第10章 气体动理论

思考题
10-1 一定量的某种理想气体，当温度恒定时，其压强随体积的减小而增大；当体积恒定时，其压强随温度的升高而增大，从微观角度来看，压强增大的原因各是什么？(根据公式nkT p =)
10-2 试用气体动理论说明道尔顿分压定律. (根据公式nkT p =) 10-3 试用气体动理论解释阿伏伽德罗定律. (根据公式nkT p =)
10-4 地球大气层上层的电离层中，电离气体的温度可达到2000K ，离子数密度不过是1011m -3，这个温度是什么意思？一块锡放到该处会不会熔化？（分清温度和热量）
10-5 1mol 氢气与1mol 氦气的温度相同，则两种气体分子的平均平动动能是否相同？两种气体分子的平均动能是否相同？内能是否相等？（根据自由度、能量均分定理以及内能同温度的关系解释）
10-6 速率分布函数f (v )的物理意义是什么？说明下列各式的物理意义： （1）()f d υυ；（2）()Nf d υυ；（3）
2
1
()f d υυ
υυ⎰；（4）21
()Nf d υ
υυυ⎰
10-7 气体分子的平均速率、最概然速率和方均根速率的意义有何不同？ 10-8 若某气体分子的自由度是i ，能否说每个分子的能量都等于2
ikT
？（根据统计的特征来解释）
10-9 将沿铁路运行的火车、在海面上航行的轮船视为质点，它们的自由度各为多少？若把在空中飞行的飞机视为刚体，自由度为多少？（1,2,4）
10-10 一绝热敞口容器中盛有某种液体，液体蒸发过程中会导致液体温度的下降，试利用气体动理论解释其原因.（温度的微观本质是分子热运动剧烈程度的量度，气体的分子的平均平动动能与气体温度成正比。

液体蒸发时一些平动动能较大的分子离开液体，导致分
子的平均平动动能减小，所以液体的温度下降。

）
10-11 一定量的气体体积保持不变，当温度增加时，分子运动得更剧烈，因而平均碰撞次数增多，平均自由程是否也因此而减小？（参考平均自由程的公式）
习题
10-1 体积为V =1.20⨯10-2m 3的容器中储有氧气，其压强p =8.31⨯105P a ，温度为T =300K ，试求：单位体积中的分子数n 、分子的平均平动动能和气体的内能.
解：2632.0110p
n m kT
-=
=⨯， 213 6.21102k kT J ε-==⨯，
42.49102
m RT E J M ==⨯
10-2 真空设备内部的压强可达到1.013×10-10 Pa ，若系统温度为300K ，在如此低的压强下，气体分子数密度为多少？
解： 1032.4510p
n m kT
-=
=⨯ 10-3 体积为1.0×10-3 m 3的容器中含有1.01×1023个氢气分子，如果其中压强为1.01×105Pa ，求该氢气的温度和分子的方均根速率.
解：72.5p
T K nk
=
=
210/rms v m s =
⨯ 10-4 设一定质量的理想气体盛在半径为R 的球形容器中，试根据气体动理论的观点推导出压强公式：212
33
k p mn n υε=
=. 假设所有分子均沿径向分布，分子间无碰撞，分子与器壁的碰撞为完全弹性碰撞。

设第i 个分子的分子速率为v i ，则该分子与器壁碰撞一次施于器壁的冲量为2mv i ，方向垂直于器
壁向外。

平均该分子每通过距离2R 与器壁碰撞一次，单位时间内该分子与器壁碰撞次数为
v i /(2R )，单位时间内所有分子施于器壁的冲量大小为∑==∆N
i i
R mv I 1
2
，气体施于器壁的压强
k N
i i n v nm v R mN R mv R S I p εππ3231441
2
21
32
2====
∆=∑=。

10-5 某些恒星的温度可达到1.0×108 K ，这也是发生核聚变反应（也称热核反应）所需要的温度，在此温度下的恒星可视为由质子组成.问：
（1）质子的平均动能是多少？ （2）质子的方均根速率是多大？ 解：（1）312.92
k kT
keV ε= （2
）610/rms v m s =
⨯ 10-6 图10-6中I 、Ⅱ两条曲线是两种不同气体（氢气和氧气）在同一温度下的麦克斯韦分子速率分布曲线，试由图中数据求：
（1）氢气分子和氧气分子的最概然速率； （2）气体的温度.
图10-6
解：
由mol p M RT v /2=可知，在相同温度下摩尔质量较大的气体，其最概然速率较小。

由
此可断定图中所标v p =2000m ⋅s -1对应于氢气分子的最概然速率。

(1)s m M RT v H H p /2000/2==
, s m v M RT v pH O pO /5004
/2==
=
(2))2/(2
R M v T H pH ⨯== 481K
10-7 设系统有N 个分子，试证明：无论分子速率分布规律如何，其方均根速率总不小于其平均速率.
解：
v v -i (0)2
≥→2222222
i 11
11(-)(-2)20N N i i i i v v v v v v v v v v v v N N ===+=-+=-≥∑∑
即有
v v ≥2
10-8 从麦克斯韦速率分布律出发，推导出分子按平动能21
2
m ευ=
分布的规律： 2
12
3)(2
)(επ
εε
kT
e
kT f -
-
=
并由此求出分子平动动能的最概然值. (/2p kT ε=) 解：
dv v e πkT 2m π4v v f N dN kT
2mv 2
22
3
)d (-
⎪⎭
⎫
⎝⎛==
22
1
mv =
ε mvdv d ε=
0)(=d εεdf →0211)(π2)(23-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εεkT
kT e kT ε/-→2kT εp = 10-9 有N 个质量均为m 的同种气体分子，它们的速率分布如图10-7所示.
（1）说明曲线与横坐标所包围面积的意义； （2）由N 和0υ求a 值； （3）求速率在
02υ到0
2
3υ间隔内的分子数； （4）求分子的平均平动动能.
a
图10-7
解：
(1) 系统总分子数
由图得分子的速率分布函数： N
V Va
0 (00V V 〈〈) f(v)=
N
a
(002V V V 〈〈) 0 (02V V 〉)
(2) dv v Nf dN )(=→⎰
∞
=0
)(dv v Nf N =02/3N v
(3) ⎰
=
∆232
00)(v v dv v Nf N =13/24N
(4) ==
⎰
N
dN v m
v v 0
20
22
=2013/24mv
10-10 目前实验室获得的极限真空约为1.33×10-11 Pa ，试求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程（设气体分子的有效直径d =3.0×10-10 m ）. 解：00
0kT p n =
933.2110n m -=⨯
p
d kT 22πλ=
87.810m =⨯。