有限元复习重点

●有限元起源于20世纪50年代中期航空工程中飞机结构的矩阵分析。

●有限元基本思想：在力学模型上将一个原来连续的物体离散成为有限个具有一定大小的单元，这些单元仅在有限个节点上相连接，并在节点上引进等效力以代替实际作用于单元上的外力。

对于每个单元,根据分块近似的思想，选择一种简单的函数来表示单元内位移的分布规律，并按弹性理论中的能量原理(或用变分原理)建立单元节点力和节点位移之间的关系。

最后，把所有单元的这种关系式集合起来，就得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解这些方程组就可以求出物体上有限个离散节点上的位移。

“一分一合”，化整为零，集零为整，把复杂的结构看成由有限个单元组成的整体。

●单元、节点、边界：采用8节点四边形等参数单元把受力体划分成网格，这些网格称为单元；网格间互相连接的点称为节点；网格与网格的交界线称为边界。

节点数和单元数目是有限的。

●有限元法的优点：（1）理论基础简明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起对该法的理解。

(2) 具有灵活性和适用性，应用范围极为广泛。

(3) 该法在具体推导运算中，广泛采用了矩阵方法，便于实现程序设计的自动化。

●有限单元法分为三类:位移法（以节点位移为基本未知量）、力法（以节点力为基本未知量）和混合法（一部分以节点位移，另一部分以节点力作为基本未知量）。

●有限元法分析计算的基本步骤可归纳如以下五点。

1.结构的离散化（将某个机械结构划分为由各种单元组成的计算模型）在平面问题用三角形、矩形或任意四边形单元。

在空间问题用四面体、长方体或任意六面体单元2.单元分析①选择位移模式（位移模式是表示单元内任意点的位移随位置变化的函数式，由于所采用的函数是一种近似的试函数，一般不能精确地反映单元中真实的位移分布）位移模式或位移函数：i ni i a y φ∑=②建立单元刚度方程e e e F k =δ，e 为单元编号；e δ为单元的节点位移向量；e F 为单元的节点力向量 ；ek 为单元刚度矩阵.③计算等效节点力：用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

3.整体分析：整体的有限元方程F K =δ。

K 为整体结构的刚度矩阵；δ为整体节点位移向量；F 为整体载荷向量。

4.求解方程，得出节点位移5.由节点位移计算单元的应变与应力●有限元中得一个基本近似性是几何近似性●有限元中的变量：应力、应变、变形。

基本方程有：平衡方程、物理方程、几何方程。

边界条件：力边界、位移边界。

●弹性力学的任务是分析弹性体在受外力作用并处于平衡状态下产生的应 力、应变和位移状态及其相互关系等。

●外力：体力（分布在物体体积内的力---重力、惯性力、电磁力）、面力（分布在物体表面上的力---流体压力、接触力、风力）●应力：物体受外力的作用，或由于温度有所改变，其内部将发生内力。

●任意一点可由6个应力分量x σ，y σ，z σ，xy τ，yz τ，zx τ来表示。

应力的矩阵：●任意一点可由6个应变分量x ε，y ε，z ε，xy γ，yz γ，zx γ来表示。

应变的矩阵：●位移：弹性体在载荷作用下，不仅会发生形变，还将产生位移，即弹性体位置的移动。

●弹性力学方程：几何方程、物理方程、平衡方程●变形协调条件：在变形前，把弹性体分为许多微小立方单元体，变形后，每个单元体都产生任意变形而不能组合成一个连续的变形体。

为了保证这些六面体仍能组合成一个连续体，每一个小单元体的应变分量必须满足变形协调条件或称变形连续条件的关系。

●拉伸弹性模量E ：应力和应变的比值；剪切弹性模量G ：、剪应力和对应的剪应变比值。

μ为泊松比。

●平面问题变形协调条件：22222xyy x x y y x γεε∂∂∂=+∂∂∂∂ ●物理方程：三维情况下应力和应变之间的转换关系。

---广义虎克定律。

●平衡状态：当物体在外力作用下保持静止或等速直线运动时的状态。

●泛函：如果对某一类函数y(x)它的每一个函数值都有一个Ⅱ值与之对应，则变量Ⅱ称为自变函数y(x)的泛函。

●李兹法的方法和步骤：①把所求泛函Ⅱ[y(x)]的极值问题的解，表达成一系列可能解的线性组合错误!未找到引用源。

②把这个线性组合式带入所讨论问题的泛函式Ⅱ[y(x)]中去，并计算出此泛函式的变分δⅡ③由泛函极值条件δⅡ=0，算出线性组合式中的待定系数错误!未找到引用源。

，使之满足基本微分方程④把算得的待定系数错误!未找到引用源。

值代入设定的式，即求得所讨论问题的解。

●平面问题：指弹性体内一点的应力、应变或位移只和两个坐标方向的变量有关。

●平面问题的几何方程：平面应力物理方程：1()x y x E μσσε=- 1()y y x E μσσε=- 2(1)xy xy E μτγ+=弹性矩阵：[]2101010012E D μμμμ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦ []D σε=●弹性力学问题的有限元法主要步骤：离散化（离散后才能使结构变成有限个单元的综合体）---单元分析---整体分析●连续弹性体离散化：将连续体划分为有限个互不重叠、互不分离的三角形单元，这些三角形在其顶点处互相铰接。

●离散化的注意事项：①对称性的利用（单轴对称减少二分之一，双轴对称减少四分之一）②节点的选择和单元的划分（节点选取：通常集中载荷的作用点、分布载荷强度的突破点，分布载荷与分布载荷与自由边界的分界点、支承点等.单元的划分：单元各内角和各边长不应相差太大。

对于三角形单元，应使其尽量接近等边或等腰三角形，以提高计算精度。

为得到较好的位移结果，单元细长比不应超过7；为得到好的应力结果，细长比不超过3.内角不应大于150小于30度）③节点的编号（相邻节点的号码差值尽可能的小，一边缩小刚度矩阵的带宽，节约计算机的存储）。

●单元分析的主要任务：推导基本未知量单元节点位移与其对应量单元节点力之间的转换关系。

●单元分析的步骤：●位移模式：将结构离散为许多小单元的集合体，用较简单的函数来描述单元內各点位移的变化规律。

可影响有限元法的计算精度和收敛性。

错误!未找到引用源。

，N 为形函数矩阵 ●形函数的求解计算：设节点()m j i ,,的坐标分别为()i i y x ,，()j j y x ,，()m m y x ,，节点为()i i v u ,，()j j v u ,，()m m v u ,。

将它们代入式（2—6），有联立求解上述公式左边的3个方程，可以求出待定系数321,,a a a 为式中，A 为三角形单元m j i ,,的面积要注意的是，为了使得出的面积的值不为负值，节点m j i ,,的次序必须是逆时针转向至于将那个节点作为起始节点i ，则没有关系。

整理后：同理可得式中令●形函数的性质（1）形函数是坐标()y x ,的线性函数。

（2）形函数i N 在节点i 处等于1，在其他节点上的值等于0；对于j N 也有同样的表达式。

单元内任一点的三个形函数之和恒等于1，即（3）单元内任意一点()y x ,有（4）在三角形单元边界ij 上一点()y x ,，有形函数公式（5）形函数i N 在单元上的面积分和边界上ij 的线积分为 ij 为长度。

位移函数所要满足的条件：①位移函数必须能反映单元的刚体位移②位移函数必须能反应单元的常量应变③位移函数应尽可能反应位移的连续性（完备单元：满足①②；协调单元：满足③；完备而非连续单元：满足①②不满足③）常应变三角形单元：当单元确定后。

矩阵B 是常量，单元中任一点的应变分量也是常量的单元。

有限元法的任务：建立和求解整个弹性体的节点位移和节点力之间的关系的平衡方程。

单元刚度矩阵：表达了单元节点位移与节点力之间的转换关系。

单元刚度矩阵的性质：①单元刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义②Ke 是对称矩阵③Ke 的每一行或每一列元素之和为零，因此Ke 为奇异矩阵④Ke 不随单元的平行移动或作n π角度的转动而改变。

刚度集成法集成规律：①先对每个单元求出其单元刚度矩阵Ke ，而且以分块形式按节点编号顺序排列②将单元刚度矩阵扩大阶数为2n*2n ，并将单元刚度矩阵中的子块按局部码与总码的对应关系，搬到扩大后的矩阵中，形成单元贡献矩阵Ke 。

③将所有单元贡献矩阵同一位置上的分块矩阵简单叠加成总体刚度矩阵中的一个子矩阵，各行各列都按以上步骤即形成总体刚度矩阵K 。

●整体刚度矩阵的性质：①整体刚度矩阵是对称矩阵②整体刚度矩阵中每一元素的物理意义：整体刚度矩阵的第一列元素代表使第一个节点在x 方向有一单元位移，而其余节点位移皆为零时必须在节点上施加的里。

对于K 的其余各列也有类似意义③整体刚度矩阵K 的主对角线上的元素总是正的④整体刚度矩阵K 是一个稀疏阵⑤整体刚度矩阵K 是一个奇异阵。

●半带宽：在半个斜带形区域中，每行具有的元素个数。

●带形矩阵：整体刚度矩阵K 的非零元素分布在以主对角线为中心的斜带形区域内的矩阵。

●半带存储：利用带形矩阵的特点，并利用矩阵的对称性，则在计算机中可以只存储上半带的元素的存储方法。

引用已知节点位移的方法：化1置0法、乘大数法●由计算结果推出弹性体内某一点接近实际的应力值的方法：绕节点平均法、两单元平均法。

注意事项：①相连单元间的应力连续性只有当相连单元具有相同厚度和材料时才存在，平均法才有意义②位于结构边界或介质间断线上的应力点是无法用两单元平均法得到应力值的，若用绕节点平均法也因其相连单元太少而不能得到较佳的近似值。

这种情况往往改用内部应力点外推的办法去求它的近似值。

●有限元法的具体解题过程：①将结构进行离散化，包括单元划分、节点编号、单元编号、节点坐标计算、位移约束条件的确定②等效节点力的计算③刚度矩阵的计算④建立整体平衡方程，引入约束条件，求解节点位移⑤应力计算。

●平面问题几何方程：错误!未找到引用源。

例2-1如图2.6所示平面应力情形的直角三角形单元m j i ,,，直角边长均为a,厚度为t ，弹性模量为E ，泊松比为3.0=μ，求单元刚度矩阵。

解：（1）求B 。

→→单元面积(2)求D 。

（3）求S 。

（4）求e k 。

→ →例2—3 已知如图2.13(a ）所示的悬臂深梁，在右端面作用着均布拉力，其合力为P 。

采用如图2.13(b)所示简单网格，设3/1=μ,厚度为t,试求节点位移。

解：对于单元①，m j i ,,所对应节点1，2，3。

→本题属于平面应力问题，k 的系数为()329142Et A Et =-μ，则→单元贡献矩阵注意这儿的单元的上标代表单元的号码。

对于单元②，m j i ,,对应的节点1,3,4.单元贡献矩阵 总刚度矩阵为有了总体刚度矩阵后，再形成载荷列阵，即可得整体刚度方程，经约束处理后就可求解节点位移。

载荷列阵为位移列阵为 形成整体平衡方程位移约束条件为04411====v u v u （见图2.13b ），将此约束条件引入整体刚度方程，对其用“化1置0法”处理。