最新绝对值和平方的非负性
1.2.4绝对值-绝对值的非负性(教案)
今天在教授《绝对值-绝对值的非负性》这一章节时，我发现学生们对于绝对值的概念理解起来有一定的难度。在讲解过程中，我尽量用生活中的例子来帮助他们理解，比如解释温度变化时，我们只关心温差的大小，而不关心是升高还是降低。这样的例子似乎让学生们更容易接受。
在理论介绍环节，我注意到有些学生对绝对值的非负性感到困惑，尤其是当原数是负数时，他们不太能理解为什么绝对值会是正数。为了解决这个问题，我采用了数轴上的点来形象地表示不同有理数，并通过移动这些点来展示绝对值的计算过程。这样的可视化教学让学生们更直观地理解了绝对值的性质。
-熟悉绝对值的表示方法：学生应学会用符号“| |”来表示一个数的绝对值，如|3|表示3的绝对值。
-掌握绝对值的性质，特别是非负性：强调无论原数是正数、负数还是零，其绝对值都是非负数。
-能够运用绝对值比较两个有理数的大小：通过比较两数绝对值的大小，判断两数在数轴上的位置关系。
举例：讲解绝对值的非负性时，可以举例说明|-5| = 5，|0| = 0，强调绝对值始终为非负数。
针对教学难点与重点，教师应采用直观演示、案例分析和问题驱动的教学方法，通过具体实例和互动讨论，帮助学生克服难点，深入理解绝对值的核心知识。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《绝对值-绝对值的非负性》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要不考虑方向，只关心距离的情况？”（例如，测量温度变化时，只关心温差的大小，不考虑是升高还是降低。）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索绝对值的非负性的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
算术平方根的非负性
算术平方根的非负性
“由于正数的算术平方根是正数，零的算术平方根是零，可将它们概括成：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，≥a 0”。
由此可知：a 具有两个非负性：
(1)被开方数是非负数；
(2)算术平方根是非负数． 算术平方根的非负性在解题中的应用极其广泛．下面略举几例说明之．
解根据被开方数非负，有
x+1≥0且y-1≥0，
∴x ≥－1且y ≥1。
即当x ≥－1且y ≥1时x+1y 1+-有意义。
解 因为2(x 3)3x -=-成立，由算术根的非负数知3－x ≥0，得到x ≤0。
解 ∵1y x 11x 2
<-+-+，由算术根的非负性有x －1≥0且1－x ≥0，
=|2y-1|-|y-1|
=(1-2y)-(1-y)=-y ．
例4化简
解
由被开方数非负，得x-1≥0，∴x≥1．再考虑使第二项绝对值为0的x值，
当1≤x≤2时，
当x＞2时，
∴x-3=0，y+6=0，
∴x=3，y=-6．
这里应用了“有限个非负数之和等于零，则每一个非负数均为零”的性质，这一性质在解题中经常用到．
例6下列六个方程中只有一个方程有实数根，则这个方程是()
解由算术平方根的非负性知，方程(A)和(B)都无实数根，应排除．
在(C)中，必有x+3=0且x-1=0，这是不可能同时成立的，应排除．
在(D)中，由3x-2≥0和1-2x≥0知两个不等式的解集无公共部分，也排除．在(E)中，x-1≥0，x-2≥0，2-4x≥0，也无公共部分．
故应选(F)．。
数学人教版七年级下册算术平方根之双重非负性(二)
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自学检测（3分钟）
平方 绝对值 算术平方根 正负性
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交流小结（18分钟）
讨论一 根据上表，关于平方、绝对值、算术平方根的非负性 你得到什么结论？ 一个数的平方、绝对值、算术平方根都是非负数， 也就是它们都具有非负性。这也是算术平方的第二 重非负性。
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交流小结（18分钟）
讨论四
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
根据几个非负数的和为0， 这几个非负数就都等于0
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注意：被开方数也要是非负数！
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交流小结（18分钟）
讨论二 如果两个非负相加，它们的结果是什么数（正负 性）？三个非负数相加呢？ 两个非负数的和一定是非负数，三个非负数的和也是 非负数，不管多少个非负数的和都一定是非负数。 讨论三
如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数必须满足 什么条件？你可以用相反数的性质去进行解释吗？ 如果两个非负数的和为0，那么这两个非负数都必须等于0. 因为两个数相加为0，那么这两个数就应该是相反数，所 以要么是一正一负，要么两个数都是0，根据它们都是非 负数，所以只能都等于0.
算术平方根之双重 非负性（二）
太湖港中学七（3）班：张翠丽
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学习目标（2分钟解读）
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指导自学（5分钟）
大于等于0的数叫非负数。 一定是非负数的数就具有非负性 回想以前学习的知识中还学过类似的非负性吗？ 两个相反数具备什么性质？ 还有平方和绝对值具有非负性，两个相反数的和为0.
绝对值的非负性及其应用
一、绝对值的非负性及其应用引例：(教材17页作业题A组3题)例题：下面的说法对吗如果不对，应如何改正(1)一个数的绝对值一定是正数；(2)一个数的绝对值不可能是负数；(3)绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数．知识点归纳：1、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．2、绝对值是非负数一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即任何一个实数的绝对值是非负数例题讲解例1、a，b为实数，下列各式对吗若不对，应附加什么条件请写在题后的横线上。
(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；；(4)若｜a｜=b，则a=b；；（5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜，。
例2? 实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式的值等于（? ）．（A） ? （B） ? （C） ? （D）归纳点评? 这类题型是把已知条件标在数轴上，借助数轴提供的信息让人去观察，一定弄清：1．零点的左边都是负数，右边都是正数．2．右边点表示的数总大于左边点表示的数．3．离原点远的点的绝对值较大，牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了．练习：设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．例3：│a│+ │b│=0，求a，b的值。
变式：│a│+ │b│+ │c│=0，求a，b，c 的值。
例4：│a－2│+ │b+3│=0,求a，b的值.变式练习：11、任何一个有理数的绝对值一定(D)A．大于0 B．小于0 C．不大于0 D．不小于02已知a为有理数，则下列四个数中一定为非负有理数的是(C)A．a B．－a C．|－a | D．－|－a | 3若|x|－|y|＝0，则(D)A．x＝y B．x＝－yC．x＝y＝0 D．x＝y或x＝－y变式训练4对于任意有理数a，下列各式一定成立的是(C)A．a＞| a | B．a＞|－a | C．a≥－| a | D．a＜| a |变式训练5若| a |＋|b|＝0，则a与b的大小关系是(A)A．a＝b＝0 B．a与b互为相反数C．a与b异号D．a与b不相等变式训练6若x是有理数，则|x|＋1一定(C)A．等于1 B．大于1 C．不小于1 D．不大于1变式训练7如果一个有理数的绝对值等于它的相反数．那么这个数一定是(B)A．负数B．负数或零C．正数或零D．正数变式训练8已知：|2x－3|＋|y＋2|＝0，比较x，y的大小关系，正确的一组是(B)A．x＜y B．x＞yC．x＝y D．与x，y的取值有关，无法比较变式训练9式子| x－1|＋2取最小值时，x等于(B)A．0 B．1 C．2 D．3变式训练10如果|a|＝4，那么a＝__±4__；如果|x|＝|－2.5|，则x＝__±2.5__；若| a－2|＋|b＋5|＝0，则a－b＝__7__．变式训练11若|a－1|＝－| b＋1|，则－4a b＝__4__．变式训练12用字母a表示一个有理数，则|a|一定是非负数，也就是它的值为正数或0，所以|a|的最小值为0，而－|a|一定是非正数，即它的值为负数或0，所以－|a|有最大值0，根据这个结论完成下列问题：(1)| a|＋1有最__小__值__1__；(2)5－|a|有最__大__值__5__；(3)当a的值为__1__时，|a－1|＋2有最__小__值__2__；(4)若|a＋2|＋| b－1|＝0，则a b＝__－2__．变式训练13任意有理数a，式子1－|a|，|a＋1|，|－a|＋|a|，|a|＋1中，值不能为0的是(D)A．1－|a| B．|a＋1| C．|－a|＋|a| D．|a|＋1变式训练14满足|a－b |＋a b＝1的非负整数(a，b)的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．4变式训练15不论a取什么值，代数式－|a|－2的值总是(B)A．正数B．负数C．非负数D．不能确定变式训练16若－|m－n|有最大值，则m与n的关系是__ m＝n__．变式训练17当式子|x－1|＋| x－2|＋| x－3|＋…＋| x－1997|取得最小值时，实数x的值等于(A)A．999 B．998 C．1997 D．0变式训练18已知：|a＋3|＋|b－2|＝0，求a＋b的值．变式训练19若|2x－4|与|y－3|互为相反数，求2 x－y的值．解：根据题意得，|2 x－4|＋|y－3|＝0，∴2 x－4＝0，y－3＝0，解得x＝2，y＝3，∴2 x－y＝2×2－3＝4－3＝1.【方法点拨】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出x，y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．变式训练20若a，b，c都是有理数，且|a－1|＋|b＋2|＋|c－4|＝0，求a＋|b|＋c的值．变式训练21已知|2a－6|与|b＋2|互为相反数．(1)求a，b的值；(2)求a－b，ab的值．变式训练22(1)对于式子|x|＋13，当x等于什么值时，有最小值最小值是多少(2)对于式子2－|x|，当x等于什么值时，有最大值最大值是多少。
第一章 有理数 考点6 非负数的性质：绝对值(解析板)
第一章有理数（解析板）6、非负数的性质：绝对值知识点梳理1．非负数的性质：绝对值在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．根据上述的性质可列出方程求出未知数的值．2．非负数的性质：算术平方根（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．同步练习一．选择题（共9小题）1．若|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，则（a﹣1）（b+2）（c﹣3）的值是（）A．﹣48B．48C．0D．无法确定【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b，c的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a+1|+|b﹣2|+|c+3|＝0，∴a＝﹣1，b＝2，c＝﹣3，∴（a﹣1）（b+2）（c﹣3）＝﹣2×4×（﹣6）＝48．故选：B．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确掌握绝对值的性质是解题关键．2．已知|x﹣2|+|y﹣1|＝0，则x﹣y的相反数为（）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：根据题意得：x﹣2＝0，y﹣1＝0，解得：x＝2，y＝1，则x﹣y＝2﹣1＝1，所以x﹣y的相反数为﹣1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．3．已知|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；因此a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点评】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．4．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）A．零B．非负数C．正数D．非正数【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，可得答案．【解答】解：m是有理数，则|m|﹣m一定是0或正数，故选：B．【点评】本题考查了绝对值，注意非负数的绝对值是它的相反数．5．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则x+y的值是（）A．1B．﹣1C．5D．﹣5【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：因为|x+2|+|y﹣3|＝0，所以x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，x+y＝﹣2+3＝1．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．6．|a﹣2|+|b+1|＝0，则（a+b）2等于（）A．﹣1B．1C．0D．﹣2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+1|＝0，∴a﹣2＝0，b+1＝0，∴a＝2，b＝﹣1，∴（a+b）2＝（2﹣1）2＝1．故选：B．【点评】此题主要考查了绝对值，正确得出a，b的值是解题关键．7．已知2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，则a﹣b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．4D．2【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的定义列出算式，根据非负数的性质求出a、b的值，代入计算即可．【解答】解：因为2020|a+1|与2021|b+3|互为相反数，所以2020|a+1|+2021|b+3|＝0，所以a+1＝0，b+3＝0，解得，a＝﹣1，b＝﹣3，则a﹣b＝﹣1﹣（﹣3）＝2，故选：D．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握当几个非负数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键．8．已知|x﹣2|+＝0，则点P（x，y）在直角坐标系中（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；坐标确定位置．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，从而得到点P的坐标，再根据坐标位置的确定即可解答．【解答】解：根据题意得，x﹣2＝0，y+3＝0，解得x＝2，y＝﹣3，∴点P的坐标是（2，﹣3），∴点P位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．9．若|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，则a﹣b＝（）A．1B．﹣1C．4029D．﹣4029【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知a＝2019，b＝2020，然后求得a﹣b的值即可．【解答】解：∵|a﹣2019|与|b﹣2020|互为相反数，∴|a﹣2019|+|b﹣2020|＝0．∴a﹣2019＝0，b﹣2020＝0，∴a＝2019，b＝2020．∴a﹣b＝2019﹣2020＝﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的是非负数的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．二．填空题（共18小题）10．式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是6．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质分析得出答案．【解答】解：式子|m﹣3|+6的值随着m的变化而变化，当m＝3时，|m﹣3|+6有最小值，最小值是：6．故答案为：3，6．【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的性质是解题关键．11．若|3x﹣2|与|y﹣1|互为相反数，则xy＝．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，代入所求式子计算即可求出值．【解答】解：∵|3x﹣2|+|y﹣1|＝0，∴x＝，y＝1，所以xy＝，故答案为：【点评】此题考查非负数的性质，关键是利用非负数的性质求出x与y的值．12．已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相加即可得解．【解答】解：根据题意得，a+2＝0，b﹣1＝0，解得a＝﹣2，b＝1，所以，a+b＝﹣2+1＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．13．若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝9．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式即可．【解答】解：依题意得：a﹣4＝0，b+5＝0，∴a＝4，b＝﹣5．a﹣b＝4+5＝9．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．14．若|x﹣6|+|y+5|＝0，则x+y＝1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算得到答案．【解答】解：∵|x﹣6|+|y+5|＝0，∴x﹣6＝0，y+5＝0，解得，x＝6，y＝﹣5，则x+y＝1，故答案为：1．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握绝对值的非负性是解题的关键．15．若|x+2|+|y﹣5|＝0，则x+y＝3．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的非负性可得x+2＝0，y﹣5＝0，再解方程即可．【解答】解：∵|x+2|+|y﹣5|＝0，∴x+2＝0，y﹣5＝0，解得：x＝﹣2，y＝5，∴x+y＝﹣2+5＝3，故答案为：3．【点评】此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握绝对值具有非负性．16．若|m+3|与|5﹣n|互为相反数，则mn＝﹣15．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数两数之和为0列出等式，利用非负数的性质列出方程，求出方程的解得到m与n的值，即可求出mn的值．【解答】解：∵|m+3|与|5﹣n|互为相反数，即|m+3|+|5﹣n|＝0，∴m+3＝0，5﹣n＝0，解得：m＝﹣3，n＝5，则mn＝﹣15，故答案为：﹣15．【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质：绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．若|a﹣2|+|b+3|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】由非负数的性质可知；a﹣2＝0，b+3＝0，从而可求得a＝2，b＝﹣3，然后利用有理数的加法法则计算即可．【解答】解：∵|a﹣2|+|b+3|＝0，∴a﹣2＝0，b+3＝0．∴a＝2，b＝﹣3．∴a+b＝2+（﹣3）＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查的是非负数的性质和有理数的加法，掌握非负数的性质是解题的关键．18．若|x+2|+|y﹣3|＝0，则2x﹣y＝﹣7．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+2＝0，y﹣3＝0，解得x＝﹣2，y＝3，所以，2x﹣y＝2×（﹣2）﹣3＝﹣4﹣3＝﹣7．故答案为：﹣7．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．19．若|m﹣2|+|n+3|＝0，则2n﹣3m＝﹣12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得到算式，求出m、n的值，代入代数式计算即可．【解答】解：由题意得，m﹣2＝0，n+3＝0，解得，m＝2，n＝﹣3，则2n﹣3m＝﹣12，故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是非负数的性质，掌握有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零是解题的关键．20．如果|a﹣1|+|b+2|＝0，那么a+b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据绝对值的性质求出a、b的值，进而可得出结论．【解答】解：∵|a﹣1|+|b+2|＝0，∴a﹣1＝0，b+2＝0，解得a＝1，b＝﹣2，∴a+b＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任意一个数的绝对值都是非负数是解答此题的关键．21．若|x|＝2，则x＝±2；已知|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，则3a+2b的值12．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值的意义解答；根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵|x|＝2，∴x＝±2；∵|a﹣2|与|b﹣3|互为相反数，∴|a﹣2|+|b﹣3|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，解得a＝2，b＝3，所以，3a+2b＝3×2+2×3＝6+6＝12．故答案为：±2，12．【点评】本题考查了绝对值的意义，非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．22．若|x﹣2|+|y+3|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用绝对值的性质得出x﹣2＝0，y+3＝0，进而得出x，y的值，即可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|+|y+3|＝0，∴x﹣2＝0，y+3＝0，解得：x＝2，y＝﹣3，故x﹣y＝2﹣（﹣3）＝5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．23．若|a+1|与|b﹣2|互为相反数，则b﹣2a＝4．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出方程，再根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后相减即可得解．【解答】解：∵|a+1|与|b﹣2|互为相反数，∴|a+1|+|b﹣2|＝0，∴a+1＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣1，b＝2，所以b﹣2a＝2﹣2×（﹣1）＝2+2＝4．故答案为：4．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．24．若|x﹣2|与|y+1|互为相反数，则xy＝﹣2．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据相反数的概念列出等式，根据绝对值的非负性分别求出x、y，计算即可．【解答】解：由题意得，|x﹣2|+|y+1|＝0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，解得，x＝2，y＝﹣1，则xy＝﹣2，故答案为：﹣2．【点评】本题考查的是非负数的性质、相反数的概念、有理数的乘法，掌握绝对值的非负性是解题的关键．25．|x﹣3|+|y+2|＝0，则x﹣y＝5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质可求出x、y的值，再将它们代入代数式中求解即可．【解答】解：根据题意得：，解得：，则x﹣y＝3﹣（﹣2）＝5．故答案是：5．【点评】本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．26．若|a+2|+|b﹣3|＝0，则a﹣b＝﹣5．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】首先根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出a、b的差．【解答】解：∵|a+2|+|b﹣3|＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，∴a＝﹣2，b＝3；∴a﹣b＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了非负数的性质，解答此题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．27．已知a，b为有理数，且|a+1|+|2013﹣b|＝0，则a b＝﹣1．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0，再根据绝对值，可得a，b的值，可得答案．【解答】解：|a+1|+|2013﹣b|＝0，∴a+1＝0，2013﹣b＝0，a＝﹣1，b＝2013，∴a b＝（﹣1）2013＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了非负数的性质：绝对值，两个绝对值的和为0，可得每个绝对值为0是解题关键．三．解答题（共9小题）28．如果|x﹣2|+|y+8|＝0，求x﹣y的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2＝0，y+8＝0，解得x＝2，y＝﹣8，所以，x﹣y＝2﹣（﹣8）＝2+8＝10．即x﹣y的值是10．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．29．若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】（1）根据非负数的性质“三个非负数相加，和为0，这三个非负数的值都为0”列出三元一次方程组，即可解出x、y、z的值；（2）将（1）中求出的x、y、z的值分别代入，先根据绝对值的性质去掉绝对值的符号，再运用有理数加法法则计算即可．【解答】解：（1）由题意，得，解得．即x＝2，y＝﹣3，z＝5；（2）当x＝2，y＝﹣3，z＝5时，|x|+|y|﹣|z|＝|2|+|﹣3|﹣|5|＝2+3﹣5＝0，即|x|+|y|﹣|z|的值是0．【点评】本题主要考查了非负数的性质，解题的关键是掌握非负数的性质．初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．30．已知|3x﹣2|+|y﹣4|＝0，求|6x﹣y|的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：由题意得，3x﹣2＝0，y﹣4＝0，解得x＝，y＝4，所以，|6x﹣y|＝|6×﹣4|＝|4﹣4|＝0，即|6x﹣y|的值是0．【点评】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．31．红武发现：如果|x|+|y|＝0，那么x＝y＝0．他的理由如下：∵|x|≥0，|y|≥0且|x|+|y|＝0，∴|x|＝0，|y|＝0，∴x＝0，y＝0．请根据红武的方法解决下面的问题：已知|m﹣4|+|n|＝0，求m+n的值并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】直接利用非负数的性质得出m，n的值进而得出答案．【解答】解：∵|m﹣4|+|n|＝0，∴|m﹣4|＝0，|n|＝0∴m＝4，n＝0，故m+n＝4．【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出m，n的值是解题关键．32．已知|a+3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．【解答】解：∵|a+3|≥0，|b﹣5|≥0且|a+3|+|b﹣5|＝0，∴|a+3|＝0，|b﹣5|＝0即：a+3＝0，b﹣5＝0，∴a＝﹣3，b＝5又∵x、y互为相反数，∴x+y＝0，∴原式＝3×0﹣（﹣3）+2×5＝13．【点评】本题考查了非负数的性质，掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．33．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求x﹣y的相反数．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】先根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出x、y的值，再代入x﹣y中求值，最后根据相反数的定义求出x﹣y的相反数．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，解得x＝1，y＝﹣2，∴x﹣y＝1﹣（﹣2）＝3，∴x﹣y的相反数是﹣3．【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．34．若a、b、c为有理数，且|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，求（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据已知等式，利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可确定出（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）的值．【解答】解：∵|a+1|+|b+2|+|c+3|＝0，∴a+1＝0，b+2＝0，c+3＝0，∴a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣3，∴（a﹣1）×（b+2）×（c﹣3）＝﹣2×0×（﹣6）＝0．【点评】此题考查了代数式求值，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．35．若|x﹣1|+|y+2|＝0，求（x﹣1）（y+2）的值．【考点】非负数的性质：绝对值．【分析】根据绝对值得出x﹣1＝0，y+2＝0，再代入求值即可．【解答】解：∵|x﹣1|+|y+2|＝0，∴x﹣1＝0，y+2＝0，∴（x﹣1）（y+2）＝0．【点评】本题考查了绝对值，有理数的乘法，整体思想的应用是本题的关键．36．已知|2a+b|与互为相反数．（1）求2a﹣3b的平方根；（2）比较a+与|b+|大小，并说明理由．【考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【分析】（1）先由|2a+b|与互为相反数，列出等式，再根据绝对值和算术平方根的非负性得出a和b的值，然后计算2a﹣3b的平方根即可；（2）将a和b的值分别代入a+与|b+|，然后用“作差法“比较大小即可．【解答】解：（1）∵|2a+b|与互为相反数，∴|2a+b|+＝0，∴2a+b＝0，3b+12＝0，解得：b＝﹣4，a＝2，∴2a﹣3b＝4+12＝16，∴2a﹣3b的平方根是±4；（2）∵a＝2，b＝﹣4，∴a+＝2+，|b+|＝|﹣4+|＝4﹣，∵2+﹣（4﹣）＝2+﹣4+＝+﹣2＞0，∴2+＞4﹣，∴a+＞|b+|．【点评】本题考查了相反数的意义、绝对值和算术平方根的非负性、求平方根及实数的大小比较等基础知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键。
绝对值方程及非负性
内容 基本要求略高要求较高要求绝对值 借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一： 绝对值非负性【例1】 （4级）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋. 【解析】 3m =-，72n =，12p =，3232p n m +=-＋.【巩固】 （2级）若42a b -=-+，则_______a b +=.【解析】4(2)2a b +=+-=【巩固】 （6级）（第10届希望杯2试）已知a 、b 、c 都是负数，并且0x a y b z c -+-+-=，则 0xyz ． 【解析】 根据绝对值的非负性可知x a =，x b =，z c =，所以0xyz abc =<．【巩固】 （8级）（2008年学而思杯）已知非零实数a 、b 、c 满足a b c ++()2420a b c +-+=，那么a b b c+=- ．【解析】 由非负性可得到0a b c ++=①，且420a b c -+=②，①+②得到530a c +=，所以35a c =-，代入①可得到：25b c =-．所以32555275c ca b b c c c --+==---．【例2】 （6级）（人大附中常考试题）已知a 为实数，且满足200201a a a -+-=，求2200a -的值 【解析】 由题意可知：201a ≥，所以可得200201a a a -+-=，即201200a -=，所以2201200a -=，所以原式的值为201例题精讲中考要求绝对值方程及非负性【例3】 （6级）（2008第二届两岸四地华罗庚杯）设a 、b 同时满足①2(2)|1|1a b b b -++=+；②|3|0a b +-=．那么ab = ．【解析】 因为|1|1b b ++≥，而完全平方式非负，所以20a b -=，且1b +非负．又因为|3|0a b +-=，所以30a b +-=，观察可知2a =，1b =，所以2ab =．【巩固】 （2级）已知()2120a b ++-=，求a b ，的具体取值 【解析】 由绝对值和平方的非负性我们可以知道：12a b =-=，【巩固】 （4级）（2003年杭州市中考题）已知2()55a b b b +++=+，且210a b --=，那么ab =_______ 【解析】 因为2()55a b b b +++=+，我们可以知道50b +>，所以原式可以表示为： 22()55,()0,a b b b a b a b +++=++==-，又因为210a b --=，进而111210,31,,,339a b a a b ab --====-=-.【例4】 （8级）（第6届希望杯1试）若a 、b 、c 为整数，且19951a b c a -+-=，求c a a b b c -+-+-的值．【解析】 法一：根据题意：19a b -，95c a -为非负整数， 分类讨论：①若0a b -=，1c a -=，则1b c a c -=-=，此时原式＝2； ②若1a b -=，0c a -=，则1b c b a -=-=，此时原式＝2．法二：从总体考虑，a b -、c a -一个为0，一个为1，也就是a 、b 、c有两个相同，另一个和他们相差1．故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以2c a a b b c -+-+-=．【例5】 （8级）求满足1ab a b ++=的所有整数对()a b ， 【解析】 因为1ab a b ++=，且00ab a b +≥，≥，a b ，均为整数 所以可得01ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑴或者10ab a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩⑵由⑴可得01ab a b =⎧⎨+=⎩或01ab a b =⎧⎨+=-⎩又因为a b ，均为整数 所以3124123400111010a a a a b b b b ====-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=⎩⎩⎩⎩，，， 由⑵得10ab a b =⎧⎨+=⎩或10ab a b =-⎧⎨+=⎩所以56561111a a b b ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩， 综上可得：共有6对，分别是：()()()()()()011001101111----，，，，，，，，，，，【巩固】 （8级）（03年创新杯数学竞赛）若,,x y z 为整数，且20032003||||1x y z x -+-=，则 ||||||z x x y y z -+-+-的值是多少?【解析】 2003||0,||0x y x y -≥-≥,同理2003||0z x -≥，所以一个为0，一个为1，也就是说,,x y z 有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以||||||z x x y y z -+-+-=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例6】 （6级）设a 、b 是有理数，则9a b ++有最小值还是最大值？其值是多少？ 【解析】 根据绝对值的非负性可以知道0a b +≥，则99a b ++≥，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【巩固】 （4级）（2009十三中学单元检测）代数式24()a b -+最大值为 ，取最大值时，a 与b 的 关系是____________ 【解析】 4，互为相反数；【例7】 （6级）已知210ab a +++=，求()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+的值【解析】 由210ab a +++=得12a b =-=，所以()()()()()()111...112219941994a b a b a b +++-+-+-+111...233419951996=----⨯⨯⨯ 9971996=-【例8】 （6级）若3x y -+与1999x y +-互为相反数，求2x yx y+-的值 【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道：319990x y x y -+++-=所以必然有30x y -+=且19990x y +-=， 解方程组可得：19991001x y y +==，所以原式21999100110003x y x y y x y x y ++++====----板块二：绝对值方程模块一、单重绝对值方程【例9】 （2级）不解方程直接判断方程⑴2430x -+=；⑵32x x +=-；⑶33x x -=-；⑷20x x -+=无解的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 根据绝对值的非负性可知：选B【例10】 （2级）解方程：235x +=【解析】 根据绝对值的意义，原方程可化为235x +=或者235x +=-，解得1x =或4x =-【例11】 （4级）（2010人大附期中练习题）解方程1121123x x +--+-= 【解析】 原方程整理得：1315x +=，即1315x +=或者1315x +=-，所以原方程的解为85x =或者185x =-【例12】 （4级）解方程2131x x -=+ 【解析】 根据两数的绝对值相等，可以判断这两个数相等或者互为相反数，所以，由原方程可以得到2131x x -=+或2131x x -=--，解得20x x =-=，【巩固】 （6级）解方程216x x -++=【解析】 本题应当分为三种情况来讨论：⑴当2010x x -<⎧⎨+<⎩，即1x <-时，原方程化为216x x -+--=，解得52x =-⑵当2010x x -⎧⎨+⎩≤≥，即12x -≤≤时，原方程化为216x x -+++=，无解⑶当2010x x ->⎧⎨+>⎩，即2x >时，原方程化为216x x -++=，解得72x =【例13】 （6级）解方程25380x y x y --+++=【解析】 因为任何数的绝对值都不小于零，所以当两数的绝对值之和为零时，只能这两个数都等于零，这样可以得250380x y x y --=⎧⎨++=⎩，由此解得13x y =⎧⎨=-⎩【例14】 （6级）（人大附中第一学期期中考试）已知x y y x -=-，且3x =，4y =，求()3x y +的值. 【解析】 x y y x -=-，0x y -≤且3x =±，4y =±，当3x =，4y =，0x y -≤，所以()337343x y +==； 当3x =，4y =-，0x y ->，不满足题意； 当3x =-，4y =，0x y -≤，所以()3311x y +==； 当3x =-，4y =-，0x y ->，不满足题意．【例15】 （6级）(第14届“希望杯”数字竞赛试题)方程93352x x x ++-=+的解是 ． 【解析】 对x 的值分4段讨论⑴ 若3x <-则原方程化为93352x x x --+-=-+，解得：2x =与3x <-，矛盾；⑵ 若30x -<≤则原方程化为93352x x x ++-=-+，解得：29x =-；⑶ 若03x <≤则原方程化为93352x x x ++-=+，解得：29x =；⑷ 若3x ≥则原方程化为93352x x x ++-=+，解得：2x =-与3x ≥矛盾；综上所述可得方程的解为29x =±．【巩固】 （4级）已知12x -=，3y =，且x 与y 互为相反数，求2143x xy y --的值．【解析】 12x -=，12x -=±，3,1x =-；3y =，3y =± ，且x 与y 互为相反数，所以3x =，3y =-，214243x xy y --=．【巩固】 （2级）若1a =，2b =，3c =且a b c >>，那么a b c +-= 【解析】 根据题意可得：1,2,3a b c =±=-=-，那么0a b c +-=或2.【例16】 （6级）若已知a 与b 互为相反数，且4a b -=，求21a ab ba ab -+++的值. 【解析】 a 与b 互为相反数，那么0a b +=.201()101a ab b a b ab abab a ab a a b a -++--===-++++⨯+，4a b -=，4a b -=±， 当4a b -=时，且0a b +=，那么2,2a b ==-，4ab -=-； 当4a b -=-时，且0a b +=，那么2,2a b =-=，4ab -=-；综上可得241a ab ba ab -+=-++.【巩固】 （8级）（第15届江苏省初中数学竞赛试题）如果10x x y ++=，12y x y +-=，那么x y +=（ ）A ．-2 B. 2 C.185 D. 225【解析】 讨论x 的符号：若x 0,≤则由第一个方程的10,y =代入到第二个方程x =12显然是矛盾的，从而x 0,>同样的方法可以讨论,y 确定y 的符号。
1.3.2绝对值：绝对值的非负性、绝对值的几何意义与最值问题(课件)七年级数学上册(浙教版2024)
x2
-1
0
1
2
x1
3
4
5
6
7
x3
①当-1≤x≤7时
距离之和为：绿色线段长度和：7-(-1)=8
②当x<-1时
距离之和为：蓝色线段长度和：>8
③当x>7时
距离之和为：黄色线段长度和：>8
03
典例精析
例1-2、求当x取何值时，式子|x+1|+|x-4|+|x-7|取得最小值，并求出最小值。
9
当__________，|x-2|+|x-9|取最小值_____；
2≤x≤9
7
3≤x≤8
当__________，|x-3|+|x-8|取最小值_____；
5
4≤x≤7
当__________，|x-4|+|x-7|取最小值_____；
3
5≤x≤6
当__________，|x-5|+|x-6|取最小值_____。
________________________________。
2.|a+3|在数轴上的意义是：
|a+3|=|a-(-3)|
表示a的点与表示-3的点之间的距离
________________________________。
3.|a+b|在数轴上的意义是：
表示a的点与表示-b的点之间的距离
________________________________。
(1)如图，先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个
单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为_____和_____，B，C两点间的
2024年中考数学专题复习课件：初中数学三个“非负数”
.
1
把x=2代入得，y≤ ,
2
2 y 1 y 2 y 1 2 y 1 ( y 1)
2
2
1 2 y y 1
y
绝对值的非负性
非负性
偶次方的非负性
算术平方根的非负性
在数轴上，表示一个点到
原点的距离叫做这个数的
绝对值，用“| a |”表示.因
为距离大于等于0，所以| a
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典例精析4
若 x、y满足
x 4 4 x y 2 ,求x 的值.
-y
解析：题中只含有二次根式，因此此题的突破口在二
次根式上，利用
中a≥0，因而有x-4和4-x同时为0。
解：根据二次根式的被开方数非负性，可得
x-4≥0,4-x≥0，所以x=4
将x=4代入得，0+0+y=2，得y=2，
算术平方根概念：
一般地，如果一个正数x的平方等于a，则正
数x是a的算术平方根。a的算术平方根记作
特别地，规定：0的算术平方根是0.即 = ,
因此，算术平方根具有非负性， ≥0，
同时，二次根式的被开方数也具有非负性，
中的a≥0；
合称二次根式具有双重非负性。
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典例精析1
y
已知|x+3|+|y-2|＝0，求 x 的值.
简。
口诀：奇中一点，偶中一片。
挑战自我 1
2
若 − 3 + ( − + 1) =0，计算：
2
+ 2
3
+
4
解析：根据绝对值和平方的非负性性质，得
−3=0
− + 1 = 0，