高中数学第1部分第1章1-31-3-3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教版必修
在同一坐标系中作出函数 y＝sin x， 1 y＝2sin x，y＝ sin x 的图象，如图所示． 2 观察这三个图象之间有什么关系？
1 提示： y＝2sin x 与 y＝ sin x 的图象可以分别看作是由 y＝sin 2 1 x 的图象的纵坐标变为原来的 2 倍、 纵坐标变为原来的 所得到的． 2
该简谐运动的最小正周期 T＝________，初相 φ＝________. 2π 解析：T＝ ＝6. π 3
∵图象经过点(0,1)， 1 ∴1＝2sin φ，即 sin φ＝ ， 2 π π 又∵|φ|< ，∴φ＝ . 2 6 π 答案：6 6
[例 2]
π 说明 y＝－2sin2x－6 ＋1 的图象是由 y＝sin
1.3
第 1 章 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 理解教材新知 1.3.3 函数 y＝ Asin(ωx ＋φ ) 的 图象
知识点一 知识点二 知识点三 考点一 把握热点考向 考点二 考点三 应用创新演练
三 角 函 数
在同一坐标系中画出 y＝sin
π π x， y＝sinx＋3 ， y＝sinx－3的
π 1．函数 y＝ 2sin(2x－ )的振幅是________，周期是________， 4 初相是________．
2π π 解析：振幅为 2，周期为 T＝ ＝π，初相为－ . 2 4
答案： 2 π π － 4
2．已知简谐运动
π π f(x)＝2sin3x＋φ|φ|<2的图象经过点(0,1)，则
11π 12 2π 0
[一点通]
求解本题，关键是理解振动量的含义，根据含
义写出相应的待定字母，得到函数解析式．要画函数的简图通 常采用五点法作图，这就需要先列表，列表时五点的选择一般 要考虑函数与坐标轴的交点及最大值点与最小值点，即 ωx＋φ π 3π 分别取 0， ，π， ，2π 对应的点． 2 2
2π [精解详析] (1)根据条件可知，A＝2，T＝ ω ＝π， π 所以 ω＝2.又初相为 φ＝ ， 6 π 所以 y＝2sin(2x＋ )． 6
(2)列表作图.
x π 2x＋ 6
π 2sin2x＋6
π － 12 0 0
π 6 π 2 2
5π 12 π 0
2π 3 3π 2 －2
图象，如图所示，观察这三个图象之间有什么关系？
π π 提示：y＝sin(x＋ )与 y＝sin(x－ )的图象可以看作是由 y＝ 3 3 π sin x 的图象分别向左、向右移动 个单位长度所得到的图象． 3
函数y＝sin(x＋φ)的图象可以看作是将函数y＝sin x的图 | 象上所有的点 向左 (当φ>0)或 向右 (φ<0)平移 |φ个单位长度 而得到的.
y＝－2sin 2x
向右平移 个单位长度 12
π y＝－2sin2x－6
பைடு நூலகம்
1 各点的横坐标变为原来的 2
向上平移1个单位长度 π ――――――――――――――→y＝－2sin2x－6 ＋1.
x 的图
象怎样变换而来的． π [思路点拨] 可以先伸缩后平移，应右移 个单位；也可先 12 π 平移后伸缩，平移 个单位．振幅变换不分先后． 6
[精解详析] y＝sin x
法一：(先平移后伸缩)
各点的纵坐标变为原来的2倍 ――――――――――――――→y＝－2sin x 且关于x轴作对称变换
(1)函数y＝sin ωx(ω>0且ω≠1)的图象，可以看作是将函数 1 倍 y＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的 ω( 纵坐标不 变)而得到的． (2)函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ≠0)的图象，可以看作 是将函数y＝sin ωx的图象上所有的点 向左 (当φ>0时)
或 向右 (φ<0时)平移
1 各点的横坐标变为原来的 2
向右平移 个单位 6
y
＝
－
2sin
π x－ 6
y＝－2sin(2x－
π ) 6
向上平移1个单位长度 π ――――――――――――――→ y＝－2sin(2x－ )＋1. 6
法二：(先伸缩再平移) y＝sin x 各点的纵坐标变为原来的2倍 ――――――――――――――→y＝－2sin x 且关于x轴作对称变换
函数y＝Asin x(A>0且A≠1)的图象，可以看作是将函
数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标变为原来的 A倍 (横坐
标不变)而得到的.
在同一坐标中作出函数 y＝sin x， 1 y＝sin 2x，y＝sin x 的图象，如图所示． 2 观察这三个图象之间有什么关系？
1 提示：y＝sin 2x 与 y＝sin x 的图象可以分别看作是由 y＝ 2 1 sin x 的图象的横坐标变为原来的 倍和 2 倍所得到的． 2
(3)对于函数y＝sin(ωx＋φ)与y＝Asin(ωx＋φ)之间 的图象变换称为振幅变换，它实质上是纵向的伸缩， 只改变振幅，不改变周期及相位．
[ 例 1]
已 知 一 个 振 动 量 可 以 用 函 数 y ＝ Asin(ωx ＋
φ)(A>0,0<ω<π)来表示，且其离开平衡位置的最大距离为 2，一 π 个振动周期为 π，且初相为 . 6 (1)写出这个振动量的函数表达式； (2)画出这个振动量函数一个周期内的简图． [思路点拨] (1)根据 A、ω、φ 表示的意义和周期的定义来 求函数表达式；(2)用五点法作函数简图．
φ ω 个单位长度而得到的．
A，ω，φ 对函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)图象的影响， 可归纳如下： (1)对于函数 y＝sin x 与 y＝sin(x＋φ)之间的图象变换称为相 位变换，它实质上是一种左右平移变换，此时相位由 x 变成 x＋ φ，初相由 0 变成 φ，不改变函数的周期及振幅． (2)对于函数 y＝sin(x＋φ)与 y＝sin(ωx＋φ)之间的图象变换 称为周期变换，它实质上是横向的伸缩，此时， y＝ sin(ωx＋ φ) 2π 的周期为 T＝ ω ，其振幅不变．
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【课件】第一课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
3、函数 y=sin(x＋φ)的图象能否通过左右平移而得到正弦曲线呢？ 函数 y=sin(x＋φ)的图象与正弦曲线 y=sinx，都可以左右相互平移而 得到，平移单位长度都是|φ|，只是平移方向相反
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
数 新教材人教版·高中必修第一册 学
第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
巩固与练习 例 1 为了得到函数 y＝sinx－π5的图象，只需要将正弦曲线上的所
有点( )
（A）向左平行移动π5个单位长度 （B）向右平行移动π5个单位长度 （C）向左平行移动15个单位长度 （D）向右平行移动15个单位长度 分析 由 sinx1＝sinx2－π5＝0 x1＝x2－π5 x2＝x1＋π5＝π5 故选答案 B
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第五章 三角函数 5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
要求
掌握y＝sin x与y＝sin(x＋φ)图象间的变换 关系，并能正确地指出其变换步骤．
通过整体代换和图象的变换提升学生的直观 想象、逻辑推理和数学抽象素养．
复习引入
5.6 函数y=Asin(ωx +φ)
我们知道，单位圆上的点，以（1，0） 为起点，以单位速度按逆时针方向运 动，其运动规律可用三角函数加以刻 画，对于一个一般的匀速圆周运动可 以用怎样的数学模型刻画呢？下面先 看一个实际问题.
情景引入
问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉 工具，因其经济又环保，至今还在农业生产 中得到使用（图5.6-1）.明朝科学家徐光启 在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作 原理（图5.6-2. ）
一般地，当动点 M 的起点位置 Q 所对应的角为 φ 时，对应的函数是 y=sin(x＋φ)（φ≠0），把正弦曲线上的所有点向左（当 ω>0 时）或向右 （当 φ<0 时）平移|φ|个单位长度，就得到函数 y=sin(x＋φ)的图象.
人教A版高中数学必修第一册 第1课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换【课件】
长度得到的．
()
(3)把函数y＝sin x的图象向左平移2π个单位长度后得到的图象与原
图象重合．
()
• 【答案】(1)× (2)√ (3)√ • 【解析】(1)应得到y＝sin(x－2)的图象． • (2)由平移的规律可知其正确． • (3)因为y＝sin(x＋2π)＝sin x，故两图象重合．
•
5π 6
13π 12
y
0
1 2
0
－12
0
描点画图(如图)．
将函数在1π2，1132π上的图象向左、向右延伸即得 y＝12sin2x－π6的图 象．
题型 2 三角函数的图象的平移变换
(1)将函数 y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得
图象对应的函数为
()
A．y＝2sin2x＋π4 C．y＝2sin2x－π4
个周期的闭区间上的简图．
解：先列表，后描点并作图(如图)．
12x＋π6 x y
0
π 2
π
3π 2
2π
－π3
2π 3
5π 3
8π 3
11π 3
0
1
0
－1
0
用“五点法”作函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤
第一步：列表．
ωx＋φ 0
x
－ωφ
f(x)
0
π 2 2πω－ωφ A
π
ωπ －ωφ 0
第五章 三角函数
5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)
第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
学习目标
素养要求
1．会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
直观想象
2．借助图象理解y＝Asin(ωx＋φ)中参数ω，φ，A的意义， 逻辑推理 了解参数的变化对其图象的影响
函数y=Asin(ωx φ)的图象课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4
y sin x 的图象上所有的点（ A ）
（A）向右平行移动
4
个单位长度
（B）向左平行移动
4
个单位长度
（C）向右平行移动
（D）向左平行移动
2
2
个单位长度
个单位长度
（二）探索对 = sin( + )图象的影响
为明显看出对 = sin( + )图象的影响，我们令 = 1， = 0
得： =
2
2
2
= ，令2 + 6 = + 2 ，
+ 6 , ∈ ，故 = ()的最小正周期为，对称中心为
2
+ 6,0 , ∈
（2）由三角函数的平移及在闭区间的值域问题得：() = 2 2 + 2 + 6 ，又1、先观察图像及y轴，由最高点的纵坐标确定A值，再观察图像得到周期，从而求出，
最后再根据“五点”中的相关点的坐标求.
2、用零点时要根据图像的走势，搞清是第一零点还是第二零点，此处易出错.
例题讲解
三角函数图像变换的综合应用
例3. 已知函数() =
3 2 − 2 .
在 = ，=，=时的特殊情形。
这些参数对这个函数有什么影响呢？
函数 = + 含有三个参数，你认为应该按怎
样的思路进行研究呢？
PART 02
新课讲授
（一）探索对 = sin( + )图象的影响
为明显看出对 = sin( + )图象的影响，我们令 = 1， = 1
(1)求 = ()的最小正周期和对称中心；
y sin x 的图象上所有的点（ A ）
（A）向右平行移动
4
个单位长度
（B）向左平行移动
4
个单位长度
（C）向右平行移动
（D）向左平行移动
2
2
个单位长度
个单位长度
（二）探索对 = sin( + )图象的影响
为明显看出对 = sin( + )图象的影响，我们令 = 1， = 0
得： =
2
2
2
= ，令2 + 6 = + 2 ，
+ 6 , ∈ ，故 = ()的最小正周期为，对称中心为
2
+ 6,0 , ∈
（2）由三角函数的平移及在闭区间的值域问题得：() = 2 2 + 2 + 6 ，又1、先观察图像及y轴，由最高点的纵坐标确定A值，再观察图像得到周期，从而求出，
最后再根据“五点”中的相关点的坐标求.
2、用零点时要根据图像的走势，搞清是第一零点还是第二零点，此处易出错.
例题讲解
三角函数图像变换的综合应用
例3. 已知函数() =
3 2 − 2 .
在 = ，=，=时的特殊情形。
这些参数对这个函数有什么影响呢？
函数 = + 含有三个参数，你认为应该按怎
样的思路进行研究呢？
PART 02
新课讲授
（一）探索对 = sin( + )图象的影响
为明显看出对 = sin( + )图象的影响，我们令 = 1， = 1
(1)求 = ()的最小正周期和对称中心；
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一) 苏教版必修4
解 y＝2sin21x＋π3――纵―坐―标―伸―长―到―原―来―的―32―倍―→ y＝3sin21x＋π3――横―坐―标―缩―短―到―原―来―的―12―倍―→ y＝3sinx＋3π―向―左―平―移―6π―个―单―位→ y＝3sinx＋6π＋π3＝3sinx＋2π＝3cos x. ∴f(x)＝3cos x.
称为 初相 .
2.φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)函数y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y＝sin x
上所有点 向左 (当φ>0时)或 向右 (当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看做是把y＝sin(x＋φ)的图象上
[预习导引] 1.函数s＝Asin(ωx＋φ)的振幅、周期、频率等
在 s＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，其中 A 为物体振动时离开平衡
位置的 最大距离 ，称为振动的 振幅 ；往复振动一次所需的时间 T
2π
1
＝ ω ，称为这个振动的 周期 ；单位时间内往复振动的次数 f＝T
ω ＝ 2π ，称为振动的 频率 ；ωx＋φ 称为 相位 ， x＝0 时的相位 φ
系的步骤：
①将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即 A、ω及名称相同的结构. ②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单 位为ωφ . ③明确平移的方向.
跟踪演练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图象，只要将 y＝sin 2x
的图象________.
要点二 三角函数图象的伸缩变换 例 2 把函数 y＝sin x(x∈R)的图象上所有的点向左平行移 动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原 来的21倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数解析式是 __________________.
高中数学第1章三角函数1.3-1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教版必修4
2．函数 y＝sin ωx，x∈R(其中 ω＞0，且 ω≠1)的图 象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标变为原来 的ω1 倍(纵坐标不变)而得到．
1．图象变换法． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A＞0，ω＞0)的图象，可 以看作用下面的方法得到：先画出函数 y＝sin x 的图象； 再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数 y＝ sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 ω1 倍，得到函数 y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后再把曲线上 各点的纵坐标变为原来的 A 倍，这时的曲线就是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)的图象．
重点诠释：函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换步骤可直 观地表示如下：
题型 1 函数图象变换 [典例 1] 用两种方法将函数 y＝sin x 的图象变换为 函数 y＝sin2x＋π3的图象．
解：
[变式训练] 如何将函数 y＝sin 2x 的图象变换得到 函数 y＝sinx＋π4的图象？
解：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
2x＋π3 0
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
(2)描点．用平滑的曲线顺次连接各点，所得的图象 如图所示．
题型 3 由图象求三角函数的解析式 [典例 3] 如图所示为函数 y＝Asin(ωx＋φ)|φ|<π2的 图象，确定其一个函数解析式．Leabharlann 第1章 三角函数图①
图②
将测得的图象放大(如图②所示)可以看出它和正弦
曲线很相似．那么函数 y＝Asin(ωx＋φ)与函数 y＝sin x
有什么关系呢？
1．函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中 φ≠0)的图象，可 以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 φ＞0 时)或向右 (当 φ＜0 时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
1．图象变换法． 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A＞0，ω＞0)的图象，可 以看作用下面的方法得到：先画出函数 y＝sin x 的图象； 再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数 y＝ sin(x＋φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的 ω1 倍，得到函数 y＝sin(ωx＋φ)的图象；最后再把曲线上 各点的纵坐标变为原来的 A 倍，这时的曲线就是函数 y ＝Asin(ωx＋φ)的图象．
重点诠释：函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换步骤可直 观地表示如下：
题型 1 函数图象变换 [典例 1] 用两种方法将函数 y＝sin x 的图象变换为 函数 y＝sin2x＋π3的图象．
解：
[变式训练] 如何将函数 y＝sin 2x 的图象变换得到 函数 y＝sinx＋π4的图象？
解：
x
－π6
π 12
π 3
7π 12
5π 6
2x＋π3 0
π 2
π
3π 2
2π
y 0 2 0 －2 0
(2)描点．用平滑的曲线顺次连接各点，所得的图象 如图所示．
题型 3 由图象求三角函数的解析式 [典例 3] 如图所示为函数 y＝Asin(ωx＋φ)|φ|<π2的 图象，确定其一个函数解析式．Leabharlann 第1章 三角函数图①
图②
将测得的图象放大(如图②所示)可以看出它和正弦
曲线很相似．那么函数 y＝Asin(ωx＋φ)与函数 y＝sin x
有什么关系呢？
1．函数 y＝sin(x＋φ)，x∈R(其中 φ≠0)的图象，可 以看作是把正弦曲线上所有的点向左(当 φ＞0 时)或向右 (当 φ＜0 时)平行移动|φ|个单位长度而得到．
高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质教学》公开课优秀课件
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
1
整个课堂关注学生的实际生成，因势利导；
课堂关注学生的实际生成，因势利导；
2 学生活动有独立思考与相互交流多种形式， 本节课学生活动充分；
3 我们认为： A 、ω 、φ这三个参数的物理意 义在下节课系统研究了 y＝sinx的图象与 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关系的基 础 上，结合实例进行教学,更易于学生理解.
NSFZ
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
研制策略，优化方案
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
所有的研究方案都是由学生 自主探究生成；
问题1
如何由 y＝sinx的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象？
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
所有的研究方案都是由学生 自主探究生成；
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
所有的研究方案都是由学生 自主探究生成；
问题1
如何由 y＝sinx的图象得到 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象？
比较分析三种研究方案， 选择方案1；
形成类似多参数问题的一般 研究策略——控制变量.
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(三）合作探究,感悟方法
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
(二）研制策略，优化方案
问题1： 如何由y＝sinx的图象得到
y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象？
NSFZ
函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
问题1
高中数学第一章三角函数1.3三角函数的图象和性质1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教
第二十三页，共42页。
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
第八页，共42页。
2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
中的第三点和第五点)，有
π3ω＋φ＝π，
ω＝2.
56πω＋φ＝2π，解得φ＝π3.
∴y＝3sin(2x＋π3)．
法三：(图象变换法)
由 T＝π，点(－π6，0)，A＝3 可知图象由 y＝3sin 2x 向左
平移π6个单位长度而得，所以有 y＝3sin 2(x＋π6)，
即 y＝3sin(2x＋π3)，且 ω＝2，φ＝π3.
2
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2．(2014·高考江苏卷)已知函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋ φ)(0≤φ<π)，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，则 φ 的
π 值是____6____． 解析：利用函数 y＝cos x 与 y＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的交点横 坐标，列方程求解．
由题意，得 sin2×π3＋φ＝cos π3,因为 0≤φ<π，所以 φ＝π6.
2.已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，ω>0，且|φ|<π2的图象的一段 如图所示，求此函数的解析式．
第二十七页，共42页。
解：由图易知 A＝ 2，T2＝|10－2|＝8，所以 T＝16. 又因为 T＝|2ωπ|，ω>0，所以 ω＝π8. 因为点(2， 2)在图象上，所以 y＝ 2sin(π8×2＋φ)＝ 2， 所以 sin(π4＋φ)＝1，所以π4＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)， 又|φ|<π2，所以 φ＝π4，所以 y＝ 2sin(π8x＋π4)．
第十五页，共42页。
法二：①把 y＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来 的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x 的图象； ②把 y＝sin12x 图象上所有的点向右平移π2个单位长度，得到 y＝sin12(x－π2)＝sin(12x－π4)的图象； ③把 y＝sin(12x－π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin(12x－π4)的图象．
高一数学《函数y-asin(wxφ)的图象》(课件
详细描述
幂函数可以与函数y=asin(ωx+φ)结合 ，形成复合函数。例如， y=asin(x^2+φ)可以描述一个随x变化 而振幅和相位同时变化的正弦函数。
与三角函数的综合应用
总结词
三角函数与函数y=asin(ωx+φ)可以相互转 化和化简，用于解决复杂的数学问题。
详细描述
三角函数与函数y=asin(ωx+φ)之间可以通 过三角恒等式进行转化和化简。例如， y=asin(sinx+φ)可以转化为y=asin(ωx+φ) ，其中ω是sinx的系数。这种转化和化简在 解决复杂的数学问题时非常有用。
此外，在工程、技术和其他领域中，函数y=asin(ωx+φ) 也经常被用来描述和分析各种实际问题的规律和性质。通 过深入了解函数y=asin(ωx+φ)，我们可以更好地理解和 解决日常生活中的各种问题。
04
函数y=asin(ωx+φ) 与其他函数的综合应用与指数函源自、对数函数的综合应用总结词
指数函数和对数函数在函数 y=asin(ωx+φ)中可以作为参数出现，用 于描述函数的周期性和振幅。
VS
详细描述
在函数y=asin(ωx+φ)中，当ω为指数或 对数函数时，函数的周期性和振幅会发生 变化。例如，当ω=2^x时，函数的周期 会随x的增大而减小；当ω=log2x时，函 数的振幅会随x的增大而增大。
与幂函数的综合应用
总结词
幂函数可以与函数y=asin(ωx+φ)结 合，形成复合函数，用于描述更复杂 的数学问题。
伸缩变换
横坐标伸缩
当函数y=asin(ωx+φ)在横坐标方向上伸缩时，其周期和相位会发生变化。横坐 标缩短为原来的1/n时，周期变为原来的1/n，相位增加π/n；横坐标扩大为原来 的n倍时，周期变为原来的n倍，相位减小π/n。
幂函数可以与函数y=asin(ωx+φ)结合 ，形成复合函数。例如， y=asin(x^2+φ)可以描述一个随x变化 而振幅和相位同时变化的正弦函数。
与三角函数的综合应用
总结词
三角函数与函数y=asin(ωx+φ)可以相互转 化和化简，用于解决复杂的数学问题。
详细描述
三角函数与函数y=asin(ωx+φ)之间可以通 过三角恒等式进行转化和化简。例如， y=asin(sinx+φ)可以转化为y=asin(ωx+φ) ，其中ω是sinx的系数。这种转化和化简在 解决复杂的数学问题时非常有用。
此外，在工程、技术和其他领域中，函数y=asin(ωx+φ) 也经常被用来描述和分析各种实际问题的规律和性质。通 过深入了解函数y=asin(ωx+φ)，我们可以更好地理解和 解决日常生活中的各种问题。
04
函数y=asin(ωx+φ) 与其他函数的综合应用与指数函源自、对数函数的综合应用总结词
指数函数和对数函数在函数 y=asin(ωx+φ)中可以作为参数出现，用 于描述函数的周期性和振幅。
VS
详细描述
在函数y=asin(ωx+φ)中，当ω为指数或 对数函数时，函数的周期性和振幅会发生 变化。例如，当ω=2^x时，函数的周期 会随x的增大而减小；当ω=log2x时，函 数的振幅会随x的增大而增大。
与幂函数的综合应用
总结词
幂函数可以与函数y=asin(ωx+φ)结 合，形成复合函数，用于描述更复杂 的数学问题。
伸缩变换
横坐标伸缩
当函数y=asin(ωx+φ)在横坐标方向上伸缩时，其周期和相位会发生变化。横坐 标缩短为原来的1/n时，周期变为原来的1/n，相位增加π/n；横坐标扩大为原来 的n倍时，周期变为原来的n倍，相位减小π/n。
高中数学 第一章 三角函数 1.3.3 函数y=Asin(ωx+φ)
第一章——
1.3 三角函数的图象和性质
1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
[学习目标]
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响. 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地 指出其变换步骤.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
称为 初相 .
2.φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)函数y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y＝sin x
上所有点 向左 (当φ>0时)或 向右 (当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看做是把y＝sin(x＋φ)的图象上
再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得 y＝ sin2x＋π3. 答案 y＝sin2x＋π3，x∈R
要点三 三角函数图象的综合变换 例 3 把函数 y＝f(x)的图象上各点向右平移6π个单位，再把 横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的32倍， 所得图象的解析式是 y＝2sin21x＋3π，求 f(x)的解析式.
规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关 系的步骤： ①将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即 A、ω及名称相同的结构. ②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单 位为ωφ . ③明确平移的方向.
跟踪演练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图象，只要将 y＝sin 2x
的所有点的
横坐标
变为原来的
1 ω
倍(纵坐标不变)而得到的.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看做是把y＝sin(ωx＋φ)的图
1.3 三角函数的图象和性质
1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)
[学习目标]
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω、φ、A对图象的影响. 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地 指出其变换步骤.
1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测
称为 初相 .
2.φ、ω、A对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
(1)函数y＝sin(x＋φ)(其中φ≠0)的图象，可以看做是将函数y＝sin x
上所有点 向左 (当φ>0时)或 向右 (当φ<0时)平移|φ|个单位而得到的.
(2)函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看做是把y＝sin(x＋φ)的图象上
再将图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，得 y＝ sin2x＋π3. 答案 y＝sin2x＋π3，x∈R
要点三 三角函数图象的综合变换 例 3 把函数 y＝f(x)的图象上各点向右平移6π个单位，再把 横坐标伸长到原来的 2 倍，再把纵坐标缩短到原来的32倍， 所得图象的解析式是 y＝2sin21x＋3π，求 f(x)的解析式.
规律方法 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关 系的步骤： ①将两个函数解析式化简成y＝Asin ωx与y＝Asin(ωx＋φ)，即 A、ω及名称相同的结构. ②找到ωx→ωx＋φ，变量x“加”或“减”的量，即平移的单 位为ωφ . ③明确平移的方向.
跟踪演练 1 要得到 y＝cos2x－π4的图象，只要将 y＝sin 2x
的所有点的
横坐标
变为原来的
1 ω
倍(纵坐标不变)而得到的.
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，可以看做是把y＝sin(ωx＋φ)的图
高中数学1.3.3函数y=Asin(ωx+φ)的图象(第1课时)函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件苏教版必修4
y＝sin(ωx＋φ)的图象 ――0A<>―A1<，―1―纵，―坐纵―标坐―伸标―长缩―到短―原到―来原―的来―A―的倍―A―横横―坐坐―标标―不不―变变―→ y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 法二：先周期变换后相位变换． y＝sin x 的图象 ―0ω<―>ω1―<，1―横，―坐横―标坐―缩标―短伸―到―长―原到―来原―的来―ω的1―纵ω1―倍坐―标纵―不坐―变―标―不―变→
1．(变条件)如何由 y＝sin x 的图象得到函数 y＝3sin12x＋π3的图象．
[解] 先把 y＝sin x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，得到 y＝ sinx＋π3的图象；再把 y＝sinx＋π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin12x＋π3的图象；最后把 y＝sin12x＋π3的图象 上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变)，就得到 y＝3sin12x＋π3 的图象．
[解] “五点法”作图．
(1)列表如下：
x
π 3
56π
43π
161π
73π
x－π3
0
π 2
π
3 2π
2π
y
35
3
1
3
(2)描点． (3)作图，如图所示：
周期为 T＝2π，频率为 f＝T1＝21π，相位为 x－π3，初相为－π3，最大值 为 5，最小值为 1，函数的减区间为2kπ＋65π，2kπ＋161π，k∈Z，
已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤： 1将两个函数解析式化简成 y＝Asin ωx 与 y＝Asinωx＋φ，即 A，ω 及名称相同的结构. 2找到 ωx→ωx＋φ，变量 x“加”或“减”的量，即平移的单位为ωφ. 3明确平移的方向. 提醒：三角函数图象的两种伸缩变换的实质是对函数图象的各点的横 坐标的伸缩和纵坐标的伸缩变化.