利用公式法求二次曲线上一点处的切线方程
导数典型例题讲解
资料一 ：导数.知识点1．导数的概念例1．已知曲线yP (0, 0)，求过点P的切线方程·解析：如图，按切线的定义，当x →0时，割线PQ 的极限位置是y 轴（此时斜率不存在），因此过P 点的切线方程是x =0. 例2．求曲线y ＝x 2在点(2，4)处的切线方程·解析：∵ y =x 2, ∴ ∆y =(x 0＋∆x )2－x 02＝2x 0∆x ＋(∆x )2 =4∆x ＋(∆x )2∴ k ＝00limlim (4)4x x yx x ∆→∆→∆=+∆=∆. ∴ 曲线y ＝x 2在点(2，4)处切线方程为y －4＝4(x －2)即4x －y －4＝0. 例3．物体的运动方程是 S ＝1＋t ＋t 2，其中 S 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在t ＝5秒时的瞬时速度及物体在一段时间[5，5＋∆t ]内相应的平均速度．解析：∵ S =1+t +t 2, ∴ ∆S =1+(t +∆t )+(t +∆t )2－(1+t +t 2)=2t ·∆t +∆t +(∆t )2,∴21St t t∆=++∆∆, 即()21v t t t =++∆, ∴ (5)11v t =∆+, 即在[5，5＋∆t ]的一段时间内平均速度为(∆t ＋11)米／秒∴ v (t )=S ’＝00limlim(21)21t t St t t t ∆→∆→∆=++∆=+∆ 即v (5)＝2×5＋1＝11.∴ 物体在t ＝5秒时的瞬时速度是11米／秒． 例4．利用导数的定义求函数yx =1处的导数。
解析：∆y1=, ∴ y x ∆∆, ∴ 0limx y x ∆→∆∆=1lim 2x ∆→=-.例5．已知函数f (x )=21sin 00x x xx ⎧≠⎪⎨⎪=⎩, 求函数f (x )在点x ＝0处的导数解析：由已知f (x )=0，即f (x )在x =0处有定义，∆y =f (0+∆x )－f (0)=21()sin x x∆∆,y x∆∆=1sin x x ∆⋅∆, 0lim x yx ∆→∆∆=01lim sin x x x ∆→∆⋅∆=0, 即 f ’(0)＝0.∴ 函数f (x )在x ＝0处导数为0.例6．已知函数f (x )=21(1)121(1)12x x x x ⎧+⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩≤, 判断f (x )在x ＝1处是否可导？解析：f (1)=1, 20001[(1)1]112lim lim lim (1)12x x x x y x x x ---∆→∆→∆→+∆+-∆==+∆=∆∆,001(11)112lim lim 2x x x y x x ++∆→∆→+∆+-∆==∆∆, ∵00lim lim x x y y x x -+∆→∆→∆∆≠∆∆, ∴ 函数y =f (x )在x ＝1处不可导． 例7．已知函数 y ＝2x 3＋3，求 y ’.解析：∵ y =2x 3+3, ∴ ∆y =2(x +∆x )3+3－(2x 3+3)=6x 2·∆x +6x ·(∆x )2+2(∆x )3,∴ y x∆∆=6x 2+6x ·∆x +2(∆x )2, ∴ y ’=0lim x y x ∆→∆∆=6x 2.例8．已知曲线y ＝2x 3＋3上一点P ，P 点横坐标为x ＝1，求点P 处的切线方程和法线方程．解析：∵ x =1, ∴ y =5, P 点的坐标为(1, 5), 利用例7的结论知函数的导数为y ’=6x 2,∴ y ’1|x =＝6, ∴ 曲线在P 点处的切线方程为y －5＝6(x －1) 即6x －y －1＝0, 又曲线在P 点处法线的斜率为－61， ∴ 曲线在P 点处法线方程为y －5＝－61( x －1)，即 6y ＋x －31＝0. 例9．抛物线y ＝x 2在哪一点处切线平行于直线y ＝4x －5？解析：∵ y ’=0lim x yx ∆→∆∆=220()lim2x x x x x x∆→+∆-=∆, 令2x ＝4．∴ x =2, y ＝4, 即在点P (2，4)处切线平行于直线y ＝4x －5.例10．设mt ≠0，f (x )在x 0处可导，求下列极限值(1) 000()()lim x f x m x f x x ∆→-∆-∆； (2) 000()()lim x x f x f x t x∆→∆+-∆.解析：要将所求极限值转化为导数f ’(x 0)定义中的极限形式。
函数的导数与曲线的切线与法线
函数的导数与曲线的切线与法线函数的导数是微积分中的核心概念之一，它与曲线的切线和法线密切相关。
本文将介绍导数的定义、计算方法以及如何利用导数求曲线的切线和法线。
一、导数的定义与计算方法导数表示函数在某一点上的变化率，可以理解为函数曲线在该点处的斜率。
定义如下：设函数f(x)在点x处有定义，则f(x)在该点处的导数为：f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h ，其中 h -> 0导数的计算方法有很多种，常见的包括利用基本导数公式、几何意义和导数的性质等。
以下将介绍几种常见的计算方法：1. 基本导数公式：常数的导数为零，幂函数的导数为幂次减一乘以系数，指数函数的导数为自身乘以自然对数的底数等。
2. 和、差、积、商法则：利用导数的性质，将函数分解后进行求导。
3. 高阶导数：指函数的导数再求导，可以重复多次。
4. 链式法则：用于求复合函数的导数，将复合函数分解为一层一层的函数，再利用导数的性质进行计算。
二、曲线的切线与法线曲线的切线是指曲线上某一点处与曲线最为接近的直线，而法线则是与切线垂直的直线。
在图像上，切线与曲线之间只有一个交点，而法线与曲线只有一个公共点。
曲线的切线方程可以通过导数求得。
对于函数f(x)，若点(x0, f(x0))处的导数存在，则切线的斜率为f'(x0)，通过点斜式或斜截式可以求得切线的方程。
曲线的法线方程可以通过切线方程和导数求得。
由于法线与切线垂直，故切线的斜率与法线的斜率的乘积为-1。
因此，法线的斜率为-1/f'(x0)，通过点斜式或斜截式可以求得法线的方程。
三、利用导数求曲线的切线与法线利用导数求曲线的切线与法线的过程一般如下：1. 给定函数f(x)和点(x0, f(x0))。
2. 求导数f'(x)。
3. 计算f'(x0)的值，得到切线的斜率。
4. 利用切线的斜率和给定点(x0, f(x0))，使用点斜式或斜截式得到切线方程。
曲线的切线和法面、密切面
§1.2 曲线的切向量、切线和法面、密切平面假设))(),(),(()(t z t y t x t r = 中的三个分量具有我们所需要的各阶导数。
一、 切向量的定义及求法对曲线进行研究，从曲线的割线及割线的极限入手。
（1）定义 如图给出曲线Γ上一点P ， 点Q 是曲线Γ上邻近P 的一点，经过P 和Q 的直线称为曲线的一条割线。
当Q 点沿着曲线Γ趋近于P 点时，若割线PQ 趋近于一定的位置，则我们把这个割线PQ 的极限位置z z xy )(t t r ∆+ )(t r称为曲线在P 点处的切线。
而定点P 叫做切点。
直观上看，切线是通过P 点的所有直线当中最贴近曲线的直线。
设曲线Γ的参数方程是()r r t =，),(βα∈t 。
设)(t r 是该曲线上的一点，记为P ，),(βα∈t ，给t 一个增量t ∆， 考虑曲线上的另外一点)(t t r ∆+记 ()P r t =，()Q r t t =+∆ ；则有()()PQ r t t r t =+∆-，在割线PQ 上作向量PR ，使得()()r t t r t PR t+∆-=∆；当Q P →（即0t ∆→）时， 如果t r∆∆ 有着确定的极限， 则0()()lim lim Q P t r t t r t PR t →∆→+∆-=∆， 根据曲线的切线的定义，那么这个极限就是切线上的一向量，称它为曲线在点()P r t =处的切向量。
也就是说，定义t t r t t r t r t t ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 为曲线的切向量，用)(t r ' 来表示。
（2）切向量的求法因为())()(),()(),()(1)()(t z t t z t y t t y t x t t x tt t r t t r -∆+-∆+-∆+∆=∆-∆+⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+∆-∆+∆-∆+=t t z t t z t t y t t y t t x t t x )()(,)()(,)()(， 令0→∆t 得()),(,)(),(),()(βα∈'''='t t z t y t x t r 。
求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程
题目：求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程【内容】1. 求曲线在指定点处的切线方程是解析几何中常见的问题，它涉及到对曲线的切线的性质和方程的推导。
2. 具体而言，当我们要求曲线在某一点处的切线方程时，首先需要求出该点的切线斜率，然后根据切线的一般方程或者斜截式方程来构建切线方程。
3. 不仅如此，对于曲面而言，我们也可以求出曲面在指定点处的法平面方程。
法平面是与曲面在某一点的法向量垂直，并通过该点的平面，求解法平面方程同样需要根据指定点的法向量和点法式方程来进行推导。
4. 将求切线方程和法平面方程的具体数学步骤和公式应用到解析几何的实际问题中，可以帮助我们更深入地理解曲线和曲面的性质，同时也为求解相关问题提供了可靠的数学工具。
5. 在解析几何学习中，我们经常会遇到各种曲线和曲面在指定点处的切线方程和法平面方程的求解问题，下面我们将结合具体的示例来演示求解的过程和技巧。
【结构】1. 概述：讨论求曲线在指定点处的切线方程和曲面法平面方程的重要性和意义。
2. 切线方程的推导：介绍求解曲线在指定点处的切线方程的一般步骤和方法。
3. 切线方程的应用实例：通过具体的例子演示求解切线方程的过程和技巧。
4. 法平面方程的推导：介绍求解曲面在指定点处的法平面方程的一般步骤和方法。
5. 法平面方程的应用实例：通过具体的例子演示求解法平面方程的过程和技巧。
6. 结论：总结本文涉及的内容，强调求解曲线和曲面方程的重要性和应用价值。
7. 参考文献：列出本文涉及的参考文献和相关资料来源。
【概述】求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要问题。
切线方程和法平面方程的求解不仅涉及基本的数学原理和公式，同时也需要灵活运用数学推理和几何思维。
下面将介绍切线方程和法平面方程的求解方法，并结合具体例子加以说明。
【切线方程的推导】1. 切线方程的一般形式：y = kx + b2. 求曲线在指定点处的切线斜率：k = f'(x0)3. 利用切线的一般方程或斜截式方程构建切线方程：y - y0 = k(x - x0) 或 y = k(x - x0) + y0【切线方程的应用实例】示例1：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
空间曲线的切线与法平面公式
空间曲线的切线与法平面公式空间曲线的切线与法平面公式在几何学中，空间曲线是指在三维坐标系中的曲线。
对于空间曲线上的一点，我们可以通过求取该点处的切线和法平面来描述曲线的性质和特征。
切线是指与曲线相切且方向与曲线在该点处相切的线段。
切线的存在使得我们能够研究曲线在该点处的切向性质。
对于空间曲线上的点 P(x_0, y_0, z_0)，其切线可以通过求取曲线的导数来获得。
设曲线的参数方程为 x = f(t)，y = g(t)，z = h(t)，其中 t是参数。
我们可以通过对 t 求导得到曲线在该点处的切向量 (dx/dt, dy/dt, dz/dt)。
切点 P 在曲线上的切线向量可以表示为 (dx/dt,dy/dt, dz/dt)|_(x=x_0, y=y_0, z=z_0)。
这个向量可以用来表示切线的方向和斜率。
根据切线向量的定义，我们可以计算出切线的一般方程。
设 M(x, y, z) 是曲线上的一点，并且切点 P(x_0, y_0, z_0) 在曲线上。
那么切线的一般方程可以表示为：(x - x_0) / (dx/dt) = (y - y_0) / (dy/dt) = (z - z_0) / (dz/dt)其中，dx/dt，dy/dt，dz/dt 分别表示曲线在 P 点处的方向导数。
这一表达式可以帮助我们找到曲线上任意一点处的切线。
除了切线，法平面是另一个重要的概念。
法平面是与切线垂直的平面，它与切线相交于曲线上的一点。
通过求取曲线的法向量，我们可以得到法平面的方程。
如果曲线是光滑且参数化的，我们可以通过求取切线向量的两个非零向量的叉乘来获得法向量。
设切线向量为 T，那么法向量可以表示为N = T × T'，其中 T' 是关于参数 t 的导数向量。
这样，法平面的一般方程可以表示为：N · (r - r_0) = 0其中 N 是法向量，r 是平面上一点的位置向量，r_0 是曲线上一点的位置向量。
2020年新高考数学复习一条特殊的线--函数的切线专题解析
2020年新高考数学复习一条特殊的线--函数的切线专题解析基础知识回顾:（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B ，并使B 沿曲线不断接近A 。
这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。
（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。
例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。
（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。
对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。
例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +∆+∆，则割线AB 斜率为：()()()()()000000ABf x x f x f x x f x k x x x x +∆-+∆-==+∆-∆当B 无限接近A 时，即x ∆接近于零，∴直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000lim x f x x f x k x∆→+∆-=∆,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x x∆→+∆-==∆。
空间曲线在某点的切线方程的多种解法
科技风 2021 年 4 月DOI ： 10.19392/j. cnki. 1671-7341.202110020空间曲线在某点的切线方程的多种解法张雪飞宫雷王素云陆军装甲兵学院基础部北京100072摘要:本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧，指出了六种常见的计算思路,如参数方程法，公式法，隐函数求导法，边隐函数求导边代入点的方法，利用切平面的法向量的向量积来求切向量。
除此之外，切线仍可看作两个相交曲面在该点的切平面的交线。
结合相关的题目用不同的方法作出解答。
关键词：切线方程;公式法；隐函数求导;切平面的法向量；向量积空间光滑曲线在点5处的切线为此点处割线的极限位 置，过点5与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面。
如果要求空间曲线在某点的切线和法平面，由于已知点，最关 键的是找到切线的切向量，也就是法平面的法向量。
要求切 线的切向量，根据空间曲线的给岀形式是参数方程的形式还是一般方程的形式，来找到相应的求解切向量(法平面的法 向量)的方法。
一、基本知识(一)曲线方程为参数方程的情况设空间曲线为(：6="(7 ,y=#(7 ,z=$(7，其中t 为参数。
设 t = 7 对应点 5(6，8，9)，t = 7+% 对应点 5：6+%:，割线55,的方程为：匹==%^ =三9，在方程的分母同时%%%应的参数式方程为r=="6)19 #(6)o曲线上一点5(60 ,=0,9)处的切向量为科1,筹斜=卜埒第 M [，或. M M J者写成这种形式:，弓O ，曾竿1 ｝当 $(=,9 $(9,6) $(6,=). 5 5 m J作公式来记忆$则在点5(6 ,=0,9 )有切线方程：除以％，令%#0,得切线方程乞■=芳矢=-^7$此处要求"(=)，#( = )，$：=)不全为0$如个别为0,则理解为分子为0$切线的方向向量T= ("： = ),#( = ),$： = ))称为曲线 的切向量。
五种方法解二次曲线的切线问题，理解应用这些公式你离学霸不远了
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题型：已知焦点在x轴上的椭圆与直线2x+3y-10=0相切，且离心率为√3/2，求此椭圆方程
这里给出五种方法求解，几乎每种都代表着不同的方法，这些方法中蕴含着丰富的知识，同学们好好研究一下，对你们的学习非常有帮助呢！
解法一：（判别式法）
初等数学中，二次曲线的切线问题源于判别式，且利用判别式还可得出有关切线的某些性质、公式或定理。
解法二：。
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利用公式法求二次曲线上一点处的切线方程
发表时间：2013-03-13T14:35:32.233Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2012年第24期供稿作者：费谏章[导读] 依据高等数学知识，本文谈论了利用公式法求二次曲线上一点处的切线方程的一般方法及具体操作要领。
费谏章
摘要：依据高等数学知识，本文谈论了利用公式法求二次曲线上一点处的切线方程的一般方法及具体操作要领。
关键词：猜想；证明；应用；算法在高中数学中，求二次曲线的切线方程是一类重要题型。
该题型分为两种：一种是求经过曲线上一点处的切线方程；另一种是求经过曲线外一点的切线方程。
下面，笔者将结合高等数学的相关知识探索出一个公式，并运用该公式求解第一种问题，同时给出解决该问题的一般算法步骤。
一、猜想公式
这就是所求的切线方程。
小结：相比教材上的常规解法，利用本文中的公式法，求经过二次曲线上一点处的切线方程，其方法简洁明快，而且还与切线的斜率是否存在丝毫无关。
这就是所求的切线方程。
小结：对于含有项的二次曲线，利用本文中的公式法，求经过二次曲线上一点处的切线方程，方法过程简便、快捷，与常规解题方法相比，更具优越性。
四、算法步骤
3.化简：对替换后的式子进行化简；
4.作答：明确地做出结论。
总而言之，通过对以上四种方法的归纳总结，我们可以很容易地看到解决此类数学问题时应掌握的方法技巧。
因此，笔者呼吁广大数学教师在自己的教学中应积极地探索一些巧妙的解题规律，从而培养自己多角度思维的能力。
作者简介：费谏章，陕西省高中数学特级教师。
有十余篇教育教学论文先后在省、市级教育专业刊物上公开发表。
作者单位：陕西省石泉中学
邮政编码：725200。