等比数列求和公式及性质 (1)
等比数列 求和公式
等比数列求和公式
【实用版】
目录
1.等比数列的定义和性质
2.等比数列求和公式的推导
3.等比数列求和公式的应用举例
4.总结
正文
1.等比数列的定义和性质
等比数列是指一个数列，其中每一项与它前面的项的比相等。
这个常量比被称为等比数列的公比。
等比数列的通项公式为：an=a1*q^(n-1)，其中 an 表示第 n 项，a1 表示第一项，q 表示公比，n 表示项数。
2.等比数列求和公式的推导
等比数列求和公式是指求解等比数列前 n 项和的公式。
为了推导这个公式，我们可以利用等比数列的通项公式，将前 n 项和表示为：
S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)。
这个公式即为等比数列求和公式。
3.等比数列求和公式的应用举例
例如，假设有一个等比数列：1, 2, 4, 8,...，其公比为 2。
我们可以使用等比数列求和公式计算前 10 项的和。
首先，将 a1=1，q=2，n=10 代入公式：S_10=1*(1-2^10)/(1-2)=1*(-1023)/(-1)=1023。
所以，这个等比数列前 10 项的和为 1023。
4.总结
等比数列求和公式是求解等比数列前 n 项和的公式，它可以通过等比数列的通项公式推导得出。
等比数列求和公式有哪些
等比数列求和公式有哪些等比数列是数学中的一种常见数列，其中每个项都与前一项的比值相等。
求等比数列的和是数学中的基础问题，对于等比数列的求和，常用以下两个公式：1. 等比数列前n项和公式：等比数列的前n项和记作Sn，公式为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比，n为等比数列的项数。
2. 等比数列无穷项和公式：等比数列的无穷项和记作S∞，公式为：S∞ = a / (1 - r)其中，a为等比数列的首项，r为等比数列的公比。
当公比r的绝对值小于1时，等比数列的无穷项和存在。
这两个公式是求等比数列和的基本公式，可以用来计算等比数列的和。
下面将通过例子来说明这两个公式的使用。
例1：已知等比数列的首项a为2，公比r为3，求该等比数列的前5项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)= 2 * (1 - 243) / (-2)= 2 * (-242) / (-2)= 242根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 2 / (1 - 3)= 2 / (-2)= -1所以，该等比数列的前5项和Sn为242，无穷项和S∞为-1。
例2：已知等比数列的首项a为5，公比r为0.5，求该等比数列的前10项和Sn和无穷项和S∞。
解：根据等比数列前n项和公式，代入已知条件，可得：Sn = 5 * (1 - 0.5^10) / (1 - 0.5)= 5 * (1 - 0.0009766) / (0.5)= 5 * (0.9990234) / (0.5)= 9.990234根据等比数列无穷项和公式，代入已知条件，可得：S∞ = 5 / (1 - 0.5)= 5 / (0.5)= 10所以，该等比数列的前10项和Sn为9.990234，无穷项和S∞为10。
通过以上例子可以看出，等比数列的求和公式能够方便地计算等比数列的和。
等比数列的基本性质与求和公式
等比数列的基本性质与求和公式等比数列是数学中常见的一种数列，它的前后两项的比值始终保持不变。
等比数列具有许多重要的性质和求和公式，本文将对这些性质和公式进行详细介绍与解析。
一、等比数列的基本性质等比数列的基本性质包括公比、通项公式以及前n项和的公式。
1. 公比公比是等比数列中相邻两项的比值，通常用字母q表示。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，公比q = a2/a1 = a3/a2 = ...。
公比q可以是正数、负数或零。
2. 通项公式等比数列的通项公式是指根据数列的首项和公比，可以得到任意项的数值表达式。
对于等比数列{a1, a2, a3, ...}，通项公式为an = a1 *q^(n-1)，其中n表示项数，an表示第n项。
通项公式可以帮助我们方便地计算等比数列中任意一项的数值。
3. 前n项和公式等比数列的前n项和公式是指根据数列的首项、公比和项数，可以得到前n项之和的表达式。
前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中Sn表示前n项和。
这个公式的推导涉及到对等比数列求和的方法，下文我们将介绍这个求和方法的详细步骤。
二、等比数列的求和公式的推导为了推导等比数列的求和公式，我们可以从以下几个步骤入手：Step 1: 假设等比数列的首项为a1，公比为q。
Step 2: 将等比数列的前n项和用Sn表示。
Step 3: 将等比数列的首项a1与公比q对齐。
Step 4: 将等比数列展开为a1, a1*q, a1*q^2, ..., a1*q^(n-1)。
Step 5: 将等比数列反向展开为a1*q^(n-1), a1*q^(n-2), ..., a1*q^2,a1*q, a1。
Step 6: 将两个等比数列按位相减，并观察相减结果的特点。
Step 7: 将相减结果与等比数列前n项和Sn相加，并观察相加结果的特点。
Step 8: 确定等比数列的前n项和公式Sn。
等比数列的性质和求和公式
等比数列的性质和求和公式等比数列是指数列中任意两项之间的比值都相等的数列。
在数学中，等比数列有自己独特的性质和求和公式，本文将详细介绍这些内容。
一、等比数列的性质1. 公比：等比数列中，任意两项之间的比值称为公比，通常用字母q表示。
公比q不为零，且常数项不为零时才能构成等比数列。
当q>1时，数列为递增的；当0<q<1时，数列为递减的。
2. 通项公式：等比数列中，第n项an与第一项a1之间存在以下关系：an = a1 * q^(n-1)3. 任意两项之比：等比数列中，第n项与第m项之间的比值可表示为：an / am = q^(n-m)4. 前n项和：等比数列的前n项和Sn可通过以下公式计算：Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)二、等比数列的求解及应用1. 求解等比数列的常见问题：a) 已知首项a1和公比q，求第n项an：根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，代入已知的a1和q即可求得an；b) 已知首项a1和第n项an，求公比q：将已知的an代入等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，解方程即可求得q；c) 已知首项a1、公比q和项数n，求前n项和Sn：利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，代入已知的a1、q和n即可求得Sn。
2. 等比数列的实际应用：a) 财务分析：等比数列的求和公式可以应用于财务分析中的复利计算，用于计算投资收益等问题；b) 科学研究：等比数列可以用于描述一些自然界和社会现象中的增长和衰减规律，如生物种群的繁殖、细菌的增长等；c) 工程问题：等比数列可以应用于工程问题中的增长和递减模型，如工程材料的强度、电路中的电压等。
三、案例分析假设有一个等比数列的首项a1为2，公比q为3，项数n为4，我们可以通过等比数列的性质和求和公式来计算该等比数列的一些重要性质。
首先，根据等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)，可以求得该数列的各项：a2 = 2 * 3^1 = 6a3 = 2 * 3^2 = 18a4 = 2 * 3^3 = 54其次，利用等比数列的求和公式Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)，可以求得前4项和：S4 = 2 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 2 * (81 - 1) / 2 = 40所以，该等比数列的第4项为54，前4项和为40。
等比数列求和公式及性质
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例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 110%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为: a6 a1q5 300 (1 10%)5 300 1.15 483(万元)
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：
a1
1, q 2,
1 (1 24 )
S4 1 2 15.
S10
1 (1 210 ) 1 2
1023
.
从第5项到第10项的和: S10 S4 1023 15 1008 .
3. 求等比数列 3 , 3 , 3 , 从第3项到第7项的和.
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1 5
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1
= a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 =) a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn=
(a1
an 2
)n
n(n 1) Sn na1 2 d
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
等比数列的求和
等比数列的求和在数学中，等比数列是一种常见的数列形式。
它的每一项与前一项相乘得到下一项，比如1，2，4，8，16...就是一个等比数列，其中每一项都是前一项的两倍。
求和是数学中常见的操作，而对于等比数列来说，求和也有相应的方法。
本文将详细介绍等比数列的求和公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、等比数列的定义与性质首先，我们来了解等比数列的定义和性质。
等比数列的定义如下：定义1：若数列a₁，a₂，a₃，...，an，...的每一项与它的前一项的比相等（不为零），即a(n+1)/an=d（称为等比数列的公比），则称该数列为等比数列。
在等比数列中，每一项与它的前一项的比值为常数d，这个常数也被称为等比数列的公比。
等比数列的公比决定了数列中每一项之间的关系。
而等比数列的性质主要有以下几点：性质1：等比数列的前两项之比不为零，即a₂/a₁≠0。
性质2：等比数列的任意三项可以构成一个比例，即a₁/a₂=a₂/a₃。
性质3：等比数列的任意两项都可以构成一个等比，即an/am=a(n-m)。
性质4：等比数列中，除了首项之外，任意一项与它前一项的比值都等于公比，即a(n+1)/an=d。
通过这些性质，我们可以更好地理解等比数列的特点和规律。
二、等比数列求和公式的推导接下来，我们将推导出等比数列求和公式。
设等比数列的首项为a₁，公比为q，首项与公比都已知。
现在我们考虑等比数列的前n项和S(n)，即S(n)=a₁+a₂+...+an。
我们将这个等比数列重复放置一次，并将两个数列按位相减，得到：a₁+a₂+...+ana₁*q+a₂*q+...+an*q------------------------------(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)可以观察到，相邻两项之间的“相同元素”(例如a₁*a₁*q)可以相加并合并为一个公比q，这样我们得到一个新的数列：(a₁+a₁*q)+(a₂+a₂*q)+...+(an+an*q)这个新的数列中，每一项都是原数列中对应项的公比倍。
等比数列性质公式总结
等比数列性质公式总结什么是等比数列？它是一种按照一定比例递增或递减的数列，即每一项等于它的前一项乘以一个确定的常数。
等比数列的应用非常广泛，在商业经济、货币学、统计学、计算机科学、投资理财等诸多领域都有重要的作用。
因此，了解等比数列的性质与公式是分析复杂问题的基础。
本文主要从等比数列的特点、性质和公式三个方面，总结等比数列的性质与公式，帮助读者更好地掌握等比数列。
一、等比数列的特点等比数列是一种有规律的数列，其特点是每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数。
它的形式一般为：a1, a1q, a1q2 ,a1q3 , ... .里a1是等比数列的第一项，q是等比数列的公比，它大于0小于1或大于1小于无穷大。
二、等比数列的性质等比数列有许多性质，其中有几个比较重要，如果我们能够掌握它们，就可以更好地分析等比数列。
（1）等比数列的每一项都等于它的前一项乘以一个确定的常数；（2）等比数列的总和大于等于其最大项，反之，总和小于等于其最小项；（3）等比数列的均值的数字大小是由第一项和最后一项决定的；（4）当等比数列的公比q大于1时，其数列中的各项逐渐变大；当q等于1时，其数列中的各项保持不变；而当q小于1时，其数列中的各项逐渐变小。
三、等比数列的公式（1）等比数列的求和公式：Sn=a1(1-qn)/(1-q)（2）等比数列的求积公式：Pn=a1qn-1（3）等比数列的极限公式：Sn→∞, q<1时Sn→a1/(1-q); q>1时Sn→无穷大。
（4）等比数列的求平均数公式：M=(a1+an)/2四、等比数列的实例总结举例来说，设a1=1，q=2，我们就可以得到一个等比数列：1，2，4，8，16，…此时，利用等比数列的求和公式，我们可以求出这个等比数列前n项的和 Sn=1+2+4+…+2^(n-1)=(2^n-1)。
又比如，设a1=2，q=1/2，此时，可以得到一个等比数列：2，1，1/2，1/4，1/8，…求出其前n项的积Pn=2×1/2×1/4×…×1/2^(n-1)＝1/2^(n-1)。
等比数列的求和公式与性质
等比数列的求和公式与性质等比数列是数学中常见的一种数列形式，它的求和公式以及性质在数学问题的解决过程中非常有用。
本文将介绍等比数列的求和公式与性质。
一、等比数列的求和公式在等比数列中，后一项与前一项的比值常数称为等比数列的公比，用q表示。
若首项为a，公比为q，求和的项数为n时，等比数列的前n项和Sn可以通过以下公式计算得出：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]该公式称为等比数列的求和公式。
其中，a表示首项，q表示公比，n表示项数。
二、等比数列求和公式的推导我们来推导等比数列求和公式的过程。
设Sn为要求的等比数列的前n项和，首项为a，公比为q。
首先，我们将等比数列的前n项与公比q相乘得到新的数列，记为qSn，即：qSn = q * [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)]（式1）然后，我们将等比数列的前n项与公比q相乘后再减去等比数列本身，记为Sn - (aq)，即：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式2）对于等比数列的括号中的每一项，我们将其都乘以公比q，得到：Sn - aqSn = [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n)] - [(aq^(n+1))]（式3）= [(aq) + (aq^2) + ... + (aq^n) + (aq^(n+1))] - [(aq^(n+1))]（式4）我们可以看到，等比数列的求和Sn减去公比q与Sn的乘积aqSn 后，得到的结果就是等比数列的前n项与其下一项aq^(n+1)之和。
进一步整理上述式子，化简得到：Sn - aqSn = (aqSn - aq^(n+1)) - [(aq^(n+1))]（式5）Sn - aqSn = aqSn - 2aq^(n+1)+ aq^(n+1)（式6）Sn - (aqSn) = Sn - (aq^(n+1) - aqSn)（式7）括号内的(aqSn)与Sn相减，得到：Sn - (aqSn) = (Sn - aqSn)（式8）再进一步，将式2与式8相结合，消除公式中的Sn-aqSn，得到：Sn - aqSn = (Sn - aqSn) - (aq^(n+1) - aqSn)（式9）Sn - aqSn = 0 - aq^(n+1)（式10）根据等比数列的定义，Sn - aqSn可以表示为Sn - aqSn = Sn*(1-q)，代入式10中，得到：Sn*(1-q) = 0 - aq^(n+1)（式11）将式11两边的Sn移到一边，得到：Sn = a * [(1 - q^n) / (1 - q)]（式12）经过推导，我们成功地得到了等比数列的求和公式。
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求：Sn 解：Sn=a1+a2 + a3 +a4 + …+an 2 3 … a1qn-1 =a1+a1q + a1q + a1q + + q n=a1q a1q (1-q)Sn=
1 1
已知： 等比数列 { n}，
a
a q， n
1，
s
2
a1q3 a1qn1 a1qn
北师大版高中数学必修5第 一章《数列》
等差数列 定义 通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
等比数列
an q an 1
an－an-1=d(n≥2) an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
A=
ab 2
(n≥2)
an=a1· qn-1(q≠0) an=am· qn-m
G= ab
若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq
已知a1, q, n时
通项公式:
已知a1, q, an时
an=a1• q
n-1
等比数列的前n项和例题
例5（1） 求等比数列 的和. 1 解: a1 1, q , n 10 2
1 1 1 1， , , , 的前10项 2 4 8
1 1 1 2 S10 1 1 2
设小林30天得到的钱数T30
T30 (1 30) 30 1 2 3 30 465(万元 ) 2
设小明30天得到的钱数S 30
S30 1 2 2 2 2 （分）
2 3 29
引入新课
同学们考虑如何求出这个和？
2 3 29
S30 1 2 2 2 2 . 2 3 29 2S30 2(1 2 2 2 2 ).
1023 . 512
10
a1 (1 q n ) Sn 1 q
（2）已知等比数列{an}中，a1=2,q=3,求S3
2 （ 1- 3 ） 解（2）S 3 26 1- 3
3
例6 五洲电扇厂去年实现利税300万元， 计划在5年中每年比上年利税增长10%， 问从今年起第5年的利税是多少？这5年 的总利税是多少？（结果精确到万元）
等比数列的前n项和练习2-3
2. 求等比数列 1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解： a1 1, q 2, 10 4 1 ( 1 2 ) 1 (1 2 ) 1023 . S4 15. S10 1 2 1 2
从第5项到第10项的和: S S 102315 1008 . 10 4 3 3 3 , , , 从第3项到第7项的和. 3. 求等比数列 2 4 8 7 3 1 1 3 1 2 解： a1 , q , S 2 381. 7 2 2 1 128 1 2 3 3 381 9 153 从第3项到第7项的和: S7 .
= a1 + q Sn-1 = a1 + q ( Sn – an )
Sn =
a1 ( 1 – q n ) 1–q
7
(q 1)
等比数列前n项求和公式
na1 , (q 1), na1 , (q 1) n S 于是 n a1 a1q S n a1 an q 1 q , (q 1). 1 q , (q 1).
( a1 an ) n Sn= 2 n( n 1) S n na1 d 2
若m+n=p+q, 则aman=apaq
Sn
？
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
S5
(2)a1 2.4, q 1.5, n 5;
3 (1 26 ) S6 189. 1 2
1 ( 4) a1 2.7, q , n 6. 3
1 1 2
Hale Waihona Puke 2.6 1 2.7 1 3 91 . S6 40 1 1 3
若q=1, ∴ Sn=
作 减 法
a -a qn
n
Sn na1
1
若：q≠1
a1 (1 q ) Sn 1 q
{
a (1-q )
n
n· a1
1-q
(q=1)
(q=1)
(一) 用等比定理推导 因为 所以
当 q = 1 时 Sn = n a1
6
(二）公式推导
Sn = a1 + a2 + a3 + …….+ an-1 + an = a1 + a1q + a1q2 +…..+ a1qn-2 + a1qn-1 = a1+ q ( a1 + a1q + ….+ a1qn-3 + a1qn-2 )
5 5
等比数列的前n项和练习1 1. 根据下列条件，求相应的等比数列 an 的 S n
(1)a1 3, q 2, n 6;
2.4 [1 (1.5)5 ] 33 S5 . 1 (1.5) 4 1 5 1 (3) a1 8, q , n 5; 8 1 2 2 31
等比数列的前n项和例题
解 每年的利税组成一个首项a1 300，公比 q 1 10%的等比数列.
从今年起,第5年的利税为:
5 a6 a1q5 300 (1 10%) 300 1.15 483(万元)
这5年的总利润为:
a2(q 1) 1.1 1 S 300 1.1 2015(万元) q 1 1.1 1
2 3
这种求和 的方法,就 是错位相 (1) 减法!
30 S30 1 2 S 2 1 1073741823 分
30 30
即2S30 2 2 2 S30 2S30 1 230
2 2 .
29 30
(2)
≈1073.741万元
等比数列前n项求和公式