公历和儒略日

第 1 讲 公历和儒略日1. 时间的计量时间计量是天文计算的第一个基础.时间概念的发生,源于人类生活生产的需要.白 昼和黑夜交替,月圆和月缺轮换,炎夏和寒冬往复,自然界中这些周期发生的现象与人类的 生存息息相关,很自然地成为计时的依据,抽象出日,月和年的概念.把这些基本元素组织 成一个协调实用的计时系统,就产生了历法. 南京东郊风景如画的紫金山第三峰上,座 落着著名的紫金山天文台.台区内陈列着一组 堪称国宝级文物的古代天文仪器.其中一台高 3.56 米的仪器,由一具平卧的圭和一具竖立的 表组成,叫做圭表(图 1) .这是一种起源可以 追溯到远古时代的计时仪器.它依南北子午线 方向水平安置,根据正午时刻落在圭尺上的表 的影子的长度测定时间.表影所反映的太阳在 天球上每天一次经过南北子午圈的视运动,是 "太阳日"概念的来源.地球上每个人时时都 最直接地感受着这个天象.实际上它并不象我 们直观看到的那样单纯,而是稍许有点复杂, 它是地球绕轴自转和绕太阳公转两个运动合成 的反映.以太阳日为基本单位的计时系统,叫图 1 圭表,造于明代(1439 年)做世界时,简记为 UT1.天空中太阳相对于地面上南北子午圈的位置依赖于当地的地理经 度,时间的度量因而也与地理经度有关,不同地理经度的观测地有不同的时间,这就是地方 时.为了统一,规定世界时为本初子午线或零经度线上的地方时,这条经线经过英国伦敦的 格林尼治天文台,因此也叫做格林尼治时间. 比太阳的视运动简单一点的是遥远恒星每 天一次经过南北子午圈的视运动,它只是地球绕 轴自转一种运动的反映,与之相联系的概念是 "恒星日" .恒星日虽然单纯,却远离生活,因 而没有成为计时的基础.随着观测技术的发展和 观测精度的提高,到了 20 世纪,人们终于发现, 无论是地球的自转还是公转,都是不均匀的,都 不宜用作精密计时的尺度.从 1967 年开始,改 用原子振动的周期作为计时的尺度,规定铯原子 基态的两个超精细能级在零磁场下跃迁辐射振 荡 9,192,631,770 周所持续的时间为一个国际制 秒.时间计量从此与地球的运动脱钩,这样的时 间尺度叫做原子时,简记为 TAI.根据爱因斯坦 的广义相对论,时间的快慢与局部引力场有关. 在太阳系内,有两个处所是紧要的:一个是太阳 系质心,所有太阳系天体的运动都与它相联系; 一个是地球质心,包括地面观测者在内所有地球图 2 被天极周围恒星的周日运动1物体的运动都与它相联系. 这样就从原子时派生出两个时间系统: 以太阳系质心为参照的质 心力学时,简记为 TDB;以地球质心为参照的地球力学时,简记为 TT.这两个时间尺度差 别的主要部分的振幅为 1.7 毫秒,周期为一年,对于本书所讨论的问题,可以忽略不计.而 地球力学时与地面原子时的尺度是完全一样的,仅仅因为历史的原因两者的起点有 32.184 秒的差.两者间的转换公式是: TT = TAI + 32 .184 .s以更加稳定的原子时作为基准,世界时的不均匀性就显现了出来,经过积累会盈余或 短缺 1 秒,而且还有长期变慢的趋势.但世界时以地球的自转和公转运动为基础,既反映地 球在空间中的指向和方位,又符合人们千百年来的生活习惯,具有实际应用价值.为了协调 原子时和世界时两种不同的时间尺度,就产生了协调世界时 UTC,并且从 1979 年起成为世 界各国使用的正式时间标准.协调世界时的单位为国际制秒,但时刻保持与 UT1 一致.当 UTC 领先 UT1 0.8 秒时,增加一个闰秒;当 UTC 落后 UT1 0.8 秒时,减少一个闰秒.实施 闰秒的日期为 3 月 31 日,6 月 30 日,9 月 30 日和 12 月 31 日的最后一秒.这样,一日所含 的国际制秒数不再是常数 86400.闰秒的设置是由国际时间局(BIH)根据天文观测资料决 定和发布.2. 儒略历和格里历现在通用的公历是意大利医生兼哲学家里利乌斯(Aloysius Lilius,1510-1576)主持制 定,罗马教皇格里高利十三世(Gregory XIII)在 1582 年二月颁布实行的格里历.在此之前 通用的是儒略历, 这个历法是由埃及亚历山大的希腊数学家兼天文学家索西琴尼 (Sosigenes, 公元前一世纪)主持制定,罗马统治者盖厄斯·儒略·恺撒(Gaius Julius Caesar the Great, 约公元前 100—44 年)颁布,从公元前 46 年 1 月 1 日起实行的.这两种历法都是太阳历, 只考虑了太阳的周年视运动,不考虑月亮的视运动. 为了对太阳的视运动有个明确 的概念,我们先复习一下天球上有 关的点与线.当我们站在地球上某 处观测天象时,看到的只是日月星 辰在天空中的方位,它们似乎距离 我们同样遥远,镶嵌在那个叫做天 球的球面上,它们离开我们的远近 差别是无法直觉感受的.由于地球 的自转,整个天球都在自动向西地 转动,只有如图 2 所示的两个点是 不动的,他们就是天球的南北两 极.连接两极的直线就是叫做天轴 的转轴,垂直于天轴中分天球的大 圆是天球赤道,与赤道平行的圆周 是赤纬线.周日运动之外,恒星在 天球上没有容易察觉的其他运动,图 3. 春分点在天球上的位置似乎牢固地镶嵌在天球上.日月行星则不然,短期观测就能断定它们没有固定在天球上,而 是游走于恒星之间.如果用圭表逐日测量正午时刻表影的长度,就能发现它是变化的,这意2味着太阳每天正午在天空中的高度, 因而它的赤纬是变化的. 如果比较太阳和恒星从东方地 平升起或从西方地平落下的先后,就能发现太阳的赤经也是变化的.长期观测就可以确定, 太阳以一年为周期,沿着一个与赤道成 23.5 度倾角的大圆从西向东移动,这叫做太阳的周 年运动,而这个倾斜的大圆就是黄道.由于哥白尼(Nicolas Copernics,(1473-1543))的卓 越贡献,现在我们知道它们是地球绕太阳周年运动的反映.哥白尼之前人们的认识,却与我 们上面的直观大致相同. 黄道和赤道有两个交点, 太阳由天球南半球穿越赤道进入北半球的 那个交点叫做春分点; 另一个相反的交点就是秋分点. 太阳经过春分点的日子, 叫做春分日, 适逢北半球春耕生产的农忙季节, 自古就受到特别的重视, 春分点还被确定为天球上赤经起 算的原点.太阳周年视运动的周期,也就是太阳两次经过春分点的时间间隔叫做回归年,是 制定公历和农历历法的基本参数.现在采用的回归年长度的精确值是 365.24218968 日,即 365 日 5 小时 48 分钟 45.188 秒.此值每年缩短约 5.3 毫秒,换句话说,每一千年缩短约 5.3 秒.儒略历采用的回归年长度为 365.25 日,每世纪含 36525 日.取平年长为 365 日,闰年 长为 366 日.由于每 4 年含 1461 日,故需设一闰年.每世纪 25 个闰年,以公元年序数能被 4 整除的年份为闰年.但要注意公元前年序数的算法:公元前 1 年的年序数为 0,公元前 2 年的年序数为-1,等等.按照规则,公元前 5 年的年序数为-4,可被 4 整除,故为闰年. 儒略历的年长与精确值之差为0.00781日或11分钟14.8秒,因此太阳回到春分点的时刻每 年要提前11分钟14.8秒.公元前46年儒略历开始实行时,春分日在当年的3月23日(世界时, 下同) .公元325年召开第一次基督教主教尼塞(Nicée)会议时,春分日已经提前到了3月20 日.到1582年改历之时,这个差值已经积累到12.6996日,春分日提前到了3月10日.为了消 除这个差数,格里历颁布时规定1582年10月4日之后的那天为1582年10月15日,于是1583年 的春分日就回到了3月21日.按照这个规定,我们今天所说的公历系统,在1582年10月5之前 指的是儒略历,1582年10月14日之后,指的是格里历,而1582年10月5日至10月14日之间的 日期是不存在的.公元前46年之前,尽管儒略历还没有颁布, 格里历的年长为 365.2425 日,与精确值之差为 0.00031032 日或 26.8 秒,2700 年才会 积累起 1 日的误差.400 年含 146097 日,需要设 97 个闰年,比儒略历少 3 个.因此规定凡 年序数能被 100 整除而不能被 400 整除的年份仍为平年. 由于置闰的调节, 按格里历和世界 时计算的春分日,总在 3 月 20 日前后,有时会提前到 3 月 19 日,有时又会落后到 3 月 21 日. 进一步的说明: 下面一段的内容是为感兴趣的读者准备的,没有兴趣的读者可以跳过.回归年的长度 (中国天文年历) 365.24218968 - 0.0000000616(t - 2000) 日,t 为公元年序数.经简单 变 换 , 可 得 365.24231288 - 0.0000000616t , 格 里 历 年 长 与 回 归 年 长 之 差 为 0.00018712 - 0.0000000616t 日 . 积 分 这 个 式 子 , 即 可 得 到 格 里 历 的 平 均 误 差 :0.00018712t - 0.0000000308t 2 + C ,假定 1582 年时此差为零,求出常数 C = 0.37311 ,遂得差数为: 0.00018712t - 0.0000000308t 0.37311 日,不考虑日长本身的变化,到24298 年时,才会积累达到 1 日误差. 格里历月的设置继承了儒略历的规则.儒略历创立之时,将全年分为 12 个月,单数月 为大月,长 31 日,双数月为小月,长 30 日.只有 2 月的日数可变以调节平年和闰年,平 年长 29 日,闰年长 30 日.公元前 8 年,儒略·恺撒的继承人奥古斯都又从 2 月减去一日 加到 8 月使之成为大月,又把 9 月,11 月改为小月,10 月,12 月改为大月.这样 2 月的3日数成为平年 28 日,闰年 29 日.3. 儒略日从天文计算的角度,只要以日为单位连续计时就可以了,这就是儒略日.年月的设置更 多地是为了生活生产的需要,对于天文计算并不是必须的. 现在广泛使用的是法国学者史伽利日 (Joseph Justus Scaliger,1540-1609)提出的儒 略日系统.之所以叫做儒略日,与上面讲过的 儒略历并不相干,而是因为史伽利日的父亲, 意大利学者 Julius Caesar Scaliger (1484-1558) 与颁布实施儒略历的罗马统治者儒略·恺撒同 名. 系统以公元前 4713 年 1 月 1 日正午为起点, 向后连续计日,简记为 JD.积累到现在,已经 是一个很大的数字. 例如 2000 年 1 月 1 日地球 力学时 12 时的儒略日记法就是 JD 2451545.0, 这是一个很重要的时刻,特别记为 J2000.0.由 于儒略日数字位数太多,国际天文学联合会于 1973 年采用简化儒略日(MJD) ,其定义为 MJD = JD - 2400000.5. MJD 相应的起点是 1858 年 11 月 17 日世界时 0 时.图 4. 史伽利日读者要问,儒略日系统的历元为何选在公元前 4713 年 1 月 1 日正午?原来史伽利日构 造这个系统时考虑了三种周期:阳历日期与星期会合的 28 年(365.25×4×7 日)周期,阳 历与阴历会合的 19 年(29.53×(12×19+7)≈365.25×19=6939.75 日,这个数字等到我 们后面讲农历的时候再来解释)周期,以及罗马政府为征税登记财产的 15 年周期.取 3 者 的最小公倍数 7,980 年为儒略周期,然后向上推算,得到公元前 4713 年 1 月 1 日为这三个 周期同时开始的历元.换句话说,这一天既是公历元旦,又是农历初一和星期日,还是罗马 政府(假如有的话)登记财产的日子.这就是儒略日起算历元的由来. 儒略日的引入提出了两个需要解决的问题,就是怎样在公历年月日序数和儒略日序数之 间进行互换.下面先讨论如何由公历年月日序数 y, m, d 推算当天的儒略日序数 J ( y, m, d ) . 这个问题稍许有些难度,我们不妨后退一步,先把需要考虑的时间范围限制在一年之内,考 虑如何由月日序数 m, d 推算当天的积日 S ( m, d ) ,从中或许可以找到解决问题的思路.3.1.积日的计算一年里某日积日概念的引入,想法与儒略日的设立是一致的.即忽略月的存在,从年初 第一天起连续计日,直至年末的最后一天.只不过它的作用范围只限于一年之内,到了下一 年再重新开始计算,不像儒略周期那样长达 7,980 年.这样,年,特别是闰年的因素就不必 考虑了.1 月 1 日的积日为 1,12 月 31 日的积日平年时为 365,闰年时为 366. 积日的计算原本并无难处, 却由于 2 月的特殊情形而变得复杂了. 凯撒把闰月设在 2 月, 奥古斯都从 2 月减去一日,都缘于 2 月是古罗马处决死囚的凶月,颇具人道意味.但由于闰4月设在 2 月,2 月的日数变得不唯一,必须按平年和闰年加以调节,这就影响到以后十个月 份的积日也不唯一.设想一下,如果把闰月设在年末的最后一天,那么除了这一天之外,一 年中所有其他日子的积日数都是唯一不变的,包括每月 0 日的积日,问题就变得简单了. 但是,闰月在二月的设置尽管有不便之处,却不是随便可以更改的.我们最好换一个思 路考虑,能否在计算的过程中,把 3 月当作当年的第一个月,而把次年的 2 月当作当年的最 后一个月?只要把次年的 1 月和 2 月称为当年的 13 月和 14 月, 每年由 3—14 共十二个月组 成, 这样一来, 闰月落在了一年的最后一个月, 只要计算完毕后再恢复原来年月的归属关系, 困难就迎刃而解了. 这样安排之下,对于月序数为 m ,日序数为 d 的一天,对应的积日可以表示成:S (m, d ) = S 0 (m) + d(3 ≤ m ≤ 14, d ≤ 31)(1)式中 S 0 ( m) 是这个月 0 日的积日,叫做月首积日.日序数为 0 的日子原本是不存在的,引 入它只是为了计算的方便.由 4 月 1 日前推 1 天,就是 3 月 31 日,也就是 4 月 0 日,3 月 0 日应是上年 14 月的最后一天, 依上年是否闰年而分别是 14 月 29 日和 28 日, 其余依此类推. 月首积日的计算有下面的公式可用:S 0 (m) = Floor (30.6 * (m + 1)) 122(3 ≤ m ≤ 14)(2)公式中的符号 Floor 是实数向下取整运算, Floor (x) 代表不大于括号中实数 x 的最大整数, 数学书中常用 [ x] 表示. 我们这里由于接着要讲编程, 故直接借用了程序语言的表达式. (2) 式的正确性,读者可以自行验证.结合(1)(2)两式,就得到了计算积日的公式: ,S (m, d ) = Floor (30.6 * (m + 1)) + d 122(3 ≤ m ≤ 14, d ≤ 31)(3)以上的思考过程带给我们如下的启发:类似于求取积日的做法,如果我们能求出当年 3 月 0 日的儒略日 J 0 ( y ) ,那么当天的儒略日 J ( y, m, d ) 就可以表示成J ( y, m, d ) = J 0 ( y ) + S (m, d )问题归结为如何求取年首儒略日.(4)3. 2. 儒略日的计算从公元 1582 年 10 月 4 日往前,都按儒略历计算,从闰年后一年开始,到下一个闰年为 止,每 4 年一个周期,总日数是 1461.儒略日历元原本是公元前 4713 年 1 月 1 日正午,按 我们在上一小节中对于年月序数的约定,应改为公元前 4714 年 13 月 1 日世界时 12 时,但 这年是周期的第 4 年,这个周期应开始于公元前 4717(或-4716)年 3 月 1 日,这天 1.0 日 的儒略日是-1401.5.因此年首儒略日为 J 0 ( y ) = Floor (365.25 * ( y + 4716.0)) 1402.5 , 稍作简化得到:J 0 ( y ) = Floor (365.25 * y ) + 1721116.5( y ≤ 1582)(5)5此式中 Floor 函数的自变量可能是负值,因此不能用另一个类似的函数 Int 代替. Floor 是 向下取整, Int 是向零取整,两者对正实数的作用相同,对负实数的作用不同. 从公元 1582 年 10 月 15 日往后,要按格里历计算,这天的儒略日是 2299160.5.假定从 公元元年 3 月 1 日起都按格里历的规则置闰,则到公元 y 年时要比儒略历少置Floor ( y / 100.0) Floor ( y / 400.0) 个闰.但这个规则直到 1600 年才被实行,此前的 12个闰并没有设置,不应该减去;而实行格里历时跳过的 10 天又应该减去,由此得到格里历 年首儒略日:J 0 ( y ) = Floor (365.25 * y ) Floor ( y / 100.0) + Floor ( y / 400.0) + 1721118.5( y ≥ 1582)(5)(6)两式可以统一写成如下形式: ,(6)J 0 ( y ) = Floor (365.25 * y ) + w + 1721116.5其中(7)0 w= Floor ( y / 100.0) + Floor ( y / 400.0) + 2( y ≤ 1582) ( y ≥ 1582)(8)当 y = 1582 时, w 的具体取值尚需根据月日序数判断.以(3)(7)两式代入(4)式,得: ,J ( y, m, d ) = Floor (365.25 * y ) + Floor (30.6 * (m + 1)) + d + w + 1720994.5由给定的年月日序数求对应儒略日的问题至此完全解决.(9)3.3.儒略日计算的计算机语言实现上述算法可以用一个 Pascal 语言写成的函数实现. 为了便于今后应用, 我们把表示一个 特定时刻的年月日及日小数的数据组织成如下记录类型: type TYmd=record year,month,day:integer; fday:extended; end; 分量 year,month 和 day 是整型变量,表示年月日序数,fday 为十字节浮点数,表 示日的小数部分,通过适当的换算可以得到时分秒数据. 程序文本如下,为便于阅读增加了适当的注释. function DateToJd(t:TYmd):extended; var u, w:extended; begin// with 语句表明语句括号 begin…end 之间的 year,month,day 和 fday 等分量的 // 公共变量名为 t6with t do begin// u 为表示日期的变量,整数部分为年序数,十分位和百分位为月序数,千分位及以后各位 // 日数u:=year+(month+day/100.0)/100.0;// 变换年月序数,见 3.1 节if month<2.5then begin month:=month+12; year:=year-1; end; w:=0; if u>1582.1014 then begin// 按格里历计算 ww:=year/100.0; w:=-int(w)+int(w/4.0)+2;// 检查并处理不存在的日期end else if u>1582.1004 then showmessage('Error Date');// 计算儒略日u:=floor(365.25*year) +floor(30.6*(month+1)) + day +w +1720994.5;// 返回儒略日,包括日的小数Result:=u+fday; end; end; 函数带有一个刚刚说明的 TYmd 类型的入口参数 t,其分量就是待转换的年月日及日小 数.函数内使用了两个局部工作变量:w 用于存放(8)式定义的同名参数;u 在开始时存 放一个以实数表示的年月日量,用于判别使用那种历法,以及入口的日期是否存在.当入口 日期不存在时,弹出一个消息框发出警告,并且按儒略历计算.然后用于存放儒略日的主要 部分,计算完毕后返回儒略日.注意日小数分量 fday 不参加儒略日的计算,直到最后才加 上去.4. 由儒略日求年月日现在来解决 3.1 节问题的逆问题,由儒略日求年月序数和日数.仿照前面的做法,先退 一步, 解决较简单的问题: 如何由积日求月序数和日数?这个问题可以归结为: 已知方程 (3) 左边的量 S ,求变量 m 和 d 的解.把未知量移到左边,已知量移到右边,方程整理成:Floor (30.6 * (m + 1)) + d = S + 122(3 ≤ m ≤ 14, d ≤ 31)(10)在数学上可以证明,方程(10)有如下形式的解:S + 122 ) 1 m = Floor ( 30.6 d = S + 122 Floor (30.6 * (m + 1)) (11)解得的 d 有可能为零,这时该日是上月的最后一日,将 m 的值减 1,代入第二式重新计算 d7即可. 现在回到由儒略日求年月序数和日数的问题.它是方程(9)问题的逆问题.这个方程 可以写成:Flooar (365.25 * y ) + S = J w 1721116.5(1 ≤ S ≤ 365)(12)问题归结为:已知方程(12)右边各量,求未知变量 y 和 S .按照求解方程(10)的同样 方法可得:J w 1721116.5 ) y = Flooar ( 365.25 S = J w + 1721116.5 Floor (365.25 * y ) (13)与方程(10)的情况相同,解得的 S 有可能为零,这时该日是上年的最后一日,将 y 的值 减 1,代入第二式重新计算 S 即可. 需要由儒略日 J 预先算出. 最后剩下的一个问题是, 方程 (12) 右边的 w 现在还不知道, 由于 w 通过(8)式与 y 联系,而 y 通过(13)式与 w 联系,因此 w 可以和 y 一道迭代解出. 用迭代方法求解方程是算法设计的重要技巧,我们将一再使用.请读者给予足够的关注.算 法如下面的 Wannier 图所示:s := J 1721116.5; w := 0; y := 1500; 迭代计算 y和w y1 := y; 迭代计算 y := Floor (( s w) / 365.25); (1, N ) until y = y1 {w:=-Floor(year/ 100 )+Floor(year/ 400 )+2; (重新计算w5 0,1) if J ≥ 2299160. 先取 w = 0 , y = 1500 作为初值,然后开始迭代计算,这是一个循环结构,表示为:迭代计算 {循环体(1, N ) until y = y1记号 (1, N ) 表示循环, until y = y1 是结束循环的条件.循环体的内容见上图,先保存 y 的 当前值到 y1 以备后用,再计算 y .如果在格里历的适用范围内,就要按 y 的新值重新计算w ,然后重新计算 y ,如此反复,直到 y 的值不再改变. "重新计算 w "是一个选择结构,表示为:( 0 ,1) if J ≥ 2299160.5可选操作 重新计算w {记号 (0,1) 表示选择, if J ≥ 2299160.5 是选择条件,儒略日 2299160.5 对应于 1582 年 10 月 15 日,这个条件给出了格里历的适用范围.8至此可以把儒略日求年月日的算法表示如图 5:分离日的小数部分送入分量fday 迭代计算年序数y和参数w 计算积日数S { S := S w; y := y 1; 重新计算y和S ( 0 ,1) if S = 0 按y的新值计算S 按(11)式计算月序数m和日数d m := m 1; 重新计算m和d ( 0 ,1) if d = 0 按m的新值计算d 图 5. 由儒略日求年月日算法的 Wanier 图 第一个操作是分离日的小数部分.目的是先分离出日小数送入分量 fday ,而把待处理 的儒略日规格化为小数部分是 0.5 的格式,这样它对应的日期就是世界时零时,而 fday 则 是一个小于 1 的正数.随后的两个选择结构,分别对应于积日 S = 0 和日期 d = 0 的情形, 也就是年首和月首的情形,这时需分别修改年序数和月序数,并重新计算积日和日期. 下面是用 Pascal 语言写成的实现由儒略日求年月日算法的函数: function JdToDate(jd:extended):TYmd; var w,s,d:extended; y1:integer; t:TYmd; begin with t do begin// 分离出日的小数部分,儒略日的小数部分为 0.5w:=Floor(jd)+0.5;// 调整日小数非负fday:=jd-w; if fday<0.0 then begin fday:=fday+1.0; w:=w-1.0; end;// 迭代计算 y 和 ws:=w-1721116.5; w:=0; year:=Floor(s/365.25); repeat y1:=year;9if jd>=2299160.5 then w:=-Floor(year/100)+Floor(year/400)+2; year:=Floor((s-w)/365.25); until year=y1; s:=s-w;// 暂时保存 sw:=s;// 积日s:=s-Floor(365.25*year); if s=0 then begin year:=year-1; s:=w-Floor(365.25*year); end; s:=s+122; month:=Floor(s/30.6)-1; d:=s-Floor(30.6*(month+1)); if d=0 then begin month:=month-1; d:=s-Floor(30.6*(month+1)); end;// 分离日和日的小数部分w:=d+fday; day:=Floor(w); fday:=w-day;// 化为自然年月序数if month>12 then begin month:=month-12;year:=year+1; end; end; Result:=t;end; 进一步的说明: 我们在第 4 小节中未加证明地给出了方程(10)的解(11) ,对数学有兴趣的读者可能 会有不足之感.为免此缺憾,特以引理的形式给出简短证明.对数学推导没有兴趣的读者尽 可跳过不看. 引理:如果Floor ( pN ) + M = K方程中 N , M , K 是整数, p 是实数,且满足 p > M ≥ 1 ,则有:(14)N = Floor ( K / p )(15)证明:根据 Floor 函数的定义,由(14)式,存在实数 0 ≤ δ < 1 使pN = K M + δ ,10即 p M p K N δ−−=， 另一方面，由所给条件有：110<≤<≤p M p p δ，即10<−<pM δ，引理由此得证。