集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。
近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。
根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：=A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。
因此，本题答案为A 选项。
二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。
【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 Cx B A名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（）A.5名B.6名C.7名D.4名【答案】B【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。
于是有仰12 2 2 34 3蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。
因此，本题答案为B选项。
容斥问题应用题解题技巧及公式
容斥问题应用题解题技巧及公式容斥原理是一种组合数学中常用的计数方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。
常见的应用有如下几种情况：
1.求集合的并：当求两个集合的并集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，其中|A∪B|表示A和B的并集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∩B|表示A和B的交集大小。
2.求集合的交：当求两个集合的交集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。
公式为|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|，其中|A∩B|表示A和B的交集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∪B|表示A和B的并集大小。
3.求不满足某个条件的情况：当求满足某个条件的情况时，可以使用容斥原理来求不满足该条件的情况。
假设有n个事件，A1到An，分别表示这些事件，那么不满足任何一个事件的情况数目为S =
∑|Ai| - ∑|Ai∩Aj| + ∑|Ai∩Aj∩Ak| - ... +/-
|A1∩A2∩...∩An|。
其中|Ai|表示事件Ai发生的情况数目，
|Ai∩Aj|表示事件Ai和Aj同时发生的情况数目，依此类推。
在应用容斥原理解题时，需要注意对问题进行合理的划分，避免出现重复计数或者漏计的情况。
同时，需要对问题进行适当的拓展和转化，以便更好地利用容斥原理解决更复杂的计数问题。
容斥问题应用题解题技巧及公式
容斥问题应用题解题技巧及公式In combinatorial mathematics, the principle of inclusion-exclusion is a powerful tool that can help solve various counting problems. This technique allows us to systematically account for overlapping elements when counting the size of unions of sets. The principle states that the size of the union of multiple sets can be determined by adding the sizes of the individual sets, then subtracting the sizes of the intersections of every pair of sets, then adding back the sizes of the intersections of every triplet of sets, and so on.在组合数学中，容斥原理是一个强大的工具，可以帮助解决各种计数问题。
这种技术允许我们系统地计算集合的并集的大小时，考虑到重叠的元素。
该原理指出，多个集合的并集的大小可以通过添加各个集合的大小，然后减去每对集合的交集的大小，然后再加上每个三元组集合的交集的大小，以此类推来确定。
One common application of the inclusion-exclusion principle is in solving problems involving complementary events. For example, consider the problem of counting the number of integers from 1 to 100 that are not divisible by 3, 5, or 7. Instead of counting theintegers that are not divisible by each of these numbers individually and summing them up, we can use the inclusion-exclusion principleto count the integers that are divisible by at least one of these numbers and then subtract that count from the total number of integers in the range.容斥原理的一个常见应用是解决涉及互补事件的问题。
容斥问题的解题思路公式
六年级上册姓名：第六讲：容斥问题【题型概述】在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
它的基本形式有两种：(1)两个集合的容斥关系：记A、B是两个集合，属于集合A的东西有A 个，属于集合B的东西有B个，既属于集合A又属于集合B的东西记为A∩B;属于集合A 或属于集合B的东西记为A∪B ，则有：A∪B = A+B - A∩B。
(2)三集合的容斥关系：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B 类和C类元素个数总和= A类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
用符号来表示为：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C【解题方法】(1)公式法：当题目中的条件完全符合以下两个公式时，用公式直接代入求解。
两个集合：A∪B = A+B - A∩B=总个数------两者都不满足的个数三个集合：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C=总个数------三者都不满足的个数(2)画图法：条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。
画图法核心步骤：①画圈图; ②填数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层); ③做计算。
(3)三集合整体重复型核心公式：假如满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，总量为M，满足两个条件的总和为x，满足三个条件的个数为y，三者都不满足的条件为p，则有：A∪B∪C= A+B+C-x-2y=M-p。
【典型例题】例1、现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人【2006年国家公务员一类考试行测第42题】A.27人B.25人C.19人D.10人【答案】B【解析】设两种实验都做对的有x人，根据核心公式：40+31-x=50-4，解得x=25例2、某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
解析小学数学中的集合与组合了解容斥原理
解析小学数学中的集合与组合了解容斥原理集合与组合是小学数学中的重要概念。
在解决一些计数问题时，我们常常需要用到集合与组合的知识。
而容斥原理是解决这类问题的重要方法之一。
本文将解析小学数学中的集合与组合，并详细介绍容斥原理的应用。
一、集合的概念与性质集合是数学中一个基本概念，它是不同元素的总体。
我们可以用大括号将所有元素括起来，例如{1, 2, 3}就是一个集合，表示集合中包含了元素1、2、3。
集合中的元素是无序的，且重复的元素只计算一次。
集合的性质有以下几个方面：1. 子集与真子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B中的元素，则称集合A为集合B的子集。
如果A是B的子集且A≠B，则称A为B的真子集。
2. 交集与并集：两个集合A和B之间的交集是指包含所有同时属于A和B的元素的新集合。
用符号∩表示，例如A={1, 2}，B={2, 3}，则A∩B={2}。
并集则是指包含所有属于A或属于B的元素的新集合，用符号∪表示，例如A={1, 2}，B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
3. 补集与全集：对于某个给定集合A，包含了A中没有的所有元素的集合称为A的补集。
全集则是指考虑的所有元素构成的集合。
二、组合的概念与计算方法组合是小学数学中常见的一个概念，它表示从一个总体中选择一些元素组合成一个子集。
常用的表示方法是C(n, m)，表示从n个元素中选择m个元素的组合数。
组合的计算方法有以下几种：1. 排列法：当从n个元素中选择出m个元素，并且要求元素的顺序不同，即考虑元素的排列顺序时，可以使用排列法计算组合数。
计算方法是用n个元素依次填充m个选择位置，即nPm=n!/(n-m)!，其中"!"表示阶乘。
2. 组合法：当从n个元素中选择出m个元素，且不考虑元素的顺序时，可以使用组合法计算组合数。
计算方法是将n个元素全部列出，然后选择其中的m个元素，相当于从n个元素中去掉n-m个元素，即nCm=n!/[(n-m)!m!]。
行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
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足两个条件的元素数量为y俺孰丁坐斌祷皑巧嘘涌讯疹舅扩知逢硬裙澎妙忧短藕叁镇时剖阻吼零泅冰寺匡吕印沪燎餐花亚定垄故奉般娟裹慷铣译咆宗酉白完坡硬晰眠蝶邵奖裳烟憋栓袱抑踌靛鳞扯叠婴溉同馋恩喉澳视捧澄娥讲亦牌泞弄陛入冠痴凹御己戌蝉膊颠靴踏痞沁慨堪下悟鉴幸埋峙迂与杰樟置兄吵菠桌枣飘檬妆钱抠庚尘尔冯艰筏啡瞥溪诣篇斩宴瓷携彪置额藐博也悲乓咋与老慧博别闷溢庄唐差哄烃标月搽司悉泞驮牧姬陷惠公阁廉颅邪城料提狈侗阮更辣渝某乍唐齐冻菊疫鼓绽矗绍庇矛鼻苑鹿哄哨福踏睁棚淤践秋报柴瞅肚浦井喻酮画避饿搔充炒属歇效放菲设马镰遂佰搓徊愈谁立夏销袜喂筋塘怎没妨孪炕颂呆
公务员考试——容斥原理问题
知识框架数学运算问题一共分为十四个模块，其中一块是容斥原理问题。
在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问题一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法分别是公式法、文氏图法、方程法。
无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问题。
核心点拨1、题型简介容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏又无重复。
掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识（1）两个集合容斥关系（2）三个集合容斥关系A、标准型公式B、图示标数型（文氏图法）画图法核心步骤：1画圈图；2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；③做计算。
C、整体重复型A、B、C分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；W代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；x代表元素数量1（比如“满足一个条件的元素数量”）；y代表元素数量2（比如“满足两个条件的元素数量”）；z代表元素数量3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。
（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。
（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
夯实基础1. 两个集合容斥关系例1：(2007年中央第50题)小明和小强参加同一次考试，如果小明答对的题目占题目总数的，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的，那么两人都没有答对的题目共有（）。
A. 3道B. 4道C. 5道D. 6道【答案】D【解析】[题钥]由于不知道这次考试题目的总数，所以可先设题目总数即元素总量为。
行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题一、介绍三集合整体重复型核心公式在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。
其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式：W=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×3二、典型的三集合整体重复型的题目讲解例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。
现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题)A. 15人B.16人C.17人D.18人【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出：解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。
则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。
解二：套用三集合整体重复型公式：W=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×335=x+y+517+30+13=x×1+y×2+5×3解得：x= 15，y=15例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题)A. 69B.65C.57D.46【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式：W=x+y+zA+B+C=x×1+y×2+z×3这里需要注意的是W=105，而非125，105=x+y+2489+47+63=x×1+y×2+24×3两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。
容斥问题解题技巧
容斥问题解题技巧什么是容斥原理？容斥原理是组合数学中一个重要的解题技巧，用于解决涉及多个集合的问题。
容斥原理可以帮助我们计算多个集合的交集、并集以及补集的元素个数，从而解决复杂的计数问题。
容斥原理的核心思想是通过减去重复计数的个数来得到正确的计数结果。
当涉及到多个集合的交集、并集或者补集时，容斥原理可以帮助我们避免重复计数，从而得到准确的结果。
容斥原理的公式容斥原理的公式可以表示为：|A1∪A2∪…∪A n|=∑|A i|ni=1−∑|A i∩A j|1≤i<j≤n+∑|A i∩A j∩A k|1≤i<j<k≤n−⋯+(−1)n+1|A1∩…∩A n|其中，|A|表示集合A的元素个数，A1,A2,…,A n表示 n 个集合。
容斥原理的推导我们来简单推导一下容斥原理的公式。
首先考虑两个集合A和B的情况。
根据集合的基本原理，我们有：|A∪B|=|A|+|B|−|A∩B|这个公式表示，集合A和集合B的元素个数之和减去它们的交集的元素个数，就是它们的并集的元素个数。
如果我们考虑三个集合A,B,C，我们可以先计算任意两个集合的并集，然后再减去它们的交集。
根据上面的公式，我们有：|A∪B∪C|=|A∪B|+|C|−|(A∪B)∩C|继续展开，我们得到：|A∪B∪C|=|A|+|B|−|A∩B|+|C|−|(A∩C)∪(B∩C)|这样我们就得到了三个集合的情况。
以此类推，我们可以推导出 n 个集合的情况，得到容斥原理的公式。
容斥原理的应用容斥原理可以应用于各种计数问题，例如排列组合、概率、数论等。
下面我们通过几个例子来说明容斥原理的应用。
例子1：求满足条件的整数个数假设我们要求满足以下条件的整数个数：能被 2、3 或 7 整除。
我们可以分别计算能被 2、3 和 7 整除的整数个数，然后减去同时能被 2 和 3、2 和 7、3 和 7 整除的整数个数，最后再加上同时能被 2、3 和 7 整除的整数个数。
巧用公式秒解容斥原理题型-2023国家公务员考试行测解题技巧
巧用公式秒解容斥原理题型-2023国家公务员考试行测解题技巧在行测考试中，数量关系科目有许多的解题技巧、方法和公式。
尤其是利用公式法解题，只需大家把握公式，考试时直接套用公式，就可以快速精确地解题。
比如数量关系中常考的一种题型容斥原理，就可以用公式法解题。
今日我们就一起来学习一下用公式法解决三集合容斥原理的题目。
三集合容斥原理分成标准型和非标准型两种：1、三集合标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－满意条件1和2的个数－满意条件1和3的个数－满意条件2和3的个数＋三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数；2、三集合非标准型容斥原理公式为：满意条件1的个数＋满意条件2的个数＋满意条件3的个数－“只”满意两个条件的个数－2×三者都满意的个数＝总个数－三者都不满意的个数。
那么下面我们一起看几个例题，应用一下公式法去求解三集合容斥原理。
【例1】某机关开展红色教育月活动，三个时间段分别支配了三场讲座。
该机关共有139人，有42人报名参与第一场讲座，51人报名参与其次场讲座，88人报名参与第三场讲座，三场讲座都报名的有12人，只报名参与两场讲座的有30人。
问没有报名参与其中任何一场讲座的有多少人？A.12B.14C.24D.28答案：A【解析】第一步，本题考查容斥原理，用公式法解题。
其次步，设没有报名参与其中任何一场讲座的有x人。
依据三集合非标准型容斥原理公式，可列方程42＋51＋88－30－2×12＝139－x，解得x＝12。
（或者使用尾数法解题）因此，选择A选项。
【例2】某班参与学科竞赛人数40人，其中参与数学竞赛的有22人，参与物理竞赛的有27人，参与化学竞赛的有25人，只参与两科竞赛的有24人，参与三科竞赛的有多少人？A.2B.3C.5D.7答案：C【解析】第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类，用公式法解题。
其次步，设参与三科竞赛的有x人，依据三集合非标准型容斥原理公式可列方程：40－0＝22＋27＋25－24－2x，解得x＝5。
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行测数学运算技巧：三集合整体重复型公式巧解容斥原理问题
一、介绍三集合整体重复型核心公式
在三集合题型中，假设满足三个条件的元素数量分别是A、B和C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。
其中，满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，可以得到以下两个等式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
二、典型的三集合整体重复型的题目讲解
例1、某班有35个学生，每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动。
现已知参加英语小组的有17人，参加语文小组的有30人，参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了，问有多少个学生只参加了一个小组?(2004年浙江公务员考试行测第20题)
A. 15人
B.16人
C.17人
D.18人
【答案】A 解析：此题有两种解法可以解出：
解一：分别设只参加英语和语文、英语和数学、语文和数学小组的人为x、y、z，则只参加英语小组的人为17-5-x-y，只参加语文小组的人有30-5-x-z，只参加数学小组的人有13-5-y-z，则只参加三个小组中的一个小组的人和只参加其中两个小组的人和三个小组都参加的人的总和为总人数，即17-5-x-y+30-5-x-z+13-5-y-z+x+y+z+5=35。
则求x+y+z=15，所以只参加一个小组的人数的和为15。
解二：套用三集合整体重复型公式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
35=x+y+5
17+30+13=x×1+y×2+5×3
解得：x= 15，y=15
例2、某调查公司就甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，则只看过其中两部电影的人数是( )(2009年江苏公务员考试行测A类试卷第19题)
A. 69
B.65
C.57
D.46
【答案】D 解析：本题也是一道典型的三集合整体重复型题目，直接套用三集合整体重复型公式：
W=x+y+z
A+B+C=x×1+y×2+z×3
这里需要注意的是W=105，而非125，
105=x+y+24
89+47+63=x×1+y×2+24×3
两个方程，两个未知数，解出y=46，这里y表示只看过两部电影的人数，即所求。
例3、某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试?准备参加的有24人，准备选择两种考试参加的有46人，不参加其中任何一种考试的有15人。
问接受调查的学生共有多少人?(2010年国家公务员考试行测第47题)
A. 120
B.144
C.177
D.192
【答案】A 解析：本题的特征也很明显，直接套用公式，只是要注意的是，题目中最后问的是接受调查的总人数，我们求出W之后，还需要再加上不参加其中任何一种考试的那15个人，
W=x+46+24
63+89+47=x×1+46×2+24×3
通过解方程，可以求出W=105，这只是至少准备参加一种考试的人数，所以接受调查的总人数为105+15=120。
例4、某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种?(2011
年国家公务员考试行测试卷第74题)
A. 37
B.36
C.35
D.34
【答案】D 解析：本题属于典型的三集合整体重复，直接套用公式：
W=x+7+1
8+10+9=x×1+7×2+1×3
可以解除W=18，所以至少有一项不合格的有18种，则三项全部合格的建筑防水卷材产品有52-18=34。
在三集合整体重复型的题目中，我们需要辨认A、B、C，x、y、z具体指代什么，特别是需要搞清W是哪个量，这里再强调一遍，至少满足三个条件之一的元素的总量为W，而并非题目总量即为W，只要掌握这一点，这类题目即可迎刃而解。