【精品】高二数学上 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质教案
人教版高中数学课件：8.4双曲线的几何性质
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
高中数学双曲线几何性质教案
高中数学双曲线几何性质教案
一、教学目标：
1. 了解双曲线的定义和基本性质；
2. 能够根据给定条件解决双曲线相关问题；
3. 掌握双曲线的方程和图像特点。
二、教学内容：
1. 双曲线的定义和基本性质；
2. 双曲线的方程和图像特点；
3. 双曲线的焦点、准轴、渐近线等相关概念。
三、教学重点：
1. 理解双曲线的几何性质；
2. 掌握双曲线的方程和图像特点。
四、教学难点：
1. 理解双曲线方程中参数对图像的影响；
2. 能够灵活运用双曲线的性质解决问题。
五、教学方法：
1. 讲解结合示例；
2. 提问互动，引导学生思考；
3. 小组讨论，合作解题。
六、教学过程：
一、导入
1. 欢迎学生，引入双曲线的定义和概念；
2. 让学生回顾椭圆和抛物线的性质，引申到双曲线。
二、讲解
1. 介绍双曲线的定义和一般方程；
2. 讲解双曲线的图像特点和性质；
3. 详细解释双曲线的焦点、准轴、渐近线等重要概念。
三、练习
1. 带学生做几道双曲线方程求解问题；
2. 引导学生分组合作，解决双曲线相关实际问题。
四、巩固
1. 总结双曲线的性质和特点；
2. 提醒学生复习重点内容，做好准备。
七、作业布置
1. 布置相关习题，巩固所学知识；
2. 提供实际问题，让学生应用双曲线知识解答。
八、评价与反思
1. 对学生的学习情况进行评价；
2. 总结教学过程，反思教学方法，提出改进意见。
以上是本节课的教学内容，希望同学们能认真学习，掌握双曲线的性质和应用，成为数学的高手！。
学高中数学圆锥曲线与方程双曲线的简单几何性质教师用书教案新人教A版选修
２．２．２双曲线的简单几何性质学习目标核心素养１．掌握双曲线的简单几何性质．（重点）２．理解双曲线的渐近线及离心率的意义．（难点）１．通过学习双曲线的简单几何性质，培养学生的直观想象素养.２．借助双曲线的几何性质解题，培养逻辑推理、数学运算的素养.１．双曲线的几何性质标准方程错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）图形性质范围x≥a或x≤—a y≤—a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点（—a,0），（a,0）（0，—a），（0，a）轴长实轴长＝２a，虚轴长＝２b离心率e＝错误!>１渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x（２）双曲线的离心率和渐近线的斜率有怎样的关系？[提示] （１）渐近线相同的双曲线有无数条，但它们实轴与虚轴的长的比值相同．（２）e２＝错误!＝１＋错误!，错误!是渐近线的斜率或其倒数．２．双曲线的中心和等轴双曲线（１）双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．（２）等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e＝错误!.１．双曲线错误!—y２＝１的顶点坐标是（）Ａ．（４,0），（0,１）Ｂ．（—４,0），（４,0）Ｃ．（0,１），（0，—１）Ｄ．（—４,0），（0，—１）B[由题意知，双曲线的焦点在x轴上，且a＝４，因此双曲线的顶点坐标是（—４,0），（４,0）．]２．中心在原点，实轴长为１0，虚轴长为6的双曲线的标准方程是（）Ａ．错误!—错误!＝１Ｂ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１Ｃ．错误!—错误!＝１Ｄ．错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１B[由题意可知２a＝１0,２b＝6，即a＝５，b＝３，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１，故选Ｂ．]３．若点M（x0，y0）是双曲线错误!—错误!＝１上任意一点，则x0的取值范围是________，y0的取值范围是________；该双曲线的渐近线方程为________，离心率为________．（—∞，—４]∪[４，＋∞）R y＝±错误!x错误![由错误!—错误!＝１得错误!≥１，即x0≥４或x0≤—４，y0∈R.渐近线方程为y＝±错误!x，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.]双曲线的几何性质２２线方程．[思路点拨] 先将双曲线的方程化为标准方程，再研究其性质．[解] 双曲线的方程化为标准形式是错误!—错误!＝１，∴a２＝9，b２＝４，∴a＝３，b＝２，c＝错误!.又双曲线的焦点在x轴上，∴顶点坐标为（—３,0），（３,0），焦点坐标为（—错误!，0），（错误!，0），实轴长２a＝6，虚轴长２b＝４，离心率e＝错误!＝错误!，渐近线方程为y＝±错误!x.由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤１把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.２由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.３由c２＝a２＋b２求出c值，从而写出双曲线的几何性质.提醒：求性质时一定要注意焦点的位置.错误!１．（１）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±２x的是（）Ａ．x２—错误!＝１Ｂ．错误!—y２＝１Ｃ．错误!—x２＝１Ｄ．y２—错误!＝１（２）若双曲线错误!—错误!＝１的离心率为错误!，则其渐近线方程为（）Ａ．y＝±２xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!x（１）C（２）B[（１）A、B选项中双曲线的焦点在x轴上，可排除；C、D选项中双曲线的焦点在y轴上，令错误!—x２＝0，得y＝±２x；令y２—错误!＝0，得y＝±错误!x.故选Ｃ．（２）在双曲线中，离心率e＝错误!＝错误!＝错误!，可得错误!＝错误!，故所求的双曲线的渐近线方程是y＝±错误!x.]由双曲线的几何性质求标准方程（１）以直线２x±３y＝0为渐近线，过点（１,２）；（２）与双曲线错误!—错误!＝１具有相同的渐近线，且过点M（３，—２）；（３）过点（２,0），与双曲线错误!—错误!＝１离心率相等；（４）与椭圆错误!＋错误!＝１有公共焦点，离心率为错误!.[解] （１）法一：由题意可设所求双曲线方程为４x２—9y２＝λ（λ≠0），将点（１,２）的坐标代入方程解得λ＝—３２．因此所求双曲线的标准方程是错误!—错误!＝１．法二：由题意可设所求双曲线方程为错误!—错误!＝１（mn>0）．由题意，得错误!解得错误!因此所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0）．由点M（３，—２）在双曲线上，得错误!—错误!＝λ，λ＝—２．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）当所求双曲线的焦点在x轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝错误!，故所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１；当所求双曲线的焦点在y轴上时，可设其方程为错误!—错误!＝λ（λ>0），将点（２,0）的坐标代入方程得λ＝—错误!<0（舍去）．综上可知，所求双曲线的标准方程为错误!—y２＝１．（４）法一：由椭圆方程可得焦点坐标为（—３,0），（３,0），即c＝３且焦点在x轴上．设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．因为e＝错误!＝错误!，所以a＝２，则b２＝c２—a２＝５，故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．法二：因为椭圆焦点在x轴上，所以可设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（１6<λ<２５）．因为e＝错误!，所以错误!＝错误!—１，解得λ＝２１．故所求双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．１．由双曲线的几何性质求双曲线的方程的常用方法：一是设法确定基本量a，b，c，从而求出双曲线方程；二是采用待定系数法．首先依据焦点的位置设出标准方程，再由题目条件确定参数的值．当焦点位置不确定时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，防止漏解．为了避免讨论，也可设方程为mx２—ny２＝１（mn>0），从而直接求解．２．常见双曲线方程的设法（１）渐近线为y＝±错误!x的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ（λ≠0，m>0，n>0）；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A２x２—B２y２＝m（m≠0，A>0，B>0）．（２）与双曲线错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）共渐近线的双曲线方程可设为错误!—错误!＝λ或错误!—错误!＝λ（λ≠0）．（３）与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）离心率相等的双曲线系方程可设为错误!—错误!＝λ（λ>0）或错误!—错误!＝λ（λ>0），这是因为离心率不能确定焦点位置．错误!２．求适合下列条件的双曲线的标准方程：（１）虚轴长为１２，离心率为错误!；（２）焦点在x轴上，离心率为错误!，且过点（—５,３）；（３）顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±错误!x.[解] （１）设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１（a>0，b>0）．由题意知２b＝１２，错误!＝错误!且c２＝a２＋b２，∴b＝6，c＝１0，a＝8，∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．（２）∵e＝错误!＝错误!，∴c＝错误!a，b２＝c２—a２＝a２.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１（a>0）．把点（—５,３）代入方程，解得a２＝１6．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１．（３）设以y＝±错误!x为渐近线的双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），当λ>0时，a２＝４λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝错误!.当λ<0时，a２＝—9λ，∴２a＝２错误!＝6⇒λ＝—１．∴双曲线的标准方程为错误!—错误!＝１或错误!—错误!＝１．双曲线的离心率问题１．若过双曲线右焦点的直线l与双曲线的一条渐近线平行，则该直线与双曲线有几个交点？提示：有且只有一个．２．若探究１中的直线l与双曲线右支有且只有一个交点，则l的斜率与双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）中的a，b存在怎样的关系？提示：直线l的斜率k≤错误!.【例３】（１）设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝１２0°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________；（２）已知双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的范围是________．[思路点拨] （１）根据图形并由双曲线的定义确定a与c的关系求出离心率；（２）可以通过图形借助直线与双曲线的关系，因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则必有错误!≥tan 60°.（１）错误!（２）[２，＋∞）[（１）由题意２c＝|AB|＝|BC|，所以|AC|＝２×２c×sin 60°＝２错误!c，由双曲线的定义，有２a＝|AC|—|BC|＝２错误!c—２c⇒a＝（错误!—１）c，∴e＝错误!＝错误!＝错误!.（２）因为双曲线渐近线的斜率为k＝错误!，直线的斜率为k１＝tan 60°＝错误!，故有错误!≥错误!，所以e＝错误!＝错误!≥错误!＝２，所以所求离心率的取值范围是e≥２．]双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围.求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系，由于a，b，c三者具有固定的关系，因此由题目条件找到它们中任意两个的等量关系或不等关系，都能转化为离心率的方程或不等式，从而求得离心率的值或范围.错误!３．（１）如图，F１和F２分别是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的两个焦点，A，B是以O 为圆心、以|OF１|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F２AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．（２）已知点F是双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．（１）错误!＋１（２）（１,２）[（１）∵|F１F２|＝２c，且|OF１|＝|OA|＝|OF２|＝c，∴△AF１F２为直角三角形．又∵△F２AB为等边三角形，∴|AF２|＝错误!c，|AF１|＝c.由双曲线的定义知错误!c—c＝２a，∴e＝错误!＝错误!＝错误!＋１．（２）如图，要使△ABE为锐角三角形，只需∠AEB为锐角，由双曲线对称性知△ABE为等腰三角形，从而只需满足∠AEF<４５°.又当x＝—c时，y＝错误!，∴tan∠AEF＝错误!＝错误!<１，∴e２—e—２<0，又e>１，∴１<e<２．]１．渐近线是双曲线特有的性质．两方程联系密切，把双曲线的标准方程错误!—错误!＝１（a>0，b>0）右边的常数１换为0，就是渐近线方程．反之由渐近线方程ax±by＝0变为a２x２—b２y２＝λ（λ≠0），再结合其他条件求得λ，可得双曲线方程．２．解决与几何图形有关的双曲线离心率问题常借助几何图形的性质建立等量或不等关系．１．判断正误（１）双曲线的焦点一定位于双曲线的实轴上．（）（２）若两条双曲线的焦点相同，则其渐近线也一定相同．（）（３）焦点在x轴上的双曲线的离心率越大，其渐近线斜率的绝对值就越大．（）（４）焦点在x轴上的双曲线与焦点在y轴上的双曲线不可能具有共同的渐近线．（５）等轴双曲线的离心率等于错误!. （）[答案] （１）√（２）×（３）√（４）×（５）√２．双曲线错误!—错误!＝１的渐近线方程是（）Ａ．y＝±错误!xＢ．y＝±错误!xＣ．y＝±错误!xＤ．y＝±错误!xC[双曲线的焦点在x轴上，且a＝２，b＝３，因此渐近线方程为y＝±错误!x.]３．若a>１，则双曲线错误!—y２＝１的离心率的取值范围是（）Ａ．（错误!，＋∞）Ｂ．（错误!，２）Ｃ．（１，错误!）Ｄ．（１,２）C[由题意得双曲线的离心率e＝错误!.即e２＝错误!＝１＋错误!.∵a>１，∴0<错误!<１，∴１<１＋错误!<２，∴１<e<错误!.]４．求满足下列条件的双曲线的标准方程：（１）两渐近线方程为y＝±错误!x，且经过点错误!；（２）以椭圆错误!＋错误!＝１的焦点为焦点，以直线y＝±错误!x为渐近线；（３）过点P（３，—错误!），离心率e＝错误!.[解] （１）∵双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴可设双曲线方程为错误!—错误!＝λ（λ≠0），将错误!代入方程，得λ＝２，故所求方程为错误!—错误!＝１．（２）设所求的双曲线方程为错误!—y２＝λ（λ>0），又双曲线的焦点为（±错误!，0），∴c２＝４λ＋λ＝１0，解得λ＝２．故所求的双曲线方程为错误!—错误!＝１．（３）若双曲线的实轴在x轴上，设错误!—错误!＝１为所求．由e＝错误!，得错误!＝错误!. １由点P（３，—错误!）在双曲线上，得错误!—错误!＝１．２由１２及a２＋b２＝c２，得a２＝１，b２＝错误!.若双曲线的实轴在y轴上，设错误!—错误!＝１为所求．同理有错误!＝错误!，错误!—错误!＝１，a２＋b２＝c２.解之，得b２＝—错误!（不符，舍去）．故所求双曲线方程为x２—４y２＝１．即x２—错误!＝１．。
双曲线的几何性质教案
双曲线的几何性质教案【教案】一、教学目标：1.了解双曲线的定义及基本特点；2.学习双曲线的标准方程；3.掌握双曲线的几何性质。
二、教学重点：1.学习双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的几何性质。
三、教学内容：1.双曲线的定义及基本特点：双曲线是平面上一类特殊的曲线，与椭圆和抛物线相似，它们都是二次曲线。
双曲线的特点是曲线上的每一点到两个固定点（称为焦点）的距离之差等于一个常数（称为离心率）的绝对值。
双曲线有两条分支，两个焦点分别位于两条分支的焦点处。
两条分支无限延伸，且永不相交。
2.双曲线的标准方程：标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 或$\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$。
其中，a为双曲线横轴方向的半轴长，b为双曲线纵轴方向的半轴长。
3.双曲线的几何性质：(1) 对称性：双曲线关于x轴、y轴对称，关于原点对称；(2) 焦点性质：曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于离心率的绝对值；(3) 焦点到顶点的距离等于半轴长a；(4) 曲线和渐近线的关系：当$x\to+\infty$或$x\to-\infty$时，曲线趋于渐近线$y=\pm\frac{b}{a}x$；(5) 端点位置：双曲线与横轴和纵轴的交点分别称为端点，位于横轴上的端点坐标为$(\pm a, 0)$，位于纵轴上的端点坐标为$(0, \pm b)$；(6) 曲线的拐点：双曲线没有拐点。
四、教学过程：1.引入双曲线的概念，通过图像展示和对比椭圆、抛物线等曲线的差异，激发学生的兴趣。
2.介绍双曲线的定义及基本特点：说明双曲线与焦点、离心率的关系，引导学生思考对称性、焦点性质等几何特征。
3.讲解双曲线的标准方程：通过代入具体的数值，给予学生实际的例子，帮助他们理解标准方程的含义。
4.分析双曲线的几何性质：依次介绍对称性、焦点性质、焦点到顶点的距离、曲线和渐近线的关系、端点位置以及曲线的拐点等重要几何性质。
双曲线的简单几何性质精品教案
双曲线的简单几何性质章节名称双曲线的简单几何性质（第二课时）本节（课）教课内容剖析数学发展观以为：数学好像其余事物同样，是不停在运动、变化中发展的，又在不停发展中显现新的活力与生命。
学生在学习一个数学新知识时，若能鉴于数学发展观，从问题的本质下手，对问题的条件、结论及结题方法等方面进行商讨，在相对完好的运动发展的过程中领会到新知识的应用价值，那么这样的学习不不过深刻有效的，并且是风趣的。
鉴于以上考虑，在教课上做了以下设计：在网络环境下，以网页为载体，借助《几何画板》强盛的动向演示功能，经过大批自主实验（包含察看实验、考证明验、研究实验等）让学生认识圆锥曲线定义的本质，熟习圆锥曲线的性质，掌握直线与圆锥曲线地点关系的要点。
本节课是在学生借助图象用类比法学习了双曲线的简单几何性质的基础上的一节以复习和研究为主的课。
依照的课程标准1．认识圆锥曲线的本质背景，感觉圆锥曲线在刻画现实世界和解决本质问题中的作用。
2．经历从详细情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握他们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
3．认识双曲线的定义、几何图形和标准方策还可以够，指导双曲线的有关性质。
4．能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的地点关系）和本质问题。
5．经过圆锥曲线的学习，进一步领会数形联合的思想。
本节（课）教课目的1．知识与技术（ 1）类比椭圆的几何性质，复习稳固双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等；（ 2）能娴熟运用双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程、极点、离心率等性质解题；（3）经过数学实验，研究直线与双曲线的交点个数问题，掌握用方程与不等式思想解决分析几何问题。
2．过程与方法（1）运用类比复习法，复习稳固椭圆和双曲线的几何性质，并学会划分它们的异同，培育学生独立研究、贯通融会的能力；（2）联合双曲线的图形特色，娴熟运用双曲线的几何性质解题，感悟数与形的交融，掌握数形联合思想；（3）先利用数学软件研究直线与双曲线的地点关系，从而用方程与不等式的方法求解，考证察看结果，培育学生的发现问题、解决问题的能力，掌握方程与不等式相联合解决分析几何问题的方法。
高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修
高二数学 8.4双曲线的几何性质(备课资料)大纲人教版必修一、双曲线的简单几何性质的学习对双曲线性质的讨论是我们又一次用曲线方程研究曲线性质的方法的学习，因此，在教学中，应尽力注意让学生对这种方法从思想上有一定的认识，并逐渐形成一种应用意识、1、问题：教学双曲线的渐近线时，应注意些什么？答：（1）使学生明确双曲线的渐近线是哪两条直线，过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线，画双曲线时，应先画出它的渐近线、（2）使学生理解“渐近”两字的含义，当双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近，接近的程度是无限的，也可以这样理解：当双曲线上的动点M沿着双曲线无限远离双曲线的中心时，点M到这条直线的距离逐渐变小而无限趋近于0、(3)使学生掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的求法、最简单且实用的方法是：把双曲线方程中等号右边为1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程、（4）使学生掌握根据双曲线的渐近线方程求出双曲线方程的求法、简单且实用的方法是：如果两条渐逝线的方程为AxBy=0，那么双曲线的方程为（Ax+By）（Ax-By)=m，这里m是待定系数，其值可由题目中的已知条件确定、2、双曲线几何性质的简单应用［例1］求与双曲线共渐近线且过A（2，-3）点的双曲线方程及离心率、解法一：双曲线的渐近线方程为：y=x（1）设所求双曲线方程为∵,∴b=a ①∵A(2,-3)在双曲线上∴ ②由①-②，得方程组无解（2）设双曲线方程为∵,∴b=a ③∵A(2,-3)在双曲线上∴ ④由③④得a2=,b2=4∴所求双曲线方程为且离心率e=解法二：设与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)∵点A（2，-3）在双曲线上∴λ=∴所求双曲线方程为即评述：（1）很显然，解法二优于解法一、（2）不难证明与双曲线共渐近线的双曲线方程为(λ≠0)、一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程(λ≠0)求双曲线方程较为方便、通常是根据题设中的另一条件确定参数λ、（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的、教学中，要引起重视、二、在研究双曲线的几何性质基础上，我们应对根据曲线方程作出曲线图形感到得心应手［例2］作方程x=的图象、分析：∵x=∴x≥1∴x2-y2=1∴方程图象如右图，即表示双曲线x2-y2=1的右支、［例3］作方程y=的图象、分析：∵y=∴方程图象应该是圆x2+y2=1及双曲线x2-y2=1在x轴上方的图象、请读者自行完成、评述：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C 的方程是f(x,y)=0,那么点P（x0,y0）在曲线C上的充要条件是f(x0,y0)=0”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分、三、参考练习题1、双曲线的实轴长等于______，虚轴长等于______，焦点坐标是______，离心率是______，渐近线方程是______ 、答案：24 F1（-3，0），F2（3，0） y=x2、(2003年高考文科卷第6小题)双曲线虚轴的一个端点为M,两个焦点F\、F2，∠F1MF2=120，则双曲线的离心率为（）A、B、C、D、答案：B3、已知双曲线的离心率等于2，且过点M（2，-3），此双曲线标准方程是______、答案：●备课资料一、椭圆与双曲线标准方程和图形、性质如下表椭圆双曲线方程图形顶点坐标（a,0）(0,b)(0,a)(b,0)(a,0)(0,a)对称轴x=0,y=0焦点坐标(c,0)(0,c)(c,0)(0,c)对称中心（0，0）离心率准线方程渐近线方程二、双曲线标准方程的求法［例1］求以曲线2x2+y2-4x-10=0和y2=2x-2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程、分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数、解：∵2x2+y2-4x-10=0y2=2x-2∴∴渐近线方程为y=x当焦点在x轴上时，由且a=6,得b=4、∴所求双曲线方程为当焦点在y轴上时，由,且a=6,得b=9、∴所求双曲线方程为评述：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握、（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成、［例2］已知双曲线的渐近线方程为3x2y=0，两条准线间的距离为,求双曲线标准方程、分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程、解：∵双曲线渐近线方程为y=x∴设双曲线方程为(λ≠0)（1）若λ＞0,则a2=4λ,b2=9λ∴准线方程为：x=∴∴λ=4(2)若λ＜0,则a2=-9λ,b2=-4λ∴准线方程为：y=∴∴λ=-∴所求双曲线方程为：或评述：（1）准确及时地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便、（2）通过待定系数法求出参数N、［例3］中心在原点，一个焦点为F（1，0）的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲线标准方程、解：设双曲线的标准方程为,则解得∴为所求双曲线的标准方程、评述：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧、［例4］求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P（1，-3）且离心率为的双曲线标准方程、解：设所求双曲线方程为(k≠0)则∴∴k=-8∴所求双曲线方程为评述：（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率e=是双曲线的等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：设等轴双曲线x2-y2=m2(m＞0)则a2=b2=m2,∴c2=a2+b2=2m2∴c=m∴e=反之，如果一个双曲线的离心率e=、∴∴c=a,c2=2a2∴a2+b2=2a2∴a2=b2,a=b∴双曲线是等轴双曲线（2）读者还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等、三、双曲线比值（第二）定义的应用［例5］已知点A（3，0），F（2，0），在双曲线x2-=1上求一点P，使|PA|+|PF|的值最小、解：∵a=1,b=∴c=2∴e=2设点P到与焦点F（2，0）相应准线的距离为d则=2∴|PF|=d∴|PA|+|PF|=|PA|+d至此，将问题转化成在双曲线上求一点P，使P到定点A的距离与到准线距离和最小、即到定点A的距离与到准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，解之得，点P（，2）评述：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简单、教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力、四、参考练习题1一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2，则e1+e2的最小值为（）A、B、2C、2D、4解析：设这对共轭双曲线的方程为和(a＞0,b＞0)∴e1=,e2=∴(e1+e2)2= ≥2+2+22=8当且仅当a=b时，等号成立、从而当a=b时，e1+e2取得最小值，而且最小值为2、答案：C2、一条双曲线的两条渐近线的夹角为2arctan,则该双曲线的离心率为（）A、或B、或C、或D、解析：两条直线夹角指的是两条直线相交所成的锐角或直角，设两条渐近线的夹角是θ，则θ=2arctan,从而tan∵tan∴=或∴e= 即：e=或e=答案：C备课资料参考例题[例]己知L1、L2是过点P（-，0）的两条互相垂直的直线，且L1、L2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，且分别为A1、B1和A2、B2、（1）求L1的斜率k1的取值范围；（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求| A2B2|的值、分析：本题涉及了两个基本问题：一是直线与双曲线相交于两点的判定问题，二是直线被双曲线截得的弦长问题（连续曲线上两点的线段叫曲线的弦）、前一个问题的思想是：直线与双曲线相交于两点方程组有两解一元二次方程有两个不等的实根判别式△>0;后一个问题的通常解法是不求交点坐标，当方程组经过消元化为一元二次方程后，利用一元二次方程根与系数的关系来解，即|AB|= =（其中k为直线的斜率）、解：（1）据题意，L1、L2的斜率都存在，因为L1过点P（-，0），且与双曲线有两个交点，故方程组①有两个不同的解、在方程组①中，消去y，整理得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0、②若k12-1=0,直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾、故k12-1≠0，即|k1|≠1、方程②的判别式为△1=（2k12）2-4(k12-1)(2k12-1)=4(3k12-1)、设L2的斜率为k2，因为L2过点P（-，0），-且与双曲线有两个交点，故方程组③有两个不同的解、在方程组③中消去y，整理得（k22-1）x2+2k22x+2k22-1=0、④同理有k22-1≠0，△2=4（3k22-1）、因为L1⊥L2，所以有k1k2=-1,于是L1、L2与双曲线各有两个交点的充要条件是∴k1∈（-，-1）∪（-1，-）∪（，1）∪（1，）、（2）双曲线y2-x2=1的顶点为（0，-1）、（0，1），取A1（0，1）时，有k1(0+)=1、解得k1=、∴k2=-,代入方程④得x2+4x+3=0、⑤设L2与双曲线的两个交点的坐标为A2（x1,y1）、B2（x2,y2）,则x1+x2=-4,x1x2=3、∴|A2B2|= =3、当取A1（0，-1）时，由双曲线y2-x2=1关于x轴对称，知|A2B2|=2、∴L1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2、注意：直线方程与双曲线方程消去y后，得（k12-1）x2+2k12x+2k12-1=0，绝对不能忽视对k12-1是否为零的讨论，仅仅从形式上认为是二次方程而去谈论△和根与系数的关系是毫无意义的，所以在解题过程中用反证法证一下k12-1≠0是非常必要的、备课资料“以定点为中点的二次曲线的弦所在直线方程”的求法[例]设M（a,b）为二次曲线F（x,y）=0的内部的一个定点，经过点M的直线与二曲线交于A、B两点，使得M为AB弦的中点，则直线AB方程为F（2a-x,2b-x）-F(x,y)=0、证明：设A、B两点坐标分别为A（x,y）、B（x1,y1）,于是有a=(x+x1),b=(y+y1),即x1=2a-x,y1=2b-y、∵A（x,y）,B(2a-x,2b-y)在曲线上,∴F(x,y)=0, ①F(2a-x,2b-y)=0、②以上两式相减得F（2a-x,2b-y）- F(x,y)=0、③∵①、②两式的两个方程的二次项系数相同，∴③一定是关于x、y的一次方程、又∵A、B两点坐标适合①、②、∴一定也适合③式、∴AB的直线方程为F（2a-x,2b-y）- F(x,y)=0、。
高二数学上 8.4 双曲线的几何性质(二) 教案 旧人教版
8.4 双曲线的几何性质（二）教学要求：更进一步掌握双曲线的几何性质，掌握用待定系数法求双曲线的标准方程，理解共轭双曲线的概念。
教学重点：掌握用待定系数法求双曲线的标准方程。
教学难点：理解共轭双曲线的定义和方程关系。
教学过程：一、复习准备：1.求双曲线的实轴长、虚轴长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。
y 2－8x 2＝32 x 2－9y 2＝812.叙述双曲线22a x －22b y ＝1的几何性质。
二、讲授新课：1.教学例题：①出示例：如图，双曲线自然通风塔的剖面，求此双曲线的方程。
②分析：方程是哪种形式？已知数据12可得出什么结论？如何求b ？ ③师生共求：设所求方程为2212x －22b y ＝1设点B(13,y 1)，点C(25,y 2)，→ 代入所设方程 →求出y 1、y 2→列式|y 1|＋|y 2|＝55求得b （24.5）④定义共轭双曲线：以双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线。
⑤练习：写出22a x －22b y ＝1的共轭双曲线方程。
⑥出示例：求证双曲线和它的共轭双曲线：有共同的渐近线；四个焦点在同圆上。
⑦分析→试证→图形帮助理解。
2.练习：25m C 下口①等轴双曲线的一个焦点是(-6,0)，求它的共轭双曲线的标准方程和渐近线方程。
②求与椭圆492x ＋242y ＝1有公共焦点，且离心率e ＝45的双曲线方程。
三、巩固练习：1.动圆C 与定圆C 1：（x ＋3）2＋y 2＝9、C 2：(x －3)2＋y 2＝1都外切，求动圆圆心的轨迹方程。
2.课堂作业：书P114 3 4、7题。
高二数学 第八章 圆锥曲线方程： 8.4双曲线的简单几何性质优秀教案
课题：8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来利用双曲线的方程研究双曲线的几何性质它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±bya x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
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8．4双曲线的简单几何性质教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质2．掌握标准方程中cb,的几何意义a,3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题教学重点：双曲线的渐近线及其得出过程教学难点：渐近线几何意义的证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节知识是讲完了双曲线及其标准方程之后，反过来它是教学大纲要求学生必须掌握的内容，也是高考的一个考点用坐标法研究几何问题，是数学中一个很大的课题，它包含了圆锥曲线知识的众多方面，这里对双曲线的几何性质的讨论以及利用性质来解题即是其中的一个重要部分坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”一章，是学 运动变化和对立统一的思想观点在第8章知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学利用图形启发引导学生理解渐近线的几何意义、弄通证明的关键；渐近线的位置、渐近线与双曲线张口之间的关系是学生学习离心率的概念、搞懂离心率与双曲线形状之间的关系的关键；要突破第二定义得出过程这个难点本节内容类似于“椭圆的简单的几何性质”，教学中也可以与其类比讲解，主要应指出它们的联系与区别 对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质，我们常利用它作出双曲线的草图，为说明这一点，教学时可以适当补充一些例题和习题 讲解完双曲线的渐近线后，要注意说明：反过来以1=±by a x 为渐近线的双曲线方程则是λ=-2222b y a x 对双曲线离心率进行教学时要指明它的大小反映的是双曲线的张口大小，而椭圆离心率的大小反映的是椭圆的扁平程度 同椭圆一样，双曲线有两种定义，教材上以例3的教学来引出它，我们讲课时要充分注意到此例题与后面的定义在教学上的逻辑关系，突出考虑学生认知心理的变化规律本节分三个课时：第一课时主要讲解双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线等几何性质，并补充一道变式例题；第二课时主要内容为离心率、教材中的例1、例2及一道变式例题；第三课时主要讲解教材中的例3、双曲线另一个定义、准线概念教学过程：一、复习引入：二、讲解新课：1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x 可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值 这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长 讲述：结合图形，讲解顶点和轴的概念，在双曲线方程12222=-b y a x 中，令y=0得a x ±=，故它与x 轴有两个交点()0,),0,(21a A a A -，且x 轴为双曲线12222=-by a x 的对称轴，0,),0,(21a A a A -称为双曲线的顶点(一般而言，曲线的顶点均指与其对称轴的交点)，而对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a. 在方程12222=-by a x 中令x=0得22b y -=，这个方程没有实数根，说明双曲线和Y 轴没有交点。
但Y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，这两个点在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b 要特别注意不要把虚轴与椭圆的短轴混淆双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异3．渐近线 过双曲线12222=-by a x 的两顶点21,A A ， 作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围 成一个矩形 矩形的两条对角线所在 直线方程是x a by ±=（0=±by a x ）， 这两条直线就是双曲线的渐近线 分析：要证明直线x a by ±=（0=±by a x ） 是双曲线12222=-by a x 的渐近线，即要证明 随着X 的增大，直线和曲线越来越靠拢也即要证曲线上的点到直线的距离｜MQ ｜越来越短，因此把问题转化为计算｜MQ ｜但因｜MQ ｜不好直接求得，因此又把问题转化为求｜MN ｜ 最后强调，对圆锥曲线 而言，渐近线是双曲线具有的性质22||||a x ab x a b MN MQ --=< ＝)(22a x x ab -- 22a x x ab-+=（||MQ 0−−→−∞→x ） 4．等轴双曲线a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线结合图形说明：a=b 时，双曲线方程变成222a y x =-(或)2b ，它的实轴和都等于2a(2b)，这时直线围成正方形，渐近线方程为y ±=它们互相垂直且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb ，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．双曲线的草图利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线焦点在y 轴的情况同学们自己研究7．离心率概念：双曲线的焦距与实轴长的比ac a c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ， 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔(1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；(2)渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约利用计算机动画先演示出“e 的大小”与“开口的阔窄”的关系，能让学生对此变化规律先形成直观理解；然后再用代数方法边板书边推导，这样就可化难为易，使学生对此规律有更深刻清晰的理解 这样做将有助于实在本节的这个难点8．离心率相同的双曲线(1)计算双曲线19422=-y x 的离心率0e ； (2)离心离为0e 的双曲线一定是19422=-y x 如果存在很多的话，它们能否用一个特有的形式表示呢？(3)离心率为213的双曲线有多少条？ 分析：2222)(1)(1kakb a b a b a a c e +=+=+==的关系式，并从中发现只要实现半轴和虚半轴各与a=2,b=3有相同的比k ：1(k>0)的双曲线，其离心率e 213 9．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 如191622=-y x 与16922=-x y 注意的区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线此即为共轭之意1） 性质：共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上2）确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1 3） 共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλky x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上三、讲解范例：例 1. 求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长,焦点坐标,离心率.解: 把方程化为标准方程得,1342222=-x y 可得:实半轴长: a=4 虚半轴长: b=3半焦距: 焦点坐标: (0,-5),(0,5)离心率:例二．求下列双曲线的范围、焦点、顶点、离心率53422=+=c 45==a c e（1）32822=-y x （2）422-=-y x（3）1254922-=-y x例2.已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴,它的一个焦点F （5，0）,且离心率e 可以使方程041)1(22=+--x e x 有相等的实根，求满足条件的双曲线方程例3.已知双曲线虚轴的一个端点为M, 两焦点分别 F 1 , F 2 , 且 12021=∠MF F , 则双曲线的离心率 为(B ) A ．3B ．26C ．36D ．33（参考例题）例1 求双曲线1422=-y x 的顶点坐标、焦点坐标，实半轴长、虚半轴长和渐近线方程，并作出草图分析：只要紧扣有关概念和方法，就易解答解：把方程化为标准方程1212222=-y x由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2． 顶点坐标是（－1，0），（1，0）5212222=+=+=b a c 焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．渐近线方程为021=±yx，即x y 2±= 例2 求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程分析：因所求的双曲线与已知双曲线共渐近线，故可先设出双曲线系，再把已知点代入，求得K 的值即可解：设与1342222=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程为λ=-222234y x则 λ=--22223)3(4)33( ，从而有16=λ所求双曲线的方程为99161122=-y x 例3求双曲线14416922=-x y 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 解：把方程化为标准方程1342222=-x y 由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3．5342222=+=+=b a c焦点的坐标是(0，－5)，(0，5)． 离心率45==a c e 渐近线方程为y x 43±=，即x y 34±=例4 双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55m ．选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m)．分析：本题建立合适的坐标系是关键。
注意到通风塔有三个特殊的截口圆：上口、下口、最小的一个截口。
显然，最小截口圆的圆心是双曲线的中心，直径是双曲线的实轴，所以以最小截口直径所在直线为X 轴，圆心为原点建立坐标系，则双曲线的方程具有最简单的形式。
解：如图所示，建立直角坐标系xOy ，使小圆的直径AA′在x 轴上，圆心与原点重合．这时，上、下口的直径CC′、BB′平行于x 轴，且|CC′|=13×2(m)，|BB′|=25×2(m)．设双曲线的方程为12222=-by a x )0,0(>>b a令点C 的坐标为(13，y)，则点B 的坐标为(25，y －55)．因为点B 、C 在双曲线上，所以1)55(12252222=--b y ① 且112132222=-by ② 解方程组，得125by =（负值舍去）代入方程①，得)55125(12252222=--bb化简得19b 2＋275b －18150＝0 ③ 解方程③(使用计算器计算)，得 b≈25(m)．所以所求双曲线方程为62514422=-y x 点评： 这是一个有实际意义的题目．解这类题目时，首先要解决以下两个问题：(1)选择适当的坐标系；(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来． 四、课堂练习：1．下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是12)(12)(1164)(1416)(22222222=-=-=-=-y x D y x C y x B y x A 答案：A2 .过点(3,0)的直线l 与双曲线4x 2-9y 2=36只有一个公共点,则直线l 共有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 答案：C3 .若方程ak 4y a k 3x 22-++=1表示双曲线，其中a 为负常数，则k 的取值范围是( )(A)(3a ,-4a ) (B)(4a ,-3a ) (C)(-3a ,4a ) (D)(-∞,4a )∪(-3a,+∞)答案：B4 .中心在原点，一个焦点为(3，0)，一条渐近线方程2x-3y=0的双曲线方程是(A)138********x y -= (B)133********x y -= (C)536554122x y -= (D)554536122x y -= 答案：A5 .与双曲线x y 22916-=λ有共同的渐近线，且一顶点为(0，9)的双曲线的方程是（ ）(A)x y 22144811-= (B)--=x y 22144811 (C)x y 221691-= (D)-+=x y 22274811(/) 答案：D6 .一双曲线焦点的坐标、离心率分别为(±5，0)、32，则它的共轭双曲线的焦点坐标、离心率分别是 （ ） (A)(0，±5)，35(B)(0，±532)， (C)(0，±532)， (D)(0，±535)，答案：A7 .双曲线2kx 2-ky 2=1的一焦点是F(0，4)，则k 等于 ( )(A)-3/32 (B)3/32 (C)-3/16 (D)3/16答案：A1 .方程mx 2＋ny 2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是 B(A)(0,±-m n ) (B)(0,±-n m ) (C)(±-m n ,0) (D)(±-n m ,0)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 D(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点A }32,3(-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是 (C ) （A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）14 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( A )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( C )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 D(A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57 .已知双曲线b 2x 2－a 2y 2 = a 2b 2的两渐近线的夹角为2α，则离心率e 为(C )(A)arcsin α (B)αcos ba (C)αsec (D)tg2α8 .一条直线与双曲线两支交点个数最多为 ( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)49 .双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y ＋c = 0，则准线方程为 ( D ) (A)5162±=x (B)5162±=y (C)592±=x (D)592±=y10 .与双曲线x m y n22+=1(mn<0)共轭的双曲线方程是 ( D ) (A)-+=x m y n221 (B)x m y n221-= (C)x m y n221-=- (D)x m y n221+=-五、小结 ：双曲线的范围、对称性、中心、顶点、实轴和虚轴、实轴长、虚轴长、渐近线方程、等轴双曲线；双曲线草图的画法；双曲线12222=-by a x 的渐近线是x a by ±=，但反过来此渐近线对应的双曲线则是)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 六、课后作业：七、板书设计（略） 八、课后记：。