经济预测与决策技术及MATLAB实现第9章 马尔可夫预测方法
基于马尔可夫链的企业经济预测与决策
基于马尔可夫链的企业经济预测与决策2005级数学系（2）班刘萍摘要：讨论了我国企业的发展现状及趋势，针对企业中常见的经济问题，建立相应的马尔可夫链模型，并运用马尔可夫链的相关理论为企业的经济活动进行了定量的研究，同时也阐述了马尔可夫链在经济预测中的基本思想、应用、模型预测的结果说明。
实例表明，马尔可夫链模型及方法在企业经济活动分析中是可行和适用的，可广泛应用于解决企业中常见的预测及决策问题。
关键词：马尔可夫链；市场预测；平均利润预测；转移概率矩阵1 引言马尔可夫链最初由俄国数学家Markov于1906年的研究而得名,Kolmogorov，Feller和Doob等数学家继续发展了这一理论，它是随机过程的重要组成部分，同时它在自然科学、工程技术、金融及经济管理等各领域中都有着广泛的应用[1]。
随着我过社会主义市场经济的不断发展，科学技术的进步，经济管理体制改革的深入和企业经营机制的转变，企业不仅要利用经济活动分析这一管理经济的重要方法，分析企业的生产经营活动，而且还要分析企业的经济环境，了解国内外市场情况和社会需求的变化，以便随着其不断变化，及时调整生产经营活动，增强竞争力，从而使企业能够适应商品经济的要求而健康发展。
因此，企业的经济活动分析在企业的经营管理中发挥着日益重要的作用，它对事后实事求是地分析、总结企业完成的经济活动和事前科学地预测、判断企业未来的经济活动都是必不可少的[2]。
一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。
马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。
企业是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。
而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查等途径所获现实资料的基础上，运用马尔可夫链的基本原理和方法对数据资料进行运算得出预测结果，因此很适用于企业的经济预测。
第八讲 马尔可夫预测
P 11 P ( L xnt) ) 21 L Pn1
P L Pn 12 1 P22 L P2n L L L Pn2 L Pnn
例2:已知市场上有A、B、C三种品牌的洗
衣粉，上月的市场占有率分布为（0.3 0.4 0.3），并且转移概率矩阵为：
0.6 0.2 P = 0.1 0.7 0.1 0.1 0.2 0.2 0.8
用 Ri (k) 表示从状态Si开始,经K步转移后的期望利润。那么,当k=1 时,期望利润为
Ri = Pi1ri1 + Pi2ri2 +L+ Pinrin = ∑Pij rij , i =1,2L, n
(1)
n
于是K步转移后的期望利润为两次转移(一步转移和K-1步转移) 期望利润之和,即
j=1
Ri
记
(k )
= ∑ Pij rij + ∑ Pij R j
j =1 j =1
n
n
( k −1)
R(k) = (R1 , R2 ,LRn )T
(k ) (k ) (k )
则可表为矩阵形式:
R(k ) = R(1) + PR(k−1)
例4:设某商品连续两个月畅销时,可获利8万元;连续滞销时,亏
损2万元;由畅销转滞销时可获利3万元;滞销转畅销时可获利4万 元,试预测4个月后总期望利润。
预测第21月的销售额
• 因为第20月的销售属状态3，而状态3经 过一步转移达到状态1、2、3的概率分别 为2/7、0、5/7，P33>P31>P32，所以第21月 仍处于状态3的概率最大，即销售额超过 100万元的可能性最大。
§2 马尔可夫预测应用
• 一、市场占有率预测
决策与预测第八章马尔可夫预测
决策与预测第八章马尔可夫预测马尔可夫预测（Markov Prediction）是一种基于马尔可夫模型的预测方法。
马尔可夫模型是一种具有状态转移特性的随机过程，即当前状态的发生只与前一个状态有关，与之前的状态无关。
马尔可夫预测依据这一性质，通过对已有的状态序列进行分析，来预测未来可能的状态。
马尔可夫预测在许多领域都有应用，比如天气预测、股市预测、自然语言处理等。
在天气预测中，我们可以将天气分为晴天、阴天、雨天等若干个状态，通过观察历史天气数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来几天的天气情况。
在股市预测中，我们可以将股票价格分为涨、跌、平稳等若干个状态，通过分析历史股价数据，建立马尔可夫模型，从而预测未来股票价格的走势。
马尔可夫预测的关键是确定马尔可夫链的阶数。
马尔可夫链的阶数决定了当前状态只与前几个状态有关。
一般情况下，阶数越高，预测的准确性越高，但计算复杂度也越高。
选择合适的阶数需要根据具体问题进行权衡。
马尔可夫预测的关键步骤包括状态定义、状态转移矩阵的估计和预测结果生成。
首先，需要将观测序列转化为状态序列。
状态定义需要根据具体问题确定，通常是将连续的观测值离散化为若干个状态。
然后，需要估计马尔可夫链的状态转移矩阵。
状态转移矩阵描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
可以通过历史数据来估计状态转移矩阵，常用的方法有最大似然估计和贝叶斯估计。
最后，通过状态转移矩阵和当前的状态，可以通过马尔可夫链进行状态的预测。
马尔可夫预测有一些优点和限制。
优点是简单易用，不需要太多的领域知识，只需要一些历史数据。
同时，马尔可夫预测可以处理非线性和非平稳的数据，具有一定的适应性。
然而，马尔可夫预测也有一些限制。
首先，马尔可夫模型假设当前状态只与前一个状态相关，而与之前的状态无关，这个假设在一些情况下可能不成立。
其次，马尔可夫模型对于状态转移矩阵的估计需要大量的历史数据，否则预测的准确性可能较低。
在实际应用中，马尔可夫预测通常与其他方法结合使用，以提高预测的准确性。
第10章马尔科夫决策
解：1 如果A公司不做广告，稳 如果A公司不做广告， 定状态下， 定状态下，三个公司在这两个区 域的市场占有率将为： 域的市场占有率将为： （x1,x2,x3）P = （x1,x2,x3） 得到： 得到： x1= 0.2778 x2= 0.3889 x3= 0.3333
如果A公司不做广告， 如果A公司不做广告，稳定 状态下， 状态下，它的市场占有率为 0.2778（ 0.2778（27.78% ）接近它在国 际市场的平均占有率。 际市场的平均占有率。 2 A公司作广告试验，稳定状 公司作广告试验， 态下，两个广告方案的效果是： 态下，两个广告方案的效果是：
• 定义1：概率向量。任意一个行向量P= 定义1 概率向量。任意一个行向量P= p1,p2,…pn）如果满足：pi≥0（1<i<n） （p1,p2,…pn）如果满足：pi≥0（1<i<n） pi=1，则向量P称为概率向量。 及Σ pi=1，则向量P称为概率向量。 定义2 概率矩阵。一个n阶方阵A=（ 定义2：概率矩阵。一个n阶方阵A=（aij） 如果满足： 如果满足： （1） aij ≥0 （2） Σ aij =1 则称方阵为概率矩阵。 则称方阵为概率矩阵。
10.1.1马尔柯夫链简介 10.1.1马尔柯夫链简介
所谓马尔柯夫链，就是一种随机时间序列，它在将 来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什么 值的历史情况无关，即无后效性。具备这个性质的离散 性随机过程，称为马尔柯夫链。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10.2 马尔可夫链的基本概念
• 设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态 设有一离散型随机过程， 的集合为： 的集合为：S={1，2，…，N}，称其为状态空间。 ， ， ， ，称其为状态空间。
经济预测与决策方法
8.43
8.49
37.5% 50.0% 62.5%
D 7.50 8.50 8.75 8.70 8.25 9.35 9.30 9.20 9.20 8.75 9.50 9.10 8.84 75.0%
I 7.75 9.40 8.88 8.80 8.50 9.58 9.40 9.40 9.60 9.33 9.70 9.30 9.14 87.5%
是一种会议形式。这种会议形式使参加会议的人员能 够通过互相启发、互相刺激，产生创造性设想的连锁反 应，诱发出更多的创造性设想，达到作出集体预测设想 的目的。 特点：i)人 员——来自多个领域(10～15人)
ii)讨论的问题——具体而明确 iii)会议的原则——●不互相批判
●自由鸣放 ●欢迎提出各种方案 ●取长补短
下四分位数Q1(2001年)
中位数MD(2005年)
上四位数Q3(2006年)
§3.主观概率法
• 主观概率——指在一定的条件下，个人对某一事件在未 来发生或不发生可能性的估计，反映个人对未来事件的 主观判断和信任程度。
• 客观概率——是指某一随机事件经反复试验后出现的相 对次数，也就是对某一随机事件发生的可能性大小的客 观度量。
内信息
预测者
预测对象
理论、方法、手段
信息输出 预测结果
主体
客体
经济预测与决策方法
预测的基本原测
事物发展变化的主要特征和规律
•延续性——任何事物的发展不但是一个前进的过程，而且表现出顽强的重复倾向，过 去的行为不仅会影响到现在，耐用会影响将来，这个特点就是延续性，也 称慢性、稳定性。
•相关性——任何事物的发展都不是孤立的，不仅事物内部相关因素之间，现在因素与 将来因素之间存在某种依从关系，而且一种事物总是与其它事物的发展
经济预测与决策 第6章 马尔科夫预测法
四、标准概率矩阵与平衡向量
第六章>>第一节
对于概率矩阵，若转移是随机的，即存在正
整数k使得矩阵 ，那么称概率 矩阵P为标准概率矩阵。 若矩阵P是一个标准概率矩阵，则必存在非 零向量 (1, 2 , , n ) ，使得 P 。 其中 i ≥0， 1 ， 为平衡向量，也 叫作终极状态概率。
p k ( pij (k ))nn
n i 1 i
第六章>>第二节
一、状态概率估计
第六章>>第二节
被研究对象X存在n种状态，其状态空间记为：
S {S1 , S2 , , Sn } 设在N次观察中，被研究对象X处于状
态 Si 共有ni 次，显然 得：
ni i P{ X Si } N
第六章 马尔科夫预测法
讲授内容: 第一节 第二节 第三节 第四节 思考与练习
马尔科夫链的基本概念 状态概率的估算 马尔科夫链在经济预测方面的应用 马尔科夫预测案例
第六章>>第一节
一、状态与状态概率
第六章>>第一节
将事物在时间t所处的第i种状态记为 Si ，假
设事物有n种不同的状态，则这n种不同的状 态所构成的状态空间记为S， S {S , S , , S } 。 被研究对象在t时间处于状态空间中的某一 状态，把其处于各种状态的可能性称为状态 概率。记状态 S 的概率为 (t ) ，即： i (t ) p{X t Si } t=1,2,…;i=1,2,…,n（6.1）
1 2 n
i
i
一、状态与状态概率
第六章>>第一节
用 (k ) 表示被研究对象第k期的状态概率空
马尔科夫预测与决策48页PPT
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
第九章预测与决策
之后又有一天，柏拉图问他的老师什么是婚姻， 他的老师就叫他到树林里，砍下一棵最大最茂盛、 最适合放在家作圣诞树的树。同样只能砍一次，只 可以向前走，不能回头。 柏拉图照着老师说的话去做。今次，他带了一 棵普普通通，不是很茂盛，也不是太差的树回来。 老师问他，怎么带这棵普普通通的树回来？他说： “有了上一次经验，当我走到大半路程还两手空空 时，看到这棵树也不太差，便砍下来，免得错过了 后，又什么也带不出来。” 老师说：“这就是婚姻！”
4、决策的分类
按思维方式分：逻辑型与推测型 按科学性分：经验决策与科学决策 按内容分：定性决策与定量决策 按确定性分：确定型决策、不确定型决策、风 险型决策 按效果分：最优决策与满意决策
5、决策的原则
决策时必须遵循的指导原理与行为准则，它是 科学决策思想的反应，也是决策经验的概括。 方向性是决策的根本，信息性是决策的基础， 预测性是决策的前提，科学性是决策的保证， 民主性是决策的保障，系统性是决策的全局， 行动性是决策的归宿。
3、求出同月（或同季）的算术平均值； 4、用3求出的同月算术平均值除以2求出的 总平均值，得出相应月（或季）的季节系数。 5、以消除了季节影响的数据资料与预测月 份（或季）的季节系数相乘，求得该月份 （或季度）的预测值。 通常，以表格形式进行计算，举例如下： 例5：某商店按照季度统计的从2011年至 2009年的12个季度的销售资料如下表：
月份
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Xt(销售额:万元)
50 52 48 55 60 65 65 68 70 72 85 90
三项移动平均
-------
五项移动平均
----------53.00 56.00 58.60 62.60 65.60 68.00 72.00