二分法求区间内函数最小值
求最小值的方法
求最小值的方法
首先，我们来介绍一种常见的方法——导数法。
对于一个实数域上的函数，我们可以通过求解其导数为零的点来找到其极值点。
具体来说，我们可以按照以下步骤进行求解：
1. 首先，我们需要求出函数的导数；
2. 然后，我们将导数方程等于零，并解出方程得到临界点；
3. 最后，我们将临界点代入原函数中，求出对应的函数值，从而找到最小值点。
除了导数法，我们还可以使用二分法来求解最小值。
二分法是一种迭代求解的方法，其基本思想是通过不断缩小区间范围来逼近最小值点。
具体步骤如下：
1. 首先，我们需要确定一个初始的区间范围，该区间内包含了最小值点；
2. 然后，我们将该区间进行二分，得到两个子区间；
3. 接下来，我们需要比较两个子区间的函数值，然后选择函数
值较小的子区间作为新的搜索范围；
4. 最后，我们不断重复上述步骤，直到区间范围足够小，我们
就可以得到最小值点的近似解。
除了导数法和二分法，我们还可以使用拉格朗日乘数法来求解
最小值。
拉格朗日乘数法是一种约束条件下的极值求解方法，适用
于带有约束条件的优化问题。
具体步骤如下：
1. 首先，我们需要将原始函数和约束条件构造成拉格朗日函数；
2. 然后，我们需要求解拉格朗日函数的梯度，并令其等于零，
得到一组方程；
3. 最后，我们将方程组代入原始函数中，求解出最小值点。
综上所述，我们介绍了几种常见的求最小值的方法，包括导数法、二分法和拉格朗日乘数法。
在实际问题中，我们可以根据具体
情况选择合适的方法来求解最小值，从而得到最优解。
希望以上内
容对你有所帮助！。
用二分法求方程近似解的两个注意点
用二分法求方程近似解的两个注意点用二分法求方程近似解需要注意以下两个点:1.用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε； 第二步：求区间[a,b]的中点c ；第三步：计算f(c)：(1)若f(c)＝0，则c 就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)＜0，则令b ＝c （此时零点x 0∈(a ，c)）；(3)若f(c)·f(b)＜0，则令a ＝c （此时零点x 0∈(c ，b)）．根据这个步骤，各次区间的取舍根据的就是函数零点的存在性定理，即舍去区间端点函数值同号的区间，取区间端点函数值异号的区间．2.精确度与计算次数的关系：精确度是方程近似解的一个重要指标，它由计算次数决定．若初始区间是（a,b ），那么经过n 次取中点后，区间的长度是n b a 2||-，只要这个区间的长度小于精确度ε,那么这个区间内的任意一个值都可以作为方程的近似解，因此计算次数和精确度满足关系n b a 2||-＜ε，即n ＞]||[log 2εb a -，其中[ ]表示取整数，如[2.5]=2，][π＝3等．【例1】用二分法求方程x x 1ln =在（1,2）上的近似解，取中点c=1.5,则下一个有根区间是 .【分析】由区间端点处函数值的符号，根据函数零点的存在性定理解决．【解析】令f(x)=x x 1ln-, 则f(1)=-1<0,f(2)=,01ln 2ln 212ln =>=-e )25.1(ln 31325.1ln )5.1(2-=-=f <0， 所以f(1.5)·f(2)<0,故下一个有根区间是（1.5,2）故填（1.5,2）.【点评】用二分法求方程的近似解时，每一次取中点后，下一个有根区间的判断原则是：若中点函数值为零,则这个中点就是方程的解；若中点函数值不等于零．则下一个有根区间是区间端点函数值异号的区间．【例2】在用二分法求方程的近似解时，若初始区间是（1，5），精确度要求是0.001，则需要计算的次数是 ．【解析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系确定.设需计算n 次，则n 满足n 24＜0.001，即2n >4000.由于211=2048，212=4096,故计算12次就可以满足精确度要求．故填12.【点评】在用二分法求方程的近似解时，精确度与计算次数、区间长度之间存在紧密的联系,可以根据其中两个量求得另一个.当然,在实际求解过程中也可能用不到12次,也许11次,甚至10次即可解决问题，但前提是到结束时,区间的两个端点精确到与所要求的精确度的近似值相同.。
python 二分法解最小值
python 二分法解最小值二分法在求解函数的最小值问题中是一种非常有效的方法。
在使用二分法时，我们需要首先确定函数的定义域和值域，然后找到函数的最小值所在的区间。
接下来，我们将这个区间分成两部分，分别求出左半部分和右半部分的中点，并计算函数在这两个中点处的值。
如果函数在左半部分的中点处的值小于右半部分的中点处的值，那么我们就可以将右半部分的区间舍去，只保留左半部分的区间。
反之，如果函数在右半部分的中点处的值小于左半部分的中点处的值，那么我们就可以将左半部分的区间舍去，只保留右半部分的区间。
如此往复，直到我们找到函数的最小值。
下面是一个用Python 实现的二分法求解函数的最小值的例子：```pythondef f(x):return (x - 1) ** 2 + 2def binary_search_min(f, left, right, eps):while abs(right - left) > eps:mid = (left + right) / 2if f(mid) < f(mid + eps):right = midelse:left = midreturn (left + right) / 2print(binary_search_min(f, -10, 10, 0.0001))```在这个例子中，我们定义了一个函数 f(x) = (x - 1)^2 + 2，并使用二分法找到了这个函数的最小值。
binary_search_min 函数接受四个参数，分别是要求解的函数、定义域的左端点、定义域的右端点和精度 eps。
在函数中，我们首先计算出左半部分和右半部分的中点 mid，然后分别计算出这两个中点处的函数值。
如果左半部分的函数值小于右半部分的函数值，那么我们就可以将右半部分的区间舍去，只保留左半部分的区间。
反之，如果右半部分的函数值小于左半部分的函数值，那么我们就可以将左半部分的区间舍去，只保留右半部分的区间。
求极值的若干方法
求极值的若干方法求解函数的极值是数学分析中重要的问题之一、找出函数的极值可以帮助我们确定函数的最大值或最小值，并且有助于解决各种实际问题。
本文将介绍常见的求解极值的若干方法。
一、导数法（一阶导数法、二阶导数法）导数是函数在其中一点的变化率，求导数的过程可以帮助我们确定函数的增减性，从而找出函数的极值点。
常见的导数法包括一阶导数法和二阶导数法。
1.一阶导数法：首先求函数的一阶导函数，然后将导函数等于零，解出方程得到函数的临界点，再将临界点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
2.二阶导数法：首先求函数的二阶导函数，然后将二阶导函数等于零，解出方程得到函数的拐点，再将拐点代入函数，找出对应的函数值，最终从函数值中找出最大值或最小值。
二阶导数法可以帮助我们判断函数的临界点是极值点还是拐点。
二、边界法（最大最小值定理）边界法是基于最大最小值定理求解函数极值的方法。
最大最小值定理指出，在闭区间内的连续函数中，最大值和最小值一定存在。
因此，我们可以通过求解函数在闭区间端点和临界点处的函数值，找出函数的最大值或最小值。
三、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是用于求解带约束条件的极值问题的方法。
在求解极值问题时，如果还存在一些约束条件，可以引入拉格朗日乘数，通过构建拉格朗日函数，将约束条件加入目标函数中，然后求解拉格朗日函数的极值点。
最终，通过求解得到的极值点，再进行函数值的比较，找出最大值或最小值。
四、二分法二分法是一种在有序列表中查找特定元素的方法，也可以用于求解函数的极值。
二分法的基本思想是通过将区间一分为二，然后比较中间点与两侧点的大小关系，逐步缩小范围，最终找出函数的极值点。
二分法的效率较高，适用于一些连续单调函数。
五、牛顿法牛顿法是一种用于求解多项式函数的根的方法，也可以用于求解函数的极值。
牛顿法的基本思想是通过构建一个逼近曲线，以曲线与函数的交点为新的逼近值。
然后不断迭代逼近，最终找到函数的极值点。
二分法
是
3.“N 的意思是方程 3. N”的意思是方程 的解满足要求的精确度。 的解满足要求的精确度。
是 否
结束
求函数f(x)=x 2x例2 求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个为正数的零点 误差不超过0.1) (误差不超过0.1)
由上表的计算可知,区间 由上表的计算可知, [1.375,1.4375]的左 的左、 [1.375,1.4375]的左、右端点保留两 位有效数字所取的近似值都是1.4, 1.4,所 位有效数字所取的近似值都是1.4,所 1.4就是所求函数误差不超过0.1的 就是所求函数误差不超过0.1 以1.4就是所求函数误差不超过0.1的 一个正实数零点的近似值. 一个正实数零点的近似值.
x1=1 x2=2 f(x)=x2－2
m=(x1+x2)/2 f (m)=0 ？ 否 否 f(x1)f(m)＞0？ 是 x1=m x2=m 是 x1=m x2=m
否 |x1-x2|＜0.005？ 是 m=(x1+x2)/2
二分法解方程
输出所求的近似根m 结束
X2=(1.25+1.5)/2=1.375
f(x2)=-0.260<0
X3=(1.375+1.5)/2=1.4375 f(x3)=0.162>0
[1.375,1.4375] 0.0625
给定精确度，用二分法求函数零点x 给定精确度，用二分法求函数零点x0的步骤： 1：确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0 确定初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0 [a,b] a+b 求区间[a,b]的中点x [a,b]的中点 2：求区间[a,b]的中点x1＝ 2 计算： 判断： 3：计算：f(x1)判断：
《用二分法求函数的零点》 讲义
《用二分法求函数的零点》讲义一、什么是函数的零点在数学中，函数的零点指的是使得函数值为零的自变量的值。
简单来说，如果对于函数 f(x)，存在一个实数 c ，使得 f(c) ＝ 0 ，那么 c 就被称为函数 f(x) 的零点。
例如，对于函数 f(x) ＝ x 1 ，当 f(x) ＝ 0 时，即 x 1 ＝ 0 ，解得 x＝ 1 ，所以 1 就是函数 f(x) ＝ x 1 的零点。
函数的零点是函数图像与 x 轴交点的横坐标，它在方程求解、函数性质研究以及实际问题中都有着重要的意义。
二、为什么要用二分法求函数的零点在实际问题中，我们常常需要求出函数的零点，但很多函数的零点并不能通过简单的代数运算直接得出。
这时候，就需要用到一些数值方法来近似地求出零点，二分法就是其中一种简单而有效的方法。
二分法的基本思想是“逐步逼近”。
通过不断将区间一分为二，确定零点所在的子区间，然后重复这个过程，使包含零点的区间越来越小，从而得到零点的近似值。
与其他求零点的方法相比，二分法具有原理简单、易于理解和实现的优点，而且在一定条件下能够保证收敛到零点的近似值。
三、二分法的原理假设函数 f(x) 在区间 a, b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号（即 f(a) × f(b) ＜ 0 ），那么在区间（a, b) 内至少存在一个零点 c 。
我们取区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 ，计算 f(m) 。
如果 f(m) ＝ 0 ，那么 m 就是函数的零点。
如果 f(m) 与 f(a) 异号，那么零点就在区间 a, m 中；如果 f(m) 与 f(b) 异号，那么零点就在区间 m, b 中。
然后，我们再对新的区间重复上述步骤，不断缩小包含零点的区间，直到达到所需的精度。
四、二分法的具体步骤1、确定初始区间 a, b ，使得 f(a) × f(b) ＜ 0 。
2、计算区间 a, b 的中点 m ＝（a ＋ b) ／ 2 。
二分法的应用
二分法的应用函数与方程的思想贯穿了高中数学的始终，而且函数与方程紧密联系，函数的零点就是相应方程的实数根，研究二分法求方程的近似解问题，首先是通过估算，数形结合借助计算器、计算机等手段来确定一个零点所在的大致区间。
本文通过几个具体例子来看看二分法有何应用。
一、求方程的近似解=2在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解（精确到证明:设函数使f=23-6∵fl=-1<0,f2=4>0,又∵f是增函数，所以函数f=2＋3-6在区间[1,2]有唯一的零点，则方程6-3=2在区间[1,2]有唯一一个实数解．设该解为0，则0∈[1,2]，取1=，f=>0，F1·f<0，∴0∈1,．取2＝，f＝＞0，f1·f＜0，∴0∈1,．取3＝，f＝＜0，f·f＜0，∴0∈,．取4＝,f＝＜0，f·f＜0，∴0∈,1,25．∵|，∴可取0＝，则方程的实数解为0=点评：用二分法求方程实数解的思想是非常简明的、但是为了提高解的精确度，用二分法求方程实数解的过程又是较长的，有些计算不用计算工具甚至无法实施，所以需要借助科学计算器．二、判断方程解的个数在其定义域上是单调函数，证明f 至多有一个零点． 分析:不妨设f 在R 上是增函数，为证明f=0至多有一个实根，考虑用反证法证明．证明:假设f=0至少有两个不同的实根1,2，且不妨设1<2， 由题意得f 1＝O,f 2=0,∴f 1＝f 2①∵f 在定义域上是单调菌数，不妨设为增函数，由1＜2，则f 1<f 2②因此①②矛盾，假设不成立，故f=0三、求一定条件下的函数的零点=32-2-2的一个为正数的零点（精确到）解：由于f1=-2<0,f2=6>0,可取区间[1,2]作为计算的初始区间。
用二分法逐次计算，列表如下：由上表的计算可知，区间[,]的长度小于，所以这个区间的中点5≈=32-2-2的图象如图实际上还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值点评：给定精确度ε，用二分法求函数f 零点的近似值应该按课本P 73的三个步骤进行四、确定函数零点的个数例4．二次函数y=a 2bc 中,ac ＜0，则函数零点个数为 分析:∵c=f0,∴ac=af0<0,∴a 与f0异号即⎩⎨⎧<>0)0(0f a 或⎩⎨⎧><0)0(0f a ∴函数必有两零点．或∵ac＜0∴△＝b 2-4ac ＞0,∴函数有两个零点答案:2点评：用二分法求方程近似解，关键是判断近似解所在的区间（a,b），用二分法选定初始区间时，往往通过分析函数图象的变化趋势，并通过试验确定端点。
二分法及其matlab程序-经典
避免数值不稳定性
对于涉及大量计算或迭代的过程，要注意数值稳定性问题， 采取适当的算法或技巧，如使用稳定的算法、增加迭代次 数等。
利用MATLAB内置函数
二分法及其matlab程序-经典
目录
• 二分法基本原理 • MATLAB编程实现二分法 • 二分法在数值计算中应用举例 • MATLAB程序优化与改进策略 • 总结与展望
01
二分法基本原理
二分法定义与思想
定义
二分法是一种求解非线性方程近似根的有效算法，其基本思想是通过不断将区间一分为二，逐步缩小求解范围， 直到满足精度要求为止。
end
root = (a + b) / 2;
VS
关键代码片段展示
end
```
运行结果分析与讨论
• 假设我们要求解非线性方程f(x)=x^3-2x-5=0在 区间[2, 3]内的根，可以调用上述bisection函数进 行求解
运行结果分析与讨论
```matlab f = @(x) x^3 - 2*x - 5;
精度控制
当区间长度|b - a|小于给定 精度时，可取中点或任一端 点作为近似最优解。
求解矩阵特征值问题
• 特征多项式构建：对于n阶矩阵A，构建特征多项式f(λ) = |A - λI|。 • 初始区间选择：确定包含特征值的初始区间[a, b]。 • 二分迭代：取中点c = (a + b) / 2，计算f(c)。若f(c) == 0，则c为特征值；否则根据f(a)、f(b)、f(c)的大小关
缺点
二分法收敛速度较慢，需要多次迭代才能得 到精确解，且对于多峰函数或者复杂函数可 能无法找到全局最优解。