江苏高中数学典型题目

参变分离还是利用二次函数的图象1. 已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为.利用函数的性质解不等式 2.已知知函数1()||1x f x x +=+，x R ∈，则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集是。

(1，2)3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0，，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是．(－∞，－3)∪(1，3)4.已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x )＜0的x 的取值范围为．(0,1) 双变量问题5、已知正实数x,y 满足42=++y x xy ，则y x +的最小值是________362-（消元法或判别式法）6、若a ＞0，b ＞0，且，则a+2b 的最小值为．（基本不等式法或消元法）7、已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y的最大值为▲．43（齐次式消元）已知函数奇偶性求参数2. 若函数是偶函数，则实数的值为________．2两个变量的函数 17南京二模应用题 和零点有关的题目已知零点个数求参数范围3、已知函数()22f x x x =+-，x R ∈.若方程()20f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为.),9()1,0(+∞⋃（可用参变分离）9．设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为(0，94]零点存在定理3.已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．3.解： (1) f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x ∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h ′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x ∈⎝⎛⎭⎫0，103时，h ′(x)＜0，h(x)是减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫103，＋∞时，h ′(x)＞0，h(x)是增函数． ∵ h(3)＝1＞0，h ⎝⎛⎭⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴方程h(x)＝0在区间⎝⎛⎭⎫3，103，⎝⎛⎭⎫103，4内分别有唯一实数根，2()1f x x mx =+-[],1x m m ∈+()0f x <m ()f x =a而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．（单调性+异号端点值）3、函数2)(--=x e x f x的零点所在的一个区间是))(1,(Z n n n ∈+，则_____=n 1或-27.已知函数，其中ｅ是自然数的底数，。

当时，求整数ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解。

⑶当时, 方程即为，由于，所以不是方程的解，所以原方程等价于，令，因为对于恒成立，所以在和内是单调增函数，又，，，，所以方程有且只有两个实数根，且分别在区间和上， 所以整数的所有值为复合函数的零点个数10．已知函数（）在区间上有最大值和最小值．设． （1）求、的值； （3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．（复合函数根的个数） 解：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（3）原方程可化为，令，则，有两个不同的实数解，，其中，，或，． 记，则 ①或 ② 解不等组①，得，而不等式组②无实数解．所以实数的取值范围是． 2()()xf x ax x e =+a R ∈0a =()2f x x =+0a =e 2x x x =+e 0x >0x =2e 10x x--=2()e 1x h x x =--22()e 0x h x x'=+>()(),00,x ∈-∞+∞()h x (),0-∞()0,+∞(1)e 30h =-<2(2)e 20h =->31(3)e 03h --=-<2(2)e 0h --=>()2f x x =+[]12，[]32--，k {}3,1-b ax ax x g ++-=12)(20>a ]3,2[41xx g x f )()(=a b ()03|12|2|12|=--⋅+-k k f xxk a b x a x g -++-=1)1()(20>a )(x g ]3,2[⎩⎨⎧==4)3(1)2(g g ⎩⎨⎧==01b a 0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k xxt x=-|12|),0(∞+∈t 0)12()23(2=+++-k t k t 1t 2t 101<<t 12>t 101<<t 12=t )12()23()(2+++-=k t k t t h ⎩⎨⎧<-=>+0)1(012k h k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<=-=>+122300)1(012k k h k 0>k k ),0(∞+14.设定义域为R 的函数 若关于x 的函数的零点的个数为▲．7 导数存在任意x1x2的题目 例1设当若对任意，存在，使，求实数取值范围.时，在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意， ，又已知存在，使，， 即存在所以实数取值范围是),817[+∞。

(2016苏锡常镇二模12.) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，0≤x<4，log 2（x －2）＋2，4≤x ≤6，若存在x 1，x 2∈R ，当0≤x 1<4≤x 2≤6时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________．⎣⎡⎦⎤3，25627分段函数的单调性10、⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，则a 的取值范围是_________)31,71[和切线有关的导数题目（三句话）1,过点()1,0-.与函数()x f x e =(e 是自然对数的底数)图像相切的直线方程是____1+=x y公切线20、已知函数(),()ln xf x eg x x ==，设01x >,求证：存在唯一的0x 使得g(x)图象在点A(00,()x g x )处的切线l与y=f(x)图象也相切；（2）()g x 在0x x =处切线方程为001ln 1y x x x =+- ① 设直线l 与xy e =图像相切于点()11,x x e ，则:l ()1111xxy e x e x =+- ②……(6分)③ 由①②得④0001ln 01x x x +∴-=- ⑤ 下证0x 在()1,+∞上存在且唯一.令()()1ln 11x G x x x x +=->-，()()221'01x G x x x +=>-()G x ∴在()1,+∞上.⎩⎨⎧≤-->=,0,20|,lg |)(2x x x x x x f 1)(3)(22+-=x f x f y 2()2 4.g x x bx =-+1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b f(x)1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥[]21,2x ∈[]1,2x ∈b ()110011ln 1xx ex x e x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩又()()222230,0,11e G e G e e e --=<=>--()G x 图像连续，∴存在唯一0x ∈()1,+∞使⑤式成立，从而由③④可确立1x .故得证已知极值求参数（检验）3、已知函数322()3f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=．对函数求导得2'()36f x x mx n =++,由题意得(1)0'(1)0f f =⎧⎨=⎩,即2130360m n m m n ⎧+++=⎨++=⎩解得:13m n =⎧⎨=⎩或29m n =⎧⎨=⎩,当13m n =⎧⎨=⎩时22'()3633(1)0f x x x x =++=+≥,故29m n =⎧⎨=⎩,11m n += 含参数不等式恒成立中参数是整数的题目 20.(本小题满分16分)己知函数21()ln ,2f x x ax x a R =-+∈若关于x 的不等式()1f x ax ≤-恒成立，求整数 a 的最小值:方法一：令21()()1)ln (1)12g x f x ax x ax a x =-=-+-+-(，所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x -+-+'=-+-=．当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>，所以关于x 的不等式()1f x ax -≤不能恒成立． 当0a >时，21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-，令()0g x '=，得1x a=． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞时，()0g x '<，因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a∈+∞是减函数．故函数()g x 的最大值为2111111()ln()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-．令1()ln 2h a a a =-， 因为1(1)02h =>，1(2)ln 204h =-<，又因为()h a 在(0,)a ∈+∞是减函数． 所以当2a ≥时，()0h a <．所以整数a 的最小值为2． 方法二：（2）由()1f x ax -≤恒成立，得21ln 12x ax x ax -+-≤在(0,)+∞上恒成立， 问题等价于2ln 112x x a x x +++≥在(0,)+∞上恒成立．令2ln 1()12x x g x x x ++=+，只要max ()a g x ≥因为221(1)(ln )2()1()2x x x g x x x +--'=+，令()0g x '=，得1ln 02x x --=．设1()ln 2h x x x =--，因为11()02h x x '=--<，所以()h x 在(0,)+∞上单调递减，不妨设1ln 02x x --=的根为0x ．当0(0,)x x ∈时，()0g x '>；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<， 所以()g x 在0(0,)x x ∈上是增函数；在0(,)x x ∈+∞上是减函数．所以000max020000011ln 112()()11(1)22x x x g x g x x x x x x +++====++．因为11()ln 2024h =->，1(1)02h =-< 所以0112x <<，此时0112x <<，即max ()(1,2)g x ∈．所以2a ≥，即整数a 的最小值为2． 绝对值函数（2015泰州二模13）.若函数2()(2)f x x x a =--在区间[2,4]上单调递增，则实数a 的取值范围是▲ ．(,2][5,)-∞+∞(2016·苏州调研测试)已知函数f (x )=x|x-a|，a ∈R ，g (x )=x 2-1.记函数f (x )在区间[0，2]上的最大值为F (a )，求F (a )的表达式.(2)因为x ∈[0，2]，当a ≤0时，f (x )=x 2-ax ，则f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以F (a )=f (2)=4-2a.当0<a<2时，f (x )=则f (x )在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间[a ，2]上是增函数，所以F (a )=max ，而f =，f (2)=4-2a ，令f <f (2)，即<4-2a ，解得-4-<a<-4+，所以当0<a<-4时，F (a )=4-2a ；令f ≥f (2)，即≥4-2a ，解得a≤-4-或a ≥-4+4，所以当-4≤a<2时，F (a )=.当a ≥2时，f (x )=-x 2+ax ，当1≤<2，即2≤a<4时，f (x )在区间上是增函数，在上是减函数，则F (a )=f =；22-0-2x ax x a x ax a x ⎧+≤<⎨≤≤⎩，，，，02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(2)2a ff ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭24a 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭24a 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭24a 24a 2a 02a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭24a当≥2，即a ≥4时，f (x )在区间[0，2]上是增函数，则F (a )=f (2)=2a-4；综上，F (a )=先求轨迹的题目(2017南京二模11)．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为▲．32已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B （由左到右），P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作l 的垂线且与直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=的距离的最大值是 ▲ ．（常州2016一模13）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是____________．⎝⎛⎭⎫－203，4（切线长公式） 在平面直角坐标系中，已知圆O ：，点，M ，N 为圆O 上不同的两点，且满足．若，则的最小值为 ▲．3、已知A(-1，0)，B(0，1)，则满足422=-PB PA 且在圆422=+y x 上的点P 的个数为______2阿波罗尼斯圆（苏北四市2016一模13）已知点(0,1)A ，1,0B （），(,0)C t ，点D 是直线AC 上的动点，若2AD BD ≤恒成立，则最小正整数t 的值为 ▲ ．4满足条件AB ＝2, AC＝2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是22（也可以用解三角形的方法） 存在性的题目1、在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是 ▲ ．∵圆C 的方程可化为：，∴圆C 的圆心为，半径为1。