《三集合容斥原理》
三集合互斥标准公式
三集合互斥标准公式
三集合容斥问题的核心公式如下：
标准型：|A∪B∪
C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|。
非标准型：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-只满足两个条件的-2×三个都满足的。
列方程组：|A∪B∪C|=只满足一个条件的+只满足两个条件的+三个都满足的。
|A|+|B|+|C|=只满足一个条件的+2×只满足两个条件的+3×三个都满足的，对于以上三组公式的理解，可以通过想象三个圆两两相交的重叠情况来加深。
容斥原理：
容斥原理指把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
（A∪B=A+B-A∩B）
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和=A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又
是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C 类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
（A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C）。
三集合容斥非标准公式
三集合容斥非标准公式三集合容斥法是组合数学中一种常用的计数方法，用于计算多个集合的元素个数。
它通过交集、并集和补集之间的关系来求解问题，可以有效地解决多个集合的复杂计数问题。
在本文中，我将介绍三集合容斥法的基本原理、应用场景以及非标准公式的推导过程。
让我们来了解一下三集合容斥法的基本原理。
假设我们有三个集合A、B、C，我们想要求解它们的并集的元素个数。
根据容斥原理，我们可以通过减去交集的元素个数、再加上交集的交集的补集的元素个数、再减去交集交集交集的补集的补集的元素个数来得到最终的结果。
这个过程可以用以下的公式表示：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|这个公式被称为三集合容斥原理，其中|X|表示集合X的元素个数。
接下来，让我们通过一个例子来说明三集合容斥法的应用场景。
假设我们有一批学生，既修了数学课程，又修了英语课程，还修了计算机课程。
我们想要知道有多少学生既修了数学又修了英语，有多少学生既修了英语又修了计算机，有多少学生既修了数学又修了计算机，以及有多少学生既修了数学又修了英语又修了计算机。
我们可以用A表示修了数学的学生集合，B表示修了英语的学生集合，C表示修了计算机的学生集合。
我们希望求得A ∩ B、B ∩ C、A ∩ C以及A ∩ B ∩ C的元素个数。
根据三集合容斥法的原理，我们可以用以下的公式进行求解：|A ∩ B| = |A| + |B| - |A ∪ B||B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∪ C||A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∪ C||A ∩ B ∩ C| = |A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C| - |A ∪ B ∪ C|通过求解这些交集的元素个数，我们就可以得到所需的结果。
让我们来推导一下三集合容斥法的非标准公式。
假设我们有三个集合A、B、C，我们想要求解它们的交集的交集的补集的元素个数。
三集合容斥原理问题
行测数学运算技巧：三集合容斥原理问题的解决方法容斥原理类型是目前国家、各地区公务员考试数学运算的“常客”题型，对于大部分应试者来说，还是比较头痛的一种类型。
这里我们介绍一下三集合容斥原理问题的解决方法。
1、三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C2、三个集合的容斥关系(三元)例题：假设有100人参加了三个兴趣小组。
其中参加数学兴趣小组的有55人，参加语文兴趣小组的有65人，参加英语兴趣小组的有70人，同时参加语文和数学兴趣小组的人数是31人，同时参加数学和英语兴趣小组的人数是40人，同时参加语文和英语兴趣小组的有25人，则三个兴趣小组都参加的人数是多少人?(1) A+B+T=至少参与一项的总人数(无重叠)(2) A+2B+3T=至少参与一项的总人数(含重叠部分)(3) B+3T=至少参与两项的总人数(含重叠)(4) T三项都参与的人数。
这里介绍一下A、B、T分别是什么A=x+y+z;表示只参加一个兴趣小组的人数，在图中反应的区域就是每个圆圈互不重叠的部分。
B=a+b+c;表示仅参加了两个兴趣兴趣小组的人数，是图中两两相交的部分总和(不含中间的T区域)T=全部都参加的人数。
也就是图形当中最中间的部分T。
例题通过公式有如下解法：(1) A+B+T=100;(2) A+2B+3T=55+65+70=190(3) B+3T=31+40+25=96实际上我们要求的是T， (1)+(3)-(2)=T。
即得到答案T=100+96-190=63、三元容斥公式应用实例三元容斥涉及的对象比较多。
我们通常建议考生根据不同提问情况区别对待。
本小节先对一般情况的题目做一些分析。
例：如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三个不同形状的纸片，覆盖住桌面的总面积是290，其中X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分的面积依次是24、70、36，那么阴影部分的面积是：【09国考】A.15B.16C.14D.18【解析】参考答案为B。
容斥原理三集合公式
容斥原理三集合公式
容斥原理是概率与组合数学中常用的一种计数方法，用于解决集合之间的关系和求解交集、并集、补集问题。
容斥原理主要通过对给定集合的补集进行计算，并排除重复计数的情况，得到准确的结果。
容斥原理可以推广到三个集合的情况，即计算三个集合的交集、并集和补集的元素个数。
容斥原理的三集合公式可以表示为：
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩
B ∩ C|
其中，A、B、C表示三个集合，|A∪B∪C|表示三个集合的并
集的元素个数，|A|表示集合A的元素个数，|A ∩ B|表示集合
A和B的交集的元素个数，依此类推。
该公式的含义是：计算三个集合的并集的元素个数，等于计算这三个集合的元素个数之和，减去计算两两集合交集的元素个数之和，再加上计算三个集合交集的元素个数。
容斥原理的三集合公式的推导可以通过先考虑两个集合的交集，再加上第三个集合的方法得到。
具体推导过程在此不再赘述。
使用容斥原理的三集合公式，可以方便地计算三个集合的交集、并集和补集的元素个数。
在实际应用中，可以用于解决组合数
学和概率相关的问题，例如计算具有某些属性的组合的个数、计算多个事件同时发生的概率等。
需要注意的是，在应用容斥原理的三集合公式时，要确保集合之间满足一定的条件，例如集合互斥或集合的交集满足某种关系等，这样才能保证得到的结果是准确的。
容斥原理三集合公式
容斥原理三集合公式容斥原理是概率论和组合数学中的一种重要方法，用于计算多个集合的并集和交集的元素个数。
在实际问题中，我们经常会遇到需要计算多个集合的并集或者交集的情况，而容斥原理可以帮助我们快速有效地解决这类问题。
容斥原理的基本思想是通过对各个集合的贡献进行逐个排除和补偿，最终得到所求的结果。
容斥原理的应用非常灵活，可以用于解决各种不同类型的问题。
其中，三集合公式是容斥原理的一个经典应用，它适用于计算三个集合的并集和交集的元素个数。
接下来，我们将详细介绍容斥原理三集合公式的推导和应用。
假设我们有三个集合 A、B 和 C，我们希望计算它们的并集和交集的元素个数。
根据容斥原理，我们可以得到如下的三集合公式：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。
其中，|A| 表示集合 A 的元素个数，|B| 表示集合 B 的元素个数，|C| 表示集合 C 的元素个数，|A ∩ B| 表示集合 A 和集合B 的交集的元素个数，|A ∩ C| 表示集合 A 和集合C 的交集的元素个数，|B ∩ C| 表示集合 B 和集合 C 的交集的元素个数，|A∩ B ∩ C| 表示集合 A、B 和 C 的交集的元素个数。
通过这个公式，我们可以方便地计算三个集合的并集的元素个数。
首先，我们将三个集合各自的元素个数相加，然后减去两两集合的交集的元素个数，最后再加上三个集合的交集的元素个数，就可以得到并集的元素个数。
类似地，我们也可以利用三集合公式来计算三个集合的交集的元素个数。
只需要将公式中的并集符号改为交集符号，即可得到三个集合的交集的元素个数。
容斥原理三集合公式的推导并不复杂，但它在实际问题中的应用却非常广泛。
通过这个公式，我们可以轻松解决各种关于三个集合并集和交集的计算问题，为我们的工作和研究提供了便利。
总之，容斥原理三集合公式是概率论和组合数学中的重要工具，它可以帮助我们快速有效地计算三个集合的并集和交集的元素个数。
三集合容斥原理
三集合容斥原理
三集合容斥原理是一种常见的概率理论，它有助于解决一些复杂的概率问题。
它可以用来解释一些现象，如天气预报中的概率降雨或概率暴风雨。
三集合容斥原理的核心思想是：如果有三个互不相交的集合A，B 和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C 的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C 的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
用数学表示，三集合容斥原理可以表示为：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
三集合容斥原理可以被用来研究一些概率问题。
例如，假设有三个不同的事件A，B和C，计算它们的概率的总和，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) 。
另一个例子是，假设有三个不同的事件A，B和C，那么在这三个事件中，有多少种可能的组合，可以使用三集合容斥原理：P(A∪B∪C)=2^3-1=7 。
总之，三集合容斥原理是一种有用的概率理论，它可以帮助我们解决一些复杂的概率问题。
它的核心思想是：如果有三个互不相交的
集合A，B和C，则A，B和C的总体概率等于A的概率加上B的概率加上C的概率减去A与B的共同概率减去A与C的共同概率减去B与C的共同概率再加上A，B和C的共同概率。
三集合容斥原理三大公式
三集合容斥原理三大公式三集合容斥原理三大公式，是数学上重要的计算方法，经常被广泛应用于求解复杂的数学问题。
它被用于对无限个相互独立的可列集合之间的元素及其关系进行计算。
这三大公式可以帮助我们理清思路，算出结果，这也是它有价值的地方。
其中，第一个公式是“容斥原理”，也叫容斥式，它描述的是当一组不相交的集合的总长度比其他集合的总长度之和要短时，可以用它们的并集去表示其他集合的总长度之和。
实际上，容斥式反映的是当集合的总数越多时，它的表示的总长度会越短。
容斥式概括为：∑(-1)^n*U(n)=U(1)U(2)U(n)其中，U(n)表示第n个集合的总长度，n表示所有集合的总数。
第二个公式是“马尔可夫超限定理”，也叫马尔可夫不等式，它表明，对于一组无限长度的相互独立的集合，其总长度与第一个集合的总长度之和之差，是与其其他集合总长度有关的。
它表示，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更加紧密，也说明其他集合的总长度比第一个集合的总长度要长。
马尔可夫超限定理如下：∑(-1)^n*U(1)U(n)≤U(1)-U(2)U(3)U(n)其中，U(1)表示第一个集合的总长度，U(n)表示所有集合的总长度之和。
最后一个公式是“希尔伯特定理”，也叫希尔伯特不等式，它表明，一组无限长度的相互独立的集合，其并集的总长度是与其他集合的总长度有关的。
它提出，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更紧密，也就是其他集合的总长度比并集的总长度要长。
希尔伯特定理的表达式为：U(1)U(2)U(n)≤∑U(n)它表示，第一个集合的总长度乘以其他集合的总长度之和，不能大于所有集合的总长度之和。
三集合容斥原理三大公式是求解复杂问题的重要工具，能够帮助我们准确理清思路，算出结果。
对它深入了解，将有助于我们正确理解复杂的数学问题及其解法，扩大视野，拓宽认知。
三者容斥问题3个公式
三者容斥问题3个公式三集合容斥问题是公考中的常客，主要通过公式法和画图法解决，而公式法是最常用的方法，可是好多考生公式记得特别溜，做题时却不知用哪个好。
如何用1秒的时间快速准确挑选出公式呢？这是我们必须要具备的能力，今天我们一起来习得。
首先，何时能用公式解决三集合容斥问题？题目中没有“只”，即题目中没有出现只满足一个条件的表述。
其次，三集合容斥常用的三个公式是什么？（1）标准型：A+B+C-AB-AC-BC+ABC=总-都不的（2）拓展1：A+B+C-同时满足两项的-2ABC=总-都不的（3）拓展2：A+B+C-满足两项以上的-ABC=总-都不的再次，如何1秒挑选三集合容斥公式？三个公式中，差别最明显的是关于两项的描述。
若题目给出“满足AB、满足AC、满足BC”的排比式描述，应用标准型公式；若题目给出同时满足两项的描述，则用拓展1公式；若题目给出满足两项以上的描述，则用拓展2公式。
其他的条件在选公式的时候，一点也没用，直接找题目中关于两项的描述即可，选公式1秒足已。
最后，如何快速解呢？大部分题目，尾数不同，用尾数法。
来来来，上菜了。
【例1】有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有（）种。
A.14B.15C.18D.17【秒选公式】题目中出现“抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种”这种排比式的满足两项的描述，选标准型。
【答案】C【解析】本题考查三集合容斥。
设三种食品添加剂都不达标的有x种，代入三集合容斥原理标准公式可得：68+77+59-54-43-35+30=120-x，解得x=18（尾数为8）。
故本题答案为C选项。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三集合容斥原理
华图教育梁维维
我们知道容斥原理的本质是把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复的一种计数的方法。
之前我们叙述过了两集合容斥原理，下面我们来看一下三集合容斥原理，相对于两集合容斥原理而言，三集合容斥原理的难度有所增加，但总体难度适中，所以三集合容斥原理在国家公务员考试中出现的频率较高，在其他省份考试以及各省份联考当中也时有出现，下面我们了解一下三集合容斥原理的公式。
三集合容斥原理公式：
三者都不满足的个数。
总个数-
=
+
-
-
-
+
+
=|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|C
B
A
C
B
C
A
B
A
C
B
A
C
B
A
有些问题，可以直接代入三集合容斥原理的公式进行求解。
【例1】如图所示，X、Y、Z分别是面积为64、180、160的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X与Y、Y与Z、Z与X重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少?( )
A.15
B.16
C.14
D.18
【解析】依题意，假设阴影部分的面积为x，代入公式可得：64＋180＋160－24－70－36＋x=290，解得x=16，正确答案为B选项。
近几年，直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，往往告诉大家“只满足两个条件的共有多少”这样的信息，看似无法直接套用公式，其实只要掌握本质，仍然可以直接套用公式。
【例2】（2012河北-44）某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个?（）
A. 148
B. 248
C. 350
D. 500
【解析】本题属于容斥原理问题。
设三种上网方式都使用的客户有X个，则使用两种上网方式的客户有(352－X )个，根据题意1258＋1852＋932=3190＋2×（352－X）＋3X,解得X=148，因此答案选择A选项。
【例3】（2012-河北-43）某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。
其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。
问三项全部合格的食品有多少种?（）
A. 14
B. 21
C. 23
D. 32
【解析】本题属于容斥原理问题。
设三种全部合格的食品有X种，只有一项不合格的产品有Y 种，根据题意36－X=Y＋2＋5 ，7＋6＋9=2×5＋2×3＋Y，解得X=23，Y=6。
因此答案选择C 选项。
有些三集合容斥原理的题目，“条件或者提问”是不能完全使用公式代入的，那么这种情况要采用图示法，将数字标在三集合容斥原理的图形当中，并且要注意标数的时候，一定要记得进行加减运算，否则很容易出现错误。
【例4】（2006-国考-43）某工作组有12名外国人，其中6人会说英语，5人会说法语，5人会说西班牙语；有3人既会说英语又会说法语，有2人既会说法语又会说西班牙语，有2人既会说西班牙语又会说英语；有1人这三种语言都会说。
则只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多多少人?( )
A.1人
B.2人
C.3人
D.5人
【解析】根据题中所给条件可以得到如下图示，只会说一种语言的人有2+2+1=5人，而只会一种语言的有2人，所以只会说一种语言的人比一种语言都不会说的人多3人，答案选择C选项。
大家要掌握好以上例题，以后碰到类似的问题，可以更快的解答，希望广大考生牢牢掌握。