2015-2016学年高中数学 3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式课件 新人教A版必修4
17 2 cos(α＋β)＝ 26 ，求β.
【错解】
12 17 2 ∵cosα＝－13，cos(α＋β)＝ 26 ，
且π<α<α＋β<2π， ∴sinα＝－ 5 7 2 ，sin(α＋β)＝－ ， 13 26
∴sinβ＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα 2 ＝ . 2 π 3 ∵π<α<α＋β<2π，∴0<β<π，∴β＝4或4π.
辅助角公式的应用
【例3】 【分析】
π 求函数y＝cosx＋cos(x＋3)的最大值． 将函数化成y＝Asin(x＋φ)或y＝Acos(x－
φ)的形式，再利用三角函数的性质求最大值．
【解】
π y＝cosx＋cos(x＋3)
π π ＝cosx＋cosxcos3－sinxsin3 3 3 ＝ cosx－ sinx 2 2 3 1 π ＝ 3( 2 cosx－2sinx)＝ 3cos(x＋6)． π 当cos(x＋6)＝1时，y有最大值 3.
通法提炼 三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变 换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换.其中角的变 换是最基本的变换.常见的有：
1 1 tanα 已知sin(α＋β)＝ ，sin(α－β)＝ ，求 的值． 2 3 tanβ
1 1 解：∵sin(α＋β)＝2，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝2.① 1 1 ∵sin(α－β)＝3，∴sinαcosβ－cosαsinβ＝3.② 5 1 由①，②解得sinαcosβ＝12，cosαsinβ＝12， 5 tanα sinαcosβ 12 ∴tanβ＝cosαsinβ＝ 1 ＝5. 12
【错因分析】
以上错解是由于求β的三角函数值时，
2 函数选择不当所致．由于sinβ＝ 2 ，且y＝sinβ在[0，π]上不 单调，所以β在(0，π)上有两个值，这两个值的取舍就是个 2 3 问题，但若由cosβ＝－ 2 ，则得β＝ 4 π，即在(0，π)上只有 一个值，故所选择的函数应在角的范围内单调，这样就可 避免以上错误的发生．
第三章
三角恒等变换
3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.2
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
第1课时
两角和与差的正弦、余弦公式 提高篇
预习篇
课堂篇
巩固篇
课时作业
学习目标
1.能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正 弦、余弦公式并能利用公式进行化简求值. 2.熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式的特征. 3.能逆用公式进行化简求值.
【正解】
12 17 2 ∵cosα＝－13，cos(α＋β)＝ 26 ，
且π<α<α＋β<2π， 5 7 2 ∴sinα＝－13，sin(α＋β)＝－ 26 ， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α] 2 ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－ 2 . 3π ∵π<α<α＋β<2π，∴0<β<π，∴β＝ . 4
(3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数， 使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代 1 2 换，如1＝sin α＋cos α，1＝sin90° 等，再如：0， ， ， 2 2
2 2
3 2 等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为 三角函数使用． 1 3 π π 例如： cosα－ sinα＝sin cosα－cos sinα 2 2 6 6 π ＝sin(6－α)．
解析：(1)sin7° cos37° －sin83° sin37° ＝sin7° cos37° － 1 cos7° sin37° ＝sin(7° －37° )＝sin(－30° )＝－sin30° ＝－ 2 ，故 选B. (2)sin165° ＝sin15° ＝sin(45° －30° ) ＝sin45° cos30° －cos45° sin30° 6－ 2 2 3 2 1 ＝ × － × ＝ .故选D. 2 2 2 2 4
π ＝ 2sin(x＋4)＋2 ≥2－ 2，故其最小值为2－ 2.
答案：(1)A
(2)A
提高篇03
自我 在求三角函数值时，由于所选择的函数在定义域(角的 范围)内不单调，从而导致错误． 【例】 已知π<α<α＋β<2π，且满足cosα＝－ 12 13 ，
2．利用cos(α－β)推导cos(α＋β)的过程中，利用了什么 方法？该方法中常见的形式有哪些？ 答：推导过程中，利用了角的代换的方法，常见的形 式有： α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)； 1 1 α＝2[(α＋β)＋(α－β)]；α＝2[(β＋α)－(β－α)]； α＋β β α 2 ＝(α－2)－(2－β)．
本题考查了两角和与差的正弦公式的逆
用．(1)可直接运用公式；(2)可通过诱导公式变形后再运用 公式；(3)注意将(54° －x)、(36° ＋x)看作整体，不要展开．
【解】 1 ＝－2.
(1)原式＝sin(14° －44° )＝sin(－30° )＝－sin30°
(2)原式＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° ＝sin(14° ＋16° )＝ 1 sin30° ＝2. (3)原式＝sin[(54° －x)＋(36° ＋x)]＝sin90° ＝1.
重点难点
重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦公式； 难点：灵活运用公式化简三角函数式和求值
预习篇01
新知导学
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式
1．两角和与差的正弦公式与余弦公式有什么区别？ 答：余弦公式右边函数名的排列顺序为：余· 余± 正· 正，左右两边加减运算符号相反． 正弦公式右边函数名的排列顺序为：正· 余± 余· 正，左 右两边加减运算符号相同．
所以sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ 2 5 3 5 1 2 ＝(－ 5 )× －(－ 5 )× ＝－ 2 . 10 10 5π 因此，α－β＝ 4 .
课堂篇02
合作探究
公式的简单应用
【例1】
化简求值：
(1)cos44° sin14° －sin44° cos14° ； (2)sin14° cos16° ＋sin76° cos74° ； (3)sin(54° －x)cos(36° ＋x)＋cos(54° －x)sin(36° ＋ x)．
【分析】
答案：(1)B (2)D
给值求值问题
【例2】
π 3 12 已知 2 <β<α< 4 π，cos(α－β)＝ 13 ，sin(α＋
3 β)＝－ ，求cos2α的值． 5 【分析】 cos2α＝cos[α－β＋α＋β] →
求出cosα＋β，sinα－β → 代入公式，求值
【解】
π 3 ∵2<β<α<4π，
通法提炼 观察所给角之间的关系，从形式上凑出公式，再利用 已知的特殊角的三角函数值来求值.
(1)sin7° cos37° －sin83° sin37° 的值为( 3 A．－ 2 1 C. 2 1 B．－2 3 D. 2
)
(2)sin165° 等于( 1 A.2 6＋ 2 C. 4
) 3 B. 2 6－ 2 D. 4
通法提炼
5π 5π (1) 3sin －cos 的值是( 12 12 A. 2 C．－ 2 2 B. 2 7π D．sin 12
)
(2)函数y＝sinx＋cosx＋2的最小值是( A．2－ 2 C．0 B．2＋ 2 D．1
)
5 5 解析：(1) 3sin12π－cos12π 5 π 5 π ＝2(sin12πcos6－cos12πsin6) 5 π π ＝2sin(12π－6)＝2sin4＝ 2，故选A. (2)y＝sinx＋cosx＋2 2 2 ＝ 2( sinx＋ cosx)＋2 2 2 π π ＝ 2(sinxcos ＋cosxsin )＋2 4 4
3 π ∴－4π<－β<－2. π 3 ∴0<α－β<4，π<α＋β<2π. ∴sin(α－β)＝ 1－cos2α－β ＝ 12 2 5 1 － ＝ ， 13 13
cos(α＋β)＝－ 1－sin2α＋β ＝－ 32 4 1－－5 ＝－5.
∴cos2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)] ＝cos(α－β)cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β) 12 4 5 3 33 ＝13×(－5)－13×(－5)＝－65， 33 即cos2α＝－65.
1．两角和与差公式的理解、记忆 (1)公式间的逻辑关系
(2)公式的结构特征和符号规律 对于公式C(α－β)，C(α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S(α－β)，S(α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．
2．两角和与差的正、余弦公式应用 (1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要 求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造 条件逆用公式． (2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出 来，使之能直接运用公式．
设cosα＝－ 的值．
5 1 3π π ，tanβ＝ ，π<α< ，0<β< ，求α－β 5 3 2 2
5 3π 2 5 解：由cosα＝－ ，π<α< ，得sinα＝－ . 5 2 5 1 π 1 3 由tanβ＝ ，0<β< ，得sinβ＝ ，cosβ＝ ， 3 2 10 10 3π π π π 3π 由π<α< 2 ，0<β<2可得－2<－β<0，2<α－β< 2 ，
高一数学(3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
1 + tan15 (3 ) o ; 1 - tan15
o
(4)tan17°+tan28°+tan17°tan28° tan17° tan28°+tan17°tan28°
3.公式都是有灵性的, 3.公式都是有灵性的,应用时不能生搬 公式都是有灵性的 硬套,要注意整体代换和适当变形. 硬套,要注意整体代换和适当变形.
�
a2 + b2 - 2 cos(a + b) = 2
思考2 思考2:若sinα+cosβ=a,cosα+sinβ= + = , + = b,则sin(α+β)等于什么? 等于什么? , + 等于什么
a2 + b2 - 2 sin(a + b) = 2
思考3 tanα+ 思考3:根据公式 Tα+β,tanα+tanβ 可变形为什么? 可变形为什么? tanα+tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ) + 1 思考4 思考4:在△ABC中,tanA,tanB,tanC ABC中 tanA,tanB, 三者有什么关系? 三者有什么关系? tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 思考5 sinx+cosx能用一个三角函数表 思考5:sinx+cosx能用一个三角函数表 示吗? 示吗? p sin x + cos x = 2 sin(x + ) 4
两角和与差的正弦, 3.1.2 两角和与差的正弦, 余弦,正切公式 余弦,
高中数学学案 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式第1课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1.两角和的余弦公式cos(α＋β)＝cos_αcos _β－sin_αsin _β,简记为C (α＋β),使用的条件为α,β为任意角． 2．两角和与差的正弦公式名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正弦 S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos _β＋cos_αsin _βα,β∈R两角差 的正弦S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos _β－cos_αsin _βα,β∈R状元随笔 公式的记忆方法 (1)理顺公式间的联系．C (α＋β)――→以－β代βC (α－β)――→诱导公式S (α－β)――→以－β代βS (α＋β) (2)注意公式的结构特征和符号规律．对于公式C (α－β),C (α＋β),可记为“同名相乘,符号反”． 对于公式S (α－β),S (α＋β),可记为“异名相乘,符号同”． 公式逆用：sinαcosβ＋cosαsinβ＝sin(α＋β), sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β), cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β), cosαcosβ－sinαsinβ＝cos(α＋β)． [小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．( ) (2)存在α,β∈R ,使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意的α,β∈R ,sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)√2．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12C.32D ．1 解析：sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105° ＝sin 15°cos75°＋cos 15°sin 75° ＝sin(15°＋75°)＝sin 90°＝1. 答案：D3．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2,若sin α＝35,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( )A.75B.15 C ．－75 D ．－15解析：易得cos α＝45,则2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos αco s π4－sin αsi n π4＝15.答案：B4．计算sin 7π12＝________.解析：sin 7π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π4＝sin π3cos π4＋cos π3sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 答案：6＋24类型一 给角求值例1 求值：(1)cos 105°；(2)cos 31°＋cos 91°sin 29°.【解析】 (1)cos 105°＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝12×22－32×22＝2－64. (2)cos 31°＋cos 91°sin 29°＝cos 31°＋cos (60°＋31°)sin 29°＝cos 31°＋cos 60°cos 31°－sin 60°sin 31°sin 29°又因为π2<β<π,所以β＝2π3.对比例题β的范围更改则α＋β的范围更改,再由sin(α＋β)求cos(α＋β)最后利用sinβ＝sin[(α＋β)－α]公式求值．3.1.2[基础巩固](25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分) 1．sin 105°的值为( ) A.3＋22 B.2＋12 C.6－24 D.2＋64解析：sin 105°＝sin(45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案：D2．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B.32C ．－12 D.12解析：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.答案：D3．若cos α＝－45,α是第三象限的角,则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210解析：因为cos α＝－45,α是第三象限的角,所以sin α＝－35,由两角和的正弦公式可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
sin ( ) sin[ ()] sin cos() cos sin() sin cos cos sin .
两角差的正弦公式
sin ( ) sin cos cos sin
简记： S
( )
异名积，符号同.
sin( ) cos ( ) 2
2.由两角和与差的余弦公式如何推导两角
和与差的正弦公式？
sin( ) cos 2 cos ( ) 2 cos( ) cos sin( ) sin 2 2 sin cos cos sin .
2 4 2 3 7 2 ( ) ; 2 5 2 5 10
cos( ) cos cos sin sin 4 4 4 2 4 2 3 = ( ) 2 5 2 5 7 2 = . 10
例2 利用和（差）角公式计算下列各式的值： (1)sin 72°cos 42° cos 72°sin 42° . (2) cos 20°cos 70° sin 20°sin 70° .
解：(1)原式 sin(72o 18o ) sin 90o 1.
3 (2)原式 sin(14 74 ) sin(60 ) . 2 1 (3)原式 cos(34 26 ) cos 60 . 2
3.化简:(1) 2(sin x cos x). (2) 2 cos x 6 sin x.
两角和的正弦公式
sin( ) sin cos cos sin
S( ) 简记：
公式的结构特征:
左边是复角 的正弦,右边是单角 ， 的
人教版高中数学必修四教案：3.1.2两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式教材分析本节内容是数学4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式的第二课时，是在学习了差角的余弦公式的基础上，进一步对差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦和正切公式的探究.本节的六个公式是本章的重要内容，也是三角恒等变换的基础，对三角函数式的化简，求值、三角恒等式的证明等问题起着重要的支撑作用，同时，它又为后面学习倍角公式作铺垫.本节课的重点是公式的推导及公式的简单应用，难点是公式的记忆和灵活应用.通过公式的推导过程，揭示了公式间的联系，加深对公式的理解和记忆.教学中既要有意识地训练学生思维的有序性和对思维过程表述的准确性、简洁性，又要渗透转化、换元、分类讨论的数学思想，这些都是培养学生三角恒等变换能力所不能忽视的.课时分配本节内容用1课时的时间完成，首先在两角差的余弦公式的基础上，引导学生自主探究得到两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并掌握公式的结构和变形形式.然后，通过例题运用公式解决简单的数学问题.教学目标重点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的探究过程，公式结构及应用.难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的记忆和灵活应用.知识点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式.能力点：能以两角差的余弦公式为基础，结合诱导公式与同角三角函数关系式，推导出差角、和角的正弦、余弦和正切公式.教育点：经历公式的探究过程，注重知识间的联系，培养学生的探索精神，提高学生的推理能力和运算能力.自主探究点：以两角差的余弦公式为基础，探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的推导方法. 考试点：灵活使用差角、和角的公式进行三角函数式的化简、求值和恒等变形.易错易混点：使用公式时，学生容易在分析角的范围上出错.拓展点：如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式. 教具准备 多媒体课件课堂模式 学案导学一、 引入新课师：同学们，上节课我们学习了差角的余弦公式，请大家首先回顾一下这个公式的形式是怎样的. 生：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. ——同名积，符号反师：由于公式()cos αβ-只可以用来解决与差角的余弦相关的三角变换问题，因而在应用中有很大的局限性，遇到差角的正弦、正切及和角的正弦、余弦、正切时，公式()cos αβ-就不能直接应用了，因此，我们有必要将公式()cos αβ-作进一步拓广，希望得到两角和与差的三角系列公式.这节课我们就来探究差角的正弦、正切公式及和角的正弦、余弦、正切公式.【设计意图】从熟悉的差角余弦公式出发，让学生意识到进一步探究差角、和角的正弦、余弦和正切公式的意义，是对旧知的扩展，进而引出本节课题，自然流畅.二、探究新知探究一：探究公式()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-.问题：由公式()C αβ-出发，如何推导公式：()cos ?αβ+=【师生活动】师：引导学生从两个方面展开联想：①函数名称的联系；②角的联系，αβ+与αβ-之间的联系.重点指出，要想利用差角的公式得到和角的公式，如果从形式上能将和角变成差角的形式，那就近了一步.生：自主思考，一般得出：①将αβ+转化为()αβ--；②在公式()cos αβ-中，以β-代β. 师生：利用换元的思想推导出()C αβ+，并进一步理解公式间的联系，共同分析对比()C αβ-与()C αβ+两公式的结构形式.()()cos cos cos cos()sin sin()cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+=--=-+-=-⎡⎤⎣⎦ 即()C αβ+：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-. ——同名积，符号反【设计意图】让学生参与公式的探究过程，加深理解公式间的联系，有利于公式的记忆，培养学生换元的数学思想.探究二：探究公式()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.问题：在公式()C αβ-与()C αβ+的基础上，怎样推导()sin ?αβ+=与()sin ?αβ-=【师生活动】师：我们的目标是求两角和与差的正弦公式，而我们已经知道了相应的余弦公式，那么，一个自然的想法是什么？就是利用余弦公式求正弦公式.如何把()sin αβ+改写成余弦？生：自主探究，从原有知识结构中提取正弦与余弦的关系，将公式推导出来.()()sin cos cos ()cos()cos sin()sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤+=-+=--=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+即()S αβ+：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+. ——异名积，符号同以β-代β得()S αβ-：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-. ——异名积，符号同师生：共同整理推导过程，让学生认识到解决问题的关键是应用诱导公式把正弦化为余弦，体会转化与化归思想方法在解决问题中的重要性，并进一步分析所得公式的结构形式与()C αβ-、()C αβ+的区别.【设计意图】结合旧知，探究新知，既巩固已学知识，又加深理解公式间的联系，同时有利于公式的记忆，培养学生转化与化归的数学思想.探究三：探究公式()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 问题：怎样用,αβ的正切表示()tan αβ+、()tan αβ-呢？【师生活动】师：由两角和与差的正弦、余弦公式如何探究两角和与差的正切公式？以和角为例，请自主探究.生：自主探究.一般能从同角三角函数的关系式出发进行探究，教师可作个别指导.但是，多数学生可能只是将和角的正弦、余弦公式代入展开而不去化简.()()()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos sin sin αβααβαβααβααβαβαβ++=→+==+- 师：上述公式是用单角的正、余弦表示和角的正切，那么，通过什么途径可以把上面的式子化成只含有tan α、tan β的形式呢？引导学生观察思考，当cos cos 0αβ≠时，分式的分子、分母同时除以cos cos αβ，得出和角的正切公式()T αβ+：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-. 师：进一步提出引申思考的问题：在上述公式的推导过程中，角,αβ有什么条件要求吗？除此之外，公式本身还有什么限制吗？生：自主思考，可以得出α、β、αβ+都不等于()2k k Z ππ+∈.师生：指明公式成立的条件，使公式完整.进一步让学生类比思考差角的正切公式的推导，自主得出差角公式，并与和角公式比较，分析结构，帮助记忆.差角的正切公式()T αβ-：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+. 【设计意图】让学生经历探究公式的过程，变老师教为学生学，突出学习的主体地位，有利于理解和掌握新知，训练学生动手动脑相结合的学习习惯.师：依据以上公式的推导过程，请思考差角、和角的6个公式之间有怎样的内在联系？【师生活动】生：自主分析，找出公式间的逻辑关系.师生：在学生自主探究的基础上，师生共同总结公式之间的紧密逻辑关系，并用框图形式表示出来.【设计意图】及时梳理知识，完善知识体系.整体把握公式间的逻辑关系，巩固对公式的理解与掌握，为下一步公式的灵活使用打好基础.三、理解新知公式的结构特点：()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m . ——同名积，符号反()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±. ——异名积，符号同()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 注意：,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 【设计意图】准确把握三组公式，为公式的灵活使用打好基础.四、运用新知例1．已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 分析：利用同角的平方关系22sin cos 1αα+=，求cos α，进而求tan α，再代入公式求值即可. 解：由3sin 5α=-，α是第四象限角，得4cos 5α===， 所以 3sin 35tan 4cos 45ααα-===- . 于是有43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭. 在本题中sin 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭与 cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭两结果一样，那么，对于任意角α，此等式成立吗？我们能否用第一章的知识证明？变式：如果本例中的条件“α是第四象限角”去掉，结果怎样表述呢？【设计意图】训练学生的解题能力，发现不同题目解题过程的区别与联系.变式中对求解过程的表述上会有更高的要求，培养学生分类讨论的思想方法.巩固练习：（1）已知35sin ,cos 513αβ==-，且α为第一象限角，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.求sin()αβ+和sin()αβ-的值.（2）已知,αβ均为锐角，且4cos 5α=，1tan()3αβ-=，求cos β的值. 答案：（1）3365，6365-； （2. 例2．利用和（差）角公式计算下列各式的值：（1）sin 72cos 42cos72sin 42-o o o o；（2）cos 20cos70sin 20sin 70-o o o o ； （3）1tan151tan15+-oo． 分析：本题的关键在于观察分析待化简求值的三角式的结构特征，再联想具有此特征的有关公式，经过适当变形，再顺用或逆用公式解决.解：（1）由公式()S αβ-，得：()1sin 72cos 42cos72sin 42sin 7242sin 302-=-==o o o o o o o ； （2）由公式()C αβ+，得：()cos 20cos70sin 20sin 70cos 2070cos900-=+==o o o o o o o ；（3）由公式()T αβ+及tan 451=o，得：()1tan15tan 45tan15tan 4515tan 601tan151tan 45tan15++==+==--o o o o o o o o o ． 巩固练习：（1）cos 44sin14sin 44cos14-o o o o；（2）sin(54)cos(36)cos(54)sin(36)x x x x -++-+o o o o ；（3答案：（1）12-. （2）1. （3）1-. 例3．已知3,,4παβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，求sin()4πα+的值. 分析：注意到已知角与待求角之间的关系：()()44ππααββ+=+--，从而把待求角转化为已知角的差的形式，再利用差角的正弦公式求解. 解：3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Q ， 3(,2)2παβπ∴+∈，3(,)424πππβ-∈. 3sin()5αβ+=-Q ， 4cos()5αβ∴+=. 12sin()413πβ-=Q ， 5cos()413πβ∴-=-. sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()4444ππππααββαββαββ∴+=+--=+-++-3541263()()51351365=-⨯-+⨯=.巩固练习：（1）已知sin α=，sin()αβ-=，,αβ均为锐角，求sin β的值.答案：2. 【设计意图】使学生掌握把待求角转化为已知角的和与差的形式的变化技巧.让学生在精析精练中，突破重点、难点，体会公式的灵活应用，从而巩固新知，提高能力.五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识？主要涉及到哪些数学思想方法？1.知识：①()cos cos cos sin sin αβαβαβ=±m .()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±.()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m . 其中,,()222k k k k Z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈ 2．思想：转化与化归思想，特殊与一般思想，分类讨论思想.【设计意图】师生共同回忆所学内容，发挥学生学习的主体性，帮助学生记忆公式，梳理知识，培养良好的学习方法.六、布置作业1.阅读教材 P128-131；2.书面作业：必做题：P137 习题3.1 A 组7,8，9，10.选做题：（1）已知3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，512sin 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，3(,)44ππα∈，(0,)4πβ∈，求()sin αβ+的值.（2）已知sin α=，sin()αβ-=,αβ均为锐角，求αβ+的值.3．课外思考：化简：（1）1cos 2x x ；（2）sin cos x x -；（3x x ； （4）sin cos a x b x +.【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，准确掌握6个公式后，再做作业.书面作业的布置，是为了训练学生使用差角、和角公式，解决简单的数学问题，在公式的应用中，加深对公式的理解和掌握.课外思考题的设计是为了引导学生探究如何利用差角、和角公式把形如sin cos a x b x +的式子化简为形如sin()A x ωϕ+的三角式.七、教后反思1.本教案的亮点：从学生熟悉的两角差的余弦公式出发，以旧引新，符合学生的认知规律，加强知识间的联系，结构自然顺畅.例题与习题设计恰当，突出本节课的三个知识点(三组公式)，主要选择基础题目，并安排了适当量的随堂练习，帮助学生总结解题方法和技巧，及时巩固新知.2.本节课公式较多，公式的推导、记忆与应用，都用时较多，各校学生基础不同，建议教师对巩固练习题目灵活掌握，但一定要在公式的推导上留给学生足够的时间.3.本节课的弱项：本节课容量较大，课堂上有限的时间不易照顾到对公式的全面应用，有关公式的灵活、变形使用还有待于在后续课堂上加强.八、板书设计。
高中数学3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式二教案新人教A版必修4
探究点一 两角和与差的正切公式的推导
问题 1 你能根据同角三角函数基本关系式tan α＝sin α
cos α
，从两角和与差的正弦、余弦公式出发，推导出
用任意角α，β的正切值表示tan(α＋β)，tan(α－β)的公式吗？试一试．
探究点二 两角和与差的正切公式的变形公式 两角和与差的正切公式变形形式较多，例如：
tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， tan αtan β＝1－
tan α＋tan βtan α＋β＝
tan α－tan β
tan α－β
－1.
答 当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝sin (α＋β)cos (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
.
当cos αcos β≠0时，分子分母同除以cos αcos β，得
tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
.
根据α，β的任意性，在上面式子中，以－β代替β得
tan(α－β)＝tan α＋tan (－β)1－tan αtan (－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
.
问题2 在两角和与差的正切公式中，α，β，α±β的取值是任意的吗？
答 在公式T (α＋β)，T (α－β)中α，β，α±β都不能等于k π＋π2(k ∈Z )．
＝tan 120°＝－ 3.。
两角和与差的正、余弦公式教案
3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式教学设计 富锦一中 陈金生教学目的：1、掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式.2、了解公式间的内在联系，能用公式进行简单的求值.3、培养学生的创新意识与应用意识.教学重点：两角和与差的正弦、余弦公式及其简单应用.教学难点：1、两角和余弦与两角差余弦之间的关系2，两角和差正弦与相应的余弦之间的关系.授课类型：新授课教 具：多媒体、导学案 教 法：合作探究、启发引导 教学过程：一、 复习巩固上节课我们学习了两角差的余弦公式，可以解决类似于cos15º=cos(45º-30º) 之类问题，而cos75º=cos(45º+30º) 之类问题我们又如何解决？我们能否由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，以及其他的三角函数公式？二、 公式推导借助于两角差的余弦公式cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β,则有： 思考途径一：把βα+转化为)(βα--cos(βα+)=cos[)(βα--]=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β.思考途径二：把任意角β换成-βcos(βα+)=cos αcos(-β)+sin αsin(-β)=cos αcos β-sin αsin β. 即：两角和的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β. 注意：1两角和差余弦公式的异同之处.2两角和、差余弦公式间的关系.3公式中的角具有任意性.4 cos(βα+)=cos α + cos β一定成立吗？练习1、利用和角余弦公式求下列各三角函数的值（1） cos75º （2） cos105º如何利用两角和与差的余弦公式 cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β和 cos(βα-)=cos αcos β+sin αsin β推导出两角和与差的正弦公式？运用公式cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β及诱导公式有：sin()βα+=cos[)(2βαπ+-]=cos[βαπ--)2(] =cos(απ-2)cos β+sin(απ-2)sin β= sin αcos β+cos αsin β 即：两角和的正弦公式 sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β. 在上式中用-β代换β 得：sin()βα-= sin αcos （-β）+cos αsin （-β） 即：两角差的正弦公式 sin()βα-= sin αcos β-cos αsin β注意：1公式的推导应启发学生自己完成，老师做归纳总结.2 两公式间的关系、异同.3明确角、函数名和排列顺序以及公式中每一项的符号.4牢记公式，熟练左右互化.练习2、利用和角正弦公式求下列各三角函数的值(1) sin75º (2) sin105º如何根据两角和与差的正、余弦公式推导出利用两角和与差的正切公式？利用正切函数与正、余弦函数的关系，当cos(βα+)≠0时，将公式sin()βα+= sin αcos β+cos αsin β 与cos(βα+)=cos αcos β-sin αsin β两边分别相除，有：βαβαβαβαβαβαβαsin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(-+=++=+ 若cos αcos β≠0 时，上式即为:两角和的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ 用-β代换β，则有：两角差的正切公式 βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 练习3、利用和与差的正切公式求下列各三角函数的值(1) tan75º (2) tan105º注意：1、 和角公式: S )(βα+、 C )(βα+ 、 T )(βα+差角公式： S )(βα-、 C )(βα- 、 T )(βα-2、公式之间的内在联系.3、明确各三角函数的意义.4、公式的逆向变换、多向变换.5、理解公式推导中角的代换的实质.6、和差公式可看成是诱导公式的推广，诱导公式可看成是和差公式的特例 如：ααααπαπαπcos sin 0cos 1sin 2sin cos 2cos )2cos(=⋅-⋅=-=+7、形如asinx+bsinx(a 、b 不同时为0)的变化.三、例题例4：:课堂练习：1.已知()21tan ,tan ,544παββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 2.已知sin α－sin β＝－31, cos α－cos β＝－31,求cos(α－β)的值。
3.1.2第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式 课件
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
高效学习模型-内外脑模型
2
内脑- 思考内化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
超级记忆法-记忆规律
记忆前
第三章 三角恒等变换
3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切 公式
第1课时 两角和与差的正弦、余弦公式
第三章 三角恒等变换
学习导航
学习目标
结合两角差 的余弦公式
―理―解→
两角和与差的正弦、 余弦推导过程及各 公式之间的联系
―掌―握→
两角和与差的正弦、 余弦公式的应用
重点难点 重点：公式的正用、逆用及变式应用． 难点：灵活运用公式解决相关的求值、化简．
＝12sin x＋ 23cos x＋sin x－ 3cos x＋ 23cos x－32sin x
＝(12＋1－32)sin x＋( 23－
3＋
3 2 )cos
x＝0.
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
(2)原式＝sin[α＋β＋α]s－in 2αcosα＋βsin α
＝sinα＋βcos
α－cosα＋βsin sin α
＝csions 8100°°＝1.
第三章 三角恒等变换
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
【学习力-学习方法】
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
栏目 导引
第三章 三角恒等变换
小案例—哪个是你
高中数学必修四3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)
4
4
24 2 25 2
2
3
tan tan
1
4
4
7
1 tan tan
1
3
4
4
3 72 5 10
问题与情境及教师活动
学生活动
思考：在本题中， sin(
) cos(
) ，那么对任意角 ，此
4
4
等式成立吗？若成立你能否证明？
学生完成
教
学 过
例 2 、 已 知 tan 程 及 值．（ 3 ）
22 方
法
2 , tan
难点 两角和与差正弦、余弦和正切公式的灵活运用
.
问题与情境及教师活动
学生活动
（一）复习式导入：
（ 1） 大 家首 先 回顾 一 下两 角 差的 余 弦公 式 ：
cos
cos cos sin sin ．
教
（ 2） cos
？
学
（ 3） sin cos？
（二）新课讲授
过
问题：由两角差的余弦公式，怎样得到两角差的正弦公式呢？
并思考两角
tan
sin
sin cos cos sin ．
cos
cos cos sin sin
1
tan tan
问题与情境及教师活动
学生活动
（ 分 式 分 子 、 分 母 同 时 除 以 cos cos ， 得 到
tan
tan tan ．
1 tan tan
注意：
k, 2
k, 2
k (k z) 2
探究 4、我们能否推倒出两角差的正切公式呢？
tan
tan
教
tan tan 1 tan tan
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)教师版
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）教学分析：1、两角和与差的正弦、正切公式是在研究了两角和与差的余弦公式的基础上，进一步研究具有“两角和差”关系的正弦、正切公式的.在这些公式的推导中，教科书都把对照、比较有关的三角函数式，认清其区别，寻找其联系和联系的途经作为思维的起点，如比较cos()αβ-与cos()αβ+，它们都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式从运算或换元的角度看都有内在联系，即()αβαβ+=--的关系，从而由公式()C αβ-推得公式()C αβ+，又如比较sin()αβ-与cos()αβ-，它们包含的角相同但函数名称不同，这就要求进行函数名的互化，利用诱导公式（5）（6）即可推得公式()(),S S αβαβ-+等；2、通过对“两角和与差的正弦、余弦、正切公式”的推导，揭示了两角和、差的三角函数与这两角的三角函数的运算规律，还使学生加深了数学公式的推导、证明方法的理解.因此本节内容也是培养学生运算能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力，发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义. 教学目标：知识目标：在学习两角和与差的余弦公式的基础上，通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、正切公式，了解它们之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力；能力目标：通过两角和与差的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明，使学生深刻体会联系变化的各点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力；情感目标：通过本节的学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质.重点难点：重点：两角和与差的正弦、正切公式的推导过程及运用；难点：两角和与差的正弦、余弦和正切公式的灵活运用. 课时安排：2课时课时准备：学案、课件 互动探究：一、课堂探究： 1、复习准备：（1）同角三角函数公式： 22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==. （2）诱导公式（5）： sin()cos 2παα-=，cos()sin 2παα-=；诱导公式（6）： sin()cos 2παα+=，cos()sin 2παα+=-. （3）两角和与差的余弦： c o s ()c o s c o s s i n s αβαβαβ+=-；cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.练习：已知45sin ,cos ,,(0,)5132παβαβ==∈. 求值：（1）cos(),cos()αβαβ+-；（2）sin(),sin()αβαβ+-；（3）tan(),tan()αβαβ+-.解：因为45sin ,cos ,,(0,)5132παβαβ==∈，所以312412cos ,sin ,tan ,tan 51335αβαβ====. （1）3541233cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ-+=-=⨯-⨯=； 3541263cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ-=+=⨯+⨯=.对于问题（2）、（3），大家已有的公式还不能求解，那么该怎么样求解呢？现在我们一起来解决这个问题.探究一、上节课我们得到了两角和与差的余弦公式.我们知道，利用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化.你能根据公式()()C C αβαβ+-、及诱导公式五（或六）推导出用任意角,αβ的正弦、余弦值表示sin(),sin()αβαβ+-的公式吗？()()sin cos cos cos cos sin sin 2222ππππαβαβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin αβαβ=+．()()()()sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ-=+-=-+-=-⎡⎤⎣⎦2、两个角和与差的正弦公式：sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+，sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-.探究二、你能根据正切函数与正弦、余弦函数的关系，从()()C S αβαβ±±、出发，推导出用任意角,αβ的正切表示tan(),tan()αβαβ+-的公式吗？()()()sin sin cos cos sin tan tan tan cos cos cos sin sin 1tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--；()()()()tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1tan tan αβαβαβαβαβαβ+---=+-==⎡⎤⎣⎦--+． 3、两个角和与差的正切公式：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-，()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+．注意：在两个角和与差的正切公式中，,,()222k k k k z πππαβπαπβπ±≠+≠+≠+∈，两个角和与差的正弦和余弦可以是任意角．4、和、差角公式的定义：将)(βα+S 、)(βα+C 、)(βα+T 称为和角公式，)(βα-S 、)(βα-C 、)(βα-T 称为差角公式.探究三、对于以上六个公式，你能发现它们之间的内在联系吗？请根据它们之间的逻辑联系填写下列框图：练习：请大家利用以上公式解决本节课开始时的练习题第（2）、（3）问. 解：因为45sin ,cos ,,(0,)5132παβαβ==∈，所以312412cos ,sin ,tan ,tan 51335αβαβ====. （2）4531256sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ+=+=⨯+⨯=； 4531216sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ-=-=⨯-⨯=-.（3）412tan tan 5635tan()1tan tan 33135αβαβαβ+++===---⨯；412tan tan 1635tan()4121tan tan 63135αβαβαβ---===-++⨯.二、典例探究：例1、已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.解：因为3sin ,5αα=-是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-于是有：43sin sin cos cos sin 44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭变式：已知3sin 5α=-，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值. 解：因为3sin 5α=-当α是第三象限角，得4cos 5α===-，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有：43sin sin cos cos sin ()44455πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin ()444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=---=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3tan tan1144tan 3471tan tan 144παπαπα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭++当α是第四象限角，得4cos 5α===，3sin 35tan 4cos 45ααα-===-，于是有：43sin sin cos cos sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43cos cos cos sin sin 444252510πππααα⎛⎫⎛⎫+=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3tan tan144tan 7341tan tan 144παπαπα---⎛⎫-===- ⎪⎛⎫⎝⎭++- ⎪⎝⎭思考：由以上解答可以看到，在本题条件下有)4cos()4sin(απαπ+=-，那么对任意角α，此等式成立吗？若成立，你会用几种方法予以证明？ 解：方法一、sin()cos[()]cos()4244ππππααα-=--=+.方法二、cos()sin[()]sin()4244ππππααα+=-+=-.方法三、sin()sincos cossin 44422πππααααα-=-=- coscos sinsin cos()444πππααα=-=+方法四、cos()coscos sinsin cos 44422πππααααα+=-=- sincos cossin sin()444πππααα=-=-.方法五、sin()sincos cossin 44422πππααααα-=-=-cos()cos cos sin sin 444πππααααα+=-=所以，)4cos()4sin(απαπ+=-.方法六、sin()cos()(sin cos cos sin )(cos cos sin sin )444444ππππππαααααα--+=---(cos )(cos )02222αααα=---= 所以，)4cos()4sin(απαπ+=-.方法七、作图如下（1），设AOF θ∠=，任意角α与角θ终边相同，即2,k k Z θαπ=+∈，作其关于y x =的对称角使其终边交单位圆于点C ，在分别过点,A C 向x 轴作垂线交于点,B D ，所以可以证明OBA CDO ∆≅∆，AB OD =,44AOB CDO ππθθ∠=-∠=+，sin sin(),cos cos()44AB ODAOB AB CDO OD OA OCππθθ∠=-==∠=+==，所以sin()cos()sin[(2)]cos[(2)]4444k k ππππθθαπαπ-=+⇔-+=-+，即)4cos()4sin(απαπ+=-.方法八、作图如下（2），令2,k k Z θαπ=+∈，,44ACO AOC ππθθ∠=-∠=+，sin sin(),cos cos()44OA OAACO AOC OC OCππθθ∠=-=∠=+=，所以sin()cos()sin[(2)]cos[(2)]4444k k ππππθθαπαπ-=+⇔-+=-+，即)4cos()4sin(απαπ+=-.例2、已知在ABC ∆中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，求角C 的大小.答案：6π. 三、 课堂练习：教材第131页练习第1、2、3题1、利用和（差）角公式，求下列各式的值：(1)sin15;(2)sin75;(3)tan15 . 解：由题知（1）01sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 30222=-=-==； （2）00000001sin 75sin(4530)sin 45cos30cos 45sin 3022224=+=+=+=（3）00000001tan 45tan 30tan15tan(4530)21tan 45tan 30-=-====-+⨯2、已知3cos ,(,),sin()523ππθθπθ=-∈+求的值. 解：因为3cos ,(,)52πθθπ=-∈，所以4sin 5θ=.413sin()sin coscos sin()333525πππθθθ+=+=⨯+-=3、已知12sin ,,cos()136πθθθ=-+是第三象限角求的值. 解：因为12sin ,13θθ=-是第三象限角，所以5cos 13θ=-.512112cos()cos cossin sin()()66613213226πππθθθ-+=-=-⨯--⨯=. 反思总结：1、 本节课你学到了哪些知识点？2、 本节课你学到了哪些思想方法？3、 本节课有哪些注意事项？ 课外作业：教材第137页习题3.1 A 组第5、6、7、8题. 1、已知3sin(30),60150,cos 5ααα+=<<求的值. 解：因为60150α<<，所以09030180α<+<. 又3sin(30)5α+=，所以4cos(30)5α+=-. 000000cos cos[(30)30]cos(30)cos30sin(30)sin30αααα=+-=+++431()552=-+⨯=2、利用和（差）角公式计算下列各式的值：76135(1)sin();(2)cos();(3)tan 121212πππ--. 解：由题知7(1)sin()sin[()()]sin()cos()cos()sin()12434343πππππππ-=-+-=--+--1sincoscossin434322224ππππ=--=--=-. 611111(2)cos()cos(6)cos cos cos()1212121234πππππππ-=-+==-=--1(coscossinsin )(343422224ππππ=-+=-⨯+=-. 351111(3)tantan(2)tan tan()tan tan()121212121234πππππππππ=+==-=-=--tantan3421tan tan 34ππππ-=-==+⨯.3、已知23sin ,cos ,(,),cos(),sin()342παβαπβαβαβ==-∈+-是第三象限角，求的值.解：因为23sin ,cos ,(,),342παβαπβ==-∈是第三象限角，所以cos αβ==.32cos()cos cos sin sin (()(343412αβαβαβ+=-=-⨯--⨯-=.23sin()sin cos cos sin ()((34αβαβαβ-=-=⨯--⨯=. 4、在53sin ,cos ,cos 135ABC A B C ∆==中，求的值. 解：因为53sin ,cos 135ABC A B ∆==中，，所以 当角A 为锐角时，124cos ,sin ,cos cos[()]cos()135A B C A B A B π===-+=-+ 1235416(cos cos sin sin )()13513565A B A B =--=-⨯-⨯=-.当角A 为钝角时，124cos ,sin ,cos cos[()]cos()135A B C A B A B π=-==-+=-+ 1235456(cos cos sin sin )[()]13513565A B A B =--=--⨯-⨯=. 注意：当角A 为钝角时，5312433sin()sin cos cos sin ()13513565A B A B A B +=+=⨯+-⨯=-, 所以A B π+>不和题意，舍去. 综上：16cos 65C =-. 5、证明：（1）3sin 33sin 4sin ααα=-；（2）3cos34cos 3cos ααα=-.6、在ABC ∆中，已知tan ,tan A B 是关于x 的方程2(1)10x p x +++=的两个实根，求C ∠.7、观察以下各等式：223sin 30cos 60sin 30cos 604++=， 2020003sin 20cos 50sin 20cos504++=，2020003sin 15cos 45sin15cos 454++=.分析上述各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明.8、如图，考虑点12(1,0),(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())A P P P ααββαβαβ-++.你能从这个图出发，推导出公式cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-吗？设计感想：1、本节课是典型的公式教学模式，是在两角差的余弦公式的基础上进行的，因此本教案的设计流程是“提出问题→转化推导→分析记忆→应用训练”.它充分展示了公式教学中以学生为主体，进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用，引导学生利用旧知识推导证明新知识，并学会记忆公式的方法，灵活运用公式解决实际问题，从而使学生领会了数学中重要的数学思想——转化思想，并培养他们主动利用转化思想指导探索解决数学问题的能力.2、本学案的设计，知识点集中，容量较大，重点是公式的推导证明、记忆以及简单的应用等，通过本节的学习，使学生深刻理解公式的推导、证明方法，熟练应用公式解决简单问题.同时教给学生发现规律、探索推导、获取新知的方法，让他们真正体验到自己发现探索数学知识的喜悦和成功感.课后反思：。
高中数学第三章三角恒等变换3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)课件新人教A版必修4
∴T＝2ωπ＝2π，值域[－2,2].
由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ 得，递增区间[－π3＋2kπ，23π＋2kπ]，k∈Z.
解析答案
类型三 公式的变形应用 例 3 已知 sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求ttaann αβ的值.
解 ∵sin(α＋β)＝12，∴sin αcos β＋cos αsin β＝12.
123 45
解析答案
2.化简 2cos x－ 6sin x 等于( D )
A.2 2sinπ6＋x
B.2 2cosπ6－x
C.2 2sinπ3－x
D.2 2cosπ3＋x
解析
2cos x－
6sin x＝2
212cos
x－
3 2 sin
123 45
解析答案
123 45
5.已知
α，β
9
均为锐角，且
sin
α＝35，tan(α－β)＝－13，则
sin(α－β)＝
－
10 10
，
cos β＝
50
10
.
解析 ∵α，β∈(0，π2)，从而－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，
∴－π2<α－β<0. ∴sin(α－β)＝－ 1100，cos(α－β)＝31010.
达标检测
1.sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( B )
A.－
3 2
B.－12
1
3
C.2
D. 2
解析 原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°