1曲线上一点处的切线
曲线的切线(详解)
曲线的切线(详解)曲线的切线一、基础知识：1、切线的定义：设P是曲线上的一点，Q是曲线上与P邻近的一点。
当点Q沿着曲线无限接近点P时，如果割线PQ有一个极限位置PT，那么直线PT就叫做曲线在点P处的切线。
2、函数y=f(x)在x=x0处可导，则曲线y=f(x)在点P处的切线方程是：y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)3、关于切线的几个问题：（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）（2）直线y=kx+b在其上一点P处有切线吗？（答：有，切线与直线重合）二、例题选讲：例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是（）（A）y=x3+sinx （B）y=x+cosx （C）y=xx+1 （D）y=|x|答：选D，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x0处可导⇒f(x)在x0处有切线，反之不成立f(x)在x0处不可导≠>f(x)在x0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
3例2 已知曲线y=。
x+33（1）求曲线在点P（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P（2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=04（2）设曲线与过点P的切线相切于点A（x0,1），则切线的斜率k=y'|x=x0=x0，x0+∴切线方程为y-(， 3x0+3)=x0(x-x0)3232∵点P(2,4)在切线上，∴4-( 3x0+3)=x0(2-x0)32解得x0=2或-1，故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线y=x+1引切线，试求切线的方程。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：1.曲线切线的基本概念2.求曲线切线的方法3.实例演示与应用正文：在数学和工程领域中，曲线切线是一个重要的概念。
切线是指在曲线上某一点，与该点处曲率相同的直线。
求曲线切线的方法有很多，本文将介绍几种常见的方法，并通过实例进行演示。
一、曲线切线的基本概念曲线切线是为了描述曲线在某一点处的局部性质而引入的概念。
在平面上，给定一条曲线C，设点P为曲线C上任意一点，点Q为曲线C上与点P 相邻的另一点，那么连接PQ的直线称为曲线C在点P处的切线。
切线的斜率等于曲线在点P处的曲率。
二、求曲线切线的方法1.斜率法求曲线切线的第一种方法是利用曲线在某一点的斜率。
对于一曲线上某点P（x，y），我们可以通过求该点前后相邻两点的斜率来得到切线的斜率。
斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，m为切线斜率，(x1, y1)和(x2, y2)为曲线上的两点。
2.导数法求曲线切线的另一种方法是利用曲线的导数。
对于一曲线的方程y =f(x)，我们可以求其在某一点处的导数，得到切线的斜率。
导数公式为：m = dy/dx |_(x=a)其中，m为切线斜率，a为曲线上的某一点。
3.切线方程法已知曲线方程y = f(x)，我们可以求出曲线在任意一点处的切线方程。
切线方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1, y1)为曲线上的某一点，m为切线斜率。
三、实例演示与应用1.实例一：求圆的切线已知圆的方程为x + y = r，其中r为半径。
设圆上两点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，求AB的切线方程。
解：首先求两点间的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
2.实例二：求椭圆的切线已知椭圆的方程为x/a + y/b = 1，求椭圆上某点的切线方程。
解：求椭圆在点P处的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
总之，求曲线切线的方法有很多，如斜率法、导数法和切线方程法等。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
空间曲线在一点处的切线方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t), y(t), z(t))$，则曲线在该点处的切向量为
$r'(t_0)=(x'(t_0), y'(t_0), z'(t_0))$，其中 $t_0$ 是曲线参数在该点处的取值。
2. 将切向量除以它的长度 $|r'(t_0)|$，得到单位切向量
$T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
3. 曲线在该点处的切线方程为 $r(t_0)+sT$，其中 $s$ 是实数。
空间曲线在一点处的法平面方程可以通过以下步骤求得：
1. 求出曲线在该点处的切向量，根据上面的求法，可以得到单位切向量 $T=\frac{r'(t_0)}{|r'(t_0)|}$。
2. 求出曲线在该点处的法向量，假设曲线的参数方程为
$r(t)=(x(t),y(t),z(t))$，则法向量为
$N=\frac{d^2r}{dt^2}|_{t=t_0}\times T$，其中 $\times$ 表示向量的叉积运算符。
3. 法平面方程为 $N\cdot(x,y,z)=(x_0,y_0,z_0)$，其中
$(x_0,y_0,z_0)$ 是曲线在该点处的一个点。
HPM视角下的“曲线上一点处的切线”教学
HPM视角下的“曲线上一点处的切线”教学*江苏省仪征中学(211400)邓迎春摘要切线概念的理解和掌握是微积分的基础,微积分的整个发展过程离不开本课涉及的“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想.笔者从HPM视角,用发生教学法来设计和实施“曲线上一点处的切线”的教学,让学生了解相关知识和思想的产生、发展过程,从而激发学生的学习兴趣,渗透数学文化,培养数学核心素养,增强人文情感.关键词切线;HPM;数学核心素养苏教版高中数学选修2-2第一章“导数及其应用”1.1.2的第一课时的内容是“曲线上一点处的切线”.此前,学生在必修2第二章“平面解析几何初步”的学习中对圆的切线有了认识,在选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”中又学习了圆锥曲线的切线,而在这一课时,教材从平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势出发,直接提出“如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?”这一问题,并通过不断放大曲线上一点P附近的图形,得到曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,该直线l是经过P的所有直线中最逼近曲线的一条直线,称为曲线在点P处的切线.教材这样直截了当地给出一般曲线的切线问题,进而引入导数的概念,尽管相当节约教学时间,但存在如下缺点:没有向学生阐明以前已经有了切线的定义,这节课为什么又来研究曲线在一点处的切线的必要性,不能让学生产生足够的学习动机;没有从学生已有的知识出发,学生感受不到知识的发生发展过程,对切线的现代定义会感到突兀、茫然,不易接受.《普通高中数学课程标准(2017年版)》指出:“在教学中,可以组织学生收集、阅读对微积分的创立和发展起重大作用的有关资料,包括一些重要历史人物(牛顿、莱布尼兹、柯西、魏尔斯特拉斯等)和事件,采取独立完成或者小组合作的方式,完成一篇有关微积分创立与发展的研究报告.”而切线概念的理解和掌握是微积分的基础,微积分的整个发展过程离不开本课涉及的“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想.基于此,考虑到教材略去了切线概念的历史背景,笔者从HPM视角,用发生教学法来设计和实施“曲线上一点处的切线”的教学,让学生了解相关知识和思想的产生、发展过程,从而激发学生的学习兴趣,渗透数学文化,培养数学核心素养,增强人文情感.1史料概括切线历史从古希腊到文艺复兴经历了近两千年.从数学史的角度看,从圆的切线概念开始,人们对曲线的切线的认识,大致经历了四个过程.1.1圆的切线公元前3世纪,古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》第3卷中将圆的切线定义为“与圆相遇,但延长后不与圆相交的直线”.他认为切线与圆的公共点个数为1,切线不能穿过圆,圆位于切线的同一侧,切线与圆周之间不能再插入其他直线,切线与圆心至切点连线垂直.1.2圆锥曲线的切线在欧几里得之后,古希腊著名数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线》中将圆的切线定义推广到圆锥曲线的切线.与欧几里得看待圆的切线方式类似,阿波罗尼斯是从以下几个角度分析的:圆锥曲线位于切线的同一侧,切线和圆锥曲线之间不能在插入其他直线,切线与直径相应纵坐标线平行.1.3螺线的切线阿基米德(公元前287-公元前212)将螺线的切线看作是与螺线只有一个公共点,且落在螺线之外的直线.《论螺线》命题13:“若一直线与螺线相切,则他与螺线只接触于一点.”这里的螺线是针对第一圈而言的.由此可见,和欧几里得、阿波罗尼斯类似,阿基米德仍然从“公共点的个数”的角度来看切线.1.4一般曲线的切线从公元前3世纪之后,长达1800多年的时间里,切线问题都没有什么实质性的进展,直到17世纪,数学家因为解决光学、运动学和几何学等问题才重新对切线问题进行深入的研究.17世纪法国数学家费马和笛卡尔分别给出了割线逼近切线和通过法线来求切线的方法.17世纪下叶,切线为割线之极限位置的思想已经成为数学家的共识,这样,人们对切线的认识才从几何直观阶段上升为分析阶段.2教学设计基于切线定义的产生和切线方法推导的历史背景和历史方法,我们可以拟定“曲线上一点处的切线”的教学目标:(1)从具体情境中抽象出切线模型,像数学家一样“再发*本文是江苏省中小学教学研究室第十二期教研立项课题“HPM视角下高中数学教学设计的实践研究”(2017JK12-L210)的阶段性成果”.现”“再创造”出切线的定义,体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想;(2)掌握用割线逼近切线的具体求解过程.在具体教学中,重构、借鉴切线定义产生和方法求解的历史,我们可以设计“圆的切线的定义”—“圆锥曲线切线的定义”—“一般曲线切线的定义”—“由形到数具体求解切线方程”的流程,并且用问题串的形式链接每个环节,引导学生积极发现,主动探究.3教学设计和实施3.1设置情境,激发兴趣问题1一束光线照射到光滑的玻璃球上一点,同学们能作出它的反射光线吗?问题2一个物体在水中随着水波做正弦运动,你能知道它在某一刻的运动方向吗?学生动手模拟作图,并分组讨论,老师点评.总结出上述问题都和曲线的切线有关,并介绍研究曲线的切线历史原因—–17世纪数学家遇到的三类问题.第一类是光的反射问题.早在公元1世纪,古希腊数学家海伦(Henon)就已经证明了光的反射定律:光射向平面时,入射角等于反射角.海伦还将该定律推广到圆弧的情形,此时入射光与反射光与圆弧的切线所成角相等.那么,对于其他曲线光是如何反射的呢?第二类是曲线运动的速度问题.对于直线运动,速度方向与位移方向相同或相反,但如何确定曲线运动的速度方向呢?第三类是曲线的交角问题.即如何求两条相交曲线所构成的角呢?这三大问题都需要确定曲线的切线.设计意图:创设情境是教学设计的重要内容之一.本节课笔者历史问题的引入,由已知的平面的反射引申到曲面的反射,由直线运动速度的方向引申到曲线运动某点速度的方向,引出本节课的课题,再辅以历史知识.M.克莱因所说:“历史是教学的指南”,要以史为镜,以史为鉴,教师有必要向学生介绍为什么需要研究曲线的切线的历史原因,首先,一门学科的历史知识乃是“使面包和黄油更加可口的蜂蜜”“有助于使该学科更具吸引力”(Cajori,1899),能够激发学生学习兴趣,使他们树立正确的价值观.其次,一门学科的历史是这门学科的教学指南,因为学生的理解具有历史相似性:“学生所遭遇的困难往往是相关学科的创建者经过长期思索和探讨后所克服的实际困难”(Cajori,1899).通过历史的解说,教师可以让学生明白:数学并不是一门枯燥呆板的学科,而是一门不断进步的生动有趣的学科.将数学史引入教学,可以激励、唤醒、鼓舞学生,激发学生的学习动力和好奇心,调动求知欲,发展创造思维,培养发现精神.同时,在问题情境中,需要用数学的眼光观察世界,将实际问题转化为数学问题,培养了学生数学建模的核心素养.3.2复习回顾,引出课题问题3我们已经学过哪些曲线的切线?又是如何定义的?学生自主回顾并回答:首先学习的是圆的切线,当直线和圆有且只有一个公共点时直线和圆相切,而这个定义已经不满足直线和圆锥曲线相切的定义.直线和双曲线的渐近线平行时,直线可能与双曲线有一个公共点,但这时不是相切,直线和抛物线的对称轴平行时,直线和抛物线也只有一个公共点,这时仍不是相切.教师总结,简单介绍切线的数学史并提问:与圆只有一个公共点的直线是圆的切线(欧几里得《几何原本》),与圆锥曲线有一个公共点且全在圆锥曲线之外的直线是圆锥曲线的切线(阿波罗尼斯《圆锥曲线论》).但这些特殊曲线的切线的定义能不能用来解决问题2中的正弦函数图像上某点的切线问题呢?由此,发现之前切线的定义已经不能满足一般曲线的需要,从而引出课题—–曲线上一点处的切线.设计意图:知识的产生和发展需要推动力,一方面是生产生活的需要,另一方面是知识内部发展的需要.切线的发展历史上经历了近1800年,而学生在之前已经学过了圆和圆锥曲线的切线,那今天为什么又要研究切线的必要性必须跟学生交待清楚,是因为要研究一般曲线的切线问题,但原先已有的切线定义已经不适合一般曲线的切线的定义,所以我们才需要进一步的研究和学习.通过回顾、发现问题再来研究新的知识,用数学的思维思考世界,在逻辑上和情感上学生都更容易接受.3.3大胆猜测,理性探究问题4问题1和2都和曲线上某点的切线有关,那如何做出曲线在该点处的切线呢?学生讨论,大胆猜想:利用转化和化归的思想,可否将曲线转化成直线?师提示(图片展示):联想“天圆地方”,在天空拍摄的地球是圆的,而我们所处的地域感觉是平的,问什么呢?学生受到启发:可以将曲线在某点处无限放大.教师利用多媒体展示曲线在点附近放大的图像.从图1来看:(1)曲线在点P附近看上去几乎成了直线l.(2)继续放大,曲线在点P 附近将逼近一条确定的直线l ,这条直线是过P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线.图1(3)在点P 附近可以用这条直线l 代替曲线(在很小的范围内以直代曲),那么可以用直线的斜率来刻画曲线经过点P 时上升或下降的“变化趋势”.问题5过点P 的直线有无数条,怎样找到曲线在过点P 处的最逼近曲线的直线l 呢?如图2,直线l 1,l 2为经过曲线上一点P 的两条直线.(1)试判断那一条直线在点P 附近更加逼近曲线?(2)在点P 附近能作出一条比l 1,l 2更加逼近曲线的直线l 3吗?(3)在点P 附近能作出一条比l 1,l 2,l 3更加逼近曲线的直线l 4吗?学生动手操作,并相互比对.设计意图本模块内容是本节课的思维重点.眼见为实,通过多媒体展示的曲线在其上一点P 处的逐渐放大的过程可以让学生体会曲线在很小范围内以直代曲的数学思想;动手成真,让学生通过观察、自主画图用割线斜率逼近切线斜率的方法作曲线在某点处的切线过程可以体会无限逼近的数学思想而割线斜率逼近切线斜率又是“以直代曲”的一种数量化.本模块中又借助了几何直观感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题,培养了学生直观想象的数学核心素养.本模块的处理只有学生的亲历,体悟才能深切.3.4意义建构,概念生成请同学抽象概括曲线上一点处的切线的定义,其余同学补充完善.切线的定义:如图3,设Q 为曲线C 上不同于P 的一点,这时,直线P Q 称为曲线的割线.随着点Q 沿曲线C 向点P 运动,割线P Q 在点P 附近越来越逼近曲线C .当点Q 无限逼近点P 时,直线P Q 最终成为在点P 处最逼近曲线的直线l ,这条直线l 称为曲线在点P 处的切线.学生活动(投影学生作品):(1)请同学用“割线逼近切线”的思想方法作出圆上一点P 处的切线.(2)请同学用“割线逼近切线”的思想方法作出问题2中,物体在正弦曲线上一点P 处的切线.并请学生自主、合作归纳总结本模块活动的意义:(1)用“割线逼近切线”的思想方法作出切线适合所有曲线;(2)作圆的切线时用“切线与圆心至切点连线垂直”这个更方便;(3)从切点个数看,切线与曲线的公共点的个数可以不止一个,而联系圆锥曲线,会发现当直线和曲线公共点个数只有一个时也不一定相切.教师点评:同学们归纳的很好.切线是割线无限逼近的,直线和曲线的公共点的个数可以用来判定之前的直线和圆,直线和椭圆的相切,但已经不能用于判定直线和一般曲线是否相切问题.切线的发展历史上经历了近1800年,从公元前3世纪圆的切线和圆锥曲线切线定义之后,又经过了1800多年,到17世纪,为了解决光学、运动学和几何学等问题,才重新对切线进行深入的研究,法国数学家费马和笛卡尔分别给出了割线逼近切线和通过法线来求切线的方法.17世纪下叶,切线为割线之极限位置的思想已经成为数学家的共识,这样,人们对切线的认识才从几何直观阶段上升为分析阶段.任何知识的产生、发展都不是一蹴而就、一帆风顺的,要经过不断地继承、发展和完善.图2图3图4设计意图1、概念生成过程中,很好的培养了学生数学抽象的核心素养;2、因为需要解决新问题而对某知识的进一步研究,从而产生新的理论,一般来说新的理论要满足两点:一是解决了新问题,二是还要满足老问题.本模块设计了两个学生活动,用新的思想方法解决了问题情境中提出的两个问题,得到一系列的结论,联系了旧知,又巩固了新知,潜移默化中发展了学生的问题意识和创新意识;3、教师点评时,介绍切线漫长、曲折的数学史,培养了学生对待数学知识正确的情感态度和价值观,有助于帮助学生形成理性思维和科学精神.3.5学以致用,巩固升华问题6我们从“形”的角度,采用割线无限逼近的方法找到了曲线在点P 处的切线l ,能否从“数”的角度求出切线呢?师生共同探讨解决问题.如图4,设曲线C 上一点P (x 0,f (x 0)),过点P 的一条割线交曲线C 于另一点Q (x 0+∆x,f (x 0+∆x )),则割线P Q的斜率为k P Q=f(x0+∆x)−f(x0)(x0+∆x)−x0=f(x0+∆x)−f(x0)∆x当点Q沿曲线C向点P运动,并无限靠近点P时,割线P Q逼近点P处的切线l,从而割线的斜率逼近切线l的斜率,即当∆x无限逼近于0时,f(x0+∆x)−f(x0)∆x无限逼近于点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.例1已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.学生分析:为求得过点(2,4)的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任一一条割线入手.教师规范板书:设P(2,4),Q (2+∆x,(2+∆x)2),则割线P Q的斜率为k P Q=(2+∆x)2−4∆x=4+∆x.当∆x无限趋近于0时,割线P Q斜率无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率为4.学生整理解题步骤(口答,其余同学补充):1、写出定点P(x0,f(x0))的坐标,设动点Q(x0+∆x,f(x0+∆x))的坐标;2、求出割线斜率k P Q=f(x0+∆x)−f(x0)(x0+∆x)−x0=f(x0+∆x)−f(x0)∆x3、化简割线斜率;4、当∆x无限趋近于0时,割线斜率“逼近”一个常数,即为切线斜率.设计意图数缺形时少直观,形少数时难入微.本模块从数的角度具体求曲线上一点处的切线.让学生用数学的语言表达世界,根据定义将文字语言转化为数学语言,符号语言,再通过例题的具体求解,总结出一般步骤,培养了学生数学抽象、逻辑推理、数学计算和直观想象的数学核心素养.3.6回顾反思师:请同学们回顾本节课的学习流程,反思本节课的学习收获.生:学习了切线一般化的概念,会求曲线在一点处的切线的斜率.生:学习了“以直代曲”“无限逼近”的数学思想,强化了“数形结合”,“特殊与一般”的数学思想.生:还了解了切线的历史,知道了它的发生发展过程.师:很好!同学们分别从本节课知识层面,思想方法层面和历史发展层面总结了本节课.那同学们觉得这节课之后还将学习哪些内容?生:研究较为复杂的函数图像在一点处的切线的斜率.生:求切线方程.生:已知切线上一点,但它不一定是切点,求切线方程.师:很不错.我们不仅看到现在,还能想象未来.曲线在一点处的切线的斜率是导数的几何意义,当然,我们高中阶段研究导数,主要目标是研究导数在函数中的应用,后面我们将学习利用导数处理函数的单调性、最值等问题.设计意图反思是对思维过程、思维结果进行再认识的检验过程,它是学习中不可或缺的重要环节.通过反思本节课的整个流程,在HPM的视角下,可以让学生不再是孤立的接受一个知识,而是将历史、现在,甚至未来连成一条线,动态地、整体地掌握.4教学反思4.1重视历史相似性的教学方法M.克莱因说:“我坚信历史顺序是教学的指南.”个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程,个体数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序,教育工作者的任务就是让孩子的思维经历其祖先之所经历,迅速通过某些阶段而不跳过任何阶段.切线的发展历史上大致经历了四个过程,从圆的切线,圆锥曲线的切线,螺线的切线到曲线的切线,而根据课本教材的顺序,也是大致按照这样一个过程,所以在教学时我们不妨基于历史的顺序,遵循学生已有的认知基础,用发生教学法来设计教学流程.4.2融合数学史,启用问题引领,让学生主动参与探究过程本节课共设计了6个主体问题.从历史问题引入本节课的关键词—切线,再回顾旧知发现圆的切线和圆锥曲线的切线的定义的局限性,创造学生的认知冲突,导出新知:如何解决一般曲线上一点处的切线,师生共同探索得到切线的定义,再解决疑惑,应用新知,问题环环相扣,层次清晰、逻辑性强,学生受到问题的引领和启发,不间断的思考,讨论,主动参与,积极探索,很大程度的调动了学生的主观能动性.学生在整个过程中,以一个研究者的角度,从已有知识出发,在历史的长河中充分感受到切线知识的产生和发展完善的过程,而在“再创造”的过程中,可以较为自然地接受切线的分析定义.参考文献[1]吴甬翔,汪晓勤.曲线的切线:从历史到课堂[J].高等理科教育,2009(3):38-43.[2]刘洪华.基本活动经验视角下“曲线上一点处的切线”[J].上海中学数学,2015(3):15-17.。
曲线的切线与法线
曲线的切线与法线曲线是数学中的一个重要概念，它描述了在平面上或者空间中由连续的点组成的线段。
在曲线的研究中，切线与法线是两个基本的概念。
本文将讨论曲线的切线与法线，并探讨它们在数学和实际应用中的重要性。
一、切线的定义与性质切线是曲线上某一点的一条特殊直线，它与曲线相切于该点。
切线的性质如下：1. 切线与曲线相切于一个点，在该点上切线与曲线的切点的切线斜率相等。
2. 切线在与曲线相切的点上与曲线的切线方向相同。
切线的斜率可以通过求曲线在该点的导数来计算。
给定一个曲线方程y = f(x)，点P(x0, y0)处的切线斜率可以通过计算f'(x0)来获得。
利用该斜率和点P，我们可以得到切线的方程。
二、法线的定义与性质法线是曲线上某一点的一条垂直于切线的直线。
法线的性质如下：1. 法线与切线垂直，即法线与切线的斜率互为倒数且乘积为-1。
2. 曲线上的每一点都有唯一的垂直于曲线的法线。
法线的斜率可以通过切线的斜率求得，再将其倒数取负即可。
我们可以利用法线的斜率和点P来得到法线的方程。
三、切线与法线的应用切线与法线在数学和实际应用中起着重要的作用。
1. 函数图像的性质分析：通过研究函数图像上每个点处的切线和法线，我们可以获得函数的增减性、拐点和极值等重要信息。
这对于理解函数的行为和解决相关问题非常有帮助。
2. 物体移动的分析：在物理学中，切线和法线被广泛用于分析物体的运动。
例如，当我们研究物体在曲线路径上的运动时，切线和法线可以帮助我们确定物体在每一点的速度和加速度的方向和大小。
3. 工程与建筑设计：在工程和建筑设计中，切线和法线的概念也具有重要意义。
例如，曲线道路的设计中，我们需要考虑车辆在各个点上的行驶方向，这可以通过曲线的切线方向得到。
同样地，在建筑设计中，法线可以被用来确定建筑物表面的法线方向，以确保光线的合理照明。
四、总结切线与法线是曲线研究中的重要概念，它们能够提供关于曲线性质和物体运动的重要信息。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
∵，∴曲线在点处的切线斜率为，所求的切线方程为，即﹒
2. 已知曲线上一点，求过点的曲线的切线方程﹒
这种类型容易出错，一般学生误认为点一定为切点，事实上可能存在过点而点不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为，先求出函数的导数，再将代入求出，即得切线的斜率（用表示），写出切线方程=，再将点坐标代入切线方程得=，求出，最后将代入方程=求出切线方程﹒
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒xx
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒
1.已知曲线上一点，求曲线在该点处的切线方程﹒
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数的导数，再将代入求出，即得切线的斜率，后写出切线方程=，并化简﹒
例1求曲线在点处的切线方程﹒
3. 已知曲线外一点，求过点作的曲线的切线方程﹒
这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒
例3 过原点作曲线的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
解：由题设知原点不在曲线上，设切点坐标为， ，切线斜率为（），切线方程为：
﹒
又知切线过点，把它代入上述方程，得
﹒
整理得： ﹒
解得，或﹒
所求切线方程为：或﹒
练习：1.求曲线在点处的切线方程﹒
2. 求过曲线上的点的切线方程﹒
3.过点作抛物线的切线，求切线方程﹒
答案：1.；2.或；3.或﹒
例2求过曲线上的点的切线方程﹒
解：设切点为点，，切线斜率为，
切线方程为﹒
又知切线过点，把它代入上Leabharlann 方程，得﹒解得，或﹒
所求切线方程为，或，即，或﹒
高二数学曲线上一点处的切线
高一数学复习考点知识讲解课件41---曲线上一点处的切线
高一数学复习考点知识讲解课件5.1.2瞬时变化率——导数第1课时曲线上一点处的切线考点知识1.了解以直代曲的数学思想，体会利用无限逼近的思想把曲线上两点的割线逼近为某点的切线的过程.2.会求函数在某点处的切线方程．导语“天圆地方”是我国先哲们认识世界的思维方式，几千年的社会实践证明了它的正确性，尤其体现在古代中国的建筑和钱币上，而反映到我们数学上，则是以直代曲，无限逼近的数学思想，比如我国古代刘徽在运用“割圆术”求圆的周长时，在圆内作正多边形，用正多边形的周长无限逼近圆的周长，这是最早出现的“以直代曲”的例子，今天让我们一起来探究如何通过利用直线或直线段来近似代替曲线或曲线段，并以此来研究曲线的某些性质．一、以直代曲问题1如图，我们把一条曲线上的任意一点P附近的图象不断放大，观察有何现象出现？提示当不断放大时，曲线在点P附近的图象逼近一条确定的直线，即在很小的范围内，曲线可以看作直线，这就是以直代曲的思想．例1刘徽是我国魏晋时期杰出的数学家，他采用了以直代曲、无限趋近、内夹外逼的思想，创立了割圆术，如图是半径为1尺的圆内接正六边形，若用该正六边形的面积近似代替圆的面积，则该圆的面积的近似值为_________．答案33 2解析S正六边形＝6×34＝332.反思感悟以直代曲思想用来研究函数的局部性质，重在体会“无限逼近”，“量变到质变”，“近似与精确”的思想．跟踪训练1已知函数f(x)的部分图象如图所示．若把曲线AB近似地看成线段，则图中阴影部分的面积近似为________．答案3 2解析若把曲线AB近似看成线段，则阴影部分的面积近似为直角三角形的面积S＝1 2×1×3＝3 2.二、曲线的割线和切线问题2如图，过P 作割线PQ ，当点Q 逐渐向P 靠近时，有何现象出现？提示割线PQ 在点P 附近越来越逼近该曲线，当点Q 无限逼近点P 时，直线PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线l ，此时称这条直线l 为曲线在点P 处的切线． 知识梳理名称割线切线斜率设曲线C 上一点P (x ，f (x ))，另一点Q (x ＋Δx ，f (x ＋Δx ))，则割线PQ 的斜率为k PQ ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx当点Q 沿曲线C 向点P 运动，并无限靠近点P 时，割线PQ 逼近点P 的切线l ，从而割线的斜率逼近切线l 的斜率，即当Δx 无限趋近于0时，f (x ＋Δx )－f (x )Δx 无限趋近于点P (x ，f (x ))处的切线的斜率例2已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是______；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是______． 答案54.1解析当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1.反思感悟一条直线与一条曲线有两个公共点，我们就说这条直线是这条曲线的割线，当这两个点不断靠近，并重合为一个点时，这条直线就变成了这条曲线的切线． 跟踪训练2过曲线y ＝2x 上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为________． 答案122－2解析由平均变化率的计算公式及几何意义，可得过两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为k ＝2－11－0＝1.同理，过两点(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2的割线的斜率为k ＝2－112－0＝22－2.三、切线的斜率例3已知曲线y ＝13x 3＋43.求曲线在点P (2,4)处的切线方程． 解∵点P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上， Δy Δx ＝13(2＋Δx )3＋43－13×23－43Δx ＝4·Δx ＋2(Δx )2＋13(Δx )3Δx＝4＋2·Δx ＋13(Δx )2，当Δx无限趋近于0，ΔyΔx无限趋近于4，∴在点P(2,4)处的切线的斜率为4，∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.反思感悟根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线在某点处的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近的常数．跟踪训练3(1)已知曲线y＝f(x)＝2x2＋4x在点P处的切线的斜率为16，则点P坐标为________．答案(3,30)解析设点P坐标为(x0，y0)，则f(x0＋Δx)－f(x0)(x0＋Δx)－x0＝2(Δx)2＋4x0Δx＋4ΔxΔx＝4x0＋4＋2Δx.当Δx无限趋近于0时，4x0＋4＋2Δx无限趋近于4x0＋4，因此4x0＋4＝16，即x0＝3，所以y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30.即点P坐标为(3,30)．(2)已知曲线y＝f(x)＝3x2－x，求曲线在点A(1,2)处的切线的斜率及切线方程．解设A(1,2)，B(1＋Δx，f(1＋Δx))，则k AB＝3(1＋Δx)2－(1＋Δx)－2Δx＝5＋3Δx，当Δx无限趋近于0时，5＋3Δx无限趋近于5，所以曲线y＝3x2－x在点A(1,2)处的切线斜率是5.切线方程为y－2＝5(x－1)，即5x－y－3＝0.1．知识清单：(1)以直代曲．(2)曲线的割线和切线．(3)求曲线在一点处的切线．2．方法归纳：局部以直代曲、无限逼近的思想．3．常见误区：不能正确理解用割线无限逼近切线的思想．1．函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的切线斜率为()A．－2B．－1C．1D．2 答案B解析因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝－Δx1＋Δx ，所以ΔyΔx ＝－11＋Δx， 所以当Δx 趋近于0时，ΔyΔx 趋近于－1. 故函数f (x )在x ＝1处的切线斜率为－1.2．抛物线y ＝x 2在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的倾斜角是()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案B解析∵点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14在抛物线y ＝x 2上，Δy Δx ＝⎝⎛⎭⎪⎫12＋Δx 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫122Δx＝1＋Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于1，∴在点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14处的切线的斜率为1，故倾斜角为45°.3．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线斜率为12a ，则实数a 的值是() A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案B解析Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )3－x 3Δx＝3x 2＋3Δx ·x ＋(Δx )2，因为当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx 无限趋近于3x 2， 所以曲线在点(2,8)处切线的斜率k ＝12， 所以12a ＝12，即a ＝1.4．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB的斜率为________． 答案－16解析由函数的解析式有Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋Δx －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝12＋Δx －12＝－Δx 2(2＋Δx )，则Δy Δx ＝－Δx2(2＋Δx )Δx ＝－12(2＋Δx ).当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为k ＝－12(2＋Δx )＝－12(2＋1)＝－16.课时对点练1．已知函数f (x )的图象如图所示，A (x 0，y 0)在曲线上，x 0∈[2,2＋Δx ]且Δx 无限趋近于0，则在A 点处的切线斜率近似为()A ．f (2)B ．f (2＋Δx ) C.f (2＋Δx )－f (2)Δx D ．f (x 0)答案C解析由两点割线的斜率，当Δx 无限趋近于0时，函数f (x )在A 点处的切线斜率近似为f (2＋Δx )－f (2)Δx.2．已知抛物线y ＝14x 2，抛物线上有一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q 是抛物线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为()A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()Δx 2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ，14()Δx ＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫Δx ，14()1＋Δx 2 答案C解析当x ＝1＋Δx 时，y ＝14(1＋Δx )2.3．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A ，B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则割线AB 的斜率为() A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.1 答案B解析f (1)＝5，f (1.3)＝5.69.∴k AB ＝f (1.3)－f (1)1.3－1＝5.69－50.3＝2.3.4．近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中之一就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务Q .已知房产供应量Q 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，供应效率(单位时间的供应量)逐步提高的是()答案B解析单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应是一直下凹的．5．已知点P ()－1，1为曲线上的一点，PQ 为曲线的割线，当Δx 无限趋近于0时，若k PQ 无限趋近于－2，则在点P 处的切线方程为() A ．y ＝－2x ＋1B ．y ＝－2x －1 C ．y ＝－2x ＋3D ．y ＝－2x －2 答案B解析根据题意可知，在点P 处切线的斜率为－2，所以在点P 处的切线方程为y －1＝－2(x ＋1)，整理可得y ＝－2x －1.6．曲线y ＝－1x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是() A ．y ＝x －2B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2答案C解析因为Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x (x ＋Δx )， 所以Δy Δx ＝1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限接近于0时，Δy Δx 无限接近于1x 2，所以函数在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率是k ＝4， 所以切线方程为y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 7．当h 无限趋近于0时，(4＋h )2－42h 无限趋近于______，4＋h －4h无限趋近于________．答案814解析(4＋h )2－42h＝8h ＋h 2h ＝8＋h ， 当h 无限趋近于0时，8＋h 无限趋近于8.4＋h －4h ＝4＋h －4h (4＋h ＋4)＝14＋h ＋4， 当h 无限趋近于0时，14＋h ＋4无限趋近于14.8．过曲线y ＝x 2上两点A ()2，4和B ()2＋Δx ，4＋Δy 作割线，当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率为______．答案4.1解析k AB ＝Δy Δx ＝()Δx ＋22－22Δx ＝()Δx 2＋4Δx Δx＝Δx ＋4， 所以当Δx ＝0.1时，AB 的斜率为4.1.9．求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的方程．解设点B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))，则割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ， 当Δx 无限接近于0时，函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝－3，又f (2)＝－22＋2＝－2，所以切线的方程为y －(－2)＝－3(x －2)，即3x ＋y －4＝0.10．求曲线y ＝x 在点(1,1)处的切线方程． 解∵点(1,1)在曲线y ＝x 上，Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1，当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于12，∴在点(1,1)处切线的斜率为12，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.11．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则()A ．k 1<k 2<k 3B ．k 2<k 1<k 3C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2答案A解析k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7， ∴k 1<k 2<k 3.12．若曲线y ＝ax 2在x ＝a 处的切线与直线2x －y －1＝0平行，则a 等于()A ．－1B ．1C ．－1或1D ．－12或1答案A解析根据题意得Δy Δx ＝a (a ＋Δx )2－a ·a 2Δx ＝2a 2＋a ·Δx ，当Δx 无限接近于0时， 2a 2＝2，∴a ＝±1，当a ＝1时，y ＝x 2，切点是(1,1)，切线的斜率k ＝2，故切线方程是y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0和直线2x －y －1＝0重合，故a ＝－1.13．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为()A ．(2,2)B ．(2，－2)C ．(－2,2)D ．(－2，－2)答案B解析设切点坐标为(x 0，y 0)，Δy Δx ＝(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－(x 20－3x 0)Δx ＝(Δx )2＋2x 0Δx －3Δx Δx＝Δx ＋2x 0－3， 当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近于2x 0－3，即k ＝2x 0－3＝1，解得x0＝2，y0＝x20－3x0＝4－6＝－2.故切点坐标为(2，－2)．14．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程为________________．答案3x－y－11＝0解析设切点为P(x0，y0)，在点P处的切线斜率为k，Δy Δx＝(x0＋Δx)3＋3(x0＋Δx)2＋6(x0＋Δx)－10－(x30＋3x20＋6x0－10)Δx＝3x20＋6x0＋6＋(Δx)2＋(3x0＋3)Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x20＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.所以k＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时，k有最小值3，此时点P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.15．若函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝________.答案1 4解析根据题意，Δy Δx ＝a(x＋Δx)2＋1－ax2－1Δx＝2a·x·Δx＋a·(Δx)2Δx＝2ax＋a·Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，且y0＝ax20＋1，y0＝x0，解得a＝14.16．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求直线l1，l2与x轴所围成的三角形的面积．解(1)ΔyΔx＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－2－(x2＋x－2)Δx＝2x＋1＋Δx，当Δx无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2x＋1，∴直线l1的斜率k1＝3，∴直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2与曲线y＝x2＋x－2相切于点P(x0，x20＋x0－2)，则直线l2的方程为y－(x20＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x0)．∵l1⊥l2，∴3(2x0＋1)＝－1，解得x0＝－2 3.∴直线l2的方程为y＝－13x－229，即3x＋9y＋22＝0.(2)解方程组⎩⎨⎧ y ＝3x －3，y ＝－13x －229，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝16，y ＝－52.又∵直线l 1，l 2与x 轴的交点坐标分别为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，0， ∴所求三角形的面积为S ＝12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋223＝12512.。
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4.如图,已知曲线
1 3 8 y = x 上一点 P (2, , ) 求: 3 3
(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
y
k =4 12x 3 y 16 = 0
-2 -1
4 3 2 1 O -1 -2
注： （1）切线是割线的极限位置，切线 的斜率是割线斜率一个极限. （2）若割线在P点有极限位置，则在 此点有切线,且切线是唯一的;如不存 在,则在此点处无切线;
ห้องสมุดไป่ตู้1: 求曲线y=f(x)=x2+1在 点P(1,2)处的切线的斜率.
解：设 P1,2)
Q 1 + x, 1 + x) + 1 则割线PQ的斜率 2 1 + x ) + 1 2 k PQ = x
2
)
y = x +1
2
y
Q
y
P x
无限趋近于常数２，从而曲线 在点Ｐ处的切线斜率为２
当 x 无限趋近于０时，k PQ
= 2 + x
M
1
-1 O
j
x
1
１. 求曲线y = x 在点P(1， 1)处
2
的切线的斜率及点 P处的 切线方程.
k =2 y = 2x 1
1. 函数y = 2 x + 1,当x增加x时, y增加了( D )
A.x A.x + x A.2x + 1 A.2x
2. Pc, f x1 )), Qx2 , f x2 ))是曲线y = f x )上的两 f x2 ) f x1 ) 点, 且x1 x2 , 则割线PQ的斜率为 x x
2 1
3. 若曲线y = f x )过Pm, f m )), Qn, f n ))n m )两点的割
2
)
= 2 x0 + x
切线方程是 12x 4 y 9 = 0
（1）能从极限的角度理解曲线在点P 处切线的定义； （2）能求曲线在点P处切线的斜率及 方程；
1、课本
P６５ 习题４
2、新课标 P１０８ －P１０９
2 y = 2 x + 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求 备用:已知曲线 过点P的切线的倾斜角和切线方程.
x 0
4 + x 2(1 + x )2 + 2 + 2
=
4 = 1. 21+ 2 + 2
K P = tana = 1,a = 45 , 即 过P点 切 线 的 倾 斜 角 等 于45 .
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
1 y = 3 上一点P(1,-1)处的切线方程. x
y 解 : K P = lim , 而y = f (1 + x ) f (1) = 2(1 + x )2 + 2 2, x 0 x
2(1 + x )2 + 2 2 y 4x + 2( x )2 lim = lim = lim x 0 x x 0 x 0 x x[ 2(1 + x )2 + 2 + 2] = lim
y=
1 3 x 3
P
x 1 2
5. 设曲线y = x 2在点P处的切线斜率为 3，求点P的
坐标和切线方程
解: 设点P的坐标为 x0 , x0
x
x y 所以当 x趋向于 0时， 趋向于 2 x0 x 3 3 9 2 x0 = 3, x0 = , 切点坐标为 , 2 2 4
x0 + x )2 x0 2 ) = 2 x0 x + x )2
苏教版数学选修1-1
3.1 曲线上一点处的切线
求曲线y=f(x)在点P(x0, y0)处的切线的斜率。 设曲线C是函数y=f(x)的图象,在曲线C上取一点 Px0 , f x0 ))
及邻近的一点 Qx0 + x, f x0 + x)) ，过P、Q两点作割线， 并过P点作x轴的平行线MP、过Q点作y轴的平行线MQ， 那么
T
切线
P x
o
Px, f x )) 是曲线 如图，曲线C是函数 f x ) 的图象， C上的任意一点， Qx + x, f x + x)) 为P邻近一点， PQ为C的割线， 则割线ＰＱ的的斜率为
f x + x ) f x ) k PQ = x + x ) x f x + x ) f x ) = x y = x = t an
MP = x, MQ = y,
y
y=f(x) f(x0+x) Q Q Q
Δy
M
T
f(x0) O
P
)))) )a x0
Δx
x0+x
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P,即Δ x无限 趋近于0时,若割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直 线PT称为曲线在点P处的切线.
y y=f(x)
Q
割 线
y
y=f(x)
Q
Δy
P O
β
Δx
M x
当点Ｑ沿曲线Ｃ向点Ｐ运动，并 无限靠近点Ｐ时，割线ＰＱ逼近 点Ｐ的切线L,从而割线的斜率逼 近切线的斜率．
y y=f(x)
即：当Δx无限趋近于0时
Q
f ( x0 + x) f ( x0 ) x
无限趋近于点P处的切线的斜率.
O P
Δy
Δx
M x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
答案:y=3x-4.
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ 绕着点P逐渐转动的情况.
y y=f(x)
Q
割 线
T
切线
P
a
x
o