第五章 黑油模型(IMPES方法)

(11)
二、组分质量守恒方程
将（7）、（8）、（11）代入（1）、（2）、（3） 的右端项得组分质量守恒方程 • 油组分
kk ro (∇ p o − ρ o g ∇ D ) + q ov = φ ∂ S o + S o ∂ φ − φ S2o ∂ B o ∂ P o ∇⋅ B o ∂t B o ∂ P o B o ∂ P o ∂t Bo µ o
φRso ∂S o
(9)
根据（4）式，得
∂S g ∂t =− ∂S o ∂S w − ∂t ∂t
(10)
∂t
将（10）式代入（9）式得到只含So、Sw、Po的方程 φRso φ ∂S o φRsw φ ∂S w Sg So Sw ∂ [φ ( + Rso + Rsw )] = − + −
S o ∂φ φS o ∂Bo ∂Po φ ∂S o ∂ φS o ( )= +( − 2 ) ∂t Bo Bo ∂t Bo ∂Po Bo ∂Po ∂t S ∂φ φS w ∂Bw ∂Po φ ∂S w ∂ φS w ( )= +( w − 2 ) ∂t Bw Bw ∂t Bw ∂Po Bw ∂Po ∂t
如D4排列
4 14 1
k=1
19 5 15 10 20 6 24 11 21
k=2
16 2 13 7 17 3 22 8 18 12 23 9
对第i,j,k个网格，可写成如下的一般式：
+ + ATk PKn−11 + ASJ PJn−+1 + AWI PIn11 + ABk Pkn++1 + ANJ PJn++11 + AEI PIn+1 + EPn+1 = B （17） 1 − 1 +1
S w (x, y,0 ) = S wc
∂P ∂n = 0
Γ
t>0
y 0 x
B.C 1) 外边界封闭
t > 0
Lx
2)内边界 •定产 Qv = Qv ⋅ δ (x − ζ , y − η ) 式中 δ点源函数 •定流压 Piwf Pwf t>0
t>0
Leabharlann Baidu
第二节 差分方程组的建立
一、方程（1）、（2）、（3）的右端项
二、数学模型
1. 组分质量守恒方程 • 油组分
kk ro (∇ p o − ρ o g ∇ D ) + q ov = ∂ φ s o ∇⋅ ∂t B o Bo µ o
（1）
• 水组分
kk rw (∇ p w − ρ w g ∇ D ) + q wv = ∂ ∇ ⋅ ∂t Bwµw φ sw Bw
[(
)]
（3）
2. 辅助方程 (4) s g + so + s w = 1 (5) pcow = po − pw (6) pcgo = p g − po 3. 初始条件和边界条件 假设边界不规则的油藏中有若干口井生产或注入，求 油藏中的压力和饱和度分布。 Ly I.C P (x, y,0 ) = Pi
P
Pon+1 代入方程（1），求得 S on+1 。 5) 将 n Pwn+1 代入方程（2），求得 S w+1 。 n +1 n +1 n +1 然后 S g = 1 − S o − S w
n +1 gij
=P
n +1 oij
+P
n cgo
2. 具体算法 1) 压力方程
(12)×(Bo-RsoBg)+(13)×(Bw-RswBg)+(14)×Bg 得
2 i + , j ,k 2
∆ y Ay ∆Py = A ∆ z Az ∆Pz = A
1 i , j − ,k 2 1 2
( Pi , j −1,k − Pi , j ,k ) + A ( Pi , j ,k −1 − Pi , j ,k ) + A
1 i , j + ,k 2 1 2
( Pi , j +1,k − Pi , j ,k ) ( Pi , j ,k +1 − Pi , j ,k )
式中
C t = Cφ + C o S o + C w S w + C g S g Cφ = 1 ∂φ φ ∂Po Co = − 1 ∂Bo Bg ∂Rso + Bo ∂Po Bo ∂Po 1 ∂Bg Cg = − Bg ∂Po
1 ∂Bw Bg ∂Rsw Cw = − + Bw ∂Po Bw ∂Po
2) 隐式压力差分方程组的建立 对（15）式写差分方程时，由于网格节点多，因此可 用简化形式。 i,j,k-1 y i,j+1,k x
i-1,j,k i,j,k i,j-1,k i+1,j,k
z
i,j,k+1
∆A∆P = ∆ x Ax ∆Px + ∆ y Ay ∆Py + ∆ z Az ∆Pz
k k rl 面积 式中 A— 传导系数， Bl µ 距离 ， P —压力 l ∆ x Ax ∆Px = Ai − 1 , j ,k ( Pi−1, j ,k − Pi , j ,k ) + A 1 ( Pi+1, j ,k − Pi , j ,k )
∂P o + Bw ∂P o ∂P ∂t o
(14)
三、IMPES方法压力方程和饱和度方程
1. 思路 1) 乘以适当的系数，合并（12）（13）（14）以消除SW， SO得到只含变量PO，PW，Pg的压力方程。 2) 由毛管压力公式PCow=PO-PW， PCgo=Pg-Po，得到只含变 n +1 量 Po 的压力方程。 3) 达西系数项及毛管压力采用上一时间值，因此可得只 含变量PO的线性 代数 方程组。 n +1 n +1 n n Poij+1，再求Pwij = Poij − Pcow 4) 解线性代数方程组后，求得
(12)
• 水组分
kk rw (∇ p w − ρ w g ∇ D ) + q wv = φ ∂ S w + S w ∂ φ − φ S2w ∂ B w ∂ P o ∇⋅ Bw µ w B w ∂t B w ∂ P o B w ∂ P o ∂t
(13)
第五章 黑油模型（IMPES方法）
• • • • 数学模型 差分方程组的建立 井、初始场分布和过泡点处理 资料输入
第一节 数学模型
一 、假设条件 1. 符合达西渗流定律 2. 等温渗流 3. 油气水三相和油气水三组分，水组分存在于水相中， 油组分存在于油相中，气组分不仅存在于气相中，而 且存在于油相和水相中 4. 三维(x,y,z)方向流动 5) 岩石和流体均可压缩 6) 油藏非均质和各向异性 7) 考虑毛管力和重力
• 气组分 k krg kk kk ∇⋅ ∇Pg − ρg g∇D + ∇⋅ Rso ro (∇Po − ρo g∇D) + ∇⋅ Rsw rw (∇Pw − ρw g∇D) + qgv Bg µg Bo µo Bw µw
(
)
φRso φ ∂So = − B B ∂t g o − B
（2）
• 气组分 kkrg kkro (∇pg − ρg g∇D)＋∇⋅ Rso (∇po − ρo g∇D) ∇⋅ Bgµg Boµo
kkrw ∂ sg s s (∇pw − ρw g∇D) + qgv = φ Bg + Rso Boo + Rsw Bww ＋∇⋅ Rsw ∂t Bwµw 式中Rso—气油比 ， Rsw—气水比
i , j ,k −
i , j ,k +
对压力方程（15）进行隐式差分后，两端乘以 VB = ∆xi ∆y j ∆z k 后，令 Ql = VB qlv l = o, w, g 可得到以下隐 式压力差分方程组。
( Bo − Rso B g ) in, j ,k (∆Aon ∆P n+1 + GOWT + Qo ) i , j ,k
kkro kkrw (Bo − RsoBg )∇⋅ (∇P − ρo g∇D) + qov+(Bw − RswBg )∇⋅ (∇P − ρwg∇D) + qwv o w Boµo Bwµw kkrg kkro (15) + Bg ∇⋅ (∇P − ρg g∇D +∇⋅ Rso (∇P − ρo g∇D) g o Bg µg Boµo kkrw ∂P + Bg ∇⋅ Rsw (∇P − ρW g∇D) + qgv =φCt o w ∂t Bwµw
n + ( Bw − Rsw Bg ) in, j ,k (∆Aw ∆P n+1 + GWWT + Qw ) i , j ,k n n + ( B g ) in, j ,k (∆Agn ∆P n+1 + ∆ Rn Aon ∆P n+1 + ∆Rsw Aw ∆P n+1 + GGWT + Qg ) ijk so
Bg Bo Bw Bo Bg ∂t Bw Bg ∂t
S g ∂φ φS g ∂Bg S o Rso ∂φ φS o ∂Rso φRso S o ∂Bo + − 2 + + − B ∂P Bg ∂Po Bo ∂Po Bo ∂Po Bo2 ∂Po g o S w Rsw ∂φ φS w ∂Rsw φRsw S w ∂Bw ∂Po + + − 2 Bw ∂Po Bw ∂Po Bw ∂Po ∂t
[
]
根据方程（16），对第i，j，k个网格写差分方程， 由于其邻节点有六个，可形成七对角系数矩阵方程。 若排列方式不同，则系数矩阵形式不同。 如标准排列，若有二层网格，先按k方向，后J方向， 最后为I方向，顺序排列。 k=2 k=1 5 11 17 3 9 15 1 7 13 其系数矩阵如下： 23 21 19 6 12 18 24 4 10 16 22 2 8 14 20
(7) (8)
Sg So Sw ∂ φ ∂S g S g ∂φ φS g ∂Bg ∂Po [φ ( + Rso + Rsw )] = + − 2 ∂t Bg Bo Bw Bg ∂t Bg ∂Po Bg ∂Po ∂t S o Rso ∂φ φS o ∂Rso φRso S o ∂Bo ∂Po + + + − 2 Bo ∂t Bo ∂Po Bo ∂Po Bo ∂Po ∂t φRsw ∂S w S w Rsw ∂φ φS w ∂Rsw φRsw S w ∂Bw ∂Po + + + − 2 Bw ∂t Bw ∂Po Bw ∂Po Bw ∂Po ∂t
式中
1 n n ATk = Bon + Bgn ( Rsok −1 − Rsok ) A n 1 2 Ok − 2 n 1 n n + Bw + Bgn ( Rswk −1 − RSwk ) A n 1 + Bgn A n 1 gk − 2 wk − 2 2 1 n n AS J = Bon + Bgn ( Rsoj −1 − Rsoj ) A n oj − 1 2 2
(φVB Ct ) n =( ) i , j ,k ( P n+1 − P n ) ∆t
(16)
式中
GOWT = −∆Aon ∆( ρ o gD ) n
n GWWT = −∆Aw ∆( ρ w gD + Pcow ) n n n n n GGWT = ∆ Agn ∆ ( Pcgo − ρ g gD) n − Rso AO ∆( ρ g gD ) n − Rsw Aw ∆( Pcow + ρ w gD ) n
2 o
φRsw φ ∂Sw Sg ∂φ φSg ∂Bg So Rso ∂φ φSo ∂Rso + − + − + + B B ∂t B ∂P B2 ∂P Bo ∂P Bo ∂P g o o o g g o w + Bw ∂P o − B
2 w
φSo Rso ∂Bo RswSw ∂φ φSw ∂Rsw φRswSw ∂Bw ∂Po