E 在边AB 上移动时，观察BF 、AG 、AE 之间具有怎样的数量关系?并证明你所得 到的结论；（4）联结DF ，如果正方形的边长为2，设AE ＝x ，△DFG 的面积为y ，求y 与x 之间 的函数解析式，并写出函数的定义域．【难度】★★★【答案】（1）见解析；（2）AE AG BF =+；（3）2212+=x y （20<<x ）．【解析】（1）当E 是AB 中点时，AE=BE∵AE=BE ，AEG BEF ∠=∠，B EAG ∠=∠ ∴△EAG ≌△EBF ∴AG ＝BF（2）AE AG BF =+过点F 作FH ⊥DA ，垂足为H ，则四边形ABFH 是矩形∴FH=AB=AD∵DE ⊥FG ，∴DEA ADE G ∠=∠-︒=∠90 ∵FH=AD ，DEA G ∠=∠，G A ∠=∠ ∴△FHG ≌△DAE ， ∴GH=AE ，即AE AG HA =+ ∵BF=HA ， ∴AE AG BF =+； （3）由（2）可得：FG=DE ∴224+==x DE FG ∴221442122222+=+⋅+=x x x y （20<<x ）【总结】本题主要考察正方形背景下的动点问题，注意对常见辅助线的添加以及线段间的转化．例7.如图1，梯形ABCD 中，AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21．点P 从点A 出发沿AD 以每秒1个单位的速度向点D 匀速运动，点Q 从点C 沿CB 以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动．点P 、Q 同时出发，其中一个点到达终点时两点停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）当AB ＝10时，设A 、B 、Q 、P 四点构成的图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出定义域；（2）设E 、F 为AB 、CD 的中点，求四边形PEQF 是平行四边形时t 的值．【难度】★★★【答案】（1）t S 5105-=（5.100≤≤t ）； （2）23=t ． 【解析】（1）由题意可得：AP =t ，CQ =t 2，则()t t t S 51051022121-=⨯-+⨯=（5.100≤≤t ）；（2）过点D 作DH ⊥BC 于H ，取CH 的中点G ，则四边形ABHD 是矩形．∵F 是CD 的中点，G 是CH 的中点，∴DH FG 21= ∵AD //BC ，∠B ＝90°，AD ＝18，BC ＝21∴CH =21-18=3，CG =2321=CH∴232-=-=t GC QC QG ∵四边形PEQF 是平行四边形， ∴PE=QF∵AB FG AE 21==，90A FGQ ∠=∠=∴△AEP ≌△GFQ ， ∴QG=AP∴t t =-232， 解得：23=t ， 即当四边形PEQF 是平行四边形时，t 的值为32． 【总结】本题一方面考察梯形背景下的动点结合，另一方面考察中位线及平行四边形的性质的综合运用，注意认真分析．例8.如图1，在菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AB ＝4．左右作平行移动的正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上．当点G 到边BC 中点时，点E 恰好在边AB 上． （1）如图1，求正方形EFGH 的边长；（2）设点B 与点F 的距离为x ，在正方形EFGH 作平行移动的过程中，正方形EFGH 与菱形ABCD 重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）联结FH 、HC ，当△FHC 是等腰三角形时，求BF 的长．【难度】★★★【解析】（1）当点G 到边BC 中点时，BG=2，∵∠B ＝45°，正方形EFGH 的两个顶点F 、G 始终在边BC 上． ∴BF=EF=FG ∵BG=2，∴FG=1，即正方形EFGH 的边长为1；（2）当10≤<x 时，()212121122++-=--=x x x y ，当31≤<x 时，1=y ；（3）当FH=HC 时，∵HG ⊥CF ，∴FG=CG=1， ∴2114=--=--=FG GC BC BF ； 当FC=HC 时，∵CG CG FG FC +=+=1，2221GC GC GH HC +=+= ∴112+=+GC GC ，解得：0=GC ， ∴3014=--=--=FG GC BC BF ；当FH=FC 时，则2=FC ，此时24-=-=FC BC BF ，综上所述，当△FHC 是等腰三角形时，BF 的长为2或3或4．【总结】本题主要考察平行四边形与正方形的性质的综合运用，解题时注意对等腰三角形要。
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精锐教育1对3辅导教案
1．熟练运用一次函数解决特殊四边形存在问题；
2．体会数形结合的思想方法；体会一次函数与几何图形的内在联系．
（此环节设计时间在10-15分钟）
教法说明：回顾上次课的预习思考内容，要求学生在函数图像中找出符合要求的点。
1． 已知点A 、B 、C 、D 可以构成平行四边形，且点A （－1，0），点B （0，3），点C （3，0），则第四个顶
点D 的坐标为_________________________；
参考答案：（4，3）或（—4，3）或（2，—3）；
x
y B
C
A O
x
y
D 2
D 3
D 1
B
C
A O
2．已知一次函数3
34
y x =-
+的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，如果点C 在y 轴上，存在点D 使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形，则D 的坐标为 ．
参考答案：123(4,0),(4,5),(4,5)D D D --；
（此环节设计时间在50-60分钟）
例题1：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 为菱形，点A 的坐标为（0，1），点D 在y 轴上，经过点B 的直线4+-=x y 与AC 相交于横坐标为2的点E ． （1）求直线AC 的表达式； （2）求点B 、C 、D 的坐标．
参考答案：（1）∵点直线4y x =-+经过横坐标为2的点E ，∴E （2，2）． 由点A （0，1）,设直线AC 的表达式为1y kx =+，
∴1221,2k k =+=；∴直线AC 的表达式为1
12
y x =+．
（2）设点C 的坐标为（2,1m m +），
∵在菱形ABCD 中，BC //AD ，∴点B 的坐标为（2,24m m -+）．
∵BA ＝BC ，∴22BA BC =； ∴22
2
(20)(241)(124)m m m m -+-+-=++-．
∴2
1260,0(),6m m m m -===舍去． ∴点B 、C 的坐标分别为（12,8-）、（12,7）．
∵AD ＝BC ＝15，∴OD ＝16，∴D （0，16）．
x
y B
A
O
E A O
x y
B
C
D x
y
D 2
D 1
D 3
B
A
O
∴点M 的坐标为（4，3） ∴点N 的坐标为（4，8）
③如图3，当OM ＝MD ＝DN ＝NO 时，四边形OMDN 为菱形. 联结NM 交OD 于点P 则NM 与OD 互相垂直平分， ∴52M N y y OP ===
，∴15522
M x -+= ∴5M x =，∴ 5.N M x x =-=-
∴点N 的坐标为552⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
综上所述，x 轴上方的点N 有三个，分别为()
()12352554852N N N ⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
，，，
，，.
此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
1．如图，一次函数24y x =+的图像与x 、y 轴分别相交于点A 、B ，以AB 为边作正方形ABCD ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；
（2）设点M 在x 轴上，如果△ABM 为等腰三角形，求点M 的坐标．
参考答案：（1）过点D 作x 轴的垂线，垂足为点E ．
由函数24y x =+，当y = 0时，得x = -2， 即得点A 的坐标为A （-2，0）． 当x = 0时，得y = 4，即得点B 的坐标为B （0，4）． 由正方形ABCD ，可证得△ADE ≌△BAO ．
∴DE = OA = 2，AD = BO = 4，即得OE = 2． ∴点D 的坐标为D （2，-2）．
（2）由A （-2，0），B （0，4），得2
2
2425AB =+=．
x
y
C
D
B
A
O
x
y N
M
P
E
B
O
A
C D
F
∴∠AED =∠ABC =60º，∠ADE =30º，∴AE =4，AD =43， ∴AH =23，OH =33，DH =6，∴点D （33,6）． ∴点D 的坐标为（53,3）或（33,6）．
（此环节设计时间在5-10分钟内）
让学生回顾本节课所学的重点知识，以学生自我总结为主，学科教师引导为辅，为本次课做一个总结回顾
【巩固练习】 1．如图，一次函数1
3
y x b =+的图像与x 轴相交于点A （6，0）
、与y 轴相交于点B ，点C 在y 轴的正半轴上，BC =5．
（1）求一次函数的解析式和点B 、C 的坐标；
（2）如果四边形ABCD 是等腰梯形，求点D 的坐标．
x
y A
C B
O
-=___ +=_____________AB AD
AB AD
向量加法满足交换律，即：。