液压比例与伺服控制系统(2013)
关于液压伺服控制系统的振荡解析

关于液压伺服控制系统的振荡解析作者:刘宝刚来源:《数字技术与应用》2013年第03期关键词:目前的轧钢系统中,对位置控制要求精度高时,普遍采用伺服液压传动。
例如轧机、夹送辊、助卷辊的辊缝控制。
伺服控制有很多电气传动无法比拟的优点,例如:(1)控制精度高,可以达到微米级别。
(2)响应速度快,可以达到毫秒级别。
(3)对设备的冲击小。
所以伺服控制在轧钢领域得到了广泛的应用。
但是,伺服系统也会出现问题,我厂的伺服系统在生产中出现了系统震荡的故障。
以下就震荡的产生和消除进行一下分析。
关键词:液压伺服控制中图分类号:TH137.9 文献标识码:A 文章编号:1007-9416(2013)03-0013-011 伺服系统的工作原理讲到伺服系统,首先要了解伺服阀。
伺服阀是电磁阀的一种。
仍然是动圈式阀门,但在主阀芯内(或外部)有先导阀门,由电磁线圈推动先导阀门动作,主阀芯跟随先导阀芯动作,产生和电磁线圈成比例的阀芯位移,以控制液压管道中液压油的流量。
从而达到控制液压缸的移动速度和距离以及方向。
下面以MOOG阀为例简单介绍伺服阀的结构和工作原理。
如下图,可以看到当电流通过线圈时,首先先导阀芯先动作,(动作的行程和电流成比例)导通控制油路,带动下面的主阀芯,导通主油路。
当然主油路的行程和先导阀芯的行程也成比例关系。
因此可以通过控制阀芯的电流(或电压)来控制伺服阀的通断和流量,从而达到控制液压缸的动作和行程(图1)。
可以看到:整个伺服系统是一个双闭环调节系统,内环由放大器和伺服阀的先导阀芯位置反馈构成。
外环由PLC、CPC单元,磁尺(液压缸的实际行程)反馈构成。
内环完成高速的自适应调节。
外环完成上位机的参考值给定调节。
2 伺服系统震荡的产生原因(1)由于伺服阀在工作时,先导阀芯即使在没有给定的时候也是运动的,通常来说保持高频正弦波震荡,以保证快速响应。
我厂的伺服阀在没有给定的时候处于2000Hz的正弦震荡。
因此,当先导阀芯的芯套边缘部分由于磨损有损伤时,当出现漏油的时候,伺服阀就会出现周期性的震荡。
液压伺服与比例控制系统”课程体系建设与改革

液压伺服与比例控制系统”课程体系建设与改革摘要:结合“构思—设计—执行—运作”工程教育模式对新型工程人员在知识、技能和实践方面提出的要求,对国家精品课程“液压伺服与比例控制系统”的教学进行改革,分别从课堂教学单元、实践教学单元,课程设计单元,融入新的教学手段,重在加深学生对理论知识的理解深度,培养学生的工程实践能力,增强学生的团队意识。
关键词:“构思—设计—执行—运作”工程教育模式;案例教学法;讨论教学法;工程实践教学法;项目教学国内工科院校培养的本科毕业生,普遍存在重理论轻实践、强调个人学术能力而忽视团队协作精神、重视知识学习而忽视开拓创新精神的培养等问题。
从2005年起,国内多所高校结合我国高等教育的实际情况,积极参与“构思—设计—执行—运作”(Conceive—Design—Implement—Operate,以下简称CDIO)工程教育模式的实践和探索。
CDIO工程教育模式是近年来国际工程教育改革的最新成果。
国内外教学实践表明,其理念和方法是先进可行的,适合工程教育教学过程各个环节。
迄今为止,已有几十所世界著名大学加入了CDIO组织,取得了良好效果,按CDIO模式培养的学生深受社会与企业的欢迎。
“液压伺服与比例控制系统”是国内液压专业非常重要的一门专业课,特点是专业性强、综合性强、理论性强。
多年来,燕山大学机电控制工程专业一直重视该课程教学的改革工作,取得了显著效果,为国家培养了大量优秀工程技术人才。
但是,近几年来,随着社会对该专业学生素质要求的不断提高,仍然暴露出一些问题,比如教学手段相对较为落后,教学过程中理论与实践脱节,忽视学生创新能力和团队意识的培养等。
因此,逐渐出现了学生学习积极性不高、创新能力和团队意识不足等问题。
从2008年开始,该专业开始按CDIO工程教育模式培养学生。
以此为前提,结合“液压伺服与比例控制系统”国家精品课程的建设,课程建设小组通过改革传统教学方法和手段,加强过程管理,实施考核手段和方式的多样化,强化创新与实践能力培养,探索出一套更为完善的课程教学体系。
伺服系统组成与普通液压系统的区别

伺服系统组成与普通液压系统的区别
伺服系统与普通液压系统的组成区别是:伺服控制系统(伺服驱动系统)、伺服电机系统、先进的油泵。
伺服控制系统其实就是伺服控制器,又叫伺服驱动器。
伺服电机系统的实质就是伺服电机。
(莱普乐注塑机节能改造网提供)
伺服运行系统能够达到什么样的效果?电机反映迅速,像注塑机伺服系统就能实现压力和流量的双控制,控制程度更高,注塑机的冷却和保压阶段几乎不要消耗电能,直接降低注塑机电机的耗能(电机耗能占注塑机的60%-80%),实现节能40%-80%,注塑机电机的耗能根据注塑机的需要实现供给,从根本上节能。
伺服系统的最大特点就是电机,伺服电机采用永磁稀土,永磁电机反映更迅速,瞬间达到高转速,像注塑机伺服电机能够达到1500转,所需的时间不到0.03s,剪短了电机的反映时间和生产的时间。
由于伺服电机对油泵的要求比较高,普通液压系统的油泵不能达到这个要求,所以在注塑机节能改造中会把油泵换成齿轮泵。
伺服驱动器是根据伺服电机等配置的。
燕山大学王牌专业液压伺服与比例控制系统6

滑阀式溢流口,端面测压
锥阀式溢流口 ,端面测压
锥阀式溢流口,锥面测压
图6.7
锥阀式直动型溢流阀
调压手柄
锥阀芯 与面测压
调压弹簧
图6.7
溢流阀的符号
直动型溢流阀结构简单,灵敏度高,但因压力直接与 调压弹簧力平衡,不适于在高压、大流量下工作。
18
直动型溢流阀 与符号的对应关系
测压孔
阀口
阀 口
比较:
进油口P1
出油口P2
泄油口L
出油口P2
导阀比较
Fs F指 p3 As
主阀比较:
F主 p3 A p2 A
图6.17 先导式减压阀原理图
主级测压面
半桥式 先导控 制部分
主级指令
阀
测压面
口
阀口
测压面 直动型溢流阀
与符号的对应关系
测压孔
减压阀符号
代表液压先导控制
半桥式 先导控 制部分
先导型减压阀 与符号的对应关系
T 电磁溢流阀原理图
电磁阀通电卸压 先导式溢流阀部分
远程调压原理
32MPa
先导式溢 流阀部分
P
25MPa
远程调压阀
25MPa 32MPa
远程调压阀 先导式溢流阀部分
输出25MPa T
6.2.4 溢流阀静态特性与动态持性
静态特性是指阀在稳态工况时的特性,动态特性是指 阀在瞬态工况时的特性。
(1) 静态特性
溢流阀期望压力P指
溢流阀压力 随流量变化曲线
因开启和闭合时,阀芯 摩擦力方向不同,导致 开启曲线与闭合曲线不重合
p
溢流阀流量变化 引起的压力波动p
要求P开>85% Pn
图6.13
液压伺服和比例控制系统ppt

差) 经放大器放大后,加于电液伺服
阀转换为液压信号(图中A、b),以推
动液压缸活塞,驱动控制对象向消除偏
差方向运动。当偏差为零时,停止驱动,
因而使控制对象的位置总是按指令电位
图 7-9 统
电液伺服系
器给定的规律变化。
1-电位器;2-电液伺服阀;3-
液 压缸;4-负载;5-反 馈;
6-指令电位器;7-放大器
液压伺服和比例控制系统
第一节 液压伺服控制 第二节 电压比例控制
液压伺服阀
液压伺服阀是液压伺服系统中最重要、最基本的组成部分,它 起着信号转换、功率放大及反馈等控制作用。电液伺服阀是应用最广 泛的一种,它在接受电器信号模拟后,相应输出调制的流量和压力控 制信号,控制系统压力、流量、方向的变化。它既是电液转换元件, 也是功率放大元件,它能够将小功率的微弱电器输入信号转换为大功 率的液压能(流量和压力)输出。在电液伺服系统中,它将电气部分 和液压部分连接起来,实现电液信号的转换与液压放大。电液伺服阀 是电液伺服系统控制的核心。
量油增路加关,闭而,滑液阀压开缸x0口不量动逐,渐负减载少停。止当在x一0 增个加新到的
x0
位置
上
x时i ,则开口量为零,
,达到一个新的平
衡状态。
号继续如向果右继运续动给。控反制之滑,若阀给向控右制的滑输阀入输信入号一个x负i ,位液移压x缸i 就0会(向跟左随为这负个)信
液压伺服阀系统
反液之压缸,若就给会控跟制随滑这阀个输信入号一向个左负运位动移。xi 0 (向左为负)输入信号,则
液压伺服阀
3〕射流管式伺服阀
组成:如图7-3所示,采用衔铁式力矩马达8带动 射流管及其接收口2,两个接收口直接和滑陶阀 芯5两端面连接,控制滑阀阀芯运动。滑阀陶芯 5靠一个板簧定位,其位移与滑阀阅芯两端压力 差成比例。
液压比例伺服阀的工作原理

液压比例伺服阀的工作原理
液压比例伺服阀是一种用于控制液压系统中液压执行元件的阀门。
它的工作原理是通过改变阀芯的位置来调节液压流量和压力,从而控制液压执行元件的运动。
液压比例伺服阀由阀体、阀芯、驱动电磁铁、反馈电位器和控制电路组成。
驱动电磁铁通过控制电路产生电流,电流的大小决定了驱动电磁铁的磁场强度。
当驱动电磁铁通电时,产生的磁场将阀芯吸引或推动,使阀芯的位置发生变化。
阀芯的位置变化会改变阀体内的流道连接情况,从而调节液压流量和压力。
当阀芯向一侧移动时,阀体的流道与液压源连接,液压油通过阀体流道进入液压执行元件,从而产生相应的运动。
当阀芯向另一侧移动时,阀体的流道与液压油回油口连接,液压执行元件的液压油通过回油口排出。
反馈电位器用于检测阀芯的位置,并将位置信息反馈给控制电路。
控制电路根据反馈信息调整驱动电磁铁的电流,使阀芯的位置保持在设定的位置,从而实现对液压执行元件的精确控制。
总的来说,液压比例伺服阀通过改变阀芯的位置,调节液压流量和压力,从而控制液压执行元件的运动。
它具有快速响应、高精度和稳定性好等特点,广泛应用于工程机械、冶金设备、航空航天等领域。
液压伺服、比例控制

液压伺服系统工作原理1.1 液压伺服系统工作原理液压伺服系统以其响应速度快、负载刚度大、控制功率大等独特的优点在工业控制中得到了广泛的应用。
电液伺服系统通过使用电液伺服阀,将小功率的电信号转换为大功率的液压动力,从而实现了一些重型机械设备的伺服控制。
液压伺服系统是使系统的输出量,如位移、速度或力等,能自动地、快速而准确地跟随输入量的变化而变化,与此同时,输出功率被大幅度地放大。
液压伺服系统的工作原理可由图1来说明。
图1所示为一个对管道流量进行连续控制的电液伺服系统。
在大口径流体管道1中,阀板2的转角θ变化会产生节流作用而起到调节流量qT的作用。
阀板转动由液压缸带动齿轮、齿条来实现。
这个系统的输入量是电位器5的给定值x i。
对应给定值x i,有一定的电压输给放大器7,放大器将电压信号转换为电流信号加到伺服阀的电磁线圈上,使阀芯相应地产生一定的开口量x v。
阀开口x v使液压油进入液压缸上腔,推动液压缸向下移动。
液压缸下腔的油液则经伺服阀流回油箱。
液压缸的向下移动,使齿轮、齿条带动阀板产生偏转。
同时,液压缸活塞杆也带动电位器6的触点下移x p。
当x p所对应的电压与x i 所对应的电压相等时,两电压之差为零。
这时,放大器的输出电流亦为零,伺服阀关闭,液压缸带动的阀板停在相应的qT位置。
图1 管道流量(或静压力)的电液伺服系统1—流体管道;2—阀板;3—齿轮、齿条;4—液压缸;5—给定电位器;6—流量传感电位器;7—放大器;8—电液伺服阀在控制系统中,将被控制对象的输出信号回输到系统的输入端,并与给定值进行比较而形成偏差信号以产生对被控对象的控制作用,这种控制形式称之为反馈控制。
反馈信号与给定信号符号相反,即总是形成差值,这种反馈称之为负反馈。
用负反馈产生的偏差信号进行调节,是反馈控制的基本特征。
而对图1所示的实例中,电位器6就是反馈装置,偏差信号就是给定信号电压与反馈信号电压在放大器输入端产生的△u。
液压伺服与比例控制系统_第四部分_机液伺服系统

一、基本方程:
QL Kq X v Kc PL
QL
Ap sX
p
[Ctp
Gd
(s)]PL
Vt
4e
sPL
ApPL mts2 X p
二、方框图与传递函数:
三、传递函数简化
Kq
Xp
Ap
Xv
s
s2
h2
2 h h
s
1
液压固有频率:
h
液压阻尼比:
vp Kq
vp Kv
Ap
xv
总误差:
v p FL
Kv K p Ap
4.3 动压反馈装置
液压伺服系统往往是 欠阻尼的,液压阻尼比 小直接影响到系统的稳 定性、响应速度和精度。 因此提高阻尼比,对改 善系统性能是十分重要 的。采用动压反馈可以 有效地提高阻尼比,
两种常用的动压反馈 装置,分别是液阻加空 气蓄能器和油气阻尼器,
内反馈就是直接 比较的位置反馈。
Xi=X芯 指令元件与阀芯相连
Xp=X套
受控对象与阀套相连
Xi=X芯
Xp=X套
指令与阀连
对象与阀套连
阀芯与阀套 内反馈中的比较元件就
位置比较
是“阀芯”和“阀套”。
Xi
X芯
1
Xv 伺服阀
-
阀芯阀套直接位置比较
X套
1
XP
比较元件要求: 1)与指令元件相连(手)
2)与被控对象相连(工作台)
机液伺服系统工作可靠。但是,如果设计时各参数 选择不好,装配时就不易调整。另外,机械元件有惯 性,时间常数较大;机械运动件间总有间隙、摩擦, 工作久了总有磨损,这些都会降低系统的精度。
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1.5 液压控制系统的发展概况
液压控制是一 门新兴的科学技术。它不但是液压技术的一 个重要分支.而且也是控制领域中的一个重要组成部分。 在第一次和第二次世界大战期间及以后,由于军事工业的 刺激,液压伺服控制因响应快、精度高、功率—重量比大等特 点而受到特别的重视,特别是近几十年,随着整个工业技术的 发展,促使液压控制得到迅速发展,使这门技术无论在元件和 系统分面,还是在评论与应用方面都日趋完善和成熟,形成一 门新兴的科学技术。 目前,液压控制系统已成为工业自动化的一个重要方面。 在工业领域得到了广泛应用。
Kq K ce Vt X v 2 1 Ap Ap 4 e K ce
四、电液伺服阀
• 电液伺服阀的组成及用途 • 电液伺服阀的分类 • 典型电液伺服阀(力反馈两级电液伺服 阀、直接反馈两级电液伺服阀、其他型 式的电液伺服阀) • 电液伺服阀的主要性能参数(静态特性、 动态特性、输入特性)
如何提高“阀控缸”动力机构的液压固 有频率
• 液压固有频率表示液压动力元件的响应速度。在 液压伺服系统中,液压固有频率往往是整个系统 中最低的频率,它限制了系统的响应速度。为了 提高系统的响应速度,应提高液压固有频率。提 高液压固有频率的方法主要有: • (1)提高油液的体积弹性模量;(可通过提高供 油压力来实现) • (2)使阀与液压缸尽量靠近,采用直而短的管路, 尽量缩小无效容积; • (3)尽量缩短管路,减小管路中油液的附加质量
1.1液压控制系统的基本概念
• • • • • 什么是液压控制系统? 液压控制系统与液压传动系统之间的关系 液压比例控制与伺服控制的关系 液压控制的发展历程 液压控制系统的基本要点
液压传动系统与液压控制系统的关系
• 液压控制技术是在液压传动技术的基础上发展起来 的(介质相同、元件大部分相同、遵循的物理规律 相同、融合了控制理论) • 目的不同(传递动力;对运动量进行精确的控制) • 组成不同(5个组成部分、开环;7个组成部分、闭 环) • 设计理念不同(以静态参数设计为主;静动态结合, 动态性能为主) • 特点不同(有的缺点被放大(对污染的敏感度), 有点缺点被消除(传动比))
液压动力元件的基本概念及其分类
液压动力元件(或称液压动力机构)是 由液压放大元件(液压比控制元件)、液 压执行元件以及负载组成。 有四种基本型式的液压动力元件: 阀控液压缸、 阀控液压马达、 泵控液压缸、 泵控液压马达。
3.1 阀控缸动力机构
阀控缸动力机构建模:
• 将上面3个式子拉氏变换得:
阀控缸的传递函数(未简化):
s FL Xp mt K ce B pVt 2 B p K ce mV KVt KK ce 3 t t s 2 s 1 s 2 2 2 2 2 4 e Ap 4 e Ap Ap 4 e Ap Ap Ap Kq K ce Vt X v 2 1 Ap Ap 4 e K ce
Kq K ce Vt X v 2 1 s FL Ap Ap 4 e K ce Xp 2 s 2 h K K ce K s 1 s 2 2 h h Kh Ap
3.2 阀控马达动力机构
阀控马达动力机构建模:
阀控马达的传递函数:
emt
Vt
Bp 4 Ap
Vt emt
阀控缸动力机构主要性能参数为阀控液 压缸的增益Kq/Ap、液压固有频率、液 压阻尼比
• 动力机构的增益Kq/Ap直接影响系统的稳定性、 响应速度和精度。提高增益可以提高系统的响应 速度和精度,但使系统的稳定性变坏。 • 液压固有频率表示液压动力元件的响应速度。在 液压伺服系统中,液压固有频率往往是整个系统 中最低的频率,它限制了系统的响应速度。为了 提高系统的响应速度,应提高液压固有频率。 • 液压阻尼比表示系统的相对稳定性。为了获得满 意的性能,液压阻尼比应具有适当的值。提高液 压阻尼比对改变系统的性能是十分重要的
1.4 液压控制系统的特点
优点:
(1)液压元件的功率—重量比和力矩-惯量比大 可以组成结构紧凑、体积小、重量轻、加速性 好的控制系统。 (2)液压动力元件快速性好,系统响应快。 (3)液压控制系统抗负载的刚度大,即输出位移 受负载变化的影响小,定位准确,控制精度高。
缺点:
(1) 液压元件,特别是精密的液压控制元件 (如电液伺服阀)抗污染能力差,对工作油液的 清洁度要求高。 (2) 油温变化时对系统的性能有很大的影响。 (3) 当液压元件的密封设计、制造相使用维护 不当时.容易引起外漏,造成环境污染。 (4) 液压元件制造精度要求高,成本高。 (5) 液压能源的获得和远距离传输都不如电气 系统方便。
滑阀的预开口型式:
滑阀的P-Q特性方程
• 四边滑阀的等效桥路
滑阀的P-Q特性方程
滑阀的静态特性曲线
• 流量特性曲线 • 压力-流量特性曲线 • 压力特性曲线
滑阀的三个阀系数
• • • • •
• 流量增益 • 流量-压力系数 • 压力增益
阀系数的定义及物理含义 阀系数对滑阀自身性能的影响 阀系数对系统性能的影响 阀系数与滑阀特性曲线的关系 阀系数是工作点的函数
• 零开口四边滑 阀的阀系数
• 正开口四 边滑阀的 P-Q特性方 程及阀系 数
阀芯 受力 分析
稳态液 动力
瞬态液动力
阀芯受力:
滑阀功率及效率分析
2.3 双喷嘴挡板阀
• 结构 • 工作原理 • 性能特点
2.4 射流管阀
• 结构 • 工作原理 • 性能特点
2.5 三种液压放大元件的性能特点及 适用场合比较
4.1 电液伺服阀的组成及用途
• 电液伺服阀通常由力矩马达(或力马达)、 液压放大器(先导级和功率级)、反馈机 构三部分组成。 • 电液伺服阀既是电液转换元件,又是功率 放大元件。它能够将输入的微小电气信号 转换为大功率的液压信号(流量与压力)输出。 • 电液伺服阀控制精度高、响应速度快,是 一种高性能的电液控制元件,在液压伺服 系统中得到了广泛的应用。
液压比例控制与伺服控制的关系
• • • • • • 产生的背景不同 定位不同 性能不同 应用范围不同 经过不同的发展道路,出现了交叉点 比例方向流量复合阀与伺服阀的异同点
液压控制的发展历程
液压手动控制 液压先导控制
电液比例、伺服控制
智能化控制
液压控制系统的基本要点
• 含有负反馈的闭环控制系统 • 液压技术、流体力学、控制理论、计算机 技术、传感器技术的结合 • 采用阀控或泵控两种方式 • 阀控:液压放大及控制元件-圆柱滑阀 • 泵控:控制元件-变量机构 • 机电液一体化为特征 • 大量采用新技术 • 核心控制元件:伺服阀、比例阀
二、按被控物理量的名称分类 位置伺服控制系统、速度伺服控制系统、其 它物理量的控制系统。 三、按液压动力元件的控制方式或液压控制元 件的形式分类 节流式控制(阀控式)系统:阀控液压缸系统 和阀控液压马达系统 容积式控制系统:伺服变量泵系统和伺服变 量马达系统。 四、按信号传递介质的形式分类 机械液压伺服系统、电气液压伺服系统和气 动液压伺服系统等。
1.3 液压控制系统的分类
一、按系统输入信号的变化规律分类 • 定值控制系统:当系统输入信号为定值时称 为定值控制系统。 • 程序控制系统:系统的输入信号按预先给定 的规律变化时,称为程序控制系统 • 伺服控制系统:也称随动系统,其输入信号 是时间的未知函数,而输出量能够准确、快 速地复现输入量的变化规律。 • 比例控制系统
只需进行如下的变量替换,阀控缸的所有结 论可以移植到阀控马达
• • • • • • 马达转角θ--液压缸位移Xp 马达排量Dm--液压缸有效作用面积Ap 转动惯量Jt--质量mt 转动阻尼系数Bm--阻尼系数Bp 扭力弹簧刚度G--弹簧刚度K 任意外负载力矩TL--任意外负载力FL
3.3 泵控马达动力机构
二、液压放大元件
• 什么是液压放大元件 • 液压放大元件的分类 • 圆柱滑阀(结构分类及其特点、工作原理、 P-Q特性方程、阀系数、特性曲线、阀芯受力 分析、输出功率及效率) • 双喷嘴挡板阀(结构、工作原理、性能特点) • 射流管阀(结构、工作原理、性能特点) • 三种液压放大元件的性能特点及其适用场合 比较
2.2 圆柱滑阀
• • • • • • • 滑阀的工作原理 滑阀的结构分类及其特点 滑阀的P-Q特性方程 滑阀的三个阀系数 滑阀的静态特性曲线 滑阀的阀芯受力分析 滑阀的输出功率及效率
滑阀的工作原理
滑阀的结构分类及其特点
• • • • 通道数(4、3、2) 工作边数(4、2、1) 凸肩数(2、3、4) 预开口型式(+、0、-)
• • • • • • • • 工作原理 输入量 输出量 运动惯量 响应速度 功放系数 抗污染能力 适用场合
三、液压动力元件
• 什么是液压动力元件 • 液压动力元件的分类 • 阀控缸动力机构(组成、工作原理、数学 模型及其简化、性能特点及其影响参数) • 阀控马达动力机构(组成、工作原理、数 学模型及其简化、性能特点及其影响参数) • 泵控马达动力机构(组成、工作原理、数 学模型及其简化、性能特点及其影响参数) • 三种动力机构的性能特点比较
2.1液压放大元件的概念及其分类与特点
• 圆柱滑阀 • 双喷嘴挡板阀 • 射流管阀
什么是液压放大元件
• • • • 也称液压放大器 一种以机械运动来控制流体动力的元件 将输入的位移或转角转化为流量或压力输出 既是能量转换元件,又是功率放大元件
液压放大元件的分类
• 圆柱滑阀 • 双喷嘴挡板阀 • 射流管阀
s FL Xp mt K ce B pVt 2 B p K ce mV KVt KK ce 3 t t s s 1 s 2 2 2 2 2 2 4 e Ap A 4 A A 4 A A e p p e p p p