合肥学院2012-13学年第一学期期末线性代数试卷
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
12-13 线代期末考试卷 A
安徽师范大学2012－2013学年第一学期化材学院专业基础课2012级《线性代数》课程期末考试试卷(A 卷 闭卷 120分钟)1. 设α, β, γ1, γ2均为3维列向量，3阶方阵A =(α, γ1, γ2), B =(β, γ1, γ2)，且已知行列式3=A , 2=B ，则行列式=+B A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 5 (B) 10 (C) 20 (D) 402. 设A , B 均为n 阶方阵，则(A +B )(A -B )=A 2-B 2成立的充分必要条件是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) A =O (B)B =E (C) A =B (D) AB =BA3. 下列矩阵中为初等矩阵的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000(B) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛001010100 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-001010100 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010021 3. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0021α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3002α，则下列向量中可以用α1, α2线性表示的是⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-403 (B)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010 (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011 (D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110 5. 若矩阵A 与B 相似，则⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ( )(A) 存在正交矩阵P ，使得P -1AP =B (B) 存在正交矩阵P ，使得P T AP =B (C) 存在可逆矩阵P 和Q ，使得A =PBQ (D) 存在可逆矩阵P ，使得A =P -1BP1. 已知3阶方阵A 中的元素全部为1，则A 2013 = .2. 已知矩阵()4 ,0 ,30201⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A ，则矩阵A 的秩等于 .3. 已知n 阶方阵A 的秩为n -1，且A 的各行元素之和均为零，则齐次线性方程组Ax =0 的通解是 .4. 已知2阶方阵A 的特征值是1和2，则伴随矩阵A * 的特征值是 和 .5. 二次型f (x 1,x 2,x 3)= x 12-2x 1x 2+x 22的矩阵是 .一、单项选择题（每小题4分，共20分）二、填空题（每小题4分，共20分）1. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120112A ，求矩阵B ，使得A +B =AB2. 已知向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ211α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=202λα,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1113α线性相关，求参数λ 的值.3. 设三维向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=112λα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λ113α,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=112β，已知β 不能由α1, α2, α3线性表示， 求参数λ 的值.4. 已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=111ξ是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量. 求：① 参数a , b 的值；② 特征向量ξ 所对应的特征值.三、计算题（每小题7分，共35分）5. 用施密特正交化方法，将向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0213α规范正交化1. 已知A 是n 阶方阵，B 是n ⨯s 矩阵(n ≤s )，并且B 是行满秩矩阵. ① 证明：R (AB )=R (A )； ②证明：如果AB =B ，则A =E .2. 已知向量组(I): α1, α2, α3与向量组(II): β1, β2, β3满足关系式⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++=32112113211 2 3 αααβααβαααβ.证明：向量组(I)和(II)等价.四、证明题（每小题8分，共16分）设3阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000111a A .① 求矩阵A 的特征值；② 参数a取何值时，矩阵A 可对角化，说明理由；③ 当A 可对角化时，求可逆矩阵P 和对角阵Λ，使得P -1AP =Λ.五、解答题（9分）。
线性代数期末考试试卷A答案
…………(2分)
它的特征多项式为
，
…………(4分)
由于其有一特征值，故，所以A的特征值为
，。
…………(6分)
当时，解方程。
，
得基础解系，，
…………(8分)
单位化即得，；
…………(10分)
当时，解方程。
，
得基础解系，单位化即得； …………(12分)
于是正交变换为 ，
且其标准型为.
…………(13分) …………(15分)
八、证明（本题13分）
1、设A、B都是n阶矩阵，且A为对称阵，证明也是对称阵。
得分
（本小题7分）
证明：由于，
A是n次对称阵，故有。
…………(3分)
于是
即是对称阵，故也是对称阵。 …………(7分)
2、设，证明：A的特征值只能取1或2。
（本题6分）
得分
证明：设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则
…………(2分)
A） ACB B）ABC C）BAC D）CBA
3、设矩阵A =，则 D 。
A）8 B） -8 C）-16 D）16
4、设三元非齐次程组AX=B的两个解分别为，且系数矩阵A的秩为2，
则对任意常数方程组的通解可表为 C 。
A）
B）
C） D）
5、矩阵A=非零特征值是 B 。
A）4 B）3 C）2
D）1
二、填空题：（每题2分共10分）
…………(6分)
当时，解方程。 ，
得基础解系，故的全部特征向量为…………(8分) 当时，解方程。 ，
得基础解系，故的全部特征向量为…………(10分) 当时，解方程。 ，
得基础解系，故的全部特征向量为………(12分)
大一线性代数期末试卷试题附有答案.docx
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯诚信应考 , 考试作弊将带来严重后果！⋯线性代数期末考试试卷及答案⋯⋯⋯号⋯注意事： 1.考前将密封内填写清楚；位⋯ 2.所有答案直接答在卷上( 或答上 ) ；座⋯3．考形式：开（）卷；⋯4.本卷共五大，分100 分，考 120分。
题号一二三四五总分⋯⋯得分⋯评卷人⋯⋯⋯⋯一、（每小 2 分，共 40 分）。
⋯业⋯专⋯1．矩A为2 2矩阵, B为23矩阵 ,C为32矩阵，下列矩运算无意的是⋯⋯【】⋯⋯)⋯封A B.ABCC. BCAD.CAB⋯. BAC2答⋯＋ E =0 ，其中 E是 n 位矩，必有【】2. n 方 A 足 A院不⋯A.矩 A 不是矩B. A=-EC. A=ED. det(A)=1⋯学内⋯⋯封⋯3. A n 方，且行列式det(A)= 1 ,det(-2A)=【】密⋯(⋯A. －2－2 n－2n⋯ B. C. D. 1⋯⋯4. A 3 方，且行列式det(A)=0，在 A的行向量中【】⋯⋯ A. 必存在一个行向量零向量⋯⋯ B. 必存在两个行向量，其分量成比例⋯C. 存在一个行向量，它是其它两个行向量的性合号⋯密D. 任意一个行向量都是其它两个行向量的性合学⋯⋯5．向量a1, a2,a3性无关，下列向量中性无关的是【】⋯⋯A．a1a2 , a2a3 , a3a1 B.a1, a2 ,2a13a2⋯C. a2,2a3,2a2a3a1－ a3, a2 , a1⋯ D.⋯⋯名⋯6. 向量 (I):a1 ,, a m (m3)性无关的充分必要条件是【】姓⋯⋯⋯⋯⋯⋯A.(I)中任意一个向量都不能由其余m-1 个向量线性表出B.(I)中存在一个向量, 它不能由其余m-1 个向量线性表出C.(I)中任意两个向量线性无关D. 存在不全为零的常数k1,, k m ,使 k1 a1k m a m 07．设a为m n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax 0存在非零解的充分必要条件是【】A．A的行向量组线性相关B. A 的列向量组线性相关C. A的行向量组线性无关D. A 的列向量组线性无关a1 x1a2 x2a3 x30 8. 设a i、b i均为非零常数（i =1， 2， 3），且齐次线性方程组b2 x2b3 x30b1 x1的基础解系含 2 个解向量，则必有【】a1a20 B.a1a20a1a2a3 D.a1 a3A.b3b1b2C.b2b3b1 b2b2b19. 方程组2 x1x2x31有解的充分必要的条件是【】x12x2x313 x13x22x3a1A. a=-3B. a=-2C. a=3D. a=110.设η1，η2，η3 是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系，则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的是【】A. 可由η1，η2，η3线性表示的向量组B.与η 1，η2，η3 等秩的向量组C. η1－η2，η2－η3，η3－η1D.η1，η1-η3，η1-η2-η311.已知非齐次线性方程组的系数行列式为0，则【】A.方程组有无穷多解B.方程组可能无解，也可能有无穷多解C.方程组有唯一解或无穷多解D.方程组无解12.n阶方阵 A 相似于对角矩阵的充分必要条件是 A 有n 个【】A. 互不相同的特征值B.互不相同的特征向量C. 线性无关的特征向量D.两两正交的特征向量13. 下列子集能作成向量空间n的子空间的是【】RA. {( a1, a2,, a n ) | a1a20}B.12n n i,) |a0}{( a ,a, aC. {( a1, a2,, a n ) | a i z, i 1,2,,n}D.i n1{( a1 ,a2 ,, a n ) |a i1}i 114. 若 2 阶方阵 A 相似于矩阵 B12 ,E 为 2 阶单位矩阵 , 则方阵 E – A 必相似于矩阵- 3【 】1 0 -10 0 - 1A.4B. - 4C.4D.11 - 2- 2 - 41 015. 若矩阵 A02a 正定 , 则实数 a 的取值范围是 【】0 a8A ． a < 8B. a ＞ 4C ． a ＜ -4D． -4 ＜ a ＜ 4二、填空题 （每小题 2 分，共 20 分）。
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合肥学院20 13 至20 14 学年第 2 学期数据结构与算法设计 课程考试（ A ）卷系 级 专业 学号 姓名一、选择题：（2分×15=30分）1． 栈和队列的共同特点是( A )。
A 、只允许在端点处插入和删除元素B 、都是先进后出C 、都是先进先出D 、没有共同点2． 以下数据结构中哪一个是非线性结构？( D )A 、 队列B 、 栈C 、 线性表D 、 二叉树 3．下面程序的时间复杂为（ B ）。
for （i=1，s=0； i<=n ； i++） {t=1；for(j=1；j<=i ；j++) t=t*j ；s=s+t ；} A 、 O(n) B 、 O(n 2) C 、 O(n 3) D 、 O(n 4)4．在一个单链表中，已知q 结点是p 结点的前趋结点，若在q 和p 之间插入s 结点，则须执行（B ）。
A ．s->next=p->next; p->next=sB ．q->next=s; s->next=pC ．p->next=s->next; s->next=pD ．p->next=s; s->next=q5. 设一组初始记录关键字序列为(45，80，55，40，42，85)，则以第一个记录关键字45为基准而得到一趟快速排序的结果是（ C ）。
A 、 40，42，45，55，80，83B 、 42，40，45，80，85，88C 、 42，40，45，55，80，85D 、 42，40，45，85，55，80 6．设一个有序的单链表中有n 个结点，现要求插入一个新结点后使得单链表仍然保持有序，则该操作的时间复杂度为（ D ）。
A 、 O(log 2n)B 、 O(1)C 、 O(n 2)D 、 O(n)7. 设有6个结点的无向图，该图至少应有( A )条边才能确保是一个连通图。
A 、5B 、6C 、7D 、88．设连通图G 中的边集E={(a ，b)，(a ，e)，(a ，c)，(b ，e)，(e，d)，(d ，f)，(f ，c)}，则从顶点a 出发可以得到一种深度优先遍历的顶点序列为（ A ）。
2012-2013-1线性代数A试卷与答案
,,s、向量组的秩为r，则向量组中三、计算题（每题12分，共60分）1、计算行列式：32142143143243212、已知=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101111121X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛523231141，求矩阵X3、求线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=----=+-+-=+-+=+-+261782314620324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。
4、求向量组1234(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0),(1,2,3)αααα====-的一个极大线性无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.5、求⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100010221A 的特征值与特征向量.分）若123,,ξξξ是方程组0AX =的基础解系，证明1323122,2,2ξ+ξξ+ξξ+ξ也是该方程组的基础解系.2012-2013-1线性代数A 参考答案与评分标准一、 判断题（每题2分，共20分）二、填空题（每空2分，共10分）1、-2；2、43、41； 4、1； 5、111,,632三、计算题（每题12分，共60分）1、解：原式=32110214101431043210……………………………………………（2分） =111022203110432110321121411431432110------= …………………………（6分） =11314021113112011111131120----=----=---- …………（10分）=160113140=- ……………………………………………………（12分）2、解：1141121132111325101X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦----------------------4分 121100121100111010012110101001022101⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1310011031202201211001001100212111001122⎡⎤--⎢⎥--⎡⎤⎢⎥⎢⎥---→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦--⎢⎥⎣⎦--------------10分131221141223113201102232511465122⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎣⎦--------------------------12分 3、解：先对增广矩阵进行初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------------→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------000000000012210032112442012210122100321121611178231461203211--------------------6分同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+-+1220324324321x x x x x x x ，一个特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0011-----------------------8分选4x 为自由未知量，得到齐次线性方程组的一个基础解系：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210121,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1105----------------------10分原方程组的通解为+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2101211k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11052k +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011-------------------------12分 4、解:秩为 3，--------------------------6分一个极大线性无关组为123,,ααα. --------------------------10分412335αααα=-+-；--------------------------12分5、解:特征方程为|λE －A|=1010221---+λλλ=(λ+1) (λ－1)2 =0，------4分 ∴A 的全部特征值为λ1=－1，λ2=λ3=1。
线代期末考试A卷及答案
2011－2012学年第一学期期末考试《线性代数》试卷 （A ）评阅人:_____________ 总分人：______________一、单项选择题。
(本大题共10小题，每小题3分,共30分) 1．设1111011x x x xx x++=+，则实数x =A ．1 ；B ．-1；C ．0；D ．4. 2.设A 为n 阶方阵，则kA =A ．A k n； B. A k ； C. A k ； D. nA k )(. 3.设B A ,均为n 阶矩阵，且AB =O ，则下列命题中一定成立的是( ) A. A =O 或B =O ； B. A ,B 都不可逆；C. A +B =O ；D. A ,B 至少有一个不可逆.4.下列矩阵中与矩阵123218001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭同秩的矩阵是 A ．()456； B.123456⎛⎫⎪⎝⎭； C.12111011⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； D.122101402⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 5.设A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ） A. A 2必为1； B. A 必为1； C. T A A=-1； D. A 的行（列）向量组是正交单位向量组.6．设非齐次线性方程组Ax =b 的导出组为Ax =0，则下列结论中正确的是（ ）A.若Ax =0仅有零解，则Ax =b 有唯一解；B.若Ax =0有非零解，则Ax =b 有无穷多解；C.若Ax =b 有无穷多解，则Ax =0仅有零解；D.若Ax =b 有唯一解，则Ax =0仅有零解。
__________________系__________专业___________班级 姓名_______________ 学号_______________………………………………（密）………………………………（封）………………………………（线）………………………………27．已知λ=3是可逆矩阵A 的一个特征值，则1-A 有一特征值是（ ）A.49； B. 94； C. 13； D. 19 .8．设n 维向量α与β满足α,β()=0，则有（ ）A. α,β 全为零向量；B. α,β中至少有一个是零向量；C. α与β的对应分量成比例；D. α与β 正交. 9.设向量组A 与向量组B 等价，则有（ ）A. B A R R <B. B A R R >C. B A R R =D. 不能确定A R 和B R 的大小.10.设齐次线性方程组0AX =的系数矩阵A 为m n ⨯矩阵，()()R A s s n =<，则此方程组基础解系的秩为A ．m s - ； B. s n - ； C. n s - ； D. m n -.二、填空题。
13-14第一学期合肥工业大学线性代数A卷-1
1 2 3 0 0 1 1 0 0 20 21 3．设矩阵 A 4 5 6 ， P 0 1 0 ， Q 0 0 1 ，则 P AQ _____ 7 8 9 1 0 0 0 1 0
4．已知 (1,2,3) ， (1,
二、选择题（每小题 4 分，共计 20 分）
3 0 2 2 1．设行列式 D 0 7 5 3 （B） 14 （A） 0
1 1
1 2 4 2 ，问矩阵 A 能否相似对角化？若能相似对角化， 3 3 5
则求可逆阵 C ，使 C 1 AC 为对角阵． 七、 （本题满分 12 分）已知二次型
3
（C） ） ．
1 , 2 , 3
（D） 1 , 2 , 3 , 4
（A） A O （C） A 的特征值全为零
（B） A 仅有一个特征值为零，其它 n 1 个可能不为零 （D） A 有 n 个线性无关的特征向量
命题教师注意事项：1、主考教师必须于考试一周前将“试卷 A” 、 “试卷 B”经教研室主任审批签字后送教务科印刷。 2、请命题教师用黑色水笔工整地书写题目或用 A4 纸横式打印贴在试卷版芯中。
一、填空题（每小题 4 分，共计 20 分） 1．设 n 阶矩阵 A 的主对角线元素全为零，其余元素均为 1，则 A 2．若 4 阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 . 三、 （本题满分 10 分）已知 A 、 B 为 3 阶矩阵，且满足 2 A B B 4 E ，其中 E 是 3 阶单位矩阵.
f y12 2 y2 2 by3 2 ，求参数 a , b 及所用正交变换 x Py ．
T T
3． 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A 0 ， 若 1 , 2 , 3 , 4 是非齐次线性方程组 Ax b 的互不相等的解， 则对应的齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系( ) （A）不存在. （B）仅含有一个非零解向量. （C）含有两个线性无关的解向量.
合工大线性代数期末考试复习资料
根本概念1. 余子式ij M 与代数余子式ij A ，(1)i j ij ij A M +=-，(1)i j ij ij M A +=-。
2. 对称矩阵：T A A =。
3. 伴随矩阵，组成元素ij A ，书写格式：行元素的代数余子式写在列。
4. 逆矩阵AB BA E ==，称A 可逆。
假设A 可逆，那么11AA A A E --==.5. 分块对角阵，12A A A =⋅，。
6.初等行〔列〕变换：① 对换两行或两列；② 某行或某列乘以非零常数k ；③ 某行〔列〕的k 倍加到另一行〔列〕。
7.等价矩阵：① 初等变换得来的矩阵；② 存在可逆矩阵,P Q ，使得PAQ B =。
8.初等矩阵：初等变换经过一次初等变换得来的矩阵，① (,)E i j ；② (())E i k ；③(,())E j i k 。
9.矩阵的秩：最高阶非零子式的阶数。
1()0,0k k r A k D D +=⇔∃≠∀=。
10. 线性表示：存在12,,,n k k k 使得1122n n k k k βααα=+++，等价于非齐次方程组Ax β=有解12,,,n k k k 。
11. 线性相关：存在不全为0的数12,,,n k k k ，使得11220n n k k k ααα+++=，等价于齐次方程组0Ax =有非零解。
12. 线性无关：11220n n k k k ααα+++=成立120n k k k ⇒====，等价于齐次方程组0Ax =仅有零解。
13. 极大无关组：12,,,n ααα中r 个向量12,,,r βββ满足：① 线性无关；②12,,,n ααα中任意向量可由其表示或12,,,n ααα中任意1r +个向量线性无关，那么称12,,,r βββ为12,,,n ααα的极大无关组。
14. 向量组12,,,n ααα可由向量组12,,,m βββ表示：12,,,n ααα中任意一个向量可由12,,,m βββ表示，等价于BX A =有解，12(,,,)m B βββ=，12(,,,)n A ααα=。
2012-2013-1-线性代数A 期末试卷及答案
②若秩 (A) ≥ 秩 (B) ，则 Ax = 0 的解均是 Bx = 0 的解；
③若 Ax = 0 与 Bx = 0 同解，则秩 (A) = 秩 (B) ；
④若秩 (A) = 秩 (B) ，则 AX = 0 与 BX = 0 同解。
以上命题中正确的是
。
（A）①②
（B）①③
（C）②④
（D）③④
5. 方阵 A 与 B 相似的充分必要条件是
北京科技大学 2012--2013 学年第一学期
线性代数 试卷（A 卷）
院(系)
班级
学号
姓名
试卷卷面成绩
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
得
分
评
阅
审
核
小计
占课程 考核成 绩 70%
平时 成绩 占 30%
课程考 核成绩
注意事项： （1）本试卷共八道大题，共八页，请认真核对。 （2）正确填写学院、班级、姓名、学号等个人信息，空填或错填的试卷为无效试卷。 （3）请使用钢笔、签字笔或者圆珠笔答卷，使用铅笔答卷无效。
(A)2000
(B)-2000
。 (C)2300
(D)-2300
3.设向量组α1,α2 ,α3 线性无关，向量 β1 可由α1,α2 ,α3 线性表示，而向量 β2 不能由α1,α2 ,α3 线性表示，
则对于任意常数 k ，必有
。
（A）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性无关；
（B）α1,α2 ,α3, kβ1 + β2 线性相关；
⎟ ⎟ ⎟
,
α
3
⎜
=
⎜ ⎜
0 7
⎟
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合肥学院2012至2013学年第 一 学期
经管应用数学C 模块考试（ A ）卷
系 级 专业 学号 姓名
一、选择题：（每题 3 分，共 15分）
1、 设A 为43⨯矩阵,1η, 2η , 3η 是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无
关的解，1k ,2k 为任意常数，则Ax β=的通解为 （ ）
()
A 23
121()2k ηηηη++- ()
B 23
221()2k ηηηη-+-
()C 23131221()()2k k ηηηηηη++-+- ()D 23221331()()2k k ηη
ηηηη-+-+-
2、 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵. 若30A =，则 （ ）
()A E A -不可逆，E A +不可逆.
()B E A -不可逆，E A +可逆. ()C E A -可逆，E A +可逆.
()D E A -可逆，E A
+不可逆.
3、 设α为三维列向量，T α是α的转置。
若T αα=111111111-⎛⎫
⎪
-- ⎪ ⎪-⎝⎭
，则T αα=
（ ）
()A 1 ()B 2 ()C 3
()D 4
4、 已知0b 0,a ≠≠，且⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=dc db ac ab A ，则其秩为 （ ）
装
订
线
()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 3
5、 二次型2
32121321),,(x x x x x x x f -+-=的矩阵是 （ ）
()A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--10
000210211()B ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛--210
0002
1
021
2
1 ()C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100000011 ()D ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛--100001001
二、填空题：（每题 3 分，共 24分） 1. 31452的逆序数为 .
2. 以向量组111207321a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
为棱构成的平行六面体的体积
为 .
3. 已知3阶矩阵A 的逆矩阵1A -=122212221⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，则A 中所有元素的代数余子式
之和为 .
4. 若A =⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛01112421λ，为使矩阵A 的秩有最小秩，则λ应为 .
5. 131231110,2,3032βααβααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，在，，下的坐标为 .
6. 若向量组123,,ααα线性相关，则向量组12αα+，23αα+，31αα+线性 （相关或无关）.
7. A 是6*6矩阵，()2R A =，则0AX =解空间的维数为 .
8. 已知三阶方阵A 的特征值为1,2,3，|A 2
*
1
4A A -+-|= .
三、计算
a
a a
a 1001000
01001-- （7分）
四、 已知B AX =，12325221,3134343A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，求X .（8分）
五、 求向量组123421234,1,3,52012αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的一个极大线性无关组,
并将其它向量用该极大无关组线性表出.（9分）
六、设11111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，23311α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，320
68α-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，试用施密特正交化过程把这组向量
规范正交化.（9分）
七、已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=314-020112A , 求矩阵A 的特征值及特征值所对应的特征向量
（14分）
八、λ取何值时，线性方程组 （14分）
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+-=-+-=--+=+-)
1()5(42-24)5(212-2)2(321321321λλλλx x x x x x x x x
（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并求出通解.。