八下 数学错题精选(学思)
数学教学反思案例
数学教学反思案例实践表明,培养学生把解题后的反思应用到整个数学学习过程中,养成检验.反思的习惯,是提高学习效果.培养能力的行之有效的方法.接下来是为大家带来的数学教学反思案例,欢迎大家阅读:数学教学反思案例一美国学者波斯纳认为:〝没有反思的经验是狭隘的经验,至多只能成为肤浅的知识.如果教师仅满足于获得的经验而不对经验进行深入的思考,那么他的教学水平的发展将大受限制,甚至有所滑坡.〞这凝练成公式就是〝教师的成长=经验+反思.〞该公式体现了教师成长过程应该是一个总结经验.捕捉问题.反思实践的过程.教师对过去的教学行为做出理性的审视和评判,在看似无问题的地方发现问题,揭示出行为背后所隐含的观念和意识,促进智慧的生成和实践行为的进一步提升.实践表明,培养学生把解题后的反思应用到整个数学学习过程中,养成检验.反思的习惯,是提高学习效果.培养能力的行之有效的方法.反思对学生思维品质的各方面的培养都有作积极的意义.反思题目结构特征可培养思维的深刻性;反思解题思路可培养思维的广阔性;反思解题途径,可培养思维的批判性;反思题结论,可培养思维的创造性;运用反思过程中形成的知识组块,可提高学思思维的敏捷性;反思还可提高学生思维自我评价水平,从而可以说反思是培养学生思维品质的有效途径.在不增加学生负担的前提下,要求作业之后尽量写反思,利用作业空出的反思栏给老师提出问题,结合作业作出合适的反思.对学生来说是培养能力的一项有效的思维活动,因此,培养学生反思解题过程是作业之后的一个重要环节,具有很大的现实意义.1.要求做好课堂简要摘记要学生对教学的内容进行反思,听是远远不够的.课堂简要摘记给学生提供了反思的依据.学生也能从课堂简要摘记中更好的体验课堂所学习的内容,学生的学习活动也成了有目标,有策略的主体行为,可促使老师和学生进行探索性,研究性的活动.所以课堂简要摘记是学生进行反思的重要环节.2.指导学生掌握反思的方法课堂教学是开展反思性学习的主渠道.在课堂教学中有意识的引导学生从多方位.多角度进行反思性的学习.学生的实践反思,可以是对自身的认识进行反思,如,对日常生活中的事物及课堂中的内容,都可引导学生多问一些为什么?也可以是联系他人的实践,引发对自己的行为的比较反省,我们可以多引导学生进行同类比较,达到〝会当凌绝顶,一览众山小〞的境界;也可以是对生活中的一种现象,或是周围的一种思潮的分析评价.具体有以下五种方法:①在解决问题中反思,掌握方法:解题是学习数学的必经之路,学生解决问题时,往往缺乏对解题过程的反思,没有对解题过程进行提炼和概括,只是为完成任务而解题,导致解题质量不高,效率低下.教师应积极引导学生整理思维过程,确定解题关键,回顾解题思路,概括解题方法,使解题的过程清晰.思维条理化.精确化和概括化.②在集体讨论中反思,形成概念:〝活动是感知的源泉,是思维发展的基础〞.学生通过集体讨论和交流,可以了解同伴的理解,有利于丰富自己的思考方法,反思自己的思考过程,增强迁移能力.注重引导学生通过集体讨论.争辩,来促进个人反思,实现自我创新.③在回顾知识获取时反思,提炼思想:在教学活动中,我们教师比较注重创设情境,引导学生通过操作实践.合作探究,主动获取知识.教师更应该鼓励学生在获取知识后反思学习过程,引导他们在思维策略上回顾总结,分析具体解答中包含的数学基本方法,并对具体的方法进行再加工,从中提炼出应用范围广泛的数学思想.④在分析解题方法中反思,体验优势:学生在解题时往往满足于做出题目,而对自己的解题方法的优劣却从来不加评价,作业中经常出现解题过程单一.思路狭窄.解法陈旧.逻辑混乱.叙述冗长.主次不分等不足,这是学生思维过程缺乏灵活性.批判性的表现,也是学生的思维创造性水平不高的表现.因此,教师必须引导学生分析解题方法的优劣,优化解题过程,努力寻找解决问题的最佳方案.通过这一评价过程,开阔学生的视野,使学生的思维逐渐朝着多开端.灵活.精细和新颖的方向发展.⑤在寻找错误成因中反思,享受成功:学生在学习基础知识时往往不求甚解.粗心大意,忽视对结论的反思,满足于一知半解,这是造成作业错误的重要原因.因此教师应当结合学生作业中出现的错误,精心设计教学情境,帮助学生从基本概念.基础知识的角度来剖析作业错误的原因,给学生提供一个对基础知识.基本概念重新理解的机会,使学生在纠正作业错误的过程中掌握基础知识,理解基本概念,指导学生自觉地检验结果,培养他们的反思能力.3.从课后学习情况的反思及作业情况的自我反思中加强反思能力的培养运用反思过程中形成的知识组块,可提高学生思维的敏捷性;反思还可提高学生思维自我评价水平,从而可以说反思是培养学生思维品质的有效途径.因此,在不增加学生负担的前提下,要求学生作业之后尽量写反思,利用作业空出的反思栏给老师提出问题,结合作业作出合适的反思,对学生来说是培养能力的一项有效的思维活动.鼓励学生结合解题后的反思,提出问题,并将其指定为反思内容之一,既能充分发挥学生的主体性,又能形成师生互动的教学情境,还能培养学生的不断探索的精神,从而使学生的创新意识得到保护和培养.这无疑对学生〝心态的开放,主体的凸现,个性的张显〞是十分有益的.通过解题后对习题特征进行反思,用自己的语言或数学语言对习题进行重新概述,培养思维的深刻性,促进知识的正向迁移,提高解题能力.在数学教学中,由于我要求学生对学习各环节进行反思.大部分学生都能做到课前准备充分;课堂上对新知进行自我探究,寻求规律;课后进行复习检查.通过很长一段时间的实践,学生的反思意识明显有所增强.有的学生利用课余时间,自己针对前期的错题主动重新练习,由此可见,学习对于学生来说不再是一钟被动的接受过程,而是一种主动的获取过程.学生初步实现了〝学会学习〞.形成了反思行为习惯化.大部分学生能在学习之前.之中.之后会就学习计划.学习过程.学习结构等进行自觉.自主反思.在课内,善于对同学的观点提出批评意见,甚至于对教师的.课本中的一些观点提出反思意见.经过一段时间的具体实施,我发现许多曾经对数学不感兴趣的学生,都对数学有了浓厚的兴趣,也使我真正体会到只要你给学生创造一个自由活动的空间,学生便会还给你一个意外的惊喜.数学教学反思案例二一.〝解题反思〞在初中数学教学中的作(一)有利于培养学生的创造性思维模式将〝解题反思〞应用到初中数学教学当中,有利于培养学生的创造性思维模式. 学生在进行解题时,不会受到解题思路的约束,将问题中的数学方法和其他的数学思想联系在一起,创造出新的问题,不断地更新学生自身对知识结构的认识,从中感受学习数学的乐趣,对学生创造性的思维模式培养具有积极的作用.(二)有利于提高学生的学习效率将〝解题反思〞应用到初中数学教学当中,有利于提高学生的学习效率. 在现实的科学课堂教学当中,很多教师只注重自己的讲,而忽视了学生的学以为讲得多就会提高学生的学习成绩,和教学效率,将更多的时间投入到教学当中,学生就可以得高分了,但结果恰恰相反,在整个的教学过程当中,教师教的辛苦,学生在学习时也学的很吃力. 〝解题反思〞的应用,是学生在对问题进行思考时,可以将总结出同类体的解题思路,进而达到举一反三的学习效果,对学生学习效率的提高起巨大的推动作用.(三)有利于学生形成系统的认知结构将〝解题反思〞应用到初中数学教学当中,有利于学生形成系统的认知结构. 通过〝解题反思〞作用的充分发挥,学生可以通过简单的问题对数学知识进行扩展研究,有效的拓展了学生的知识面,加强了对知识结构的系统性. 在〝解题反思〞的过程中加强自身对问题的联系能力以及对知识点的拓展能力,从而形成了系统的认知结构.二.在初中数学教学中如何培养学生的〝解题反思〞能力(一)对解题过程和结论进行反思对问题进行错误解答的原因就是学生对问题解读的不够深刻,对知识概念模糊,加上考虑问题不是很全面等. 此外,初中生的身心发展还不够成熟,对于处理问题来说很难做到一次性处理得当的效果,因此,想要保障解题的准确性,就要在解题之后对解题过程进行详细的反思,对解题过程反复的进行思考,针对错误的地方进行修改,最终得出结论,将错误降到最低,教师在学生解题过程中要强调这一点,有效的培养学生养成〝解题反思〞的良好学习习惯.(二)举一反三,引导学生对解题思路进行反思数学本身的逻辑性比较强,往往每一知识体系本身的知识点都是环环相扣的,这就需要学生在解题时必须进行仔细的思考,但是在实际的数学问题中很多都是一题多解的,解题方法很多,但是结果都是一样的,通过联系这种类型的题可以训练学生认真观察知识点之间的内在联系,并且熟练灵活地运用到解题过程当中去,可以有效地训练学生的创造性思维和发散性思维,对待问题可以做到举一反三的效果,是对很多个问题进行总结和归纳,是在多个问题当中寻找解决办法最有效最快速的方法,从举一反三的效果中可以充分的体现出学生对数学知识点归纳和总结的能力,深刻的反映出学生对解题过程深思熟虑的反思过程.(三)鼓励学生进行错题反思做错题就是学生体现自己学习知识不扎实和知识薄弱的重要表现形式. 从错题中认识到自身的不足,认识到自身对哪些知识点理解的还不够透彻,通过对知识点的重新理解以及对错题的反思中寻找自身的不足,深刻的分析错题原因,重视错题的出现,并及时的加以纠正和巩固,对提高学生学习成绩和学习效率具有积极的推动作用,有效地提高了教学成果,为学生综合素质的培养具有重大的意义. 例如:有理数的运算一课中,这道题目主要是考学生有理数的运算法则,以及运算能力. 题目中的-_学生很容易把答案算成4,因为负数的偶次方是正数,但是题目中的-2并没有被括号括起来,所以-_的结果应为-4. 因此,正确的答案为:有理数分为正数.负数和0,学生在接触负数之后,很难适应负数的出现,因此在解题的过程中很容易将题解错. 这道题主要的就是考学生对有理数运算法则的熟练程度,区分好在运算过程中正数与负数的区别,更好的理解知识点并灵活熟练的运用.三.结语综上所述,〝解题反思〞在初中数学教学中的广泛应用,提高了数学教学质量,有利于学生创造性思维模式的形成,有利于提高学生的学习效率,有利于学生形成系统的认知结构,不断地更新学生自身对知识结构的认识,从中感受学习数学的乐趣,可以总结出同类题的解题思路,进而达到举一反三的学习效果,有利于激发学生的学习兴趣,提高学习数学的热情,培养学生的自主学习能力,锻炼学生独立思考的能力,有效的拓展了学生的知识面,加强了对知识结构的系统性,提高了学生解决数学难题的能力,让学生在学习数学的过程中学会了思考,学会了探索,学会了合作,学会了交流,从解决数学难题的过程中体验学习带来的快乐,将被动化为主动,提高学习成绩,进一步提高了数学的教学成果.数学教学反思案例三〝课堂教学是一门遗憾的艺术〞,而科学.有效的教学反思可以帮助我们减少遗憾.教师不妨从教学问题的研究入手,挖掘隐藏在其背后的教学理念方面的种.种问题.教师可以通过自我反省与小组〝头脑风暴〞的方法,收集各种教学〝病历〞,然后归类分析,找出典型〝病历〞,并对〝病理〞进行分析,重点讨论影响教学有效性的各种教学观念,最后提出解决问题的对策.教师反思的过程,是教师对数学教学诸要素.诸环节的再认识.再研究.再整合的过程.是教师思维再活化.再碰撞的过程.反思使教师以研究者的心态置身于教学情境之中,以研究者的眼光对自身的行为进行积极的.不断的反思,对教学中自己的活动以及学生的表现进行认真的观察和分析.对出现的问题进行探究,对积累的经过进行总结.它能够帮助教师及时捕捉分析和研究各种教学现象.得失和灵感.加深对教学活动规律的认识和理解,有助于教师及时发现新问题,同时形成自己对教学现象.教学问题的独立思考和创造性的见解.从而作出更理想.更有效.更合理的教学决定.提高教学实践的实效性.并不断更新教学观念.改善教学行为.提升教学能力.提高教学水平.比如我在教学《直线和圆的位置关系》这节课中,就进行了深刻的反思,我的教学环节是首先由生活中的情景――旭日东升引入,让学生发现地平线和太阳位置关系的变化,从而引出课题:直线和圆的位置关系.然后由学生用硬币画圆后平移直尺,自主探索发现直线和圆的三种位置关系,给出定义,联系实际,由学生发现日常生活中存在的直线和圆相交.相切.相离的现象,紧接着引导学生探索三种位置关系下圆心到直线的距离与圆半径的大小关系,由题组练习进行应用,最后去解决实际问题.通过本节课的教学,我认为成功之处有以下几点:1.由旭日东升(太阳与地平线相离.相切.相交)引入,学生比较感兴趣,充分感受生活中反映直线与圆位置关系的现象,体验到数学来源于实践.对生活中的数学问题发生好奇,这是学生最容易接受的学习数学的好方法.新课标下的数学教学的基本特点之一就是密切关注数学与现实生活的联系,从生活中〝找〞数学,〝想〞数学,让学生真正感受到生活之中处处有数学.2.在探索直线和圆位置关系所对应的数量关系时,我先引导学生回顾点和圆的位置关系所对应的数量关系,启发学生运用类比的思想来思考问题,解决问题,学生很轻松的就能够得出结论,从而突破本节课的难点,使学生充分理解位置关系与数量关系的相互转化,从而为下节课探索切线的性质打好基础.3.新课标下的数学强调人人学有价值的数学,人人学有用的数学,为此,在例题之后我安排了基础练习,中考中的数学,生活中的数学和易错题,使学生体会到学数学的重要性,体验〝生活中处处用数学〞.同时,我也感觉到本节课的设计有不妥之处,主要有以下三点:1.学生观察得到直线和圆的三种位置关系后,是由我讲解的三个概念:相交.相切.相离.学生被动的接受,对概念的理解不是很深刻,可以改为让学生下定义,师生共同讨论的形式给学生以思维想象的空间,充分调动学生的积极性,使学生实现自主探究.2.虽然我在设计本节课时是体现让学生自主操作探究的原则,但在让学生探索直线和圆三种位置关系所对应的数量关系时,没有给予学生足够的探索.交流的时间,限制了学生的思维.此处应充分发挥小组的特点,让学生相互启发讨论,形成思维互补,集思广益,从而使概念更清楚,结论更准确.3.对习题的处理应重在帮助学生掌握方法,我在讲解习题时没有及时进行方法上的总结,致使部分学生在解决实际问题时思路不明确.教师要根据情况,简要归纳.概括应掌握的方法,使学生能够举一反三,巩固和扩大知识,吸收.内化知识.通过反思使我认识到:新课程的课堂教学要让学生作为课堂教学的主体参与到课堂教学过程中来,充分展现自己的个性,施展自己的才华,使学生在参与和体验的过程中真正成为学习的主人,养成勇于探索.敢于实践的个性品质.与此同时,教师还要为学生的学习创造探究的环境,营造探究的氛围,促进探究的开展,把握探究的深度,评价探究的效果.教师应成为数学教学中的反思性实践者,这是新时期教育教学改革的需要,也是实现教师专业成长的必经之路.在反思过程中,无论对自己的每一次否定是不是正确,置身其中,首先能感受到的是一种执着和专注的精神.一种永不满足.不断进取的精神.有助于提高教学技能.改善教学行为教学反思对教师成长极为重要.只有对教学反思有明晰而正确的认识,才能在情感上真正接受反思思想,从而激发起反思的内在动力,进而产生具体的反思行为一节课结束或一天的教学任务完成后,我们应该静下心来细细想想:这节课总体设计是否恰当,教学环节是否合理,讲授内容是否清晰,教学手段的运用是否充分,重点.难点是否突出;今天我有哪些行为是正确的,哪些做得还不够好,哪些地方需要调整.改进;学生的积极性是否调动起来了,学生学得是否愉快,我教得是否愉快,还有什么困惑等.把这些想清楚,作一总结,然后记录下来,这样就为今后的教学提供了可资借鉴的经验.经过长期积累,我们必将获得一笔宝贵的教学财富.一个老师是否优秀,不只取决于他有多高学历,更不只取决于他有多高深的学问,而取决于他能否对自己的教学进行诊断.纠错和创新. 一位对自己教学不断反思的老师,能从学生的发展出发,从有利于学生能力的培养,有利于学生知识的掌握上考虑,对课堂教学进行科学的安排. 新课的导入,情境的创设.迁移过渡.操作试验安排.练习设计.活动组织等都应精心准备,周密布置.总之,科学有效的反思为教师和学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式,为学生和教师的学习注入了活力,适应了新课程改革的要求. 师生将自己的反思互相交流,进一步和谐.融洽了师生关系,激发了教师和学生合作探究知识的愿望,构建师生互动机制,进而提高学生的学习效果和完善教师教学艺术,为师生养成终生学习的习惯打下坚实的基础.。
学生的订正与改错数学教学反思
学生的订正与改错数学教学反思1、学生的订正与改错数学教学反思从上周起，我就有一个当时模糊的感觉：学生对作业的订正很成问题，当面指出的错误如果不止一处，学生回去订正的通常不能一次全部改正；让课代表下发自由订正的，常常是错上加错，漏订正的也多。
我昨天在教室里强调了我的批改常规，对于打叉和圈出的地方要认真算。
昨天课上主要是进行了一组拓展题的练习，是算式谜。
一组横式是98÷□=□□......2，一组是教材13页的竖式谜。
我主要是抓思路的训练，先想什么再想什么，想的依据是什么，在训练学生说话我要求学生说清“根据什么我想到......,再根据什么我想到......”在第一组横式我采取的是试一试的思路，找到了四种答案。
学生很吃惊的样子。
解题策略的训练或者说渗透，越早越好。
计算教学中也有很多有关数学思想方法的内容隐藏其中，从四基的.角度来看，计算就不单纯是计算了。
一不仅仅是能不能做对这么简单。
早期的充分孕伏是重要的一环。
回到改错这个话题。
今天课后作业中有一组改错的题目（补充习题第8页），完成情况这里最糟糕。
有3人全部错了，7人一题错。
独立的列竖式他们都会的，是什么原因改不对呢？这就让人费思量了。
他们的错误表现为两大类：改正时只改了一步，个位数的计算竖式上没有写全；第二种是商还是原来的，下面的计算又按照正确的算了算。
最让我想不通的是把他们叫出来一一问过竟然说不出当时是怎么想的。
唉，错成了一个谜啦。
我最后只好说，改错时，就遮住原来的自己写好竖式，认真地独立地做一次就行，千万千万不要被原来的错给带沟里去了，学生笑。
2、数学教学反思案例关于数学教学反思一、“解题反思”在初中数学教学中的作（一）有利于培养学生的创造性思维模式将“解题反思”应用到初中数学教学当中，有利于培养学生的创造性思维模式。
学生在进行解题时，不会受到解题思路的约束，将问题中的数学方法和其他的数学思想联系在一起，创造出新的问题，不断地更新学生自身对知识结构的认识，从中感受学习数学的乐趣，对学生创造性的思维模式培养具有积极的作用。
专题01 全等三角形(解析版)
2021-2022学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题01 全等三角形一．选择题1．（2020秋•东城区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）A．20B．30C．50D．100【思路引导】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【完整解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．2．（2020秋•定西期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（ ）A．4B．3C．2D．1【思路引导】根据垂线段最短得出当DP⊥BC时，DP的长最小，求出∠ABD＝∠CBD，根据角平分线的性质得出此时DP＝AD，再得出选项即可．【完整解答】解：当DP⊥BC时，DP的长最小，∵BD⊥CD，∴∠BDC＝90°，∵∠A＝90°，∠ADB＝∠C，∠A+∠ADB+∠ABD＝180°，∠BDC+∠C+∠CBD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠A＝90°，∴当DP⊥BC时，DP＝AD，∵AD＝4，∴DP的最小值是4，故选：A．3．（2020秋•莫旗期末）如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（ ）A．8B．5C．4D．2【思路引导】过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，求出AD⊥CD，根据角平分线的性质求出AE＝DE＝PE，求出AE的长即可．【完整解答】解：过E作EP⊥BC于P，此时PE的值最小，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴AD⊥CD，∵BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，∴AE＝PE，ED＝PE，∴AE＝ED＝PE，∵AD＝8，∴PE＝4，即PE的最小值是4，故选：C．4．（2020秋•鞍山期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，点E在边AC上，若DE＝DB，则下列结论不正确的是（ ）A．DC＝DF B．DE＝BF C．AC＝AF D．AB＝AC+CE【思路引导】根据全等三角形的判定和性质解答即可．【完整解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DF⊥AB，垂足为点F，∴DC＝DF，故A正确，在Rt△DCE与Rt△DFB中，，∴Rt△DCE≌Rt△DFB（HL），∴CE＝BF，故B错误，在Rt△ADC与Rt△ADF中，，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC＝AF，故C正确，∴AB＝AF+BF＝AC+CE，故D正确，故选：B．5．（2020秋•新宾县期末）如图，AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝50°，以下四个结论：①△ADC≌△ABE；②CD＝BE；③∠DOB＝50°；④点A在∠DOE的平分线上，其中结论正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【思路引导】证明△ADC≌△ABE（SAS），可得出CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，则得出∠DOB＝50°，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，证明△ABN≌△ADM（AAS），则可得出点A在∠DOE的平分线上．【完整解答】解：∵∠DAB＝∠CAE＝50°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△ADC与△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；故①，②正确；如图1，若AB与CD相交于点F，∵△ABE≌△ADC，∴∠ADC＝∠ABE，∵∠AFD＝∠CFB，∴∠DOB＝∠DAB＝50°．故③正确．如图2，连接OA，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥BE于点N，∴∠AMD＝∠ANB＝90°，∵△ABE≌△ADC，∴∠ABN＝∠ADM，在△ABN和△ADM中，，∴△ABN≌△ADM（AAS），∴AN＝AM，∴点A在∠DOE的平分线上．故④正确．故选：D．6．（2020秋•金昌期末）如图，AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足为F．若∠CAB＝30°，∠B＝55°，则∠BDE的度数为（ ）A．35°B．40°C．45°D．50°【思路引导】根据三角形的内角和求出∠ACB＝95°，利用三角形全等，求出DC＝DE，再利用外角求出答案．【完整解答】解：∵∠CAB＝30°，∠B＝55°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣55°＝95°，∵CE⊥AD，∴∠AFC＝∠AFE＝90°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD＝×30°＝15°，又∵AF＝AF，∴△ACF≌△AEF（ASA）∴AC＝AE，∵AD＝AD，∠CAD＝∠EAD，∴△ACD≌△AED（SAS），∴DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC，∵∠ACE＝90°﹣15°＝75°，∴∠DCE＝∠DEC＝∠ACB﹣∠ACE＝95°﹣75°＝20°，∴∠BDE＝∠DCE+∠DEC＝20°+20°＝40°，故选：B．7．（2020秋•宜兴市期中）如图，在△ABC中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（ ）A．B．C．D．【思路引导】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可．【完整解答】解：如图，过点C作CK⊥l于点K，过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△AHB中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BH＝2，AH＝2，在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，∴AH＝CH＝2，∴AC＝＝＝2，∵点D为BC中点，∴BD＝CD，在△BFD与△CKD中，，∴△BFD≌△CKD（AAS），∴BF＝CK，延长AE，过点C作CN⊥AE于点N，得矩形ENCK，∴CK＝EN，∴AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，在Rt△ACN中，AN＜AC，当直线l⊥AC时，最大值为2，综上所述，AE+BF的最大值为2．故选：B．8．（2020秋•江岸区校级月考）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（ ）个．（不含△ABC）A．28B．29C．30D．31【思路引导】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．【完整解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．二．填空题9．（2020秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝5，则CH的长为 2 ．【思路引导】先由AD⊥BC，CE⊥AB，判断出∠ADB＝∠AEH＝90°，再判断出∠BAD＝∠BCE，进而判断出△HEA≌△BEC，得出AE＝EC＝5，即可得出结论．【完整解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴∠ADB＝∠AEH＝90°，∵∠AHE＝∠CHD，∴∠BAD＝∠BCE，在△HEA和△BEC中，，∴△HEA≌△BEC（AAS），∴AE＝EC＝5，则CH＝EC﹣EH＝AE﹣EH＝5﹣3＝2．故答案为：2．10．（2020•松北区一模）在△ABC中，点D在AC上，AD＝5，AB+AC＝16，E是BD中点，∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，则CD＝ 2 ．【思路引导】延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，根据SAS证明△BEF与△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【完整解答】解：延长CE于F，使CE＝EF，交AB于点G，∵E是BD的中点，∴BE＝DE，在△BEF与△DEC中，，∴△BEF≌△DEC（SAS），∴∠F＝∠DCE，BF＝DC，∵∠ACB＝∠ABC+2∠BCE，∴∠DCE＝∠ACB﹣∠BCE＝∠ABC+∠BCE，∵∠AGC＝∠ABC+∠BCE，∴∠AGC＝∠DCE，∴∠F＝∠DCE＝∠AGC＝∠BGF，AG＝AC，∴BF＝BG＝CD，设BF＝BG＝CD＝x，∵AD＝5，AB+AC＝16，∴，解得：x＝2，∴CD＝2，故答案为：2．11．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为 4 ．【思路引导】如图，延长BP交AC于D，先说明△ABD是等腰直角三角形，△ADP是30°的直角三角形，可得PD和AD的长，根据费马点的定义可得∠APC＝120°，从而可知△PDC也是30°的直角三角形，可得CD的长，根据三角形的面积公式可得结论．【完整解答】解：如图，延长BP交AC于D，∵∠BAC＝∠PBA＝45°，∴∠ADB＝90°，AD＝BD，∵P为△ABC的费马点，∴∠APB＝∠CPA＝120°，∴∠BAP＝180°﹣120°﹣45°＝15°，∴∠PAC＝45°﹣15°＝30°，∴∠APD＝60°，Rt△PAD中，∵PA＝4，∴PD＝2，AD＝2，∵∠APC＝120°，∴∠CPD＝120°﹣60°＝60°，Rt△PDC中，∠PCD＝30°，∴CD＝2，∴AC＝AD+CD＝2+2＝4，∴△PAC的面积为＝＝4．故答案为：4．12．（2020秋•海珠区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为点F，DE＝DG，△ADG 和△ADE的面积分别为50和39，则△EDF的面积为 5.5 ．【思路引导】在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN＝DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【完整解答】解：如图，在线段AC上取一点M，使DM＝DE，过点D作DN⊥AC于点N，∵DE＝DG，∴DM＝DG，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DN，在Rt△DEF和Rt△DMN中，，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵△ADG和△AED的面积分别为50和39，∴S△MDG ＝S△ADG﹣S△ADM＝50﹣39＝11，∴S△DNM ＝S△EDF＝S△MDG＝×11＝5.5．故答案是：5.5．13．（2020秋•青羊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB中点，FD⊥ED于D，BE＝，AF＝，则EF＝ 3 ．【思路引导】延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，先证△BED≌△AHD（SAS），得AH＝BE，∠B＝∠DAH，再求出∠FAH＝90°，然后由勾股定理求出FH＝3，最后由线段垂直平分线上的性质即可得出答案．【完整解答】解：如图，延长DE到H，使DH＝DE，连接FH，∵D是AB中点，∴AD＝BD，在△BED和△AHD中，，∴△BED≌△AHD（SAS），∴AH＝BE＝，∠B＝∠DAH，∵∠C＝90°，∴∠FAH＝∠BAC+∠DAH＝∠BAC+∠B＝180°﹣90°＝90°，由勾股定理得，FH＝＝＝3，∵FD⊥ED，DE＝DH，∴EF＝FH＝3，故答案为：3．14．（2020秋•温岭市期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，给出下列结论：①DE＝DF；②△ADF≌△ADE；③△ABD和△ACD的面积相等．其中正确结论的序号是 ①② ．【思路引导】根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【完整解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，∴DE＝DF，故①正确；在Rt△ADF与Rt△ADE中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），故②正确；∵得不出AB＝AC，∴△ABD和△ACD的面积无法判断相等，故③错误；故答案为：①②．15．（2019秋•南岗区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，AD＝AC，点E在BC边上，CE＝BD，过点E作EF⊥CD交AB于点F，若AF＝2，BC＝8，则DF的长为 4 ．【思路引导】设∠BCD＝α，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，延长EF和CA交于点H，根据已知条件证明△CEH≌△CGB，即可解决问题．【完整解答】解：设∠BCD＝α，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°﹣α，∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD＝90°﹣α，∴∠CAB＝180°﹣2∠ACD＝2α，∴∠ABC＝90°﹣2α，∵EF⊥CD，∴∠CKF＝90°，∴∠DFK＝90°﹣（90°﹣α）＝α，∴∠CEF＝90°﹣α，如图，延长AC到点G，使AG＝AB，连接BG，∵AD＝AC，∴CD∥GB，BD＝CG＝CE，∴∠GBC＝∠BCD＝α，∴∠G＝90°﹣α，∴∠G＝∠CEF，延长EF和CA交于点H，∴∠H＝α＝∠GBC，∵∠CAB＝2α，∴∠AFH＝α，∴∠H＝∠AFH，∴AH＝AF＝2，在△CEH和△CGB中，，∴△CEH≌△CGB（ASA），∴CH＝CB＝8，∴DF＝AD﹣AF＝AC﹣AH＝CH﹣2AH＝8﹣4＝4．故答案为：4．16．（2019秋•江汉区期中）如图，AB⊥CD于点E，且AB＝CD＝AC，若点I是△ACE的角平分线的交点，点F是BD的中点．下列结论：①∠AIC＝135°；②BD＝BI；③S△AIC ＝S△BID；④IF⊥AC．其中正确的是 ①③④ （填序号）．【思路引导】如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质一一判断即可．【完整解答】解：如图，延长IF到G，使得FG＝FI，连接DG，BG，延长FI交AC于K．∵AB ⊥CD ，∴∠AEC ＝90°，∴∠EAC +∠ECA ＝90°，∴∠IAC +∠ICA ＝∠EAC +∠ECA ＝45°，∴∠AIC ＝180°﹣45°＝135°，故①正确，∵AB ＝AC ，∠IAB ＝∠IAC ，AI ＝AI ，∴△AIB ≌△AIC （SAS ），∴∠AIB ＝∠AIC ＝135°，IA ＝ID ，∴∠BIC ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，同法可证：△ICA ≌△ICD （SAS ），∴∠AIC ＝∠CID ＝135°，IA ＝ID ，∴∠AID ＝360°﹣135°﹣135°＝90°，∴∠DIB +∠AIC ＝180°，∵DF ＝FB ，IF ＝FG ，∴四边形IBGD 是平行四边形，∴ID ＝BG ＝AI ，ID ∥BG ，∴∠DIB +∠IBG ＝180°，∴∠AIC ＝∠IBG ，∵IA ＝ID ，IC ＝IB ，∴△AIC ≌△GBI （SAS ），∴∠GIB ＝∠ACI ，S △AIC ＝S △BGI ＝S 平行四边形DGBI ＝S △BDI ，故③正确，∵∠GIB +∠CIK ＝90°，∴∠CIK +∠ICK ＝90°，∴∠IKC ＝90°，即IF ⊥AC ，故④正确，不妨设BI ＝BD ，则△BDI 是等腰直角三角形，显然ID ＝IB ，即AI ＝IC ，显然题目不满足这个条件，故②错误．故答案为①③④．17．（2018秋•襄城县期末）如图，△ABC 的内角∠ABC 和外角∠ACD 的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论：①∠BEC＝∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG＝CH+GH；④∠AEB+∠ACE＝90°，其中正确的结论有 ①③④ （将所有正确答案的序号填写在横线上）．【思路引导】①根据角平分线的定义得到∠EBC＝∠ABC，∠DCE＝ACD，根据外角的性质即可得到结论；②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等；③由BG＝GE，CH＝EH，于是得到BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH．即可得到结论；④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论．【完整解答】解：①BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，∵CE平分∠ACD，∴∠DCE＝ACD，∵∠ACD＝∠BAC+∠ABC，∠DCE＝∠CBE+∠BEC，∴∠EBC+∠BEC＝（∠BAC+∠ABC）＝∠EBC+BAC，∴∠BEC＝∠BAC，故①正确；∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所有不能得出全等的结论，故②错误．③BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∵GE∥BC，∴∠CBE＝∠GEB，∴∠ABE＝∠GEB，∴BG＝GE，同理CH＝HE，∴BG﹣CH＝GE﹣EH＝GH，故③正确．④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图，∵BE平分∠ABC，∴EM＝ED，∵CE平分∠ACD，∴EN＝ED，∴EN＝EM，∴AE平分∠CAM，设∠ACE＝∠DCE＝x，∠ABE＝∠CBE＝y，∠MAE＝∠CAE＝z，如图，则∠BAC＝180°﹣2z，∠ACB＝180﹣2x，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴2y+180°﹣2z+180°﹣2x＝180°，∴x+z＝y+90°，∵z＝y+∠AEB，∴x+y+∠AEB＝y+90°，∴x+∠AEB＝90°，即∠ACE+∠AEB＝90°，故④正确；故答案为：①③④．18．（2019秋•潍坊月考）如图，△ABC中，AB＝4，AC＝7，M是BC的中点，AD平分∠BAC，过M作MF∥AD，交AC于F，则FC的长等于 5.5 ．【思路引导】可通过作辅助线，即延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论．【完整解答】解：如图，延长FM到N，使MN＝MF，连接BN，延长MF交BA延长线于E，∵M是BC中点，∴BM＝CM，∠BMN＝∠CMF，∴△BMN≌△CMF，∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∴FC＝（AB+AC）＝5.5．故答案为5.5．三．解答题19．（2021春•铁岭月考）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠ADC＝180°，CE平分∠BCD交AB于点E，连接DE．（1）若∠A＝50°，∠B＝70°，求∠BEC的度数；（2）若∠A＝∠1，试说明∠CDE＝∠DCE．【思路引导】（1）求出∠A+∠BCD＝180°，求出∠BCD，求出∠BCE，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据三角形内角和定理和∠A+∠BCD＝180°求出∠CDE＝∠BCE，即可得出答案．【完整解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠BCD+∠ADC＝360°，∠B+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠A＝50°，∴∠BCD＝130°，∵CE平分∠BCD∴∠BCE＝∠BCD＝×130°＝65°，∵∠B＝70°，∴∠BEC＝180°﹣65°﹣70°＝45°，（2）证明：由（1）知∠A+∠BCD＝180°，∴∠A+∠BCE+∠DCE＝180°，∵∠CDE+∠DCE+∠1＝180°，∠1＝∠A，∴∠BCE＝∠CDE，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCE，∴∠CDE＝∠DCE．20．（2021•南岗区模拟）已知：点E，F在BC上，AF＝DE，BE＝CF，∠AFE＝∠DEF．（1）如图1，求证：AB＝CD；（2）如图2，连接AC，BD，AE，DF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四组平行线．【思路引导】（1）证△ABF≌△DCE（SAS），即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得∠B＝∠C，得AB∥CD，再证四边形ABDC是平行四边形，得AC∥BD，同理证出AF∥DE，AE∥DF．【完整解答】（1）证明：∵BE＝CF，∴BE﹣EF＝CF﹣EF，即BF＝CE，∵∠AFE＝∠DEF，∴∠AFB＝∠DEC，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE（SAS），∴AB＝CD；（2）解：图2中的四组平行线为：AB∥CD，AC∥BD，AF∥DE，AE∥DF，理由如下：由（1）得：△ABF≌△DCE，∴AB＝DC，∠B＝∠C，∴AB∥CD，∴四边形ABDC是平行四边形，∴AC∥BD，∵∠AFE＝∠DEF，∴AF∥DE，∵AF＝DE，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE∥DF．21．（2020秋•来宾期末）如图，在五边形ABCDE中，AB＝DE，AC＝AD．（1）请你添加一个与角有关的条件，使得△ABC≌△DEA，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若∠CAD ＝65°，∠B ＝110°，求∠BAE 的度数．【思路引导】（1）添加∠BAC ＝∠EDA ，根据SAS 即可判定两个三角形全等；（2）根据全等三角形对应角相等，运用三角形内角和定理，即可得到∠BAE 的度数．【完整解答】解：（1）添加一个角方面的条件为：∠BAC ＝∠EDA ，使得△ABC ≌△DEA ，理由如下：在△ABC 和△DEA 中，，∴△ABC ≌△DEA （SAS ），（2）在（1）的条件下，∵△ABC ≌△DEA ，∴∠ACB ＝∠DAE ，∵∠CAD ＝65°，∠B ＝110°，∴∠ACB +∠BAC ＝180°﹣∠B ＝70°，∴∠DAE +∠BAC ＝∠ACB +∠BAC ＝70°，∴∠BAE ＝∠DAE +∠BAC +∠CAD ＝70°+65°＝135°．22．（2020秋•云南期末）如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是152cm 2，AB ＝20cm ，AC ＝18cm ，求DE 的长．【思路引导】根据S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，再利用角平分线的性质即可解决问题．【完整解答】解：∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴DE ＝DF ，∵S △ABC ＝S △ABD +S △ACD ，∴S △ABC ＝，∵△ABC 面积是152cm 2，AB ＝20cm ，AC ＝18cm ，∴152＝，∴10DE +9DF ＝152，∵DE ＝DF ，∴19DE ＝152，∴DE ＝8．23．（2021春•萧山区月考）如图，在△ABC 中，OE ⊥AB 与点E ，OF ⊥AC 与点F ，且OE ＝OF ．（1）如图①，当O 为BC 中点时，试说明AB ＝AC ；（2）如图②，当点O 在△ABC 内部，且OB ＝OC ，试判断AB 与AC 的关系．【思路引导】（1）证Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），得∠B ＝∠C ，即可得出AB ＝AC ；（2）由等腰三角形的性质得∠OBC ＝∠OCB ，再证Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），得∠ABO ＝∠ACO ，则∠ABC ＝∠ACB ，即可得出结论．【完整解答】（1）说明如下：∵O 为BC 中点，∴BO ＝CO ，∵OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，∴∠OEB ＝∠OFC ＝90°，在Rt △OBE 和Rt △OCF 中，，∴Rt △OBE ≌Rt △OCF （HL ），∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ；（2）解：AB＝AC，理由如下：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴∠OEB＝∠OFC＝90°，在Rt△OBE和Rt△OCF中，，∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL），∴∠ABO＝∠ACO，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC．24．（2021春•南山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝ 30° ，∠AED＝ 70° ．（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．【思路引导】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求∠EDC，∠DEC的度数；（2）当DC＝3时，由“AAS”可证△ABD≌△DCE；（3）分AD＝DE，DE＝AE，AE＝AD三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求∠BDA 的度数．【完整解答】解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝30°+40°＝70°，故答案为：30°，70°；（2）当DC＝3时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝3，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°，∴∠DEA＝∠DAE＝70°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝30°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°，∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°，∵∠DEA＝∠C+∠EDC，∴∠EDC＝60°，∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°，若AE＝AD时，∠AED＝∠ADE＝40°，∠DAE＝180°﹣40°﹣40°＝100°，此时D与B重合，不合题意，舍去．综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形．25．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC 上，且BD＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．【思路引导】（1）根据角平分线的性质得到DC＝DE，根据直角三角形全等的判定定理得到Rt△DCF≌Rt△DEB，根据全等三角形的性质定理得到答案；（2）根据全等三角形的性质定理得到AC＝AE，根据（1）的结论得到答案．【完整解答】证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在Rt△DCF和Rt△DEB中，，∴Rt△DCF≌Rt△DEB，∴CF＝EB；（2）AF+BE＝AE．∵Rt△DCF≌Rt△DEB，∴AC＝AE，∴AF+FC＝AE，即AF+BE＝AE．26．（2020秋•腾冲市期末）（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形．如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．（2）组员小刘想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．【思路引导】（1）由条件可证明△ABD≌△CAE，可得DA＝CE，AE＝BD，可得DE＝BD+CE；（2）由条件可知∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，且∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，可得∠DBA＝∠CAE，结合条件可证明△ABD≌△CAE，同（1）可得出结论；（3）由条件可知EM＝AH＝GN，可得EM＝GN，结合条件可证明△EMI≌△GNI，可得出结论I是EG 的中点．【完整解答】解：（1）如图1，∵BD⊥直线l，CE⊥直线l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（2）DE＝BD+CE．如图2，证明如下：∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中．．∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE（3）如图3，过E作EM⊥HI于M，GN⊥HI的延长线于N．∴∠EMI＝GNI＝90°由（1）和（2）的结论可知EM＝AH＝GN∴EM＝GN在△EMI和△GNI中，，∴△EMI≌△GNI（AAS），∴EI＝GI，∴I是EG的中点．27．（2020秋•大武口区期末）如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1＝∠2＝∠3，AC＝AE，（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）若AE∥BC，且∠E＝∠CAD，求∠C的度数．【思路引导】（1）由∠1＝∠2＝∠3，可得∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，已知AC＝AE，即可证得：△ABC≌△ADE；（2）由题意可得，∠ADB＝∠ABD＝4x，在△ABD中，可得x+4x+4x＝180°，解答处即可；【完整解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝∠3，∴∠1+∠DAC＝∠DAC+∠2，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠1+∠B＝∠ADE+∠3，则可得∠B＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（AAS）；（2）∵AE∥BC，∴∠E＝∠3，∠DAE＝∠ADB，∠2＝∠C，又∵∠3＝∠2＝∠1，令∠E＝x，则有：∠DAE＝3x+x＝4x＝∠ADB，又∵由（1）得AD＝AB，∠E＝∠C，∴∠ABD＝4x，∴在△ABD中有：x+4x+4x＝180°，∴x＝20°，∴∠E＝∠C＝20°．28．（2020秋•船营区期末）如图，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗？说说你的理由．【思路引导】已知等边及垂直，在直角三角形中，可考虑AAS证明三角形全等，从而推出线段相等．【完整解答】解：影子一样长．证明：∵AB⊥BC，A′B′⊥B′C′∴∠ABC＝∠A′B′C′＝90°∵AC∥A′C′∴∠ACB＝∠A′C′B′在△ABC和△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（AAS）∴BC＝B′C′即影子一样长．。
数学考试反思
数学考试反思数学考试反思（通用10篇）反思即指对自己所做所为或人生经历的总结，并从中找出取得成功的经验和失败的教训。
西方哲学中广泛使用的概念之一。
下面是店铺精选的数学考试反思（通用10篇），欢迎参考!数学考试反思1本次期中考试我们年级组选用的是三维试卷。
题目看似简单，但学生实际做起来很容易出错。
我们整个年级考得都很糟糕，我班的数学比第一名的班级综合分相差0.25分，但及格率和优秀率低得让人做梦也想不到。
而且是我从教以来考得最糟糕的一次。
针对这次不正常的现象，我们年级组的五位老师都从学生的学和教师的教认真地进行了反思。
通过这次考试，从中发现了我的教与学生的学存在很多不足之处。
现从以下几个方面进行总结。
我的教存在的不足之处:1、在教学中把学生估计得过高，总认为有些知识简单，学生应该容易掌握，因而没有进行重点强调。
导致中下成绩的学生没有掌握，做起来作业来更是一塌糊涂。
2、对潜能生的辅导不到位。
一是在课堂教学中，有时为了完成教学任务，忽视了对潜能生的教学。
二是没有时间进行个别辅导;三是我班的潜能生太多，每次测试40分以下都有八、九个，总有顾此失彼的感觉，导致及格率很低。
3、学生做的课堂作业和家庭作业没有时间进行讲解分析，导致学生经常犯同样的错误。
学生的学存在的不足之处:1、部分学生的学习态度极其不端正，学习目的不明确。
2、部分学生学习习惯养成不好:拖欠作业的现象非常严重;做错的作业不能做到自觉地去更正;没有养成不懂就问的习惯。
3、计算能力差，从本次中考就可以看出，很多学生的应用题列对了算式，但结果却又算错了，计算题得满分的只有三人。
4、学生在学习上怕吃苦，一碰到难度稍微大点的题目就退缩了，等着老师讲，或者乱做一下应付老师，更有甚者就干脆不做。
针对本次考试的情况，在后半个学期的教学中，我将采取以下一些措施。
1、做到精心设计每堂课，使每节课都能精彩快乐，达成共识，共同进步。
2、狠抓课堂教学。
在课堂上只要发现有人不认真听，就要马上停止我的讲课。
习题教学反思（通用10篇）
习题教学反思习题教学反思（通用10篇）在快速变化和不断变革的新时代，课堂教学是我们的任务之一，反思自己，必须要让自己抽身出来看事件或者场景，看一段历程当中的自己。
反思应该怎么写才好呢？以下是小编收集整理的习题教学反思，希望能够帮助到大家。
习题教学反思篇1做了几次测验后，回顾与总结测验中各种习题的联系反馈情况，觉得教师在指导学生时，需明确的是：习题，是教师、命题人就某一单元或全体内容设计的问题，用来检验学生所学知识的一种形式，它是课堂教学的一个有机组成部分和延伸，是学习者对学习任务的重复接触或重复反应，但不是活动的简单重复，而是一种有目的、有步骤、有指导的活动，是一个自觉的、具有创造性成分的过程。
做习题，是学生巩固所学知识的一种重要途径；做习题，是学生把所学的知识应用到“实践”中来的一个重要表现；做习题，是教师检测学生学到了多少知识、会理解与应用多少知识的一个重要手段。
会解题目，不能只满足于做出答案；会解题目，应该“解析”题目的题干和题枝，从分析题目中，理解、应用所学的知识及原理，分析、体会命题人的良苦用心，获取知识、培养能力（学习能力、分析能力、迁移能力、应用能力）、接受教育（人生观、道德情操、爱国主义、国防安全观念等等）。
习题教学反思篇2从孩子的考试中发现潜在的教学问题：关于线段1、数线段2、图形是由几条线段围城的3、画一条线段，并将线段平均分。
关于厘米和米1、测量一个物体的长度，有几个一厘米就是几厘米，个别孩子还是没有掌握2、两点之间，直线最短的问题。
3、厘米和米的进率以及运用进率关系进行一系列的换算，比较。
4、测量不同的物体时，要用到什么单位。
孩子容易受到数字的误导。
5、学生对身体上的尺的认识，以及身体上的尺的作用。
在没有尺子的时候，学生可以用身体上的尺进行估算。
6、培养估算意识，大约几厘米，大约几米。
对策分析：孩子之所以在做练习中出现如此多的问题，其实归根到底是教学初期的工作做得不是特别踏实。
2022年9月山东省聊城市小升初数学内招思维应用题专项模拟三卷含答案解析
2022年9月山东省聊城市小升初数学内招思维应用题专项模拟三卷含答案解析学校:________ 姓名:________ 考号:________ 得分:________一、应用题(精选120题，每题1分。
一、审题：在开始解答前，应仔细阅读题目，理解题目意思、数量关系、问题是什么，以及需要几步解答；二、注意格式：正确使用算式、单位和答语；三、卷面要求：书写时应使用正楷，尽量避免连笔，字迹稍大，并注意排版，确保卷面整洁；四、π一律取值3.14。
)1.师、徒二人共做一批零件．师傅每天做48个，徒弟两天做68个，6天完成任务，这批零件共有多少个？2.甲乙两辆汽车分别从A、B两城同时相向而行，早上8时出发，下午1时两车相遇．已知甲车每小时行驶52千米，乙车每小时行驶78千米．这两辆汽车共行驶多远？3.在一个长50厘米，宽40厘米的长方体玻璃缸中，有一块棱长为20厘米的正方体铁块，铁块完全浸没，这时水深40厘米，若把铁块取出，缸中水深多少厘米？4.某工程由甲、乙两队合做24天完成，由乙、丙两队合做30天完成，由甲、丙两队合做40天完成，那么甲队单独做需要多少天完成．5.一个长方形的周长是24厘米，长是8厘米，宽是多少厘米．6.甲乙两港相距200千米，一艘轮船以每小时32千米的速度从甲港开往乙港，行了一段时间后，距乙港还有72千米，这艘船行了多少小时？7.甲、乙两车分别从两地相对开出，甲车每小时行86千米，乙车每小时行78千米，相遇时，相遇地点距两地的中点24千米．两地相距多少千米？8.两架模型飞机用不同长度的金属线缚住，绕同一个定点水平地旋转，方向相反，里面的一架飞机转一圈需要30秒，外边的需要60秒，从它们第一次相互错过到第二次相错，所需的时间是多少秒？9.农场有一块长200米，宽150米的长方形试验田，平均每公顷产稻谷13.8吨，这块试验田一共产稻谷多少吨？10.某校六年级一共有120名学生，每人至少参加电脑兴趣小组和科技兴趣小组中的一个，其中3/4的同学参加电脑兴趣小组，7/12的同学参加科技兴趣小组．两种兴趣小组都参加的学生一共有多少名？11.一件衣服若卖100元，可赚钱25%，若卖60元，则要亏本百分之几？12.甲乙两辆卡车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的农场．甲车比乙车早到0.8小时，当甲车到达时，乙车还距离农场24千米，甲车行驶全程用了多少小时．13.王军在做一道加法计算题时，把一个加数个位上的3看成了8，十位上的9看成了5，结果得387，正确的结果应该是多少？14.爱民粮站有甲乙两个粮仓，原来乙仓存米的吨数是甲仓的2/3，从甲仓运出了40吨后，甲仓剩下的吨数与原来乙仓存米的吨数的比变为5：6．原来甲乙两仓各存米多少吨？15.仓库里有一批大米，第一天运出全部大米的一半少2吨，第二天运出余下的一半多3吨，这时仓库里还剩下12吨，仓库里原有大米多少吨？16.一辆客车和一辆货车同时从甲城开往乙城．已知客车平均每小时行驶89千米，货车平均每小时行驶71千米，4小时后两车相距多少千米？17.一个长方体汽油箱长5分米，宽2.5分米，高4分米。
数学考试反思总结作文（精选9篇）
数学考试反思总结作文数学考试反思总结作文（精选9篇）作文，就是将生活中的见闻、感受描绘出来，将对生活的想像与思考表达出来，让读者产生共鸣，从而让读者感受生活、思考生活。
以下是小编精心整理的数学考试反思总结作文，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
数学考试反思总结作文篇1期中考试已经结束，为了总结经验，修正不足，以利于今后的教育教学工作的开展，现对本次考试做以下总结：本次数学考试题目能紧扣新课程理念，从概念、计算、应用和动手操作方面考查了学生的双基、思维、解决问题的能力，可以说全面考查了学生的综合学习能力。
平均分90分，及格率98%，优秀率86%。
在这次考试中，大多数学生对所学知识能够基本掌握。
当然，也有个别学生思维不够灵活，不够严密，考试时的心理素质不大好，成绩也不够理想。
整张试卷在考查基础知识的同时，也渗透了对学生行为习惯的考查。
有些题虽然很容易，但没有良好的学习习惯，没有细心、认真审题的习惯，也很容易出错。
例如，口算不够熟练，运算符号看错导致失分；解决问题存在的主要问题是一部分学生缺少一定的分析能力，看不出题中隐藏的干扰条件，今后应加大解决问题的教学力度，着重对班里的中等生以及后进生在如何分析信息和问题上多加以指导。
改进措施：1、加强口算训练，培养学生做计算题的正确率。
2、围绕知识点多设计各种类型的练习，培养学生的应变能力和思维的灵活性。
3、认真指导学生阅读应用题，能找出题中的已知条件和所求问题。
教给学生思考解决问题的方法，逐步培养学生解答应用题的能力。
4、把好单元检测关，及时查漏补缺，弥补不足。
5、加强检查对错的习惯培养，提高学生的学习能力。
数学考试反思总结作文篇2时间过得很快很快，从来不停下脚步等待。
命运掌握在我们的手中，有我们自己刻画一个人一生的姿态。
花儿总有凋谢的时候，人也如此，要珍惜年少时的时光。
我并没有常常珍惜生活中的点点滴滴，就如珍惜宝藏一样，每一秒都是宝藏，而我却浪费在娱乐上。
许多人都没有领略宝藏的真正含义。
数学考试反思【精选10篇】
数学考试反思【精选10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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八年下期中考试模拟
1．一个正方形和两个三角形的位置如图所示，若∠3=45°，则∠1+∠2=（105）
2．m<2
3. b
4．b
5．小宝和爸妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为69千克,坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈以欧版的小宝和妈妈同坐在跷跷板的另一端，这时爸爸的一端仍然着地。
后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃，加在他和妈妈坐的一端，结果爸爸被翘起离地。
小宝的体重最可能是（22kg ）
6.在三角形ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF垂直AE,AB＝4,AC＝1.5，则DF= 1.
25
b
a
9．已知x²＋（m－3）x＋25是完全平方式，则m的值是_________13/-7
10.
0.5
11、已知：，且，则（ 1或4）
12、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元．后来他以每斤元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，则x与y的大小关系（）
B．x＞y
13.如图，已知边长为2的正三角形ABC顶点A的坐标为（0,6），BC的中点D在y轴上，且在A的下方，点E是边长为2，中心在原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕中心旋转一周，在此过程
中DE的最小值为
14、如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后
全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a cm，若铁钉总长度为6cm，则a的取值范围是（）D．≤a＜
15．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，边CD在直线L上，将矩形ABCD沿直线L作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为 .
【答案】12π。
16、如图，一次函数y1＝k1x＋b1与y2＝k2x＋b2的图象相交于A(4，3)，则不等式(k2－k1)x＋b2－b1＜0的解集为__________.
【答案】x大于4
17、如图，用3个边长为2的正方形组成一个轴对称图形，则能将其完全覆盖的圆的最小半径为．
【答案】.*2
18、如图1,△ABC中,∠ACB=30º,BC=7,AC=6,在△ABC内部有一点P,连接PA.PB.PC,求PA+PB+PC的最小值为____________根号83
19、（本题满分l2分）某校学生到距离学校12km的科技馆，出租车的收费标准如下：出租车的行程在3km以内（包括3km），收费为4．5元；3km以上每增加1km（不足1km以1km计算）另收费0．5元．（1）写出出租车行驶的里程数（≥3km）与费用（元）之间的函数关系式．
（2）身上仅有10元钱，乘出租车到科技馆的车费够不够?
（3）如果出租车行驶了7．4km，问该收多少钱?
【答案】解：（1）出租车行驶的里程数（3km）与费用（元）之间的函数关系式：
（≥3）
（2）当=10时，
得=14>12，故车费够用
（3）当时，应按=8计算
元（每小题4分）
20、某公司有甲种原料260kg，乙种原料270kg，计划用这两种原料生产A、B两种产品共40件．生产每件A种产品需甲种原料8kg，乙种原料5kg，可获利润900元；生产每件B种产品需甲种原料4kg，乙种原料9kg，可获利润1100元．设安排生产A种产品x件．
（3）设生产这批40件产品共可获利润y元，将y表示为x的函数，并求出最大利润．
【答案】（1）
（2）共有三种方案：
方案一：A产品23件，B产品17件，
方案二：A产品24件，B产品16件，
方案三：A产品25件，B产品15件。
（3）39400元
21．已知等边三角形ABC的高为5，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，P到AC的距离是2。
则P到BC的最小距离距离是多少？（8分）。