流体动力学及工程应用

1、定常流和非定常流的判别？

2、为何提出“平均流速”的概念？

3、举例说明连续性方程的应用。

3.4 流体微元的运动分析

一、流体微元运动的三种形式 1．平移运动

x 、y 方向的速度不变，经过dt 时间后，ABCD 平移到A ‘B ’C ‘D ’位置，微元形状不变。

2．直线变形运动 流体微元沿x （流动）方向变形。

3．旋转运动与剪切变形运动 流体微元沿x 方向和y 方向均有变形，且流体微元

除了产生剪切变形外，还绕z 轴旋转。

实际流体微元运动常是上述三种或两种（如没有转动）基本形式组合在一起的运动。

二、作用在流体微元上的力 有表面力（压力）、质量力、惯性力、粘性力（剪切力）

龙卷风 水涡旋

3.5 理想流体的运动微分方程及伯努利积分

一、理想流体的运动微分方程（15分钟）

讨论理想流体受力及运动之间的动力学关系，即根据牛顿第二定律，建立理想流体的动力学方程。

如图所示，从运动的理想流体中取一以C （x 、y 、z ）点为中心的微元六面体1－2－3－4，作用于其上的力有质量力和表面力，分析方法同连续性方程的建立，只是这是一个运动的流体质点。

根据牛顿第二定律，作用在微元六面体上的合外力在某坐标轴方向投影的代数和等于此流体微元质量乘以其在同轴方向的分加速度。

在x 轴方向 x x

ma F

=∑ 图 微元六面体流体质点

可得1122x x p p dF p dx dydz p dydz ma x x ∂∂⎛

⎫⎛

⎫+-

-+= ⎪ ⎪∂∂⎝

⎭⎝

⎭ 因为 dt

du a dt u

d a x x =

=, ，dt du a dt du a z z y y ==, 所以流体微元沿x 方向的运动方程为

x x du p

f dxdydz dxdydz dxdydz x dt

ρρ∂-

=∂ 整理后得

1x

x du p f x dt ρ∂-

=

∂ 同理，y 轴方向 1y

y du p f y dt ρ∂-=∂ z 轴方向 1z

z du p f z dt

ρ∂-=∂ ——理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动微分方程（1755）。是研究理想流体各种运动规律的基础，对可压缩性流体和不可压缩性流体都是适用的。 如果流体处于平衡状态，则

0===dt

du dt du dt du z

y x 欧拉平衡微分方程，所以，平衡只是运动的特例。

二、实际流体运动微分方程（纳维-斯托克斯方程式）

对实际流体微元进行应力分析，列各轴方向受力平衡方程式可得到如下方程：

222111x x x x x

x x x y z y y y y y y y x y z z z z z z

z z x y z dv v v v v p

f v v v v x dt t x y z

dv v v v v p

f v v v v y dt t x y z

dv v v v v p

f v v v v z dt t x y z νρνρνρ∂∂∂∂∂-

+∇==+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-+∇==+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-+∇==+++∂∂∂∂∂ ——不可压缩实际流体的运动微分方程式，称为纳维—斯托克斯方程，或简称N —S 方程。

如果是理想流体，0ν=，则N —S 方程左端的第三项全为零，——理想流体运动微分方程式，

或称欧拉运动微分方程。

如果是平衡方程，相对于坐标系来说，0ν= ，则N —S 方程转化为欧拉平衡方程。

3．6伯努利方程及其应用（15分钟）

一、理想流体流线上的伯努利积分

积分的前提条件：

（1）流体是均匀不可压缩的，即 c =ρ

（2）定常流动，即

0=∂∂=∂∂=∂∂t u t u t u z y x 0=∂∂t

p

（3）质量力定常而有势，设W =W （x 、y 、z ）是质量力的势函数，则 x f = -

y f

= -

z f = -

x x x W W W

dW dx dy dz f dx f dy f dz x y z

∂∂∂=

++=---∂∂∂

（4）沿统线积分，由于是定常流动，流线与迹线重合，则

dt

dy

u y =

在上述四个条件的限制下，将欧拉运动微分方程的三个等式分别乘以dx 、dy 、dz ，然后相加，进行整理并沿一条流线进行积分，最后可得

2

2

p

u W c ρ++= ★★★

——理想流体运动微分方程的伯努利积分。

它表明：对于不可压缩的理想流体，在有势质量力的作用下作定常流动时，处于同一流

线上的所有流体质点，其函数2

()2

p

u W ρ++之

值均是相同的。对于不同流线上的流体质点来说， 图 不同流线上的2

()2

p

u W ρ++值

伯努利积分函数2

()2

p

u W ρ++的值一般是不同的，如图所示。

二、伯努利方程式的几种形式

伯努利方程：表示流体运动所具有的能量以及各种能量之间的转换规律。 两种情况：（1）流体所受质量力只有重力；

（2）流体所受质量力为重力和离心力。 一、质量力只有重力（15分钟）

此时 0,0,x y z f f f g ===-

则 ()x y z dW f dx f dy f dz gdz

=-++=

积分得 W gz =