高考数学常考的6大题型全析
新高考数学试卷题型分布
新高考数学试卷题型分布新高考数学试卷结构：第一大题，单项选择题，共8小题，每小题5分，共40分；第二大题，多项选择题，共4小题，每小题5分，部分选对得3分，有选错得0分，共20分；第三大题，填空题，共4小题，每小题5分，共20分；第四大题，解答题，共6小题，均为必考题，涉及的内容是高中数学的六大主干知识：三角函数，数列，统计与概率，立体几何，函数与导数，解析几何。
每小题12分，共60分。
单项选择题考点分析：多项选择题考点分析：新高考选择题部分分析：新高考与之前相比，最大的不同就是增加了多项选择题部分，选择题部分由原来的12道单选题，变成了8道单选题与4道多选题。
这有利于缩小学生选择题部分成绩的差距，过去学生错一道单选题，可能就会丢掉5分，在新高考中，考生部分选对就可以得3分，在一定程度上保证了得分率。
新高考的单项选择题部分主要考察学生的基础知识和基本运算能力，总体上难度不大，只要认真复习，一般都可以取得一个较好的成绩。
在多项选择题上，前两道较为基础，后两道难度较大，能够突出高考的选拔性功能，总体上来看，学生比以往来讲，更容易取得一个不错的成绩，但对于一些数学基础比较的好的同学来说，这些题比以往应该更有挑战性。
过去，只需要在四个选项中选一个正确答案，现在要在四个选项中，选出多个答案，比以往来说，要想准确的把正确答案全部选出来，确实有一定的难度。
新高考数学试卷的第4题，第6题和第12题都体现了创新性。
第4题，以古代知识为背景，考察同学们的立体几何知识，这体现了数学考试的价值观导向。
弘扬传统文化的同时也鼓励同学们走进传统文化。
近年来，对于这类题目也是屡见不鲜，平时也应该鼓励学生去关注一些古代的数学著作，如《九章算术》，《孙子算经》等等，通过对这些著作的了解，再遇到这类题目时，在一定程度上能够减少恐惧感与焦虑感。
第6题则体现了聚焦民生，关注社会热点。
以新冠疫情为背景，考察了指数与对数函数，这也启示我们，在未来，数学试卷将会越来越贴近我们的现实生活，平时我们对这些内容有所关注，可以减少我们的焦虑感，增强我们做题的自信心。
2023高考数学常考的知识点与题型
2023高考数学常考的知识点与题型高考数学常考题型有哪些1、函数与导数主要考查数学集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
2、平面向量与三角函数、三角变换及其应用这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些数学基础题或中档题。
3、数列及其应用这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
4、不等式主要考查数学不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
5、概率和统计这部分和我们的生活联系比较大，属数学应用题。
6、空间位置关系的定性与定量分析主要是证明平行或垂直，求角和距离。
主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。
7、解析几何高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(部分知识抽象，较难理解);2、基本的初等函数(指数函数、对数函数);3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)。
必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。
这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。
这部分知识高考占22---27分。
2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题。
3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空);2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。
必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。
2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。
09年理科占到5分，文科占到13分。
必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右;2、数列：高考必考，17---22分;3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。
高考数学重难点第4讲 指对幂比较大小6大题型(原卷及答案)(全国通用)(学生专用)
重难点第四讲指对幂比较大小6大题型——每天30分钟7天掌握指对幂比较大小6大题型问题【命题趋势】函数“比大小”是非常经典的题型，难度不以，方法无常，很受命题者的青睐。
高考命题中，常常在选择题或填空题中出现这类型的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序。
这类问题的解法往往可以从代数和几何来那个方面加以探寻，即利用函数的性质与图象解答。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】比较大小的常见方法1、单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：（1）一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；（2）作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；3、中间值法或1/0比较法：比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小；4、估值法：（1）估算要比较大小的两个值所在的大致区间；（2）可以对区间使用二分法（或利用指对转化）寻找合适的中间值；5、构造函数，运用函数的单调性比较：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数规律（1）对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f( )外衣”比较大小；（2）有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大小。
6、放缩法：（1）对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；（2）指数和幂函数结合来放缩；（3）利用均值不等式的不等关系进行放缩；（4）“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数（主要是整数多一些），那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系。
【热点题型】第2天 掌握利用单调性及作差作商法比较大小问题模型【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（ ）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>>【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ． a b c <<B ． b<c<aC ． c b a <<D ． c<a<b【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数,,a b c 满足235e e e 2235a b c===，则（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >>【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（ ）A ． 1.52.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9>【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >>【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）．A ．a b c d <<<B ．a c b d <<<C ．b c d a <<<D ．a d b c <<<【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（ ）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >>【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a【变式2-4】（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>第3天 掌握估值法及含变量比较大小问题模型【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >>【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b a c << B ．a c b << C ．a b c << D ．b<c<a【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．<<b c a【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知a =eb =， 2.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（参考数据：ln20.693≈）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >>【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c <【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c<a<b【变式4-2】（哈尔滨三中校考阶段）已知())20222022lnx xf x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（ ）A ．()()()f a f c f b <<B ．()()()f b f c f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f a f c <<【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e x x b +=，sin sin 1e xx c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b<c<a C ．a c b << D ．c<a<b第4天 掌握构造函数比较大小问题模型【题型5 构造函数比较大小】【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >>【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c <<【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c 大小关系是_______．第5天 掌握数形结合法比较大小问题模型【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<<【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<<b aB ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a <<【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【变式6-3】（2023·全国·高三专题）已知e ππe e ,π,a b c ===，则这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<第6天 融会贯通及限时检测（1）1．（2022·全国·高三专题练习）2log 3，8log 12，lg15的大小关系为（ ） A ．28log 3log 12lg15<< B ．82log 12lg15log 3<< C ．28log 3log 12lg15>> D ．82log 12log 3lg15<<2．（2022·四川资阳·统考二模）设 1.02a =，0025.e b =，0.92sin0.06c =+，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．b<c<aD ．c<a<b3．（2022·全国·高三专题练习）已知35log 2,log 2,3a a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 4．（2022·全国·高三专题练习）设2log 3a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c 5．（2022·全国·高三专题练习）已知0.60.5a =，0.50.6b =，6log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b<c<a 6．（2022·全国·高三）已知定义在R 上的函数()(5712,log ,ln ,log 22xf x x a f b f c f⎛⎫⎛⎫=⋅===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．c b a >> 7．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知1210a =，1111b =，1012c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a c b >>D ．a b c >>8．（2022秋·山东·高三校联考阶段练习）若0.1e ,ln 0.9a b c ===-，则,,a b c 的大小关系为（ ）．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >> 9．（2022·四川南充·统考一模）设定义R 在上的函数()y f x =，满足任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，且(]0,4x ∈时，()()'>xf x f x ，则()2021f ，()22022f ，()32023f 的大小关系是（ ）A ．()()()20222202320231f f f <<B ．()()()20222023202123f f f << C ．()()()20232032222021f f f << D ．()()()20232022202132f f f << 10．（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）若2322ln(ln1.01),ln ln ,ln 2π3a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b<c<a第7天 融会贯通及限时检测（2）1．（2022秋·江苏徐州·高三学业考试）设30.20.2,3,2a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <c <bD ．b <a <c2．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）已知0.90.50.9log 2log 0.50.5x y z ===，，，则x y z ，，的大小关系是（ ）A ．z y x >>B ．x z y >>C ．y x z >>D ．y z x >> 3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知实数2log 3a =，cos 4b π=，3log 2c =，则这三个数的大小关系正确的是（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>4．（2022秋·天津东丽·高三校考阶段练习）设 1.1 1.13log 8,2,0.8a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<5．（2022·陕西渭南·统考一模）已知a =ln πb =，sin136c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<6．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知12223,log 3a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >> 7．（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知 1.21.1a =， 1.11.2b =，1.2log 1.1c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c b a >>8．（2022秋·四川成都·高三校考期中）已知函数()e e 2x xf x --=，且11ln a f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1e b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，ec f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b c a << C ．a c b << D ．b a c <<9．（2022·四川宜宾·统考模拟预测）已知252.5a =，5775b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c = ，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b<c<a10．（2022秋·天津河东·高三天津市第七中学校考期中）若2ln 64a =，ln2ln3b =，()2ln 24πc =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b a c >>答案第2天 掌握利用单调性及作差作商法比较大小问题模型【题型1 利用单调性比较大小】【例1】（2022秋·福建宁德·高三统考期中）设00.30.0..355,,0.30.30.50.5,a b c d ====，则,,,a b c d 的大小关系为（ ）A ．b d a c >>>B ．b a d c >>>C ．c a d b >>>D ．c d a b >>> 【答案】D【解析】因为0.3x y =以及0.5x y =是R 上的单调减函数，故可得0.30.50.30.3>，0.30.50.50.5>，即a b >，c d >；又因为0.30.10.50.10.30.027,0.50.3125a d ====，而0.1y x =是()0,+∞上的单调增函数，则0.10.10.031250.027>，即d a >.故c d a b >>>.故选：D.【变式1-1】（2022秋·四川眉山·高三校考阶段练习）若0.5.43200.4,0.5,log 4a b c ===，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ． a b c <<B ． b<c<aC ． c b a <<D ． c<a<b 【答案】D【解析】322log 40.45===c ，因为0.4x y =在R 上为减函数，所以10.50.40.40.40.4=<=<c a ，因为0.4y x =在()0,x ∈+∞上为增函数，所以0.40.40.50.4>=b ，所以a b <，所以c<a<b ，故选：D.【变式1-2】（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知实数,,a b c 满足235e e e 2235a b c===，则（ ）A ．a b c >>B ．a b c <<C ．b a c >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】因为235e e e 2235a b c===，所以235e 4,e 6,e 10a b c ===，即得2ln4,3ln6,5ln10a b c ===得ln2,a b c ===ln y x =是()0,∞+上的增函数，比较,,a b c ，的大小关系 ，15次幂， 因为幂函数15y x =在()0,∞+上是单调递增的，比较15532,6,10即可，因为15532524288,67776,101000=== 所以15352106>>，即2>>a b c >>.故选:A .【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知0.50.60.3,0.3a b ==，122()5c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a 【答案】C【解析】函数0.3x y =是定义域R 上的单调减函数，且0.50.6，则0.50.60.30.3>，即a b >，又函数0.5y x = 在(0,)+∞上单调递增，且20.35<，于是得10.5220.3()5<，即c a >，所以a 、b 、c 的大小关系为b a c <<．故选：C【变式1-4】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b << 【答案】D【解析】因为2()cos ,R f x x x x =--∈，定义域关于原点对称，()22()()cos()cos f x x x x x f x -=----=--=，所以()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2sin ,f x x x '=-+，设()2sin g x x x =-+，则()2cos g x x '=-+，1cos 1x -≤≤，()0g x '∴<，所以()g x 即()f x '在[0,)+∞上单调递减，所以()(0)0f x f ''≤=，所以()f x 在[0,)+∞上单调递减，又因为()f x 为偶函数，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为41ln0,054<-<，445ln ln ln 554b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1144c f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为31411ee e 4-->=>，因为141ln e 4=，41445e e, 2.4e 4⎛⎫⎛⎫=≈< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以145e 4>，所以145ln e ln 4>，即15ln 44>，所以3415e ln 44->>，所以3441e 5ln 4f f f -⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即a c b <<.故选：D.【变式1-5】（2022·全国·高三专题练习）（多选）下列大小关系中正确的是（ ）A ． 1.52.793> B ．43773477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．13211log log 32<D ．0.2 2.11.70.9> 【答案】ABD【解析】对于A ，因为31.593=，而3x y =是增函数，所以23.733>，即 1.5 2.793>，故A正确；对于B ，根据指数函数37xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减可知，43773377⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又由幂函数37y x =为单调递增可知，37373477⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以433777334777⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 正确；对于C ，由换底公式可知1221log log 33=，根据对数函数单调性可知1221log log 303=>，331log log 102<=，所以13211log log 32>，故C 错误；对于D ，由指数函数单调性可知0.20.1021.7 1.71,0.90.91>=<=，所以0.2 2.11.70.9>，故D 正确；故选：ABD.【题型2 作差作商法比较大小】【例2】（2022·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知13e a =，ln 2b =，3log 2c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b c a >>D ．c b a >> 【答案】B【解析】103e e 1=>=a ，ln 2ln e 1b =<=，33log 2log 31c =<=∴a 最大，3lg 2lg 211ln 2log 2lg 20lg e lg3lg e lg3⎛⎫-=-=-=⋅-> ⎪⎝⎭b c ，∴b c >，∴a b c >>，故选：B【变式2-1】（2022秋·陕西咸阳·高三校考阶段练习）若sin 4a =，5log 3b =，lg 6c =，0.01e d =，则（ ）． A ．a b c d <<< B ．a c b d <<< C ．b c d a <<< D ．a d b c <<< 【答案】A【解析】由题意，0.01sin 40,e 1a d =<=>，50log 31,0lg 61b c <=<<=<，只需比较,b c 的大小，而()()5lg31lg 2lg 2lg3lg3lg3lg5lg 6log 3lg 6lg 6lg5lg5lg5--+-⋅-=-==()lg 21lg 60,lg5b c⋅-+=<∴<，综上a b c d <<<.故选：A【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知54m =，89n =，0.90.8p =，则正数m ，n ，p 的大小关系为（ ）A ．p m n >>B ．m n p >>C ．m p n >>D ．p n m >> 【答案】A【解析】由54m =，得125542m ==<89n =，得118493n ==，因此，122112020855202011520442222561324333m n ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪====> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭m n >>，由0.90.8p =，得0.90.9log 0.8log 0.812p =>=，于是得p m n >>，所以正数m ，n ，p 的大小关系为p m n >>.故选：A【变式2-3】（2022·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知4log 5a =，54b =，5log 6c =，则a 、b 、c 这三个数的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a 【答案】C【解析】因为422244log 52log 5log 25log 325a ===<=，所以54a <，即ab <，因为245ln5ln 6(ln5)ln 4ln 6log 5log 6ln 4ln5ln 4ln5a c -⨯-=-=-=⨯22ln 4ln 6(ln 5)20ln 4ln 5+⎛⎫- ⎪⎝⎭>=>⨯， 所以a c >，综上：c<a<b .故选：C.【变式2-4】（2022秋·四川内江·高三校考阶段练习）已知0.2653,log 7,log 6a b c ===，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】C【解析】对,b c ，256lg6lg7lg 6lg5lg7log 6log 7lg5lg6lg5lg6-⋅-=-=⋅，因为222lg5lg71lg5lg7lg35lg lg 622+⎛⎫⎛⎫⋅<==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2lg 6lg5lg70-⋅>，所以56log 6log 70->，即c b >；对,a c ，又0.20.23e >，令()e 1x g x x =--，则()e 1x g x '=-，所以当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()min ()00g x g ==，即e 1x x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以0.20.223.e 102 1.>>+=，令()5log 5xf x x =-，则()11ln555ln55ln5x f x x x -=-=⋅'，所以当5ln5x >时()0f x '>，所以()f x 在5,ln5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，显然55ln5>，又()50f =，即()()566log 6505f f =->=，即56log 65>，所以0.20.2563e log 65>>>，即a c b >>.故选：C第3天 掌握估值法及含变量比较大小问题模型【题型3 中间值/估值法比较大小】【例3】（2023·全国·模拟预测）已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．a b c >> 【答案】C【解析】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值，可知， ()()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=， 即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C【变式3-1】（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知log a =0.42b =，1313c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．b<c<a 【答案】C【解析】由题知，220log 1log log 1=<，即：01a <<，又0.40221b =>=，所以b a >；()15150.462264b ===，1515315511324333c --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥==== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴1515b c <，∴b c <，所以：a b c <<.故选：C.【变式3-2】（2023秋·福建泉州·高三校考阶段练习）已知a =()34log ln b π=，1.713c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．<<c a b D ．<<b c a 【答案】D【解析】根据指数函数的单调性可得0e 1a =>=， 1.7103113c <⎛⎫⎛⎫<= ⎪⎪⎝⎭⎝=⎭， 根据对数函数的单调性可得()3344log ln log 10b π=<=，所以<<b c a ，故选：D.【变式3-3】（2022秋·河南郑州·高三安阳一中校联考阶段练习）设0.22a =，0.50.5b =，0.5log 0.2c =，则（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】D【解析】对a ：2x y =在R 上单调递增，则0.210.20222,221<=>=，即12a <<；对b ：0.50.5y =[)0,∞+上单调递增，则0.50.50==>，即01b <<；对c ：0.5log y x =在()0,∞+上单调递减，则0.50.5log 0.2log 0.252>=，即2>c ； 综上所述：b a c <<.故选：D.【变式3-4】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知a =eb =， 2.52c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）（参考数据：ln20.693≈） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >> 【答案】C【解析】∵2x y =在R 2 2.5<<，∴2 2.522<<，则4,e 2.7a c c b ≈<=，又∵2ln ln 80.901a =≈<=，且e xy =在R 上单调递增，∴ln 1e e a <，即a b <，故c b a >>.故选：C.【变式3-5】（2022·全国·高三专题练习）已知0.25ln 4a =，ln 0.254b =，0.250.25c =，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c a b >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】由0.25ln 2ln 42a ==，ln 0.254ln 22ln 21114244b ===<，0.250.25c ==所以1142b ac <<<<.故选：C【变式3-6】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知2log a x =，2x b =，3x c =，其中()1,2x ∈，则下列结论正确的是（ ）A ．log b a c >B ．b c a b >C ．b c a b <D ．log log a b b c < 【答案】CD【解析】因为()1,2x ∈，所以()0,1a ∈，()2,4b ∈，()3,9c ∈，且b c <，所以log 1b c a >>，故A 错误；因为()0,1ba ∈，1cb >，即bc a b <，故B 错误，C 正确；因为log 0a b <，log 0b c >，即log log a b b c <，故D 正确.故选：CD.【题型4 含变量比较大小】【例4】（2022秋·河南·高三上蔡第一高级中学阶段练习）已知()()sin cos tan 1,,,2,2422x x x x a b c ππ--⎛⎫⎛⎫∈=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．c a b >> 【答案】D【解析】由题意得()()sin 1i si n n s 1222xx x a ---=⎛⎫= ⎪⎝⎭=，cos()cos 22x x b -==，因为当,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan sin cos x x x >>，且2x y =是增函数，所以c a b >>.故选:D.【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）设π02θ<<，sin 2a θ=，sin 2b θ=，2log sin c θ=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c<a<b 【答案】D【解析】因为π02θ<<，所以0<sin 1θ<，且0sin21θ<， 所以(]0,1a ∈，sin 21b θ=>，2log sin 0c θ=<，所以c<a<b .故选：D.【变式4-2】（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知())20222022lnx x f x x -=--，当π02x <<，cos a x =，lncos b x =，cos e x c =，试比较()f a ，f b ，()f c 的大小关系（ ） A ．()()()f a f c f b << B ．()()()f b f c f a << C ．()()()f c f a f b << D ．()()()f b f a f c << 【答案】D【解析】())20222022ln20222022)x xx x f x x x --=--=-+，()f x ∴在R 上是增函数，由()0,1x ∈时，ln x x x e <<知，b a c <<，()()()f b f a f c ∴<<，故选：D【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且222sin 2sin 1ex x a +=，cos cos 1e xx b +=，sin sin 1e x x c +=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b<c<aC ．a c b <<D ．c<a<b 【答案】C【解析】构造函数()()10e x x f x x +=>，则()2222sin 2sin 12sin ex x a f x +==，()cos cos 1cos e x x b f x +==，()sin sin 1sin e x x c f x +==．因为()()()2e 1e 0e e x x x x x x f x -+'==-<在 ()0,∞+上恒成立，所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减.又因为,42x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以 ()22sin sin sin 2sin 10x x x x -=->，且sin cos x x >，故a c b <<.故选：C ．第4天 掌握构造函数比较大小问题模型【题型5 构造函数比较大小】【例5】（2023·广西桂林·统考一模）已知a 、b 、()1,c ∈+∞，2e ln 39a a =，3e ln 28b b =，22e c c -=，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】因为a 、b 、()1,c ∈+∞，由2e ln 39a a =可得ln 9e 9a a =，由3e ln 28b b =可得ln 8e 8b b =，由22e c c -=可得22e ec c =，构造函数()ln x f x x =，其中0x >，则()21ln x f x x -'=，当0e x <<时，0f x；当e x >时，()0f x '<.所以，函数()f x 的增区间为()0,e ，减区间为()e,+∞，因为2e e 89<<<，所以，()()()2e 89f f f >>，即e e e c b ac b a >>，即()()()e e e c b a f f f >>，因为a 、b 、()1,c ∈+∞，则e a 、e b 、()e e,c ∈+∞，所以，e e e a b c >>， 因此，a b c >>.故选：A.【变式5-1】（2022秋·广东广州·高三校考期中）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时()()0f x xf x '+>（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，则（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b a c << 【答案】B【解析】令()()F x xf x =，又()f x 为定义在R 上的偶函数，则()()()()F x xf x xf x F x -=--=-=-，故()F x 为定义在R 上的奇函数；又()F x '=()()f x xf x '+，由题可知，当0x <时，()F x '0>，即()F x 在(),0-∞单调递增，结合()F x 是R 上的奇函数可知，()F x 为R 上的单调增函数；又0.301331log log 3log 10ln1ln 9ln9ππππ>==>>==>-=，又0.30.33(3)a f =⋅，log 3(log 3)b f ππ=⋅，11ln (ln )99c f =⋅，故a b c >>.故选：B.【变式5-2】（2022秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知2220a =，2121b =，2022c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >> 【答案】C【解析】由2220a =，2121b =，可得ln 22ln20,ln 21ln21a b ==，则ln 20ln 22ln 2021ln 21ln 21ln 2122a b ==，令2ln ()(e )1x f x x x =>+，则221ln ()(e )(1)x x x f x x x x +-'=>+，令2()1ln (e )g x x x x x =+->，则()ln 0g x x '=-<，所以()g x 在2(e ,)+∞上单调递减，又2222(e )e 12e e 10g =+-=-+<，所以当2(e ,)x ∈+∞时，()0g x <，所以()0f x '<，所以()f x 在2(e ,)+∞上单调递减，从而2220()(e )e 1f x f <<=+，所以(20)(21)f f >，即ln ln a b >，从而可知a b >. 由2121b =，2022a =，可得ln 21ln21,ln 20ln22b c ==，则ln 21ln 21ln 2120ln 22ln 20ln 2221b c ==，令2ln(1)()(e 1)x h x x x+=>-，则22(1)ln(1)()(e 1)(1)x x x h x x x x -++'=>-+，令2()(1)ln(1)(e 1)m x x x x x =-++>-，则()ln(1)0m x x '=-+<，所以()m x 在2(e 1,)-+∞上单调递减，又22(e 1)e 10m -=--<，所以当2(e 1,)x ∈-+∞时，()0m x <， 所以()0h x '<，所以()h x 在2(e 1,)-+∞上单调递减，从而2220()(e 1)e 1h x h <<-=-， 所以(20)(21)h h >，即ln ln b c >，从而可知b c >.综上可得a b c >>.故选：C【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知0.40.7e ,eln1.4,0.98a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．c a b >> 【答案】A【解析】构造()1=ln ef x x x -，0x >，则()11=ef x x'-，当0e x <<时，()0f x '>，当e x >时，()0f x '<，所以()1=ln ef x x x -在0e x <<上单调递增，在e x >上单调递减，所以()()e =lne 10f x f ≤-=，故ln 1ex x ≤，当且仅当e x =时等号成立，因为20x >，所以222222(2)2ln 2ln ln ln2e e 2e 2e ex x x x x x x x x ≤⇒≤⇒≤⇒≤=，当x =等号成立，当0.7x =时，220.98ln1.4(0.7)eln1.40.98e e <⨯=⇒<，所以b c <构造()1=e x g x x --，则()1e 1=x g x -'-，当1x >时，()0g x '>，当1x <时，()0g x '<，所以()1=e x g x x --在1x >单调递增，在1x <上单调递减，故()()10g x g ≥=，所以1e x x -≥，当且仅当1x =时，等号成立，故121e e 2x x x x --≥⇒≥，当且仅当0.5x =时，等号成立，令0.7x =，则0.40.4e 1.40.7e 0.98>⇒>，所以a c >，综上:a c b >>，故选：A【变式5-4】（2022秋·广东河源·高三河源市河源中学阶段练习）设621121010a =+⨯，0.01e 1b =-，ln1.02c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b << B ．b c a << C ．a b c << D ．b a c << 【答案】C 【解析】6242621111101010102101022a ----=+=⨯+<⨯+⨯，20.0110e 1e 1b -=-=-， 令()21e 12x x f x x ⎛⎫--+ ⎝=⎪⎭，则()e 1x x f x =--'，令()e 1x x g x =--，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()0,+∞上递增，所以()()00g x g >=，即()()00f x f ''>=，所以函数()f x 在()0,+∞上递增，所以()()21000f f ->=，即210421e 110102---->⨯+，所以a b <，令()()e 1ln 21x h x x =--+，则()()21e 22e 2121xxx h x x x +-'=-=++，令()()21e 2x m x x =+-，则()()23e xm x x '=+，当0x >时，()0m x '>，所以函数()m x 在()0,+∞上递增，()0.10.130.1 1.2e 22e 15m ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为1010770.133327e 381e e 155********⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⨯<⨯< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以0.13e 15<，所以()0.10.130.1 1.2e 22e 105m ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，所以当00.1x <<时，()0m x <，即()0h x '<，所以函数()h x 在()0,0.1上递减，所以()()0.0100h h <=，即0.01e 1ln1.020--<， 所以b c <，综上所述a b c <<.故选：C.【变式5-5】（2022·全国·高三专题）设11111111,e 1,ln 101010a b c ==-=，则a ，b ，c大小关系是_______． 【答案】b a c <<【解析】令()()()1ln 1f x x x x =++-，1x >-，则()()()ln 111ln 1f x x x '=++-=+， 令()0f x '>，得0x >，即()f x 在()0,∞+上单调递增，1010>，∴1()(0)10f f >，即11111ln 101010>，即c a >，令1011()e 1x g x x =--，则101110()e 111x g x '=-，令()0g x '<得1111ln 1010x <，即()g x 在1111ln 1010⎛⎫∞ ⎪⎝⎭-,单调递减，因为111110ln 101010<<，所以1()(0)10g g <，即10111101e 1010⨯--<，所以1111e 110-<，即b a <.所以b a c <<.第5天 掌握数形结合法比较大小问题模型【题型6 数形结合法比较大小】【例6】（2022·全国·高三专题练习）已知()()2022()y x m x n m n =--+<，且,()αβαβ<是方程0y =的两根，则,,,m n αβ的大小关系是（ ）A ．m n αβ<<<B ．m n αβ<<<C ．m n αβ<<<D ．m n αβ<<< 【答案】C【解析】()()()2022()f x x m x n m n =--+<为二次函数，开口向上，因为,()αβαβ<是方程0y =的两根，故,()αβαβ<为图象与x 轴的两个交点横坐标，其中()()2022f m f n ==，画出图象如下：显然m n αβ<<<，故选：C【变式6-1】（2023秋·陕西西安·高三统考期末）已知3log 2a =，4log 3b =，5log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c<<b aB ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a << 【答案】B【解析】方法一：设函数为()()log 1x f x x =-，而()()()lg 1log 1lg x x f x x x-=-=.如图，()lg 1y x =-的图象在lg y x =的下方，而且随着x 的增大，()lg 1y x =-的图象与lg y x =的图象越来越接近，即当2x >时，()()()lg 1log 1lg x x f x x x-=-=的值越来越大，所以有，a b c <<.方法二：构造函数()()log 1x f x x =-，1x >；则()3a f =，()4b f =，()5c f =()()()ln 1log 1ln x x f x x x-=-=，()()()2ln ln 10ln x x f x x --=>'在()1,+∞上恒成立，所以，函数()()log 1x f x x =-在()1,+∞上单调递增，所以，()()()345f f f <<，即a b c <<.故选：B.【变式6-2】（2022秋·江苏扬州·高三期末）已知正实数a ，b ，c 满足2e e e e c a a c --+=+，28log 3log 6b =+，2log 2c c +=，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】B【解析】22e e e e e e e e c a a c c c a a ----⇒+=+-=-，故令()e e x x f x -=-，则()e e c cf c -=-，()e e a a f a -=-．易知1e ex x y -=-=-和e x y =均为()0,+∞上的增函数，故()f x 在()0,+∞为增函数．∵2e e a a --<，故由题可知，2e e e e e e c c a a a a ----=->-，即()()f c f a >，则0c a >>．易知222log 3log log 2b =+=，2log 2c c =-，作出函数2log y x =与函数2y x =-的图象，如图所示，。
新课标高考数学题型全归纳
新课标高考数学题型全归纳一、选择题新课标高考数学选择题主要考察学生对于基础知识的掌握与运用能力，题型较为灵活多样，涵盖了代数、几何、数论、概率统计等多个知识领域。
具体包括填空题、选择题和判断题等多种形式。
1.填空题填空题通常要求学生根据题意进行计算或推导得出唯一的答案，涵盖了代数、几何、数论等不同领域的知识点。
填空题考察学生对基本知识点的理解和运用能力，以及灵活性和创新性。
例题：已知2x + 3 = 7，求x的值。
2.选择题选择题是高考数学试题中出现较多的一种题型，涵盖了代数、几何、数论等多个知识点。
选择题通常包括单项选择和多项选择两种形式，要求学生根据题意选择正确答案。
例题：已知抛物线y = ax^2 + bx + c的顶点坐标为（1，-3），则a、b、c的关系是（）。
A. a + b + c = 1B. a - b + c = 1C. a - b - c = 1D. a + b - c = 13.判断题判断题常常考察学生对于基本概念和定理的理解和掌握能力。
题目通常以简短的陈述形式呈现，要求学生判断其真假，并给出理由。
例题：若对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则函数f(x)是奇函数。
（）二、填空题填空题是高考数学试题中的一种主要题型，通常要求学生根据题意进行计算或推导，得出唯一的答案。
填空题涵盖了代数、几何、数论等多个知识领域，考察学生对基础知识的掌握和运用能力，以及灵活性和创新性。
1.代数填空题代数填空题主要考察学生对于代数表达式的计算和变形能力，包括多项式、方程、不等式等内容。
例题：已知方程2x^2 - 3x - 2 = 0的两根分别为x1和x2，求x1 + x2的值。
2.几何填空题几何填空题通常考察学生对于几何图形的性质和关系的理解，要求学生根据题意进行计算或推导，得出唯一的答案。
例题：在直角三角形ABC中，∠C = 90°，AB = 3，BC = 4，则AC =3.数论填空题数论填空题主要考察学生对于整数性质和基本定理的理解和运用能力，包括最大公约数、最小公倍数、质数分解等知识点。
新高考数学大题6大题型
新高考数学大题6大题型
新高考数学大题常见的6大题型包括：
1.三角函数题型：涉及三角函数的画图、性质、三角恒等变换、和与差公式等。
2.向量题型：强调向量的工具性，主要涉及平面向量的背景，以及正弦定理、余弦定理、解三角形等内容。
3.数列题型：考察等差数列和等比数列的通项公式、求和公式以及相关性质。
4.不等式题型：包括不等式的证明、求解和实际应用等。
5.解析几何题型：考察直线、圆、椭圆、双曲线等图形的位置关系和数量关系。
6.函数与导数题型：主要涉及函数的单调性、奇偶性、周期性等性质，以及导数的计算和应用。
在高考数学大题中，这些题型可能会以综合题的形式出现，注重知识的交汇性和实际应用。
因此，考生需要掌握各部分内容的本质和联系，能够综合运用各种数学知识和思想方法来解决实际问题。
高中数学6个大题全部问法及解题思路
2001-2016年山东卷高考数学6大专题出题方向及解题思路高考数学大题结构安排：A、三角函数与向量的结合B、概率论C、立体几何D、曲线（椭圆双曲线抛物线圆锥曲线）E、数列F、导数（全国卷不等式或者极限)解题方法浅析：其实高考大题并不可怕，它就是一个按部就班的过程，只要你能把握每个知识点的出题方向，每个方向的解题思路，随便怎么都可以拿到65分的，甚至猛一点的可以拿75分。
那么我就简单的说一下我的想法和思路，希望对大家有帮助。
a、三角函数与向量：考点：对于这类题型我们首先要知道它的出题方向：向量的数量积以及三角函数的化简问题看，同时可能会涉及到正余弦定理，难度一般不大。
只要你能熟练掌握公式，这类题都不是问题。
题型：这部分大题一般都是涉及以下的题型：最值（值域）、单调性、周期性、对称性、未知数的取值范围、平移问题等解题思路：第一步求定义域第二步就是根根据向量公式将表示出来：其表示共有两种方法，一种是模长公式（该种方法是在题目没有告诉坐标的情况下应用），即，另一种就是用坐标公式表示出来（该种方法是在题目告诉了坐标），即第三步就是三角函数的化简：化简的方法都是涉及到三角函数的诱导公式（只要题目出现了跟或者有关的角度，一定想到诱导公式），还有就是倍角半角公式（只要题目中的角度出现一半或者两倍的关系，一定要此方法），最后可能就是用到三角函数的展开公式（注意辅助角公式的应用）第四步就是将化简为一个整体的式子（如y=a的形式）根据题目要求来解答：最值（值域）：要首先求出的范围，然后求出y的范围单调性：首先明确sin函数的单调性，然后将代入sin函数的单调范围解出x的范围（这里一定要注意2的正负性）周期性：利用公式求解对称性：要熟练掌握sin、cos、tan函数关于轴对称和点对称的公式，同时解题过程中不要忘记了加上周期性。
未知数的取值范围：请文科生参照第九套试卷第二问的做法；平移问题：永远记住左右平移只是对x做变化，上下平移就是对y做变化，永远切记。
函数的概念与性质常见典型考题赏析
ʏ张文伟函数是每年高考的必考内容㊂纵观近几年的高考试题,函数的概念与性质,函数的图像与应用问题,分段函数问题,以函数形式出现的综合题和应用题一直是常考点,且常考常新㊂下面就函数的概念与性质的常见典型考题进行举例分析,供大家学习与参考㊂题型一:函数概念的理解判断对应关系是否构成函数的关键:一是自变量x的取值是否任意,二是对应的函数值y是否唯一㊂判断两个函数是否相同,要根据函数的 三要素 来判断,即看函数的定义域㊁对应关系㊁值域是否一致,当三者都一致的时候,两个函数才是相同函数㊂例1设M={x|0ɤxɤ2},N={y| 0ɤyɤ2},给出下列四个图形,如图1,图2,图3,图4,其中能表示从集合M到N的函数关系的图形有()㊂图1图2图3图4A.1个B.2个C.3个D.4个解:由函数的定义知,M中任意一个x,在N中都有唯一的y与之对应,故图1,图2,图4正确㊂应选C㊂跟踪训练1:下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()㊂A.y=(x)2B.y=3x3C.y=4x4D.y=(x+1)2x+1-1提示:A中,y=(x)2=x(xȡ0),yȡ0,可知定义域不同且值域不同,所以两个函数不是同一个函数㊂B中,y=3x3=x(xɪR),yɪR,对应关系相同,定义域和值域都相同,所以是同一个函数㊂C中,y=4x4,yȡ0,与y=x值域不同,且当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同,所以不是同一个函数㊂D中,y=(x+1)2x+1-1的定义域为{x|xʂ-1},与函数y=x的定义域不相同,所以不是同一个函数㊂应选B㊂题型二:求具体函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合,其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则㊂函数的定义域要用集合或区间的形式表示㊂若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式aɤg(x)ɤb的x取值范围;已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是xɪ[a,b],要求f(x)的定义域,就是求xɪ[a,b]时g(x)的值域㊂例2函数y=x+3-3x2+x-6的定义域是㊂解:要使此函数有意义,x必须满足x+3ȡ0,x2+x-6ʂ0,{即xȡ-3,xʂ2且xʂ-3,{也即x>-3且xʂ2,所以函数的定义域为(-3, 2)ɣ(2,+ɕ)㊂跟踪训练2:若函数f(x)的定义域为[-2,1],求函数y=f x+14()㊃f x-14()的定义域㊂提示:要使函数y=f x+14()㊃f x-14()有意义,必须满足经典题突破方法高一数学2022年10月-2ɤx +14ɤ1,-2ɤx -14ɤ1㊂ìîíïïïï由此解得-94ɤx ɤ34,-74ɤx ɤ54,ìîíïïïï即-74ɤx ɤ34㊂故函数y =f x +14()㊃f x -14()的定义域为-74,34[]㊂题型三:函数的值与值域问题一次函数的值域为R ,二次函数的值域可用公式法㊁配方法或图像法求解,反比例函数的值域可用图像法求解㊂在求值域时,一定要考虑定义域,如求y =x 2-2x (-1ɤx <2)的值域,不能用公式法,可根据定义域结合图像求解㊂例3 已知函数f (x )=3x 2-2x -1,则f (-2)=;f (m -1)=;f [f (-1)]=㊂解:f (-2)=3ˑ(-2)2-2ˑ(-2)-1=15㊂f (m -1)=3(m -1)2-2(m -1)-1=3m 2-8m +4㊂因为f (-1)=3ˑ(-1)2-2ˑ(-1)-1=4,所以f [f (-1)]=f (4)=3ˑ42-2ˑ4-1=39㊂跟踪训练3:求下列函数的值域㊂(1)y =2x -4x +3㊂(2)y =1x 2+2x +2㊂提示:(1)因为y =2x -4x +3=2(x +3)-10x +3=2-10x +3ʂ2,所以y ɪ(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ),即此函数的值域为(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ)㊂(2)令u =x 2+2x +2=(x +1)2+1ȡ1,则y =1u㊂因为u ɪ[1,+ɕ),所以y ɪ(0,1],即此函数的值域为(0,1]㊂题型四:求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法:待定系数法,当已知函数类型时,常用待定系数法;代入法,已知y =f (x )的解析式,求函数y =f [g (x )]的解析式时,可直接用新自变量g (x )替换y =f (x )中的x ;换元法,已知y =f [g (x )]的解析式,求y =f (x )的解析式,可令g (x )=t ,反解出x ,然后代入y =f [g (x )]中,求出f (t ),即得f (x );构造方程组法,当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,可构造方程组求解㊂例4 设二次函数f (x )满足f (x -2)=f (-x -2),且图像与y 轴交点的纵坐标为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数f (x )的解析式㊂解:(方法1)设f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0)㊂由已知得c =1㊂由f (x -2)=f (-x -2),可得4a -b =0㊂由|x 1-x 2|=b 2-4a c |a |=22,可得b 2-4a c =8a2㊂由上可得,b =2,a =12,c =1,所以函数f (x )=12x 2+2x +1㊂(方法2)因为f (x -2)=f (-x -2),所以y =f (x )图像的对称轴为x =-2㊂又|x 1-x 2|=22,所以y =f (x )的图像与x 轴的交点为(-2-2,0),(-2+2,0)㊂设f (x )=a (x +2+2)(x +2-2)㊂因为f (0)=1,所以a =12㊂故函数f (x )=12[(x +2)2-2]=12x 2+2x +1㊂跟踪训练4:求下列函数的解析式㊂(1)已知f (x -1)=x +2x ,求f (x )㊂(2)设f (x )是定义在(1,+ɕ)上的一个函数,且f (x )=2x f1x ()-1,求f (x )㊂提示:(1)令t =x -1,则t ȡ-1,且x =t +1,所以f (t )=(t +1)2+2(t +1)=t 2+4t +3㊂故f (x )=x 2+4x +3(x ȡ-1)㊂(2)因为f (x )=2x f 1x ()-1,所以用1x 代换x ,得f 1x()=21xf (x )-1㊂由上经典题突破方法高一数学 2022年10月消去f1x(),解得f (x )=4f (x )-2x -1,所以f (x )=23x +13㊂又因为x ɪ(1,+ɕ),所以函数f (x )=23x +13,x ɪ(1,+ɕ)㊂题型五:分段函数的应用求分段函数的函数值时,一般应先确定自变量的取值在哪个区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数值㊂已知分段函数的函数值,求自变量的值,要进行分类讨论,逐段用不同的函数解析式求解,求解最后检验所求结果是否适合条件㊂实际问题中的分段函数,以自变量在不同区间上的对应关系的不同进行分段求解㊂例5已知函数f (x )=x 2+1,x ȡ0,-2x ,x <0,{若f (x )=10,则x =㊂解:当x ȡ0时,f (x )=x 2+1=10,可得x =-3(舍去)或x =3;当x <0时,f (x )=-2x =10,可得x =-5㊂综上可知,x =-5或x =3㊂跟踪训练5:已知函数f (x )=12x -1,x ȡ0,1x,x <0,ìîíïïïï若f (a )=a ,则实数a 的值是㊂提示:当a ȡ0时,f (a )=a2-1=a ,可得a =-2(舍去);当a <0时,f (a )=1a=a ,可得a =-1或a =1(舍去)㊂综上知实数a =-1㊂题型六:函数的单调性问题证明函数f (x )在区间上的单调性的五个步骤:①设元,②作差,③变形,④判号,⑤定论㊂解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性 脱去 函数符号 f,从而转化为不等式求解㊂例6 已知函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),求a 的取值范围㊂解:由题意知-1<a -1<1,-1<1-4a <1,{解得0<a <12㊂因为函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),所以a -1<1-4a ,可得a <25㊂综上可得,0<a <25,即a 的取值范围是0,25()㊂跟踪训练6:设函数f (x )=x |x -1|+m ,当m >1时,求函数f (x )在区间[0,m ]上的最大值㊂提示:函数f (x )=x |x -1|+m =-x 2+x +m ,0ɤx ɤ1,x 2-x +m ,1<x ɤm ㊂{当0ɤx ɤ1时,f (x )=-x 2+x +m =-x -12()2+m +14ɤm +14;当1<x ɤm 时,由f (x )=x 2-x +m =x -12()2+m -14,可得f (x )在(1,m ]上单调递增,所以f (x )m a x =f (m )=m 2㊂由m 2ȡm +14且m >1得m ȡ1+22㊂所以f (x )m a x =m +14,1<m <1+22,m 2,m ȡ1+22㊂ìîíïïïï题型七:函数性质的应用函数的性质主要有定义域㊁值域㊁单调性㊁奇偶性㊁周期性㊁对称性等㊂利用奇偶性和单调性解不等式要注意的是:奇函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相反㊂例7 设f (x )在R 上是偶函数,在(-ɕ,0)上单调递减,若f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),求实数a 的取值范围㊂解:由题意知f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂因为a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,a 2+a +1=a +12()2+34>0,且f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),所以a 2-2a +3>a 2+a +1,解得a <23㊂故所求实数a 的取值范围是 经典题突破方法 高一数学 2022年10月-ɕ,23()㊂跟踪训练7:设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围㊂提示:因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |)㊂不等式f (1-m )<f (m )等价于f (|1-m |)<f (|m |)㊂又f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以|1-m |>|m |,-2ɤm ɤ2,-2ɤ1-m ɤ2,ìîíïïï解得-1ɤm <12㊂故实数m 的取值范围是-1,12[)㊂题型八:幂函数问题对于幂函数f (x )=xα,当α>0时,在(0,+ɕ)上单调递增;当α<0时,在(0,+ɕ)上单调递减㊂对于幂函数f (x )=xα,在(0,1)上,指数越大,图像越靠近x 轴(简记为 指大图低 );在(1,+ɕ)上,指数越大,图像越远离x 轴(简记为 指大图高)㊂例8 已知函数f (x )=x 3,x ɤa ,x 2,x >a,{若存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根,则a 的取值范围是㊂解:存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根等价于存在实数b ,函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点(图略)㊂当a <0时,y =f (x )在(a ,0)上单调递减,(0,+ɕ)上单调递增,所以存在实数b ɪ(0,a 2),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当0ɤa ɤ1时,y =f (x )在R 上单调递增,所以不存在实数b ,使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当a >1时,y =f (x )在(-ɕ,a )上单调递增,(a ,+ɕ)上也单调递增,所以存在实数b ɪ(a 2,a3),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点㊂综上可得,a ɪ(-ɕ,0)ɣ(1,+ɕ)㊂跟踪训练8:已知幂函数y =x 3m -9(m ɪN *)的图像关于y 轴对称,且在(0,+ɕ)上单调递减,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的取值范围㊂提示:因为幂函数y =x 3m -9在(0,+ɕ)上单调递减,所以3m -9<0,解得m <3㊂又m ɪN *,所以m =1或m =2㊂因为函数图像关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,可知m =1,则(a +1)-13<(3-2a )-13㊂因为y =x -13在(-ɕ,0),(0,+ɕ)上均单调递减,所以a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1㊂故a 的取值范围为(-ɕ,-1)ɣ23,32()㊂题型九:二次函数模型二次函数求最值的四种方法:配方法,判别式法,换元法,单调性法㊂求二次函数最值问题,最好结合二次函数的图像㊂例9 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的函数关系式可以近似地表示为y =x 25-48x +8000㊂已知此生产线年产量最大为210t ㊂若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少解:设可获得的总利润为W 万元,则W =40x -y=40x -x 25+48x -8000=-x 25+88x -8000=-15(x -220)2+1680(0ɤx ɤ210)㊂因为W 在[0,210]上单调递增,所以当x =210时,W m a x =-15(210-220)2+1680=1660(万元)㊂故年产量为210t 时,可获得最大利润,最大利润为1660万元㊂跟踪训练9:某工厂生产甲㊁乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元),它们与投入资金m (万元)的关系有如下公式:P =12m +60,Q =70+6m ㊂今将200万元资金投入生产甲㊁乙两种产品,并要求对甲㊁乙两种产品的投入资金都不低于25经典题突破方法高一数学 2022年10月万元㊂(1)设对乙种产品投入资金x (万元),求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域㊂(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?求出最大总利润㊂提示:(1)根据题意知,对乙种产品投入资金x 万元,对甲种产品投入资金(200-x )万元,那么总利润y =12(200-x )+60+70+6x =-12x +6x +230㊂由x ȡ25,200-x ȡ25,{解得25ɤx ɤ175,所以函数的定义域为[25,175]㊂(2)令t =x ,则y =-12t 2+6t +230=-12(t -6)2+248㊂因为x ɪ[25,175],所以t ɪ[5,57]㊂当t ɪ[5,6]时,函数单调递增;当t ɪ[6,57]时,函数单调递减㊂所以当t =6,即x =36时,y m ax =248㊂故当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元㊂题型十:分段函数模型对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数称为分段函数㊂分段函数是一个函数,而不是几个函数㊂分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集㊂例10 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元㊂(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式㊂(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元(一个零件的利润=实际出厂单价-成本)解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+60-510.02,即x 0=550㊂因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元㊂(2)当0<x ɤ100时,P =60;当100<x ɤ550时,P =60-0.02(x -100)=62-x50;当x >550时,P =51㊂所以函数P =f(x )=60,0<x ɤ100,62-x 50,100<x ɤ550,51,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂(3)设销售商一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则函数L =(P -40)x =20x ,0<x ɤ100,22x -x 250,100<x ɤ550,11x ,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂当x =500时,L =6000;当x =1000时,L =11000㊂因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元㊂跟踪训练10:某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元㊂经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t -12t 2(万元)㊂(1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f (x )表示为年产量x 的函数㊂(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?提示:(1)当0<x ɤ5时,产品全部售出,当x >5时,产品只能售出500件㊂所以函数f(x )=经典题突破方法 高一数学 2022年10月5x -12x 2()-(0.5+0.25x ),0<x ɤ5,5ˑ5-12ˑ52()-(0.5+0.25x ),x >5,ìîíïïïï即函数f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,0<x ɤ5,12-0.25x ,x >5㊂{(2)当0<x ɤ5时,f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,所以当x =4.75(百件)时,f (x )有最大值,可得f (x )m a x =10.78125(万元)㊂当x >5时,f (x )<12-0.25ˑ5=10.75(万元)㊂故当这种产品的年产量为475件时,当年所得利润最大㊂题型十一:抽象函数问题解抽象函数问题,主要用赋值法㊂赋值法的关键环节是 赋值 ,赋值的方法灵活多样,既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生,又要考虑所给关系式的结构特点㊂例11 已知定义在区间(0,+ɕ)上的函数f (x )满足f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0㊂(1)证明:f (x )为单调递减函数㊂(2)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值㊂解:(1)任取x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),且x 1>x 2,则x 1x 2>1㊂因为当x >1时,f (x )<0,所以f x1x 2()<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+ɕ)上是单调递减函数㊂(2)因为f (x )在(0,+ɕ)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)㊂由f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),可得f 93()=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2㊂故f (x )在[2,9]上的最小值为-2㊂跟踪训练11:设函数f (x )的定义域为U ={x |x ɪR 且x >0},且满足条件f (4)=1㊂对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x 1ʂx 2时,有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0㊂(1)求f (1)的值㊂(2)如果f (x +6)+f (x )>2,求x 的取值范围㊂提示:(1)对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),可令x 1=x 2=1,得f (1ˑ1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0㊂(2)设0<x 1<x 2,则x 2-x 1>0㊂因为当x 1ʂx 2时,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在定义域内为增函数㊂令x 1=x 2=4,可得f (4ˑ4)=f (4)+f (4)=1+1=2,即f (16)=2㊂当x +6>0,x >0,{即x >0时,原不等式可化为f [x (x +6)]>f (16)㊂因为f (x )在定义域上为增函数,所以x (x +6)>16,解得x >2或x <-8㊂又x >0,所以x >2㊂故x 的取值范围为(2,+ɕ)㊂题型十二:函数的创新题这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查同学们获取信息㊁分析信息并解决问题的能力㊂解答这类问题,首先要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键㊂例12 给出定义:若m -12<x ɤm +12(其中m 为整数),则m 叫作离实数x 最近的整数,记作{x },即{x }=m ㊂现给出下列关于函数f (x )=|x -{x }|的四个命题:①f -12()=12;②f (3.4)=-0.4;③f -14()=f 14();④y =f (x )的定义域为R ,值域是-12,12[]㊂经典题突破方法高一数学 2022年10月其中真命题的序号是㊂解:因为-1-12<-12ɤ-1+12,所以-12{}=-1,所以f-12()=-12--12{}=-12+1=12,①正确㊂因为3-12<3.4ɤ3+12,所以{3.4}=3,所以f (3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,②错误㊂因为0-12<-14ɤ0+12,所以-14{}=0,所以f -14()=-14-0=14㊂因为0-12<14ɤ0+12,所以14{}=0,所以f 14()=14-0=14,所以f -14()=f 14(),③正确㊂y =f (x )的定义域为R ,值域是012[],④错误㊂答案为①③㊂跟踪训练12:(多选题)对任意实数a ,b ,定义m i n {a ,b }=a ,a ɤb ,b ,a >b,{若f (x )=2-x 2,g (x )=x 2-2,则关于函数F (x )=m i n {f (x ),g (x )}的说法正确的是( )㊂A .函数F (x )是偶函数B .方程F (x )=0有一个解C .函数F (x )有四个单调区间D .函数F (x )有最大值为0,无最小值提示:由题意可得,函数F (x )=2-x 2,x ɪ(-ɕ,-2]ɣ[2,+ɕ),x 2-2,x ɪ(-2,2),{作出函数F (x )图像,如图5所示㊂图5由图5可知,该函数为偶函数,有两个零点-2,2,四个单调区间㊂当x =ʃ2时,函数F (x )取得最大值为0,无最小值㊂应选A C D ㊂1.已知函数f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1(m ɪR ),试比较f (5)与f (-π)的大小㊂提示:f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1=m -1(x -1)2㊂y =-1x 2的图像向右平移1个单位得到y =-1(x -1)2的图像,再向上(m ȡ0)或向下(m <0)平移|m |个单位得到y =m -1(x -1)2的图像㊂因为y =-1x2在(-ɕ,0)上单调递减,在(0,+ɕ)上单调递增,且关于y 轴对称,所以f (x )在(-ɕ,1)上单调递减,(1,+ɕ)上单调递增,且关于直线x =1对称,所以f (-π)=f (2+π),而2+π>5,所以f (-π)=f (2+π)>f (5),即f (5)<f (-π)㊂2.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=x 2+x -2,求f (x ),g (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x )㊂由f (x )+g (x )=x 2+x -2,可得f (-x )+g (-x )=(-x )2-x -2,即f (x )-g (x )=x 2-x -2㊂由上可得函数f (x )=x 2-2,g (x )=x ㊂3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3-2x 2+2,求f (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以当x =0时,f (-0)=-f (0),即f (0)=0㊂当x <0时,-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3-2(-x )2+2]=x 3+2x 2-2㊂所以函数f (x )=x 3+2x 2-2,x <0,0,x =0,x 3-2x 2+2,x >0㊂ìîíïïï作者单位:河南省开封高中(责任编辑 郭正华)经典题突破方法 高一数学 2022年10月。
高考数学常考题型和答题技巧
高考数学常考题型和答题技巧（大全）高考数学常考题型和答题技巧（大全）高考数学常考题型和答题技巧1.解决绝对值问题主要包括化简、求值、方程、不等式、函数等题，基本思路是：把含绝对值的问题转化为不含绝对值的问题。
具体转化方法有：①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。
2.因式分解根据项数选择方法和按照一般步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。
因式分解的一般步骤是：提取公因式选择用公式十字相乘法分组分解法拆项添项法3.配方法利用完全平方公式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方法，它是数学中的重要方法和技巧。
4.换元法解某些复杂的特型方程要用到“换元法”。
换元法解方程的一般步骤是：设元一换兀一解兀一还元5.待定系数法待定系数法是在已知对象形式式的条件下求对象的一种方法。
适用于求点的坐标、函数解析式、曲线方程等重要问题的解决。
其解题步骤是：①设②列③解④写6.复杂代数等式复杂代数等式型条件的使用技巧：左边化零，右边变形。
①因式分解型：(__)(__)=0两种情况为或型②配成平方型：(__)2+(__)2=0两种情况为且型数学中两个最伟大的解题思路求值的思路列欲求值字母的方程或方程组2)求取值范围的思路列欲求范围字母的不等式或不等式组数学解题小技巧1、精神要放松，情绪要自控最易导致紧张、焦虑和恐惧心理的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平衡的方法有三种：①转移注意法：避开临考者的目光，把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上，或转移到对往日有趣、滑稽事情的回忆中。
②自我安慰法：如“我经过的考试多了，没什么了不起”，“考试，老师监督下的独立作业，无非是换一换环境”等。
③抑制思维法：闭目而坐，气贯丹田，四肢放松，深呼吸，慢吐气，(最好默念几遍：“阿弥陀佛或祖先保佑”呵呵，还真的管用)如此进行到发卷时。
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高考数学常考的6大题型全析1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k .(1)求k 的取值范围；(2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q(2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得ky 2－4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜12.直线n 的方程为y ＝－1kx ＋2，与y 2＝4x 联立，整理得y 2＋4ky －8k ＝0，由Δ2＝16k 2＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2，故k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)．由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2＋2k ，－2k )．直线M Q 的斜率k M Q ＝2k 2k2－2k－2＝－kk 2＋k －1，直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－kk 2＋k －1＝k M Q ，所以直线MN 过定点Q(2,0)．2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为45.解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设D (x 0,0)，M (x 0，y 0)，N (x 0，－y 0)，－2＜x 0＜2，所以k AM ＝y 0x 0＋2，因为AM ⊥DE ，所以k DE ＝－2＋x 0y 0，所以直线DE 的方程为y ＝－2＋x 0y 0(x －x 0)．因为k BN ＝－y 0x 0－2，所以直线BN 的方程为y ＝－y 0x 0－2(x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2＋x 0y 0x －x 0，y ＝－y0x 0－2x －2，解得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫45x 0＋25，－45y 0，所以S △BDE ＝12|BD |·|y E |，S △BDN ＝12|BD |·|y N |，所以S △BDE S △BDN ＝12|BD |·|y E |12|BD |·|y N |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－45y 0|－y 0|＝45，结论成立．3．(2019·南昌模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，y 1y 2＝－4.(1)求抛物线C 的方程；(2)如图，点B 在准线l 上的正投影为E ，D 是C 上一点，且AD ⊥EF ，求△ABD 面积的最小值及此时直线AD 的方程．解：(1)依题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，当直线AB 的斜率不存在时，y 1y 2＝－p 2＝－4，解得p ＝2. 当直线AB 的斜率存在时，设l AB ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去x 并整理，得y 2－2p ky －p 2＝0，则y 1y 2＝－p 2，由y 1y 2＝－4得p 2＝4，解得p ＝2. 综上所述，抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设D (x 0，y 0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 24，t ， 则E (－1，t )，又由y 1y 2＝－4，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4t 2，－4t .因为k EF ＝－t 2，AD ⊥EF ，所以k AD ＝2t，则直线AD ：y ＋4t ＝2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4t 2，化简得2x －ty －4－8t2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －ty －4－8t 2＝0，y 2＝4x ，消去x 并整理，得y 2－2ty －8－16t2＝0，Δ＝(－2t )2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－8－16t 2＝4t 2＋64t2＋32＞0恒成立，所以y 1＋y 0＝2t ，y 1y 0＝－8－16t2.于是|AD |＝ 1＋t 24|y 1－y 0|＝1＋t 24y 1＋y 02－4y 1y 0＝4＋t 2t 2＋16t2＋8，设点B 到直线AD 的距离为d ，则d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 22－t 2－4－8t 24＋t2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2＋16t 2＋824＋t2.所以S △ABD ＝12|AD |·d ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＋16t 2＋83≥16， 当且仅当t 4＝16，即t ＝±2时取等号，即△ABD 的最小值为16. 当t ＝2时，直线AD ：x －y －3＝0；当t ＝－2时，直线AD ：x ＋y －3＝0.4．(2019·昆明调研)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，55是椭圆C 上的点．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，A ，B 是椭圆C 上不关于坐标轴对称的两点，设OD ―→＝OA ―→＋OB ―→，证明：直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意知2c ＝4，即c ＝2，则椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，55在椭圆C 上，所以4a2＋15a 2－4＝1，解得a 2＝5或a 2＝165(舍去)，所以椭圆C 的方程为x 25＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2且x 1＋x 2≠0， 由OA ―→＋OB ―→＝OD ―→得，D (x 1＋x 2，y 1＋y 2)， 所以直线AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2， 直线OD 的斜率k OD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 215＋y 21＝1，x 225＋y 22＝1，得15(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝－15，所以k AB ·k OD＝－15.故直线AB 的斜率与OD 的斜率的乘积为定值－15.5．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2，0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．从而有⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设存在符合题意的直线l ， 设其方程为y ＝32x ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3(t 2－12)＝144－3t 2≥0， 解得－43≤t ≤4 3.另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4，可得|t |94＋1＝4，从而t ＝±213.由于±213∉[－43，4 3 ]，所以符合题意的直线l 不存在．6．(2019·新疆乌鲁木齐联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为2，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点M (2,0)的直线交椭圆C 于A ，B 两点，P 为椭圆C 上一点，O 为坐标原点，且满足OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，其中t ∈⎝⎛⎭⎪⎫263，2，求|AB |的取值范围． 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋1，1a 2＋12b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由题意可知，直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝k (x －2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x2－8k 2x ＋8k 2－2＝0，∴Δ＝8(1－2k 2)＞0，解得k 2＜12.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)＝－4k1＋2k 2.由OA ―→＋OB ―→＝t OP ―→，得P ⎝⎛⎭⎪⎫8k 2t1＋2k 2，－4k t 1＋2k 2， 代入椭圆C 的方程得t 2＝16k21＋2k 2.由263＜t ＜2，得14＜k 2＜12， ∴|AB |＝1＋k 2·22·1－2k 21＋2k 2＝221＋2k22＋11＋2k2－1. 令u ＝11＋2k 2，则u ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23，∴|AB |＝22u 2＋u －1∈⎝⎛⎭⎪⎫0，253.∴|AB |的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫0，253.5大技法破解计算繁而杂1．(2018·惠州二模)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，|PF 2||PF 1|＝513，故选D. 2．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A ．33 B ．23 C ．22D ．1解析：选C 如图所示，设P (x 0，y 0)(y 0＞0)，则y 20＝2px 0，即x 0＝y 202p.设M (x ′，y ′)，由PM ―→＝2MF ―→，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′－x 0＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x ′，y ′－y 0＝20－y ′，化简可得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝p ＋x03，y ′＝y3.∴直线OM 的斜率k ＝y 03p ＋x 03＝y 0p ＋y 202p ＝2p 2p 2y 0＋y 0≤2p 22p 2＝22(当且仅当y 0＝2p 时取等号)． 3．(2019·合肥质检)如图，椭圆x 2a 2＋y 24＝1(a ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于M ，N 两点，交y 轴于点H .若F 1，H 是线段MN 的三等分点，则△F 2MN 的周长为( )A ．20B ．10C ．2 5D ．4 5解析：选D 由F 1，H 是线段MN 的三等分点，得H 是F 1N 的中点，又F 1(－c,0)，∴点N 的横坐标为c ，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝c ，x 2a 2＋y24＝1，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，4a ，∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，M ⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－2a .把点M 的坐标代入椭圆方程得4c 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 24＝1，化简得c 2＝a 2－14，又c 2＝a 2－4，∴a 2－14＝a 2－4，解得a 2＝5，∴a ＝ 5.由椭圆的定义知|NF 2|＋|NF 1|＝|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，∴△F 2MN 的周长为|NF 2|＋|MF 2|＋|MN |＝|NF 2|＋|MF 2|＋|NF 1|＋|MF 1|＝4a ＝45，故选D.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c,0)，P 为双曲线上任一点，且PF 1―→·PF 2―→最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，2]B ．[2，2]C ．(0，2]D ．[2，＋∞)解析：选B 设P (x 0，y 0)，则PF 1―→·PF 2―→＝(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝x 20－c 2＋y 20＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y 20b 2－c 2＋y 20，上式当y 0＝0时取得最小值a 2－c 2， 根据已知－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2，所以14c 2≤a 2≤12c 2，即2≤c 2a 2≤4，即2≤c a ≤2，所以所求双曲线的离心率的取值范围是[2，2]．5．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF ―→＝λFB ―→ (λ＞1)，则λ的值为( )A ．5B ．4C ．43D ．52解析：选B 根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF ―→＝λFB ―→，得⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－x 1，－y 1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立直线与抛物线方程，消去x ，得y 2－32py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1y 2＝－p 2，则y 1＋y 22y 1y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94， 即－λ－1λ＋2＝－94.又λ＞1，解得λ＝4.6．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆方程为________．解析：由已知得c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝12a 2－5010a 2－450， 由题意知x 1＋x 2＝1，即12a 2－5010a 2－450＝1，解得a 2＝75， 所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1.答案：y 275＋x 225＝17．已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则PA ―→·PB ―→的最小值为________．解析：由题意，设A (cos θ，sin θ)，P (x ，x ＋2)， 则B (－cos θ，－sin θ)，∴PA ―→＝(cos θ－x ，sin θ－x －2)，PB ―→＝(－cos θ－x ，－sin θ－x －2)，∴PA ―→·PB ―→＝(cos θ－x )(－cos θ－x )＋(sin θ－x －2)·(－sin θ－x －2) ＝x 2＋(x ＋2)2－cos 2θ－sin 2θ ＝2x 2＋4x ＋3 ＝2(x ＋1)2＋1，当且仅当x ＝－1，即P (－1，1)时，PA ―→·PB ―→取最小值1. 答案：18．(2019·武汉调研)已知A ，B 分别为椭圆x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)的左、右顶点，P ，Q 是椭圆上关于x 轴对称的不同两点，设直线AP ，B Q 的斜率分别为m ，n ，若点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，则该椭圆的离心率为________．解析：根据椭圆的标准方程x 29＋y 2b2＝1(0＜b ＜3)知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，A (－3,0)，B (3,0)，设P (x 0，y 0)，Q(x 0，－y 0)，则x 209＋y 20b 2＝1，k AP ＝m ＝y 0x 0＋3，k B Q ＝n ＝－y 0x 0－3，∴mn ＝－y 20x 20－9＝b 29，∴1－mn ＝9－b 23，∴直线y ＝1－mn x ＝9－b 23x ，即9－b 2x －3y ＝0.又点A 到直线y ＝1－mn x 的距离为1，∴|－39－b 2|9－b 2＋9＝39－b218－b2＝1，解得b 2＝638，∴c 2＝a 2－b 2＝98，∴e ＝c 2a 2＝18＝24. 答案：249．已知椭圆C ：x 24＋y 2＝1过点A (2,0)，B (0,1)两点．设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．解：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 20＝4， 又A (2,0)，B (0,1)， 所以，直线PA 的方程为y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0，得y M ＝－2y 0x 0－2， 从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0x 0－2， 直线PB 的方程为y ＝y 0－1x 0x ＋1， 令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1， 从而|AN |＝2－x N ＝2＋x 0y 0－1，所以四边形ABNM 的面积S ＝12|AN ||BM |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 0y 0－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 20＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2，从而四边形ABNM 的面积为定值．10．已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C ，D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值． 解：(1)设焦距为2c ，∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2， ∴b a ＝33.由题意可知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程， 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)＞0，解得k 2＞1. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2.若以CD 为直径的圆过E 点， 则EC ―→·ED ―→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0， 而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4， 所以(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5 ＝9k 2＋11＋3k 2－12k 2k ＋11＋3k2＋5＝0，7 6，满足k2＞1，所以k＝76.解得k＝。