特殊预测法：马尔可夫分析法
5.7 马尔可夫预测
第7节马尔可夫预测方法对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。
这就是对于事件发生的概率预测。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件发生的概率的方法。
它是基于马尔可夫链，根据事件的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况的一种预测方法。
马尔可夫预测法是对事件进行预测的基本方法，它是预测中常用的重要方法之一。
一、几个基本概念为了讨论马尔可夫预测法的应用，下面首先介绍几个基本概念。
(一) 状态、状态转移过程与马尔可夫过程(1) 状态。
在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。
所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期）出现的某种结果。
一般而言，随着研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。
例如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；在经济发展水平预测中，有“落后”、“较发达”、“发达”等状态；在天气变化预测中，有“晴天”、“阴天”、“雨天”等状态；……；等等。
(2) 状态转移过程。
事件的发展，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。
譬如，天气变化从“晴天”转变为“阴天”，从“阴天”转变为“晴天”，从“晴天”转变为“晴天”，从“阴天”转变为“阴天”等都是状态转移。
(3) 马尔可夫过程。
在事件的发展过程中，若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关，而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。
许多事件发展过程的状态转移是具有无后效性的，对于这样一些事件发展过程，就可以用马尔可夫过程来描述。
(二) 状态转移概率与状态转移概率矩阵118119（1）状态转移概率。
在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。
马尔可夫分析法
马尔可夫分析法马尔可夫分析法是俄国数学家马尔可夫在1907年提出, 并由蒙特·卡罗加以发展而建立起的一种分析方法。
它主要用于分析随机事件未来发展变化的趋势, 即利用某一变量的现在状态和动向去预测该变量未来的状态及动向, 以便采取相应的对策。
1马尔可夫过程及马尔可夫链 [3]定义1设随机序列{X(n) ,n=0, 1, 2, …}的离散状态空间为E, 若对于任意m个非负整数n1,n2, …,nm(0≤n1<n2<…<nm) 和任意自然数k, 以及任意i1,i2, …,im,j∈E满足 [3]P{X(nm+k) =j|X(n1) =i1,X(n2) =i2, …,X(nm)=im}=P{X(nm+k) =j|X(nm) =im} (1) [3]则称X(n) ,n=0, 1, 2, …}为马尔可夫链。
[3]在式(1) 中, 如果nm表示现在时刻,n1,n2, …,nm-1表示过去时刻,nm+k表示将来时刻, 那么此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im, 而与过去m-1个时刻n1,n2, …,nm-1所处的状态无关, 该特性称为马尔可夫性或无后效性。
式(1) 给出了无后效性的表达式。
[3]2齐次马尔可夫链和k步转移概率 [3]P{X(nm+k) =j|X(nm) =im},k≥1称之为马尔可夫链在n时刻的k 步转移概率, 记为Pij(n,n+k) 。
转移概率表示已知n时刻处于状态i, 经k个单位时间后处于状态j的概率。
若转移概率Pij(n,n+k) 是不依赖于n的马尔科夫链, 则称为齐次马尔可夫链。
这种状态只与转移出发状态i、转移步数k及转移到达状态j有关, 而与n无关。
此时,k 步转移概率可记为Pij(k) , 即 [3]Pij(k) =Pij(n,n+k) =P{X(n+k) =j|X(n) =i},k>0 (2) [3]式中,0≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=10≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=1。
马尔可夫分析法
谢谢大家
人力资源中的运用 预测未来组织中规模和分布的演变情况。
举例：未来的升迁、转职、调配或离职等情况。
具体步骤
① 根据历史数据推算各类人员的转移率，迁出转移 率的转移矩阵P； ② 统计作为初始时刻点的各类人员分布状况S0； ③ 建立马尔可夫模型，预测未来各类人员供给状况S。
实例分析 了解企业岗位设置
假设某企业的岗位设置如下高级经理、部门经理、业务主管 和技术人员, 则N=4
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为什么他们都能采用马尔可夫分析法？ 为什么他们都能采用马尔可夫分析法？ 答案： 答案： 其一，他们都具有马尔可夫性的时间序列 马尔可夫性的时间序列（ ） 其一，他们都具有马尔可夫性的时间序列（T）， 并且各时刻的状态转移概率(P)保持稳定。 保持稳定。 并且各时刻的状态转移概率 保持稳定 其二，马尔可夫分析法是用来稳定预测的 分析法是用来稳定预测的。 其二，马尔可夫分析法是用来稳定预测的。
了解企业各岗位人员分布
通过调查, 期初该企业各岗位 企业各岗位的人员数量P1，P2，P3，P4分别 企业各岗位 为10，25，35，50。 那么（P1，P2，P3，P4）=（10，25，35，50）为不同岗位 人员的初始分布矩阵。
实例分析 了解企业内部各岗位人员流动情况
调查得出企业内部人员流动情况如下本年度高级经理留 任的有70%、离职的有30%；部门经理晋升为高级经理的有 10%、留任部门经理的有70%、离职的有20%；业务主管晋 升为部门经理的有20%、留任业务主管的有60%、调换担任 技术人员的有10%、离职的有10%；技术人员晋升为业务主 管的有20%。留任技术人员的有60%，离职的有20%。
使用原理——概率矩阵 概率矩阵 使用原理
由概率向量构成的方阵即行和列相同的矩 阵称为概率矩阵。马尔可夫分析法预测用 的全部为正概率矩阵。
《马尔可夫链分析法》课件
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
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CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
马尔可夫预测法
马尔可夫预测法马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域，例如物理、经济、生物等。
下面将详细介绍马尔可夫预测法的原理和应用。
原理马尔可夫预测法是基于马尔可夫过程的。
马尔可夫过程是一个具有无记忆性的随机过程，即在给定当前状态的情况下，未来的状态只与当前状态有关，与过去的状态无关。
这个过程可以用一个状态转移矩阵来描述。
状态转移矩阵描述了从一个状态到另一个状态的概率，它的每个元素都代表了从一个状态到另一个状态的概率。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测系统在未来的状态。
应用马尔可夫预测法在各种领域都有广泛的应用。
在物理学中，它可以用于预测粒子的运动状态；在经济学中，它可以用于预测股市的走势；在生物学中，它可以用于预测疾病的传播。
下面将分别介绍这些应用。
物理学中的应用在物理学中，马尔可夫预测法可以用于预测粒子的运动状态。
例如，在原子的轨道运动中，电子的运动状态可以用一个状态向量来描述。
通过对状态向量的分析，可以预测电子在未来的位置。
经济学中的应用在经济学中，马尔可夫预测法可以用于预测股市的走势。
例如，在股市中，每一天的股价可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测未来股价的走势。
这种方法已经被证明是一种有效的预测股市走势的方法。
生物学中的应用在生物学中，马尔可夫预测法可以用于预测疾病的传播。
例如，在流行病学中，每个人的健康状态可以看作是一个状态。
通过对状态转移矩阵的分析，可以预测疾病的传播。
这种方法已经被证明是一种有效的预测疾病传播的方法。
总结马尔可夫预测法是一种基于概率论的预测方法。
它通过分析系统的状态变化来预测未来的状态。
该方法适用于具有一定规律性的系统，并且可以用于各种领域。
在物理、经济、生物等领域中，马尔可夫预测法已经成为一种重要的预测方法。
马尔可夫分析法
分析各种状态应收账款转为呆账及收回本息的概率。
通过模型计算, 根据马尔可夫链特征向量性质可得: b11表示由N1状态转到N5状态的概率; b12表示由 N1状态转到N6状态的概率; b21表示由N2状态转到 N5状态的概率; b22表示由N2状态转到N6状态的概 率; b31表示由N3状态转到N5状态的概率; b32表示 由N3状态转到N6状态的概率; b41表示由N4状态转 到N5状态的概率; b42表示由N4状态转到N6状态的 概率。
谢谢！
为了动态研究应收账款状态随时间变化的情况, 可 用转移矩阵P来表示每隔1个月的各种状态转移情 况, 用pij表示当前处于Ni状态的应收账款, 1个月后 将处于Nj的概率, 并有:pij≥0, pij=1( i=1, 2, 3, 4, 5, 6; j=1, 2, 3, 4, 5, 6) , 而根据N5、N6是吸收状态, 可得:
在企业客户已拖欠本息达( 逾期) 61 ～120天的应 收账款中, 有23.94%的可能转为呆账、76.06%的 可能付清, 其转化为呆账或收回本息的平均时间 为3.916 598个月; 在企业客户已拖欠本息达( 逾期) 121 ～360天的应收账款中, 有50.12%的可能转为 呆账、49.88%的可能付清, 其转化为呆账或收回 本息的平均时间为3.183 015个月。
其中: T( N1) =m11+m12+m13+m14表示应收账款 由拖欠本息达( 逾期) 0 ～30天转为拖欠本息达( 逾 期) 360天以上或收回本息的平均时间; T( N2)=m21+m22+m23+m24表示应收账款由拖欠 本息达( 逾期) 31 ～60天转为呆账或收回本息的 平均时间; T( N3) =m31+m32+m33+m34表示应收 账款由拖欠本息达( 逾期) 61 ～120天转为呆账或 收回本息的平均时间; T( N4)=m41+m42+m43+m44表示应收账款由拖欠 本息达( 逾期) 121 ～360天转为呆账或收回本息的 平均时间。
马尔科夫分析法
特殊预测法：马尔可夫分析法定义：马尔可夫分析法是应用俄国数学家马尔可夫发现系统状态概率转移过程规律的数学方程，通过分析随机变量的现时变化情况，预测这些变量未来变化趋势及可能结果，为决策者提供决策信息的一种分析方法。
•单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
•市场占有率的预测可采用马尔可夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
俄国数学家马尔可夫在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第N次结果只受第N－1次结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。
•在马尔可夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。
•马尔可夫分析法的一般步骤为：•1、调查目前的市场占有率情况；•2、调查消费者购买产品时的变动情况；•3、建立数学模型；•【•4、预测未来市场的占有率。
例一：一个800户居民点，提供服务的A、B、C三家副食品店，从产品、服务等方面展开竞争，各自原有稳定的居民户购买者开始出现了变化。
经过调查获得上月与本月三家商店的居民资料如表1；两个月中三商店都失去一些客户，同时也都赢得了一些客户，其转移变化资料如表2。
用马尔科夫法预测稳定状态下三商店的市场占有率。
表1表2例二：假定某小区有1000户居民，每户居民每月用一块香皂，并且只购买A牌、B牌、C牌。
8月份使用A牌香皂居民有500户，使用B 牌居民有200户，使用C牌居民有300户。
据调查9月份使用A牌香皂仍在使用的有360户，50户表示要改买B牌，90户表示要改买C牌；在使用B牌的用户中，120户仍在使用B牌，表示改买A牌的有40户，改买C牌的有40户；在使用C牌的用户中，表示仍在使用的有230户，有30户表示改买A牌，有40户表示改买C牌。
马尔可夫（Markov）分析法范例
马尔可夫（Markov）分析法范例
马尔可夫（Markov）分析法范例
我们以⼀个公司⼈事变动作为例⼦来加以说明（见下表）。
分析的第⼀步是作⼀个⼈员变动矩阵表，表中的每⼀个元素表⽰从⼀个时期到另⼀个时期（如从某⼀年到下⼀年）在两个⼯作之间调动的雇员数量的历史平均百分⽐（以⼩数表⽰）。
⼀般以5～10年为周期来估计年平均百分⽐。
周期越长，根据过去⼈员变动所推测的未来⼈员变动就越准确。
职
位
层
次
职
位
层
次
某公司⼈⼒资源供给情况的马尔可夫分析
例如，表（Ａ）表明，在任何⼀年⾥，平均80％的⾼层领导⼈仍在该组织内，⽽有20％退出。
在任何⼀年⾥，⼤约65％的会计员留在原⼯作岗位，15％被提长为⾼级会计师，20％离职。
⽤这些历史数据来代表每⼀种⼯作中⼈员变动的概率，就可以推测出未来的⼈员变动（供给量）情况。
将计划初期每⼀种⼯作的⼈数量与每⼀种⼯作的⼈员变动概率相乘，然后纵向相加，即得到组织内部未来劳动⼒的净供给量（见表（Ｂ））。
我们再看表（Ｂ），如果下⼀年与上⼀年相同，可以预计下⼀年将有同样数⽬的⾼层领导⼈（40⼈），以及同样数⽬的⾼级会计师（120⼈），但基层领导⼈将减少18⼈，会计员将减少50⼈。
这些⼈员变动的数据，与正常的⼈员扩⼤、缩减或维持不变的计划相结合，就可以⽤来决策怎样使预计的劳动⼒供给与需求相匹配。
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特殊预测法：马尔可夫分析法
定义：马尔可夫分析法是应用俄国数学家马尔可夫发现系统状态概率转移过程规律的数学方程，通过分析随机变量的现时变化情况，预测这些变量未来变化趋势及可能结果，为决策者提供决策信息的一种分析方法。
•单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
•市场占有率的预测可采用马尔可夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
俄国数学家马尔可夫在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第N次结果只受第N－1次结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。
•在马尔可夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。
•马尔可夫分析法的一般步骤为：
•1、调查目前的市场占有率情况；
•2、调查消费者购买产品时的变动情况；
•3、建立数学模型；
•4、预测未来市场的占有率。
例一：一个800户居民点，提供服务的A、B、C三家副食品店，从产品、服务等方面展开竞争，各自原有稳定的居民户购买者开始出现了变化。
经过调查获得上月与本月三家商店的居民资料如表1；两个月中三商店都失去一些客户，同时也都赢得了一些客户，其转移变化资料如表2。
用马尔科夫法预测稳定状态下三商店的市场占有率。
表1
表2
例二：假定某小区有1000户居民，每户居民每月用一块香皂，并且只购买A牌、B牌、C牌。
8月份使用A牌香皂居民有500户，使用B 牌居民有200户，使用C牌居民有300户。
据调查9月份使用A牌香皂仍在使用的有360户，50户表示要改买B牌，90户表示要改买C牌；在使用B牌的用户中，120户仍在使用B牌，表示改买A牌的有40户，改买C牌的有40户；在使用C牌的用户中，表示仍在使用的有230户，有30户表示改买A牌，有40户表示改买C牌。
请用马尔科夫预测法预测10月份及稳定状态下三种品牌香皂在此小区的市场占有率各是多少？。