万有引力与航天模型ppt课件

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二、“中心天体圆周轨道”模 型
“中心天体圆周轨道”模型指一个天体(中心天体)位于中心位置不动(自转除外)，另 一个天体(环绕天体)以它为圆心做匀速圆周运动，环绕天体只受中心天体对它的万有 引力作用. 解答思路 由万有引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，据牛顿第二定律，得 Mm v2 2 G 2 man m mr 2 mr ( )2 r r T
Mm r2
⑥轨道所在处的向心加速度 g ' GM r2 (3)可求第一宇宙速度 物体在地球表面附近环绕地球运转，其实就是“中心天体-圆周轨道”模型。求第 一宇宙速度有两种方法:
Mm v2 GM ①由 G 2 m 得 v R R R Mm ②由 mg G 2 得 v gR R
其他星球的第一宇宙速度计算方法同上，M 为该星球的质量, R 为该星球的半径，
g 为该星球表面的重力加速度，依据已知条件，灵活选用计算公式.
【例2】随着我国“嫦娥二号”的发射和回收成功。标志着我国的航天技术 已达到世界先进水平。如图所示，质量为m的“嫦娥二号”绕地球在圆轨道 Ⅰ上运行时，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进 入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞船在圆轨道Ⅱ上运动速度 大小为v，在A点通过发动机向后以速度大小为u（对地）喷出一定质量气体， 使飞船速度增加v’到进入椭圆轨道Ⅲ。（已知量为：m、r1、r2、v、u、v’） 求： m ⑪飞船在轨道I上的速度和加速度大小. Ⅱ ⑫发动机喷出气体的质量 .
【例5】某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远
镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天(太阳光直射赤道)在日落12 小时内有多长时间该观察者看不见此卫星?已知地球半径为R，地球表面处的 重力加速度为g,地球自转周期为T,不考虑大气对光的折射.
【解析】 设所求的时间为t,用M、m分别表示地球和卫星的 质量,表示卫星到地心的距离r，有
G Mm 2 mr ( )2 r2 T
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道,S表示卫星，A表示观 察者，O表示地心,由图可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后(设地球自转是沿 图中逆时针方向)，其正下方的观察者将看不见它,据此再考虑到对称性，有：
r sin R, t
3 r 3 ②密度： 2 3 GT R
特殊地，当环绕天体为近地卫星时( R r )，有:
3 GT 2
(2)对环绕天体而言，可求量有六个:
①线速度 v GM r ②角速度
GM r2
GM r3
4 2r 3 ③周期 T GM
④向心加速度 an
⑤向心力 F G
则有
Mm v2 G 2 m r2 r2
r a1 22 v 2 解得 ： r1
mv (2)设喷出气体的质量为m 由动量守恒得： 1 (m m)v mu
v v r2 r1
解得:
m
v u
m
【例3】 2003年10月15日9时整，我国“神舟”五号载人飞船发射成功，飞船绕地球14 圈后，于10月16日6时23分安全返回。若把“神舟”五号载人飞船的绕地运行看作是在 同一轨道上的匀速圆周运动，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g。.设“神舟” 五号载人飞船绕地球运行的周期为T,用R、g、T能求出哪些与“神舟”五号载人飞船有关 的物理量？分别写出计算这些物理量的表达式 . Mm 2 【解析】 对飞船,万有引力作为圆周运动的向心力： G 2 mr ( )2
16 1 2 g R v1 1.8km/s 81 4 9
三、“同步卫星”模 型 地球同步卫星是位于赤道上方，相对于地面静止不动的一种人造卫星，主要用于全
球通信和转播电视信号，同步卫星在赤道上空一定高度环绕地球运动也属于“中心天 体—环绕天体”模型，同步卫星具有四个一定:
①定轨道平面:轨道平面与赤道平面共面.
A. 0.4km/s B.36km/s C.11km/s D.1.8km/s
【解析】设地球质量、半径分别为M 、R，月球质量、半径分别为m、r， 则
m 1 1 M、r R 81 4
在星体表面，物体的重力近似等于万有引力，若物体质量为 m0， 则G
Mm0 m0 g 2 R
在月球表面(月球表面的重力加速度为g’)，满足 GM g ' R2 mR2 16 g g 由此可得 g ' Mr 2 81 地球表面的第一宇宙速度 v1 gR 7.9km/s 在月球表面，有 v ' g ' r 答案D正确。
G
r 由图可知： sin R0
mM 2 mM mr ( )2 , G 2 mg T r2 R0
对于极地卫星，轨道半径为 r ' ，周期为 T ' r 'sin R0
mM 2 2 有 G 2 mr ( ) T r
R0 r 3 T 2 r3 gR0 2T 2 3 2 R0 2 4 2 T
1t 2t 2n (n 1、 3……) 2、
如果经过时间，两卫星与地心连线半径转过的角度相差2π的奇数倍，则 两卫星相距最远，即：
1t ' 2t ' (2n 1) (n 1、 3……) 2、
【例7】如图所示，A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面 内，离地面高度为h,己知地球半径为R，地球自转角速度为ω0,地球表面的重 力加速度为g,O为地球中心. (1)求卫星B的运行周期.. (2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、 A、B在同一直线上)，则至少经过多长时间，他们再一次相距最近?
2 R2 g v “神舟”五号载人飞
R2 gT 2 R “神舟”五号载人飞船的离地面高 h 3 4 2 度: 点评 此题属于开放性题目，许多学生根据题目中所给的条件，却不知到需要求出那些物 理量，从而无从下手.
【例4】我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星,设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月 球表面.已知月球质量约为地球质量的1/81，月球的半径约为地球半约的1/4，地球上的 第一宇宙速度约为7.9km/s,则该探月卫星绕月运行的速度约为 ( )
a m 式中 M 为中心天体的质量， 为环绕天体的质量， n、v、、T 分别表示环绕天体 做圆周运动的向心加速度、线速度、角速度和周期，根据问题的特点条件，灵活 选用的相应的公式进行分析求解. 此类模型所能求出的物理量也是最多的，
（1）对中心天体而言，可求量有两个:
4 2r 3 ①质量：M GT 2
【解析】（1）由万有引力定律和向心力公式得：
G Mm 2 m( R h)( )2 ( R h)2 TB
①
在地球表面附近有：G
Mm mg 2 R
②
( R h)3 ③ T 联立解得： B 2 gR 2
3
由以上各式联立解得： T
两天体(行星、卫星或探测器)相遇，实际上是指两天体相距最近，若两 环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上， 且位于中心天体的同侧时相距近，两环绕天体与中心天体在同一直线上，且 位于中心天体的异侧时则相距最远.
四、“天体相遇”模 型
设卫星1(离地球近些)与卫星2某时刻相距最近，如果经过时间t两卫星与 地心连线半径转过的角度相差2π的整数倍，则两卫星又相距最近，即：
T
2 Mm T , G 2 mg 2 R
4 2 R 1 3 由以上各式可解得: t arcsin( gT 2 )
【例6】地球上空有人造地球同步通讯卫星，它们向地球发射微波。但无论 同步卫星数目增到多少个，地球表面上两极附近总有一部分面积不能直接收 到它们发射来的微波，设想再发射一颗极地卫星，将这些面积覆盖起来，问 这颗极地卫星绕地球运动的周期至少有多大？已知地球半径为R0，地球表面 的重力加速度为g，地球自转周期为T. 【解析】因为同步卫星总是在赤道的上空，其高度也是一定的。由它画一条 到地球表面的切线，如图所示，可见两极周围的区域内就收不到微波通讯， 以m、M分别表示同步卫星和地球的质量，r表示同步卫星到地心的距离，T 表示地球的自转周期，则有
在地球表面
R2 gT 2 可求得“神舟”五号轨道半 r 4 2
3
Mm G 2 mg R
r
T
2 2 或轨道周长 l 2 R gT
径
1 f 此外还可求得“神舟”五号载人飞船的运行频 T 率： 2 “神舟”五号载人飞船的运行角速度:
T
2 a “神舟”五号载人飞船的运行向心加速度（加速度、轨道处重力加速度） T
浅谈万有引力与航天模型
河南省睢县高级中学 李仲旭
引言
圆周运动、万有引力、人造卫星知识的综合，使许多学生对这三者的关系感到扑朔迷 离． （1）万有引力定律揭示了自然界的任何两个物体间都存在的一种相互吸引力， 并说明了这种万有引力与哪些因素有关并且有什么关系．日常生活中，普通物体 之间的这种力很小可以忽略不计，但在天体运动中万有引力却非常大，提供了天 体运动所需要的向心力. 。 （2）牛顿第二定律反映了加速度与力和质量之间的定量关系，是解决动力学 问题的重要依据，是力学的基本规律，在中学物理中占有十分重要的地位． （3）对圆周运动而言，其运动学和动力学的联系纽带就是向心加速度，向心 加速度的决定式,是牛顿第二定律在圆周运动中的重要体现．在天体运动中万有 引力提供向心力，据牛顿第二定律得:
“椭圆轨道” 模型 指行星(卫星)的运动轨道为椭圆，恒星(或行星)位于该椭圆轨 道的一个焦点上，由于受数学如识的限制，此类模型适宜高中生做的题目不多，所 用知识为开普勒第三定律及椭圆轨道的对称性. 【例1】天文学家观察到哈雷彗星的周期约是75年，离太阳最近的距离是 8.9 10 m ， 但它离太阳的最远距离不能测出，试根据开普勒定律计算这个最远距离，已知太阳系 的开普勒常量 k 3.354 1018 m3 /s 2