正交分解(上课)
空间向量的正交分解及其坐标表示(上课用)
注意： 1.空间向量的基底可以为零向量吗？
基向量不能为零向量
2.空间向量的基底唯一吗？
任意三个不共面的向量都可作为空间向量的一个基底。
三、平面向量的坐标表示
y
正交单a位 xi +y j
基底
yj
a 我们把(x,y)叫做向量 a 的
j
(直角)坐标，记作
O
x
i xi
a (x, y)
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标， y叫做 a在y轴上的坐标， (x,y)叫做向量的坐标表示.
记作.P=(x,y,z)
e3
e1
O e2
y
x
三、空间向量的正交分解及其坐标表示
由空间向量基本定理，对
z
于空间任一向量 p 存在唯
一的 有序实数组 (x,y, z)使 p xi yj zk
记作 p =(x,y,z)
PP k
i Oj
y
空间向量 p
i, j, k 为基底
P′
一一对应
x 有序实数组 (x, y, z)
1 2 OA MN
23
O M
1
OA
2
ON
OM
2 3
A
Q
P
C
1
OA
2
ON
1
OA
2 3 2
1
OA
2
1
OB
OC
6 3 2
N B
1
OA
1
OB
1
OC
633
例题：
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分
别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向
量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.
正交分解法、整体法和隔离法教案
正交分解法、整体法和隔离法教案一、教学目标：1. 让学生理解正交分解法的概念和应用。
2. 让学生掌握整体法的思路和操作步骤。
3. 让学生学会使用隔离法解决实际问题。
4. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 正交分解法：介绍正交分解法的定义、原理和应用。
2. 整体法：讲解整体法的思路、步骤和注意事项。
3. 隔离法：阐述隔离法的原理、方法和实践操作。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：正交分解法、整体法和隔离法的概念、原理和应用。
2. 教学难点：如何灵活运用正交分解法、整体法和隔离法解决实际问题。
四、教学准备：1. 教学PPT：正交分解法、整体法和隔离法的讲解和案例分析。
2. 案例素材：选取具有代表性的实际问题作为教学案例。
3. 练习题：针对每个知识点设计相应的练习题。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题引入正交分解法、整体法和隔离法。
2. 讲解正交分解法：阐述正交分解法的定义、原理和应用，举例讲解。
3. 讲解整体法：讲解整体法的思路、步骤和注意事项，举例讲解。
4. 讲解隔离法：阐述隔离法的原理、方法和实践操作，举例讲解。
5. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用正交分解法、整体法和隔离法解决问题。
6. 练习与讨论：让学生独立完成练习题，并进行小组讨论。
8. 布置作业：设计具有针对性的作业，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况。
2. 练习题完成情况：检查学生对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现和合作精神。
4. 课后作业：检验学生对知识的运用和巩固情况。
七、教学反思：在课后对自己的教学进行反思，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了正交分解法、整体法和隔离法。
如有需要，对教学方法和教学内容进行调整。
八、教学进度安排：1. 第1-2课时：正交分解法讲解与案例分析。
2. 第3-4课时：整体法讲解与案例分析。
3. 第5-6课时：隔离法讲解与案例分析。
正交分解法课件
01
02
03
选取正交基
选择一组正交基，用于表 示目标向量。
展开目标向量
将目标向量展开为正交基 的线性组合，即每个基底 与对应系数的乘积之和。
求解系数
通过点积运算求解展开式 中的系数，使得目标向量 与正交基之间的点积相等 。
正交分解法的优势与局限性
优势
正交分解法能够将复杂的向量运算转化为简单的代数运算，方便计算。同时， 正交基的选择具有多样性，可以根据具体问题选择合适的基底。
多目标正交分解法
总结词
多目标正交分解法是一种解决多目标优化问 题的有效方法。
详细描述
多目标正交分解法通过将多目标优化问题转 化为一系列单目标优化问题，利用正交分解 技术求解。这种方法能够同时考虑多个目标 ，平衡不同目标之间的冲突，从而找到更全 面的解决方案。
自适应正交分解法
总结词
自适应正交分解法是一种能够自动调整参数 和方法的正交分解方法。
组合优化问题
组合优化问题是一类具有离散特征的 优化问题，如旅行商问题、排班问题 等。正交分解法也可以用于解决组合 优化问题，通过将问题分解为若干个 子问题，降低问题的复杂度，提高求 解效率。
VS
例如，一个简单的组合优化问题可以 表示为：最小化 $f(x)$，满足 $x in {0,1}^n$，其中 $f(x)$ 是一个非线 性函数。通过正交分解法，可以将这 个问题分解为一系列简单的子问题， 从而方便求解。
自适应算法设计
根据不同问题的特性，设 计自适应的正交分解法， 提高算法的适用性和鲁棒 性。
应用领域的拓展
数值分析领域
将正交分解法应用于更广泛的数值分析问题，如 求解偏微分方程、积分方程等。
机器学习领域
高一物理力的正交分解(教学课件201911)
正交分解问题解题步骤
1.对物体进行受力分析 2.选择并建立坐标系 3.将各力投影到坐标系的X、Y轴上 4.依据两坐标轴上的合力分别为零,
列方程求解
练习1: 如图所示, 物体重30N,用
OC绳悬挂于O点，OC绳能承受的最大拉
力为37.5N,再用一绳系在OC绳上的A点，
BA绳能承受的最大拉力为30N，现用水
平力拉BA，可以把OA绳拉到与竖直方向
成多大角度？
答案
θ =37o
正交分解
练习2:如图所示, 物体在拉力F的作用 下沿水平面作匀速直线运动, 拉力F与水平 面夹角为θ,求:(1)物体受到的摩擦力大小 (2)物体受到的重力、摩擦力和支持力三个 力的合力大小。 (3)物体受到的摩擦力与F 的合力方向如何？(4)物体受到的重力与摩 擦力的合力的方向（如1何）？f=Fcosθ 答案
（2）F2 = F （3）竖直向上 （4）左斜向下(在支持力
与F之间的反方正向交上分) 解
练习3: 物体m放在粗糙的斜面上保
持静止，现用水平力F推物体m，在力F由
零逐渐增加而物体m仍静止的过程中，物
体m所受的
答案
（A） 静摩擦力逐渐减小到零 （B） 静摩擦力的方向可能改变 B、D
（C）合外力逐渐增大
正问题中，常把一个力分解 为互相垂直的两个分力，特别是 物体受多个力作用时，把物体受
到的各个力都分解到互相垂直的 两个方向上去，然后求两个方向
上的力的合力，这样可把复杂问 题简化，尤其是在求多个力的合 力时，用正交分解的方法，先将 力分解再合成非常简单．
怎样去选取坐标呢？原则上是任意的， 实际问题中，让尽可能多的力落在这个方
向上，这样就可以尽可能少分解力．
如图所示，将力F沿力x、y方向分解，可得：
正交分解及坐标表示上课用
栏目导引
◎在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中， 为 AC 与 BD 的交 M → 点．若A→ 1＝a，A→ 1＝ b，A1A＝c，用基底{a，b，c}表示向 B D 1 1 → 量C1M.
工具
人教A版数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
【错解】
→ → C1M＝A1M－A→ 1 1C
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
工具
人教A版数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
复习：
平面向量基本定理：
如果e1，2是同一平面内的两个不 e 共线向量， 那么对于这一平面内的 任一向量a，有且只有 一对实数1，2，使a＝1 e1＋2 e 2。 （e1、2叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组基底。）
这种分解我们把它叫做空间向 量的正交分解.
工具
人教A版数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标
单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底,常用e1 , e2 , e3 表示
工具
人教A版数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
工具
z
A(x,y,z) e3 e1 O e2 y
x
栏目导引
人教A版数学选修2-1 第三章 空间向量与立体几何
空间向量基本定理的考查
例1
已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC， M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是 线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表 O 示向量OP,OQ.
平面向量的正交分解及坐标表示
a xi y j
y
正交分解教案
正交分解教案教案标题：正交分解教案教案目标：1. 理解正交分解的概念和原理。
2. 掌握正交分解的计算方法和步骤。
3. 能够应用正交分解解决实际问题。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾向量的基本概念和向量空间的性质。
2. 引出正交分解的概念，解释正交分解在向量空间中的重要性和应用领域。
探究：3. 讲解正交向量的定义和性质，以及正交向量组的概念。
4. 通过示例向学生展示如何判断向量组是否正交。
5. 引导学生思考如何将一个向量表示为正交向量组的线性组合。
知识传授：6. 讲解正交分解的原理和计算方法。
7. 通过示例演示如何进行正交分解的计算步骤。
8. 强调正交分解的唯一性和正交基的选择。
练习：9. 提供一些练习题，让学生运用正交分解的方法解决问题。
10. 引导学生分析和讨论解决问题的思路和步骤。
拓展应用：11. 引导学生思考正交分解在其他学科领域的应用，如信号处理、图像处理等。
12. 提供一些拓展性的问题，让学生运用正交分解解决更复杂的问题。
总结：13. 总结正交分解的重要性和应用，并回顾教学内容。
14. 鼓励学生运用正交分解的方法解决更多实际问题。
教学评估：15. 设计一些评估题目，检验学生对正交分解的理解和应用能力。
16. 对学生的答案进行评价和反馈，指导学生进一步提高。
教学资源：- 教科书或教学讲义- 示例向量和正交向量组- 练习题和拓展问题- 评估题目和答案解析教学延伸：教师可以邀请专业人士或相关领域的专家进行讲座或分享，介绍正交分解在实际应用中的案例和最新研究进展，激发学生对该领域的兴趣和学习动力。
此外，教师还可以引导学生进行小组讨论或项目研究，深入探究正交分解在不同学科领域的应用，并进行展示和交流。
新人教版高中物理《力的分解(第3课时)正交分解》PPT课件
与F之间的反方正向交上分) 解
例1: 如图所示,电灯的重力G ,BO与顶板间的夹角为θ ,AO绳 水平,求绳AO、BO受到的拉力 F1 、F2 是多少？
答案
F1 =Fctgθ =Gctgθ F2=F/sinθ =G/sinθ
正交分解
练习: 物体m放在粗糙的斜面上保持
静止，现用水平力F推物体m，在力F由零
逐渐增加而物体m仍静止的过程中，物体
例2：如图所示，物体受到F1、F2和F3的
作用， F2与F3的夹角为1350 ，F1与F3的 夹角为1500，其中F3=10N，物体处于静止 状态，则F1和F2的大小各为多少？
F1y
F2 F2y
450
o
F2X
y F1
600
F1X
X：F2X=F1X 即：F2cos450=F1cos600
x Y： F2Y+F1Y=F3
三、力的正交分 定义：把一解个已知力沿着两个互相垂直的方向进行分解
正交分解步骤： ①建立xoy直角坐标系 ②沿xoy轴将各力分解
③求xy轴上的合力Fx,Fy ④最后求Fx和Fy的合力F
如图所示，将力F沿力x、y方向分解，可得：
Fx F cos
Fy
F sin
F Fx2 Fy2
即：F2sin450+F1sin600=F3
F3
正交分解问题解题步骤
1. 对物体进行受力分析 2. 选择并建立坐标系 3. 将各力投影到坐标系的X、Y轴上 4. 依据两坐标轴上的合力分别为零,
列方程求解
怎样去选取坐标呢？原则上是任意 的，实际问题中，让尽可能多的力落在 这个方向上，这样就可以尽可能少分解 力．
正交分解法教案
正交分解法一、正交分解法把力按相互垂直的两个方向分解叫正交分解二、用力的正交分解求多个力的合力1、建立直角坐标系（让尽量多的力在坐标轴上）2、正交分解各力（将各力分解到两个坐标轴上）3、分别求出x 轴和y 轴上各力的合力：4、求出FX 和 Fy 的合力，即为多个力的合力大小： 方向：三、用力的正交分解求解物体平衡问题1、画出物体的受力图。
2、建立直角坐标系。
3、正交分解各力。
（将各力分解到两个坐标轴上）4、物体平衡时各方向上合力为零,分别写出x 方向 和y 方向方程。
22yx F F F +=x yF F =θtan ⎩⎨⎧==θθsin cos F F F F y x ⋅⋅⋅+++=xx x x F F F F 321⋅⋅⋅+++=y y y y F F F F 3215、根据方程求解。
例题2：如图所示，质量为m 的物体放在粗糙水平面上，它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力F 作用下匀速向右运动。
求拉力F 的大小。
例题2：如图所示，质量为m 的物体放在粗糙水平面上，它与水平面间的滑动摩擦因数为μ，在与水平面成θ角的斜向上的拉力F 作用下匀速向右运动。
求拉力F 的大小。
∵物体匀速运动，合外力为零由x 方向合外力为零，有：由y 方向合外力为零，有：解得：例题3：如图所示，质量为m 的物体在倾角为θ的粗糙斜面下匀速下滑，求物体与斜面间的滑动摩擦因数。
θμθμsin cos +=mg F 0321=⋅⋅⋅+++=x x x x F F F F 0321=⋅⋅⋅+++=y y y y F F F F NF μθ=⨯cos mgF N =⨯+θsin解析：∵物体匀速运动，合外力为零由x 方向合外力为零，有：由y 方向合外力为零，有：解得：练习一：如图所示，质量为m 的光滑小球放在倾角为θ的斜面上被挡板挡住，求斜面对小球的弹力及挡板对小球的弹力。
θθθμtan cos sin ==Nmg μθ=⨯sin θcos mg N =练习二：如图所示，质量为m的物体在与竖直方向成θ角的恒力F作用下沿粗糙墙面向上匀速运动，求物体与墙壁间的动摩擦因数。
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f
FY G
FX F
x
f N N FN FN G F sin 得 : f (G F sin )
例1：如图所示，质量为m的木块在力F作用下在 水平面上做匀速运动。木块与地面间的动摩擦 因数为，则物体受到的摩擦力为（ BD ）
A. mg
B. (mg+Fsin)
A. mg
B. (mg+Fsin)
C. (mg-Fsin)
F2
D. Fcos
F
求物体（研究对象）所受的某个力，先要知道物体所受的每一个力。即：进行受力分析。 我们如何进行受力分析？ 首先分析已知力 之后分析重力（重力一定， 有竖直向下） 其次分析弹力，依次寻找 接触面（垂直接触面） 再次分析摩擦力，依次弹 力存在的面分析（沿接触 面） 最后分析其它力 注意：受力分析时千万不能 出现多力或者少力问题出现。 （每一个力都有施力物体和 受力物体） 对物体受力分析结束，紧接着就 是按已知条件进行分析处理。 有图可知，FX = F cos FY = F sin 由题可知，物体处于平衡状 态。 即：f = F cos FN = G + Fy = G + F sin 由滑动摩擦力定理： 解：对物体进行受力分析如图所示： 并建立直角坐标系，进 行正交分解。 y FN
y
Fy F合
θ
F2x
Fx
的力，分解两个相互垂直的直线
上（构建垂直力），分别求合力。 之后在运用勾股定理求最终合力？
x
F2y
定义：把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，
叫做力的正交分解法。 目的：是化复杂的矢量运算为普通代数运算，它是 处理力的合成与分解的复杂问题的一种简便方法 正交分解法的基本思想：
天祝藏族自治县第一中学 高一物理组
例、如图所示，求：F1=9N、 F2=6N、F3=8N，这三个力的合力大小和方向？
依次做平行四边形，之后根据标度求得。
再有什么办法？？？？
思考：我们求合力时，哪种情况下，求合力简单？
共线力：同向直接相加（方向与分力相同），反向较大者减去较小者（方向 与较大者同向）。（可认为为代数运算） 除共线力合成简单。还有哪种情况 下力的合成简单？ 两个相互垂直的力，直接运用勾股 定理。 那么我们能不能为了合成，将所有
y
Fy
F合 θ Fx
F21
x
F22
注意：若F=0，则可推出得Fx=0，Fy=0，这是处 理多个力作用下物体平衡问题的好办法，以后常 常用到。 （物体的平衡状态指：静止状态或匀速直线运动 状态）
例1：如图所示，质量为m的木块在力F作用下在 水平面上做匀速运动。木块与地面间的动摩擦 因数为，则物体受到的摩擦力为（ ）
先分解后合成，分解是为了合成。
2.采用正交分解法求合力的一般步骤：
A：正确选择直角坐标系
一般选共点力的作用点为原点，水平方向或物体运动的加
速度方向为x轴 原则：使尽量多的力在坐标轴上。 B：正交分解各力 即：分别将各力投影在坐标轴上， 分别求出坐标轴上各力投影的合力。 C：两个坐标轴上的分力进行最终合 成
C. (mg-Fsin) D. Fcos
例题2：如图，位于水平地面上的质量为m的小 木块，在大小为F，方向与水平方向成α角的拉力 作用下沿地面向右作匀速直线运动。求： （1）地面对物体的支持力 （2）木块与地面之间的动摩擦因数 F