万有引力的高斯定理1

万有引力场的高斯定理
容晓晖
物理工程学院2010级物理学类二班 邮箱：****************
一 问题的提出
在大一上学期学习力学，在学到简谐运动那一章时，胡老师曾举个一个例子，是摘自老版本大学物理学的一道书上例题，题目是这样的：
将地球看做一个半径为R 的均匀球体，密度为ρ，假定沿直径开一条通道，若有质量为m 的质点沿通道做无摩擦运动，证明此运动为简写运动。

（题目示意图如下）
例题图
当时做这道题时不知道如何列出质点的受力方程，后来老师直接讲到质点的受力大小仅与质点所在圆面内包围的质量有关，而与外部的质量无关。

列出受力大小公式，经过化简发现受到的万有引力大小是一个和质点所在面的半径r 成正比的○1，即质点在地球内部受到了一个线性回复力的作用，方向和质点相对于平衡位置（地心）的位移方向相反，即质点做的是简谐运动。

具体的解题公式和过程不再写出，这些不是本文章的重点。

场景转换到大一下学期（现在），在老师讲到电磁学中静电场的高斯定理时，惊奇的发现：
∑⎰⎰=
=Φ)
(01
cos 内S i
E q dS E εθ
这个公式告诉我们：通过一个任意闭合曲面S 的电通量E Φ等于该面所包围的所有电荷的代数和Σq 除以ε0，与闭合面外的电荷无关。

这就是著名的电场中的高斯定理的表述。

其他有关高斯定理的证明请见《电磁学》（赵凯华、陈熙谋版）第54页至59页，这里不再抄写证明。

高斯提出了电通量的概念，并根据库仑定律推导出来，使很多电场问题步骤和思路大大简化，并提炼出了这个公式。

学到这里时我就突然想到了本文最开始的那道有关万有引力的题目，并且想到牛顿的万有
引力定律公式——2
21r m m G
F =万
和库仑定律公式——2
21c
r q q k
=F 有着十分相似的形
式，既然库仑定律能够推导出电场的高斯定理，那么高斯定理应该在万有引力场中同样适用。

在这里先给几个定义和公式：
万有引力强度，用g 表示，定义式为2r
m 中万
G m F g == ，但正方向为从内到外，与g
实际方向相反。

对于球状质点系，通过单位表面积的引力通量是：
-g r
4r 4*g -S 2
2
==Φ=Φππ万d 1， 万有引力通量，
⎰⎰∆-=ΦS
S gcos θ万（注意负号）
2， 仿照0
41πε=
k ，令0
41
g G π=
，这里的0g 姑且命名为真空介万常数，呵呵，根
据真空介电常数改的，大小约为1.193*10^9。

下面进行公式推导，目的是证明：
0)(S
i 00
S g m g 1g 1
S gcos 中
内万m m S i ===
∆-=Φ∑⎰⎰⎰⎰θ成立。

推导证明公式成立：
同样仿照课本上的证明过程（《电磁学》（赵凯华、陈熙谋版）第54页至59页），从球面开始证明：
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=
=====∆-=ΦS
i
002202222S
m
g 1g r
m 441
4r m r m r m S gcos 中中中中
中万m r g r G dS G dS G
S
S
πππθ即
0)(S
i 00
S g m g 1g 1
S gcos 中
内万m m S i ===
∆-=Φ∑⎰⎰⎰⎰θ
上为第一种情况：通过包围质点的同心球体的万有引力通量都为m 中/g 0
另外两种情况：通过包围质点的任意闭合面的万有引力通量都等于m 中/g 0，和通过不包围点电荷的任意闭合面的万有引力通量恒为0.因为过程和课本上的极为相似，均不再这里证明，有兴趣的可以参考课本。

在这里，
等于该面所包围的所有质量（的代数）和Σm 除以g 0，与闭合面外的质量无关。

应用一 求万有引力场场强 对于像本文开头提到的例题，那种十分对称的物体可以得某处的万有引力场强大小和重力势能位相对大小。

比如应用于球、无限长的棍、无限大的平面等等。

具体由此得出的结论（这里只给出大小，方向均指向质点系）： 1. 单个质点：2
041r m
g g π=
2.均匀质量球壳：当r<R 时,0=g
当r>R 时,2
041r m
g g π=
（相当于质量集中在球壳中心）
3.均匀质量的实心球体：当r<R 时，r R
m
g g 3
041π=
（这里验证了第一部分的句○1） 当r>R 时，2
041r m
g g π=
（相当于质量集中在球体中心）
4.无限长的棒：r
g g λ
π021=
（λ表示质量的线密度）
5.无限大的平面（一个）：0
2g g σ
=
6.两个无限大的平行平面：两板之间0=g 两板之外0
g g σ
=
（σ表示质量的面密度）
应用二 求万有引力场中的引力位，或引力位差（万有引力的位，或称为重力势能位） 1. 单个质点：r
m
g 041πϕ-
=（无限远为零势能点）
2.均匀质量球壳：当r<R 时, R
m
g 041πϕ-
=（无限远为零势能点）
当r>R 时, r
m
g 041πϕ-
=（无限远为零势能点）
3. 均匀质量的实心球体：当r<R 时，R
m g R r R m g 02
23041)(81ππϕ--=
当r>R 时，r m
g 041πϕ-=（无限远为零势能点）
4.无限长的棒：2
1012r r ln 2g πλ
ϕ=
（λ表示质量的线密度） 5.无限大的平面（一个）：)(2210
12r r g -=
σ
ϕ
6.两个无限大的平行平面：两板之间20
2r g σ
ϕ=
内（两板之间为零势能点）
两板两（外）边)(210
12r r g -=
σ
ϕ（σ表示质量的面密度）
应用三 寻找反物质（目前只是一种猜想）
如果在已知正质量和一个高斯面的总的通量的前提下，或与能够证明具有-m 的物质（反物质）的存在，甚至能够借此发现这种反物质，因为公式中的质量和是代数和。

（或许还有好多）
这是我第一次将自己的想法以此种形式写出来，很多地方还不能够写得很严谨甚至有的地方还需要改正，希望大家能够多多指正。

这个想法我想我肯定不是第一个提出的，根据开篇时胡振刚老师的讲解就能知道我提出的这个东西早已经前人研究过的东西，但是由于我查阅资料的能力不足，至今不能找到较为权威或详细的有关万有引力场中的高斯定理的论著，无奈只好自己推出其中比较浅薄的东西，可能在推断过程中还出现了一些物理词典里根本没有的名词。

另外万有引力场中环路定理也是成立的，不过在这里我就不再证明了，也是比较容易证明的。

写这篇小文章的目的有以下几个：
1， 将自己在学习中的发现和想法总结出来，并和大家分享，希望这个东西能对以后解题
有所帮助。

2， 能给和我一样在物理学习中产生想法的同学以激励，希望他们能够大胆的分享自己的
想法，另外也在这个过程中提高自己的学术能力，为写论文积累一些经验和方法。

3， 还想说的是有关这篇文章知识的，高斯定理其实有好多，数学中、电场、磁场都有，
形式和内涵都不大相同，希望同学在今后的学习中能够理解清楚。

4， 最后不得不提的是，是有关学习方法的事，这里我有一点想法：平时学习是要注意知
识之间的联系并及时总结汇总，找到一些物理现象的相似之处，有利于一些方法的相互应用，例如中学时代匀强电场中的类平抛运动，这里的万有引力场的高斯定理，艺术是互通的，很多知识和方法也是可以通用的，及时找到相似点做到触类旁通。