圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用
第10讲：圆锥曲线的切线
第12讲：圆锥曲线的切线不管是哪一种圆锥曲线的切线，其本质都是圆锥曲线与直线只有一个交点，即联立圆锥曲线方程与直线方程所得到的一元二次方程有且仅有一个根，即0=∆，相信这对于大家来说都不是问题，在这里我们对圆锥曲线的切线做一些总结，以方便大家在最短的时间内解决题目。
（一）椭圆的切线：①12222=+b y a x 在点P(00,y x )处的切线方程为12020=+by y a x x ②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为12121=+by y a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222m b k a =+例：已知P 为椭圆13422=+y x 上一动点，求点P 到直线062=--y x 的最小值与最大值。
（二）双曲线的切线：①1-2222=by a x 在点P(00,y x )处的切线方程为1-2020=b y y a x x②过椭圆外一点Q （11,y x ）可以做椭圆的两条切线，两切点所在的直线方程为1-2121=byy a x x ③直线m kx y +=与椭圆12222=+by a x 相切时，满足2222-m b k a =（三）抛物线的切线：①py x 22=上某点P （00,y x ）的切线斜率为p x k 0=,点P(px x 2,20)，则切线方程为p x x x p x y 2)(2000+-= ，即pxp x x y 2200-=，通过观察我们知道: 与x 轴的交点为)0,2(x ，切线与x 轴的截距为切点处横坐标的一半， 与y 轴的交点为)2-,0(20px ，在y 轴上的截距为切点纵坐标的相反数。
②A （11,y x ），B （22,y x ）均在抛物线py x 22=上，请推证A 、B 处两切线及其两切线的交点坐标。
A 点处切线p x p x x y 2211-=B 点处切线pxp x x y 2222-=两条切线的焦点坐标（1212,22x x x x p+） 我们发现：i 、两切线的交点横坐标为两个切点的中点M 的横坐标 ii 、根据前面弦长知识点可知，直线与抛物线的两个交点满足：122x x pb =-(b 为直线与对称轴的截距)，那么我们得到：两切线的交点纵坐标(12222x x pbb p p-==-)与直线与对称轴的截距互为相反数 延伸一：过抛物线对称轴上一点(0,b)做直线与抛物线相交于A 、B 两点，过A 、B 分别做抛物线的切线，两切线相交于点Q ，通过几何画板作图我们发现：不论直线绕P(0,b)如何旋转，两切线的交点的纵坐标恒为-b证明：令过P 的直线为y kx b =+，221212(,),(,)22x x A x B x p p联立22x pyy kx b ⎧=⎨=+⎩得122x x pb =-设A 点处切线pxp x x y 2211-=, B 点处切线p x p x x y 2222-=则两条切线的焦点坐标Q （1212,22x x x x p+） ∴12222Q x x pby b p p -===- 证 毕延伸二、过点Q (,)a b （22b pa <）做抛物线的两条切线分别切抛物线于点A 、B ， 直线AB 与y 轴的截距为-b斜率22121212222ABx x x x a p p k x x p p-+===- ∴切点弦方程为：ay x b p=-③对于焦点在x 轴上的抛物线，求切线一般联立方程，利用0=∆求解。
高考高频考点(圆锥曲线)3、圆的切线、切点弦结论
第3讲 圆的切线、切点弦结论知识与方法1求过圆()()222:C x a y b r −+−=上一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证经过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆C 相切，若是，如图1所示，所求切线为0x x =，问题求解完毕；若否，则进行下一步；（2）设切线斜率为k ，如图2所示，由PC ⊥切线，求出k ，用点斜式写出切线的方程，问题求解完毕.上述问题的结论：圆C 上点P 处的切线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=. 2求过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 的圆C 的切线的步骤如下：（1）先验证过点P 且垂直于x 轴的直线是否和圆相切，若是，如图3所示，其中一条切线为0x x =（2）设切线的斜率为k ，用点斜式写出切线的方程，由圆心到切线的距离d r =，解出k ，求得切线方程.3.过圆()()222:C x a y b r −+−=外一点()00,P x y 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，如图4所示，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()200x a x a y b y b r −−+−−=典型例题【例l 】圆()22:14C x y −+=在点(P 处的切线方程为______.【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为()()0114x −−=，化简得：30x +=.【答案】30x +=变式1 圆22:230C x y x +−−=在点(2,P 处的切线方程为______.【解析】易验证点P 在圆C 上，故所求切线的方程为222302xx +−−⋅−=，化简得：50x −=【反思】过圆C 上的点()00,P x y 作圆C 的切线，则切线的方程可以在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到.【答案】50x −=变式2 已知圆()22:14C x y −+=，则：（1）圆C 的过点()2,0P −的切线方程为_______；（2）圆C 的过点()3,1Q 的切线方程为_______ 【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线2x =−与圆C 不相切， 故可设切线的方程为()2y k x =+，即20kx y k −+=2=，解得：k =，故圆C 的过点P 的切线方程为)25y x =±+； （2）易得过点Q 且斜率不存在的直线3x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()13y m x −=−，即130mx y m −+−=2=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()3134y x −=−−，化简得：34130x y +−=， 综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为3x =或34130x y +−=.【答案】（1）)2y x =+；（2）3x =或34130x y +−= 【例2】已知圆22:4O x y +=外一点()2,3P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为_______【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为234x y +=，即2340x y +−= 【答案】2340x y +−=变式1 已知圆22:2410C x y x y +−−+=外一点()2,1P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为212241022x yx y −++−+−⋅−⋅+= 化简得：310x y +−=【反思】过圆C 外的点()00,P x y 作圆C 的两条切线，则切点弦所在直线的方程，可在圆C 的一般式方程中将2x 换成0x x ，将2y 换成0y y ，将x 换成02x x +，将y 换成02y y+得到. 【答案】310x y +−=变式2 已知圆22:4Q x y +=，P 为直线:4l y x =+上一点，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PAOB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PAOB 的面积122S AP AO =⨯⋅=由题意，12=，解得:PO =由题意，点P 在直线:4l y x =+上，故可设(),4P m m +，则PO == 解得：6m =−或2，当6m =−时，()6,2P −−，此时直线AB 的方程为624x y −−=，化简得：320x y ++= 当2m =时，()2,6P ，此时直线AB 的方程为264x y +=，化简得：320x y +−=， 所以直线AB 的方程为320x y ++=或320x y +−=【答案】320x y ++=或320x y +−=变式3 已知圆22:4O x y +=，P 为直线:260l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP =，所以四边形PACB 的面积122S AP AO =⨯⋅=PO 最小时，S 也最小， 此时PO l ⊥，易求得PO 的方程为20x y −=，联立20260x y x y −=⎧⎨++=⎩解得：65x =−，125y =−，所以612,55P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，故直线AB 的方程为612455x y −−=，化简得：36100x y ++=.【答案】36100x y ++=变式4 已知直线:4l y x =+与x 轴交于点T ，过直线l 上的动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设AB 中点为M ，则TM 的最小值为（ ）A. B. D.3【解析】如图，因为点P 在直线:4l y x =+上，所以可设(),4P m m +，则切点弦AB 所在直线的方程为()44mx m y ++=即()440m x y y ++−=，所以直线AB 过定点()1,1Q −，又M 为AB 中点，所以OM AB ⊥，故点M 在以OQ 为直径的圆上，从而点M 的轨迹是以11,22G ⎛⎫− ⎪⎝⎭为半径的圆，显然点()4,0T −在该圆外，所以minTMTG ==.【反思】当动点P 在与圆C 相离的某一定直线上运动时，过点P 作圆C 的两条切线，则切点弦所在的直线是过定点的直线，熟悉这一模型，本题的求解就不困难了. 【答案】A强化训练1.（★★）圆22:40C x y x +−=在点(P 处的切线方程为（ ）A.20x +−=B.40x +−=C.40x +=D.20x +=【解析】显然点P 在圆C 上，故所求切线的方程为11402xx y +⋅+−⋅=，化简得：20x +=.【答案】D2.（★★）已知圆()22:11C x y +−=，则：（1）圆C 的过点()0,2P −的切线方程为______； （2）圆C 的过点()1,1Q −的切线方程为______.【解析】（1）显然过点P 且斜率不存在的直线0x =与圆C 不相切，故可设切线的方程为()()20y k x −−=−，即20kx y −−=1=，解得：k =±C 的过点P的切线方程为2y =±−；（2）易得过点Q 且斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，设另一条切线的方程为()()11y m x −−=−，即10mx y m −−−=1=，解得：34m =−，所以该切线的方程为()()3114y x −−=−−，化简得：3410x y ++=， 综上所述，圆C 的过点Q 的切线方程为1x =或3410x y ++=【答案】（1）2y =±−；（2）1x =或3410x y ++=3.（★★）已知圆()22:12C x y −+=外一点()2,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()21122x y −−+=，化简得：230x y +−=. 【答案】230x y +−=4.（★★）已知圆()()22:129C x y −+−=外一点()4,2P −，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为()()()()4112229x y −−−+−−=，化简得：45x =−.【答案】45x =−5.（★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=外一点()4,1P −−，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则直线AB 的方程为______.【解析】由题意，切点弦AB 所在直线的方程为414244022x y x y −−−−−⋅−⋅−=，化简得：5320x y +−=.【答案】5320x y +−=6.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，若四边形PACB 的面积为12，则直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅=由题意，12=，解得：5PC =，由题意，点P 在直线20x y ++=上，故可设(),2P m m −−，则PC =5=，解得：4m =−或1，当4m =−时()4,2P −，此时直线AB 的方程为4242244022x yx y −++−+−⋅−⋅−=， 化简得：45x =−，当1m =时，()1,3P −， 此时直线AB 的方程为133244022x yx y +−+−−⋅−⋅−=， 化简得：15y =， 所以直线AB 的方程为45x =−或15y =.【答案】45x =−或15y =7.（★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，当四边形PACB 的面积最小时，则直线AB 的方程为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =.如图，AP ==所以四边形PACB 的面积122S AP AC =⨯⋅= 所以当PC 最小时，S 也最小，此时，PC l ⊥， 故PC 的方程为21y x −=−，即10x y −+=，联立1020x y x y −+=⎧⎨++=⎩解得：32x =−，12y =−，即31,22P ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，所以直线AB 的方程为()()311122922x y ⎛⎫⎛⎫−−−+−−−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：5530x y ++=.【答案】5530x y ++=8.（★★★★）已知P 为抛物线2:4C y x =上的动点，过P 作圆()22:44M x y −+=的两条切线，切点分别为A 和B ，则当四边形PAMB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.【解析】如图，AP ==，所以四边形PAMB 的面积122S AP AM =⨯⋅=， 所以当PM 最小时，S 也最小，由题意，()4,0M ，可设()2,2P t t ，则()()2222242244416212PM t t t t t =−+=−+=−+，故当t =PM 取得最小值，此时(2,P ±，所以直线AB 的方程为()()2444x −−±=，化简得：20x ±−=.【答案】20x +−=或20x =−=9.（★★★★）已知圆22:2440C x y x y +−−−=，P 为直线:20l x y ++=上的动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，AB 的中点为Q ，若点T 的坐标为111,1010⎛⎫⎪⎝⎭，则TQ 的最小值为______.【解析】()()22222440129x y x y x y +−−−=⇒−+−=⇒圆心()1,2C ，半径3r =， 设(),2P m m −−，则切点弦AB 所在直线的方程为()()()()112229m x m y −−+−−−−=， 化简得：()140m x y x y −+−−=，所以直线AB 过定点41,55K ⎛⎫− ⎪⎝⎭，如图，显然CQ KQ ⊥，所以点Q 的轨迹是以CK 为直径的圆，其圆心为111,1010G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，CK ==，因为GT =min 12TQ GT GK =−=.【答案】10。
圆锥曲线的切点弦方程及其应用
圆锥曲线的切点弦方程及其应用摘要：切点弦的问题是圆锥曲线中的重要内容之一，是近几年高考的热点考题，切点弦涉及到的问题，难度较大，技巧性强，计算繁琐，学生遇到此类问题较为棘手，束手无策，这里通过类比推理，探究其规律，掌握其性质，触类旁通，化繁就简，降低难度，进一步提高学习效率。
关键词：圆锥曲线；弦方程；应用1.内容解析1.切点弦的概念：过曲线C（圆，椭圆，双曲线，抛物线）外一点（对非封闭曲线是开口外一点）引两条切线，可以得到两个切点，连接切点即为切点弦。
2.微专题概述：圆锥曲线的切点弦方程是平面解析几何中的一类难点问题，围绕切点弦命制的解析几何试题具有内涵深刻、灵活多变的特点。
本专题在讲解一道课本习题即“过圆上一点圆的切线问题”的求解方法的基础上，立足学生思维的“最近发展区”，通过设置环环紧扣的问题串，最后得出椭圆、双曲线、抛物线的切点弦的一般性结论。
本微专题坚持“以小见大、微中知著”，最终达到启迪学生思维、开阔数学视野、培养类比归纳能力的目的；另一方面，客观题中熟练掌握切点弦方程结论，可以帮助学生有效简化解题过程、提高解题速度。
1.本专题所蕴含的数学思想方法及教学策略分析思想方法：数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般的思想教学策略：讲授法、分组讨论法、引导启示法立足高三年级学生实际、对基本概念和知识点采取讲授的方法；通过设置环环相扣的问题串，让学生分组讨论，教师引导实现同类知识的的迁移和整合归纳；注重问题串的整体性，在问题串的引领下，引导启示学生进行系列、连续的思维活动，使学生思维达到新高度。
1.教学目标1.知识与技能（1）掌握圆锥曲线在某点处的切点弦方程；（2）会用切点弦方程解决一些实际问题；（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
2.过程与方法首先，通过对过圆上一点的圆的切线的求法的研究，进而设置一些列有较强逻辑关系的问题串，采取学生小组讨论法、教师启发引导法从而完成教学目标。
课题∶圆锥曲线的切线方程和切点弦方程
课题：圆锥曲线的切线方程和切点弦方程主讲人： 安庆一中 李治国 教学目标：（1）.掌握圆锥曲线在某点处的切线方程及切点弦方程。
（2）.会用切线方程及切点弦方程解决一些问题。
（3）通过复习渗透数形结合、类比的思想，逐步培养学生分析问题和解决问题的能力。
(4) 掌握曲线与方程的关系。
教学重点：切线方程及切点弦方程的应用教学难点：如何恰当使用切线方程及切点弦方程教学过程：1. 引入：通过09年安徽省高考题及近几年各省考察圆锥曲线的实例引出本节课。
2. 知识点回顾：1.2. 3.4. 圆锥曲线切线的几个性质：性质1 过椭圆的准线与其长轴所在直线的交点作椭圆的两条切线，则切点弦长等于该椭圆的通径．同理:双曲线,抛物线也有类似的性质性质2 过椭圆的焦点F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，过A ，B 两点作椭圆的切线交于点P ，则P 点的轨迹是焦点 的对应的准线，并且同理:双曲线,抛物线也有类似的性质3. 例题精讲：练习1：抛物线 与直线 围成的封闭的图形的面积为 ，若直线l 与抛物线相切，且平行于直线 ，则直线l 的方程为例1： 设抛物线 的焦点为F ，动点P 在直线22200(,)x y r M x y +=过圆 上一点 的切线方程:200xx yy r +=00221xx yy a b +=220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆上的点，则过该点的切线方程为：220022(,)1x y P x y a b -=设为双曲线上的点，则过该点的切线方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 上的点，则过该点的切线方程为：00()yy p x x =+1PF AB ⊥1F :20l x y --=2:C y x =2(0)y ax a =>1x =43260x y -+=上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.求△APB 的重心G 的轨迹方程.4. 圆锥曲线的切点弦方程:1.2.3.4. 练习2：例题3：5.小结: 1．判断直线与圆锥曲线的位置关系时，注意数形结合；2. 掌握求曲线方程的方法：3. 两种方程两种思想作业： 6. 反思220022(,)1x y P x y a b +=设为椭圆外一点，过该点作椭圆的两条切线，切点为A ，B 则弦AB 的方程为：22200(,)P x y x y r +=设为圆外一点，则切点弦的方程为：200xx yy r +=220022(,)1x y P x y a b -=过为双曲线的两支作两条切线，则切点弦方程为：00221xx yy a b -=00(,)2P x y px =2设为抛物线y 开口外一点，则切点弦的方程为：00()yy p x x =+22221(,0). x y P m a bA B AB ±=≠对于圆锥曲线，过点，（m 0）作两条切线，切点为，则直线恒过定点22x 21,4312A,B AB OMN y P x y +=+=已知椭圆是在直线位于第一象限上一点，由P 向已知椭圆作两切线，切点分别为，问当直线与两坐标轴围成的三角形面积最小，最小值为多少？2l y x+3P y 2A,B.PAB P x ==∆已知是直线：上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为求面积的最小值。
圆锥曲线的切线切点弦总结归纳(转换坐标系法)
圆锥曲线的切线、切点弦推论总结归纳1、椭圆切线推论：已知椭圆C 方程22221x y a b+=（a>b>0），C 上一点P （00,y x ），过点P 且与C 相切的切线L 方程为：12020=+byy a x x 。
12222=+by a x'2'2()()1x y +=推导：如图所示，当切线'L 斜率存在且不为0时（即切线L 斜率存在且不为0），设'OP 、'L 的斜率分别为1k ，2k ，0010000y ay b k x bx a-==-，由圆的切线性质易知'OP ⊥'L ，即121k k ⋅=-，∴02101bx k k ay -==-，∴由点斜式易得'L 方程为：''0000()y bx xy x b ay a -=--，又'',x yx y a b ==，∴ 0000()y bx x y x b b ay a a-=--，即为椭圆切线L 方程，化简如下：0000y y bx x x b ay a --=-⋅，000022()()y y y x x x b a --=-，2200002222x x y y x y a b a b +=+，又点P(00,y x )是椭圆上一点，∴2200221x y a b +=，即切线L 方程化简后为：0022x x y ya b+=1；易知当切线L 斜率为0时，P （0,b ±），切线L 方程为：y b =±，满足上式；当切线L 斜率不存在时，P （,0a ±）切线L 方程为：x a =±，也满足上式。
综上，推导完毕。
2、直线与椭圆位置关系判定推论：已知椭圆C 方程12222=+by a x （a>b>0），一直线L 方程为：0Ax By C ++=,则L 与C 相交⇔2222A a B b +>2C ；L 与C 相切⇔2222A a B b +=2C ；L 与C 相离⇔2222A a B b +<2C 。
圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程(高阶拓展、竞赛适用)(学生版)-2025版高中数学一轮复习考点帮
第16讲圆锥曲线中的切线方程与切点弦方程（高阶拓展、竞赛适用）（4类核心考点精讲精练）1.5年真题考点分布【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线切线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的切线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习1过圆2+2=2上一点0,0的切线方程:B 0+B 0=22.设0,0为椭圆22+22=1上的点,则过该点的切线方程为:B 02+B 02=13.设0,0为双曲线22−22=1上的点,则过该点的切线方程为:B 02−B 02=14.设0,0为抛物线y 2=2B 上的点,则过该点的切线方程为B 0=+05.设0,0为圆2+2=2外一点,则切点弦的方程为:B 0+B 0=26.设0,0为椭圆22+22=1外一点,过该点作椭圆的两条切线,切点为A ,B 则弦B 的方程为:B 02+B 02=17.过0,0为双曲线22−22=的两支作两条切线,则切点弦方程为B 02−B 02=18.设0,0为抛物线2=2B 开口外一点,则切点弦的方程为:001．（2022高三·全国·专题练习）椭圆223144x y +=上点P (1,1)处的切线方程是．2．（22-23高三下·河南·阶段练习）已知椭圆222:1y C x t+=，离心率为2，过()1,2P 的直线分别与C 相切于A ，B 两点，则直线AB 方程为（）A ．10x y +-=或410x y +-=B ．410x y +-=C ．10x y +-=D ．10x y ++=或410x y +-=3．（22-23高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线221x y m n +=上一点(),o o P x y 的切线方程为001x x y y m n+=.过椭圆221124x y +=上的点()3,1A -作椭圆的切线l ，则过A 点且与直线l 垂直的直线方程为（）A ．30x y --=B ．-20x y +=C ．2330x y +-=D ．3100x y --=1．（2022·全国·高三专题练习）求过椭圆221169x y +=上一点3222,2M ⎛⎫⎪⎝⎭的切线l 方程．2．（22-23高三全国·课后作业）曲线194+=上点到直线280x y -+=距离的最小值为．3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线62260x y +-=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的一个顶点E 和一个焦点F ．(1)求椭圆的标准方程；(2)求过()5,3P与椭圆相切的直线方程．4．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知椭圆22:1(0)y x M a b a b+=>>过点(6和(3.(1)求M 的离心率；(2)若直线:l y x m =+与M 有且仅有一个交点，求l 的一般式方程.5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是()12,0F -，()22,0F ，且经过点53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求C 的标准方程；(2)已知直线l 与2PF 平行，且与C 有且只有一个公共点，求l 的方程．考点二、双曲线中的切线方程和切点弦方程1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线2214x y -=在点(3P 处的切线方程．2．（2023高二·全国·专题练习）过点(3,3)P 作双曲线C ：221x y -=的两条切线，切点分别为,A B ，求直线AB 的方程．3．（2022高三·全国·专题练习）已知双曲线22153x y -=的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．1．（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线2212y x -=在点处的切线方程；（2）已知()1,1P 是双曲线外一点，过P 引双曲线2212y x -=的两条切线,PA PB ，A ，B 为切点，求直线AB的方程．2．（2020高三·江苏·专题练习）在双曲线22925225x y =-上求一点，使到直线30x y --=的距离最短．1．（2022高三·全国·专题练习）抛物线214y x =过点(0,2)-的切线方程为（）A ．0x =B ．22y x =±-C ．2y x =±-D ．2y =-2．（2022高三·全国·专题练习）过点()2,1P -作抛物线C ：22x y =的两条切线，切点分别为A ，B ，求直线AB 的方程．3．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =，过点()1,1P -作抛物线C 的两条切线,PM PN ，切点分别为,M N ，则MN =.4．（2024高三·全国·专题练习）已知M 是直线:220l x y --=上的动点，过点M 作抛物线21:4C y x =的两条切线，切点分别为A ，B （与坐标原点O 不重合），当0OA OB ⋅=时，直线AB 的方程为．1．（2023高三·全国·专题练习）过抛物线24x y =上一点()4,4的抛物线的切线方程为.2．（21-22高二下·河南新乡·期末）过点()30A -,作抛物线24y x =的切线，则切点的横坐标为．3．（2023·山东·模拟预测）已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A ．斜率为2B ．斜率为2±C ．恒过点()0,2-D ．恒过点()1,2--4．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(2)1M x y ++=上点的距离的最小值为2．(1)求p ；(2)已知点(1,2)P --，PA ，PB 是抛物线C 的两条切线，A ，B 是切点，求AB ．1．（2021·天津·高考真题）已知椭圆()222210+=>>x y a b a b 的右焦点为F ，上顶点为B BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．2．（2021·全国·高考真题）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB 面积的最大值．1．（2024·四川德阳·三模）已知F 为抛物线C ：24x y =的焦点，过点F 且倾斜角为60o 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A B 、，若抛物线C 在A B 、两点处的切线相交于点P ，则PF =.2．（2024·河南洛阳·模拟预测）（多选）过点4)向抛物线28x y =作两条切线，切点分别为()()1122,,,A x y B x y F 、为抛物线的焦点，则（）A．12x x +=-B ．1232x x =C ．||||49AF BF ⋅=D ．||||18AF BF +=3．（2024高三·全国·专题练习）在直角坐标系xoy 中，曲线C ：24x y =与直线(),0y kx a a =+>交与M ,N 两点，(1)当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.4．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2e =，椭圆上的点P 与两个焦点12F F 、构成的三角形的最大面积为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)若点Q 为直线20x y +-=上的任意一点，过点Q 作椭圆C 的两条切线QD QE 、（切点分别为D E 、），试证明动直线DE 恒过一定点，并求出该定点的坐标．5．（2024·全国·模拟预测）设抛物线2:2(0)C x py p =>，直线10x y -+=与C 交于A ，B 两点，且8AB =．(1)求抛物线C 的方程；(2)已知点P 为()2211x y ++=上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线PD ，PE ，设切点分别为D ，E ，试求直线PD ，PE 斜率之积的最小值．6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的长轴为双曲线2212x y -=的实轴，且经过点2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．(1)求椭圆E 的标准方程．(2)已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00221xx yy a b +=．过椭圆E 的左焦点1F 作直线l 与椭圆E 相交于,A B 两点，过点,A B 分别作椭圆的切线，两切线交于点M ．求证：1MF AB ⊥．1．（2022高三·全国·专题练习）求过椭圆221169x y +=上一点M ⎛ ⎝⎭的切线l 方程．2．（2022高三·全国·专题练习）设双曲线C ：2221x y -=上点P ．求双曲线C 在点P 处的切线l 的方程．3．（2021高三·全国·专题练习）求与双曲线221164x y -=有共同的渐近线，且与直线5680x y --=相切的标准双曲线方程.4．（22-23高三上·广东佛山·阶段练习）已知圆的方程为221x y +=，抛物线的方程为283y x =，则两曲线的公共切线的其中一条方程为．5．（2023·全国·模拟预测）已知拋物线2:2(0),C x py p C =>的一条切线方程为10x y --=，则C 的准线方程为．6．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知抛物线22(0)y px p =>与斜率为32p 的直线恰有一个公共点P ，则点P 的纵坐标为（）A ．164B ．132C ．116D ．187．（2024高三·全国·专题练习）已知()1,1P 是双曲线外一点，过P 引双曲线2212yx -=的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，求直线AB 的方程．8．（2020·陕西西安·一模）在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆22:1169x y C +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为．9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线24x y =，P 为直线1y =-上一点，过P 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ，则PA PB ⋅的值为（）A ．0B ．1C ．-2D ．-110．（2023高三·全国·专题练习）已知点P （x ，y ）是椭圆22194x y +=上任意一点，则点P 到直线l ：y x =+的最大距离为.1．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆221259x y +=与双曲线()2222:10,0x y C m n m n -=>>有公共焦点12,F F ，点94,5P ⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，则该双曲线在点P 处的切线的斜率为．2．（2024·广东茂名·模拟预测）已知抛物线C ：24x y =，定点()1,0T ，M 为直线112y x =-上一点，过M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，A ，B 是切点，则TAB △面积的最小值为.3．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知O 为坐标原点，抛物线2=2B >0上有异于原点的()11,A x y ，()22,B x y 两点，F 为抛物线的焦点，以A ，B 为切点的抛物线的切线分别记为PA ，PB ，则（）A ．若2124p x x =，则A ，F ，B 三点共线B ．若212y y p =-，则A ，F ，B 三点共线C ．若π2APB ∠=，则A ，F ，B 三点共线D ．若112FA FB p +=，则A ，F ，B 三点共线4．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知()0,2,A P 是抛物线21:4C x y =上任一点，Q 为PA 的中点，记动点Q 的轨迹为2C .(1)求2C 的方程；(2)过点P 作曲线2C 的两条切线，切点分别为,M N ，求点P 到直线MN 的距离的最小值.5．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为()()12,0,,0F c F c -，上顶点为A ，抛物线2:2(0)T y px p =>的焦点为2F ．(1)记椭圆C 与抛物线T 在第一象限的交点为B ，若13BF =T 的方程；(2)过点1F 的直线l 与抛物线T 相切于第一象限，切点为P ，证明：直线l 经过点A ，且A 为线段1PF 的中点．6．（23-24高三下·山东济宁·开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，渐近线方程为3y x =±，且经过点P ⎛- ⎝⎭．(1)求双曲线C 的方程；(2)过点P 作双曲线C 的切线,l l 与x 轴交于点Q ，试判断1F PQ ∠与2F PQ ∠的大小关系，并给予证明．7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为1F ，过1F 与x 轴垂直的直线交Γ于,A B 两点，且1AB =，离心率为2.(1)求Γ的方程；(2)已知圆222(0)x y r r +=>上点()00,x y 处的切线方程是200x x y y r +=，利用类比思想可知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上点()00,x y 处的切线方程为00221x x y y a b -=.过点(),1(22)C m m -<<分别作双曲线2222Γ:1(0,0)x y a b a b-=>>的左､右两支的切线，切点分别为,P Q ，连接PQ ，并过线段PQ 的中点F 分别再作双曲线左､右两支的切线，切点分别为,D E ，证明：点,,C D E 在同一条直线上.8．（23-24高三下·河南·阶段练习）已知椭圆22122:1x y C b a+=与双曲线()222122:10,x y C a b C a b -=>>的焦点与2C的焦点间的距离为1b =.(1)求1C 与2C 的方程；(2)过坐标轴上的点P 可以作两条1C 与2C 的公切线.（i ）求点P 的坐标.（ii ）当点P 在y 轴上时，是否存在过点P 的直线l ，使l 与12,C C 均有两个交点？若存在，请求出l 的方程；若不存在，请说明理由.9．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线C 上的动点M 满足12||||||2MF MF -=，且()()122,0,2,0F F -.(1)求C 的方程；(2)已知直线l 与C 交于,P Q 两点，过,P Q 分别作C 的切线，若两切线交于点R ，且点R 在直线14x =上，证明：l 经过定点.10．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，在椭圆E 上仅存在6个点()1,2,3,4,5,6i M i =，使得12i M F F △为直角三角形，且12i M F F △面积的最大值为2.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)已知点P 是椭圆E 上一动点，且点P 在y 轴的左侧，过点P 作24y x =的两条切线，切点分别为A 、B .求22OF A OF B S S +△△的取值范围.（1）求实数b 的值；（2）求以点A 为圆心，且与抛物线2．（安徽·高考真题）设F （Ⅰ）过点()0,4P -作抛物线,A B 到直线的距离为（1）求抛物线E的方程；（2）设动直线l与抛物线点7．（湖南·高考真题）已知抛物线的焦点也是椭圆C的公共弦的长为26.2）过点的直线相交于，两点，与相交于，两点，且在点处的切线与绕点旋转时，（1）求点A，B的坐标；（2）求PAB∆的面积.注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.。
圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题
圆锥曲线解题技巧之切线与圆锥曲线的切点如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题1. 引言圆锥曲线是数学中重要的概念之一，涉及到切线和切点的求解问题是圆锥曲线的一个热门话题。
本文将介绍切线与圆锥曲线的切点，并探讨如何利用切线与圆锥曲线的切点求解问题的技巧与方法。
2. 切线与圆锥曲线的切点在二维几何中，切线是一条与曲线相切且仅有一个交点的直线。
对于圆锥曲线，如椭圆、抛物线、双曲线等，其切线与曲线的切点是求解问题的关键。
2.1 切线与椭圆的切点椭圆是圆锥曲线中的一类，具有很多重要性质。
求解切线与椭圆的切点的一种方法是利用椭圆的参数方程。
设椭圆的参数方程为x=a*cosθ，y=b*sinθ，其中a和b分别为椭圆的长短半轴，θ为参数。
将参数方程代入椭圆的方程，可以得到关于θ的方程。
求解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。
2.2 切线与抛物线的切点抛物线是另一种常见的圆锥曲线，具有特殊的形状和性质。
对于抛物线，切线与曲线的切点也可以通过参数方程求解。
设抛物线的参数方程为x=t，y=t^2，其中t为参数。
同样地，将参数方程代入抛物线的方程，得到关于t的方程。
解出t后，再代入参数方程，可以求得切点的坐标。
2.3 切线与双曲线的切点双曲线是圆锥曲线中的另一类重要曲线，也可以应用切线与切点求解问题的方法。
对于双曲线，同样可以采用参数方程的方法求解切点的坐标。
设双曲线的参数方程为x=a*secθ，y=b*tanθ，其中a和b分别为双曲线的参数，sec为余割函数，tan为正切函数。
将参数方程代入双曲线的方程，得到关于θ的方程。
解出θ后，再代入参数方程，即可求得切点的坐标。
3. 利用切线与圆锥曲线的切点求解问题在实际问题中，我们经常需要利用切线与圆锥曲线的切点来求解特定的数学问题。
以下是几个常见的应用案例。
3.1 求切线与曲线的夹角通过求解切线与曲线的切点，我们可以进一步求解切线与曲线的夹角。
利用切线的斜率和曲线的导数，可以得到切线与曲线的夹角的正切值。
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线的切点弦、中点弦、切线
圆锥曲线中点弦公式：py-αx=pβ-α^2。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴。
垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
曲线，是微分几何学研究的主要对象之一。
直观上，曲线可看成空间质点运动的轨迹。
微分几何就是利用微积分来研究几何的学科。
为了能够应用微积分的知识，我们不能考虑一切曲线，甚至不能考虑连续曲线，因为连续不一定可微。
这就要我们考虑可微曲线。
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圆锥曲线的切线方程及切点弦方程的应用
张生
引例 给定圆2
22)()(r b y a x =-+-和点),(00y x P ，证明：
（1）若点P 在圆上，则过点P 的圆的切线方程为2
00))(())((r b y b y a x a x =--+--；
（2）若点P 在圆外，设过点P 所作圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程
为2
00))(())((r b y b y a x a x =--+--。
高考链接
3. (2011江西)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12
）作圆22
+=1x y 的切线，
切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
【答案】22
154
x y += （2013山东）过点(3,1)作圆
22
(1)1x y -+=的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为
（ ）
A ．230x y +-=
B ．230x y --=
C ．430x y --=
D ．430x y +-=
【答案】A
过点)4,3(P 作圆1:2
2
=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，点)0,0)(,(>>b a b a M 在直线AB 上，则b
a 2
1+的最小值为 。
6411+
过椭圆14
92
2=+y x 上点P 作圆2:22=+y x O 的两条切线，切点分别为B A ,，过B A ,的直线l 与x 轴y 轴分别交于点Q P ,两点，则POQ ∆的面积的最小值为 。
3
2
已知椭圆)1(12222>>=+b a b
y a x ，圆2
22:b y x O =+，过椭圆上任一与顶点不重合的点P
引圆O 的两条切线，切点分别为B A ,，直线AB 与x 轴y 轴分别交于点N M ,，则
=+2
222||||OM b ON a 。
22
b
a 探究1 给定椭圆122
22=+b
y a x 和点),(00y x P ，证明：
（1）若点P 在椭圆上，则过点P 椭圆的切线方程为
12020=+b
y
y a x x ； （2）若点P 在椭圆外，设过点P 所作椭圆的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为
12020=+b
y
y a x x 。
（2012福建）如图,椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左焦点为1F ,
右焦点为2F ,离心率1
2
e =
.过1F 的直线交椭圆于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为8.
(Ⅰ)求椭圆E 的方程.
(Ⅱ)设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ,且与直线4x =相较于点
Q .试探究:在坐标平面内是否存在定点M ,使得以PQ 为直径的圆恒过点M ?若存在,
求出点M 的坐标;若不存在,说明理由.
（2009安徽）点
00(,)
P x y 在椭圆
22
22
1(0)x y a b a b +=>>上，
00cos ,sin ,0.2
x a y b π
βββ==<<
直线2l 与直线00
122
:
1x y l x y a b +=垂直，O 为坐标原点，直线OP 的倾斜角为α，直线2l 的倾斜角为γ.
（I ）证明: 点P 是椭圆22
221x y a b
+=与直线1l 的唯一交点；
（II ）证明:tan ,tan ,tan αβγ构成等比数列。
（20）本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数
列等基础知识。
考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。
本小题满分13分。
解：（I ）（方法一）由00221x y x y a b +=得22
020
(),b y a x x a y =-代入椭圆22221x y a b +=,
得2222
20024222000
21()(1)0b x b x b x x a a y a y y +-+-=.
将00cos sin x a y b ββ
=⎧⎨=⎩代入上式,得2222cos cos 0,x a x a ββ-⋅+=从而cos .x a β= 因此,方程组22
22
002211
x y a b x y x y a
b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩有唯一解00x x y y =⎧⎨=⎩,即直线1l 与椭圆有唯一交点P.
(方法二)显然P 是椭圆与1l 的交点，若Q 111(cos ,sin ),02a b βββπ≤<是椭圆与1l 的交点，代入1l 的方程
cos sin 1x y a b
ββ
+=，得11cos cos sin sin 1,ββββ+= 即11cos()1,,ββββ-==故P 与Q 重合。
（方法三）在第一象限内，由22221x y a b +=
可得0y y ==
椭圆在点P
处的切线斜率20
020
(),b x k y x a y '===-
切线方程为20
0020
(),b x y x x y a y =--+即00221x x y y a b +=。
因此，1l 就是椭圆在点P 处的切线。
根据椭圆切线的性质，P 是椭圆与直线1l 的唯一交点。
探究2
给定抛物线)0(22
>=p py x 和点),(00y x P ，证明：
（1）若点P 在抛物线上，则过点P 椭圆的切线方程为000=--py py x x ；
（2）若点P 在抛物线外，设过点P 所作抛物线的两条切线的切点分别为B A ,，则直线AB 的方程为000=--py py x x 。
链接高考：（2012年高考（辽宁理））已知P ,Q 为抛物线2
2x y =上两点,点P ,Q 的横坐标分
别为4,-2,过P 、Q 分别作抛物线的切线,两切线交于A ,则点A 的纵坐标为__________.
（2012年高考（大纲理））(注意:在试卷上作答无效．．．．．．．．
) 已知抛物线2:(1)C y x =+与圆2
22
1
:(1)()(0)2
M x y r r -+-=> 有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l . (1)求r ;
2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知抛物线C 的顶
点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为
32
2
.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2
4x cy =,由
02
32
2
2
c --=
结合0c >,解得1c =.
所以抛物线C 的方程为2
4x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12
y x '= 设()11,A x y ,()
22,B x y (其中221212,44
x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112
x ,21
2x ,
所以切线PA 的方程为()1
112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --=
同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+,
所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++
联立方程002220
4x x y y x y
--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2
120y y y =
所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+ 又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
2
2
2
0000001921225222y x y y y y ⎛
⎫+-+=++=++ ⎪⎝
⎭
所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92
.
探究3。