集合问题(容斥原理)5丨三者集合公式法(包含)
三者容斥问题公式
三者容斥问题公式三者容斥问题是一种涉及三个集合的计数问题，它的基本思想是利用包含与排除原理，也叫容斥原理，来避免重复计数或漏算。
三者容斥问题有一个基本公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|这个公式的含义是，要求出三个集合的并集的元素个数，可以先分别求出每个集合的元素个数，然后减去两两相交的部分，因为这些部分被重复计算了，最后加上三个集合都相交的部分，因为这部分被多次减去了。
三者容斥问题的推导为了理解这个公式是如何推导出来的，我们可以用维恩图来进行说明。
如下图所示，我们用三个圆形来表示三个集合A、B、C，它们之间有七个不同的区域，分别用1、2、3、4、5、6、7来标记。
如果我们要求出三个集合的并集A∪B∪C，那么就相当于求出这七个区域的总和。
我们可以用下面的方法来计算：首先，我们可以求出每个集合自身的元素个数，即|A|=1+4+5+7，|B|=2+4+6+7，|C|=3+5+6+7。
如果我们把这三个数相加，就得到了1+4+5+7+2+4+6+7+3+5+6+7=63。
但是这个数显然大于A∪B∪C的元素个数，因为有些区域被重复计算了。
其次，我们可以看到两两相交的部分被重复计算了两次，即A∩B=4+7，B∩C=6+7，C∩A=5+7。
如果我们把这三个数相减，就可以消除重复计算的部分。
即63−4−7−6−7−5−7=27。
但是这个数又小于A∪B∪C的元素个数，因为有一个区域被多次减去了。
最后，我们可以看到三个集合都相交的部分被多次减去了，即A∩B∩C=7。
如果我们把这个数再加回来，就可以得到正确的结果。
即27+7=34。
综上所述，我们就得到了三者容斥问题的公式：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|−|A∩B|−|B∩C|−|C∩A|+|A∩B∩C|三者容斥问题的应用三者容斥问题在实际生活中有很多应用场景，例如：统计某高校做有关碎片化学习的问卷调查结果²。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中的一种重要方法，常常用于求解集合的并、交、差等问题。
它的应用范围非常广泛，涉及到概率论、数论、组合数学等多个领域。
在实际问题中，我们经常需要利用容斥原理来解决一些复杂的计数问题。
下面，我们将介绍容斥原理的相关公式，希望能够对大家有所帮助。
1. 两个集合的容斥原理公式。
对于两个集合A和B，它们的元素个数分别为|A|和|B|，那么它们的并集元素个数为|A∪B|，则有：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
这个公式非常直观，它的意义在于，我们先把A和B的元素个数加起来，然后减去A和B的交集元素个数，这样得到的结果就是A和B的并集元素个数。
2. 三个集合的容斥原理公式。
对于三个集合A、B和C，它们的元素个数分别为|A|、|B|和|C|，那么它们的并集元素个数为|A∪B∪C|，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式是两个集合容斥原理的推广，它的推导过程可以通过画Venn图来理解。
在实际问题中，我们经常会遇到三个集合的容斥原理的应用，比如在概率论中的概率计算问题。
3. n个集合的容斥原理公式。
对于n个集合A1、A2、...An，它们的并集元素个数为|A1∪A2∪...∪An|，则有：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| + Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
这个公式是容斥原理的一般形式，它适用于任意个集合的情况。
在实际问题中，当我们需要求解多个集合的并集元素个数时，可以利用这个公式来进行计算。
4. 容斥原理的应用举例。
下面通过一个具体的例子来说明容斥原理的应用。
假设有一个集合A，它包含了1到100之间所有能被2、3或5整除的整数，我们需要求集合A的元素个数。
这个问题可以通过容斥原理来解决。
首先，分别求出能被2、3和5整除的整数的个数，然后分别两两求交集的个数，最后再求三者的交集的个数，然后代入容斥原理的公式，即可得到集合A的元素个数。
三者容斥问题3个公式
一、容斥问题的3个公式容斥原理是指一种计数方法。
先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复。
1.两个集合的容斥原理：n(A∪B)=n(A)+n(B) -n(A∩B)2.三个集合的容斥原理：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|3.n个集合的容斥原理：要计算几个集合并集的大小，我们要先将所有单个集合的大小计算出来，然后减去所有两个集合相交的部分，再加回所有三个集合相交的部分，再减去所有四个集合相交的部分，依此类推，一直计算到所有集合相交的部分。
二、容斥问题的应用：对于容斥问题，解题关键做到不重不漏，各个集合相加，理清各集合间的关系，扣掉重复补上遗漏的。
用于理解的主要方法是画文氏图，但考试中应尽量避免画图，这样速度偏慢些。
【例1】：某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向135人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，既看过甲、乙片为30人，既看过乙、丙片为31人，既看过甲、丙片为32人，其中有24人三部电影都看过，问多少人一部也没有看过呢?【解析】：既看过甲、乙片为30人是包含只看过甲乙还有甲乙丙三人两个部分，以M、N、W为既看过甲、乙片的人，N既看过乙、丙片的人，既看过甲、丙片的人，X为三部都看过的人数，这里面W、N、X都是有包含三者这个区域，根据把重复数的次数变为1次，或者说把重叠的面积变为一层，做到不重不漏的原则，则公式转化为I=A+B+C-(M+N+W)+X+Y，135=89+47+63-(30+31+32)+ 24+Y，Y=5人。
结论：三者容斥问题，画图之后可知，三个圆相交的地方有1层、2层、3层三种情况，当将三个集合相加的时候，2层和3层区域分别多计算一次和两次，故若想求全集，需要将重叠区域减掉，故三者容斥问题的公式为：A∪B∪C=A+B+C -A∩B-B∩C-C∩A+A∩B ∩C。
3集合标准容斥原理公式
3集合标准容斥原理公式
容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于计算多个集合的交集、并集和补
集的大小。
在容斥原理的基础上，可以推导出集合的标准容斥原理公式，用于计算多个集合的交集、并集和补集中元素的数量。
标准容斥原理公式如下：
对于给定的n个集合A1，A2，...，An，容斥原理可以用如下公式来计算这些
集合的交集、并集和补集的元素数量：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ|Ai| - Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| - ... + (-1)^(n+1) |A1
∩A2 ∩ ... ∩ An|
其中，Σ表示求和，i，j，k分别表示不同的集合编号，交集运算用∩表示，i
和j的交集用Ai ∩ Aj表示，依此类推。
(-1)^(n+1)是一个交错项，用于在计算交集、并集和补集时实现排除重复计数。
这个公式的意义在于，可以通过减去交集的大小并加上交集的交集的大小来计
算多个集合的并集的大小。
交集的交集则需要减去交集的交集的交集的大小，依此类推。
通过这种方式，我们可以精确地计算多个集合的交并集的元素数量，而不会重复计数或遗漏。
标准容斥原理公式在组合数学、概率论和计算机科学等领域有广泛的应用。
它
可以用于解决包括计数问题、概率计算和排列组合等在内的各种问题。
同时，通过将容斥原理应用到实际问题中，我们可以更好地理解集合的相互关系和运算规则。
总之，标准容斥原理公式是计算多个集合的交集、并集和补集元素数量的一种
强大工具。
它是组合数学中的重要概念，并在实际问题的求解中发挥着重要作用。
容斥原理
对公务员考试行测中数学运算各个题目进行整理，有一类是“容斥原理”问题，主要包括两集合问题和三集合问题，此类问题是每年必考的题型，现在对此类题目进行汇总，希望能帮助4.24联考的广大考生顺利通过考试。
1、公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。
利用公式法解决问题时要注意公式中每个字母所代表的含义，这是考生经常容易出错的地方。
(1)两个集合：涉及到两个集合的容斥原理的题目相对比较简单，可以按照下面公式代入计算：“都”是指满足该条件的集合数。
(2)三个集合：︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A︱+︱A∩B∩C︱2、韦恩图法：用图形来表示集合关系，变抽象文字为形象图示。
因其具有直观性，便捷性和可行性，因此推荐首选文氏画图解题。
针对历年的真题进行讲解。
例1、对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有( )。
(2005年国家公务员考试一卷行测第45题)A.22人B.28人C.30人D.36人解析：设A=喜欢看球赛的人(58)，B=喜欢看戏剧的人(38)，C=喜欢看电影的人(52)，则有：A∩B=既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人(18)B∩C=既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人(16)A∩B∩C=三种都喜欢看的人(12)A∪B∪C=看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种(100)由集合运算公式可知：C∩A=A+B+C-(A∪B∪C+A∩B+B∩C-A∩B∩C)=148-(100+18+16-12)=26所以，只喜欢看电影的人=C-B∩C-C∩A+A∩B∩C=52-16-26+12=22注：这道题运用公式运算比较复杂，运用文氏画图法我们很快就可以看出结果。
文氏解法如下：由题意知：(40-x)+x+(36-x)+6+12+4+16=100，解得 x=14; 则只喜欢看电影的人有36-x=22。
容斥原理公式及运用完整版
容斥原理公式及运用 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】??一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】??某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B∩C。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
容斥原理之三者容斥问题
容斥原理之三者容斥问题浙江行测答题技巧：容斥原理之三者容斥问题中公教育考试研究院宋丽娜：容斥原理是行测数学运算中常考知识点。
容斥原理是指在计数时，必须注意无一重复，且无遗漏。
这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
例1：一个班级的学生数学和语文每人至少喜欢其中一种，其中喜欢数学课的有49人，喜欢语文课的有52人，二者都喜欢的有21人，则这个班级有多少人?中公点拨：本题就是一个容斥问题，解决此问题的方法就是先算：49+52=101(把含于某内容中的所有对象的数目先计算出来)，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去即：101-21=80人，则整个班级的人数就有80人。
三者容斥问题是行测数学运算中常考也相对较复杂的容斥问题。
所谓三者容斥是指在题干中有三种集合(集合就是具有共同属性所以元素的的整体，例如上题中喜欢数学的人构成一个集合)。
三者容斥问题有一个基本公式：A，B，C代表三个集合，则有A∪BUC=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+ A∩B∩C这个公式表达的含义是，A+B+C再减去两两相交之后，中间E(即A∩B∩C)这部分被减没了。
而容斥原理的基本思想是计数时不重复不漏掉，故要再加回来，所以又加了一个A∩B∩C。
例2. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
结果显示：他们都至少喜欢三种大球中的一种，其中有58人喜欢篮球，有68人喜欢足球，有62人喜欢排球，而且，篮球和足球都喜欢的有45人，足球和排球都喜欢的有33人，三种球都喜欢的有12人。
篮球和排球都喜欢的多少人?中公教育解析：由题意可画图如下：则有上述公式可知：58+68+62-45-33-篮球和排球都喜欢+12=100人故喜欢篮球和排球的人有22人。
例3. 实验小学的小记者对本校100名同学进行调查，调查他们对三种大球(篮球、足球、排球)的与否。
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集合问题（容斥原理）5丨三者集合公式法（包含）
A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C
A∪B∪C表示ABC三个圆圈覆盖的面积；A∩B∩C表示符合三个条件，在实际的解题中注意两点：①有不符合ABC任意一项的，并未在图中展示②A∩B是包含A∩B∩C，仅满足A∩B=A∩B-A∩B∩C，其他同理。
2007年广州下半年
如图所示，每个圈纸片的面积都是36，圈纸片A 与B、B 与C、C 与A 的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圈纸片覆盖的总面积为88，则图中阴影部分的面积为？
A.66
B.68
C.70
D.72
【解析】C。
根据公式，得知A∩B∩C=2，
进一步得知，周边空白处，依次为5、4、7，故而阴影部分为：
88-7-6-9=88-5-4-7-2=70
2009年国考
116.如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积
A.15
B.16
C.14
D.18
【解析】B。
利用公式即可得知：设阴影部分的面积为A，根据图形的重叠情况，减去重叠部分的面积，可知：X＋Y＋Z－24－70－36＋A＝290。
代入数据：
即：64＋180＋160－24－70－36＋A＝290得知：解得：A＝16。
2011年安徽
15.如图所示：Ａ、Ｂ、Ｃ分别是面积为60、170、150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为280，且Ａ与
Ｂ、Ｂ与Ｃ、Ｃ与Ａ重叠部分的面积分别是22、60、35。
问阴影部分的面积是多少？（）
A.15
B.16
C.17
D.18
【解析】C。
套用三集合容斥原理公式，60＋170＋150－22－60－35＋X＝280，根据尾数法知答案为C。
2009年北京社招
24.对39钟食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种?
A.4
B.6
C.7
D.9
【解析】A。
三者集合问题。
设A=含甲的有17种，B=含乙的有18种，C=含丙的有15种，AB=含甲、乙的有7种，AC=含甲、丙的有6种，BC =含乙、丙的有9种，ABC=三种维生素都含的有种数。
根据容斥原理ABC=A+B+C- AB- AC- BC+ ABC可知，39-7=17+18+15-7-6-9+ABC，因此ABC=4。
注：直接套用公式即可。
2009年浙江
55.某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门必修课。
有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？
A 1人 B. 2人 C.3人 D.4人
【解析】B。
利用公式直接解决。
2015年陕西
71.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，
5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。
A. 20
B. 18
C. 17
D. 15
E. 14
F. 13
G. 12
H. 10
【解析】A。
三集合标准型公式得，至少喜欢一个景点的人数为28+30+42-8-10-5+3=80，则不喜欢任何一个的人数为20人。
2015年广东乡镇级
46.某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。
参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。
那么参加该次运动会的总人数为（）。
A.75
B.82
C.88
D.95
【解析】 B 。
三者集合问题及差量思维。
49+36+28-13-2×9=82人。
2018年陕西
60.有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种
A.14
B.15
C.16
D.17
E.18
F.19
G.20
H.21
【解析】E。
考查多年的三者集合问题。
令三者均不达标为X，则有：
120-X=68+77+59-54-43-35+30，根据尾数得知：8。