2014年二模23题代数综合
【VIP专享】2014届上海中考数学二模23题
A
B
M E
图9ABD来自D23图 图C
F
F
C
1
3、（奉贤区）已知：如图，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE. A
⑴求证：△ABE∽△ACD；⑵求证： BC AD DE AC ；
4、（虹口区）已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，将 ΔABE 沿 BC 方向平移，使点 E 与点 C 重合，得 ΔGFC。（1）求证：BE=DG；（2）若∠BCD=120°，当 AB 与 BC 满足什么数量关系时，四边形 ABFG 是 菱形？证明你的结论。
E
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
辽宁省大连市2014届高考第二次模拟数学(理)试卷 有答案
2014年大连市高三第二次模拟考试数学（理科）试卷 有答案命题人：赵文莲 安道波 廖尔华 王新乙参考公式：球的体积公式334R V π=，其中R 为球的半径 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1.设集合{}8,4,2,1,0=U ，{}8,2,1=A ，{}8,4,2=B ，则=)(B A C U A. {}0 B. {}2,0 C. {}4,1,0 D. ∅2.设复数z 满足i zi +-=3（i 为虚数单位），则z 的虚部是A. 3-B. i 3-C. 3D. i 3 3.命题“R x ∈∀，021>-x ”的否定是A. R x ∈∀，021≤-xB. R x ∈∃，021≤-xC. R x ∈∃，021>-xD. R x ∈∀，021<-x4.已知向量与向量满足1||=，2||=，-⊥(），则与的夹角是A.6π B. 4π C. 2π D. 3π5.如图给出的是计算201614121++++ 的值的一个程序框图,,其中判断框内应填入的条件是A. 10>iB. 10<iC. 20>iD. 20<i6.若{}n a 是等差数列，公差0≠d ，632,,a a a 成等比数列，则该等比数列的公比是 A. 1 B. 2C. 3D. 47.如果方程11222=+++m y m x 表示双曲线，则实数m 的取值范围是A. )1,2(--B. ),1()2,(+∞---∞C. )1,1(-D. )2,3(--8.函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，πϕ<||）的图象如图所示，则其中ω，ϕ分别为A. 2-=ω，3πϕ=B. 2=ω，3πϕ=C. 2=ω，32πϕ-= D. 2-=ω，3πϕ-=9.设141313114095)1()1()1()23()1(a x a x a x a x x +++++++=+- ，则=++++13210a a a aA. 93B. 9532-C. 52 C. 5923-10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧-+---=3241|1|1)(2x x x x f )2()2(>≤x x ，如在区间),1(+∞上存在n （1≥n ）个不同的数n x x x x ,,,,321 使得比值nn x x f x x f x x f )()()(2211=== 成立，则n 的取值集合是A. {}4,3,2,1B. {}3,2,1C. {}3,2D. {}4,3,211.沿边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 进行折叠，使折后两部分所在的平面互相垂直，则折后形成的空间四边形ABCD 的内切球的半径为A.262-B. 261-C. 221- D. 1 12.设函数)(x f 是连续函数，且在1=x 处存在导数，如函数)(x f 及其导函数)(x f '满足xx f x x x f )(ln )(-=⋅'，则函数)(x f A. 既有极大值，又有极小值 B. 有极大值，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 既没有极大值，又没有极小值第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则y x z -=4的最小值为 .14.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用 粗线画出了某多面体的三视图，该多面体的体积 为 .15.过抛物线px y 22=（0>p ）的焦点作斜率为3的直线与该抛物线交于B A ,两点，B A ,在y 轴上的正射影分别为D 、C ，若梯形ABCD 的面积为310，则=p .16.已知数列{}n a 满足：21=a ，121+-=+n n n na a a ，令11+⋅=n n n a a b ，则数列{}n b 的前n 项和=n S三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分12分）已知函数x x x x x f 22cos 2cos sin 3sin )(+⋅+=（R x ∈）. 在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且2)(=A f . （1）求函数)(x f 的单调增区间及对称中心； （2）若3=a ，求ABC ∆面积的最大值.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥A B C D P -中，90=∠DAB ，CD BC ⊥， 30=∠CDB ，且2=====AD AB PD PB PA .（1）求证：面⊥PBD 面ABCD ；（2）求平面PAB 与平面PBC所成锐二面角的余弦值.PABCD19. （本小题满分12分）有6名员工，3男3女，平均分配到甲、乙、丙三个部门。
2014年数学二真题+答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x=+ (D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x=，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ（ ）(A)1 (B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000aba bc d c d= （ ）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc --(C) 2222a d b c - (D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.((9) 12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xtx t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z zz y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明： (I)0(),[,]xa g t dt x a x ab ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分) 设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,L 1()(()),n n f x f f x -=L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.(21)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭LLM M M M L与0010020n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L相似.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题纸．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞ (B) (1,2) (C) 1(,1)2 (D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2x x -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+(C) 1sin y x x =+ (D) 21sin y x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x→∞→∞→∞+=+=+=.11lim[sin ]limsin 0x x x x x x→∞→∞+-==，所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =. 故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上 （ ）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ (B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ (C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ (D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是 （ ）(A)50(B)100(C) (D)【答案】C 【解析】 故选C(5) 设函数()arctan f x x=，若()()f x xf '=ξ，则22limx x →=ξ（ ）(A)1 (B)23 (C)12 (D)13【答案】D 【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ 故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得(B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得 【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数 则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得. 故选A(7) 行列式0000000aba bc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a d b c - (D)2222b c a d - 【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件. 故选A二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π 【解析】(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数 则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c 又()f x Q 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yz e x y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.【答案】1()2dx dy -+【解析】对2274yz e x y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导 当11,22x y ==时,0z =故1111(,)(,)222211,22z z xy∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________. 【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ (13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+ 由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====. (16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小 值.【解析】 由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y x y x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则： (18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z zz y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式.【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x x zf e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， 由 ()22222+4cos x x z zz e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,x e y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+ 设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t t y f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则 ()22111=16164u u y f u e e u -=--. (19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xa g t dt x a x ab ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()baa g t dtba af x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xa g t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤Q ，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ（II ）直接由()01g x ≤≤，得到 （II ）令()()()()()ua u a g t dt a aF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰ 由（I ）知()()0ua g t dt u a ≤≤-⎰ ()ua a a g t dt u ∴≤+≤⎰ 又由于()f x 单增，所以()()()0ua f u f a g t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分) 设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===L L ，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx====++++L (21)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数. 又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为 (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵. (I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B . 【解析】123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭,(I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ(II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTTe e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,TTx k k k k k =+--=--+-+ξ2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,T Tx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭L L M M M M L 与0010020n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭LL M M M M L相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭MLLM ，()12001B n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭LM =，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T L ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵=0n ⎛⎫⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭O .B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B . 2020-2-8。
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-全国卷
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。
考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.没小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。
3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题 （1）复数131ii-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i - （2）已知集合{A =，{1,}B m =，A B A = ，则m =（A ）0（B ）0或3 （C ）1（D ）1或3 （3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y +=（4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，1CC =E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B（C（D ）1 （5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为 （A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若CB a = ，CA b = ，0a b ⋅= ，||1a = ，||2b = ，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b -（7）已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则cos2α=（A ）3-（B ）9- （C ）9 （D ）3（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << （10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种 （12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。
2014年普陀区高三数学二模(理科)含答案
上海市普陀区2014年高三二模数学（理科）试卷2014.4考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相．．．．．．．．．应位置，本卷上任何解答都不作评分依据．．．．．．．．．．．．．．．．．．.一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1．若复数ii i z 1=（i 是虚数单位），则=z . 2．若集合}40,tan |{π≤<==x x y y A ，}02|{2<--=x x x B ，则=B A .3．【理科】方程1)4(log )1(log 42=+-+x x 的解=x .4．【理科】若向量),1(x a =，)1,2(=b ，且⊥，则=+||b a . 5．【理科】若0>a ，在极坐标系中，直线2)3cos(=+⋅πθρ与曲线a =ρ相切，则实数=a .6．【理科】若偶函数)(x f y =(R x ∈)满足条件：)1()(x f x f +=-，则函数)(x f 的一个周期为 . 7．【理科】若P 为曲线⎩⎨⎧==ααtan sec y x （α为参数）上的动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程是 .8．【理科】某质量监测中心在一届学生中随机抽取39人，对本届学生成绩进行抽样分析.统计分析的一部分结果，见下表:根据上述表中的数据，可得本届学生方差的估计值为 (结果精确到1.0).9．【理科】等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若对于任意的正整数k ，均有)(lim k n n k S S a -=∞→成立，则公比=q .10．【理科】在一个质地均匀的小正方体六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方第11题图体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数ξ，则=ξE .11．【理科】如图所示，在一个)12()12(-⨯-n n (N n ∈且2≥n )的正方形网格内涂色,要求两条对角线的网格涂黑色，其余网格涂白色.若用)(n f 表示涂白色网格的个数与涂黑色网格的个数的比值，则)(n f 的最小值为 .12．【理科】若三棱锥ABC S -的底面是边长为2的正三角形，且⊥AS 平面SBC ，则三棱锥ABC S -的体积的最大值为 .13．若ij a 表示n n ⨯阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn a25191410181396128537421中第i 行、第j 列的元素（i 、n j ,,3,2,1 =），【理科】则=nn a （结果用含有n 的代数式表示）.14．【理科】已知函数⎩⎨⎧>≤+-=0,ln 0,2)(2x x x x x x f ，若不等式1|)(|-≥ax x f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15. 下列命题中，是假命题．．．的为…………………………………………………………………………（ ） )(A 平行于同一直线的两个平面平行. )(B 平行于同一平面的两个平面平行. )(C 垂直于同一平面的两条直线平行. )(D 垂直于同一直线的两个平面平行.16.【理科】已知曲线1C :122=+y m x （1>m ）和2C :122=-y nx （0>n ）有相同的焦点，分别为1F 、2F ,点M 是1C 和2C 的一个交点,则△21F MF 的形状是………………………………………（ ）)(A 锐角三角形. )(B 直角三角形. )(C 钝角三角形. )(D 随m 、n 的值的变化而变化.17. 若函数a x x x f -+=2)(，则使得“函数)(x f y =在区间)1,1(-内有零点”成立的一个必要非充分条件是…………………………………………………………………………………………………………（ ）)(A 241≤≤-a . )(B 241<≤-a . )(C 20<<a . )(D 041<<-a . 18. 对于向量i PA （n i ,2,1=），把能够使得||||||21n PA PA PA +++ 取到最小值的点P 称为i A （n i ,2,1=）的“平衡点”. 如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ,延长BC 至E ,使得CE BC =，联结AE ,分别交BD 、CD 于F 、G 两点.下列结论中，正确的是……………………………………（ ）)(A A 、C 的“平衡点”必为O . )(B D 、C 、E 的“平衡点”为D 、E 的中点. )(C A 、F 、G 、E 的“平衡点”存在且唯一.)(D A 、B 、E 、D 的“平衡点”必为F .三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图，在xoy 平面上，点)0,1(A ，点B 在单位圆上，θ=∠AOB （πθ<<0） （1）【理科】若点)54,53(-B ，求)42tan(πθ+的值；（2）若OC OB OA =+，四边形OACB 的面积用θS 表示，求OC OA S ⋅+θ的取值范围.20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径1=R ，圆柱的表面积为π8；点C 在底面圆O 上，且直线C A 1与下底面所成的角的大小为︒60. （1）【理科】求点A 到平面CB A 1的距离；（2）【理科】求二面角C B A A --1的大小（结果用反三角函数值表示）..21、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数12)(-=xx f 的反函数为)(1x fy -=，记)1()(1-=-x f x g .第20题图（1）求函数)()(21x g x fy -=-的最小值；（2）【理科】若函数)()(2)(1x g m x f x F -+=-在区间),1[+∞上是单调递增函数，求实数m 的取值范围.22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分．已知曲线Γ:x y 42=，直线l 经过点)2,0(且其一个方向向量为),1(k =. （1） 若曲线Γ的焦点F 在直线l 上，求实数k 的值；（2） 当1-=k 时，直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求||AB 的值；（3） 当k （0>k ）变化且直线l 与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a ,使得点)0,(a P 关于直线l 的对称点),(00y x Q 落在曲线Γ的准线上. 若存在,求出a 的值；若不存在，请说明理由.23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.用记号∑=ni ia表示n a a a a a +++++ 3210，∑==ni in ab 02，其中N i ∈，*N n ∈.（1）设n n n n nk kx a x a x a x a a x 221212221021)1(+++++=+--=∑ （R x ∈），求2b 的值； （2）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，求证：()∑==ni iniC a 0102)(-⋅+n n a a；第22题图（3）【理科】在条件（1）下，记∑=-+=ni i n ii n Cb d 1])1[(1，且不等式n n b d t ≤-⋅)1(恒成立，求实数t 的取值范围.普陀区高三数学质量调研卷（理）参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1.i +-1；2.]1,0(；3.【理科】5；4. 【理科】10；5. 【理科】2；6. 【理科】1等； 7. 【理科】4122=-y x ； 8. 【理科】.56； 9. 【理科】21； 10. 【理科】83； 11. 【理科】54； 12. 【理科】21； 13. 【理科】1222+-n n ； 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 19、 (本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 【解】（1）【理科】由于)54,53(-B ，θ=∠AOB ，所以53cos -=θ，54sin =θ 253154cos 1sin 2tan =-=+=θθθ于是)42tan(πθ+321212tan12tan1-=-+=-+=θθ（2）θS θθsin sin 11=⨯⨯=由于)0,1(=OA ,)sin ,(cos θθ=OB ……7分，所以)sin ,cos 1(θθ+=+=OB OA OCθθθcos 1sin 0)cos 1(1+=⨯++⨯=⋅…………9分OC OA S ⋅+θ1)4sin(21cos sin ++=++=πθθθ（πθ<<0）由于4544ππθπ<+<，所以1)4sin(22≤+<-πθ，所以120+≤⋅+<OC OA S θ 20、(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．【解】（1）【理科】设圆柱的母线长为l ，则根据已知条件可得，πππ8222=+⋅=Rl R S 全，1=R ，解得3=l因为⊥A A 1底面ACB ，所以AC 是C A 1在底面ACB 上的射影， 所以CA A 1∠是直线C A 1与下底面ACB 所成的角，即CA A 1∠=︒60 在直角三角形AC A 1中，31=AA ，CA A 1∠=︒60，3=AC .AB 是底面直径，所以6π=∠CAB .以A 为坐标原点，以AB 、1AA 分别为y 、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则)0,0,0(A 、)0,23,23(C 、)3,0,0(1A 、)0,2,0(B ,于是)0,23,23(=AC ,)3,2,0(1=B A ,)0,21,23(-=CB 设平面CB A 1的一个法向量为),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅03202123001z y y x B A n CB n ， 不妨令1=z ，则)1,23,23(=n ，所以A 到平面CB A 1的距离232|4943|||=+==n AC n d 所以点A 到平面CB A 1的距离为23。
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-四川卷
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案（四川卷）数 学（理工类）参考公式：如果事件互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R p =如果事件相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ? 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 343V R p =在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n …-=-=第一部分 （选择题 共60分）注意事项：1、选择题必须使用2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。
2、本部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ）A 、42B 、35C 、28D 、212、复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i -3、函数29,3()3ln(2),3x x f x x x x ⎧-<⎪=-⎨⎪-≥⎩在3x =处的极限是（ ）A 、不存在B 、等于6C 、等于3D 、等于0 4、如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =，连接EC 、ED ，则sin CED ∠=（ ）A 、10B 、10C 、10D 、155、函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是（ ）A B C D 6、下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行7、设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ）A 、a b =-B 、//a bC 、2a b =D 、//a b 且||||a b =8、已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y 。
最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案-新课标
绝密*启用前最新2014年全国高考理科数学二模试题及答案（新课标）理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
2.问答第Ⅰ卷时。
选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。
第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =；则C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝[0，1]，则A∩B＝（）A．（0，1）B．〔0，1]C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）已知复数z1＝a+bi与z2＝c+di（a，b，c，d∈R，z2≠0），则∈R的充要条件是（）A．ad+bc＝0B．ac+bd．＝0C．ac﹣bd＝0D．ad﹣bc＝0 3．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3+a4＝16，则a5＝（）A．4B．8C．16D．324．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y＝f（2x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．56．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3B．5C．10D．167．（5分）若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或8．（5分）已知⊙A1：（x+2）2+y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A．﹣y2＝1B．+y2＝1C．x2﹣y2＝2D．+＝19．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．（5分）设a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 11．（5分）从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若直线ax+by+c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为（）A．4cx﹣2by+a＝0B．ax﹣2by+4c＝0C．4cx+2by+a＝0D．ax+2by+4c＝0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝11，S12＝9，则S20＝．14．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sin x及直线x＝a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于．16．（5分）已知直线x+y+1＝0与曲线C：y＝x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B 处的切线平行，则实数p的值为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y＝f（x）+f（x+）的最大值及相应的x值．18．（12分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°．BC ＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）若平面P A⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B﹣AM﹣C 的余弦值．19．（12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球．（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；（Ⅱ）令a n+1＝f（a n），a1＝，求证：2n lna n≥1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE．（Ⅰ）求证：BC＝2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）﹣af（x）≥f（x）．2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝[0，1]，则A∩B＝（）A．（0，1）B．〔0，1]C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：由A中的不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＜0得：﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1），∵B＝[0，1]，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．2．（5分）已知复数z1＝a+bi与z2＝c+di（a，b，c，d∈R，z2≠0），则∈R的充要条件是（）A．ad+bc＝0B．ac+bd．＝0C．ac﹣bd＝0D．ad﹣bc＝0【解答】解：∵＝＝，∴则∈R的充要条件ad﹣bc＝0．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3+a4＝16，则a5＝（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a2＝2，2a3+a4＝16，∴，解得，或（舍），∴．故选：C．4．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面为底为2，高为2的三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，V＝，故选：B．5．（5分）已知函数y＝f（2x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵y＝f（2x）+x是偶函数，∴f（﹣2x）﹣x＝f（2x）+x，∴f（﹣2x）＝f（2x）+2x，令x＝1，则f（﹣2）＝f（2）+2＝3．故选：B．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3B．5C．10D．16【解答】解：进入循环前n＝6．i＝0，此时n为偶数，故n＝＝3，i＝1，满足继续进行循环的条件；当n＝3．i＝1，此时n为奇数，故n＝3n+1＝10，i＝2，满足继续进行循环的条件；n＝10．i＝2，此时n为偶数，故n＝＝5，i＝3，不满足继续进行循环的条件；故输出的n值为5故选：B．7．（5分）若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α＝0°或α＝120°则＝+++2（++）＝11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）＝11+14cosα所以当α＝0°时，原式＝5；当α＝120°时，原式＝2．故选：C．8．（5分）已知⊙A1：（x+2）2+y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A．﹣y2＝1B．+y2＝1C．x2﹣y2＝2D．+＝1【解答】解：根据题意有||P A1|﹣|P A2||＝2＜|A1A2|＝4，∴点P的轨迹是以A1（﹣2，0），A2（2，0）为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线，∴b＝＝1，∴点P的轨迹方程为﹣y2＝1．故选：A．9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）＝sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）＝sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）＝，φ＞1，所以﹣2φ＝2kπ+，φ＝﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ＝2kπ+，k∈Z，当k＝﹣1时，φ＝．故选：B．10．（5分）设a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵，当0时，有log2n1＜log2n2＜0，∴0＞＞，∴当0＜n＜1时，n越大，log n2n的值越小，∵a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，0.1＜0.2＜0.3，∴a＞b＞c．故选：A．11．（5分）从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，所有的三位数的个数为A103﹣A92＝648个．将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31•C31•C31•A33＝162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31•C31•2•A22＝36个，这样能被3整除的数共有228个．故这个三位数能被3整除的概率是＝，故选：D．12．（5分）若直线ax+by+c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为（）A．4cx﹣2by+a＝0B．ax﹣2by+4c＝0C．4cx+2by+a＝0D．ax+2by+4c＝0【解答】解：设P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），由PM过焦点F，得y1y2＝﹣1，x1x2＝，则有P（，﹣），同理Q（，﹣），将P点代入直线方程ax+by+c＝0，有a•+b（﹣）+c＝0，两边乘以4x2，得a﹣+4x2c＝0，又，∴y2＝，∴a﹣2by2+4cx2＝0，同理a﹣2by3+4cx3＝0故所求直线为a﹣2by+4cx＝0．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝11，S12＝9，则S20＝﹣25．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝11，S12＝9，∴，解得，d＝﹣，∴S20＝20a1+190d＝﹣25．故答案为：﹣25．14．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sin x及直线x＝a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝π．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为＝＝1﹣cos a，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cos a＝﹣1，又a∈（0，2π），∴a＝π，故答案为：π15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于20π．【解答】解：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2＝20π故答案为：20π16．（5分）已知直线x+y+1＝0与曲线C：y＝x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B 处的切线平行，则实数p的值为1．【解答】解：由y＝x3﹣3px2，得y′＝3x2﹣6px，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴＝，令＝＝m，∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m＝0的两个根，则x1+x2＝2p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵＝＝，而＝﹣2p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2＝2p，知线段的中点为（p，﹣p﹣1），∴﹣p﹣1＝p3﹣3p•p2＝﹣2p3，解得p＝1．故答案为：1．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y＝f（x）+f（x+）的最大值及相应的x值．【解答】解：（1）在Rt△OBC中，OB＝OC•cos x＝cos x，BC＝OC•sin x＝sin x，在Rt△OAD中，＝tan60°＝，∴OA＝BC＝sin x，∵AB＝OB﹣OA＝cos x﹣sin x，∴f（x）＝S＝AB•BC＝（cos x﹣sin x）•sin x＝3sin x•cos x﹣sin2x＝sin2x﹣（1﹣cos2x）＝sin（2x+）﹣，x∈（0，）…（6分）（Ⅱ）由x∈（0，），x+∈（0，），得x∈（0，）而y＝f（x）+f（x+）＝sin（2x+）﹣+sin[2（x+）+]﹣＝[sin（2x+）+cos（2x+）]﹣＝sin（2x+）﹣，由2x+∈（，），故当2x+＝，即x＝时，y取最大值﹣…（12分）18．（12分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°．BC ＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）若平面P A⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B﹣AM﹣C 的余弦值．【解答】证明（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴OC：OA＝BC：AD＝2，又BN＝2NA，∴NO∥BC∥AD在△P AD中，∵OC：OA＝BC：AD＝2，CM＝2MP，∴OM∥AP∴OM∥平面P AD，∵NO∥AD，且ON∩OM＝0，ON⊂平面MNO，OM⊂平面MNO，∴平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD cos∠PDA＝3∴P A2+AD2＝PD2，即P A⊥AD，又平面PDA⊥平面ABCD∴P A⊥平面ABCD，而∠BAD＝90°故，如图，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，在梯形ABCD中，CD＝BC＝2AD＝2，∠BAD＝90°，∴AB＝，则有A（0，0，0），B（0，，0），C（2，，0），D（1，0，0），P（0，0，），由＝，得＝+＝（，，），＝（0，，0），＝（2，，0），设平面ABM的法向量为M1＝（a，b，c），由，得，令c ＝﹣，解得b＝0，a＝3，∴m1＝（3，0，﹣）同理，可得平面ACM的法向量为m2＝（3，﹣2，0）设二面角B﹣AM﹣C的平面角为θ，易知0＜θ＜，∴cosθ＝＝．19．（12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球．（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有种情形，若取出的4个球都是黑色，共有＝70种情形，故取出的4个球同色的概率为＝．…（6分）（Ⅱ）依题意知ξ＝0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝＝．…（12分）20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意有，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝，c＝2，∴椭圆M的方程为．…（5分）（Ⅱ）不妨设F为椭圆M的右焦点（2，0），当直线l1的斜率k1存在时，l1的方程为y＝k1（x﹣2）＝k1x+m，（m＝﹣2k1）…（1），设A（x1，y1），C（x2，y2），把（1）代入椭圆的方程，得关于x的一元二次方程：（5+9k12）x2+18mk1x+9m2﹣45＝0， (2)∵x1，x2是方程（2）的两个实数解，∴，x1•x2＝， (3)又y1＝k1（x1﹣2），y2＝k1（x2﹣2），∴|F A|＝＝|x1﹣2|，同理|FC|＝，∴|F A|•|FC|＝（1+k12）|x1x2﹣2（x1+x2）+4|， (4)把（3）代入（4）得，|F A|•|FC|＝（1+k12）|﹣2+4|， (5)记为直线l 1的倾斜角，则k1＝tanθ1，由（5）知|F A|•|FC|＝， (6)当l1的斜率不存在时，θ1＝90°，此时A，C的坐标可为（2，）和（2，﹣）或（2，﹣）和（2，），∴|F A|•|FC|＝， (7)由（6）（7）知，当直线l1的倾斜角为θ1时，|F A|•|FC|＝， (8)同理，记直线l2的倾斜角为θ2时，|FB|•|FD|＝ (9)由|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|得，cos2θ1＝cos2θ2，0＜θ1，θ2＜π，∴θ1＝θ2或θ1＝π﹣θ2，依题意θ1≠θ2，∴θ1＝π﹣θ2，当θ1≠90°时，|AC|＝＝＝＝＝＝， (10)当θ1＝90°时，|AC|＝2×＝， (11)由（10）、（11）知当直线l1的倾斜角为θ1时，|AC|＝， (12)同理，|BD|＝＝， (13)由（12）、（13）知，四边形ABCD的面积为S＝|AC|•|BD|sin2θ1＝，令g（θ）＝，∵cos2θ＝，∴g（θ）＝，则＝，∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，当0＜2θ＜，或时，g′（θ）＞0，g（θ）递增，当时，g′（x）≤0，g（θ）递减，∴当2θ＝，即时，g（θ）取最大值，即g（θ）max＝g（）＝，∴当时，四边形ABCD的面积S max＝．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；（Ⅱ）令a n+1＝f（a n），a1＝，求证：2n lna n≥1．【解答】证明：（Ⅰ）令g（x）＝lnx﹣x+1，则g′（x）＝当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴函数y＝g（x）在0＜x＜1时为增函数，∴0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0；当x＞1时，g′（x）＜0，∴函数y＝g（x）在x＞1时为减函数，∴x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0，则当x＞1时，0＜lnx＜x﹣1，∴＞1，即f（x）＞1；…（5分）（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2n lna n≥1ⅰ）当n＝1时，a 1＝，知＝1，∴n＝1时，命题成立ⅱ）假设n＝k时，命题成立．即2k lna k≥1要证明n＝k+1时，命题成立．即证明2k+1lna k+1≥1，只需证明a k+1≥依题意知a k+1＝，即证明：≥f′（x）＝x＞1时，有0＜＜1，由（Ⅰ）可知ln﹣+1＜0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数x＞1时为增函数由归纳假设2k lna k≥1，即a k≥＞1，∴f（a k）≥f（）＝ (1)依题意知a k+1＝f（a k），故又只需证明f（）＞，构造函数h（x）＝e x﹣1﹣x，h′（x）＝（﹣1﹣）＞1，由（Ⅰ）知ln﹣+1＜0，即﹣1﹣＞0，∴h′（x）＞0∴函数y＝h（x），x＞0为增函数，∴h（）＞h（0）＝0，则f（）＝＞…（2），由（1）（2）及题意知a k+1≥，即2k+1lna k+1≥1综合（ⅰ）ⅱ）知，有2n lna n≥1成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE．（Ⅰ）求证：BC＝2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB＝2BE，所以BC＝2BD…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又AB＝2BE，∴AC＝2DE，∵AC＝2，∴DE＝1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA＝1，设BD＝x，根据割线定理得BD•BA＝BE•BC即x（x+1）＝（x+1）[（x+1）+1]，解得x＝1，即BD＝1．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，圆C的方程是x2+y2＝1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d＝＝1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点有1个；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是；∴4x2+xy+y2＝4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ＝4+sin2θ；当θ＝或θ＝时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）﹣af（x）≥f（x）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x﹣1）+f（1﹣x）＝|x﹣2|+|x|．因此只须解不等式|x﹣2|+|x|≤2．当x≤0时，原不式等价于2﹣x﹣x≤2，即x≥0，所以x＝0．当0＜x＜2时，原不式等价于2≤2成立，所以0＜x＜2．当x≥2时，原不式等价于x﹣2+x≤2，即x≤2，所以x＝2．综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（5分）（Ⅱ）∵f（ax）﹣af（x）＝|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，又a＜0时，|ax﹣1|﹣a|x﹣1|＝|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax﹣1﹣ax+a|＝|a﹣1|＝f（a），∴a＜0时，f（ax）﹣af（x）≥f（x）．…（10分）。
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西城：23．经过点（1，1）的直线l ： 2 (0)y kx k =+≠与反比例函数G 1:1 (0)m
y m x
=≠的图象交于点(1,)A a -，B （b ，-1），与y 轴交于点D ． （1）求直线l 对应的函数表达式及反比例函数G 1的表达式； （2）反比例函数G 2::2 (0)t
y t x
=
≠， ①若点E 在第一象限内，且在反比例函数G 2的图象上，若EA =EB ，且△AEB 的面积为8，求点E 的坐标及t 值；
②反比例函数G 2的图象与直线l 有两个公共点M ，N （点M 在点N 的左侧）， 若32DM DN +<，直接写出t 的取值范围．
东城：23．已知：关于x 的一元二次方程2
(3)-30mx
m x +-=．
（1）求证：无论m 取何值，此方程总有两个实数根； （2）设抛物线
2(3)-3y mx m x =+-，证明：此函数图像一定过x 轴，y 轴上的两个定点（设x 轴上
的定点为点A ，
y 轴上的定点为点C ）
； （3）设此函数的图像与x 轴的另一交点为B ，当△ABC 为锐角三角形时，求m 的取值范围．
房山：23. 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；
（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.
1234
-1
-2-1
-2
1
2
3
4
5
x
y
O
门头沟：23. 已知二次函数
223y x x =-++图象的对称轴为直线．
（1）请求出该函数图像的对称轴；
（2）在坐标系内作出该函数的图像；
（3）有一条直线过点p (1,5)，若该直线与二次函数
223y x x =-++只有一个交点，
请求出所有满足条件的直线的关系式.
朝阳：23．在平面直角坐标系xOy 中，点P (m ，0)为x 轴正半轴上的一点，过点P 做x 轴的垂线，分别交
抛物线y =-x 2+2x 和y =-x 2+3x 于点M ，N ． （1）当21=
m
时， _____MN PM
=； （2）如果点P 不在这两条抛物线中的任何一条上．当四条
线段OP ，PM ，．PN ，MN 中恰好有三条线段相等时， 求m 的值．
y
x
N M
O P
备用图O
x
y
平谷：23．已知关于x 的一元二次方程2
10x
mx m -+-=．
（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数
211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和
2(568)k k k -+-+，两点．
①求这个二次函数的解析式；
②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．
石景山：23. 关于x 的一元二次方程023)1(32
=+++-m x m x
．
（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；
（2）若函数23)1(32
+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的
值；
（3）在（2）的条件下，将函数
23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的
函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．
解：
x
y
O
顺义：23．已知关于x 的一元二次方程2440mx x m ++-=． （1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；
（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），
与y 轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =
1
2
BC ，求点P 的坐标．
海淀：23．已知关于
x 的方程：2(1)0x m x m ---=①和2(9)2(1)3x m x m --++=②，其中
0m >.
（1）求证：方程①总有两个不相等的实数根； （2）设二次函数
21(1)y x m x m =---的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）
，将A 、B 两点按照相同的方式平移后，点A 落在点'(1,3)A 处，点B 落在点'B 处，若点'B 的
横坐标恰好是方程②的一个根，求m 的值； （3）设二次函数
22(9)2(1)y x m x m =--++，在（2）的条件下，函数1y ，2y 的图象位于直线
3x =左侧的部分与直线y kx =（0k >）交于两点，当向上平移直线y kx =时，交点位置
随之变化，若交点间的距离始终不变，则k 的值是________________.
12345
-1-2-3-4-5
-5
-4
-3-2
-1
54321
y
x
O
丰台：23.如图,二次函数
2
y x bx c =++经过点（-1,0）和点（0，-3）.
（1）求二次函数的表达式； （2）如果一次函数
4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和
该公共点的坐标；
（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成 一个新的图象，该图象记为G ，如果直线4y x n =+与图象G 有3个公共点，求n 的值.
x
y 12
3
4
4
321123443
2
1
O
大兴：23．已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k .
（1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；
（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k
有两个不相等的整数根时，把抛物线
2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．
昌平：23．已知抛物线2(31)2(1)(0)y ax a x a a =-+++≠.
（1）求证：无论a 为任何非零实数，该抛物线与x 轴都有交点；
（2）若抛物线2(31)2(1)y ax a x a =-+++与x 轴交于A (m ,0)、 B （n ,0）两点，m 、n 、a 均为整数，一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象经过点P (n －l ，n ＋l ）、Q (0,a ），求一次函数的表达式.。