圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用

张生

引例 给定圆2

22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明：

（1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2

00))(())((r b y b y a x a x =--+--；

（2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程

为2

00))(())((r b y b y a x a x =--+--。

高考链接

3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12

）作圆22

+=1x y 的切线，

切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

【答案】22

154

x y += （2013山东）过点(3,1)作圆

22

(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为

（ ）

A ．230x y +-=

B ．230x y --=

C ．430x y --=

D ．430x y +-=

【答案】A

过点)4,3(P 作圆1:2

2

=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b

a 2

1+的最小值为 。6411+

过椭圆14

92

2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ∆的面积的最小值为 。

3

2

已知椭圆)1(12222>>=+b a b

y a x ，圆2

22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P

引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴y 轴分别交于点N M ,，则

=+2

222||||OM b ON a 。22

b

a 探究1 给定椭圆122

22=+b

y a x 和点),(00y x P ，证明：

（1）若点P 在椭圆上，则过点P 椭圆的切线方程为

12020=+b

y

y a x x ； （2）若点P 在椭圆外，设过点P 所作椭圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为

12020=+b

y

y a x x 。 （2012福建）如图,椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左焦点为1F ,

右焦点为2F ,离心率1

2

e =

.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆E 的方程.

(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相较于点

Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,

求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.

（2009安徽）点

00(,)

P x y 在椭圆

22

22

1(0)x y a b a b +=>>上，

00cos ,sin ,0.2

x a y b π

βββ==<<

直线2l 与直线00

122

:

1x y l x y a b +=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.

（I ）证明: 点P 是椭圆22

221x y a b

+=与直线1l 的唯一交点；

（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。

（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数

列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。

解：（I ）（方法一）由00221x y x y a b +=得22

020

(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,

得2222

20024222000

21()(1)0b x b x b x x a a y a y y +-+-=.

将00cos sin x a y b ββ

=⎧⎨=⎩代入上式,得2222cos cos 0,x a x a ββ-⋅+=从而cos .x a β= 因此,方程组22

22

002211

x y a b x y x y a

b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩,即直线1l 与椭圆有唯一交点P.

(方法二)显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的交点，代入1l 的方程

cos sin 1x y a b

ββ

+=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+= 即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。

（方法三）在第一象限内，由22221x y a b +=

可得0y y ==

椭圆在点P

处的切线斜率20

020

(),b x k y x a y '===-

切线方程为20

0020

(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y a b +=。

因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。

根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。 探究2

给定抛物线)0(22

>=p py x 和点),(00y x P ，证明：

（1）若点P 在抛物线上，则过点P 椭圆的切线方程为000=--py py x x ；

（2）若点P 在抛物线外，设过点P 所作抛物线的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为000=--py py x x 。

链接高考：（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线2

2x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分