工程测试课后习题解答
机械工程测试技术课后习题答案 (1)
第三章：常用传感器技术 3-1 传感器主要包括哪几部分？试举例说明。
传感器一般由敏感元件、转换元件、基本转换电路三部分组成。
如图所示的气体压力传感器。
其内部的膜盒就是敏感元件，它的外部与大气压力相通，内部感受被测压力p ，当p 发生变化时，引起膜盒上半部分移动，可变线圈是传感器的转换元件，它把输入的位移量转换成电感的变化。
基本电路则是完成上述电感变化量接入基本转换电路，便可转换成电量输出。
3-2 请举例说明结构型传感器与物性型传感器的区别。
答：结构型传感器主要是通过传感器结构参量的变化实现信号变换的。
例如，电容式传感器依靠极板间距离变化引起电容量的变化；电感式传感器依靠衔铁位移引起自感或互感的变化。
物性型传感器则是利用敏感元件材料本身物理性质的变化来实现信号变换。
例如，水银温度计是利用水银的热胀冷缩性质；压电式传感器是利用石英晶体的压电效应等。
3-3 金属电阻应变片与半导体应变片在工作原理上有何区别？答：（1）金属电阻应变片是基于金属导体的“电阻应变效应”， 即电阻材料在外力作用下发生机械变形时，其电阻值发生变化的现象，其电阻的相对变化为()12dR Rμε=+； （2）半导体应变片是基于半导体材料的“压阻效应”，即电阻材料受到载荷作用而产生应力时，其电阻率发生变化的现象，其电阻的相对变化为dR d E R ρλερ== 。
3-4 有一电阻应变片（见图3-105），其灵敏度S 0=2，R =120Ω，设工作时其应变为1000με，问ΔR =？设将此应变片接成图中所示的电路，试求：1）无应变时电流指示值；2）有应变时电流指示值；3）试分析这个变量能否从表中读出？解：根据应变效应表达式?R /R =S g ?得?R =S g ? R =2?1000?10-6?120=?1）I 1=R =120=0.0125A=2）I 2=(R +?R )=(120+?0.012475A=3）电流变化量太小，很难从电流表中读出。
工程测试课后习题解答
绪论0-1 叙述我国法定计量单位的基本内容。
我国的法定计量单位是以国际单位制为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成的。
1. 基本单位 根据国际单位制（SI ），七个基本量的单位分别是：长度——米（m ），质量——千克（kg ），时间——秒（s ），温度——开尔文（K ）,电流——安培（A ），发光强度——坎德拉（cd ），物质的量——摩尔（mol ）。
2. 辅助单位在国际单位制中，平面角的单位——弧度(rad)和立体角的单位——球面度（sr ）未归入基本单位，称为辅助单位。
3. 导出单位在选定了基本单位和辅助单位后，按物理量之间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘或相除的形式所构成的单位称为导出单位。
0-2 如何保证量值的准确和一致？通过对计量器具实施检定或校准，将国家基准所复现的计量单位量值经过各级计量标准传递到工作计量器具，以保证被测对象量值的准确和一致。
0-3 何谓测量误差？通常测量误差是如何分类、表示的？测量结果与被测量真值之差就是测量误差。
即测量误差=测量结果-真值通常根据误差的统计特征，可以将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三种 常用的误差表示方法有下列几种：(1) 绝对误差，就是用测量结果与真值之差来表示。
(2) 相对误差，相对误差=误差/真值，误差较小时，可采用相对误差≌误差÷测量结果相对误差常用百分比来表示。
(3) 引用误差，这种表示方法只用于表示计量器具特性的情况中。
工程上采用引用误差作为判断精度等级的尺度，以允许引用误差值作为精度级别的代号。
计量器具的引用误差就是计量器具的绝对误差与引用值之比。
而引用值一般是计量器具的标称范围的最高值或量程。
(4) 分贝误差，单位是db 。
分贝误差=20×lg （测量结果÷真值）0-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改为相对误差。
（1）1.0182544V ±7.8µV （2）(25.04894±0.00003)g（3）（5.482±0.026）g/cm 2解：（1）相对误差=%00077.010*******.18.7100182544.18.766±=⨯±=⨯±VVV V μμμμ(2)相对误差=%00012.004894.2500003.004894.2500003.0±=±=±g g(3) 相对误差=%474.0482.5026.0/482.5/026.022±=±=±cm g cm g 0-5 何谓测量不确定度？国家计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC-1(1980)》的要点是什么？不确定度表示对被测量所处量值范围的评定。
机械工程测试技术_课后习题及答案
机械工程测试技术课后习题及答案第一章传感器及检测系统的基本概念1、检测系统由哪几部分组成？说明各部分的作用2、怎样选择仪表的量程大小？3、测量误差可以分为哪几类？引起各类误差的原因是什么？4、传感器按照被测物理量来分，可以分为哪几种？5、某电路中的电流为10A，用甲乙两块电流表同时测量，甲表读数为10.8A，乙表读数为9.5A，请计算两次测量的绝对误差和相对误差。
6、用1.0级量限100V的电压表甲，0.5级量限250V的电压表乙分别测量某电压，读数皆为80V，试比较两次测量结果的准确度。
7、有三台测温仪表，量程均为0～800℃，精度等级分别为2.5级、2.0级和1.5级，现要测量500℃的温度，要求相对误差不超过2.5%，选哪台仪表合理？解答：1、一个完整的工程检测系统包括：传感器、信号调理电路、信号处理电路和显示记录部分。
各部分作用：传感器——感受被测量，并将其转换为电信号；信号调理电路——将传感器输出信号进行放大和转换；信号处理电路——对电信号进行计算和分析；显示记录部分——显示记录测试结果。
2、应根据被测量的大小，兼顾仪表的准确度等级和量程，使其工作在不小于满度值2/3以上的区域。
3、测量误差可以分为：系统误差、随机误差和疏失误差三类。
引起的原因如下:系统误差——仪器误差、零位误差、理论误差、环境误差和观察者误差等随机误差——温度、磁场，零件摩擦、间隙，气压和湿度的变化，测量人员分辨本领的限制等疏失误差——操作、读数、记录和计算等方面的人为误差等4、传感器按被测物理量可以分为：位移传感器、速度传感器、加速度传感器、温度传感器、压力传感器等。
5、绝对误差：△I= I﹣I=10.8-10=+0.8A；△I= I﹣I=9.5-10=﹣0.5A相对误差：γ甲=△I甲/ I0=+0.8/10=8%；γ乙=△I乙/ I0=﹣0.5/10=﹣5%6、最大绝对误差：△V m甲=±K%·V m甲=±1.0%×100=±1.0V；△V m乙=±K%·V m乙=±0.5%×250=±1.25V最大相对误差：γm甲=△V m甲/ V=±1.0/80=±1.25%；γm乙=△V m乙/ V=±1.25/80=±1.56%故：甲表测量结果的准确度高于乙表。
机械工程测试技术课后习题答案
第一章习题1.测试技术的静态特性是什么?其用哪些性能指标来描述?它们一般用哪些公式表示?①测试技术的静态特性是指被测量的值处于稳定状态时，测试技术的输入与输出之间的关系。
②衡量测试技术静态特性的主要指标有线性度、灵敏度、迟滞、重复性、分辨率、阈值、稳定性、漂移和静态误差。
③线性度、灵敏度、迟滞、重复性、分辨率、阈值、稳定性、漂移和静态误差。
2.测试技术的动态特性是什么?其分析方法有哪几种①测试技术的动态特性是指测试技术的输出对随时间变化的输入量的响应特性，它反映了输出值真实再现变化着的输入量的能力。
②阶跃响应、频率响应3.测试技术数学模型的一般描述方法有哪些?传感器数学模型可分为静态和动态数学模型。
其中传感器静态数学模型一般多用多项式来描述，而动态数学模型通常采用微分方程和传递函数等来描述。
4.测试技术系统有哪些典型环节?写出不同环节的微分方程。
输入，输出方程、传递函数、频率响应和单位阶跃5.为什么说零阶测试技术的动态特性是最理想的?因为零阶没有滞后6.简述系统误差和随机误差出现的原因及特点。
系统误差：系统误差是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的。
系统误差的特征是：在同一条件下多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变；或当条件改变时，按一定规律变化。
系统误差在某些情况下对测量结果的影响还比较大，因此，研究系统误差产生的原因，发现、减小或消除系统误差，使测量结果更加趋于正确和可靠，是误差理论的重要课题之一，是数据处理中的一个重要的内容。
随机误差：随机误差是由于感官灵敏度和仪器精密程度的限制、周围环境的干扰及伴随着测量而来的不可预料的随机因素的影响而造成的。
它的特点是大小无定值，一切都是随机发生的，因而又把它称为偶然误差7.标准误差的意义是什么?标准误越小，抽样误差越小，样本对总体的代表性越好8.有效数字的运算原则和规则是什么?有效数字的确定方法是什么? 一般规定，数值中的可靠数字与所保留的1位(或2位)可疑数字统称为有效数字。
机械工程测试技术基础课后习题答案 第二版
信号及其描述习题1.1求周期方波（图1-4）的傅立叶级数（复指数函数形式）。
画出频谱图|C n |—ω ；φn —ω 图并与表1-1对比。
解：傅立叶级数的复指数形式表达式：⋅⋅⋅±±±==∑+∞-∞=,3,2,1,0;)(0n e C t x n tjn nω式中：所以：幅值频谱：相位频谱：傅立叶级数的复指数形式的幅值频谱图和相位频谱都是双边频谱图。
1.2求正弦信号 x (t )=x 0sin ωt 的绝对均值μ|x |和均方根值x rms解：1.3求指数函数 的频谱。
解：1.4求符号函数（题图1-1a ）和单位阶跃函数（题图1-1b ）的频谱.[]()⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅±±±=⋅⋅⋅±±±=-=--=+⨯+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡-==---------⎰⎰⎰,6,4,2;0,5,3,1;2cos 12111)(1)(1200002002002022000000000000n n n A j n n A j e e n jA n jA e jn A T e jn A T dt Ae dt e A T dt e t x T C jn jn T t jn T t jn T t jn T t jn T T t jn n πππππωωππωωωωω⋅⋅⋅±±±±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑+∞-∞=,7,5,3,1;2)(0n e n A j t x t jn n ωπ⋅⋅⋅±±±==+=,5,3,1;222n nA C C C nInR n π⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅⋅---=⋅⋅⋅=-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==,5,3,1;2,5,3,1;202n n n A arctg C C arctg nR nI n πππϕωππωμ2;2sin 1)(lim 000000====⎰⎰∞→T x tdt x T dt t x T T T x 式中：()2sin 1)(10020002000x dt dt x T dt t x T x T T rms ===⎰⎰ω)0;0(;)(≥>=-t Ae t x t ααf j A dt e Ae dt e t x f X ftj t ft j παπαπ2)()(022+=⋅==⎰⎰∞+--∞+∞--解:1) 符号函数的频谱:令:2)单位阶跃函数的频谱:1.5求被截断的余弦函数cos ω0t （题图1-2）的傅立叶变换。
机械工程测试技术基础课后习题答案
第一章习题一、选择题1.描述周期信号的数学工具是（ ）。
A.相关函数B.傅氏级数C. 傅氏变换D.拉氏变换2. 傅氏级数中的各项系数是表示各谐波分量的（ ）。
A.相位B.周期C.振幅D.频率3.复杂的信号的周期频谱是（ ）。
A ．离散的 B.连续的 C.δ函数 D.sinc 函数4.如果一个信号的频谱是离散的。
则该信号的频率成分是（ ）。
A.有限的B.无限的C.可能是有限的，也可能是无限的5.下列函数表达式中，（ ）是周期信号。
A. 5cos10()0x t ππ ≥⎧= ⎨≤⎩当t 0当t 0 B.()5sin2010cos10)x t t t t ππ=+ (-∞<<+∞ C.()20cos20()at x t e t t π-= -∞<<+∞6.多种信号之和的频谱是（ ）。
A. 离散的B.连续的C.随机性的D.周期性的７.描述非周期信号的数学工具是（ ）。
A.三角函数B.拉氏变换C.傅氏变换D.傅氏级数８.下列信号中，（ ）信号的频谱是连续的。
A.12()sin()sin(3)x t A t B t ωϕωϕ=+++B.()5sin 303sin 50x t t t =+ C.0()sin at x t e t ω-=⋅９.连续非周期信号的频谱是（ ）。
A.离散、周期的B.离散、非周期的C.连续非周期的D.连续周期的10.时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分（ ）。
A.不变B.增加C.减少D.变化不定11.将时域信号进行时移，则频域信号将会（ ）。
A.扩展B.压缩C.不变D.仅有移项12.已知 ()12sin ,()x t t t ωδ=为单位脉冲函数，则积分()()2x t t dt πδω∞-∞⋅-⎰的函数值为（ ）。
A ．6 B.0 C.12 D.任意值13.如果信号分析设备的通频带比磁带记录下的信号频带窄，将磁带记录仪的重放速度（ ），则也可以满足分析要求。
机械工程测试基础第三版课后习题及答案(第一章)
第一章 习题课
可见调幅信号的频谱等于将调制信号的频谱一分为 各向左右移动载频ω 二，各向左右移动载频 0，同时谱线高度减小一半
X(f)
-ω0 调幅信号频谱
ω0
f
若 ω0 < ωm
将发生混叠。 将发生混叠。
第一章 习题课
1 − 8求正弦信号x ( t) = x sin(ωt + ϕ )的均值µ 、均方值Ψ 和概率密度函数p( x).
n =0, ± 1, ± 2, ± 3, L
cn = cnR + cnI
2
2
φn = arctan
cnI cnR
π − 2 n = +1, +3, +5,L π = n = −1, −3, −5,L 2 n = 0, ±2, ±4, ±6,L 0
2A A = (1 − cos nπ ) = nπ nπ 0
2 2
∫
T0
0
x0 2 1 − cos 2(ωt + φ) dt = 2 2
Tx 0 = ∆t1 + ∆t2 = 2∆t
Tx Tx 0 2∆t P[ x < x(t ) ≤ x + ∆x] = lim = = T →∞ T T0 T0
p ( x ) = lim P[ x < x (t ) ≤ x + ∆x ] 2 ∆t 2 dt 1 = lim = = ∆x → 0 ∆x → 0 T ∆x ∆x T0 dx π x0 2 − x 2 0
1 1 X ( f ) = W ( f − f0 ) + W ( f + f0 ) 2 2 = T sinc[2π T ( f − f 0 )] + T sinc[2π T ( f + f 0 )]
《机械工程测试技术基础》课后习题及答案详解
第一章 信号的分类与描述1-1 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n |–ω和φn –ω图，并与表1-1对比。
解答：在一个周期的表达式为00 (0)2() (0)2T A t x t T A t ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩ 积分区间取（-T/2，T/2）000000002202002111()d =d +d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, ) T T jn tjn tjn t T T n c x t et Aet Ae tT T T Ajn n n ωωωππ-----=-±±±⎰⎰⎰所以复指数函数形式的傅里叶级数为 001()(1cos )jn tjn t n n n Ax t c ejn e n∞∞=-∞=-∞==--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±± 。
(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0nI nR A c n n n c ⎧=--⎪±±±⎨⎪=⎩ ππ21,3,,(1cos )00,2,4,6, n An A c n n n n ⎧=±±±⎪==-=⎨⎪=±±±⎩πππ1,3,5,2arctan1,3,5,200,2,4,6,nI n nRπn c πφn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪⎩没有偶次谐波。
其频谱图如下图所示。
图1-4 周期方波信号波形图1-2 求正弦信号0()sin x t x ωt =的绝对均值x μ和均方根值rms x 。
解答：00002200000224211()d sin d sin d cos TTT Tx x x x x μx t t x ωt t ωt t ωt T T TT ωT ωπ====-==⎰⎰⎰rmsx ==== 1-3 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。
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绪论0-1 叙述我国法定计量单位的基本容。
我国的法定计量单位是以国际单位制为基础并选用少数其他单位制的计量单位来组成的。
1. 基本单位 根据国际单位制（SI ），七个基本量的单位分别是：长度——米（m ），质量——千克（kg ），时间——秒（s ），温度——开尔文（K ）,电流——安培（A ），发光强度——坎德拉（cd ），物质的量——摩尔（mol ）。
2. 辅助单位在国际单位制中，平面角的单位——弧度(rad)和立体角的单位——球面度（sr ）未归入基本单位，称为辅助单位。
3. 导出单位在选定了基本单位和辅助单位后，按物理量之间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘或相除的形式所构成的单位称为导出单位。
0-2 如何保证量值的准确和一致？通过对计量器具实施检定或校准，将国家基准所复现的计量单位量值经过各级计量标准传递到工作计量器具，以保证被测对象量值的准确和一致。
0-3 何谓测量误差？通常测量误差是如何分类、表示的？测量结果与被测量真值之差就是测量误差。
即测量误差=测量结果-真值通常根据误差的统计特征，可以将误差分为系统误差、随机误差、粗大误差三种 常用的误差表示方法有下列几种：(1) 绝对误差，就是用测量结果与真值之差来表示。
(2) 相对误差，相对误差=误差/真值，误差较小时，可采用相对误差≌误差÷测量结果相对误差常用百分比来表示。
(3) 引用误差，这种表示方法只用于表示计量器具特性的情况中。
工程上采用引用误差作为判断精度等级的尺度，以允许引用误差值作为精度级别的代号。
计量器具的引用误差就是计量器具的绝对误差与引用值之比。
而引用值一般是计量器具的标称围的最高值或量程。
(4) 分贝误差，单位是db 。
分贝误差=20×lg （测量结果÷真值）0-4 请将下列诸测量结果中的绝对误差改为相对误差。
（1）1.0182544V ±7.8µV （2）(25.04894±0.00003)g（3）（5.482±0.026）g/cm 2解：（1）相对误差=%00077.010*******.18.7100182544.18.766±=⨯±=⨯±VVV V μμμμ(2)相对误差=%00012.004894.2500003.004894.2500003.0±=±=±g g(3) 相对误差=%474.0482.5026.0/482.5/026.022±=±=±cm g cm g 0-5 何谓测量不确定度？国家计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC-1(1980)》的要点是什么？不确定度表示对被测量所处量值围的评定。
或者说，对被测量真值不能肯定的误差围的一种评定。
不确定度是测量误差量值分散性的指标，它表示对被测量值不能肯定的程度。
测量结果应该带有这样的一个指标。
用不确定度来表明测量结果的可信赖程度。
不确定度越小，测量结果可信程度越高，其使用价值越高。
国家计量局于1980年提出的建议《实验不确定度的规定建议书INC-1(1980)》的要点是：不确定度一般包含多种分量。
按其数值的评定方法可以把它们归为两类：A 累分量和B 类分量。
A 类分量是用统计学的方法算出的。
即根据测量结果的统计分布进行估计，并用实验标准偏差s （即样本标准偏差）来表征。
B 类分量是根据经验或其他信息来估计的，并用近似的、假设的“标准偏差”u 来表征。
0-6 为什么选用电表时，不但要考虑它的准确度，而且要考虑它的量程？为什么使用电表时应尽可能在电表量程上限的三分之二以上使用？用量程是150V 的0.5级电压表和量程为30V 的0.5级电压表分别测量25V 电压，请问哪一个测量准确度高？ 解：(1)若用0.5级电压表：其最大引用误差是%5.01=nm δ；可能出现的最大绝对误差为V m 75.0%5.01501±=⨯±=∆； 最大示值相对误差为%3%1002575.0%10011=⨯=⨯∆=xm x δ （2）若用1.5级电压表：其最大引用误差%5.12=nm δ；可能出现的最大绝对误差为V m 45.0%5.0302±=⨯±=∆； 最大示值相对误差为%8.1%1002545.0%10022=⨯=⨯∆=xm x δ。
显然，使用1.5级电压表示值相对误差反而小，而示值相对误差是衡量电压表精度的指标，所以使用量程为30V 的1.5级电压表测量25V 电压准确度高。
所以说选用电表时不仅要考虑其准确度，也要考虑其量程，使用电表时尽可能在电表量程上限的三分之二 以上使用，这样相对误差小，测量准确度高。
0-7 如何表达测量结果？对某量进行8次测量，测得值分别是：802.40、802.50、802.38、802.48、802.42、802.46、802.45、802.43.求其测量结果。
解：测量结果用下式表达：测量结果=样本平均值±不确定度8次测量的样本平均值：44.802881==∑=i ixxx 的标准偏差的估计值：0143.0)18(8)(812=--=∧∑=i ixx x σ这样测量结果为：xx x σ∧±==802.440143.0±0-8 用米尺逐段丈量一段10m 的距离，设丈量1m 的标准差为0.2mm 。
如何表示此项间接测量的函数式？求测此10m 距离的标准差。
解：设R 是分析结果，A 为测量值,则R=10A22210A R S S =,mm S S A R 22.01010=⋅=⋅=，所以测量10m 距离的标准差为2mm 。
0-9 直圆柱体的直径及高的相对标准差均为0.5%，求其体积的相对标准差为多少？ 解：设体积、直径和高分别为V 、D 、h ，则有h D h r V 224ππ==相对标准差为42222221025.1%)5.0(%)5.0(42-⨯=+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛h S D S V S h D V%12.1=VS V即体积的相对标准差为1.12%。
第一章 信号及其描述1.求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），画出ω-n c 和ωϕ-n 图，并与表1-1对比。
解：周期方波用时域函数描述为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--<<=+=02,20,)()()(000t T A T t A t x nT t x t x ⎰-===2200000)(1T T dt t x T a c 2sin 2)cos 22(2)11()11(1)(1)(1200220020020020222000000000000000ππππωωωωππωωωωωωωn n A j n n A j e e T n A je e T n A j jn e T A jn e T A dtAe T dt eA T dt et x T c jn jn Tjn Tjn T tjn T tjn T t jn T tjn T T tjn n -=--=-++-=-++-=-+--=+-==----------⎰⎰⎰=n c ⎪⎩⎪⎨⎧±±=±±±==,...)4,2,0(,0,...)5,3,1(,22sin 22n n n An n A πππ, 2πϕ-=n2.求正弦信号t x t x ωsin )(0=的绝对均值x μ和均方根rms x 。
解：πππωωωωμ000202000002)1(cos 22cos 2sin 2sin 1)(1000xx T t x tdt x T dt t x T dt t x T T T T T x =--=-====⎰⎰⎰rms x =()22)22sin (222cos 1sin 1)(100020002002002000200x T T x t t T x dt tT x dt t x T dt t x T T T T T ==-=-==⎰⎰⎰ωωωω3.求指数函数)0,0()(≥>=-t a Ae t x at的频谱。
解：根据傅里叶变换，有：fj a A e Adte A dt eAe dt et x f X f j a tf j a t f j a ftj at ftj ππππππ2)()(0)2()2(0)2(022+=====∞+-+-∞+-∞--∞∞--⎰⎰⎰22)2()(f a A f X π+=afarctgf πϕ2)(-= 4. 求符号函数（见图1-25a ）和单位阶跃函数（见图1-25b ）的频谱。
解：（1）sgnt=⎩⎨⎧<->=0,10,1t t t t由于符号函数不满足绝对可积条件，因此需乘以一个衰减因子)0(>-a e ta 令其在),(+∞-∞的积分收敛。
)0(2122)2121(lim lim lim lim )1(lim )sgn(lim ))(sgn(0)2(00)2(020020020≠===++--=+-=+-==→∞+-→∞--→-∞-→-∞-→-∞∞--→⎰⎰⎰⎰⎰ωωπππππππππj f j f j fj a f j a dt e dt e dte e dt e e dt e t et F a t f j a a t f j a a ft j at a ft j at a ft j ta a )0(0)11(lim ))(sgn(0==+-=→ωaa t F a (2)单位阶跃函数可以写成如下表达式：)sgn(2121)(t t u +=，由此，可得其傅里叶变换为： fj f f U πδ21)(21)(+=5. 求被截断的余弦函数t 0cos ω（见图1-26）的傅里叶变换。
⎪⎩⎪⎨⎧≥<=Tt Tt t t x ,0,cos )(0ω解：)(t x 可以看做矩形窗函数)(1t x 和余弦函数t 0cos ω的乘积。
即t j t j t j t j e t x e t x e e t x t t x t x 0000)(21)(21)(21)(cos )()(11101ωωωωω+=+⋅==--其中，)(1t x = ⎪⎩⎪⎨⎧≥<Tt Tt ,0,1，)(sin 2)22(sin 2)(1T c T T c T X ωωω=⋅=根据傅里叶变换的频移性质，有))((sin ))((sin )(21)(21)(000101T c T T c T X X X ωωωωωωωωω-++=-++=6. 求指数衰减振荡信号)0,0(sin )(0≥>=-t a t e t x atω的频谱。