学而思高中题库完整版三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版
题型一：与三角恒等变换的综合题【例1】 函数2π()sin 222sin 4f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是 ．【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，．⑴求()f x 的值域；⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =，3c =，求a 的值．【例3】 已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围；⑵当tan 2α=时，()35f x =，求m 的值．【例4】 已知函数2()23sin cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；⑵若06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos2x 的值．【例5】 已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示．⑴求,ωϕ的值；⑵设()()4πg x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．板块四.三角函数的综合y Ox1π2π4-1【例6】 已知函数()223sin 2sin cos 33cos f x a x a x x a x b =+⋅++02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[3,2-]，求a 、b 的值．【例7】 已知函数213cos cos 12y x x x =+⋅+，R x ∈．（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例8】 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22ππϕ-<<），其部分图象如图所示．y xO-π4π4-11⑴求()f x 的解析式；⑵求函数()44ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值．【例9】 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,13π⎛⎫⎪⎝⎭．⑴求实数a 、b 的值；⑵若0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值及此时x 的值．【例10】 设函数1()3sin cos cos sin 22πf x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期；⑵当0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例11】 已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【例12】 已知函数22()2sin cos sin cos ()2222R x x x xf x a a =+-∈⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式； ⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos21sin 2xx+的值．题型二：与二次函数的综合题【例13】 已知4πx ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值【例14】 求函数222sin cos y x x =--的最大值和最小值。
【例15】 设二次函数2()f x x bx c =++(,)b c R ∈，已知不论,αβ为何实数，恒有(sin )0f α≥，(2cos )0f β+≤，（1）求证：1b c +=-；（2）求证3c ≥。
【例16】 已知函数2cos sin 3y x x =-+，[,]62x ππ∈，求函数的最大值。
【例17】 当方程224sin 4sin 20x x k k +-+-=有解时，求k 的取值范围. 【例18】 求函数22sin 2sin 1y x x =-++的值域.【例19】 求函数222cos sin y a x x =--的最大值与最小值.【例20】 求函数253sin cos 82y x a x a =++-(0)2πx ≤≤的最大值【例21】 函数2()12cos 2sin 2f x a x x a =---的最小值为()g a ，R a ∈.⑴求()g a⑵若1()2g a =，求a 及此时()f x 的最大值【例22】 若函数2()cos sin f x x a x b =-+的最大值为0，最小值为4-，且0a >，求,a b 的值【例23】 若2sin cos 0x x a ++=有实数根，试确定实数a 的取值范围.【例24】 为使方程2cos sin 0x x a -+=在02π,⎛⎤ ⎥⎝⎦内有解，则a 的取值范围是( )A.11a -≤≤B.11a -<≤C.10a -<≤D.54a -≤【例25】 已知函数2sin sin 1y x a x =++的最小值为1，求a 的值.【例26】 已知函数2()2cos2sin 4cos f x x x x =+-．（Ⅰ）求π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值．题型三：与不等式的综合题【例27】 已知定义在(4],-∞上的减函数()f x ，使得27(sin )(12cos )4f m x f m x -++≤，对一切实数x 均成立，求实数m 的取值范围 .【例28】 已知,b c 是实数，函数2()f x x bx c =++对任意,R αβ∈有：①(sin )0f α≥②(2cos )0f β+≤ ⑴求(1)f 的值； ⑵证明：3c ≥；⑶设(sin )f α的最大值为 10，求()f x .【例29】 已11lg[9cos()]12π6x -+≤，求函数2cot 2cot 5y x x =-+的值域.【例30】 关于x 的不等式222sin 2cos 2a a x a x +--≥的解集是全体实数，求实数a 的取值范围【例31】 已知关于实数x的不等式22(tan 1)(tan 1)||22x θθ+--≤，23(tan 1)2(3tan 1)0x x θθ-+++≤的解集分别为M ，N ，且M N =∅I ，则这样的θ存在吗？若存在，求出θ的取值范围。
题型四：与数形结合的综合题【例32】 求方程lg sin 0x x -=的解的个数；【例33】 求方程100sin x x =的解的个数．【例34】 函数2y x x =-与cos(10π)y x =的图象交点有 个． 【例35】 方程1sin 22x =在[22]π,π-内解的个数为 ．【例36】 如图，方程sin2sin x x =在区间(02),π内解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42ππsin xsin2xyxO题型五：与其它函数综合题【例37】 函数21sin(),10(),0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩≥，若(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ）A.1B.21,C.2D.21,【例38】 求函数1cos sin 2y x x =-的定义域。
【例39】 求下列函数的定义域：（1）()3tan f x x -（2）()tan(sin )f x x =； （3）2cos 1()x f x -=【例40】 求函数22log (1sin )log (1sin )y x x =++-，64ππ,x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域．【例41】 已知02x π<<，化简：()2πlg cos tan 12sin lg 2lg 1sin 224x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅+-+--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦．【例42】 求函数223sin sin y x x=+()π,Z x k k ≠∈的值域．【例43】 (1sin )(3sin )2sin x x y x++=+的最值及对应的x 的集合【例44】 求函数3(2cos )(5cos )y x x =+-的最大（小）值及取得最大（小）值时x 的值.题型六：与向量的综合题【例45】 在ABC ∆中，3AB =，2AC =，10BC =AB AC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．32-B ．23-C ．23D ．32【例46】 已知a b c ，，为ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边，向量(31)m =-u r， (cos sin )n A A =r ，．若m n ⊥u r r，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B = ．【例47】 已知向量()sin ,1cos m B B =-u r ，且与向量()2,0n =r 的夹角为3π，其中A, B, C是ABC △的内角．（I ）求角B 的大小； （II ）求sin sin A C +的取值范围【例48】 已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα，3(,)22ππα∈，（I ）若AC BC =u u u r u u u r ，求角α的值；（II ）若1AC BC ⋅=-u u u r u u u r ，求22sin sin 21tan ααα++的值【例49】 设函数()f x m n =⋅，其中向量(2cos ,1)m x =，(cos ,32)n x x =，R x ∈（1）求()f x 的最小正周期与单调递减区间；（2）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知()2f x =，1b =，△ABC 3，求sin sin b cB C++的值。
【例50】 已知向量()cos ,sin n θθ=r 和)2sin ,cos n θθ=r，[],2θππ∈．(1)求||m n +u r r 的最大值；(2)当||m n +u r r =825时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值【例51】 已知△ABC 的面积S 33S ≤≤, 且6AB BC ⋅=u u u r u u u r , AB u u u r与BC u u u r 的夹角为θ(I) 求θ的取值范围;(II)求函数22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=+⋅+的最小值【例52】 已知ABC △的面积为3，且满足2()3ln g x a x b =+，设AB u u u r和AC u u u r 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 34πf θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最大值与最小值．【例53】 已知α、(0,)2πβ∈，(sin ,1cos )a αα=-r ，(sin ,cos )b ββ=r ，且3cos 2a b α⋅=-r r（1）求向量a r 与b r的夹角θ； （2）求α、β的值.【例54】 已知锐角△ABC 中，三个内角为A 、B 、C ，两向量(22sin ,cos sin )p A A A =-+r，(sin cos ,1sin )q A A A =-+r ，若p r 与q r是共线向量.（1）求A 的大小； （2）求函数232sin cos 2C By B -=+取最大值时，B 的大小【例55】 已知向量(sin cos )m A A =，，)31n =-，1m n ⋅=，且A 为锐角．⑴求角A 的大小；⑵求函数()cos24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域．【例56】 已知向量(sin cos )m A A =，，(12)n =-，且0m n ⋅=⑴求tan A 的值；⑵求函数()cos2tan sin ()f x x A x x =+∈R 的值域．题型七：三角函数杂题【例57】 设()f x 满足2(sin )3(sin )4sin cos ()44f x f x x x x ππ-+=-≤≤，求()f x 的表达式.【例58】 圆222x y k +=至少覆盖函数()3sinπxf x k的一个最大值点与一个最小值点，求实数k 的取值范围．【例59】 如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为022P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图像大致为yPP 0xOA ．πtd2OB ．223π4OtdC ．π4Otd 22 D ．d t2Oπ4【例60】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆交于,A B 两点．已知,A B 572⑴求tan()αβ+的值； ⑵求2αβ+的值．βαB AyxO【例61】 如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30o ，相距10海里C 处的乙船．⑴求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；⑵设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA u u u r成θ角，求()22sin sin cos cos f x x x θθ=+()x ∈R 的值域．北2010CBA【例62】 已知函数()sin 2f x x =，()πcos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线()x t t =∈R 与函数()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 两点， ⑴当π4t =时，求||MN 的值；⑵求||MN 在π02t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时的最大值．。
学而思高中题库完整版导数及其应用[1].板块五.微积分与定积分的应用.学生版
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1．函数定积分：设函数()y f x =定义在区间[,]a b 上．用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，把区间[,]a b 分为n 个小区间，其长度依次为10121i i i x x x i n +∆=-=-L ，，，，，．记λ为这些小区间长度的最大值，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0．在每个小区间内任取一点i ξ，作和式10()n n i i i I f x ξ-==∆∑．y=f (x )O yx ban I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作()b af x dx ⎰，即10()lim ()n bi i ai f x dx f x λξ-→==∆∑⎰．其中()f x 叫做被积函数，a 叫积分下限，b 叫积分上限．()f x dx 叫做被积式．此时称函数()f x 在区间[,]a b 上可积．2．曲边梯形：曲线与平行于y 轴的直线和x 轴所围成的图形，通常称为曲边梯形． 根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于其曲边所对应的函数()y f x =在区间[]a b ，上的定积分，即()ba S f x dx =⎰．求曲边梯形面积的四个步骤：第一步：分割．在区间[]a b ，中插入1n -各分点，将它们等分成n 个小区间[]1i i x x -， ()12i n =L ，，，，区间[]1i i x x -，的长度1i i i x x x -∆=-，第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和． 第四步：取极限．3．求积分与求导数互为逆运算．()()()baF x dx F b F a '=-⎰，即()F x '从a 到b 的积分等于()F x 在两端点的取值之差．4．微积分基本定理如果()()F x f x '=，且()f x 在[,]a b 上可积，则()()()baf x dx F b F a =-⎰，其中()F x 叫做()f x 的一个原函数．由于[()]()F x c f x '+=，()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数．知识内容板块五.微积分 与定积分的应用一般地，原函数在[,]a b 上的改变量()()F b F a -简记作()b a F x ， 因此，微积分基本定理可以写成形式：()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰．题型一：定积分的概念【例1】求22002y x x y x =-=，，≤≤围成图形面积．【例2】根据定义计算积分11x dx -⎰．【例3】根据定义计算定积分21(1)x dx +⎰．【例4】根据定义计算积分204x dx -⎰．【例5】求定积分120(1(1))x x dx --⎰．【例6】()211x dx --⎰等于（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例7】求定积分32166x x dx -+-⎰．【例8】由cos y x =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________．【例9】图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ ） A ．()d da f x x ⎰B ．()d daf x x ⎰C ．()d ()d ()d bcd abcf x x f x x f x x ++ D ．()d ()d ()d bcdabcf x x f x x f x x -+⎰⎰⎰O yxdcba【例10】 求曲线sin y x =以及直线π2x =-，5π4x =，0y =所围成的图形的面积S ．典例分析【例11】 已知函数()sin f x x =，⑴试用定积分表示sin y x =与x 轴围成的介于πx =-与πx =之间的平面图形的面积； ⑵结合sin y x =的图象猜出ππ()d f x x -⎰的值；⑶试将上述问题推广到一般的情况．【例12】已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙（如图所示）．那么对于图中给定的0t 和1t ，下列判断中一定正确的是（ ）A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ．1t 时刻后，甲车在乙车后面C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ．0t 时刻后，乙车在甲车前面t 1t 0v 甲v 乙tv (t )O【例13】 设()y f x =为区间[01]，上的连续函数，且恒有0()1f x ≤≤，可以用随机模拟方法近似计算积分1()f x dx ⎰，先产生两组（每组N 个）区间[01]，上的均匀随机数1x ，2x …，N x 和1y ，2y …，N y ，由此得到N 个点11()x y ，(12)i N =L ，，，，在数出其中满足11()f x y ≤((12))i N =L ，，，的点数1N ，那么由随机模拟方法可得积分10()f x dx ⎰的近似值为 ．【例14】 3dx 1cos x xππ-=+⎰（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2【例15】 函数()y f x =的图象与直线,x a x b ==及x 轴所围成图形的面积称为函数()f x 在[,]a b 上的面积，已知函数sin y nx =在[0,]n π上的面积为*2()n n∈N ，则函数sin3y x =在2[0,]3π上的面积为_____________．题型二：微积分基本定理 【例16】 11(23)x dx -+=⎰______．【例17】83x -=⎰_______．【例18】5(24)x dx -=⎰______．【例19】5(21)x dx +=⎰______．【例20】20(2)x x e dx -=⎰___________．【例21】 函数2()(1)f x x x =-，求1()d f x x ⎰．【例22】 下列等于1的积分是（ ）A ．10d x x ⎰B ．10(1)d x x +⎰C ．101d x ⎰D ．101d 2x ⎰【例23】1()xx ee dx -+=⎰（ ）A ．1e e +B ．2eC ．2eD ．1e e-【例24】 计算下列定积分的值：⑴321(4)d x x x --⎰；⑵251(1)d x x -⎰；⑶π20(sin )d x x x +⎰．【例25】2231111dx x xx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎰（ ） A ．7ln 28+ B ．7ln 28- C ．5ln 24+ D ．1ln 28+【例26】 曲线3πcos 02y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤与坐标轴围成的面积是（ ） A ．4 B ．52C ．3D ．2【例27】121|4|d x x --⎰=（ ）A ．7B ．223C ．233D ．253【例28】12|8|xdx -=⎰（ ）A ．213 B ．223 C ．233D ．253【例29】121(||)x x dx -+=⎰．【例30】 由曲线24y x =、直线1x =、6x =和x 轴围成的封闭图形的面积为 ．【例31】 设函数2()(0)f x ax c a =+≠．若100()d ()f x x f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为________．【例32】 若1(2)2x k dx +=⎰，则k =________．【例33】 若20(23)0kx x dx -=⎰，则k 等于（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．不确定【例34】 已知()πsin cos d a x x x =+⎰，则二项式6x x ⎛⎝展开式中含2x 项的系数是 ．【例35】 已知0m >，若(21)d 6mx x -=⎰，则m = ．【例36】 求π20cos 2cos sin xdx x x+⎰的值．【例37】()π20sin cos 2x a x dx +=⎰，则实数a = ．【例38】42xe dx -⎰的值等于（ ）A ．42e e --B ．42e e +C ．422e e +-D ．422e e -+-【例39】2πsin dx x ⎰＝（ ）A ．0B ．πC ．2πD ．4π【例40】220(3)dx 10x k +=⎰，则k =______．【例41】121dx 1e x +=-⎰_______．【例42】 已知2()f x ax bx c =++，且(1)2f -=，(0)0f '=，1()2f x dx =-⎰，求a 、b 、c 的值．【例43】 已知函数0()sin d af a x x =⎰，则π2f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（ ） A ．1 B ．1cos1-C ．0D ．cos11-【例44】 试用定积分表示由直线y x =，1y x =-+，及y 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【例45】 试用定积分表示由直线y x =，1y x =-+，及x 轴围成的平面图形的面积，并求积分的值．【例46】 从如图所示的长方形区域内任取一个点()M x y ，，则点M 取自阴影部分的概率为 ．31Oxy =3x 2y【例47】 由曲线2y x=，3y x =围成的封闭图形面积为（ ）A ．112B ．14C ．13D ．712【例48】 设函数()y f x =的定义域为+R ，若对于给定的正数K ，定义函数,()()(),()K K f x Kf x f x f x K ⎧=⎨>⎩≤，则当函数1(),1f x K x ==时，定积分214()k f x dx ⎰的值为（ ）A ．2ln22+B ．2ln21-C ．2ln2D ．2ln21+【例49】 已知自由落体的速度为v gt =，则落体从0t =到0t t =所走过的路程为（）A ．2013gtB ．20gtC ．2012gtD ．2014gt【例50】 若()1032x k dx -=⎰，则实数k 的值为 ．【例51】 由直线1x =，2x =，曲线2y x=及x 轴所围图形的面积为（ ）A ．3B ．7C ．73D ．13【例52】 给出以下命题：⑴若()dx 0b af x >⎰，则()0f x >； ⑵20sin 4x dx π=⎰；⑶()f x 的原函数为()F x ，且()F x 是以T 为周期的函数，则0()()aa T Tf x dx f x dx +=⎰⎰；其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0【例53】 给出下列四个命题：①已知πsin dx a x =⎰，点(3,)a 310x y -+=的距离为1；②若0()0f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值； ③1m -≥，则函数212log (2)y x x m =--的值域为R ；④在极坐标系中，点(2,)3P π到直线sin()36πρθ-=的距离是2． 其中真命题是 （把你认为正确的命题序号都填在横线上）【例54】 直线2y x =与抛物线23y x =-所围成图形的面积为．【例55】 如图，求曲线exy =，e x y -=及直线1x =所围成的封闭图形的面积S ．OyxS【例56】 求曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积．【例57】 如图，求曲线1xy =及直线y x =，2y =所围成的图形的面积S ．2121xy=1yxOCB A【例58】 求曲线22y x =以及直线4y x =-所围成的图形的面积S ．【例59】 已知()f x 为一次函数，且10()2()d f x x f t t =+⎰，则()f x =_______．【例60】 已知()f x 为一次函数，且10()22()f x x f t dt =+⎰，则()f x =_______．【例61】 设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+．⑴求()y f x =的表达式；⑵求()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积．⑶若直线(01)x t t =-<<把()y f x =的图象与两坐标轴所围形的面积二等分，求t 的值．【例62】 求由抛物线24y ax =与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值．【例63】 抛物线2y ax bx =+在第一象限内与直线4x y +=相切．此抛物线与x 轴所围成的图形的面积记为S ．求使S 达到最大值的a 、b 值，并求max S ．。
第四章 三角函数的综合-学而思培优
第四章三角函数的综合-学而思培优
本文档主要介绍了学而思培优的第四章内容，即三角函数的综合。
三角函数是数学中一种重要的函数类型，常用于解决与角度相关的问题。
第四章内容主要包括以下几个方面：
1. 正弦函数和余弦函数
- 正弦函数和余弦函数的定义
- 正弦函数和余弦函数的性质和图像
- 正弦函数和余弦函数的应用案例
2. 正切函数和余切函数
- 正切函数和余切函数的定义
- 正切函数和余切函数的性质和图像
- 正切函数和余切函数的应用案例
3. 三角函数的综合应用
- 三角函数的和差化积
- 三角函数的倍角公式和半角公式
- 三角函数的诱导公式
通过研究本章内容，学生将深入了解三角函数的定义、性质和应用，并掌握三角函数的综合运用方法。
这将为他们在解决实际问题时提供有力的数学工具。
学而思培优的第四章内容旨在帮助学生通过系统的研究和练，掌握三角函数相关知识，提升数学能力，并为日后的数学研究打下坚实的基础。
如果您对本文档有任何疑问或需要进一步了解的内容，请随时与我们联系。
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学而思高中题库完整版函数的图象与性质[1].板块四.函数的图象与数字特征.学生版
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题型一：函数的图象【例1】 当a ≠0时，y =ax +b 和y =b ax 的图象只可能是()【例2】 （1996上海，文、理8）在下列图象中，二次函数y =ax 2+bx 与指数函数y =（ba）x的图象只可能是（ ）【例3】 （06重庆 理）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ,f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的２倍，则函数y =f (x )的图象是（ ）典例分析板块四.函数的图象与数字特征【例4】定义域和值域均为[],a a-（常数0a>）的函数()y f x=和()y g x=的图像如图所示，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解；（2）方程()0g f x=⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解；（3）方程()0f f x=⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解；（4）方程()0g g x=⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解。
那么，其中正确命题的个数是。
【例5】某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( )A BC D【例6】 （06江西 12）某地一年内的气温()Q t (单位：℃)与时间t (月份)之间的关系如图所示，已知该年的平均气温为10℃，令()C t 表示时间段[]0,t 的平均气温，()C t 与t 之间的函数关系用下图表示，则正确的应该是（ ）【例7】 （2002上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图2—1所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（ ）A ．气温最高时，用电量最多B ．气温最低时，用电量最少C ．当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D ．当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加【例8】 函数()y f x =与()y g x =的图像如下图：则函数()()y f x g x =⋅的图像可能是（ ）y=f(x)oyxy=g(x)o yxoyxoyxoyxoyxA B C D【例9】 如图，点A 、B 、C 都在函数y =x 的图象上，它们的横坐标分别是a 、a +1、a +2.又A 、B 、C 在x 轴上的射影分别是A ′、B ′、C ′,记△AB ′C 的面积为f (a ),△A ′BC ′的面积为g (a ).(1)求函数f (a )和g(a )的表达式；(2)比较f (a )与g(a )的大小，并证明你的结论.【例10】 （2000春季北京、安徽，14）已知函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 的图象如图，求b的范围。
学而思高中题库完整版推理与证明.板块三.数学归纳法.学生版
题型一：数学归纳法基础【例1】已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111112()2341242n n n n-+-++=+++-++L L 时，若已假设2(≥=k k n 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （ ）A ．1+=k n 时等式成立B ．2+=k n 时等式成立C ．22+=k n 时等式成立D ．)2(2+=k n 时等式成立【例2】已知n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （2≥k 且为偶数）时命题为真，，则还需证明（ ）A.n=k+1时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立D. n=2（k+2）时命题成立【例3】某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当7=n 时该命题不成立，那么可推得（ ）A ．当n=6时该命题不成立B ．当n=6时该命题成立C ．当n=8时该命题不成立D ．当n=8时该命题成立【例4】利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到“1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 （ ） A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k【例5】用数学归纳法证明),1(11122*+∈≠--=++++N n a aa a a a n nΛ，在验证n=1时，典例分析板块三.数学归纳法左边计算所得的式子是（ ）A. 1B.a +1C.21a a ++D. 421a a a +++【例6】用数学归纳法证明n n n n n 2)()2)(1(=+++Λ))(12(31*∈+⋅⋅⋅⋅N n n Λ，从“k到k+1”左端需乘的代数式是（ ） A.2k+1 B.)12(2+k C.112++k k D.132++k k【例7】用数学归纳法证明：1+21+31+)1,(,121>∈<-+*n N n n n Λ时，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ） A.k 2 B.12-k C.12-k D.12+k【例8】设)1()2()1()(-++++=n f f f n n f Λ，用数学归纳法证明“)()1()2()1(n nf n f f f n =-++++Λ”时，第一步要证的等式是【例9】用数学归纳法证明“)12(212)()2)(1(-⋅⋅⋅⋅=+++n n n n n n ΛΛ”（+∈N n ）时，从 “n k =到1n k =+”时，左边应增添的式子是__ __。
高中数学 三角函数 板块三 三角恒等变换完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。
A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。
2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。
A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。
A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。
A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。
A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。
学而思高中题库完整版导数及其应用[1].板块四.导数与其它知识综合2-不等式1.学生版
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题型二：导数与不等式综合不等式的证明：【例1】 当0x ≠时，有不等式（ ）A ．e 1x x <+B ．当0x >时，e 1x x <+；当0x <时，e 1x x >+C ．e 1x x >+D ．当0x <时，e 1x x <+；当0x >时，e 1x x >+【例2】 设0a b <<，且11()xf x ++ ）A ．()()2a b f a f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．()()2a b f f b f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ． ()()2a b f ab f f a +⎛⎫<< ⎪⎝⎭D ．()()2a b f b f f ab +⎛⎫<< ⎪⎝⎭【例3】 已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+．⑴若2()1x xf x ax '++≤，求a 的取值范围； ⑵证明：0(1)()x f x -≥．【例4】 已知函数32()f x mx nx =+（m 、n ∈R ，0m ≠），函数()y f x =的图象在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行．⑴ 用关于m 的代数式表示n ； ⑵ 求函数()f x 的单调递增区间；⑶ 若12x >，记函数()y f x =的图象在点1(())M x f x ，的切线为l ，设l 与x 轴的交点为2(0)x ，，证明：2x ≥3．【例5】 设函数()2f x x a =-．⑴ 求函数()()g x xf x =在区间[]0,1上的最小值；⑵ 当0a >时，记曲线()y f x =在点()()11,P x f x (1x a >处的切线为l ，l 与x 轴交于点()2,0A x ，求证：12x x a >>【例6】 已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+． ⑴若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；⑵设,m n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<-．【例7】 已知函数2()ln f x x x ax =+-．⑴若函数()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；⑵设11n a n=+（*n ∈N ），求证：22212123()ln(1)2n n a a a a a a n n +++----<++L L ．【例8】 已知函数()()x f x xe x -=∈R⑴求函数()f x 的单调区间和极值；⑵已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>．【例9】 已知函数()(0)bf x ax c a x=++>的图象在点(1(1))f ，处的切线方程为1y x =-． ⑴用a 表示出b ，c ；⑵若()ln f x x >在[]1∞，上恒成立，求a 的取值范围； ⑶证明：11111ln(1)()232(1)n n n n n ++++>+++L ≥．【例10】 设函数()1x f x e -=-．⑴证明：当1x >-时，()1xf x x +≥； ⑵设当0x ≥时，()1xf x ax +≤，求a 的取值范围．【例11】 已知函数()f x x =，()ln g x a x =，a ∈R ．⑴若曲线()y f x =与曲线()y g x =相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程； ⑵设函数()()()h x f x g x =-，当()h x 存在最小值时，求其最小值()a φ的解析式；⑶对⑵中的()a φ和任意的0a >，0b >，证明：()()222a b a b ab a b φφφφ''++⎛⎫⎛⎫'' ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭≤≤．【例12】 已知函数ln ()()x af x a x+=∈R ， ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --=平行，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间和极值；⑶当1a =，且1x ≥时，证明：()1f x ≤．【例13】 已知函数1()ln(1)(1)nf x a x x =+--，其中*n ∈N ，a 为常数．⑴当2n =时，求函数()f x 的极值；⑵当1a =时，证明：对任意的正整数n ，当2x ≥时，有()1f x x -≤．【例14】 已知函数1()ln f x a x x=-，a ∈R ． ⑴若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y +=垂直，求a 的值； ⑵求函数()f x 的单调区间；⑶当1a =，且2x ≥时，证明：(1)25f x x --≤．【例15】 设a 为实数，函数()22x f x e x a =-+，x ∈R ．⑴求()f x 的单调区间与极值；⑵求证：当ln21a -＞且0x >时，21x e x ax >-+2．【例16】 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同． ⑴用a 表示b ，并求b 的最大值；⑵求证：()()f x g x ≥（0x >）．【例17】 设函数2()ln(1)f x x b x =++，其中0b ≠．⑴当12b >时，判断函数()f x 在定义域上的单调性；⑵求函数()f x 的极值点；⑶证明对任意的正整数n ，不等式23111ln 1n nn ⎛⎫+>- ⎪⎝⎭都成立．【例18】 设3()3x f x =，对任意实数t ，记232()3t g x t x t =-．⑴求函数8()()y f x g x =-的单调区间；⑵求证：①当0x >时，()()t f x g x ≥对任意正实数t 成立；②有且仅有一个正实数0x ，使得800()()t g x g x ≥对任意正实数t 成立．【例19】 已知21()ln(1)()2f x xg x ax bx =+=+，．⑴若2b =，且()(1)()h x f x g x =--存在单调递减区间，求a 的取值范围；⑵若01a b ==，时，求证()()0f x g x -≤对于(1)x ∈-+∞，成立； ⑶利用⑵的结论证明：若0x y <<，则ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+．【例20】 已知函数()f x 是定义在[)(]e 00e -U ，，上的奇函数，当(]0e x ∈，时，()ln f x ax x =+（其中e 是自然对数的底，a ∈R ）⑴求()f x 的解析式； ⑵设ln ()x g x x=，求证：当[)e 0x ∈-，，1a =-时，1()()2f xg x >+． ⑶是否存在负数a ，使得当[)e 0x ∈-，时，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由．【例21】 已知函数22()ln ()f x x a x x x=++>0，()f x 的导数是()f x '．对任意两个不等的正数1x 、2x ， 证明：⑴当0a ≤时，1212()()22f x f x x x f++⎛⎫> ⎪⎝⎭；⑵当4a ≤时，1212|()()| ||f x f x x x ''-> -．。
高中数学 三角函数 板块四 三角函数的综合题完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：三角函数.板块四.三角函数的综合题.学生版题型一：与三角恒等变换的综合题【例1】 函数2π()sin 24f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期是 ．【例2】 设函数()22cos π2cos 32x f x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭R ，．⑴求()f x 的值域；⑵记ABC △的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()1f B =，1b =，c 求a 的值．【例3】 已知函数()()2ππ1cot sin sin sin 44f x x x m x x ⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．⑴当0m =时，求()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围；⑵当tan 2α=时，()35f x =，求m 的值．【例4】 已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x =+-∈R⑴求函数()f x 的最小正周期及在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值；⑵若06()5f x =，0ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求0cos2x 的值．【例5】 已知函数()()()sin 0,||πf x x ωϕωϕ=+><的图象如图所示．⑴求,ωϕ的值；⑵设()()4πg x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求函数()g x 的单调递增区间．【例6】 已知函数()22sin 2sin cos cos f x x a x x x b =+⋅++02x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[,2]，求a 、b 的值．【例7】 已知函数21cos cos 12y x x x =⋅+，R x ∈．（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由()sin R y x x =∈的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例8】 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中0A >，0ω>，22ππϕ-<<），其部分图象如图所示． ⑴求()f x 的解析式； ⑵求函数()44ππg x f x f x ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值及相应的x 值．【例9】 已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,13π⎛⎫⎪⎝⎭．⑴求实数a 、b 的值；⑵若0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的最大值及此时x 的值．【例10】 设函数1()cos cos sin 22πf x x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭．⑴求()f x 的最小正周期； ⑵当0,2πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值．【例11】 已知函数22()cos 2sin cos 3πf x x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⑴求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程；⑵设函数2()[()]()g x f x f x =+，求()g x 的值域．【例12】 已知函数22()2sin cos sin cos ()2222R x x x xf x a a =+-∈⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式；⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos 21sin 2xx+的值．题型二：与二次函数的综合题【例13】 已知4πx ≤，求函数2cos sin y x x =+的最小值【例14】 求函数222sin cos y x x =--的最大值和最小值。
学而思高中题库完整版程序框图与算法.板块一.算法的含义与描述.学生版
题型一：算法的含义 【例1】 下面对算法描述正确的一项是（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，结果必然不同【例2】 关于算法的说法中，正确的是（ ）A ．算法就是某个问题的解题过程B ．算法执行后可以产生不确定的结果C ．解决某类问题的算法不是唯一的D ．算法可以无限地操作下去不停止【例3】 下面四种叙述能称为算法的是（ ）A ．在家里一般是妈妈做饭B ．做米饭要需要刷锅．添水．加热这些步骤C ．在野外做饭叫野炊D ．做饭必需要有米【例4】 下面的结论正确的是（ ）A ．一个程序算法步骤是可逆的B ．一个算法可以无止境的运算下去C ．完成一件事的算法有且只有一种D ．设计算法要本着简单方便的原则【例5】 算法的有穷性是指（ ）A ．算法最后包含输出B ．算法的每个操作步骤都是可执行的C ．算法的步骤必须有限D ．以上都不正确【例6】 指出下列哪一个不是算法 （ ）A ．解方程260x -=的过程是移项和系数化为1B ．从济南到温哥华需要先乘火车到北京，再从北京乘飞机到温哥华C ．解方程2210x x +-=D ．利用公式2πS r =，计算半径为3的圆的面积为2π3⨯【例7】 看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ）A ．从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B ．解一元一次方程的步骤是去分母．去括号．移项．合并同类项．系数化为1C ．方程210x -=有两个实根D ．求12345++++的值，先计算123+=，再由于336+=，6410+=，10515+=，最终结典例分析板块一.算法的含义与描述果为15【例8】不能描述算法的是（）A．流程图B．伪代码C．数据库D．自然语言【例9】早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）．刷水壶（2min）．烧水（8min）．泡面（3min）．吃饭（10min）．听广播（8min）几个步骤，下列选项中最好的一种算法为（）A．s1洗脸刷牙s2刷水壶s3烧水s4泡面s5吃饭s6听广播B．s1刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭s5听广播C．s1刷水壶s2烧水的同时洗脸刷牙s3泡面s4吃饭的同时听广播D．s1吃饭的同时听广播s2泡面s3烧水的同时洗脸刷牙s4刷水壶【例10】已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算22=+；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；c a b③输出斜边长c的值，其中正确的顺序是（）A．①②③B．②③①C．①③②D．②①③题型二：算法分析（自然语言与数学语言）【例11】算法：S1 输入nS2 判断n是否是2，若2n>，则执行S3n=，则n满足条件，若2S3 依次从2到1n-检验能不能整除n，若不能整除n，满足上述条件的是（）A．质数B．奇数C．偶数D．约数【例12】“鸡兔同笼“是我国隋朝时期的数学著作《孙子算经》中的一个有趣而具有深远影响的题目：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何．用方程组的思想不难解决这一问题，请你设计一个这类问题的通用算法．【例13】某人带着一只狼和一只羊及一捆青菜过河，只有一条船，船仅可载重此人和狼．羊及青菜中的一种，没有人在的时候，狼会吃羊，羊会吃青菜，设计安全过河的算法．【例14】人鬼过河现在河的岸边有三个人和三个鬼，河上只有一条小船，船上最多能坐两个“人”，在河的任何一边，当鬼的个数比人多时，鬼就会吃掉人．请问如何才能使人和鬼都平安的到达对岸．【例15】现在有三个油瓶，分别能装8kg．5kg．3kg的油，当8kg的瓶子装满油时，设计一个用这三个瓶子倒油的算法，怎样倒能使这些油被平分到两个瓶子里．（注：没有其它瓶子）【例16】设计一个算法求解方程组37 4513 x yx y+=⎧⎨+=⎩【例17】用二分法设计一个求方程220x-=的近似根的算法．【例18】分别用自然语言．数学语言写出对任意四个整数a．b．c．d，求出最小值的算法．【例19】某批发商按客户订单数额的大小分别给予不同的优惠折扣．计算客户应付货款的算法步骤如下：S1 输入订单数额x（单位：件）；输入单价A（单位：元）；S2 若250x<，则折扣率0d=；若250500x<≤，则折扣率0.05d=；若5001000x<≤，则折扣率0.10d=；若1000x≥，则折扣率0.15d=；S3 计算应付货款()1T Ax d=-（单位：元）；S4 输出应付货款T．已知一客户买400件时付款38000元，则应付货款为88200元时订单数额是．题型三：算法的三种基本逻辑结构与程序框图【例20】流程图中表示判断框的是（）A．矩形框B．菱形框C．圆形框D．椭圆形框【例21】框图与算法相比，下列判断正确的是（）A．程序框图将算法的基本逻辑展现得很清楚B．算法使用自然语言描述解决问题的步骤，程序框图使得这些步骤更为直观C．实质不变，形势变复杂了D．程序框图更接近于计算机理解【例22】尽管算法千差万别，程序框图按逻辑结构分类有（）类A．2 B．3 C．4 D．5【例23】算法的三种基本结构是（）A．顺序结构、选择结构、循环结构B．顺序结构、流程结构、循环结构C．顺序结构、分支结构、流程结构．D．流程结构、循环结构、分支结构【例24】下列关于框图的逻辑结构正确的是（）A．用顺序结构画出电水壶烧开水的框图是唯一的B．条件结构中不含顺序结构C ．条件结构中一定含有循环结构D ．循环结构中一定含有条件结构【例25】 下面的问题中必须用条件结构才能实现的个数是（ ）（1）已知三角形三边长，求三角形的面积；（2）求方程0ax b +=（,a b 为常数）的根；（3）求三个实数,,a b c 中的最大者；（4）求123100++++L 的值．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例26】 已知函数()|3|f x x =-，以下程序框图表示的是给定x 值，求相应的函数值的算法，请将该程序框图补充完整．【例27】 写出下边程序框图的运行结果：否是输出ss=s+i i =i +2i <20s =0i =2结束开始【例28】 如图给出的是计算13599++++L 的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）i=i+2T = T + i否i = 1T= 0是输出T结束开始99i <．99i > C ．100i < D ．100i >【例29】 写出右边框图中的运算结果，____S =． a = 2b = 4S=ab +ba输出S结束开始【例30】 写出右面的程序框图所表示的函数．y =1+ x *xy = 2*x +4输出y结束否是x > 0输入x开始【例31】 如右图给出的是计算1112420+++L 的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） i=i + 1结束输出S否是n=n +2S=S+1nS =0,i =1,n =2开始C ．20i >D ．20i <【例32】 如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为45，则判断框中应填入的条件是（ ） A ．4?T > B ．4?T < C ．3?T > D ．3?T <S = S +1T ⋅ i T =T +1i =i+1S =0T =0i =1输出S 否是结束开始【例33】 按如图所示的程序框图运算，若输入6x =，则输出k 的值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6结束输出k否是x >100?k =k +1x =2x +1k =0输入x开始【例34】 已知程序框图如图所示，则该程序框图的功能是（ ）A ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈NB ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和()n *∈N C ．求数列1n ⎧⎫⎨⎬的前11项和()n *∈N D ．求数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前11项和()n *∈N 开始0S =2n =1k = 10k ≤ 输出S结束1S S n=+ 2n n =+1k k =+ 是否【例35】 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A ．1321B ．2113C ．813D ．138输出y x y = z x = yz<20z = x +yx =1, y =1否是结束开始【例36】 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是（ ）第 7 题结束输出 ai = i +1否是a = 1- 1a i ≥ 2010a = 2 , j = 1开始A ．1-B ．1C ．2D ．12【例37】 已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是_______________． 结束输出 ai = i +1否是a = 1- 1a i ≥ 20a = 2 , j = 1开始【例38】 如图，下程序框图的程序执行后输出的结果是 ．S=S+nn=n+1n=1S=0n 10否是输出S 结束开始【例39】 右边程序框图的程序执行后输出的结果是 ．n=n+2S=0n=1S=S+nn 50否是输出S 结束【例40】 执行如图程序框图，输出S 的值等于 ．12题图否是输出Si <=4i=i + 1S =S + AA=A + iA=0，S=0，i=1结束开始【例41】 某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ． 【例42】 在右边的程序框图中，若输出i 的值是4，则输入x 的取值范围是 ．N Y 结束输出 ix > 82i = i +1x = 3x -2i = 0输入 x【例43】 在右面的程序框图中，若5x =，则输出i 的值是（ ）x > 109i = i + 1N Y输出i结束x = 3x -2i = 0输入x开始 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【例44】 执行如图所示的程序框图，输出的T 等于（ ）A ．10B ．15C ．20D ．30【例45】 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是（ ）A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥D ．11i ≥【例46】 执行右图所示的程序框图，输出结果y 的值是_________． 否是结束输出yy = e x - 2x > 2x = xx = 16开始【例47】 按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ） C ．16k < D ．8k ≥【例48】 若某程序的框图如图，若输入的x 的值为12，则执行该程序后，输出的y 值为 ． 开始S =0MS =S +k 2k k =⨯结束 输出S是 否k =1y=4xy=1y=x 2x < 1x > 1Y YNN 结束输出y输入x开始【例49】 某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值为31，则a 等于（ ）A ．B ．0C ．1D ．2x=1,x =an ≤4否是n=n+1x=2x+1输出x 结束开始【例50】 右面的程序框图，如果输入三个实数a ．b ．c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） x c > C ．c b > D ．b c >x =cx =b输出xb >xx =a输入a , b , c否否是是结束开始【例51】 某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间（单位：h ）．随机选择了50位老人的进行调查．下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表．序号 （i ） 分组 （睡眠时间） 组中值 （i G ） 频数 （人数） 频率（i F ）1 [4，5)4.5 6 0.12 2 [5，6)5.5 10 0.20 3 [6，7)6.5 20 0.40 4 [7，8)7.5 10 0.20 5 [8，9]8.5 4 0.08 S 的值是 ．i i ≥ 5?S+G i ×F i S ,F iG i i i +110S N Y输出S输入结束开始【例52】 执行下边的程序框图，若0.8p =，则输出的n = ．n =n +1S =S +12n S < p ?n =1, S =0输入 p输出m 否是结束开始【例53】 阅读如图的程序框图，若输入4m =，6n =，则输出a = ，i =（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”）否i ＝i + 1输出a ，in 整除a ？a ＝m x ii = 1输入m ，n结束开始【例54】 执行右边的程序框图，输出的T = ．输出TT = T+nn = n+2S =S+5S=0 ,T=0, n=0T > S 否是结束开始【例55】 阅读右面的程序框图，则输出的S =（ ）A ．26B ．35C ．40D ．57输出Si >5?i = i+1S=S+TT = 3i -1S =0 , i =1否是结束开始【例56】 随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12n a a a L ，，，．则如图所示的程序框图输出的s = ，s 表示的样本的数字特征是 ． （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“:=”）i =i +1S =(i -1)×S+a ii 否是开始结束输 出 Si ≤ n ? S=0, i=1输入 n ,a 1,a 2,...,a n【例57】 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7k=k+1S=S+2SS <100?S=0k=0输出k否是结束开始【例58】 如果执行右边的程序框图，输入2x =-，0.5h =，那么输出的各个数的和等于（ ）D ．4.5x ≥ 2输出 yx = x + hy = 1y = x y = 0x<1x < 0输入x, h否否否是是是结束开始【例59】 2010年上海世博会园区每天9:00开园，20:00停止入园．在右边的框图中，S 表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数，a 表示整点报道前1个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 ．开始T ←9，S ←0输出T ，S否是T ≤19T ←T +1输出a结束【例60】 阅读右边的程序框图，若输出s 的值为7-，则判断框内可填写( )A ．3?i <B ．4?i <C ．5?i <D ．6?i <否是结束输出 ss =s -ii =i +2s =2i =1开始【例61】 某程序框图如图所示，若输出的57S =，则判断框内为( ) B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >否是结束输出SS =2S +kk =k +1S =1，k =1开始【例62】 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出x =__ __．开始x =1x=x +1x 是奇数x=x +2x >8?输出x结束是否否【例63】 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的i 值等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5结束输出i否是s>11?i=i+1s=s+aa =i ∙2at =1s =0开始【例64】 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n 位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x （单位：吨）．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，分别为1，2，则输出的结果s 为 ．开始输入 n,x 1,x 2,…x ns 1=0,s 2=0,i =1i ≤ n输出s结束i=i +1s =1i s 2-1i s 12()s 1=s 1+x i s 2=s 2+x i 2是否【例65】 如果执行右面的程序框图，输入正整数,n m ，满足n m ≥，那么输出的p 等于（ ）A ．1C mn - B ．1A m n - C ．C m n D ．A m n 开始输入 n,mk =1,p =1p=p (n-m+k )k<m 输出pk=k+1结束是否【例66】 如果执行下面的框图，输入5N =，则输出的数等于( )否是k =k +1结束输入Sk <NS =S +1k (k +1)k =1,S =0输入N开始 A ．4 B ．45 C ．65 D ．56【例67】 下面程序框图所表示的算法的功能是（ ）A ．计算11112349++++L 的值B ．计算11113549++++L 的值 C ．计算11113599++++L 的值 D ．计算11112399++++L 的值 第9题图否是结束输出Si=i+1n=n+2S=S+1n i>50S=0,n=1,i=1开始【例68】 右图是一个程序框图，其中判断框①处缺少一个判断条件，②为一输出框．⑴若在①处填空“2009n =”，请求出在输出框②处输出的y 的值； ⑵若在①处填空“2008②处输出的n 的值．是否否是结束②输入x=4,y=2,n=1x=x+3n=n+1①y=y+2x=4xn=n+1n 为偶数开始【例69】 程序program-3的任务为输入100个产品的内径尺寸数据，并找出其中的最值．该程序流程图如下，否是否否是是结束输出M1 , M2值i = i +1(2)(1)M2 < aM1 < a输入a 值i < 100M1= a , M2 = a , i = 1输入 a 值开始；（2）________．程序program-3执行完毕，M1，M2的输出值中是最大值的是______．【例70】 任意给定一个正数，设计一个算法求以这个数为半径的圆的周长，并画出程序框图．【例71】 半径为r 的圆面积计算公式为2πS r =，写出计算圆面积的算法，并画出框图．【例72】 画出计算123⨯⨯的程序框图．【例73】 分别用数学语言和程序框图写出计算13579++++的算法．【例74】 三角形的面积公式12S ah =，用算法描述求7.18.5a h ==，时的三角形面积， 并画出算法的程序框图．【例75】 设计一个算法计算ABC ∆的面积，并画出算法的程序框图．【例76】 画出求1220⨯⨯⨯L 的程序框图．【例77】 画出求123100++++L 的程序框图．【例78】 写出计算3333123100++++L 的值的一个程序框图．【例79】 写出求解一般的二元一次方程组11112212112222a x a xb a x a x b +=⎧⎨+=⎩的程序框图。
【精品卷】2019—2020年最新北师大版高中数学必修四《三角函数》单元综合测试题及答案答案解析.docx
（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修四三角函数一、选择题（每题4分，共10题）1．下列不等式中，正确的是 （ ） A.sin 57 π＞sin 47 π B.tan 158 π＞tan(－π7 )C.sin(－π5 )＞sin(－π6 )D.cos(－35 π)＞cos(－94π)2．已知cos(π＋θ)＝－45 ，θ是第一象限角，则sin （π＋θ）和tan θ的值分别为（ ）A. 35 ，－34 B.－35 ，34 C.－35 ，－34D.－35 ，－433．函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象，可由y ＝sin x 的图象经过下述哪种变换而得到( )A.向右平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3倍B.向左平移π3 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移π6 个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的13 倍D.向左平移π6 个单位，横坐标缩小到原来的12 倍，纵坐标缩小到原来的13倍4．已知如图是函数y ＝2sin(ωx ＋ϕ)(｜ϕ｜＜π2)的图象，那么 ( )A.ω＝1011 ，ϕ＝π6B.ω＝1011 ，ϕ＝－π6C.ω＝2，ϕ＝π6D.ω＝2，ϕ＝－π65．设A 是第三象限角，且|sin A 2 |＝－sin A 2 ，则A2 是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角6．如果｜x ｜≤π4，那么函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值为 （ ）A. 2－12B. 1－22 C.－2＋12D.－17.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，其中a 、b 、α、β均为非零实数，若f (1988)＝3，则f (2002)的值为 ( )A.1B.5C.3D.不确定8.在函数y ＝｜tan x ｜，y ＝｜sin(x ＋2π)｜，y ＝｜sin2x ｜，y ＝sin(2x －2π)四个函数中，既是以π为周期的偶函数，又是区间(0，2π)上的增函数个数是( )A.1B.2C.3D.49．在［0，2π］上满足sin x ≥12 的x 的取值范围是( )A.［0，π6］B.［π6 ，5π6 ］C.［π6 ，2π3］D.［5π6，π］10．函数y ＝sin(2x ＋5π2 )的图象的一条对称轴方程为( )A.x ＝5π4B.x ＝π2C.x ＝π8D.x ＝π4二、填空题（每题4分，共5题）1．已知扇形的圆心角为2 rad ，扇形的周长为8 cm ，则扇形的面积为_________cm 2. 2．已知α是第三象限角，则sin （cos α)·cos(sin α) 0（>,<,=）3.︒⋅--⋅︒690cos )619cos()313tan(330sin ππ= 4．求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.5．cos 32 ，－cos 74 ，sin 110的大小关系是 .三、解答题（每题10分，共4题）1．已知cos(75°＋α)＝13，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.2．已知函数f (x )＝2 cos(2x ＋π4 ) x ∈［0，π2］.求f (x )的最大值，最小值.3．已知tan α＝2，求下列各式的值.（1）4sin α－2cos α3cos α＋3sin α (2) 2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α(3) 23sin 2α＋14cos 2α 4．求函数y ＝log 21cos(x ＋π3)的单调递增区间.答案： 一.选择题1.B2.B3.B4.C5.D6.B7.C8.B9.B 10.B 二.填空题1. 42. 解：∵α是第三象限角3. 233 4. （－∞，13］∪［3，+∞)∴－1＜cos α＜0，－1＜sin α＜0， ∴sin(cos α)＜0，cos(sin α)＞0. ∴sin(cos α)·cos(sin α)＜0 5. cos 32 <sin 110 <－cos 74三.解答题1．解：∵cos(105°－α)＝cos ［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－13sin(α－105°)＝－sin ［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α) ∵cos(75°＋α)＝ 13＞0又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角 ∴sin （75°＋α)＝－1－cos 2（750＋α）＝－1－（13 ）2 ＝－223∴cos(105°－α)＋sin(α－105°) ＝－13 ＋223＝－1＋2232.解：∵0≤x ≤π2 .∴π4 ≤2x ＋π4 ≤45当2x ＋π4 ＝π4 时,cos(2x ＋π4 )取得最大值22；当2x ＋π4 ＝π时，cos(2x ＋π4 )取得最小值－1.∴f (x )在［0，π2 ］上的最大值为1，最小值为－2 .3.解：（1）∵cos α≠0∴ 原式＝4sin α－2cos αcos α3cos α＋3sin αcos α＝4tan α－23＋3tan α ＝23(2)∵cos 2α≠0∴2sin 2α－3cos 2α4sin 2α－9cos 2α ＝2tan 2α－34tan 2α－9 ＝57(3) 23 sin 2α＋14cos 2α ＝23sin 2α＋14cos 2α sin 2α＋cos 2α ＝23 tan 2α＋14tan 2α＋1＝712.4. 解：依题意得π3，2kπ＋π6)(k∈Z)解得x∈［2kπ－。
第十四章 三角函数综合测试题-学而思培优
第十四章三角函数综合测试题-学而思培优本次测试题主要考察同学们在三角函数的基本概念、公式推导和应用方面的掌握程度。
考试试卷分为选择题和填空题两部分，共计30道试题，满分100分。
其中选择题分值2分，填空题分值4分。
选择题1. 已知直角三角形中一条直角边的正弦为0.8，则斜边长为多少？A. 0.4B. 0.5C. 1.0D. 1.252. 已知正弦函数$y=2\sin x$的振幅为2，则函数$y=\cos(x-\frac{π}{2})$的振幅为多少？A. 1B. 2C. $2\sqrt{2}$D. $\sqrt{2}$3. 已知$\sin\alpha=-\frac{1}{3}$，$\alpha$在第四象限，则$\cos\alpha$的值是多少？A. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$B. $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$4. 函数$y=2\sin(x+\frac{π}{3})$的最大值为多少？A. 2B. $\sqrt{3}$C. 2$\sqrt{3}$D. 45. 函数$y=\sqrt{3}\cos(2x+\frac{π}{6})$的最小值为多少？A. 0B. $\frac{1}{2}$C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$D. 1填空题1. 已知$\cos\alpha = \frac{4}{5}$，$\alpha$为第一象限角，则$\sin\alpha$ = \_\_\_\_。
2. 已知$\tan\beta = \frac{3}{4}$，$\beta$为第三象限角，则$\cos\beta$ = \_\_\_\_。
3. 函数$y=2\sin(2x-\frac{π}{6})$的周期为 \_\_\_\_。
4. 已知函数$f(x)=3\cos x$，则函数$f(-x)=$\_\_\_\_。