次函数的区间最值问题
求二次函数在某一区间上的最值
求二次函数在某一区间上的最值求二次函数在某一区间上的最值问题，是函数中的一个重要问题。
下面我就分别按以下的三种类型来详细讨论这类问题。
类型一：定轴定区间问题例1、已知函数()22[1,)x x a f x x x++=∈+∞，若对于任意的[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立， 求实数a 的取值范围。
略解：因为1x ≥时，()0f x >恒成立，所以220x x a ++>恒成立，即函数22y x x a =++ 在1x ≥时恒成立，又min 3y a =+，所以30a +>，即3a >-例2、若函数221(0,1)x x y a a a a =+->≠在区间[]1,1-的最大值为14，求a 的值 解一：设x t a =，即0t > ,那么()()222112f t t t t =+-=+- 当1a >时，1a t a -≤≤，此时，()2max 1214y a =+-= 3a ∴=当01a <<时，1a t a -≤≤，此时，2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= ∴3a =或13a = 解二：函数()212x y a =+- (0,1)a a >≠在区间[]1,1-上y 随x a 的增大而增大，当1a >时，()max xa a =，故()2max 1214y a =+-= 3a ∴= 当01a <<时，()max 1xa a = ，故 2max 11214y a ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 13a ∴= 综上3a =或13a = 类型二：动轴定区间问题例3、若函数23y x ax =++在区间[]1,1-的最小值为－3，求a 的值略解：原函数即为：22324a a y x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭ ① 若轴2a x =-在区间内，则11232a a f ⎧-≤-≤⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，即 222334a a -≤≤⎧⎪⎨-=-⎪⎩ ∴a ∈∅ ② 若轴2a x =-在区间右侧，则()1213a f ⎧->⎪⎨⎪=-⎩，即243a a <-⎧⎨+=-⎩ ∴7a =- ③ 若轴2a x =-在区间左侧，则()1213a f ⎧-<-⎪⎨⎪-=-⎩ ，即233a a >⎧⎨-=-⎩ ∴7a = 所以a 7=±类型三： 定轴动区间问题例4、若函数222y x x =-+在区间[],1m m +的最大值为5，求m 的值略解：原函数即为：()2()11f x x =-+① 若轴1x =在区间内左侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≤+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()15f m += 由上可解得：1122m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=±⎩，∴m ∈∅② 若轴1x =在区间内右侧，即()112111112m m m m m ≤≤+⎧⎪+⎨⎛⎫-≥+-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩或，这时()5f m = 由上可解得：10213m m m ⎧≤≤⎪⎨⎪=-=⎩或，∴m ∈∅ ③ 若轴1x =在区间左侧，即1m >，这时()15f m +=，由上可解得2m = ④ 若轴1x =在区间右侧，即11m +<，这时()5f m =，由上可解得1m =- 综上可知：12m m =-=或练习：是否存在实数a ,使函数()22f x x ax a =-+的定义域为[]11,-，值域为[]22,-；若存在，求出实数a的值，若不存在，说明理由. 答案：1a。
最全二次函数区间的最值问题(中考数学必考题型)
二次函数的最值问题二次函数的最值问题，是每年中考的必考题，也是考试难点，经常出现在压轴题的位置，解决二次函数的最值问题，特别是含参数的二次函数，一定要考虑二次函数的三个要素：开口方向，对称轴，自变量的取值范围，对于二次函数能够分析出三要素，二次函数的问题就迎刃而解了。
例1.对于二次函数342+-=x x y（1）求它的最小值和最大值.（2）当1≤x ≤4时，求它的最小值和最大值.（3）当-2≤x ≤1时，求它的最小值和最大值.（4）二次函数的最值与哪些因素有关？对于给定的范围，最值可能出现在哪些位置？练习1.二次函数y ＝x 2+2x ﹣5有（ ）A ．最大值﹣5B ．最小值﹣5C ．最大值﹣6D ．最小值﹣6练习2.在二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是（ ）A ．0，﹣4B ．0，﹣3C ．﹣3，﹣4D ．0，0练习3若抛物线y ＝﹣x 2+4x +k 的最大值为3，则k ＝ ．练习4（多元消参，利用平方的性质确定自变量的取值范围）若实数a 、b 满足a +b 2＝2，则a 2+5b 2的最小值为 ．练习5如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，求四边形OAPB 周长的最大值及点P 的横坐标练习6．（回归教材）如图，一张正方形纸板的边长为8cm ，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x （cm ），阴影部分的面积为y （cm 2）．（1）求y 关于x 的函数解析式并写出x 的取值范围；（2）当x 取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少．一、对开口方向（二次项前面系数）进行讨论例2.当 41≤≤x 时，二次函数a ax ax y 342+-= 的最大值等于6．求二次项系数a 的值练习1已知二次函数y ＝mx 2+2mx ﹣1（m ＞0）的最小值为﹣5，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．2D ．4练习2已知二次函数y ＝mx 2+（m 2﹣3）x +1，当x ＝﹣1时，y 取得最大值，则m ＝ ． 练习3已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，求m 的值二、对二次函数的对称轴的位置进行讨论例3.当 12≤≤x -时，二次函数a ax x y 342+-= 的最小值等于-1．求a 的值．变式1当﹣2≤x ≤1时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+1有最大值4，求实数m 的值．变式2当﹣1≤x ≤1时，函数y ＝﹣x 2﹣2mx +2n +1的最小值是﹣4，最大值是0，求m 、n 的值．三、对二次函数的x 取值范围进行讨论例4.当 2+≤≤a x a 时，二次函数a x x y 342+-= 的最大值等于-6．求a 的值．练习1.当a ﹣1≤x ≤a 时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，求a 的值．练习2.若t ≤x ≤t +2时，二次函数y ＝2x 2+4x +1的最大值为31，求t 的值练习3.已知二次函数y ＝﹣x 2+6x ﹣5．当t ≤x ≤t +3时，函数的最大值为m ，最小值为n ，若m ﹣n ＝3，求t 的值．练习4.设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于任何一个二次函数，它在给定的闭区间上都有最小值．求函数y ＝x 2﹣4x ﹣4在区间[t ﹣2，t ﹣1]（t 为任意实数）上的最小值y min 的解析式．练习5.若关于x 的函数y ，当t ﹣≤x ≤t +时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数h ＝，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．若函数y ＝﹣x 2+4x +k ，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数“h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．拓展：C 2的解析式为：y ＝a （x +2）2﹣3（a ＞0），当a ﹣4≤x ≤a ﹣2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．作业：1.矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是2.若实数x ，y 满足x +y 2＝3，设s ＝x 2+8y 2，则s 的取值范围是 ．3.已知二次函数y ＝ax 2+4x +a ﹣1的最小值为2，则a 的值为 ．4.已知实数满足x 2+3x ﹣y ﹣3＝0，则x +y 的最小值是 ．5.若二次函数y ＝﹣x 2+mx 在﹣2≤x ≤1时的最大值为5，则m 的值为6.当a ≤x ≤a +1时，函数y ＝x 2﹣2x +1的最小值为1，则a 的值为7.已知二次函数y =122+-ax ax ，当30≤≤x 时，y 的最大值为2，则a 的值为8.如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从A 点开始沿AB 边向点B 以1cm /s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm /s 的速度移动，则P 、Q 分别从A 、B 同时出发，经过多少秒钟，使△PBQ 的面积最大．9.设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．若二次函数y＝x2﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值．10．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．（1）b＝；（2）若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是．11.已知关于x的二次函数y1＝x2+bx+c（实数b，c为常数）．（1）若二次函数的图象经过点（0，4），对称轴为x＝1，求此二次函数的表达式；（2）若b2﹣c＝0，当b﹣3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；（3）记关于x的二次函数y2＝2x2+x+m，若在（1）的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值．12.已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围．（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好，求m，n的值．。
二次函数在闭区间上的最值问题
第三讲 二次函数在闭区间上的最值问题 一．知识点介绍1.区间的概念设a 、b 是两个实数，且a<b ，规定：说明：① 对于[a,b]，(a,b)，[a,b)，(a,b]都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度；②在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点；③实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x<b 的实数x 的全体分别表示为[a,+∞)、（a,+∞）、(-∞,b]、(-∞,b)。
我们把以上区间记为A ，若x 是A 中的一个数，就说x 属于A ，记作x ∈A 。
否则就说x 不属于A ，记作x ∉A 。
2. 二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在x ∈[α,β]上的最值： 当a>0时，有三种情况：从上述a>0的三种情况可得结论：（1）若[,]2baαβ-∈，则当2b x a =-时，2min4()24b ac b y f a a-=-=，它的最大值为()f α与()f β中较大的一个。
(2) 若[,]2baαβ-∉，则最大值为()f α与()f β中较大的一个，另一个即为最小值。
当a<0可作同样处理。
二．例题讲解：类型一“轴定区间定”例1：已知f(x)=x 2-x+2，当x 在以下区间内取值时，求f(x)的最大值与最小值。
(1) x ∈[-1,0] (2) x ∈[0,1] (3) x ∈[1,2]变式1：求y =的最值。
变式2：已知0≤x≤1，求y =的最值。
变式3：求函数y x =+的最小值。
类型二“轴变区间定”例2：求函数f(x)=2x 2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题在数学中，含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是一个常见且重要的数学概念。
这个问题涉及到求解一个含参数的二次函数在指定闭区间内的最大值或最小值，并且需要考虑参数对函数图像的影响。
在本文中，我们将深入探讨这个问题，并根据不同的参数取值情况给出具体的解决方法和结论。
1. 含参数的二次函数的一般形式我们来回顾一下含参数的二次函数的一般形式。
一个含参数的二次函数通常可以写成如下形式：\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]其中，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 分别是函数的参数，\(x\) 是自变量。
在这个函数中，参数 \(a\) 的取值会对函数的开口方向产生影响，参数 \(b\) 会对函数的位置产生影响，而参数 \(c\) 则会对函数的纵向平移产生影响。
在求解含参数的二次函数在闭区间上的最值问题时，我们需要关注这些参数的取值对函数图像的影响。
2. 含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法接下来，我们将按照从简到繁、由浅入深的方式来讨论含参数的二次函数在闭区间上的最值问题的求解方法。
我们将分析当参数 \(a\) 的取值为正、负和零时，函数图像的特点及最值的情况。
2.1 当参数 \(a\) 的取值为正时当参数 \(a\) 的取值为正时，函数的图像是一个开口向上的抛物线。
在闭区间上，这样的抛物线的最小值一定在抛物线的顶点处取得。
要求解函数在闭区间上的最小值，只需要找到抛物线的顶点，并判断这个顶点是否在给定的闭区间内。
2.2 当参数 \(a\) 的取值为负时当参数 \(a\) 的取值为负时，函数的图像是一个开口向下的抛物线。
同样地，在闭区间上，这样的抛物线的最大值一定在抛物线的顶点处取得。
要求解函数在闭区间上的最大值，也只需要找到抛物线的顶点，并判断这个顶点是否在给定的闭区间内。
2.3 当参数 \(a\) 的取值为零时当参数 \(a\) 的取值为零时，函数退化成一次函数或常数函数，最值情况可以直接通过函数的表达式和给定的闭区间进行分析和判断。
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题
含参数的二次函数在闭区间上的最值问题含参数的二次函数在闭区间上的最值问题导语：含参数的二次函数在闭区间上的最值问题是数学中常见的优化问题之一。
通过分析函数的性质和求导，我们可以找到函数在给定闭区间上的最大值或最小值。
本文将从简单到复杂的方式，深入探讨这个主题，并提供一些实际例子来帮助读者更好地理解。
引言: 含参数的二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为实数且a≠0。
在闭区间[a, b]上求函数的最值，可以通过以下步骤进行。
一、函数的性质分析1. 我们可以观察函数的开口方向。
如果a>0，函数开口向上，最值为最小值；如果a<0，函数开口向下，最值为最大值。
这个性质对于我们确定最值的区间非常重要。
2. 我们可以通过求导来确定函数的驻点。
驻点是指函数斜率为零的点，可能是最值点的候选。
对于f(x) = ax^2 + bx + c，求导得到f'(x) =2ax + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2a。
这个x值就是函数的驻点，我们需要判断它是否在闭区间[a, b]上。
3. 我们可以通过比较函数在闭区间的端点值和驻点值来确定最值。
根据前述观察，如果a>0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较小的值作为最小值；如果a<0，我们比较f(x)在[a, b]的端点值和驻点值，取较大的值作为最大值。
二、实际例子假设我们要找到函数f(x) = x^2 + bx + c在闭区间[1, 3]上的最小值。
1. 观察函数的开口方向。
由于a=1>0，说明函数开口向上，最值为最小值。
2. 求导。
对函数f(x)求导得f'(x) = 2x + b。
令f'(x) = 0，解得x = -b/2。
这个x值就是函数的驻点。
3. 比较端点值和驻点值。
在闭区间[1, 3]中，我们计算f(1)，f(3)和f(-b/2)的值。
初中数学最值问题总结
初中数学最值问题总结初中数学中的最值问题主要涉及到以下知识点：1. 一次函数的最值：一次函数 y = kx + b（k ≠ 0）在闭区间 [a, b] 上的最大值和最小值。
当 k > 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递增，最小值为 f(a)，最大值为 f(b)；当 k < 0 时，函数在区间 [a, b] 上单调递减，最小值为 f(b)，最大值为 f(a)。
2. 二次函数的最值：二次函数 y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的最值主要出现在顶点处。
对于开口向上的抛物线（a > 0），最小值出现在顶点处；对于开口向下的抛物线（a < 0），最大值出现在顶点处。
3. 反比例函数的最值：反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）在 x > 0 的范围内单调递减，所以最大值为 k/x = k/x₁，最小值为 k/x = k/x₂。
在 x < 0 的范围内单调递增，所以最小值为 k/x = k/x₁，最大值为 k/x = k/x₂。
4. 对数函数和指数函数的最值：对数函数和指数函数都有其定义域和值域，因此在定义域内求解最值需要考虑函数的性质和定义域的限制。
5. 利用基本不等式求最值：基本不等式如算术平均数大于等于几何平均数等，可用于求解一些特定形式的最值问题。
解决最值问题的一般步骤包括：1. 分析问题：明确最值是在什么条件下取得，以及这个最值是最大值还是最小值。
2. 选择合适的方法：根据问题的性质选择合适的方法来求解最值，如一次函数、二次函数、反比例函数等。
3. 建立数学模型：根据问题的要求建立相应的数学模型，利用适当的公式和不等式来求解最值。
4. 解方程或不等式：解方程或不等式得到最值的取值范围或具体数值。
5. 检验答案：对答案进行检验，确保其符合问题的实际情况。
通过以上知识点和解题步骤的总结，学生可以更好地理解和掌握初中数学中的最值问题，提高解决这类问题的能力。
二次函数的区间最值问题知识讲解
二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c
a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2
b x a =-处取得最小值244a
c b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。
高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。
2.动轴定区间。
3.定轴动区间。
下面我们来看例题。
二次函数区间最值问题解析
二次函数区间及最值问题解析对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值）：（1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值．（2）若2b n a<-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =．（3）若2b m a>-，如图③，当，x m =min y y =；当x n =，max y y =．（4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =，max y y =．【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】已知二次函数y ＝﹣x 2+2x +4，关于该函数在﹣2≤x ≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A ．有最大值4，有最小值0B ．有最大值0，有最小值﹣4C ．有最大值4，有最小值﹣4D ．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x ≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+2x +4＝﹣（x ﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x ＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x ≤2时，x ＝1时取得最大值5，当x ＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D ．【变式1-1】当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，则m ＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m 的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y ＝x 2﹣3x +m ＝（x −32）2+m −94，∴该函数开口向上，对称轴为x =32，∵当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝x 2﹣3x +m 最大值为5，∴当x ＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m ，解得m ＝1，故答案为：1．【变式1-2】已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m和M的值，从而求出M﹣m的值．【解答过程】解：原式可化为y＝（x﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y＝0时，x2﹣6x+5＝0，即（x﹣1）（x﹣5）＝0，解得x1＝1，x2＝5．如图：m＝﹣4，当x＝6时，y＝36﹣36+5＝5，即M＝5．则M﹣m＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，则m＝（）A．3B．﹣3或38C．3或−38D．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x＝﹣1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣2，解得：m＝3；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣2，解得：m=−38；故选：C．【变式2-1】已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，当x≤1时，y随x的增大而增大，且﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，则a的值为（）A．1B．34C．−35D．−14【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x≤1时，y随x的增大而增大，可以得到a的正负情况，然后根据﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，即可得到a的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣1＝a（x﹣2）2﹣4a﹣1，∴该函数的对称轴是直线x＝2，又∵当x≤1时，y随x的增大而增大，∴a＜0，∵当﹣1≤x≤6时，y的最小值为﹣4，∴x＝6时，y＝a×62﹣4a×6﹣1＝﹣4，解得a=−14，故选：D．【变式2-2】已知二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y的最小值为15，则a的值为（）A．1或﹣2B．−2或2C．﹣2D．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a＜0，然后由﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，可得x＝1时，y＝15，即可求出a．【解答过程】解：∵二次函数y＝2ax2+4ax+6a2+3（其中x是自变量），∴对称轴是直线x=−42×2=−1，∵当x≥2时，y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤1时，y的最小值为15，∴x＝1时，y＝2a+4a+6a2+3＝15，∴6a2+6a﹣12＝0，∴a2+a﹣2＝0，∴a＝1（不合题意舍去）或a＝﹣2．故选：C．【变式2-3】已知二次函数y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1（m≥0，n≥0），当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则mn的最大值为（）A．4B．6C．8D．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m，n的取值范围，将mn转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y=12（m﹣1）x2+（n﹣6）x+1的对称轴为直线x=6−K1，①当m＞1时，抛物线开口向上，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≥2，即2m+n≤8．解得n≤8﹣2m，∴mn≤m（8﹣2m），m（8﹣2m）＝﹣2（m﹣2）2+8，∴mn≤8．②当0≤m＜1时，抛物线开口向下，∵1≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴6−K1≤1，即m+n≤7，解得m≤7﹣n，∴mn≤n（7﹣n），n（7﹣n）＝﹣（n−72）2+494,∴mn≤494，∵0≤m＜1，∴此情况不存在．综上所述，mn最大值为8．【题型3二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−14，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，【变式3-3】已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．23B．−72C．3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得=−3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=3，∴+=3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴=−32（舍），故选：C．【题型四解答题中区间求最值】1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（–3，5），B（0，5）．抛物线y=-x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（-3，0）两点，交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当-4≤x ≤0时，求y 的最大值与最小值的积；(3)连接AB ，若二次函数y =-x 2+bx +c 的图象向上平移m (m >0)个单位时，与线段AB 有一个公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【答案】(1)223y x x =--+，(1,4)-(2)20-(3)1m =，或25m < 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．（2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x 的取值范围求解．（3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB 上，经过点A ，B 时m 的值，进而求解．（1）解：将(1,0)C ，(3,0)D -代入2y x bx c=-++得01093b c b c=-++⎧⎨=--+⎩，解得23=-⎧⎨=⎩b c ，2223(1)4y x x x ∴=--+=-++，∴抛物线顶点坐标为(1,4)-．（2）解： 抛物线开口向下，顶点坐标为(1,4)-，∴函数最大值为4y =，对称轴为直线=1x -，1(4)0(1)--->-- ，4x ∴=-时，16835y =-++=-为函数最小值，∴y 的最大值与最小值的积为4(5)20⨯-=-．（3）解：二次函数2y x bx c =-++的图象向上平移m 个单位后解析式为223y x x m =--++，抛物线顶点坐标为(1,4)m -+，当顶点落在线段AB 上时，45m +=，解得1m =，当抛物线向上移动，经过点(0,5)B 时，53m =+，解得2m =，当抛物线经过点(3,5)A -时，5963m =-+++，解得5m =，∴当1m =，或25m < 时，函数图象与线段AB 有一个公共点．【我思故我在】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律．2．已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，图象与x 轴交于点()1,0-．（1）求抛物线的函数表达式．（2）若把抛物线的图象沿x 轴平移m 个单位，在自变量x 的值满足23x ≤≤的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为-2，求m 的值．【我思故我在】本题考查了二次函数的综合运用，主要知识点有通过已知条件求函数解析式，函数的增减性，平移等，注意分类讨论．3．如图，抛物线22y x x c =-++与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，且,OA OB =点G 为抛物线的顶点．()1求抛物线的解析式及点G 的坐标；()2点,M N 为抛物线上两点(点M 在点N 的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q 为抛物线上点,M N 之间(含点,M N )的一个动点，求点Q 的纵坐标Q y 的取值范围．【答案】（1）223y x x =-++，G （1,4）；（2）﹣21≤Q y ≤4.【分析】（1）根据,OA OB =用c 表示出点A 的坐标，把A 的坐标代入函数解析式，得到一个关于c 的一元二次方程，解出c 的值，从而求出函数解析式，求出顶点G 的坐标．（2）根据函数解析式求出函数图像对称轴，根据点M,N 到对称轴的距离，判断出M,N 的横坐标，进一步得出M,N 的纵坐标，求出M,N 点的坐标后可确定Q y 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线22y x x c =-++与y 轴正半轴分别交于点B ，∴B 点坐标为（c ，0），∵抛物线22y x x c =-++经过点A ，∴﹣c 2+2c+c=0，解得c 1=0（舍去），c 2=3，∴抛物线的解析式为223y x x =-++∵223y x x =-++=﹣（x －1）2+4，∴抛物线顶点G 坐标为（1,4）．（2）抛物线223y x x =-++的对称轴为直线x=1，∵点M,N 到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，∴点M 的横坐标为﹣2或4，点N 的横坐标为﹣4或6，点M 的纵坐标为﹣5，点N 的纵坐标为﹣21，又∵点M在点N的左侧，∴当M坐标为（﹣2，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤4当当M坐标为（4，﹣5）时，点N的坐标为（6，﹣21），则﹣21≤Q y≤﹣5，∴Q y的取值范围为﹣21≤Q y≤4．【我思故我在】本题考查的是二次函数的基本的图像与性质，涉及到的知识点有二次函数与坐标轴交点问题，待定系数法求函数解析式，对称轴性质等，解题关键在于利用数形结合思想正确分析题意，进行计算．4．如图，已知二次函数y＝ax2＋3x＋1的图像经过点A（－1，－3）．2(1)求a的值和图像的顶点坐标．(2)若横坐标为m的点B在该二次函数的图像上．①当点B向右平移4个单位长度后所得点B′也落在该二次函数图像上时，求m的值；②若点B到x轴的距离不大于3，请根据图像直接写出m的取值范围．5．如图，抛物线()230y ax bx a =+-≠与x 轴交于点()1,0A -，点()3,0B ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；(3)P 是第四象限内抛物线上的动点，求BPC △面积S 的最大值及此时P 点的坐标．⊥轴于点（3）解：过点P作PD x【我思故我在】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，待定系数法求函数解析式，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线利用数形结合的思想求解是解题的关键．6．如图，抛物线2y x mx =+与直线y x b =-+交于点A (2，0)和点B ．（1）求m 和b 的值；（2）求点B 的坐标，并结合图象写出不等式2x mx x b +>-+的解集；（3）点M 是直线AB 上的一个动点，将点M 向左平移3个单位长度得到点N ，若线段MN 与抛物线只有一个公共点，直接写出点M 的横坐标M x 的取值范围．【答案】（1）2m =-，2b =；（2）不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．【分析】（1）把A (2，0)分别代入两个解析式，即可求得m 和b 的值；（2）解方程222x x x -=-+求得点B 的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．【详解】解：（1）∵点A (2，0)同时在2y x mx =+与y x b =-+上，∴2022m =+，02b =-+，解得：2m =-，2b =；（2）由（1）得抛物线的解析式为22y x x =-，直线的解析式为2y x =-+，解方程222x x x -=-+，得：1221x x ==-，．∴点B 的横坐标为1-，纵坐标为23y x =-+=，∴点B 的坐标为(-1，3)，观察图形知，当1x <-或2x >时，抛物线在直线的上方，∴不等式2x mx +>x b -+的解集为1x <-或2x >；（3）如图，设A 、B 向左移3个单位得到A 1、B 1，∵点A (2，0)，点B (-1，3)，∴点A 1(-1，0)，点B 1(-4，3)，∴A A 1=BB 1=3，且A A 1∥BB 1，即MN 为A A 1、BB 1相互平行的线段，对于抛物线()22211y x x x =-=--，∴顶点为(1，-1)，如图，当点M 在线段AB 上时，线段MN 与抛物线22y x x =-只有一个公共点，此时12M x -≤<，当线段MN 经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN 与抛物线22y x x =-也只有一个公共点，此时点M 1的纵坐标为-1，则12M x -=-+，解得3M x =，综上，点M 的横坐标M x 的取值范围是：12M x -≤<或3M x =．．【我思故我在】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．7．如图，直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)以AB 为边作矩形ABCD ，设点C 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示C ，D 两点的坐标；②当CD 边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m 的取值范围．【答案】(1)抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；(2)①点C 的坐标为(m ，-m -5)；点D 的坐标为(m +5，-m )；②-7≤m ≤3且m ≠0．【分析】（1）先求得点A 、B 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）①利用等腰直角三角形的性质以及坐标与图形的性质可求得点C 的坐标；再利用平移的性质求得点D 的坐标即可；②根据点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，据此求解即可．（1）解：∵直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，∴点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∵抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点，∴252005a c c -+=⎧⎨=-⎩，解得：15a c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；（2）解：①∵点A 的坐标为(5，0)，点B 的坐标为(0，-5)，∴OA =OB =5，∴△OAB 是等腰直角三角形，则∠OAB =∠OBA =45°，过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，∵四边形ABCD 是矩形，点C 的横坐标为m ．∴CB ⊥AB ，则∠CBE =∠OBA =45°，∴CE =BE =-m ，∴点C 的坐标为(m ，-m -5)；∵四边形ABCD 是矩形，∴CD =AB ，CD ∥AB ，∵点A 是点B 向右平移5个单位，向上平移5个单位得到的，∴点D 的坐标为(m +5，-m )；②设BC 的解析式为y =kx -5，把(m ，-m -5)代入y =kx -5，得-m -5=mk -5，解得：k =-1，∴BC 的解析式为y =-x -5，设AD 的解析式为y =-x +n ,把点D 的坐标（m +5,m ）代入y =-x +n ,得-m =-m -5+n ,解得：n =5,∴AD 的解析式为y =-x +5,当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =-+⎧⎨=--⎩,解得：x 1=5，x 2=-2，当x =5时，点A 和点D 重合，不符合要求，x <-2即m +5<-2，得m <-7时，线段CD 与抛物线无交点，当点C 恰好在抛物线上时，是与抛物线只有一个公共点的临界条件，联立2545y x y x x =--⎧⎨=--⎩，解得：x 1=0，x 2=3，当x =0时，点C 与点B 重合，不符合要求，当x >3即m>3时，线段CD 与抛物线无交点，故-7≤m ≤3且m ≠0．【我思故我在】本题考查二次函数的图象及性质，直线和抛物线的交点以及解方程组和不等式组等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题关键．8．在平面直角坐标系xOy 中，点()1,P m y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，点()2,Q m y 在一次函数1y x =-+的图象上．(1)若二次函数图象经过点()0,1，()2,1．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②当1m >时，请直接写出1y 与2y 的大小关系；(2)若只有当0m ≥时，满足120y y ⋅≤，请求出此时二次函数的解析式．【答案】(1)①221y x x =-+，顶点坐标为(1,0)②12y y ＞(2)2y x x=-【分析】（1）利用待定系数法即可求解出二次函数的解析式，配成顶点式即可求出二次函数的顶点坐标；求出y 1和y 2，再根据m 的取值范围即可比较；（2）先根据点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，得到21y m bm c =++和21y m =-+，即有212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，再根据m 的取值范围可得：当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++≤；当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，可以判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，则可求出b 、c ，则问题得解．（1）①∵2y x bx c =++经过点(0,1)、(2,1)，∴有1421c b c =⎧⎨++=⎩，解得12c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数解析式为：221y x x =-+，∵2221(1)y x x x =-+=-，∴顶点坐标为(1,0)，②∵点P (m ,y 1)在221y x x =-+图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21(1)y m =-，21y m =-+，∴2212(1)(1)(1)(1)(1)y y m m m m m m -=---+=-+-=-，∵m ＞1，∴m -1＞0，∴12(1)0y y m m -=-＞，∴12y y ＞；（2）∵点P (m ,y 1)在2y x bx c =++图象上，点Q (m ,y 2)在一次函数y =−x +1的图象上，∴21y m bm c =++，21y m =-+，∴212()(1)y y m bm c m ⋅=++-+，∵只有当0m ≥时，120y y ⋅≤，当01m ≤≤时，1-m ≥0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++ ，即当01m ≤≤时，函数20y m bm c =++ ，当1m＞时，1-m <0，∵120y y ⋅≤，∴20m bm c ++＞，即当1m＞时，函数20y m bm c =++＞，∴2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)，∴010c b c =⎧⎨++=⎩，解得01c b =⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为：2y x x =-．【我思故我在】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求解二次函数解析式、求解顶点坐标等知识，判断出可知2y m bm c =++经过点(0,0)，(1,0)是解答本题的关键．9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2450)(y ax ax a =-+<与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OB OC =．(1)求这条抛物线的解析式；(2)求抛物线顶点坐标和对称轴方程；(3)若点1,()P x b 与2,()Q x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，将抛物线在PQ 上方的部分沿PQ 翻折180°，抛物线的其他部分保持不变，得到一个新图象，当这个新图象与过（0，-3）且平行于x 轴的直线恰好只有两个公共点时，请直接写出b 的取值范围．【答案】(1)245y x x =-++；(2)顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =；(3)39b <<或3b =-．【分析】（1）由245y ax ax =-+得出OC ，再由OB OC =得出OB 的值，代入点B 可求出抛物线的解析式；（2）将抛物线化为顶点式即可得出顶点坐标和对称轴方程；（3）讨论PQ 在直线=3y -上方和在直线=3y -上两种情况即可得出b 的取值范围．(1)（1）∵245y ax ax =-+，令0x =，5y =，∴5OC =∴5OB OC ==，即B （5，0），将B （5，0）代入245x y a ax =-+得252050a a -+=，解得1a =-，即二次函数的解析式为245y x x =-++．(2)（2）由2245(2)9y x x x =-++=--+得，顶点坐标为（2，9），对称轴方程为2x =．(3)（3）如图，过（0，-3）且平行于x 轴的直线=3y -，当顶点M （2，9）的对称点在直线=3y -上，此时3b =，∴39b <<，当3b =-时，此时与=3y -的交点为2个，∴39b <<或3b =-．【我思故我在】此题考查了用代入法求二次函数的解析式，二次函数的对称轴及顶点坐标及二次函数的翻折与交点问题，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键．10．已知一次函数12y x b =+的图象与二次函数()221y a x bx =++（0a ≠，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为(0,1)．（1）求出a 、b 的值，并写出1y ，2y 的表达式；（2）验证点B 的坐标为(1,3)，并写出当12y y 时，x 的取值范围；（3）设12u y y =+，12v y y =-，若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【答案】（1）1a =，1b =，121y x =+，221y x x =++；（2）见解析；01x ；（3）m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值．【详解】（1）解：（1）把(0,1)A 代入12y x b =+得1b =，把(0,1)A 代入()221y a x bx =++得，1a =，∴121y x =+，221y x x =++；（2）解方程组2211y x y x x =+⎧⎨=++⎩得01x y =⎧⎨=⎩或13x y =⎧⎨=⎩，∴()1,3B ，作121y x =+，221y x x =++的图象：由函数图象可知，121y x =+不在221y x x =++下方时，01x ，∴当12y y 时，x 的取值范围为01x ；（3）∵2221221132( 1.5)0.25u y y x x x x x x =+=++++=++=+-，∴当 1.5x - 时，u 随x 的增大而增大；()22212(21)1(0.5)0.25v y y x x x x x x =-=+-++=-+=--+，∴当0.5x 时，v 随x 的增大而增大，∴当 1.50.5x - 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m x n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∴m 的最小值为 1.5-，n 的最大值为0.5.【我思故我在】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．11．如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且关于直线1x =对称，点A 的坐标为()1,0-．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC ，若点P 在y 轴上时，BP 和BC 的夹角为15︒，求线段CP 的长度；（3）当1a x a ≤≤+时，二次函数2y x bx c =++的最小值为2a ，求a 的值．。
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二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。
高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。
2.动轴定区间。
3.定轴动区间。
下面我们来看例题。