第六章激光频率变换技术

6.2 激光倍频效应
1. 倍频光 仅考虑二次非线性项，有 P(2) 0 2 E 2 若入射光电场强度为： E E0 cos t 代入上式整理得
P
(2)
0 2 E cos t
2 0 2
0
2
2 2 E0 (1 cos 2t )
P
(2)
0 2 E cos t
激光频率变换技术
许多实际应用中需要的激光波长并不能由受激辐射的激光 介质直接产生，必须通过激光频率变换技术来获得。本章将讨 论利用非线性光学方法实现激光频率变换的技术，其物理基础 是使具有很高功率密度的激光通过某些介质，引起这些介质产 生非线性极化，从而产生新波长的激光。
第六章 激光频率变换技术
6.1 介质的非线性极化 6.1.1 非线性极化概述
上式可以写成矩阵形式
xyy yyy zyy xzz yzz zzz xyz yyz zyz xzx yzx zzx
Ex2 2 Ey xxy 2 Ez yxy 2 E y Ez zxy 2 Ez Ex 2 Ex E y
P( z, t ) 0{ (1) [E1 cos(1t k1z) E2 cos(2t k2 z)] (2) [E1 cos(1t k1z) E2 cos(2t k2 z)]2}
P1 2 0 (2) E1 E2 cos[(1 2 )t (k1 k2 ) z] P1 2 0 (2) E1 E2 cos[(1 2 )t (k1 k2 ) z]
(2) 2 2 P0 1 ( E E 1 2) 2 0
P NL P21 P22 P1 2 P1 2 P0
由此可见，非线性极化波中包含了倍频、和频、差频、直流 成分。但实际上出现的频率要受能量守恒和动量守恒制约。 为区别起见，不同效应下的非线性极化率用不同符号表示：
P1 2 0 (2) (3 ;1, 2 )E1E2ei (1 2 )t , 3 1 2
差频的二阶非线性极化率
(2) (3 ;1, 2 ), 3 1 2
(2) (2;, ), 2
倍频的二阶非线性极化率 6.1.2 非线性极化率张量的性质 1.非线性极化率张量的运算规则 在线性极化的情况下，有
实际应用中常采用上式的分量形式
(1) P i 0 ij ( ) E j
j
i, j x, y, z
当入射光较强时，还要考虑非线性极化强度，仅考虑二阶非 线性极化的情况下： P3 0 (2) (3 ;1, 2 ) : E(1 )E(2 )
E ( ) E ( ) x 1 y 2 Ex (1 ) Ez (2 ) (2) (2) (2) Px3 xxx (3 ; 1 , 2 ) xxy ( 3 ; 1 , 2 ) xzz ( 3 ; 1 , 2 ) E y (1 ) Ex (2 ) 3 (2) (2) (2) P ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) 3 1 2 yxy 3 1 2 yzz 3 1 2 E y (1 ) E y (2 ) y 0 yxx (2) (2) (2) Pz3 zxx ( ; , ) ( ; , ) ( ; , ) E ( ) E ( ) 3 1 2 zxy 3 1 2 zzz 3 1 2 y 1 z 2 E ( ) E ( ) 分量形式为： z 1 x 2 Ez (1 ) E y (2 ) 3 (2) P ( ; , ) E ( ) E ( ), i , j , k x , y , z i 0 ijk 3 1 2 j 1 k 2 E ( ) E ( ) jk z 1 z 2
若E 以ω作简谐变化，P 及其产生的次级电磁辐射也以同样的 ω作简谐变化，因两频率相同，次级辐射与入射光波叠加的结果 使光波的单色性不变。
当入射光波强度很大时（非线性光学），有
(1)为二阶张量， (2)为三阶张量， (3)为四阶张量。
P 0 ( (1) E (2) : EE (3) EEE )
（3）Kleinmn对称性 可以证明，当参与非线性相互作用的各光波的频率均位 于晶体的同一透明区域内，且忽略色散影响时，介质的二阶 非线性极化率的下标可以任意交换（不需要相应的频率一同 成对交换），而其值不变，这样27个分量只有10个是独立的。
（4）空间结构对称性的影响（如具有对称中心的晶体，偶数阶 非线性极化率为零） 6.1.3 倍频极化率张量 假定1 2 , 3 2 则倍频极化强度可写为（仅考虑x分量）
P(2) 0 e E 2
基频光在晶体中感应产生倍频的电偶极矩振荡，辐射出倍频 光波，其相位应是相同位置的基频光波的两倍。在x到x+dx 处厚度为dx的一小段晶体内感应的二次偶极矩为
P(2)
0
2
2 e E0 cos(2t 2k1x)dx
P(2)
0
2
2 e E0 cos(2t 2k1x)dx
(1) (1) (1) xx ( ) xy ( ) xz ( ) Ex Px P (1) ( ) (1) ( ) (1) ( ) E 0 yx yy yz y y (1) (1) (1) P ( ) ( ) zy zz ( ) Ez z zx
Px2 0[xxx Ex Ex xyy Ey Ey xzz Ez Ez xyz Ey Ez xzy Ez Ey
xzx Ez Ex xzz Ex Ez xxy Ex Ey xyx Ey Ex ]
根据二阶极化率张量的固有对称性， ijk 的后两个下标是可以 互相交换的，则上式可写为
Ex2 2 Ey 16 2 E z 26 2 E y Ez 36 2E E z x 2 Ex E y
当P和E均用实振幅表示，且基频光偏振方向正交时，有
1 1 P (1 i 2 0 in 2 jk )( Eoj Eok Eok Eoj )
2 0 2
0
2
2 2 E0 (1 cos 2t )
第一项是不算时间变化的强度。第二项代表频率为基频两倍的电偶 极矩，它将辐射二次谐波（倍频光），这个效应称为光学倍频。 对非线性介质，2理解为二阶有效极化率e，有 上式中的 e 不仅随晶体而异，也随光在晶体中传播的方向而异。 倍频技术是一种频率转换技术，在1961年被发现，但转换效率 较低，仅有10-3，原因在于没有实现相位匹配。 2.相位匹配及倍频转换效率 考虑一片厚度为d的非线性晶体，正入射的基频光波在 晶体内的电场强度为 E E0 cos(t k1 x)
若进一步采用如下约定： x 1; y 2; z 3
xx 1; yy 2; zz 3 yz 4; zx 5; xy 6
则倍频极化率张量可表示为：
11 in 21 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
当基频光偏振方向相同时，上式可写成
1 P i 2 0 in (2 jk ) Eoj Eok
一般的引入
din 1 2 0 in
din 称为介质的实用倍频极化率，从而有
1 P d (1 i in 2 jk )( Eoj Eok Eok Eoj )
P i din (2 jk ) Eoj Eok
15 25 35
16 26 36
Px2 11 2 P y 0 21 Pz2 31
12 22 32
13 23 33
14 24 34
15 25 35
ik 1z E e 假定入射基频光的光波形式为 E j () 1 2 oj
由此可见，二阶非线性极化强度与入射的光场之间由三阶张 量联系，三阶张量有27个张量元。 Ex (1 ) Ex (2 )

(2) 引入求和惯例，有 P i 0 ijk (3 ; 1 , 2 ) E j (1 ) Ek (2 )
3
2. 二阶非线性极化率张量的约化 根据热力学性质和空间结构的对称性可以减少张量元的个数 （1）固有对称性 固有对称性是指二阶非线性极化率张量同时成对交换，其值 不变，即： (2) ( ; , ) (2) ( ; , )
p qr
P Nqr
若单位体积中有N 个电偶极子，N 个偶极矩的矢量和为 极化强度P。 电极化强度产生极化场，极化场发出次级辐射。 在入射光强较弱的情况下（线性光学），有
此时，介质中的物质方程为
P 0 (1) E
D 0 E P 0 E 0 (1) E 0 (1 (1) )E 0 r(1) E
一、光与物质相互作用的机理 当光照射物质时，光波电磁场将对物质中的电子产 生作用，在外电场的作用下，介质原子成为电偶极子。电
偶极子将随光波的电磁场的变化产生振荡。
+ +
－
原子的电极化：负电荷中心与正电荷中心产生偏离的状态。
若光波随时间作正弦变化，即它的电场强度沿两个相 反方向交替变化，电偶极子的负电荷中心将绕正电荷中心 作周期性振荡。表征电偶极子的物理量是电偶极矩。
Px2 0[xxx Ex Ex xyy Ey Ey xzz Ez Ez 2xyz Ey Ez 2 xzx Ez Ex 2 xxy Ex Ey ]
Px2 xxx 2 P y 0 yxx Pz2 zxx