第二节离散时间马尔可夫链的几个性质
马尔可夫链性质
马尔可夫链性质马尔可夫链的性质及简单分类1。
关于马尔可夫性的定义： Markov chain(M)是一个基于（随机）概率分布，或者更确切地说一个集合，这里的概率取决于一个分布的参数值。
一般用“ M”来表示这种性质。
2。
单个马尔可夫链的特征马尔可夫链是有限个无限深的、具有有限个状态和无限个后继的动态过程。
例如，如果考虑在一次掷一颗色子中不被点到次数最多的那个动作为初始状态，那么将该动作进行第k次后停止并且记为k+1，从而就形成了一条以0为状态、具有0个后继的马尔可夫链。
3。
M 的稳定性①一条马尔可夫链是稳定的，如果存在一个稳定点，则它必定收敛于一个极小值。
②无穷大的马尔可夫链不是稳定的，因为无限大的马尔可夫链没有极小点。
③一条马尔可夫链是不稳定的，如果存在一个临界值，那么它将不能收敛到一个极小值。
④当m= 1时，M为不稳定的，因为此时不存在一个能使得M在不断移动中达到极小值的事件。
4。
多重马尔可夫链的稳定性①当m=1时，每个马尔可夫链都是稳定的，但是有一个M-1，即当m=1时， M至少存在两个状态。
②当m为有限值时，它的收敛速度相当快。
所以可以利用它实现无限大的马尔可夫链的分析。
5。
稳定性的相关例子：单个马尔可夫链，初始状态集（ 0， 1）多个马尔可夫链，初始状态集（ 1， 0）多重马尔可夫链，初始状态集（ 1， n-1）马尔可夫链的多样性对比类似于巴斯德的多样性：只有三个简单的经典情况：一组确定的物理事件；一组随机变量；一组标准的模式。
6。
平衡状态：给定初始状态，单个马尔可夫链不可能达到平衡状态，而多重马尔可夫链可以通过某种算法达到平衡状态。
7。
平衡状态下单个马尔可夫链的产生（ 1）可以设想，只要每个平衡状态都是不稳定的，那么有无限多个初始状态集，其中有多个不同的选择。
（ 2）单个马尔可夫链不可能生成的情况：对于给定的马尔可夫链来说，如果一开始的状态集不为空，那么平衡状态也一定不会为空。
马尔可夫链
马尔可夫链马尔可夫链（Markov chains ）是一类重要的随机过程，它的状态空间是有限的或可数无限的。
经过一段时间系统从一个状态转到另一个状态这种进程只依赖于当前出发时的状态而与以前的历史无关。
马尔可夫链有着广泛的应用，也是研究排队系统的重要工具。
1) 离散时间参数的马尔可夫链 ①基本概念定义 5.7 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个随机过程，状态空间{0,1,2,}E =，如果对于任意的一组整数时间120k n n n ∙∙∙≤<<<，以及任意状态12,,,k i i i E ∈，都有条件概率11{()|()}k k k k P X n i X n i --=== （5-17）即过程{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，未来所处的状态只与当前的状态有关，而与以前曾处于什么状态无关，则称{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是一个离散时间参数的马尔可夫链。
当E 为可列无限集时称其为可列无限状态的马尔可夫链，否则称其为有限状态的马尔可夫链。
定义5.8 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E =上的马尔可夫链，条件概率(,){()|()}ij p m k P X m k j X m i i j E =+==∈，、 （5-18）称为马尔可夫链{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，在m 时刻的k 步转移概率。
k 步转移概率的直观意义是：质点在时刻m 处于状态i 的条件下，再经过k 步（k 个单位时间）转移到状态j 的条件概率。
特别地，当1k =时，(,1){(1)|()}ij p m P X m j X m i =+== （5-19）称为一步转移概率，简称转移概率。
如果k 步转移概率(,)ij p m k i j E ∈，、，只与k 有关，而与时间起点m 无关，则{()}X n 称为离散时间的齐次马尔可夫链。
定义5.9 设{()0,1,2,}X n n ∙∙∙=，是状态空间{0,1,2,}E ∙∙∙=上的马尔可夫链，矩阵000101011101(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n j j jn p m k p m k p m k p m k p m k p m k P m k p m k p m k p m k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5-20） 称为{()}X n 在m 时刻的k 步转移概率矩阵。
马尔可夫链的基础知识
马尔可夫链的基础知识马尔可夫链是一种数学模型，用于描述一系列随机事件的演变过程。
它的基本思想是，当前事件的发生只与前一个事件的状态有关，与更早的事件无关。
马尔可夫链在许多领域都有广泛的应用，如自然语言处理、金融市场分析、生物信息学等。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链由状态空间、状态转移概率和初始状态分布组成。
状态空间是指所有可能的状态的集合，用S表示。
状态转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率，用P表示。
初始状态分布是指在初始时刻各个状态出现的概率分布，用π表示。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔可夫性质：当前状态的发生只与前一个状态有关，与更早的状态无关。
即P(Xn+1|Xn,Xn-1,...,X1) = P(Xn+1|Xn)。
2. 遍历性质：从任意一个状态出发，经过有限步骤可以到达任意一个状态。
3. 唯一性质：对于给定的状态空间和状态转移概率，存在唯一的初始状态分布使得马尔可夫链收敛到平稳分布。
4. 平稳性质：当马尔可夫链收敛到平稳分布时，后续状态的分布不再改变。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于生成文本，如自动写诗、自动对话等。
通过学习语料库中的马尔可夫链模型，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链可以用于预测金融市场的走势。
通过分析历史数据，建立马尔可夫链模型，可以预测未来的市场状态。
3. 生物信息学：马尔可夫链可以用于基因序列分析。
通过建立马尔可夫链模型，可以预测基因序列中的隐含信息，如启动子、剪接位点等。
四、马尔可夫链的改进1. 高阶马尔可夫链：考虑当前状态与前几个状态的关系，可以建立高阶马尔可夫链模型。
高阶马尔可夫链可以更准确地描述事件的演变过程。
2. 隐马尔可夫链：考虑到状态不可观测的情况，可以建立隐马尔可夫链模型。
隐马尔可夫链可以用于序列标注、语音识别等领域。
五、总结马尔可夫链是一种描述随机事件演变过程的数学模型，具有马尔可夫性质、遍历性质、唯一性质和平稳性质。
马尔可夫链的基本概念
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一种特殊的随机过程，广泛应用于统计学、机器学习、经济学、计算机科学等多个领域。
为了深入理解马尔可夫链的概念，我们先从基本定义开始，再逐步探讨其性质、分类、应用及实例分析。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一种具有“无记忆”特性的随机过程，即在给定当前状态的前提下，未来状态与过去状态无关。
换句话说，系统的未来发展只依赖于当前的状态，而不依赖于以前的状态。
这一特性通常被称为“马尔可夫性”，是马尔可夫链最大的特点。
在形式上，我们可以定义一个离散时间的马尔可夫链为一个由状态集合 ( S ) 组成的序列，其中 ( S ) 可能是有限的也可能是无限的。
设 ( X_n ) 为在时间 ( n ) 时刻该过程所处的状态，若满足条件：[ P(X_{n+1} = j | X_n = i, X_{n-1} = k, , X_0 = m) =P(X_{n+1} = j | X_n = i) ]其中，( P ) 是条件概率，这就表明该过程符合马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的基本组成要素状态空间：状态空间是指系统所有可能的状态集合，通常用集合 ( S ) 表示。
例如，一个简单天气模型可以将状态空间定义为 ( S = {晴天, 雨天} )。
转移概率：马尔可夫链中的转移概率是指从一个状态转移到另一个状态的概率。
对于有限状态空间，转移概率通常用转移矩阵表示，其元素 ( P_{ij} ) 表示从状态 ( i ) 转移到状态 ( j ) 的概率。
初始分布：初始分布描述了系统在时间 ( t=0 ) 时，各个状态出现的概率。
通常用一个向量表示，如 ( _0(i) ) 代表在初始时刻处于状态 ( i ) 的概率。
三、马尔可夫链的性质马尔可夫链具有许多重要的性质，其中最为关键的是遍历性和极限性。
遍历性：如果一个马尔可夫链在长期运行后，将以一种稳定的方式达到各个状态，并且这个稳态与初始选择无关，那么我们称它为遍历。
换句话说，一个遍历性的马尔可夫链在达到平稳分布后，各个状态出现的概率将保持不变。
马尔可夫链的应用与特性
马尔可夫链的应用与特性马尔可夫链是一种常见的数学模型，基于对随机事件的观察和统计，它可以用来描述系统状态的演化和变化过程，具有广泛的应用和重要的理论意义。
本文将介绍马尔可夫链的一些基本概念和重要特性，以及它在实际问题和学术研究中的一些应用案例。
一、基本概念和定义马尔可夫链指的是一类离散的随机过程，具有无后效性和可数的状态空间。
其转移概率矩阵是一个满足非负性和单位根性质的矩阵，表示了从一个状态到另一个状态的概率分布。
换句话说，如果当前处于某个状态，那么下一个状态只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这种“不记忆”的特性使得马尔可夫链可以用来模拟很多随机现象，如天气、股票价格等。
马尔可夫链的状态可以是离散的或连续的，但必须满足可数性和 Markov 性质。
其中可数性是指状态空间的元素个数是可数的，而 Markov 性质则是指状态转移概率只与当前状态有关，而与时间和历史状态无关。
这是马尔可夫链的核心特性，也是它具有可解性和可控性的基础。
二、重要特性和性质马尔可夫链具有一些重要的数学特性和性质，为理解和应用它提供了一些基础知识。
1. 不可约性：如果系统中的任意两个状态都是可达的，那么该马尔可夫链就是不可约的。
这意味着该系统可以在任意一个状态之间自由转移，并且有可能出现循环或周期性行为。
不可约性是马尔可夫链分析的一个基本假设，它保证了系统的完整性和稳定性。
2. 非周期性：如果系统中任意一条从状态 i 到状态 i 的路径长度都是有限的，那么该马尔可夫链就是非周期的。
这意味着该系统不存在任何循环或周期性结构，而是呈现出一种无规律的变化过程。
非周期性是马尔可夫链的又一重要属性，它保证了系统的随机性和平稳性。
3. 遍历性：如果系统中从任意一个状态出发，都可以到达该系统中的任意一个状态，那么该马尔可夫链就是遍历的。
这意味着该系统具有完整的状态空间和多样的状态转移方式，可以满足更多的需求和条件。
遍历性是马尔可夫链的又一重要保证，它保证了系统具有全局性和可展性。
随机过程中的马尔可夫链
随机过程中的马尔可夫链随机过程是描述随机演化的数学模型。
其中，马尔可夫链是一种广泛应用于许多领域的随机过程。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来的演化仅依赖于当前状态，而与历史状态无关。
本文将介绍马尔可夫链的基本概念和特性，并探讨其在不同领域中的应用。
一、马尔可夫链的定义马尔可夫链是一个离散状态的随机过程，其转移概率只与当前状态有关，与历史状态无关。
具体而言，设S为状态空间，P为状态转移概率矩阵，则对于任意的状态i和j，转移概率满足条件P(i, j) ≥ 0，且对于任意的i，ΣP(i, j) = 1。
二、马尔可夫链的特性1. 马尔可夫性质：马尔可夫链的核心特性是马尔可夫性质，即未来的状态只与当前状态有关。
这一性质使得马尔可夫链具有一种"无记忆"的特点，使得其在很多问题中提供了简化假设的可能。
2. 连通性：如果对于任意的状态i和j，存在一系列状态k1, k2, ..., kn，使得从状态i出发，通过这些状态最终能够到达状态j，则称该马尔可夫链是连通的。
3. 遍历性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态，则称该马尔可夫链是遍历的。
4. 非周期性：如果从任意一个状态出发，经过有限步骤，能够回到该状态的概率为1，则称该马尔可夫链是非周期的。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链被广泛应用于自然语言处理领域，用于语言模型的建模。
通过分析文本数据中的词语之间的转移概率，可以生成具有一定连贯性的文本。
2. 金融市场：马尔可夫链在金融市场中的应用较为广泛。
通过分析过去的市场数据，可以构建马尔可夫链模型，预测未来的市场状态，用于投资决策和风险管理。
3. 生物信息学：马尔可夫链在DNA序列分析和蛋白质结构预测等生物信息学问题中得到了应用。
通过建立马尔可夫链模型，可以推断基因序列中的隐藏状态和转移概率，进而揭示生物系统的运作机制。
4. 推荐系统：马尔可夫链在推荐系统中也有一定的应用。
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解
马尔可夫链▏小白都能看懂的马尔可夫链详解1.什么是马尔可夫链在机器学习算法中，马尔可夫链(Markov chain)是个很重要的概念。
马尔可夫链（Markov chain），又称离散时间马尔可夫链（discrete-time Markov chain），因俄国数学家安德烈·马尔可夫（俄语：Андрей Андреевич Марков）得名，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程。
该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关。
这种特定类型的“无记忆性”称作马尔可夫性质。
马尔科夫链作为实际过程的统计模型具有许多应用。
在马尔可夫链的每一步，系统根据概率分布，可以从一个状态变到另一个状态，也可以保持当前状态。
状态的改变叫做转移，与不同的状态改变相关的概率叫做转移概率。
随机漫步就是马尔可夫链的例子。
随机漫步中每一步的状态是在图形中的点，每一步可以移动到任何一个相邻的点，在这里移动到每一个点的概率都是相同的（无论之前漫步路径是如何的）。
2.一个经典的马尔科夫链实例用一句话来概括马尔科夫链的话，那就是某一时刻状态转移的概率只依赖于它的前一个状态。
举个简单的例子，假如每天的天气是一个状态的话，那个今天是不是晴天只依赖于昨天的天气，而和前天的天气没有任何关系。
这么说可能有些不严谨，但是这样做可以大大简化模型的复杂度，因此马尔科夫链在很多时间序列模型中得到广泛的应用，比如循环神经网络RNN，隐式马尔科夫模型HMM等。
假设状态序列为由马尔科夫链定义可知，时刻Xt+1 的状态只与Xt 有关，用数学公式来描述就是：既然某一时刻状态转移的概率只依赖前一个状态，那么只要求出系统中任意两个状态之间的转移概率，这个马尔科夫链的模型就定了。
看一个具体的例子。
这个马尔科夫链是表示股市模型的，共有三种状态：牛市（Bull market）, 熊市（Bear market）和横盘（Stagnant market）。
马尔可夫链的基本原理和使用方法(八)
马尔可夫链是概率论中的一个重要概念，它可以描述随机过程中状态的转移规律。
马尔可夫链的基本原理和使用方法对于理解随机过程、模拟系统行为以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将介绍马尔可夫链的基本原理、定义以及使用方法。
一、马尔可夫链的基本原理马尔可夫链是一个离散时间随机过程，它具有马尔可夫性质，即未来的状态只依赖于当前的状态，而与过去的状态无关。
马尔可夫链可以用一个状态空间S和一个状态转移概率矩阵P来描述。
其中，状态空间S包含了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵P描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
马尔可夫链的基本原理可以用数学公式表示为P(Xn+1=i|X0=x0, X1=x1, ..., Xn=xi) = P(Xn+1=i|Xn=xi)。
这个公式表示了在已知当前状态的情况下，下一个状态的转移概率只与当前状态有关，而与之前的状态无关。
这就是马尔可夫链的马尔可夫性质。
二、马尔可夫链的定义马尔可夫链可以用一个状态空间S和一个状态转移概率矩阵P来定义。
状态空间S包含了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵P描述了从一个状态到另一个状态的转移概率。
状态转移概率矩阵P的定义如下：P(i, j) = P(Xn+1=j|Xn=i)其中，P(i, j)表示从状态i到状态j的转移概率。
状态转移概率矩阵P的每一行之和为1，因为在每个时刻，马尔可夫链必须转移到某一个状态。
三、马尔可夫链的使用方法马尔可夫链可以用来模拟随机过程的行为，预测未来的状态以及解决实际问题。
下面将介绍马尔可夫链的使用方法。
1. 模拟系统行为马尔可夫链可以用来模拟系统的行为。
假设有一个系统，它的状态在不同的时间点之间转移。
可以用马尔可夫链来描述系统的状态转移规律，然后利用状态转移概率矩阵P来模拟系统的行为。
通过模拟系统的行为，可以更好地理解系统的运行规律。
2. 预测未来的状态马尔可夫链可以用来预测未来的状态。
假设已知当前的状态，可以利用状态转移概率矩阵P来计算下一个时刻各个状态的转移概率，从而预测未来的状态。
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1 互通性 2 周期性 3 常返性 4 遍历性
1
1.3互通性举例
考察具有两个吸收壁的随机游动，E＝{0,1,2,3,…,a}它的 一步转移概率矩阵为
1 0
q
0
p
q0p
P
...
...
...
...
...
...
.
.
.
q 0 p
0 1
q=(1-p)
p
0
i-1 i i+1
1k
1 1/3 j
l
i
1
2/3 1 k
8
2 .2周期性
如何判别一个状态是非周期的？
若此状态带有自环，则必为非周期的（虽然非周期 的状态不一定有自环）
若此状态与一个非周期的状态互通，则必为非周期 的
以上是两个充分条件
我是非周期的， 因为我有自环
1/4
我也是非周期的， 因为我与非周期 状态1互通
3/4 1
1
1
0
2/3
1
2
非常返
3
1/2
常返
1/3
1/2
14
3.4 常返性
定理2.3 设X是不可约马氏链，那么其状态集E或者全由 非常返态组成，或者全为零常返态，或者全为 正常返态，且每个状态周期相同 这个定理称作“不可约马氏链的状态一致性”
15
定理2.4
4.1 遍历性
若马氏链X是齐次，不可约，非周期的，那么下列极限
19
5 .3离散时间马尔可夫链性质举例
有 p33 1
1
0
1
2
3
可约（ 为吸收态） 非周期 非常返 正常返 遍历的 此马氏链不是遍历的
20
5.4离散时间马尔可夫链性质举例
S={0,1,2,3}
0
1
2
3
状态个数有限 不可约 周期 d0=d1=d2=d3=3 正常返 不是遍历链
21
5.5离散时间马尔可夫链性质举例
i lni m i(n)
iE
总存在且与初始分布无关。此外，或者
A）所有状态全为非常返或者全为零常返，这是对一切j，
j=0，且不存在平稳分布。或者
B）所有状态全为正常返，且对一切j有j>0，这时{j}就 是平稳分布，同时有
j
1 Mj
而且i可由下述关系式唯一地确定
i 1
j ip ij
i
i
16
若一个马氏链的任意两个状态都互通，则此马氏链称 为不可约马氏链；否则称为可约的马氏链。
不可约的马氏链： 1
1 1/3
0
1
0 2/3 1
1
1/2
2 1/2
在排队论中，用到的马尔可夫链大多是不可约的
（书 第24页）
6
1.6不可约
可约的马氏链：
1
1
2，3 闭集
2/3
0
1
2
3
1/3
1
4 闭集(吸收态)
1
0
b
状态数有限 不可约（两两互通） 非周期（有自环） 正常返（状态有限，不可约） 遍历（不可约，非周期，正常返）
18
5 .2离散时间马尔可夫链性质举例
S={0,1,2,3….}
p
p
p pp
p
0
1
2
3
n
1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p 1-p
状态数无限 不可约 非周期 常返性要看p的取值
a
4
1.4互通性举例
考察具有两个吸收壁的随机游动，E＝{0,1,2,3,…,a}它的一
步转移概率矩阵为
1 0
q
0
p
q0p
P
.
.
.
...
...
...
...
...
...
q 0 p
0 1
1 qq 01 p
qqqq
…. i-1 i i+1
p p pp 状态转移图
q
1
…. a-1 a
pp
5
1.5不可约
2
1
9
3 .1常返性
常返性是考察马氏链由一个状态出发之后能否 再次回归到本状态的特性 常返性分三种
正常返（必定会返回，平均返回时间为有限值） 零常返（必定会返回，平均返回时间为 ） 非常返（可能不再返回）
（书 第21页）
10
3.2 常返性定义
引入符号
f (n) j
fj
1. fj(n )P (从 状 态 j出 发 经 过 n 步 第 一 次 回 到 状 态 j)
4.2 遍历性
如果齐次马氏链的一个状态j是非周期、正常返 的，则此状态j为遍历的。 如果一个不可约的马氏链所有状态均为遍历的， 则此马氏链就是遍历链。（修正书 25页）
遍历链
平稳分布：存在、与 初始分布无关、唯一、
且全部都大于0
17
5 .1离散时间马尔可夫链性质举例
S={0,1}
a
1-a
0
1
1-b
P (X nj,X kj,1kn|X 0j)
2.
fj
f(n) j
n1
P(从状态j出发经能够回到状态j)
3. 若fj=1，则称j是常返的；若fj<1则称j是非常返的
11
3.3 常返性定义
1. 平均返回时间
Mj nfj(n) n1
jS
若fj=1，同时Mj=，则称j是零常返的或消极 常返的； 若fj=1，同时Mj<，则称j是正常返的或积极 常返的。 2. 若j是正常返且非周期的，则称j是遍历的
12
3.4 常返性举例
p
p
p pp
p
q
q
qq q q
p+q =1 p<q 正常返 p=q 零常返 p>q 非常返
13
3.5 常返性判定
判断马氏链的常返性经常使用如下定理： 定理2.2 对有限状态齐次马氏链，必有
若此马氏链不可约，则E全由常返态组成； 不存在零常返态 不可约马氏链均由正常返态组成
1 2/3 2 1
1/3
7
2 .1周期性
定义
若记di为数集{n:
n1,
p (n) ii
0
}的最大公约数，则
称它为状态i的周期。若对一切n1有
p (n) ii
0，
则约定di=.
当di>1时，称i是有周期的状态，当di=1时，称i 是非周期的状态。
定理2.1
若ij，则di=dj
1j
i
1
（书 第20页）
S={0,1,2,3}
0
1
2
3
状态个数有限 不可约 非周期的 正常返 遍历链
22