数值逼近积分公式
定积分的近似计算方法
定积分的近似计算方法定积分近似计算方法指的是利用数值计算方法来估算给定函数在一定区间上的积分值。
这些方法常常用于当函数在该区间内无法求得解析式时，或者解析式难以求得的情况下。
下面将介绍常用的数值积分近似计算方法。
一、矩形法矩形法即将积分区间等分为若干小区间，然后在每个小区间中选择一个代表点，将函数在该点的函数值作为近似积分的值。
具体可以分为左矩形法、右矩形法和中矩形法。
1.左矩形法左矩形法即取每个小区间的左端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a) +f(a+Δx) + … + f(a+(n-1)Δx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
2.右矩形法右矩形法即取每个小区间的右端点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx) + f(a+2Δx) + … +f(a+nΔx)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
3.中矩形法中矩形法即取每个小区间的中点作为代表点，近似积分的值为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx * [f(a+Δx/2) + f(a+3Δx/2) + … +f(a+(2n-1)Δx/2)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
二、梯形法梯形法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个梯形来近似计算定积分的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，然后在每个小区间上用两个端点处的函数值拟合成一个梯形，然后将这些梯形的面积加起来即可得到近似的定积分的值。
具体计算公式为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Δx/2 * [f(a) + 2f(a+Δx) + 2f(a+2Δx)+ … + 2f(a+(n-1)Δx) + f(b)]其中，Δx=(b-a)/n，n为区间的等分数。
三、辛普森法辛普森法是通过将积分区间上的曲线拟合为多个二次多项式的方法。
将积分区间[a,b]等分为n个小区间，每两个相邻区间拟合成一个二次多项式。
逐差法公式的推导及应用
逐差法公式的推导及应用逐差法（finite difference）是一种数值逼近技术，用于寻找函数的导数以及进行插值和外推等计算。
它的基本思想是利用函数在一点的邻近点上的函数值来逼近函数的导数。
在本文中，我们将介绍逐差法的推导和应用。
一、逐差法的推导为了推导逐差法的公式，我们首先需要考虑函数的泰勒展开式。
根据泰勒定理，如果函数 f 在 x0 处具有连续的 n+1 阶导数，则可以写为以下形式：f(x) = f(x0) + f'(x0)(x - x0) + \frac{f''(x0)}{2!}(x - x0)^2 + ... +\frac{f^(n)(x0)}{n!}(x - x0)^n + Rn(x)其中，Rn(x) 是余项，表示未展开的部分。
我们现在考虑一个函数的一阶导数 f'(x)。
将 x0 的邻近点 x0+h 代入上述泰勒展开式中，可以得到：f(x0+h) = f(x0) + f'(x0)h + \frac{f''(x0)}{2!}h^2 + ... +\frac{f^(n)(x0)}{n!}h^n + Rn(x0+h)我们可以看到，当 h 很小时，余项 Rn(x0+h) 可以忽略不计。
因此，我们可以将上述式子简化为：f(x0+h) ≈ f(x0) + f'(x0)h + \frac{f''(x0)}{2!}h^2 + ... +\frac{f^(n)(x0)}{n!}h^n为了得到函数 f 在 x0 处的一阶导数 f'(x0) 的逐差估计值，我们需要采用两个点的函数值。
将 x0 的邻近点 x0+h 和 x0-h 代入泰勒展开式，可以得到：f(x0+h) = f(x0) + f'(x0)h + \frac{f''(x0)}{2!}h^2 + ... +\frac{f^(n)(x0)}{n!}h^n + Rn(x0+h)f(x0-h) = f(x0) - f'(x0)h + \frac{f''(x0)}{2!}h^2 - ... +\frac{f^(n)(x0)}{n!}h^n + Rn(x0-h)将上述两个等式相减，可以消去所有包含高阶导数的项，得到：f(x0+h) - f(x0-h) = 2f'(x0)h + 2\frac{f''(x0)}{3!}h^3 + ... +2\frac{f^(n)(x0)}{(2n+1)!}h^(2n+1)现在，我们可以利用以上等式来推导逐差法的公式。
数值逼近 第五章 数值积分
第五章数值积分1.若求积公式（2）具有m次代数精度，试证明对于任意次数不超过m的代数多项式，都有。
证明：因为对，都有，从而由的线性性质以及任意有：。
结论成立。
2.证明柯特斯系数满足。
证明：（1）由，令，则故（2）由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故对零次多项式，有，即，也就是，即，由得。
3.证明柯特斯系数满足方程组：证明：由于牛顿-柯特斯公式的代数精度，故在区间上使用牛顿-柯特斯公式对精确成立，即：，也就是：或，写成矩阵形式即为：4．证明，若不是整数，且，则；若不是整数，且，则。
证明：因为，所以：若不是整数，且时，有成立，所以：，于是。
再由：和得：。
同理当时，，两边再减有：，即，所以若不是整数，且时，。
证毕5.假设在上连续，。
证明：存在成立证明：因在上连续，故在上必取得最大值和最小值，即当时。
又若令，则由得：。
故由连续函数的介值定理知：必存在，使，即。
6.若用复化梯形公式求积分，则积分区间要多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？解：欲使，其中，只须，即积分区间要68等分才能保证计算结果有五位有效数字。
7.函数由表14给出，利用复化梯形公式按如下的尺度，计算：（1）（2）（3）解：（1）时，=1.7683(2) 时，=1.7728(3)时，8．验证复化柯特斯公式和复化辛卜生公式之间存在递推关系。
解：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用辛卜生公式得：，以及：，于是：即：。
证毕。
9．分别用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算下列积分：（1），解：（1）令，则：（2），；（3），；（4），。
10．假设在上可积，证明复化梯形公式和复化辛卜生公式当时，收敛于积分值。
证明：将区间n等分，其节点，在每个小区间上采用梯形公式并由在上可积得：；在每个小区间上采用辛卜生公式得：11。
11.111 11.证明等式：，并用理查森外推法计算的近似值。
证明：由于当时，，令得：，即：若令，并记，则上式成为：，因此该公式符合理查森外推法的条件，若记由外推算法：，，并取（即）得：与相比，有8位有效数字。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
数值逼近：有理逼近
Rm 1 am 1 Pm 1 a m Pm 2 bm 1 a bm qm 1 m 1 qm 1 a m qm 2 bm 1 bm Pm 1
bm 1 Pm a m 1 Pm 1 bm 1qm a m 1qm 1
由序列 { Pk }, {qk } 的定义，上式右端的分子为 Pm 1 分母为
但自由度只有 m n 1 个.
给定 f ( x ) 的 n m 1 个互异的节点 xi 处的值 yi f ( xi )，要求寻找一个有理分式
Rm ,n ( x i ) f ( x i )
( i 0, 1, , n m )
Rm ,n ( x )
使得
（6）
1°插值问题（6）是否有解，解是否唯一? 问题： 2°怎样构造插值函数？ 3°插值函数的误差估计.
此处
P1 1, q1 0, P 0 b 0 , q0 1
（3）
则由（2）式定义的 Rk 等于 P k , qk 之比，即
Pk Rk qk ,
k 1, 2, , n来自（4）a1 b0 b1 a1 证： k 1 时，由（2）有 R1 b0 b1 b1
另一方面，由关系式（3）有
x x0 R( x ) v 0 ( x 0 ) x x1 v 1 ( x1 ) v2 ( x2 ) x x n 1 x x n 1 vn ( xn ) vn ( x )
（9）
（9）式是一个连分式，假设对于互异节点 x0 , x1 , , x n 函数 v k ( x) 在 x k 处有定义，那么有
R n的连分式可采用递推公式来计算.
R n b0 a1 b1 b2 a2 an bn
数值逼近知识点总结
数值逼近知识点总结一、基本概念1.1 逼近误差在数值逼近中，我们通常会用逼近值来代替某个函数的真实值。
这个逼近值和真实值之间的差称为逼近误差，通常表示为ε。
逼近误差可以分为绝对误差和相对误差两种。
绝对误差是指逼近值与真实值之间的差值，表示为|f(x)-Pn(x)|。
相对误差是指绝对误差与真实值的比值，表示为|f(x)-Pn(x)|/|f(x)|。
通常情况下，我们希望逼近误差越小越好。
1.2 逼近多项式在数值逼近中，我们通常会用一个多项式来逼近某个函数。
这个多项式通常称为逼近多项式，记为Pn(x)，其中n表示多项式的次数。
逼近方法的目的就是找到一个逼近多项式，使得它可以尽可能地接近原函数。
1.3 逼近点在进行数值逼近的过程中，逼近点的选择对逼近结果有很大的影响。
通常情况下，我们会选择一些离散的点，然后通过这些点来构造逼近多项式。
这些点通常称为逼近点，记为(xi, yi)。
1.4 逼近方法数值逼近的方法有很多种，常见的包括插值法、最小二乘法、迭代法等。
这些方法各有特点，适用于不同的逼近问题。
在接下来的篇幅中，我将详细介绍这些方法的原理和应用。
二、插值法2.1 基本概念插值法是数值逼近中常用的一种方法，它的基本思想是通过已知的数据点来构造一个插值多项式，然后用这个多项式来逼近原函数。
插值法的优点是可以通过已知的数据点来精确地确定逼近多项式。
常见的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法等。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种通过拉格朗日基函数来构造插值多项式的方法。
假设给定n+1个互不相同的插值点(xi, yi)，我们要求一个n次多项式Pn(x)，满足条件Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)。
那么Pn(x)的表达式为：\[Pn(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+...+ynLn(x)\]其中Li(x)为拉格朗日基函数，表达式为：\[Li(x)=\prod_{j=0,j\neq i}^n\frac{x-xi}{xi-xj}\]拉格朗日插值法的优点是简单易懂，容易编程实现。
泰勒公式大全
泰勒公式大全泰勒公式是微积分中的重要概念，它可以将一个函数在某一点附近展开成无限项的多项式，从而方便我们进行计算和研究。
本文将按照不同的类别介绍泰勒公式的各种形式和应用。
一、泰勒公式的基本形式泰勒公式的基本形式是：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中，$f(x)$是要展开的函数，$a$是展开点，$f^{(n)}(a)$表示$f(x)$在$a$处的$n$阶导数，$n!$表示$n$的阶乘。
二、泰勒公式的常用形式1. 麦克劳林公式当$a=0$时，泰勒公式就变成了麦克劳林公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$这个公式在计算中非常常用，因为它可以将很多函数展开成简单的多项式形式。
2. 带余项的泰勒公式在实际计算中，我们往往只需要保留泰勒公式的前几项，而不需要展开到无穷项。
这时，我们可以使用带余项的泰勒公式：$$f(x)=\sum_{n=0}^{m}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_m(x)$$其中，$m$表示展开的项数，$R_m(x)$表示余项，它的表达式为：$$R_m(x)=\frac{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-a)^{m+1}$$其中，$\xi$是$a$和$x$之间的某个值，$m+1$阶导数的值在$a$和$\xi$之间取值。
三、泰勒公式的应用1. 近似计算泰勒公式可以将一个复杂的函数近似成一个简单的多项式，从而方便我们进行计算。
比如，我们可以使用麦克劳林公式将$\sin x$和$\cos x$展开成多项式形式，从而计算它们的值。
2. 函数的性质研究泰勒公式可以帮助我们研究函数的性质，比如函数的最值、极值、拐点等。
通过对泰勒公式的各项系数进行分析，我们可以得到函数在展开点附近的一些性质。
3. 数值逼近泰勒公式可以用来进行数值逼近，比如我们可以使用带余项的泰勒公式来逼近函数的值。
牛顿辛普森公式
牛顿辛普森公式牛顿-辛普森公式是数学中的一个重要公式，它主要用于解决积分问题。
这个公式在数学分析、物理、工程等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍牛顿-辛普森公式的原理、应用和注意事项。
一、牛顿-辛普森公式的原理牛顿-辛普森公式是一种数值积分的方法，基于泰勒级数展开。
它将一个函数近似表示为一个多项式，并通过求和得到该函数的近似值。
具体来说，牛顿-辛普森公式将积分区间分成若干个小区间，并在每个小区间的中点上取多项式的值，将这些值相加即可得到积分的近似值。
二、牛顿-辛普森公式的应用1. 数值积分：牛顿-辛普森公式主要用于数值积分。
当被积函数难以找到原函数或者积分区间较大时，使用牛顿-辛普森公式可以方便地得到积分的近似值。
2. 求解微分方程：通过数值积分的方法，牛顿-辛普森公式也可以用于求解微分方程。
通过离散化微分方程，可以将微分方程转化为代数方程组，然后求解代数方程组即可得到微分方程的近似解。
3. 近似计算：在科学计算中，许多函数都需要进行近似计算。
牛顿-辛普森公式可以用于这些函数的近似计算，例如计算函数的值、函数的导数值等。
三、注意事项1. 精度问题：牛顿-辛普森公式的精度取决于分区的数量和多项式的阶数。
为了提高精度，需要增加分区数量和多项式的阶数。
但是，增加这些参数也会增加计算的复杂度和计算时间。
因此，需要在精度和计算效率之间进行权衡。
2. 振荡问题：当被积函数在积分区间内存在多个峰值或谷值时，牛顿-辛普森公式可能会产生振荡现象，导致结果不准确。
此时，可以使用其他数值积分方法，例如复化梯形公式、复化辛普森公式等。
3. 收敛性：牛顿-辛普森公式是一种数值逼近的方法，其结果取决于所选取的近似多项式。
如果多项式的阶数过高，可能会导致计算结果发散，因此需要对多项式的阶数进行合理的选择。
4. 稳定性：在计算过程中，可能会遇到数值稳定性问题，例如舍入误差的累积。
为了提高计算的稳定性，可以使用更精确的数值计算方法，例如使用高精度的数学库进行计算。
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实习论文
题目复化抛物线型积分公式
专业信息与计算科学
班级计算092
学号3090811065
学生周吉瑞
指导教师秦新强
2011 年
复化抛物线型积分公式
专业：信息与计算科学
学生：周吉瑞
指导老师：秦新强
摘要
考虑到数值计算的稳定性，用增大n额方法来提高数值积分代数精度的方法是不可取的，类似于分段插值，为了减小数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后不把这些小区间上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似，这就是复化数值积分，而复化抛物线型积分公式就是其中比较简单的复化数值积分公式。
关键词：稳定性，数值积分，区间
一、目的意义
抛物线型积分公式结构简单方便，但是精度较差，而复化抛物线型积分公式则可以提高数值积分的计算精度。
二、公式
复化抛物线型积分公式及其误差：
11
1()112
4
(4)
()[()4()2()()]
6()[](),(,)
2880
k k b
n n k x x k k a
n h
f x dx f a f x f x f b b a h R f f a b ηη--+==≈+++-=-
∈∑∑⎰
；
三、算法流程
Step1:输入积分区间的端点a ，b 和区间等分数n ；
Step2:置2b a
h n
-= , F0=f(a)+f(b);F1=0,F2=0;
Step3:对j=1，2，···，2n-1循环执行步4至步5； Step4:置x=a+jh;
Step5:如果j 是奇数11()F F f x =+； 否则F2=F2+f(x);
Step6:置021(24)
3n h F F F S ++=；
Step7:输出n S ；结束。
四、算法程序
#include<stdio.h> #include<math.h> void main() {
float f(float x); int j,n;
float a,b,h,x,F0,F1=0,F2=0,S;
printf("请输入积分区间的两端点a,b 和等分数n ："); scanf("%f%f%d",&a,&b,&n); h=(b-a)/(2*n); F0=f(a)+f(b);
for(j=1;j<2*n;j++) { x=a+j*h; if(j%2==0) F2=F2+f(x);
else
F1=F1+f(x);
}
S=h*(F0+2*F2+4*F1)/3;
printf("S=%f\n",S);
}
float f(float x)
{
float f;
f=(float)exp(-x*x/2);
return f;
}
五、数值算例
例用四节点复化抛物线型积分公式计算积分：
2
2
2
1
x
e dx
-⎰。
解：
六、分析评价
其计算结果与用抛物线型积分公式所得的结果比较易知，用复化抛物线型积分公式计算数值积分的精度更高。
七、参考文献
[1] 秦新强．数值逼近 [D]. 西安:西安理工大学，2010年元月。