圆锥曲线的切线方程总结
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
圆锥曲线的切线方程
圆锥曲线的切线方程点击此处添加副标题作者：鲜海东微信：xhd143848832211),(1),()0(13))(())((),())(())((),(),()()(2),(),(1202022220020200022222000020000002222000020000222=+=+=+=+=--+--=--+--=-+-=+=+=+by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x r b y b y a x a x M y x M rb y b y a x a x y x M y x M r b y a x r y y x x M y x M r y y x x y x M r y x 弦所在直线方程为：点的引切线有两条，过两切的外部时，过在椭圆当切线方程为：上一点＞＞：过椭圆结论所在直线方程：点切线有两条：切点弦在圆外，过若切线方程：则过一点为圆上，若的方程：：若圆心不在原点，圆结论。
弦所在直线方程为，过两切点的点引切线有且只有两条在圆外时，过当。
的切线方程为上一点：经过圆结论。
两点的直线方程为、所以过两切点，满足直线现观察以上两个等式，发、以有是两条切线的交点，所。
又因、：两点的切线方程分别为、可知过由为引两条切线，切点分别外一点＞＞（）设过椭圆（即由点斜式得切线方程为，得求导，得的两边对）大学隐函数求导）（证明：11),(),,(.11),(11)1().,(),,(),()0121),(,02211(20202020221120220220120100222221212211002222202000202002020222222=+=+=+=+=+=+=+=+--==--==='='+=+b y y a x x B A b y y a x x y x B y x A b y y a x x b y y a x x y x M b y y a x x b y y a x x B A y x B y x A y x M b a by a x by y a x x x x y a x b y y y a x b x x y b y y a x x b y a x)(),()0(2);(),()0(2)2()(),()0(2);(),()0(2)1(511),(1),()00(140000200002000020000220202222002020002222y y p x x y x M p py x y y p x x y x M p py x x x p y y y x M p px y x x p y y y x M p px y by y a x x M b y a x y x M by y a x x y x M b a b y a x +==+==+==+===-=-=-=-弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线弦所在直线方程为的引两条切线，过两切点的外部一点＞过抛物线切线方程为上一点＞过抛物线：结论。
圆锥曲线中的切线问题
圆锥曲线中的切线问题过曲线上一点P(x o ,y o )的切线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以双曲线为例.442222020220220420222022022020242022202222202022222020)(4)1)(b a x (4)2(,012)b a x (x .11.11b a b a a y x b x a x b y b y a x b y y y b y b y ax b y y a x x b y a x b y y a x x ---=---=∆=-+--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-得消去①式平方后除以②式，，，.0012222202202220220，即证，所以，得又=∆=--=-b a b a y a x b b y a x 过曲线外一点P(x o ,y o )作曲线的切线，切点A 、B ，过切点A 、B 的直线方程(焦点在x 轴上)：圆：200r b)-b)(y -(y a)-a)(x -(x =+；椭圆：12020=+b y y a x x ;双曲线：12020=-b y y a x x ;抛物线：)(00x x p y y +=.证明：以椭圆为例.设切点),(),,(2211y x B y x A ，以A ，B 为切点的直线方程分别为.1122222121=+=+b y y a x x b y y a x x ，若两切线均是P(x o ,y o )点引出的，即两切线均过点P ，则有.112022********=+=+by y ax x by y ax x ，可知点),(),,(2211y x B y x A 均在直线12020=+b y y a x x 上，所以过切点A ，B 的直线方程为12020=+by y a x x .即证.思考１．（2021全国乙卷）已知抛物线C ：x 2=2py(y>0)的焦点为F ，且点F 与圆M ：x 2+(y+4)2=1上的点最小值为4.(1)求p ；(2)若点P 在M 上，PA ，PB 是C 的两条切线，A ，B 是切点，求PAB ∆面积的最大值．).520;2(最大值为=p 解：(1)焦点坐标为(0,2p )，于4142p=-+是得到p=2;(2)设P(x 0,y 0)，切点为),(),,(2211y x B y x A ，设过点),(11y x A 的方程为x 1x=2(y+y 1)，联立x 2=4y ，化为关于x 的一元二次方程X 2-2x 1x+4y 1=0，得0=∆，所以x 1x=2(y+y 1)是抛物线上过A 的切线方程,同理可得x 2x=2(y+y 2)是抛物线上过B 点的切线方程.于是过P(x 0,y 0)作抛物线的切线，则过切点A ，B 的方程为x 0x=2(y+y 0)，联立抛物线方程消去y 得X 2-2x 0x+4y 0=0，4|4|d AB P 16441||200200202+-=-+=x y x y x x AB 的距离到，点.520S -5)35(151221S 4-114)4(214|4|1644121d ||21S PAB 00020PAB 2020202030202002002020PAB取最小值为时，当，）（，于是）（而所以∆∆∆=-≤≤----=+==++-=+--+=⋅=y y y y y x y x y x x y x y x x AB ２．已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|=2，点M 在直线x=-2上运动，线段MF 2与椭圆相交于N ，当NF 1⊥x 轴时，直线MF 2的斜率的绝对值为42.(1)求椭圆方程；(2)设P 是椭圆上一点，直线PF 1的斜率与直线MF 2的斜率之积为31-，证明直线MP 始终与椭圆相切.（1222=+y x ）解：(1).12.2,0122,,22,22,422222222221=+==--=-====y x a a a c b a a b c c a b k NF MF 所以得所以又得为通径的一半，所以（2）设P(x 0,y 0)，M(-2,y 1)，设过P 的直线方程为1200=+y y xx ，联立椭圆方程消去x 得，.0,12,884024)2(20202020204020022020=∆=+-+=∆=-+-+所以而，y x x y x x x y y y x y .3131,31.121000021-=-⋅+-=⋅=+y x y k k y y x x MF PF 即由是椭圆的切线方程所以.MP .12M )1,2(M ,10000001与椭圆相切即证明直线满足椭圆的切线切线，点于是点=++-+=y y xx y x y x y。
圆锥曲线切线方程的五种求法
圆锥曲线切线方程的五种求法切线对于研究圆锥曲线的性质具有十分重要的作用，中学阶段常用的求圆锥曲线的切线方程的方法主要有以下五种：一、向量法在求圆的切线时，可以利用圆心和切点的连线垂直于切线以及向量的内积运算来求。
例1.已知圆0的方程是(x-a ) 2+ (y-b ) 2=r2，求经过圆上一点M(x0, y0)的圆的切线I的方程.解：设所求切线I上任意一点N的坐标是(x, y)由已知得：点0的坐标是(a，b)，且M的坐标是(x0，y0)，值得注意的是：此种方法只对于椭圆问题有效.三、判别式法也可以利用一元二次方程根的判别式来求圆锥曲线的切线方程，这种方法也是中学阶段的常用方法之一.例 3. 求经过点M( 2， 1 )的双曲线：x2-2y2=2 的切线I 的方程.将它代入方程x2-2y2=2 中整理得：( 2k2-1 )x2-4k ( 2k-1 )x+( 8k2-8k+4 ) =0，由已知得：△ =[-4k (2k-1 ) ]2-4 (2k2-1 ) (8k2-8k+4 ) =0, 解得：k=1，故所求切线I的方程为：y=x- (2X1 -1 ), 即：x-y-1=0.四、导数法新教材中介绍了微积分的初步知识，我们也可把圆锥曲线的方程看作关于x 的隐函数，利用导数求圆锥曲线的切线方程：例 4. 此处仍以上面的例 3 为例.解：对方程：x2-2y2=2 两边都取关于x 的导数，得：2x-4yy' =0,•••过点M(2, 1)的双曲线x2-2y2=2的切线I的方程为：x-y-1=0.五、几何法通过对椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质的研究，我们知道：若焦点为F1、F2的椭圆或双曲线上有一点M则/F1MF2的平分线一定与圆锥曲线相切；又若焦点为F的抛物线上有一点M, 过M作准线的垂线，垂足为N,贝U FN的中点P与M的连线PM必与抛物线相切。
据此，我们也可以将圆锥曲线的切线先用几何方法做出来，然后再求出切线的方程：例 5. 求抛物线C：y2=8x 上经过点M( 8，8)的切线I 的方程.解：由抛物线C的方程可得其焦点F为(2, 0),准线方程为：x=-2 ，过点M(8, 8)作准线的垂线，设垂足为N,贝U N的坐标是( -2 , 8),又设FN的中点为P,则P的坐标为(0, 4),。
专题14 圆锥曲线的切线问题
专题14 圆锥曲线的切线问题一、结论圆锥曲线的切线问题常用方法有几何法，代数法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题，也可以联立直线与圆的方程根据0∆=来求解；比如涉及到椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据0∆=来求解； 对于抛物线的切线问题，可以联立，有时也可以通过求导来求解. 而对于这些圆锥曲线也常常存在一些特殊的求切线公式：1.过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.2.过椭圆22221x y a b+=上一点00(,)P x y 的切线方程为00221x x y ya b +=.3.已知点00(,)M x y ,抛物线C :22(0)y px p =≠和直线l :00()y y p x x =+.(1)当点00(,)M x y 在抛物线C 上时,直线l 与抛物线C 相切,其中M 为切点,l 为切线. (2)当点00(,)M x y 在抛物线C 外时,直线l 与抛物线C 相交,其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线,即直线l 为切点弦所在的直线.(3)当点00(,)M x y 在抛物线C 内时,直线l 与抛物线C 相离.二、典型例题1．（2021·安徽·六安一中高二期末（文））已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，则椭圆在其上一点()00,A x y 处的切线方程为00221x x y y a b +=，试运用该性质解决以下问题；椭圆221:12x C y +=，点B 为1C 在第一象限中的任意一点，过B 作1C 的切线l ，l 分别与x 轴和y 轴的正半轴交于,C D 两点，则OCD 面积的最小值为（ ）A ．1 BCD ．2【答案】C 【详解】设1111(,),(0,0)B x y x y >>，由题意得，过点B 的切线l 的方程为：1112x xy y +=， 令0y =，可得12(,0)C x ，令0x =，可得11(0,)D y ，所以OCD 面积111112112S x y x y =⨯⨯=，又点B 在椭圆上，所以221112x y +=，所以121111121111122x y S x y x y x x y y +===+≥=当且仅当11112x yy x =，即111,x y = 所以OCD故选：C【反思】过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点()00,A x y 作切线，切线方程为：00221x x y ya b+=，该结论可以在小题中直接使用，但是在解答题中，需先证后用，所以在解答题中不建议直接使用该公式.2．（2020·江西吉安·高二期末（文））已知过圆锥曲线221x y m n+=上一点()00,P x y 的切线方程为001x x y y m n +=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A −作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（ ） A ．30x y −−= B ．-20x y += C ．2330x y +−= D ．3100x y −−=【答案】B 【详解】过椭圆221124x y +=上的点()3, 1A −的切线l 的方程为()31124y x −+=，即40x y −−=，切线l的斜率为1.与直线l 垂直的直线的斜率为-1，过A 点且与直线l 垂直的直线方程为()13y x +=−−，即20x y +−=. 故选：B【反思】根据题中信息，直接代入公式，但是在代入切线方程为001x x y ym n+=注意不要带错，通过对比本题信息，12m =，4n =，03x =，01y =−，将这些数字代入公式，可求出切线l ，再利用直线垂直的性质求解.3．（2022·江苏南通·一模）过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线交坐标轴于点A 、B ，则PA PB ⋅=_________.【答案】2− 【详解】圆C 的圆心为()0,0C ，10110CP k −==−， 因为22112+=，则点P 在圆C 上，所以，PC AB ⊥，所以，直线AB 的斜率为1AB k =−，故直线AB 的方程为()11y x −=−−，即20x y +−=， 直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.另解：过圆C :222()()x a y b R −+−=上一点00(,)P x y 的切线方程为200()()()()x a x a y b y b R −−+−−=.可知01x =，01y =；0a b ==，22R =,代入计算得到过点()1,1P 作圆22:2C x y +=的切线为：(10)(0)(10)(0)2x y −−+−−=，整理得：20x y +−=，直线20x y +−=交x 轴于点()2,0A ，交y 轴于点()0,2B ， 所以，()1,1PA =−，()1,1PB =−，因此，112PA PB ⋅=−−=−. 故答案为：2−.【反思】本题中提供了常规方法和使用二级结论的解法，特别提醒同学们，二级结论的公式代入数字时，最忌讳代入错误，所以需要特别仔细。
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结
圆锥曲线的切线与法线方程求解技巧总结圆锥曲线是数学中的重要概念，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在解析几何和微积分中，求解圆锥曲线的切线和法线方程是一个基本的技巧。
本文将总结一些解决这类问题的常见方法和技巧。
一、椭圆的切线与法线方程求解椭圆是一个非常常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，其中 a 和 b 分别为椭圆的长轴与短轴。
求解椭圆的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点首先，我们需要确定切点的坐标。
可以通过将直线 y = kx + c 代入椭圆方程，并解得 x 和 y 关于 k 和 c 的方程组。
解这个方程组即可得到切点的坐标。
2. 求解切线方程在得到切点的坐标后，我们可以使用常见的切线公式 y - y0 = k(x - x0) 来求解切线方程。
其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程切线的斜率 k 和切点的坐标 (x0, y0) 可以通过对椭圆方程求偏导数得到。
设斜率 k1 为切线斜率，斜率 k2 为法线斜率，斜率之间的关系为 k1 * k2 = -1。
因此，我们可以通过斜率 k1 和切点 (x0, y0) 来求解法线方程。
二、双曲线的切线与法线方程求解双曲线是另一种常见的圆锥曲线，其方程为 x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1。
求解双曲线的切线和法线方程的步骤如下：1. 确定切点与椭圆类似，我们首先需要确定切点的坐标。
代入直线 y = kx + c 到双曲线方程中，并解得切点的坐标。
2. 求解切线方程切线方程的求解过程与椭圆类似，使用公式 y - y0 = k(x - x0)，其中 (x0, y0) 为切点的坐标，k 为斜率。
3. 求解法线方程双曲线的法线也满足斜率 k1 和斜率 k2 的关系为 k1 * k2 = -1。
通过切线方程的斜率 k1 和切点的坐标 (x0, y0)，可以求得法线方程。
三、抛物线的切线与法线方程求解抛物线是圆锥曲线中的另一种重要类型，其方程为 y^2 = 2px，其中p 为抛物线的焦点到准线的距离。
圆锥曲线的切线方程的三种求法
圆锥曲线的切线方程问题侧重于考查圆锥曲线的性质、标准方程以及直线方程的几种形式.此类问题的难度一般不大，对同学们的抽象思维和分析能力的要求较高.下面主要探讨一下求圆锥曲线的切线方程的三种方法.一、向量法在求圆的切线方程时，可巧妙利用圆心和切点的连线垂直于切线的性质来建立关系式.在运用向量法解题时，可先给各条线段赋予方向，求得各条直线的方向向量，然后根据“互相垂直的两个向量的数量积为0”的性质建立圆心、切点、切线之间的关系式，从而求得切线的方向向量以及直线的方程.例1.已知圆O的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的圆的切线l的方程.解：设切线l上任意一点N的坐标是（x，y）.由(x-a)2+(y-b)2=r2得点O的坐标是(a,b)，所以OM=(x0-a，y0-b)， MN=(x-x0，y-y0).又因为OM∙MN=0，即[(x-a)-(x0-a)](x0-a)+[(y-b)-(y0-b)](y0-b)=0,所以过圆上的点M(x0,y0)的圆的切线l的方程是：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=[(x0-a)2+(y0-b)2]，所以l的方程：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.由已知圆的方程与圆上一点的坐标，可得出圆心的坐标，再设出切线上任意一点N的坐标，即可得到与切线垂直的向量，根据向量运算便可求得切线的方程.二、导数法我们知道，导数的几何意义是：该函数曲线在某一点上的切线的斜率，那么在求圆锥曲线的切线方程时，可对曲线的方程进行求导，便可得到曲线在切点处切线的斜率或切点的坐标，根据直线的点斜式方程即可求得切线的方程.例2.设A，B为曲线C：y=x24上两点，A与B的横坐标之和为4.设M为曲线C：y=x24上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AB⊥BM，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1≠x2，y1=x124，y2=x224，x1+x2=4，于是直线AB的斜率为k=y1-y2x-x=x1+x24=1.由y=x24，得y，=x2.设M(x3,y3)，由题意可知：x32=1，解得x3=2，则M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m，故线段AB的中点为N(2,2-m)，||MN=||m+1，将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16()m+1>0，即当m>-1时，x1=2+2m+1或x2=2-2m+1，从而可得||AB=2||x1-x2=42(m+1)，由||AB=2||MN得42(m+1)=2(m+1)，解得m=7，所以直线AB的方程为y=x+7.在求得直线AB的斜率后，便可运用导数法对抛物线的方程求导，得出M点的坐标，再根据韦达定理和弦长公式求得切线的方程.三、几何性质法在解答圆锥曲线问题时，我们经常要用到椭圆、双曲线以及抛物线的几何性质，并结合几何图形，如三角形、梯形、平行四边形的性质来解题.采用几何性质法，关键要根据题意绘制出几何图形，明确各个点、直线、曲线的位置关系，然后运用几何性质来解题.例3.求抛物线C：y2=8x上经过点M（8,8）的切线l的方程.解：由抛物线C：y2=8x可得其焦点F为(2,0)，准线方程为：x=-2，过点M(8,8)作准线的垂线，设垂足为N，则N的坐标为(-2,8)，又设FN的中点为P，则P的坐标为(0,4)，故直线PM的方程为：y=8-48x+4，即x-2y+8=0，所以切线l的方程是：x-2y+8=0.我们根据抛物线的几何性质作出准线，根据图形明确各点、曲线、切线的位置，根据点、直线之间的位置关系以及中点坐标公式建立关系式，求得切线的斜率与方程.相比较而言，几何性质法和导数法比较常用，运用几何性质法和向量法解题过程中的运算量较小.在求圆锥曲线的切线方程时，同学们要结合图形来解题，这样不仅能降低解题的难度，还能提升解题的效率.（作者单位：江苏省阜宁中学）周红芹解题宝典40。
圆锥曲线的切线方程求解方法总结
圆锥曲线的切线方程求解方法总结圆锥曲线是代数几何中的重要概念，指由一个平面与一个锥体相交而产生的曲线。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线，它们在数学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将总结圆锥曲线切线方程的求解方法，并以椭圆、抛物线和双曲线为例进行说明。
一、椭圆的切线方程求解方法椭圆是一个平面上的闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
对于椭圆上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1（其中a和b为椭圆的半长轴和半短轴），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对椭圆方程两边求导，得到2x/a^2 + 2y/b^2 * y' = 0。
然后将点P的坐标代入，得到x0/a^2 + y0/b^2 * y' = 0。
最后将此式变形为y' = -x0 * a^2 / (y0 * b^2)，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解椭圆的切线方程。
设椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上的轨迹为OP。
设P点的坐标为(x0, y0)，则PF1和PF2的距离之和等于2a，即PF1 + PF2 = 2a。
又根据焦点和点到直线的距离公式，可得切线所在直线与轴的交点Q的坐标为(a^2/x0, b^2/y0)，进而得到切线方程的解析式。
二、抛物线的切线方程求解方法抛物线是一个平面上的开口曲线，其形状类似于抛物形。
对于抛物线上的一点P，我们要求解的是通过该点的切线方程。
方法1：使用微积分方法求解抛物线的切线方程。
设抛物线的标准方程为y^2 = 2px（其中p为抛物线的焦点到顶点的距离），点P的坐标为(x0, y0)。
首先对抛物线方程两边求导，得到2yy' = 2p。
然后将点P的坐标代入，得到y0 * y' = p。
最后将此式变形为y' = p / y0，即为所求的切线方程。
方法2：使用解析几何方法求解抛物线的切线方程。
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运用联想探究圆锥曲线的切线方程
现行人教版统编教材高中数学第二册上、第75页例题2，给出了经过圆2
22r y x =+上
一点),(00y x M 的切线方程为2
00r y y x x =+；当),(00y x M 在圆外时，过M 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为2
00r y y x x =+。
那么，在圆锥曲线中，又
将如何？我们不妨进行几个联想。
联想一：（1）过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 上一点),(00y x M 切线方程为
1202
0=+b
y y a x x ；（2）当),(00y x M 在椭圆122
22=+b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=+b
y
y a x x
证明：（1）2222
1x y a b +=的两边对x 求导，得22220x yy a b
'
+=，得020
2
x x b x y a y ='=-，由点斜式得切线方程为20
0020
()b x y y x x a y -=--，即22000022221x x y y x y a b a b +=+= 。
（2）设过椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 外一点),(00y x M 引两条切线，切点分别
为),(11y x A 、),(22y x B 。
由（1）可知过A 、B 两点的切线方程分别为：12121=+b y
y a x x 、
12222=+b y
y a x x 。
又因),(0
0y x M 是两条切线的交点，所以有1201201=+b y y a x x 、120
2202=+b y y a x x 。
观察以上两个等式，发现),(11y x A 、),(22y x B 满足直线12020=+b y y a x x ，所以过两切点A 、B 两点的直线方程为12020=+b
y
y a x x 。
评注：因),(00y x M 在椭圆)0(12222>>=+b a b
y
a x 上的位置（在椭圆上或椭圆
外）的不同，同一方程12020=+b
y
y a x x 表示直线的几何意义亦不同。
联想二：（1）过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上一点),(00y x M 切线方程为
1202
0=-b
y y a x x ；（2）当),(00y x M 在双曲线122
22=-b y a x 的外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：12020=-b
y
y a x x 。
（证明同上）
联想三：（1）过圆锥曲线2
2
0Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）上的点
),(00y x M 的切线方程为00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++=；（2）当
),(00y x M 在圆锥曲线220Ax Cy Dx Ey F ++++=（A ，C 不全为零）的外部时，过M
引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++= 证明：（1）两边对x 求导，得220Ax Cyy D Ey ''+++=
得0
0022x x Ax D y Cy E =+'
=-
+，由点斜式得切线方程为00002()2Ax D
y y x x Cy E
+-=-
-+ 化简得22
00000022220Cy y Cy Ey Ey Ax x Dx Ax Dx -+-++--=………………….① 因为22
00000Ax Cy Dx Ey F ++++=………………………………………………… ②
由①－②×2可求得切线方程为：00
00022
x x y y Ax x Cy y D E F ++++++= （2）同联想一（2）可证。
结论亦成立。
根据前面的特点和圆上点的切线方程，得到规律：过曲线上的点),(00y x M 的切线方程为：把原方程中的2
x 用0x x 代换，2
y 用0y y 代换。
若原方程中含有x 或y 的一次项，把x 用
02x x +代换，y 用0
2
y y +代换，得到的方程即为过该点的切线方程。
当点),(00y x M 在曲线外部时，过M 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
00
00022
x x y y Ax x Cy y D
E F ++++++= 通过以上联想可得出以下几个推论：
推论1：（1）过抛物线)0(22
>=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +=；（2）过抛物线)0(22>=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条切
线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +=
推论2：（1）过抛物线)0(22
>-=p px y 上一点),(00y x M 切线方程为)(00x x p y y +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p px y 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00x x p y y +-=。
推论3：（1）过抛物线)0(22
>=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。
推论4：（1）过抛物线)0(22
>-=p py x 上一点),(00y x M 切线方程为)(00y y p x x +-=；（2）过抛物线)0(22>-=p py x 的外部一点),(00y x M 引两条
切线，过两切点的弦所在直线方程为：)(00y y p x x +-=。
在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果。