求曲线在点处切线方程
(整理)经过曲线上一点的切线方程
经过曲线上一点的切线方程例1 求经过圆222r y x =+上一点()11,y x 的切线l 方程；分析：若P 不是切线与坐标轴的交点，则11x y k OP =， 由OP ⊥l 得，11y x k l -=， 由点斜式方程得：()1111x x y x y y --=-， 整理，得2212111r y x y y x x =+=+若P （r,0）,则l ：x=r 即rx+0y=r 2; 若P （-r,0）,则l ：x=-r 即-rx+0y=r 2; 若P （0,r ）,则l ：y=r 即0x+ry=r 2; 若P （0,-r ）,则l ：y=-r 即0x-ry=r 2;综上所述，经过圆222r y x =+上一点()11,y x 的切线l 方程为211r y y x x =+；例2 222()11,y x 的切线l 方程；)a xb y k CP --=11，by ax k l ---=11由点斜式方程得：()1111x x by ax y y ----=-即：()()()()()()()[]()()()[]()()()()()()()()()()211212111111111110r b y b y a x a x b y a x b y b y a x a x b y b y b y a x a x a x y y b y x x a x =--+---+-=--+--=----+----=--+-- 若切线的斜率不存在或为0时，切线方程都可表示为以上形式，故经过圆()()222r b y a x =-+-上一点()11,y x 的切线l 方程为：()()()()211r b y b y a x a x =--+--例3 求经过圆022()11,y x 的切线l 方程；a xb y k CP --=11，by ax k l ---=11由点斜式方程得：()1111x x by ax y y ----=- 即：()111122x x E y Dx y y -++-=-整理，得()()02202222022111121211111111111=++++++=---++-+++=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+F y y E x x D y y x x y x y y y E x x x D y y x x x x D x y y E y若切线的斜率不存在或为0时，上式仍成立，故经过圆022=++++F Ey Dx y x 上一点()11,y x 的切线l 方程为0221111=++++++F y y E x x Dy y x x 例4 求经过椭圆12222=+by a x 上一点()11,y x 的切线l 方程；()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==+11222222kx y kx y b a y a x b()()()022221121122222=--+-++b a kx y a x kx y k a x k a b由△=0得，()[]()()[]0422221122222112=--+--b a kx y a k a b kx y k a()02221112221=-+--b y k y x k a x又()()()()044222212212221221211=-+=----b a y a x b b y a x y x所以22111ax y x k -=于是()()()()()()()12121212122112221222112122111122111221111=+-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+--=----=-byy a x x a x x b y y a a x x y y a b y a b a xy x a y y a xx x y x a x y y x x ax y x y y 若切线l 的斜率不存在或为0时，切线方程也符合12121=+byy a x x 综上所述，过椭圆12222=+b y a x 上一点()11,y x 的切线l 方程为12121=+b y y a x x ；例5 求经过双曲线12222=-by a x 上一点()11,y x 的切线l 方程；分析：如图所示若切线l 的斜率存在，设l ：()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==-11222222kx y kx y b a y a x b()()()02)(222112112222222211222=------=-+-b a kx y a x kx y k a x k a b b a kx y kx a x b由△=0得：()()()[]()20442211122212211222221124=++--=+--+-b y k y x k a xb kx y k a b a kx y k a又()()()()0442222222221221211=---=+---b a y a x b b y a x y x故()221112211122ax y x ax y x k -=-=()()()()()1212111122222212111222111112211221111=-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+--=----=-byy a x x x y x y a y a b b a y a xy x y ay a xx x y x y y a x x x ax y x y y若切线l 的斜率不存在，切线l 的方程仍可表示为12121=-byy a x x 综上所述，经过双曲线12222=-b y a x 上一点()11,y x 的切线l 方程为12121=-by y a x x ；例6 求经过抛物线py x 22=上一点()11,y x 的切线l 方程；设切线l 方程为：()11x x k y y -=-解方程组⎩⎨⎧-+==1122kx y kx y pyx代入得 ()022112=---kx y p pkx x由△=0得：()()022082112112=+-=-+-y k x pk kx y p pk又()()02482121121=-=--py x py x故px k 1=于是切线l 方程为：()()y y p x x x x x py py x x px y y +=-=--=-112111111归纳：经过曲线()0,=y x f 上一点()11,y x 的切线l 方程可用如下方法做替代，直接写出切线方程：()()()()()()221112121212y y y x x x a y a y a y a x a x a x yy y x x x +→+→--→---→-→→。
切线方程知识点归纳总结
切线方程知识点归纳总结
1. 切线的定义:
切线是在某一点与曲线相切,且只与曲线在该点相交的直线。
2. 求曲线在某一点的切线方程的一般步骤:
(1) 求出曲线在该点的导数,即切线斜率;
(2) 将切线斜率和该点的坐标代入直线方程y-y0=k(x-x0)即可得到切线方程。
3. 常见曲线的切线方程:
(1) 直线: y=kx+b,切线方程为y-y0=k(x-x0)
(2) 圆: (x-a)^2+(y-b)^2=r^2,切线方程为y-y0=k(x-x0),其中k=-(x0-
a)/(y0-b)
(3) 抛物线: y=ax^2+bx+c,切线方程为y-y0=2a(x-x0)(x0+b/2a)
(4) 双曲线: xy=c,切线方程为y(x0)-x(y0)=c
(5) 指数函数: y=a^x,切线方程为y-y0=y0ln(a)(x-x0)
(6) 对数函数: y=ln(x),切线方程为y-y0=1/x0(x-x0)
4. 切线的几何意义:
切线是曲线在某一点的切向直线,它的斜率就是曲线在该点的导数。
切线可以用来近似曲线在该点附近的变化情况。
5. 切线与曲线的关系:
切线只与曲线在一点相交,在该点处有相同的斜率。
当曲线在某点
可导时,该点处一定存在切线。
以上是关于切线方程的主要知识点总结,需要掌握切线的定义、求取方法、常见曲线切线方程形式以及切线的几何意义等内容。
求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程
题目：求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程【内容】1. 求曲线在指定点处的切线方程是解析几何中常见的问题，它涉及到对曲线的切线的性质和方程的推导。
2. 具体而言，当我们要求曲线在某一点处的切线方程时，首先需要求出该点的切线斜率，然后根据切线的一般方程或者斜截式方程来构建切线方程。
3. 不仅如此，对于曲面而言，我们也可以求出曲面在指定点处的法平面方程。
法平面是与曲面在某一点的法向量垂直，并通过该点的平面，求解法平面方程同样需要根据指定点的法向量和点法式方程来进行推导。
4. 将求切线方程和法平面方程的具体数学步骤和公式应用到解析几何的实际问题中，可以帮助我们更深入地理解曲线和曲面的性质，同时也为求解相关问题提供了可靠的数学工具。
5. 在解析几何学习中，我们经常会遇到各种曲线和曲面在指定点处的切线方程和法平面方程的求解问题，下面我们将结合具体的示例来演示求解的过程和技巧。
【结构】1. 概述：讨论求曲线在指定点处的切线方程和曲面法平面方程的重要性和意义。
2. 切线方程的推导：介绍求解曲线在指定点处的切线方程的一般步骤和方法。
3. 切线方程的应用实例：通过具体的例子演示求解切线方程的过程和技巧。
4. 法平面方程的推导：介绍求解曲面在指定点处的法平面方程的一般步骤和方法。
5. 法平面方程的应用实例：通过具体的例子演示求解法平面方程的过程和技巧。
6. 结论：总结本文涉及的内容，强调求解曲线和曲面方程的重要性和应用价值。
7. 参考文献：列出本文涉及的参考文献和相关资料来源。
【概述】求下列曲线在指定点处的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要问题。
切线方程和法平面方程的求解不仅涉及基本的数学原理和公式，同时也需要灵活运用数学推理和几何思维。
下面将介绍切线方程和法平面方程的求解方法，并结合具体例子加以说明。
【切线方程的推导】1. 切线方程的一般形式：y = kx + b2. 求曲线在指定点处的切线斜率：k = f'(x0)3. 利用切线的一般方程或斜截式方程构建切线方程：y - y0 = k(x - x0) 或 y = k(x - x0) + y0【切线方程的应用实例】示例1：求曲线y = x^2在点(1,1)处的切线方程。
二元曲线在某点的切线方程
二元曲线在某点的切线方程二元曲线是指由两个变量的方程定义的曲线。
在二元曲线上的任意一点，都可以存在一个与该点切线相关的方程。
本文将介绍如何求二元曲线在某点的切线方程，并且详细说明具体的求解步骤。
首先，我们来回顾一下一元函数的切线方程。
对于一元函数y=f(x)，它在点(x0,f(x0))处的切线方程可以通过以下步骤来求解。
首先，我们需要求出函数的导数f'(x0)，导数表示了函数在某点的变化率。
然后，我们可以使用点斜式来表示切线方程，即y−f(x0)=f′(x0)(x−x0)。
通过这个公式，我们可以直接求出切线方程。
类似地，对于二元曲线y=f(x)，我们也可以使用类似的方法来求解切线方程。
事实上，对于二元曲线来说，我们需要使用偏导数来表示曲线在某点的变化率。
偏导数是多元函数的导数的一种特殊形式，它表示了函数相对于某个变量的变化率，而其他变量保持不变。
因此，在二元曲线上的某点(x0,y0)处，其切线方程可以表示为y−f(x0,y0)=∂f∂x(x0,y0)(x−x0)+∂f∂y(x0,y0)(y−y0)。
接下来，我们将具体说明如何求解二元曲线在某点的切线方程。
首先，我们需要确定曲线的方程，也就是确定函数f(x,y)。
其次，我们需要求出该函数在给定点(x0,y0)处的偏导数。
偏导数可以通过求解偏导数的定义来获得。
对于函数f(x,y)，其偏导数可以表示为∂f∂x(x0,y0)=limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx，以及∂f∂y(x0,y0)=limΔy→0f(x0,y0+Δy)−f(x0,y0)Δy。
通过求解这两个偏导数，我们可以得到切线方程的斜率部分。
通过求解偏导数，我们可以得到切线方程的斜率部分。
接下来，我们需要确定切线方程的截距部分。
要确定切线方程的截距部分，我们需要使用切线过的点的坐标(x0,y0)。
将点的坐标代入切线方程的点斜式，我们可以解出切线方程的截距部分。
总结一下，我们可以使用以下步骤来求解二元曲线在某点的切线方程：1.确定曲线的方程，也就是函数f(x,y)。
切线方程的公式
切线方程的公式切线是数学中的一个重要概念，它是指在曲线上某一点处与该点切线方向相同的直线。
切线方程是描述切线的一种数学公式，它可以用来计算切线的斜率和截距，进而帮助我们更好地理解曲线的性质和特点。
一、切线的定义在数学中，曲线是指在平面或空间中连续的线条，它可以是任意形状的，例如直线、圆、椭圆等。
而切线则是指在曲线上某一点处与该点切线方向相同的直线。
这里的“切线方向”是指曲线在该点处的切向，也就是曲线在该点处的斜率。
具体来说，设曲线为y=f(x)，点P(x0,y0)为曲线上的一个点，则过点P的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)其中，f'(x0)表示f(x)在点x0处的导数，也就是曲线在点P处的斜率。
二、切线方程的推导为了更好地理解切线方程的公式，我们需要对其进行推导。
假设曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处存在切线，那么该切线的斜率应该等于曲线在该点处的斜率。
因此，我们可以得到以下方程：k=f'(x0)其中，k表示切线的斜率。
接下来，我们需要求出切线的截距b。
由于切线过点P(x0,y0)，因此我们可以得到以下方程：y-y0=k(x-x0)+b将k=f'(x0)代入上式，得到：y-y0=f'(x0)(x-x0)+b移项整理，可得到切线方程的公式：y-y0=f'(x0)(x-x0)三、切线方程的应用切线方程是描述切线的一种数学公式，它可以用来计算切线的斜率和截距。
在实际应用中，切线方程常常用于解决以下问题：1. 求曲线在某一点处的切线方程。
2. 求曲线在某一点处的切线斜率。
3. 求曲线在某一点处的法线方程。
例如，我们可以利用切线方程来求解以下问题：1. 求曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程。
解：首先，我们需要求出曲线在点(1,1)处的导数。
根据导数的定义，有：f'(x)=2x因此，曲线在点(1,1)处的导数为：f'(1)=2接下来，我们可以利用切线方程的公式求出切线方程：y-1=2(x-1)化简可得：y=2x-1因此，曲线y=x^2在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1。
二元曲线在某点的切线方程
二元曲线在某点的切线方程
我们要找出一个二元曲线在某一点的切线方程。
首先，我们需要知道如何计算一个曲线在某一点的切线斜率，然后使用这个斜率来写出切线方程。
假设我们的二元曲线方程为F(x, y) = 0。
对于二元曲线F(x, y) = 0，其在点(x0, y0) 的切线斜率可以通过以下方式计算：
1. 首先求出F(x, y) 在(x0, y0) 点的偏导数，即F_x 和F_y。
2. 然后使用这两个偏导数来计算切线斜率，即k = F_x/F_y。
有了切线斜率k，我们就可以写出切线方程了。
切线方程为：y - y0 = k(x - x0)。
在点(x0, y0)，二元曲线F(x, y) = 0 的切线斜率为：nan。
所以，在点(x0, y0)，二元曲线的切线方程为：False。
空间曲线在某点的切线方程的多种解法
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空间曲线在某点的切线方程的多种解法
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摘4要本文探讨了空间曲线在某点的切线方程的计算方法和相关技巧指出了六种常见的计算思路如参数方程法公 式法隐函数求导法边隐函数求导边代入点的方法利用切平面的法向量的向量积来求切向量 除此之外切线仍可看作两 个相交曲面在该点的切平面的交线 结合相关的题目用不同的方法作出解答
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在点 56% 8% 9% 有法平面方程
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其中 f为参数 也就不能继续使用方程组两边对 f求导的
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此时若$ <! $ 96
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在特定点的几何性质。
在三维空间中，曲线的切线方程是曲线在某一点处的瞬时方向，而法平面方程则描述了曲线在该点处的法向量所确定的平面。
首先，我们来讨论空间曲线的切线方程。
对于参数方程形式的曲线，我们可以通过求导来获得曲线在某一点处的切向量（或切线方向）。
对于曲线的参数方程：\[x = f(t)\]\[y = g(t)\]\[z = h(t)\]其中，x、y、z分别是曲线上一点P的坐标，而t是曲线的参数。
在给定参数值t0的情况下，P在曲线上的坐标为：\[x_0 = f(t_0)\]\[y_0 = g(t_0)\]\[z_0 = h(t_0)\]我们可以通过求导来计算参数方程关于t的导数。
导数表示了曲线的切线在每个点上的瞬时方向。
对于曲线的参数方程，它的切向量可以表示为：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}}\]其中，\(\vec{r}\)是曲线上任意一点P的位置矢量（\(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)）。
即使我们不知道\(\vec{r}\)的具体表达式，我们仍然可以使用参数方程计算切向量。
根据链式法则，我们有：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}} = \frac{{dx}}{{dt}}\vec{i}+ \frac{{dy}}{{dt}}\vec{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\vec{k}\]根据上述求导结果，我们可以得到切向量在参数值t0时的具体值。
切向量\(\vec{T}\)是曲线在参数为t0的点P处的切线方向。
通过归一化切向量，我们可以得到单位切向量\(\vec{N}\)：\[\vec{N} = \frac{{\vec{T}}}{{\|\vec{T}\|}}\]得到切向量后，我们可以通过曲线上点P的坐标和切向量来建立切线方程。
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一、求曲线32
31y x x x =-+-在点(2,3)P -处的切线方程.
二、已知成本C 与产量q 的函数关系式为C=2q 2+5,求产量q=80时的边际成本.
三、确定抛物线方程2y x bx c =++中的常数b c 、,使其与直线2y x =在2x =处相切.
四、求下列函数的单调区间:
1. 42()23f x x x =--
2. 32()23f x x x =-
3. 42()23617f x x x =-+
五、求下列函数的极值:
1. 32()23121f x x x x =+-+
2. 32()(10)f x x x =-
3. 2()(2)f x x x =-
4. 32()32412f x x x x =+-+
六、求下列函数在指定区间上的最大值和最小值:
1. 32()23121f x x x x =+-+,[3,3]x ∈-
2. 32()2153624,[1,4]f x x x x x =-+-∈
3. 543()551,[1,2]f x x x x x =-++∈-
七、设函数3232y x ax bx c x x =+++=-=在处有极大值,在处有极小值-10,求常数a b c 、、,
八、函数3226[2,2]y x x m =-+-在区间上有最大值3,求它的最小值
九、三次函数()f x 当3x =时有极小值0,又:曲线()y f x =上点(1,8)处的切线过(3,0)点.
求()f x 的表达式
十、要靠墙建造6间猪圈(如图),若新砌墙的总长度
为36米,求每间猪圈的最大面积
【导数的应用练习题(文科)答案】
一、2|1,50.x k y x y ='==--=方程为
二、8080|4|320q q C q =='==.
三、22|42,x k y b b ='===+⇒=- 切点(2,4)在抛物线上,得4c =. 四、1. 增区间:(-1,0)、(1,+∞);减区间:(-∞,-1)、(0,1).
2. 增区间:(-∞,0)、(1,+∞);减区间:(0,1).
3. 增区间:(-3,0)、(3,+∞);减区间:(-∞,-3)、(0,3).
五、1. (2)21,f -=极大值 (1)6f =-极小值.
2. (6)3456,f =极大值 (10)0f =极小值.
3. 232(),327
f =极大值 (2)0f =极小值. 4. (4)92,f -=极大值 (2)16f =-极小值.
六、1. (3)46,f =最大值 (1)6f =-最小值 <又:(3)10f -=, (2)21f -=> 2. (4)8,f =最大值 (1)1f =-最小值 <又:(2)4f =, (3)3f => 3. (1)2,f =最大值 (1)10f -=-最小值 <又:(2)7f =-, 3[1,2]∉->
七、-3、2是0y '=的根 1.5a ⇒=, 18b =-;(2,-10)在曲线上12c ⇒=.
八、令0y '=得0,2x x ==,由下表知3m =,∴最小值为(2)37f -=-.
九、设32()f x ax bx cx d =+++ 则(3)0,(3)0,f f '==(1)8f =,切线过(3,0)和(1,8)点，从而知切线的斜率(1)k f '==4-，故有： 3227930127605()53983
3249
a b c d a a b c b f x x x x a b c d c a b c d +++==⎧⎧⎪⎪++==-⎪⎪⇒⇒=-++⎨⎨+++==⎪⎪⎪⎪++=-=⎩⎩.。