第11章材料力学弯曲应力练习题
第十一章北航 材料力学 全部课件 习题答案
(c)
Fcr
π 2 EI 4l 2
11-7
试确定图示各细长压杆的相当长度与临界载荷。设弯曲刚度 EI 为常数。
题 11-7 图 (a)解:相当长度为
5
leq a
临界载荷为
π 2 EI a2 (b)解：压杆微弯状态的挠曲轴如图 11-7b 中的虚线所示。 Fcr
由此得
sin
kl kl kl 4k 2 EI kl [sin (1 )cos ] 0 2 2 2 cl 2
图示阶梯形细长压杆，左、右两段各截面的弯曲刚度分别为 EI1 与 EI2 。试 证明压杆的临界载荷满足下述方程：
11-11
tank1l tank2l
式中： k1 F /( EI1 ) ; k2 F /( EI 2 ) 。
Fcr， 1
π 2 EI l2
Fcr， 2
显然，压杆的临界载荷为
1.359EI l2
1.359EI l2
Fcr Fcr， 2
11-10
图示两端铰支细长压杆，弯曲刚度 EI 为常数，压杆中点用弹簧常量为 c 的
弹簧支持。试证明压杆的临界载荷满足下述方程：
sin
式中， k F /( EI ) 。
第十一章
压杆稳定问题
11-1
图示两端铰支刚杆－蝶形弹簧系统，试求其临界载荷。图中，c 代表使蝶形弹
簧产生单位转角所需之力偶矩。
题 11-1 图 解：系统的临界状态（微偏斜状态）如图 11-1 所示。注意到蝶形弹簧产生的转角为 2θ ， 由右段刚杆的力矩平衡方程
l c(2θ ) F (θ ) 0 2
材料力学习题
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王钦亭wangqt@ 2013年2月27日目录第一章绪论 (1)第二章拉伸与压缩 (2)第三章扭转 (7)第四章弯曲应力 (11)第五章弯曲变形 (18)第六章简单超静定问题 (20)第七章应力状态与强度理论 (25)第八章组合变形与连接件计算 (32)第九章压杆稳定 (36)第十章能量法 (41)第十一章动荷载.交变应力 (49)附录I 截面的几何性质 (53)第一章绪论1-1 材料力学的中所讲的构件失效是指哪三方面的失效？1-2 可变形固体的基本假设有哪些？1-3 材料力学中研究的“杆”，有什么样的几何特征？1-4 材料力学中，杆件的基本变形有哪些？第二章 拉伸与压缩2-1（SXFV5-2-1）试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。
2-2（SXFV5-2-2）一打入地基内的木桩如图所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为2f kx （k 为常数），试作木桩的轴力图。
A2-3（SXFV5-2-3）石砌桥墩的墩身高=10 m l ，其横截面尺寸如图所示。
荷载 1 000 kN F =，材料的密度33=2.3510 kg/m ρ⨯。
试求墩身底部横截面上的压应力。
2-4（SXFV5-2-6）一木桩受力如图所示。
柱的横截面为边长200 mm 的正方形，材料可认为符合胡克定律，其纵向弹性模量10 GPa E =。
如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图；（2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱端A 的位移。
材料力学专项习题练习弯曲应力
材料⼒学专项习题练习弯曲应⼒弯曲应⼒1. 圆形截⾯简⽀梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹性模量2B A E E =。
求在外⼒偶矩e M 作⽤下，A 、B 中最⼤正应⼒的⽐值maxminA B σσ有4个答案： (A)16； (B)14； (C)18； (D)110。
答：B2. 矩形截⾯纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E ⼤于材料的抗压弹性模量c E ，则正应⼒在截⾯上的分布图有以下4种答案：答：C3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与⼀曲⾯密实接触，已知测得钢尺点A 处的应变为11000-，则该曲⾯在点A 处的曲率半径为 mm 。
答：999 mm4. 边长为a 的正⽅形截⾯梁，按图⽰两种不同形式放置，在相同弯矩作⽤下，两者最⼤正应⼒之⽐max a max b ()()σσ= 。
答：2/15. ⼀⼯字截⾯梁，截⾯尺⼨如图，, 10h b b t ==。
试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截⾯上总弯矩的88%。
证：412, (d ) 1 8203B A z z zMy M Mt M y yb y I I I σ==?=?? 4690z I t =, 41411 82088%3690M t M t =??≈B t A M =+=为翼缘弯矩(a)6. 直径20 mm d =的圆截⾯钢梁受⼒如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最⼤弯曲正应⼒。
解：1M EIρ= ⽽M Fa = 4840.78510 m , 0.654 kN 64d EI I F aπρ-==?==33max 80.654100.220102220.78510M d Fad I I σ--====??7. 钢筋横截⾯积为A ，密度为ρ，放在刚性平⾯上，⼀端加⼒F ，提起钢筋离开地⾯长度/3l 。
试问F解：截⾯C 曲率为零2(/3)0, 326C Fl gA l gAlM F ρρ=-==8. 矩形截⾯钢条长l ，总重为F ，放在刚性⽔平⾯上，在钢条A 端作⽤/3F 向上的拉⼒时，试求钢条内最⼤正应⼒。
《材料力学》弯曲计算-习题
②无均布载荷段弯矩图均为直线。有均布载荷段，弯矩图为
抛物线，其开口与均布载荷方向相同。
(3)弯矩、剪力、载荷集度的关系
①
M '(x) F S (x) F S'(x) q(x)
② FS=0的点是M图的取极值的点，FS=0的段M图是平行
于轴线的直线。
注意: 内力图上要注明控制面值、特殊点纵坐标值。
利用微分关系绘内力图
y
B截面 30.3 +
z
C截面 15.1 z
-
+
69
34.5
(d) 单位:MPa
Engineering Mechanics
四、弯曲 弯曲强度计算
例3 之二
解：（1）求截面形心轴，即中性轴z轴。
yC
( yi Ai ) Ai
170 30 170 30 200 (170 30)
2
2
17030 30 200
解：（1）外力分析，判变形。
10kN
50kN
(a) A
CD
B
z
4m
2m
4m
求得支坐反力
FA 26kN ,FB 34kN
荷载与梁轴垂直，梁将发
26kN 26 16
34kN
生平面弯曲。中性轴z过形心
+ (b)
与载荷垂直，沿水平方向。
FQ(kN)
104 136
34
（2）内力分析，判危险面。剪力
+
(c)
⑤解题步骤：
1）外力分析，判变形、中性轴，求截面的几何性质、支反力。 2）内力分析，判危险面，画剪力图、弯矩图（可只画弯矩图）
3）应力分析，判危险点。 4）强度计算。
材料力学经典习题册 弯曲变形
弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2；(B) M e1/M e2=3；(C) M e1/M e2=1/2；(D) M e1/M e2=1/3。
答：C2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种：答：B3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力F S与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：(A)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI===；(B)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-=-=；(C)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-==-；(D)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI==-=-。
答：B4. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度23e32BM lFlwEI EI=+（↓）则截面C处挠度为：(A)32e223323MFl lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(B)322/323323F Fll lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(C)32e(/3)223323M FlFl lEI EI+⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(D)32e(/3)223323M FlFl lEI EI-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）。
答：C5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。
答：6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。
答：7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。
答：C8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。
材料力学B试的题目5弯曲应力
(A)(B)(C)(D)弯曲应力1. 圆形截面简支梁A,B套成，A,B层间不计摩擦，材料的弹性模量2B AE E=。
求在外力偶矩e M作用下，A,B中最大正应力的比值maxminABσσ有4个答案：(A)16； (B)14；(C)18； (D)110。
答：B2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量tE大于材料的抗压弹性模量cE，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案：答：C3. 将厚度为2 mm的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢尺点A处的应变为11000-，则该曲面在点A处的曲率半径为mm。
答：999 mm4. 边长为a的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大正应力之比max amax b()()σσ=。
(a)(b)答：2/15. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。
试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。
证：412, (d ) 1 8203BA z z zMy M Mt M y yb y I I I σ==⨯=⨯⎰4690z I t=41411 82088%3690M t M t=⨯⨯≈ 其中：积分限1 , 22h h B t A M =+=为翼缘弯矩6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试解：1MEIρ=而M Fa =4840.78510 m , 0.654 kN 64d EII F aπρ-==⨯==33max80.654100.22010167 MPa 2220.78510M d Fad I I σ--⋅⨯⨯⨯⨯====⨯⨯ 7. 钢筋横截面积为A ，密度为 ρ，放在刚性平面上，一端加力F ，提起钢筋离开地面长度3l解：截面C 曲率为零2(/3)0, 326C Fl gA l gAl M F ρρ=-==8. 矩形截面钢条长l ，总重为F ，放在刚性水平面上，在钢条A 端作用3F解：在截面C 处， 有 10C M EIρ==2()2 0, 323AC C AC AC l F F lM l l l =⨯-⨯==即AC段可视为受均布载荷q 作用的简支梁2maxmax 22()/8/63AC M q l FlWbt bt σ===9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。
17材料力学习题解答弯曲应力
q
h
解：(1) 画梁的弯矩图
ql2/2
由弯矩图知：
(2) 计算抗弯截面系数
(3) 强度计算
M
h
l
x (-)
max
3
9ql 2 2[ ]
W
M max W
308 1.568 106
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
第11章材料力学弯曲应力练习题
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC A2 C 60 Wz 4Wz
可得：
60 4Wz q 240Wz 2 a
1 2 qa 4
3、计算梁内最大弯曲正应力； 由弯矩图得：
M max 9 qa 2 32
1 2 qa 4
所以梁内最大弯曲正应力：
max
M max 9 240Wz 67.5MPa Wz 32Wz
FN 12103 2、计算应力； N MPa A 5 (40 x)
M
M 6 103 x MPa W 1 5 (40 x) 2 6
3、根据强度条件；
N M
12 103 6 103 x 100 5 (40 x) 1 5 (40 x) 2 6
2、计算最大弯曲正应力； 最大弯矩在固定端。；
M max 7.5 103 103 6 max 176MPa 2 Wz 40 80
3、计算固定端k点处弯曲正应力；
M max yk 7.5 103 103 3012 k 132MPa 3 Iz 40 80
结论:
c=146.9mm
3
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
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3、计算固定端k点处弯曲正应力；
kM m Izy akx7.514 30 1 0 830 30 3 0 1 213 M2Pa
11—8 图示简支粱，由No.28工字钢制成，在集度为q的均布载荷作用下，
11—6 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受裁荷F1与F2作用，且F1 ＝2 F2 ＝5kN，试计算梁内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K点处的
弯曲正应力。
解： 1、计算最大弯矩；
M 1maxF115kN m M 2maxF12F217.5kN m 最大弯矩在固定端。；
2、计算最大弯曲正应力；
MA3240021400 10103Nm
截面A的抗弯截面系数：
WzAIz
IzAb2b3bd3 1(8b3d3)
b
12b 12
1(81235603)1.28106mm 3 12
校核A截面的强度： A ma x W M zA A 11 .2 0 1 3 8 1 0 1 60 30 7.8M 1 P a
解： 1、设计截面； 最大弯矩：
Mmax3300202000
13103Nm
根据强度条件：
梁的抗弯截面系数：
Wz b62 hb26b2
2b3 3
maxMWmz ax132b1303
3
解出：
39103103
b3
12m5m
210
2、校核A截面的安全； A截面的弯矩：
11—5（a） 试计算图示截面对水平形心轴z的惯性矩。
解： （1）确定形心轴位置
yC
Ai yi Ai
350(40010)0250(35010)0400300 350(40010)0250400
18.33mm
（2）计算大矩形截面对yC轴的惯性矩
IzCIzC1 a12A1 [3505030(25018.33)2(35050)0] 12 4.424109mm4
弯矩 MFe1Fx 2
2、计算应力；
N
FN A
51(241003x)MPaM
M 6103x W 15(40x)2
MP
3、根据强度条件； NM
6
12103 6103x 100 5(40x) 15(40x)2
6
得到: x2-128x+640≤0
A截面的强度足够。
11—17 外伸梁承受载荷F作用，已知载荷F=20 kN，许用应力[σ]＝160 MPa，许用切应力[τ] ＝90 MPa，试选择工字钢型号。
解： 1、绘制剪力图、弯矩图；
F S m a2 xk0 ,N M m a2 xk0 N m
2、按弯曲正应力强 度条件选择工字钢型号；
11—28 图示矩形截面木榫头，承受拉力F=50kN作用。在顺纹方向，木 材的许用挤压应力[σ bs]=10 MPa，许用切应力[τ]=1MPa，许用拉应力
[σt ]=Байду номын сангаас MPa，许用压应力[σc ]=10MPa，试确定接头尺寸a，l与c。
3、根据偏心拉伸强度(续); ac
测得横截面C底边的纵向正应变ε＝3.0×10-4，试计算梁内的最大弯曲正 应力，已知钢的弹性模量E＝200 GPa，a＝1m。
解： 1、作梁的弯矩图；
2、计算载荷集度q；
CE 2 0 13 0 0 3 1 4 0 6M 0 Pa
由于
MC
1 4
qa2
C
MC Wz
qa2 4Wz
60
可得： q60a42Wz 24W 0z
1 qa 2 4
3、计算梁内最大弯曲正应力；
由弯矩图得：
Mmax
9 qa2 32
所以梁内最大弯曲正应力：
1 qa 2
ma xM W m z a x9 32 24 W zW 0z 6.5 7MPa
4
11—13 矩形截面木粱许用应力[σ]=10MPa。 （1）试根据强度要求确定截面尺寸A； （2）若在截面A处钻一直径为d=60mm的圆孔，试问是否安全？
解： 1、根据剪切强度;
FS F
AS 25l0 解出: l 50103 200mm
2501
2、根据挤压强度;
bSF Abb 2F5a0bS
解出: a50103 20mm 25010
3、根据偏心拉伸强度;
FNF,
MacF 2
A25 c,0 W25 c20 4.7 1c2 6
结论: 切口允许深度 x ≤5.2mm
解出: x1 ≤5.2, x2 ≤122.8
11—28 图示矩形截面木榫头，承受拉力F=50kN作用。在顺纹方向，木 材的许用挤压应力[σ bs]=10 MPa，许用切应力[τ]=1MPa，许用拉应力
[σt ]=6 MPa，许用压应力[σc ]=10MPa，试确定接头尺寸a，l与c。
20103 [881602 (886)14.022] 811301046
23.6MPa90MPa
所以，选择16号工字钢能满足强度要求。
11一27 图示板件，载荷F=12kN，许用应力[σ]=100 MPa，试求板边切口 的允许深度x。
解： 1、求内力；
轴力: FN=F=12kN；
（3）计算小矩形截面对yC轴的惯性矩 IzCIzC2 a22A2 [2504030(30018.3)2(40025)0] 12 2.695109mm4
（4）计算组合截面对yC轴的惯性矩
I z C I z C I z C ( 4 .4 2 .6) 4 9 1 9 1 5 0 .7 1 3 9 m 0 4 m
Wz
Mmax
20106 160
1.25105mm3 12c5m3
选择No16工字钢， Wz=141cm3。
3、校核弯曲切应力强度；
查表：No16工字钢， h0=160mm，b=88mm，
h=140.2mm,Iz=1130cm4,
δ =6.0mm。
最大切应力：
maxFS8M Izmax[bh02 (b)h2]