2.2.1直线的参数方程 (2)
湘教版选修4《直线的参数方程》评课稿
湘教版选修4《直线的参数方程》评课稿一、教材分析1.1 教材内容本文评价的教材为湘教版选修4《直线的参数方程》课程教材。
该教材主要介绍了直线的参数方程及其在几何中的应用，包括直线的定义、参数方程的定义与性质、直线的平行及垂直关系等内容。
1.2 教材结构该教材共分为四个模块，首先介绍了直线的定义和基本性质，然后详细介绍了直线的参数方程的定义与性质，接着讲解了直线的平行及垂直关系，并结合实际问题进行了一些例题分析，最后通过总结和复习巩固所学知识。
二、教材评价2.1 教材优点2.1.1 知识结构合理教材从直线的定义出发，逐步引入参数方程的概念，并通过示例与练习，帮助学生深入理解直线的参数方程的含义和计算方法，适合学生的认知水平，能够有效培养学生的抽象思维和解决实际问题的能力。
2.1.2 示例丰富多样在参数方程的解法和应用过程中，教材提供了丰富的示例，涵盖了直线方程的各个应用场景，如平面图形的交点、直线的平移等，能够帮助学生灵活运用参数方程解决实际问题。
2.1.3 突出实践运用教材通过一些实际问题的引入，将参数方程与实际生活和工程问题相结合，激发学生的学习兴趣，增强学生对数学在实际生活中的认识和应用能力。
2.2 教材不足2.2.1 缺乏拓展探究在直线的参数方程的学习过程中，教材没有设置足够的拓展探究内容，如直线与圆的参数方程的关系、参数方程的应用于其他几何图形等，有待进一步完善，以提高学生的综合应用能力。
2.2.2 缺乏综合实践题教材的练习题主要围绕参数方程的计算和应用展开，缺乏一些综合实践题，如将参数方程应用到三角函数的性质中，解决实际生活中的问题等，需要增加这方面的题目来提高学习的综合应用能力。
2.3 教材改进建议2.3.1 添加拓展探究内容在教材中可以增加一些与直线参数方程相关的拓展探究内容，如直线与圆的参数方程的关系、参数方程的应用于其他几何图形等，以提高学生的综合应用能力和对数学的兴趣。
2.3.2 增加综合实践题在教材的练习题中，可以增加一些综合实践题，如将参数方程应用到三角函数的性质中，解决实际生活中的问题等，以提高学习的综合应用能力和思维能力。
三维空间中直线的方程式
三维空间中直线的方程式在三维空间中，直线的方程可以用参数方程和一般方程两种形式表示。
参数方程是将直线上的每一个点都表示为一个参数所确定的向量，而一般方程则是通过直线上两个点的坐标来表示的。
1.参数方程：直线的参数方程可以表示为：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中(x0,y0,z0)为直线上的已知点，而(a,b,c)为直线的方向向量，t为参数。
2.一般方程：首先，我们需要确定直线的方向向量。
假设直线上的两个点分别为P(x1,y1,z1)和Q(x2,y2,z2)，则直线的方向向量可以表示为V=PQ=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)。
然后，我们可以通过点P的坐标和方向向量V来推导直线的一般方程。
2.1.点向式：直线的一般方程可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c其中(a,b,c)为方向向量V的分量。
2.2.对称式：直线的一般方程也可以表示为：(x-x1)/a=(y-y1)/b=(z-z1)/c=t这里的t为参数。
2.3.常法式：直线的一般方程还可以表示为：Ax+By+Cz+D=0其中A,B,C为方向向量V的分量，而D为常数。
对于两个不平行的直线，我们可以通过将它们的方向向量进行叉乘来求得它们的交点。
除了参数方程和一般方程，还有其他表示直线的方法，比如点法式、斜截式等。
这些方法都根据直线上已知点和方向向量的不同形式而有所不同。
需要注意的是，在使用直线的方程时，我们需要根据实际情况选择最适合的表达形式。
有时候参数方程更方便，可以直接通过改变参数t来表示直线上的任意一点；而一般方程则适合于求直线与其他平面或直线的交点等问题。
参数方程
（一）参数方程的概念1.1参数方程的定义及用途1.2参数方程化为普通方程1.3普通方程化为参数方程（二）直线的参数方程2.1直线的参数方程化为标准参数方程2.2直线的标准参数方程的三种应用（三）圆锥曲线参数方程3.1圆锥曲线的参数方程及参数的几何意义3.2圆锥曲线参数方程应用于表示曲线上一点坐标（四）参数法求动点轨迹方程（五）同步练习（一）参数方程的概念1.1参数方程的定义及用途(1)参数方程的定义：一般来说参数方程是指：在直角坐标系中，一动点的坐标x和y同时可以独立地表示成第三个变量t的函数。
即且满足(1)对于[a，b]中的任何一个t1，则①得到的(x1，y1)点都在曲线l上；(2)曲线上的任意一点P(x0，y)的坐标x，y通过①在[a，b]上可求得一个t.那么上述方程叫曲线l的参数方程。
相对参数方程而言，过去的方程就叫做曲线l 的直角坐标方程，简称普通方程。
(2)参数方程定义的几点说明：①在曲线的参数方程中，应明确参数t的取值范围，它往往决定了方程和曲线能不能对应。
如方程θ为参数，θ∈[0,2π)，是表示中心在原点，焦点在x轴上，长轴8的椭圆；而方程θ为参数，θ∈[0,π]，只是表示上述椭圆的x轴上方的部分。
在没有明确注明参数的取值范围时，可由参数的物理或几何意义，或由两个函数x=f(t)，y=g(t)的定义域的交集点去确定；②一个参数方程只对应一条曲线，但一条曲线的参数方程则可以是多个。
当我们选择的参数不同时，一条曲线的参数方程可以是多个；③一条曲线可能存在参数方程，但不一定存在普通方程。
课本中圆的渐开线的参数方程是，其普通方程很难得出，不会理它。
(3)参数方程的用途：引进曲线参数方程有何用处？其用途主要有下列几个方面：①有些曲线在实际应用中用途非常广，如圆的渐开线在齿轮制造中必不可少，可它的普通方程没法直接表示，而参数方程很容易得出；②有些动点（x，y）的轨迹，坐标x、y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程。
直线和圆锥曲线的参数方程
3 3 4 倾斜角为 α，则 tan α＝4，sin α＝5，cos α＝5.又点 P(1，1)在直线 4 x＝1＋5t， l 上，所以直线 l 的参数方程为 (t 为参数). 3 y＝1＋ t 5 因为 3×5－4×4＋1＝0，所以点 M 在直线 l 上. 4 由 1＋5t＝5，得 t＝5，即点 P 到点 M 的距离为 5. 因为点 N 不在直线 l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN| ＝ （1＋2）2＋（1－6）2＝ 34.
QM → 动点 M 分有向线段QP的数量比 MP
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2.圆的参数方程 (1)圆心在原点、 半径为 r 为参数).
x＝rcos α， y＝rsin α 的圆的参数方程_____________( α
OP与x轴正方向的夹角 参数 α 的几何意义是_________________________.
x＝t， 得到参数方程 y＝2t＋1
t (t 为参数)；如果令 x＝2，可得到
t x＝ ， 参数方程 2 (t 为参数) y＝t＋1
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这样的参数方程中的 t 不具有一定的几何意义，但是在 实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点 M 做匀 速直线运动，它在 x 轴和 y 轴方向的分速度分别为 9 和 12，点 M 从 A 点(1，1)开始运动，求点 M 的轨迹的参数 方程.点 M (t 为参数).
【思维导图】
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【知能要点】
1.直线的参数方程.
2.直线的参数方程的应用.
3.圆的参数方程及应用.
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(最新整理)2.2.1直线的参数方程
2021/7/26
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练习：
（1） 直线xy3tcotss2i0n020（ 0 t为 参 数 ） 的 倾 斜B角 ）是 （ A.200 B.700 C.1100 D.1600
x 1
2t 2 （t为 参 数 ）
（2）
直x线 y10的
一
个
参
数
方程 y
2
是 2 t
。
2、(2
009
广东理)（坐标系与
点斜式: yy0k(xx0)
两点式:
y y1 xx1 y2 y1 x2 x1
y kxb
x y 1 ab
一般式: AxByC0
k
y2 x2
y1 x1
tan
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3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？ 4、向量的数量是怎样的？
二、新课讲解：
1、引出问题:直线的参数方程是怎样的？今天我们 来研究直线的参数方程，
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现 的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及 方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方 程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
一、复习回顾
1、参数方程的概念
（1）在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐 标x 、y都是某个变数t的函数，即
由韦达 x1定 x2 1 理 ， x1x 得 2 1：
A B 1 k 2( x 1 x 2 ) 2 4 x 1 x 22 5 1 0
由 (* 解 ) x 得 11： 25， x21 25
y1325， y2325
记直线与 坐 抛 A (标 1 物 5,线 35的 )， B ( 交 15点 ,35)
第2章2.1~2.2 直线与圆的参数方程
§2 直线和圆锥曲线的参数方程2.1 直线的参数方程 2.2 圆的参数方程1.直线的参数方程(1)经过点P (x 0，y 0)、倾斜角是α的直线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)① 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数t 的几何意义是从点P 到M 的位移，可以用有向线段PM→的数量来表示. (2)经过两个定点Q (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋λx 21＋λ，y ＝y 1＋λy 21＋λ(λ为参数，λ≠－1). 其中M (x ，y )为直线上的任意一点，参数λ的几何意义是动点M 分有向线段QP →的数量比QM MP .当λ＞0时，M 为内分点；当λ＜0且λ≠－1时，M 为外分点； 当λ＝0时，点M 与Q 重合. 2.圆的参数方程(1)圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α(α为参数).参数α的几何意义是OP 与x 轴正方向的夹角.(2)去掉圆与x 轴负半轴交点，圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)参数k 的几何意义是直线AP 的斜率.【思维导图】【知能要点】 1.直线的参数方程. 2.直线的参数方程的应用. 3.圆的参数方程及应用.题型一 直线的参数方程直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (α为参数)中，α，x 0，y 0都是常数，对于同一直线，选取的参数不同，会得到不同的参数方程.对于直线普通方程y ＝2x ＋1，如果令x ＝t ，可得到参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝2t ＋1 (t 为参数)；如果令x ＝t2，可得到参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t ＋1(t 为参数).这样的参数方程中的t 不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算.例如，动点M 做匀速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的分速度分别为9和12，点M 从A 点(1，1)开始运动，求点M 的轨迹的参数方程.点M 的轨迹的参数方程可以直接写为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t (t 为参数).【例1】 设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4，0)的距离为2，若该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________. 解析 由|PM 0|＝2知t ＝±2，代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3，1)或(－5，－1)，再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1. 答案 ±1【反思感悟】 直线参数方程的标准形式中的参数具有相应的几何意义，本题正是使用了其几何意义，简化了运算，这也正是直线参数方程标准式的优越性所在.1.已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1，1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5，4)和点N (－2，6)的距离.解 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1，1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t(t 为参数). 因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上. 由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.因为点N 不在直线l 上，故根据两点之间的距离公式，可得|PN |＝（1＋2）2＋（1－6）2＝34.【例2】 已知直线l 经过点P (1，1)，倾斜角α＝π6， (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积.解(1)直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t(t 是参数).(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32t 2，1＋12t 2.以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4， 整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0.①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.【反思感悟】 本题P 到A 、B 两点的距离就是参数方程中t 的两个值，可以充分利用参数的几何意义.2.已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数).(1)分别求t ＝0，2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义.解(1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)知当t ＝0，2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1).(2)法一 化直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)为普通方程为y －2＝33(x ＋3)，其中k ＝tan α＝33，0≤α<π. ∴直线l 的倾斜角α＝π6.法二由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，这是过点M 0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求. (3)由上述可知直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4， 且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方).题型二 直线参数方程的应用利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.【例3】 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α的值. 解设直线为⎩⎨⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0. 则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋11sin 2 α.所以当sin 2 α＝1时，即α＝π2，|PM |·|PN |的最小值为18，此时α＝π2.【反思感悟】 利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决.3.已知曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求曲线上一点P 到直线⎩⎨⎧x ＝2－3t ，y ＝2＋2t(t 为参数)的最短距离. 解 P (3cos θ，2sin θ)直线：2x ＋3y －10＝0 d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|1362sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10]∴|62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10|13∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213 ∴d min ＝10－6213.【例4】 如图所示，过不在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任一点P 作两条直线l 1，l 2分别交椭圆于A ，B 和C ，D 四点，若l 1，l 2的倾斜角为α，β且满足α＋β＝π.求证：A ，B ，C ，D 四点共圆. 证明 设P (x 0，y 0)，直线l 1：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α (t 为参数)，直线l 2：⎩⎨⎧x ＝x 0＋p cos β，y ＝y 0＋p sin β (p 为参数)，分别代入椭圆方程得(b 2cos 2 α＋a 2sin 2 α)t 2＋2(b 2x 0cos α＋a 2y 0sin α)t ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0； (b 2cos 2 β＋a 2sin 2 β)p 2＋2(b 2x 0cos β＋a 2y 0sin β)p ＋b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2＝0.∵α＋β＝π，∴cos 2 α＝cos 2 β，sin 2 α＝sin 2 β，∴t 1t 2＝p 1p 2，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |.由平面几何知识知，A ，B ，C ，D 四点共圆. 【反思感悟】 本题利用平面几何知识，要证四点A ，B ，C ，D 共圆，只需证|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，又转化为距离问题，利用参数的几何意义计算即可.4.直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B 两点. (1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长； (3)求|P 0A |和|P 0B |的长； (4)求交点A ，B 的坐标.解 ∵直线l 通过P 0(－4，0)，倾斜角α＝π6， 所以可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，代入圆方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9， ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝2 3. (2)设过P 0的切线为P 0T ，切点为T ， 则|P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9， ∴切线长|P 0T |＝3.(3)解方程t 2－43t ＋9＝0，得t 1＝33，t 2＝3， ∴|P 0A |＝33，|P 0B |＝ 3.(4)将t 1＝33，t 2＝3代入直线参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2，得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，332，B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，32. 题型三 圆的参数方程及其应用如果取半径绕原点O 逆时针旋转的转过的角度θ为参数，圆x 2＋y 2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ.同理，圆(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2对应的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).圆的参数方程对于需要将圆上点的两个坐标分别表示，代入计算的问题比较方便. 【例5】 圆的直径AB 上有两点C 、D ，且|AB |＝10，|AC |＝|BD |＝4，P 为圆上一点，求|PC |＋|PD |的最大值.分析 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系.将P 点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC |＋|PD |就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值.解 以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中点为原点建立平面直角坐标系.因为|AB |＝10，所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数).因为|AC |＝|BD |＝4，所以C ，D 两点的坐标为C (－1，0)，D (1，0).因为点P 在圆上，所以可设点P 的坐标为(5cos θ，5sin θ). 所以|PC |＋|PD |＝（5cos θ＋1）2＋（5sin θ）2 ＋（5cos θ－1）2＋（5sin θ）2 ＝26＋10cos θ＋26－10cos θ ＝（26＋10cos θ＋26－10cos θ）2 ＝52＋2262－100cos 2 θ.当cos θ＝0时，(|PC |＋|PD |)max ＝52＋52＝226. ∴|PC |＋|PD |的最大值为226.【反思感悟】 解题时将所求式子和图形联系起来，利用圆的参数方程表示P 点坐标，结合三角函数的值域进行计算.5.已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2＝9，求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由已知，可把点(x ，y )视为圆(x －1)2＋(y －1)2＝9上的点，设⎩⎨⎧x ＝1＋3cos θ，y ＝1＋3sin θ(θ为参数).则x 2＋y 2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2 ＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴11－62≤x 2＋y 2≤11＋6 2. ∴x 2＋y 2的最大值为11＋62， 最小值为11－6 2.1.求直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t (t 为参数)和直线l 2：x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，－5)的距离.解 将⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝－5＋3t 代入x －y －23＝0，得t ＝23，∴P (1＋23，1)，而Q (1，－5)， 得|PQ |＝（23）2＋62＝4 3.2.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数).(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围.解 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.3.已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t (t 为参数).当m 为何值时，直线l 被椭圆截得的弦长为6？解 椭圆方程为y 24＋x 2＝1，化直线参数方程⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝m ＋2t 为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝55t ′，y ＝m ＋255t ′ (t ′为参数). 代入椭圆方程得⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋255t ′2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫55t ′2＝4 ⇔8t ′2＋45mt ′＋5m 2－20＝0.当Δ＝80m 2－160m 2＋640＝640－80m 2>0， 即－22<m <22， 方程有两不等实根t ′1、t ′2，则弦长为|t ′1－t ′2|＝（t ′1＋t ′2）2－4t ′1t ′2＝640－80m 28，依题意知640－80m 28＝6，解得m ＝±455.[P 30思考交流]1.经过两点Q (1，1)，P (4，3)的直线的参数方程.如果应用共线向量的充要条件来求，方程及参数的含义分别是什么？答 在直线PQ 上任取一点M (x ，y )，PM→＝(x －1，y －1)，QM →＝(x －4，y －3)，∵P 、Q 、M 三点共线，∴PM→∥QM →，∴PM →＝tQM →，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （x －4），y －1＝t （y －3），化简为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－4t 1－t，y ＝1－3t 1－t，此即为过P 、Q 两点的直线的参数方程.参数t 的含义是有向线段PM→、QM →的比值.2.比较直线的参数方程与普通方程体会各自的优势.答 直线的普通方程直观地反映了变量x、y 之间的关系，方程是唯一的. 直线的参数方程中反映了变量x 、y 分别随参数的变化而变化的规律.方程是不唯一的，随参数的选取而有所不同.[P 33思考交流]给定参数方程⎩⎨⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α其中a 、b 是常数. 讨论下列问题：(1)如果r 是常数，α是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？(2)如果α是常数，r 是参数，那么参数方程表示的曲线是什么？答 (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数α>(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 其中r 为常数，表示以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝r cos α，y －b ＝r sin α=====消掉参数t >x －a y －b ＝tan α.整理得x －tan α·y ＋b ·tan α－a ＝0，其中a 、b 、tan α为常数.方程为过点(a ，b )，斜率为1tan α的直线.【规律方法总结】1.利用直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为参数)中参数的几何意义，在解决直线与曲线交点问题时，可以方便地求出相应的距离.2.直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t 没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算.一、选择题1.若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t(t 为参数)，则直线的斜率为( ) A.23 B.－23C.32D.－32 解析 k ＝y －2x －1＝－3t 2t ＝－32. 答案 D2.曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上解析 消去参数θ，将参数方程化为普通方程.曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1，2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.答案 B3.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－33＋32t(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A.(3，－3)B.(－3，3)C.(3，－3)D.(3，－3)解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－33＋32t 2＝16， 得t 2－8t ＋12＝0，t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4， 中点为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12×4，y ＝－33＋32×4，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－ 3. 答案 D4.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14B.214C. 2D.2 2解析 直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －4，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0.圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －4＝0的距离为d ＝22＝ 2.又圆C 的半径r ＝2，因此直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝2 2. 故选D.答案 D5.直线⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α (t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或5π6C.π3或2π3D.－π6或－5π6 解析 直线方程为y ＝tan α·x ，圆为：(x －4)2＋y 2＝4，利用图形可知直线的倾斜角为π6或56π.答案 A二、填空题6.在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t(t 为参数)的普通方程为________. 解析 ∵x ＝2＋22t ，∴22t ＝x －2，代入y ＝1＋22t ，得y ＝x －1，即x －y －1＝0.答案 x －y －1＝07.直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－12t ，y ＝－1＋12t(t 为参数)被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为________. 解析 直线为x ＋y －1＝0，圆心到直线的距离d ＝12＝22，弦长d ＝2 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝14. 答案 148.经过点P (1，0)，斜率为34的直线和抛物线y 2＝x 交于A 、B 两点，若线段AB 中点为M ，则M 的坐标为________.解析直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝35t (t 是参数)，代入抛物线方程得9t 2－20t －25＝0.∴中点M 的相应参数为t ＝12×209＝109.∴点M 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫179，23 9.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析 化极坐标方程为直角坐标方程，化参数方程为普通方程，联立直线l 和曲线C 的方程，求出交点A ，B 的坐标，利用两点间的距离公式求解.由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t ，得y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，322，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322， 故|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－3222＝2 5. 答案 2 5三、解答题10.直线过点A (1，3)，且与向量(2，－4)共线.(1)写出该直线的参数方程；(2)求点P (－2，－1)到此直线的距离.解 (1)设直线上任意一点坐标为(x ，y )，则(x ，y )＝(1，3)＋t (2，－4). ∴直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝3－4t . (2)将参数方程化为普通方程为2x ＋y －5＝0，则|－4－1－5|5＝25， ∴点P (－2，－1)到此直线的距离是2 5.11.经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，倾斜角为α的直线l 与圆x 2＋y 2＝25相交于B ，C 两点. (1)求弦BC 的长；(2)当A 恰为BC 的中点时，求直线BC 的方程；(3)当|BC |＝8时，求直线BC 的方程；(4)当α变化时，求动弦BC 的中点M 的轨迹方程.解 取AP ＝t 为参数(P 为l 上的动点)，则l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，代入x 2＋y 2＝25，整理，得t 2－3(2cos α＋sin α)t －554＝0.∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立.∴方程必有相异两实根t 1，t 2，且t 1＋t 2＝3(2cos α＋sin α)，t 1·t 2＝－554.(1)|BC |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2 ＝9（2cos α＋sin α）2＋55.(2)∵A 为BC 中点，∴t 1＋t 2＝0，即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2.故直线BC 的方程为y ＋32＝－2(x ＋3)，即4x ＋2y ＋15＝0.(3)∵|BC |＝9（2cos α＋sin α）2＋55＝8， ∴(2cos α＋sin α)2＝1，∴cos α＝0或tan α＝－34.∴直线BC 的方程是x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝0.(4)∵BC 的中点M 对应的参数是t ＝t 1＋t 22＝32(2cos α＋sin α)，∴点M 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32cos α（2cos α＋sin α），y ＝－32＋32sin α（2cos α＋sin α）(0≤α<π)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2α＋12sin 2α，y ＋34＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α－12cos 2α.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋342＝4516.即点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－34为圆心，以354为半径的圆.。
教案直线的参数方程
课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程： 一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的 ，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（ ， ）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（ ）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五 、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题 八、课后反思。
直线的参数方程教案
直线的参数方程教案一、教学目标1.理解直线的参数方程的概念和基本思想；2.掌握直线的参数方程的求解方法；3.能够应用直线的参数方程解决相关问题。
二、教学内容1.直线的参数方程的定义和思想；2.直线的参数方程的求解方法；3.直线参数方程的应用。
三、教学重难点1.直线参数方程的概念和思想；2.直线参数方程的求解方法。
四、教学过程1. 引入教师可以通过一个生活中的例子引入直线的参数方程，如一辆汽车在直线道路上的行驶。
引导学生思考，如何用一个参数来描述汽车在直线上的位置。
2. 知识讲解2.1 直线的参数方程的定义直线的参数方程是指用参数的形式来表示直线上的点的坐标。
一般形式为：x = x0 + t * ay = y0 + t * b其中，(x0, y0)为直线上的一点，(a, b)为直线的方向向量，t为参数。
2.2 直线参数方程的求解方法求解直线的参数方程，可以根据直线上的已知点和方向向量来确定参数方程的具体形式。
步骤如下：1.确定直线上的一点(x0, y0)和方向向量(a, b)；2.应用参数方程的定义，写出直线的参数方程。
3. 实例演练教师可以选择一些具体实例，引导学生运用直线的参数方程解决问题。
例如，求直线L上距离(1, 2)最近的点。
解：已知直线L的参数方程为：x = 3 + ty = -1 + t点(1, 2)到直线L上的任意点(3 + t, -1 + t)的距离可以表示为：d = sqrt((1 - 3 - t)^2 + (2 + 1 - t)^2)为了求d最小，可以对d求导，令导数为零。
通过求导和解方程，可得t = 1。
代入参数方程，得(4, 0)。
故直线L上距离(1, 2)最近的点为(4, 0)。
4. 拓展应用教师可以引导学生思考直线参数方程在其他几何问题中的应用，如求两直线的交点、求直线与平面的交点等。
五、教学本节课我们学习了直线的参数方程的概念、基本思想和求解方法。
通过实例演练，我们掌握了如何应用直线的参数方程解决相关问题。
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考情分析
通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的 考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或圆锥曲线 的有关问题．
直线的参数方程
直线的参数方程主要考查求直线的参数方程，根据参数方程 参数的几何意义，求直线上两点间的距离；求直线的倾斜角；判 断两直线的位置关系；直线与圆锥曲线有关的最值、l 经过点 P(－1,2)，倾斜角为
4
，
求直线 l 上到点 P 的距离为 2 的点 M 的坐标．
[例 3] 已知直线参数方程为yx＝＝2－－14＋t 3t， （t 为参数） 它与曲线(y－2)2－x2＝1 相交于 A，B 两点． (1)求|AB|的长； (2)求 A，B 的中点到 P(－1，2)的距离．
[例 4] 已知直线经过点 P( 210,0)，其倾斜角为 α，它与椭圆 x2＋2y2＝1 相交于 P1，P2 两点． 当 α 取何值时，|PP1|·|PP2|有最值，并求出最值．
参数t的几何意义的几个应用；
1.用参数t表示点的坐标、 2.直线上两点间的距离、 3.直线被曲线所截得的弦的长， 4.中点对应的参数t.