sparse recovery 稀疏求解
高效稀疏信号恢复算法研究
高效稀疏信号恢复算法研究Abstract:稀疏信号恢复是处理信号处理和机器学习领域中的一个重要问题。
在实际应用中，往往需要从有限的观测数据中恢复出或估计出一个信号的稀疏表示。
本文将介绍一些高效的稀疏信号恢复算法及其研究进展。
1. 引言在信号处理和机器学习中，稀疏信号恢复是一个经典的问题。
稀疏信号指的是具有很少非零分量的信号。
在实际应用中，信号往往可以通过较少的基函数表示。
我们的目标是在给定有限观测数据的情况下，从中恢复出信号的稀疏表示。
2. 相关算法及方法2.1. L1 范数最小化算法L1 范数最小化算法是最常用的求解稀疏信号恢复问题的方法之一。
该方法通过最小化信号的L1 范数，将问题转化为一个凸优化问题。
然后可以使用一些高效的优化算法，如迭代软阈值算法、迭代重加权算法等来求解。
2.2. 正则化方法正则化方法在稀疏信号恢复中也被广泛应用。
通过添加一个正则化项，可以引入信号的稀疏性先验信息，从而提高恢复精度。
常见的正则化项包括L1 范数、L2 范数、Total Variation 等，可以根据不同情况选择合适的正则化项。
2.3. 基于字典的方法基于字典的方法是一种将信号表示为基函数的线性组合的方法。
字典可以通过训练数据来学习得到，也可以使用已有的字典。
通过求解一个稀疏优化问题，可以得到信号的稀疏表示。
常用的字典包括小波字典、傅里叶字典等。
3. 高效稀疏信号恢复算法3.1. 压缩感知算法压缩感知算法是一种通过少量采样数据来恢复信号的稀疏表示的方法。
该算法利用信号的稀疏性，通过选择合适的采样矩阵进行采样，然后利用压缩感知理论恢复信号的稀疏表示。
压缩感知算法具有较好的恢复性能和较低的计算复杂度。
3.2. 基于局部化的算法基于局部化的算法是一种通过选择合适的稀疏基函数来提高稀疏信号恢复性能的方法。
该方法通过引入空间局部性或频域局部性，将信号表示为基函数的线性组合，从而提高稀疏表示的准确性和稳定性。
3.3. 基于机器学习的算法近年来，随着机器学习的快速发展，基于机器学习的稀疏信号恢复算法也得到了广泛研究和应用。
基于稀疏贝叶斯学习的稳健ＳＴＡＰ算法
两种失配同时存在的情况还需进一步探索。
∑ 针对上 述 问 题，本 文 提 出 一 种 基 于 稀 疏 贝 叶 斯 框
架［１９２０］的 稳 健 ＳＴＡＰ （ｒｏｂｕｓｔｓｐａｒｓｅＢａｙｅｓｉａｎｌｅａｒｎｉｎｇ ｂａｓｅｄＳＴＡＰ，ＲＳＢＬＳＴＡＰ）算法。ＲＳＢＬＳＴＡＰ 算 法 首 先 利用导向矢量的 Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ结构构建阵列幅相误差和格点 失配同时存在情况下的误差信号模型，然后利用贝叶斯推 断和最大期望（ｅｘｐｅｃｔａｔｉｏｎｍａｘｉｍｉｚａｔｉｏｎ，ＥＭ）算法 迭 ［２１２５］ 代求取角度 多普勒像、阵列误差参数以及格点失配参数， 最后利用求解参数计算精确的 ＣＣＭ 和ＳＴＡＰ权矢量。此 外，为了减小模型构建所增加的计算复杂度，本文还提出了 一种基于空域通道的自适应降维字典矩阵设计方法。仿真 实验证明了所提算法的正确性与有效性。
示 划
分必然会带来格点失配效应。为了解决这个问题，本文借鉴
文献［１５］中的策略，给每一个离散化的空域通道犳狊，犻（犻＝１， ２，…，犖狊）增加一个辅助原子。定义
式 疏
中角：度α狓犮＝多＝［普α犻１犖＝勒，狊１１，犼α像犖＝犱２１，，α２非犻，，犼…犜零狏，α元（犳犖狊犱素犖，犱犼表，］犳Ｔ狊示∈，犻）犆相＋犖狊应狀犖犱格×＝１点犜表犞＾上示α犮存待＋在求狀杂取
（５） 的稀 波分
量 空
时；犞＾字典［狏矩（犳阵犱，１。，犳但狊，１是），杂狏（波犳犱在，２，空犳狊时，２）平，面…是，狏连（犳续犱，犖存犱 ，在犳犱的，犖狊，）离］表散
ＳＲＳＴＡＰ算法的ＣＣＭ 估计精度。
其引入式（１），则实际接收信号模型 可 ［１７１８］ 以修正为
∑ 为了减小模型失配造成的影响，文献［１２ １６］对离散
化处理造成的格点失配现象进行了分析，提出局域化搜索 和非均匀划分的空时字典校准算法；文献［１７ １８］对由阵 元幅相误差造成的失配现象进行了分析，提出误差参数和
改进稀疏表示算法在人脸识别中的应用
改进稀疏表示算法在人脸识别中的应用刘霞;罗文辉;苏义鑫【摘要】人脸识别的主要难度在于,受到光照变化、表情变化以及遮挡的影响,会使得采集的不同人的人脸图像具有相似性.为有效解决基于稀疏表示的分类算法(Sparse Representation-based Classification,SRC)在人脸训练样本不足时会导致识别率降低和稀疏表示求解效率较低的问题,提出了基于判别性低秩分解与快速稀疏表示分类(Low Rank Recovery Fast Sparse Representation-based Classification,LRR_FSRC)的人脸识别算法.利用低秩分解理论得到低秩恢复字典以及稀疏误差字典,结合低秩分解和结构不相干理论,训练出判别性低秩类字典和稀疏误差字典,并把它们结合作为测试时所用的字典;用坐标下降法来求解稀疏系数以提高了计算效率;根据重构误差实现测试样本的分类.在YALE和ORL数据库上的实验结果表明,提出的基于LRR_FSRC的人脸识别方法具有较高的识别率和计算效率.%The main difficulty in terms of face recognition lies in the occlusion as well as the changes in lightning and expre-ssions, both of which may result in the similarity between the different face images. The classification algorithm based on sparse representation(SRC)is a classical face recognition algorithm. However, such method has the problem that the recog-nition rate decreases and the sparse representation has low efficiency when face training samples are insufficient. To elimi-nate these drawbacks, this paper proposes a face recognition algorithm based on discriminative Low Rank Recovery Fast Sparse Representation-based Classification(LRR_FSRC). Firstly, low-rank decomposition theory is used to obtain a low-rank recovery dictionary and a sparse error dictionary. This isfollowed by the integrated utilization of the low-rank decom-position and structural incoherence theory, which are used to train discriminative low-rank dictionary and sparse error dic-tionary. The discriminative low-rank dictionary and sparse error dictionary are combined as dictionary for testing. Secondly, the method of coordinate descent is used to figure out the sparse coefficient to improve the computational efficiency. Finally, according to the reconstruction error, the classification of the test sample is achieved. Experimental results on the YALE and ORL databases show that the LRR_FSRC based face recognition method proposed in this paper has higher recogni-tion rate and faster computational efficiency.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2019(055)014【总页数】7页(P191-197)【关键词】人脸识别;稀疏表示;低秩矩阵恢复;坐标下降法;基于稀疏表示的分类(SRC)算法【作者】刘霞;罗文辉;苏义鑫【作者单位】武汉理工大学自动化学院,武汉 430070;武汉理工大学自动化学院,武汉 430070;武汉理工大学自动化学院,武汉 430070【正文语种】中文【中图分类】TP391.41 引言近年来，压缩感知[1]理论的发展使得稀疏表示受到越来越多学者的关注。
稀疏重建方法
稀疏重建方法一、引言稀疏重建方法是一种用于信号恢复和图像处理的技术，它能够通过有限的观测数据恢复出原始信号或图像中的稀疏成分。
在信号处理和图像处理领域中，稀疏重建方法具有广泛的应用前景。
本文将介绍稀疏重建方法的基本原理和常见的应用场景。
二、稀疏重建方法的基本原理稀疏重建方法的基本思想是，信号或图像的稀疏表示可以通过一组基向量进行线性组合来表示。
在某个特定的基向量表示下，信号或图像中的大部分系数都为零，只有少数系数是非零的。
利用这个特性，我们可以通过观测数据的线性组合来恢复出信号或图像中的稀疏成分。
稀疏重建方法的核心是求解一个稀疏表示问题。
一般来说，我们可以通过最小化稀疏表示问题的正则化函数来求解。
常见的正则化函数有L1范数和L0范数。
L1范数正则化函数可以使得信号或图像的稀疏表示更接近于真实的稀疏表示，而L0范数正则化函数可以使得信号或图像的稀疏表示的非零系数更少。
三、稀疏重建方法的应用场景稀疏重建方法在信号处理和图像处理领域中有着广泛的应用场景。
以下是几个常见的应用场景：1. 压缩感知压缩感知是一种新型的信号处理方法，它利用稀疏重建方法，通过少量的观测数据恢复出原始信号。
在压缩感知中，可以用稀疏重建方法来提高信号的采样效率，减少数据存储量。
2. 图像去噪在图像去噪中，稀疏重建方法可以通过观测到的噪声图像和一组基向量来恢复出原始图像中的稀疏成分。
通过最小化正则化函数，可以将噪声信号的影响降到最低，从而实现图像去噪的效果。
3. 图像压缩图像压缩是一种常见的图像处理方法，稀疏重建方法可以在图像压缩中发挥关键作用。
通过将图像的稀疏表示系数保存下来，可以实现对图像的高效压缩和存储。
4. 图像恢复在图像恢复中，稀疏重建方法可以通过观测到的部分图像和一组基向量来恢复出完整的图像。
通过最小化正则化函数，可以提高图像恢复的质量和准确性。
四、总结稀疏重建方法是一种用于信号恢复和图像处理的重要技术，它在压缩感知、图像去噪、图像压缩和图像恢复等领域具有广泛的应用前景。
Matlab中的稀疏表示和字典学习技巧
Matlab中的稀疏表示和字典学习技巧引言稀疏表示和字典学习技巧是图像处理和机器学习领域中经常使用的重要技术。
在Matlab中，有着丰富的工具箱和函数可以实现稀疏表示和字典学习，为我们提供了强大的能力来处理高维数据。
本文将介绍Matlab中的稀疏表示和字典学习技巧，并通过一些实例来说明它们的应用。
一、稀疏表示技术稀疏表示是指通过一组基向量的线性组合来表示数据的一种方法。
在Matlab中，我们可以使用字典工具箱（Dictionary Toolbox）来实现稀疏表示。
稀疏表示可以应用于各种领域，如图像处理、信号处理和数据压缩等。
在图像处理中，稀疏表示可以用于图像压缩和图像恢复等任务。
通过选择合适的字典和优化算法，我们可以将一张高分辨率图像表示为一组稀疏的线性组合。
在Matlab中，我们可以使用稀疏编码函数（sparse coding function）来实现这个过程。
具体步骤包括：选择字典、计算稀疏系数和重构图像。
通过调整字典的大小和优化算法的参数，我们可以得到不同精度的稀疏表示结果。
在信号处理中，稀疏表示可以用于信号降噪和信号恢复等任务。
通过将信号表示为一组稀疏的基向量的线性组合，我们可以有效地提取信号的特征和重建信号。
在Matlab中，我们可以使用稀疏表示工具箱（Sparse Representation Toolbox）来实现这个过程。
具体步骤包括：选择字典、计算稀疏系数和重构信号。
通过调整字典的大小和优化算法的参数，我们可以得到更准确和稳定的信号表示结果。
二、字典学习技巧字典学习是指通过训练数据来学习最优的字典的一种方法。
在Matlab中，我们可以使用字典学习工具箱（Dictionary Learning Toolbox）来实现字典学习。
字典学习可以应用于各种领域，如图像处理、文本处理和语音处理等。
在图像处理中，字典学习可以用于图像分类和图像重构等任务。
通过学习最优的字典，我们可以得到更好的特征提取和重构结果。
稀疏算子 编译
稀疏算子（Sparse Operator）是指只对部分元素进行操作的算子，例如矩阵乘法中的稀疏矩阵。
在编译过程中，稀疏算子的处理通常涉及到如何有效地存储和计算稀疏矩阵，以及如何优化稀疏算子的计算性能。
以下是一些编译中处理稀疏算子的常见方法：
1.压缩存储：对于稀疏矩阵，可以使用压缩存储方法来减少存储空间的使用。
例
如，可以使用三元组表示法或行主序存储法等。
2.稀疏算子优化：针对稀疏算子进行优化，可以显著提高计算性能。
例如，可以
使用快速傅里叶变换（FFT）等算法加速稀疏矩阵乘法等操作。
3.代码生成优化：在编译器中，可以根据稀疏算子的特性生成优化的代码。
例如，
可以使用向量化指令、并行计算等技术来加速稀疏算子的计算。
4.内存优化：对于大规模的稀疏矩阵，内存的使用也是一个重要的问题。
可以使
用内存优化技术，例如缓存优化、内存对齐等，来提高内存的使用效率。
5.并行计算：对于大规模的稀疏矩阵操作，可以使用并行计算技术来加速计算。
例如，可以将稀疏矩阵分成多个子矩阵，并使用多线程或分布式计算等技术进行并行处理。
总之，在编译过程中处理稀疏算子需要综合考虑存储、计算和内存等多个方面，并使用各种优化技术来提高计算性能和内存使用效率。
稀疏谱反演法
稀疏谱反演法
稀疏谱反演法（Sparse Spectral Inversion，SSI）是一种用于图
像恢复和超分辨率重建的图像处理技术。
它的基本思想是在频域对图像进行分解，然后通过稀疏表示的方法重建图像。
稀疏谱反演法首先将原始图像转换到频域，通常使用傅里叶变换或小波变换等方法。
然后，通过对频域表示进行稀疏表示，将原始图像表示为一组具有很少非零系数的基函数的线性组合。
最后，根据稀疏表示的线性组合，通过逆变换将图像恢复到空域。
稀疏谱反演法的优点是可以提取和利用图像的频域信息，从而实现对低分辨率或模糊图像的高质量重建。
它可以有效地减少图像的模糊和噪声，提高图像的清晰度和细节。
然而，稀疏谱反演法也存在一些限制和挑战。
首先，对于大规模图像，频域表示和稀疏表示的计算复杂度较高。
其次，对于非稀疏或高度复杂的图像，稀疏谱反演法可能无法取得理想的恢复效果。
总体而言，稀疏谱反演法是一种有潜力的图像恢复和超分辨率重建方法，可以用于多个领域，如医学图像处理、遥感图像处理等。
未来的研究工作应致力于改进算法的效率和鲁棒性，以及探索更有效的稀疏表示方法，以实现更好的图像恢复效果。
贝叶斯统计方法求解稀疏约束优化问题
贝叶斯统计方法求解稀疏约束优化问题
贝叶斯统计方法可以用于求解稀疏约束优化问题。
稀疏约束优化问题是一类常见的优化问题，它的目标是在满足某种约束条件的条件下，找到一个具有稀疏性的解。
其中，稀疏性指的是解向量中的大部分元素为零。
贝叶斯统计方法可以通过引入概率模型来求解稀疏约束优化问题。
具体来说，可以将优化问题转化为一个贝叶斯推断问题，即通过给定数据和先验知识，计算后验分布。
通过改变先验分布的形式，可以引入稀疏性的先验，从而达到求解稀疏约束优化问题的目的。
具体求解稀疏约束优化问题的贝叶斯方法包括：
1. 贝叶斯回归：在线性回归问题中，通过引入稀疏先验，如拉普拉斯分布先验或高斯分布先验的稀疏化版本，可以得到稀疏解。
2. 贝叶斯压缩感知：在压缩感知中，通过引入稀疏性先验，如拉普拉斯分布或指数分布的稀疏先验，可以求解稀疏表示问题。
3. 贝叶斯稀疏编码：在稀疏编码问题中，通过引入稀疏性先验，如拉普拉斯分布或高斯分布的稀疏先验，可以求解稀疏编码问题。
需要注意的是，贝叶斯统计方法求解稀疏约束优化问题通常需要进行概率推断，而概率推断是一个计算复杂度较高的问题。
因此，在实际应用中需要针对具体问题选择合适的求解算法，并考虑计算效率和精确度之间的平衡。
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and
.
Measurement have nothing to do with the structure of the underlying signal
Analysis vs. Synthesis Priors
(1) Synthesis-based L1 recovery
(2) Analysis-based L1 recovery
1.
1i N
3. Augment I I t t t 4. Find new signal estimate by solving
xt arg min y AIt c
c
5. Set the new residual :
6.
t t 1 , and stop when t = K
(Chen S, Donoho D, Saunders:1999)
Unconstrained L1-regularized least squares
Subgradient strategies Smooth approximation
Linear programming
Iterative thresholding
OMP: guarantees that the residue is orthogonal to all previously
chosen atoms no atom will be selected twice!
t 1 , set residual vector rt y , index set I t 2. Find index t that yields the maximal correlation with residue t arg min rt , a i
L0 minimization
L1 minimization
Greedy algorithms Matching Pursuit
Reweighting L1 minimization
Linear programming Basis pursuit (BP) problem ℓ1-regularized least squares Total-variation minimization Iterative thresholding
3. Augment selected index set: I I t t t
4. Update the residue: 5.
1i N
rt 1 rt rt , at at
t t 1, and stop when t = K
Orthogonal Matching Pursuit
Reweighted Least Squares
L0 minimization Problem
Matching Pursuit
MP: At each iteration, MP attempts to identify the most significant
atom. After K iteration, MP will hopefully identify the signal!
(Chen S, Donoho D, Saunders:1999)
The formulation of (P1e) can be cast into a linear programming problem
Simplex
methods Interior point methods
Basis pursuit denoising (BPDN)
1.
t 1, set residual vector rt y , selected index set I t 2. Find index yielding the maximal correlation with the residue t
t arg max rt , ai
(H Fu, MK Ng, M Nikolova, JL Barlow, WK:2005)
Iterative thresholding
(Donoho:1996)
Iterative soft-thresholding
(Daubechies, I., Defrise, M., DeMol, C.:2004)
If is an orthogonal basis, then (1) and (2) are equivalent. For redundant dictionaries, both approaches have in general different solutions
Algorithms to Sparse Recovery
Reweighting l1 minimization
L1 norm minimization
Basis pursuit (BP) problem
Unconstrained ℓ1-regularized least squares
Iterative soft-thresholding algorithm Total-variation minimization
Reweighted L2 minimization
Recovery Techniques for CS
Greedy pursuit algorithm
Matching pursuit (MP) Orthogonal matching pursuit (OMP) Stagewise orthogonal matching pursuit (StOMP)
Rearranging the coefficients (K-nonzero entries) in decreasing order
A series of m measurements
Sparse recovery
Remark 2
needs to be incoherent with the
Subgradient strategies (Mark Schmidt, Glenn Fung, and Romer Rosales:2007)
Smooth Approximation
(Mark Schmidt, Glenn Fung, and Romer Rosales:2007)
Linear Programming
Total-variation minimization
(E. Candes and J. Romberg:2006)
Iteratively Reweighted Least Squares
(Alfred M. Bruckstein, David L. Donoho, Michael Elad:2007)
Sparse Recovery
---Compressቤተ መጻሕፍቲ ባይዱve Sampling
Review of Compressed Sensing
representation basis
sensing basis
If x is sparse enough,
Remark 1
Signal
is sparse enough, and sparse representation is
s min || s ||0
s.t. y s
x min || * x ||0
s.t. y x
If x is sparse enough,
If x is sparse enough,
s min || s ||1 s.t. y s
x s
x min || * x ||1 s.t. y x
rt y AIt xt
Reweighting l1 minimization
(Emmanuel J. Candè s· Michael B. Wakin：2008)
0 1 2 1 1 1 = 1 1 2 1 0
Reweighted ℓ1 Minimization
Thank you ！
L1 minimization
(Chen S, Donoho D, Saunders:1999)
Other flavors of L1
(Robert Tibshirani:1996) (E. J. Candes and T. Tao:2007)
linear programming problem