12.21第八讲. 数阵图进阶_
数阵图(三)(含详细解析)
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、D 、E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图公差分别为2、1、0.【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
数阵图讲义
54321 776655443322117654321a首先我们观察下图：图中有4个大圆，每个圆周上都有四个数字，神奇的是，每个圆周上的四个数字之和都等于20。
不信，你就算算。
上面这幅图就是数阵图。
把给定的一些数按一定的要求或规律填在特定形状的图形中，这样的图形叫做数阵图。
数阵图绚丽迷人，变化多端，引人入胜。
常见的主要有三种：（1）辐射型（2）封闭型（3）复合型。
一般说来，数阵图主要讨论以下两个问题：（1） 满足某种条件的填法是否存在；（2） 在填法存在的情况下，把待定的数字补充完整。
这一讲我们学习辐射型数阵图。
【例1】 把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于8。
【分析与解】这是辐射型数阵图。
你可能觉得这道题太简单了，七拼八凑就会写出正确答案。
可是，你明白其中的道理吗？下面我们就一起来探索其中的道理，只有弄清其中的道理，才可能解答更复杂巧妙的数阵图问题。
中间方格的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“中心数”。
用字母a 表示。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于8。
所以横行的三个数之和加上竖列的三个数之和为（8＋8=）16，即（1＋2＋3＋4＋5）＋a =8＋8，整理得：15＋a =16。
为什么还要加上a 呢？因为 a 是中心数，相加时一共被加了两次，其余各数均被加了一次。
在计算1＋2＋3＋4＋5时已计算了一次，所以最后还要加上a 。
解得：a =1求出了中心数。
其余各数就好填了。
如图所示。
【例2】 把1～7这七个数分别填入下图的各个方格内，使每条线段上三个○内数的和相等。
654321c b a 【分析与解】首先，我们分析一下，这七个○内的数中，哪几个数是关键？由图我们看到，在计算每条线段上三个数的和的过程中，都要用到中心数。
另外，还要知道每条线段上三个数的和是几。
所以，确定中心数和每条线段上三个数的和是解答本题的关键。
为此，我们设图中的中心数为a ，每条线段上三个○内数的和为k ，则3k=（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＋2a3k=28＋2a下面，我们利用上面得到的关系式3k=28＋2a 来确定中心数a 的值。
数阵图知识点总结
数阵图知识点总结数阵图在计算机科学中有很多应用，例如在图像处理中用来表示图像的像素信息，在数据库中用来存储和管理数据，还可以用来表示图形和网络的关系。
数阵图还可以用来做矩阵运算，包括加法、减法、乘法以及求逆等。
在算法和数据结构中，数阵图也是一个常见的数据结构，例如用来表示图形的邻接矩阵，解决网络流的最大流问题等。
数阵图可以用不同的方式表示和存储，例如用数组、链表、向量等数据结构来实现。
在不同的应用场景中，选择不同的表示和存储方式可以提高数据的访问效率和计算性能。
本文将从数阵图的基本定义、表示和存储、运算以及应用等方面进行介绍和总结。
1. 数阵图的基本定义数阵图可以定义为一个m行n列的二维数组，用来存储各种不同类型的数据。
在数学中，数阵图可以表示为一个m×n的矩阵，每个元素用Aij表示，其中i表示行号，j表示列号，Aij表示矩阵中第i行第j列的元素。
例如，一个3行4列的数阵图可以表示为：A11 A12 A13 A14A21 A22 A23 A24A31 A32 A33 A34在计算机科学中，数阵图也可以用数组、链表、向量等数据结构来表示和存储。
例如，可以用一维数组来表示一个m行n列的数阵图，数组的长度为m×n，其中每个元素对应矩阵中的一个元素。
也可以用链表来表示一个数阵图，每一行用一个链表节点来表示，节点中包含该行中的所有元素。
向量也是一种常见的数阵图表示方式，它可以用来表示稀疏矩阵，在稀疏矩阵中大部分元素为0，向量可以节省存储空间和提高计算性能。
2. 数阵图的表示和存储在计算机中，数阵图可以用不同的数据结构来表示和存储，选择不同的表示和存储方式可以根据实际应用场景来提高数据访问效率和计算性能。
常见的数阵图表示和存储方式包括数组、链表、向量等。
下面分别介绍各种方式的表示和存储方法：2.1 数组表示数组是一种连续存储的数据结构，可以用来表示和存储数阵图。
数组的优点是数据访问速度快，可以通过下标直接访问元素，缺点是数组的大小固定，不方便动态扩展。
第八讲(幻方与数阵图)
23
57
40
解析：告诉了幻和，先求中间数=90÷3=30
23 30
告诉了相邻 2 个棱块，一定能求对角角块=（23+57）÷2=40，得到右图
57
接下来就容易了吧？同学们自己计算吧！
（尖子）学案 1 按要求完成幻方
（1）只求 x
x
（2）如果中间格填入 100，请在（1）的基础上完成所有格的填数。
19
解析：想想窍门 2，95=（x+19）÷2，那么可算出 x=117
95
中间数是 100，可求出幻和是 300，其他的就好填了，同学们自己试试吧！
最后答案： 24 117 105 你填对了吗？
181 100 19
95 29 176
492 357
每个数加 3
7 12 5 6 8 10
816
11 4 9
先写出基本型
OK 啦
当然，本题并没有说用哪些数，所以答案很多，但是这种方法是不是更快呢？
拓展：请用 11.13.15.17.19.21.23.25.27 编制一个三阶幻方 解析：这是一个等差数列，将它与基本型中的 1-9 对应好
11 13 15 17 19 21 23 25 27 对应 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2010 年四年级秋季班 第八讲 幻方与数阵图
第八讲 幻方与数阵图
一、幻方基本概念 1、幻方：是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的 3×3 的数 阵称作三阶幻方，4×4 的数阵称作四阶幻方，5×5 的称作五阶幻方…… 2、幻和：幻方中每行/列/对角线的数的和
学而思四年级春季班数阵图进阶知识总结
数阵图，这一讲在初步的基础上，更加强化了如何更方便的填完整个数阵图：
算数和→找合适的线和→算出重复数→尝试枚举填完 有了这个思路，在做数阵图题目时便更加的方便，不再会硬着头皮试半天。
★结合数论分析数和、线和、重复数的关系
如图，将1~8分别填入下面各圈中，使得每条线上的和均相等，问此时A 和B 的差值是多少？ A
B
【详解】
这类问题均要通过找数和、线和、重复数的关系： 算出所有数的数和：123836+++
+= 上方两个交叉的线和2k ，加上下方一个横的线和k ，可以囊括所有的数，并且重复算了一次A ，则有：336k A -=
根据3k 是3的倍数，36也是3的倍数，可以得出，A 也是3的倍数，那么A 只有两种可能，要么是3，要么是6，之后算出线和k ，并填完数阵图，可以得出，无论A 是3还是6，A 、B 两个数的差都是4. 练习
数阵图进阶。
小学数学-数阵图讲解学习PPT文档25页
6、纪律是自由的第一条件。——黑格 尔 7、纪律是集体的面貌，集体的声音， 集体的 动作， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
小学数学思维方法：幻方与数阵图
幻方与数阵图【知识要点】 一、幻方在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。
我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数之和等于中心数的2倍。
二、数阵图数阵图问题千变万化，这一类问题要求数阵中填入了一些数以后，能保证数阵中特定关系线（或关系区域）上的数的和相等，解决这类问题可以按以下步骤解决问题：第一步：从整体考虑，将要求满足相等的几个数字和全部相加，一般为n ×s 的形式。
第二步：从个体考虑，分别计算每一个位置数字相加的次数，将比较特殊的（多加或少加几次）位置数字用未知数表示，全部相加，一般为题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数的形式。
第三步：格局整体与个体的关系，列出等式即n ×s=题目所给全部数字和×一般位置数字相加次数±特殊位置数字和×多加或少加次数。
第四步：根据数论植树即整除性确定特殊位置数的取值即相对应的S 值。
第四步：根据确定的特殊位置数字及S 值进行数字分组及尝试。
【典型例题】 一、幻方例1：如下图，将1—9填入3×3的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。
它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是3倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1到9这九个数字都只各用了一次，所以3倍的的“幻和”第1题就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。
小学奥数数阵图
第十七周数阵图把一些数字按照一定的要求，排列成各种各样的图形，叫做数阵图。
数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。
幻方一般均为正方形。
图中纵、横、对角线数字和相等。
数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。
变幻多姿，奇趣迷人。
一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。
【解题技巧】数阵的分类：封闭型：封闭型数阵图的解题突破口，是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数，采用的方法是建立有关的等式，通过以最小值到最大值的讨论，来确定每条边上的几个数之和，再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数，其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
（1—6）辐射型：辐射型数阵图，解法的关键是确定中心数。
具体方法是：通过所给条件建立有关等式，通过整除性的讨论，确定出中心数的取值，然后求出各边上数的和，最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和，确定边上其他的数。
复合型：复合型数阵图，解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
数阵的特点：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。
它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。
解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。
2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。
3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。
有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。
【铜牌例题】将2、3、4、5、6、7、8、9、10填入下图中的9个方格中，使每行、每列及对角线之和相等，小明已经填了5个数，请将其余4个数填入。
【答案】【解析】先根据最左边一列求出幻和，然后根据这个和和给出的数字逐步推算。
3+8+7=18；第二行中间的数是：18-8-4=6；第三行中间的数是：18-7-9=2；第一行第一个数是：18-4-9=5；第一行中间的数是：18-3-5=10；【举一反三1】（第十届走美杯初赛）小华需要构造一个3×3的乘积魔方，使得每行、每列、每条对角线上三个正整数的乘积都相等；现在他已经填入了2，3，6三个数，那当小华的乘积魔方构造完毕后，x等于______。
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第八讲数阵图进阶
例1、把 1，2，4，5，6，8，10 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上 4 个数的和都等于 20．
把 8，9，10，11，12，14，16 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条
直线上 4 个数的和都等于 46．
例2 、将 5，9，13，14，17，21，25 这 7 个数分别填入图中的圆圈中，使得每条直线上 3 个数的和都等于 44．
例3、把 2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入图中的圆圈中，使两个正方形中四个数之和都等于 19．
例4、把 1，5，9，10，16，21 这 6 个数分别填入图中的○里，使每一个大圆上的四个数之和都等于 36．
例5、将 5，6，9，11，14，15 这 6 个数分别填入图中的圆圈里，使两个大圆上 4 个数的和都等于40．
把1，3，4，5，6，8，11，15 这8 个数分别填入图中的圆圈里，使得每个大圆上 5 个数的和都等于33．
本周打卡：
1、把5，6，7，8，9 这5 个数分别填在下图的内，使横行、竖列3
个数的和都等于( )中的数．
2、把 3，5，7，9，11，13，15 这 7 个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的 3 个数的和都等于27．
3、把 2，4，6，8，10，12，14，16，18 这 9 个数分别填入下图的圆圈
中，使得每条直线上的 3 个数的和都等于 24 。
4、把 2，3，4，5，6，7，8 这七个数分别填入图中的圆圈内，使两个正方形中四个数之
和都等于 21．
5、把 1，2，4，5，6，11 这 6 个数分别填入图中的○里，使每个圆圈上的四个数之和都等于 22．
6、把 2，5，6，8，10，12，14，22 这 8 个数分别填入下图中，使得每个大圆上的 5 个数的和都等于49。