极大似然估计方法的直观教学设计
极大似然估计概念的微课程教学设计
极大似然估计概念的微课程教学设计陈永娟(莆田学院数学与金融学院，福建莆田351100)[摘要]极大似然估计法是概率统计中一种重要的、应用广泛的方法，同时也是学生较难理解的概率统计概念。
本 文给出一节极大似然估计的微课程教学设计。
通过案例教学法，由浅人深地讲解极大似然估计的基本思想、原则和解题 步骤，并在其中融人基本的统计思想，让学生能够进一步理解这个概念。
[关键词]微课;极大似然估计；教学设计[中图分类号]G420 [文献标识码]A[文章编号]1671 -5330(2019)02 - 0147 - 03〇引言概率论与数理统计是一门基础课程，在高校 中不仅是理工科各专业要学习它，管理类各专业、农、林、医、人文等专业也要学习它。
但是由于它 特有的一些思想方法，使得不少学生掌握起来比 较困难。
近年来很多概率统计教师，将微课应用 于该课程的教学改革中，通常会通过一节十到二 十分钟的微课讲清一个概念。
如何进行教学设计 把一个概念讲清讲透呢？本文给出一节极大似然 估计的微课程教学设计，为概率统计微课程的教 学设计起到一个抛砖引玉的作用。
1教学背景概率论与数理统计中，极大似然估计法的概 念方法是在学生已经学习了点估计、矩法估计等 概念之后学习的知识点。
它是概率论与数理统计 的重要概念之一。
极大似然估计法应用非常广 泛，在以往的教学中发现学生往往只会套模式做 相关练习，而对极大似然估计的基本思想和估计 参数的原则理解不透彻。
一个很重要的原因是教 师对这个方法的统计思想阐述得不够透彻。
下面 通过一节十多分钟的微课程教学设计，让学生能 进一步理解极大似然估计的基本思想和概念。
2教学方法和过程根据思维习惯由直观到抽象的特点，首先给 出一个简单的例子先让学生从直观上去估计参 数，这样对于接下来较抽象的理论有较好的引导 作用。
例1一个盒子中装有若干个白色和黄色的 乒乓球，不同颜色球的数量比为3:1，但不知哪种 颜色的球比较多。
典型教案1 1 1参数估计的矩法和极大似然法
0 dp f (i , u10 , , uk )dx1 dxn 要比落在其它区域内的概率为大。
i 1
0 dp 是 u10 , , u k 的函数。
n
因 此 极 大 似 然 法 就 寻 找 使
0 0 u1 , u 2 , , u k , 来估计u10 , u 2 , u k 。
n
0 这样做的好处是，lnL= l n f ( xi ; u10 , , u k )
J 1,2,, k
求解。
i 1
0 l n L l n f ( xi ; u10 , , u k ) 所以 0 0, 似然方程就可化简。 0 u j u j
3
2、定义
0 0 设总体 X 的密度函数为 f ( x1 ; u10 , , u k ) ，其中 u10 , , u k 为未知参数，x1 , , x n 为样
U CVn
S 1 1 ( X i X ) 2 X X n
1 (X n 1
i
S' 1 X 一般采用 X
X )2
作为 Cvo 的估计量。
1 ( K i 1) 2 n 1
4. uo=CSo 1 ( X i X )3 b3 n 3 U CSn 3 , 一般采用U CSn 1 n S 1 2 3/ 2 [ (Xi X ) ] [ ( X i X )2 ]3/ 2 n i 1 n 1 1 ( K i 1)3 ( Ki 1)3 n3 1 (n 3)CV 3 2 3/ 2 [ ( K 1) ] i n 1 5、 u 0
∵ EU EX EX 1 ∴ U X X i 是 uo=EX 的不偏估计量。 n 2、uo=DX 1 用 S 2 ( X i X ) 2 去估计 uo=DX n 已知总体样本(x1，x2，…xn)以后，把它代入 1 U S 2 ( X i X ) 2 作为 DX 的估计值。 n n 1 ∵ ES 2 DX n ∴S2 不是 DX 的无偏估计量。 纠偏： 设U
数理统计7：矩法估计（MM）、极大似然估计（MLE），定时截尾实验
数理统计7：矩法估计（MM）、极⼤似然估计（MLE），定时截尾实验在上⼀篇⽂章的最后，我们指出，参数估计是不可能穷尽讨论的，要想对各种各样的参数作出估计，就需要⼀定的参数估计⽅法。
今天我们将讨论常⽤的点估计⽅法：矩估计、极⼤似然估计，它们各有优劣，但都很重要。
由于本系列为我独⾃完成的，缺少审阅，如果有任何错误，欢迎在评论区中指出，谢谢！⽬录Part 1：矩法估计矩法估计的重点就在于“矩”字，我们知道矩是概率分布的⼀种数字特征，可以分为原点矩和中⼼矩两种。
对于随机变量X⽽⾔，其k阶原点矩和k阶中⼼矩为a_k=\mathbb{E}(X^k),\quad m_k=\mathbb{E}[X-\mathbb{E}(X)]^k,特别地，⼀阶原点矩就是随机变量的期望，⼆阶中⼼矩就是随机变量的⽅差，由于\mathbb{E}(X-\mathbb{E}(X))=0，所以我们不定义⼀阶中⼼矩。
实际⽣活中，我们不可能了解X的全貌，也就不可能通过积分来求X的矩，因⽽需要通过样本(X_1,\cdots,X_n)来估计总体矩。
⼀般地，由n个样本计算出的样本k阶原点矩和样本k阶中⼼矩分别是a_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j^k,\quad m_{n,k}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^k.显然，它们都是统计量，因为给出样本之后它们都是可计算的。
形式上，样本矩是对总体矩中元素的直接替换后求平均，因此总是⽐较容易计算的。
容易验证，a_{n,k}是a_k的⽆偏估计，但m_{n,k}则不是。
特别地，a_{n,1}=\bar X，m_{n,2}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}(X_j-\bar X)^2=\frac{n-1}{n}S^2\xlongequal{def}S_n^2,⼀阶样本原点矩就是样本均值，⼆阶样本中⼼矩却不是样本⽅差，⽽需要经过⼀定的调整，这点务必注意。
极大似然估计方法的直观教学设计
极大似然估计方法的直观教学设计刘倩【摘要】极大似然估计是求解参数点估计的一个重要方法。
该方法具有很多优良的统计性质，因而在各个领域中得到广泛的应用。
针对该方法计算复杂，学生理解较为困难的问题，对极大似然估计的教学方案进行了设计。
通过引入简单实例，讨论了极大似然估计所使用的极大似然原理及其求解方法，让学生形成对新方法的直观理解，在教学中取得了良好的效果。
%Maximum likelihood estimation is an important way to solve point estimation about the parameter.This method has been widely used in various fields with excellent statistical properties.Because the method is more complicated and some students have more difficulty to understand,gave a plan of teaching design of maximum likelihood estimation.By introducing a simple example,discussed the maximum likelihood principle and calculation methods of maximum likelihood estimation.Thus,students could form the intuitive understanding of the new method and achieve good teaching effect.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2015(000)006【总页数】4页(P55-58)【关键词】极大似然估计;极大似然原理;教学设计【作者】刘倩【作者单位】西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安 710071【正文语种】中文【中图分类】O211;G642.0生活中处处蕴含着统计思想，相比参数的矩估计方法，极大似然估计方法较难掌握．本文对极大似然估计方法的教学设计给出新的尝试，通过引入简单实例，讲授极大似然估计的基本思想，让学生形成对新方法的直观理解，在教学中取得了良好的效果．设总体的分布函数的形式已知，但是它的一个或者多个参数未知，借助于总体的一个样本估计总体未知参数的问题称为参数的点估计．矩估计是参数的一种点估计方法，它的思想是利用同阶、同类的样本矩代替相应的总体矩．因此，矩估计是基于替换思想建立起来的一种估计方法．这种方法原理直观，但是存在几个主要的缺点：只用到了总体矩，如果总体矩不存在，则无法求解，如柯西分布；没有用到总体的分布形式，所以总体分布包含的参数信息没有加以利用，损失了一部分有用的信息；矩估计基于大数定律，所以在大样本时才有较好的效果．因此在很多场合下，矩估计显得粗糙，有必要引入其它的参数估计方法．引例设袋子中有白球、黑球共计4个，但是不知道白球、黑球的具体数目．现在做一个随机试验：有放回地取球3次，每次取1个．假设在一次试验中，取到2个白球，1个黑球，用随机事件表示这个结果，试估计白球的个数．这是一个未知参数的点估计问题，即根据在一次试验中获得结果，猜测最有可能的取值．这个问题简单直观，提问之后，大多数学生都会回答白球最有可能是3个，或者一部分学生会回答白球最有可能是2个或3个．此时学生在不自觉中已经使用了某种统计思想，即最有可能的事情最容易发生，或者概率最大的事情最容易发生．进一步分析得到结论，即袋子中白球个数将直接影响随机事件发生的机率，目的是引导学生将这个统计问题转化为优化问题．解设为取到白球的概率，那么根据二项分布的概率模型当时，，；当时，，；当时，，．可见，随着的数值不同而不同，不妨设．当袋子白球个数为3时，在一次试验中，随机事件发生的概率是最大的．概率最大的事件在一次试验中是最有可能发生的，反之，一个随机试验如果有若干个可能的结果，而在一次随机试验中，某个结果出现了，则一般认为该试验条件对结果出现有利，也就是说，发生的概率是最大的．在引例中，既然事件发生了，那么发生的概率就是最大的，认为此时的值就是的估计值．因此，选择使得在一次试验就出现的事件的概率达到最大的参数值作为估计值是合理的，推测，满足．这个估计值看起来最像参数的真值．事实上，从直观上看，取的理由也是十分充分的．设想当时，摸到2个白球，1个黑球的可能性要比或者时大．这里使用的统计思想就是参数估计的依据，称为极大似然原理．一次试验就出现的事件有最大的概率．生活中，人们经常使用极大似然原理．如某位学生与一位猎人一起外出打猎，一只野兔从前方窜出，只听一声枪响，野兔应声倒下．由于只发一枪便打中，而猎人命中的概率一般大于这位学生命中的概率，因此这一枪最有可能是猎人射中的．这个例子所作的推断就体现了极大似然的基本思想．应用极大似然的思想进行参数估计，这个想法非常自然．在看待任何一次随机试验结果时，都可以认为是最有可能的事情发生了．观测到某事件发生了，所提出的统计模型中参数应该使得观测到的事件发生的可能性达到最大，进而转化成为函数的极值问题．定义[1-2] 设总体的概率函数为，形式已知，未知，且．假设为样本的一组样本观测值，令称为样本的似然函数．若存在估计值，满足，则称为参数的极大似然估计值，相应的统计量称为的极大似然估计量，统称为极大似然估计．极大似然估计最早是由德国数学家高斯在1821年提出，1912年由现代数理统计奠基人之一的英国统计学家Fisher重新提出[3]，并且证明了这个方法的一些性质．极大似然估计这个名称也是由Fisher给出的．极大似然估计简记为MLE （Maximum Likelihood Estimation）．对样本的似然函数定义作出几点说明：（1）似然函数与联合概率函数的区别与联系．样本的似然函数与样本的联合概率函数实质是相同的，只是看法不同而已．将看作由变量和构成的二元函数，那么固定，视为自变量，就是已经学习过的样本联合概率函数；而固定，视为自变量，就是样本似然函数．在已知样本观测值时，似然函数中的自变量是未知参数，因此把似然函数记为．（2）似然函数的直观含义．是英文“Likelihood”的第一个字母．“似然”是对“Likelihood”的一种较为贴近文言文的翻译，通俗地讲，就是可能性、看起来像的意思．因此，似然函数的直观意义就是当样本的一组观测值得到之后，在许多待选的总体参数中，哪个与此数据最匹配．这个过程类似于贝叶斯公式的推理，把观测值看作结果，把待估参数看作导致这个结果的可能的原因．现在已经有了结果，反过来推算各种原因发生的概率，自然选择似然程度最高的作为待估参数的估计，此时，看来最像是参数的真值．（3）注重统计思想的建立．求解似然函数的极大值点，可以应用微积分中一些技巧．由于似然函数具有连乘的形式，常常转化为求对数似然函数的极大值点，这是因为函数和在的同一点处达到各自的极大值．当对数似然函数关于可微时，通常可以通过求解对数似然方程得到的极大似然估计．值得注意的是，这种方法求解极大似然估计有时行不通，此时必须回到极大似然估计的原始定义，改用其它函数极值的判断方法．极值问题不过是数学上的处理技巧，要求学生不应拘泥于具体的数学解法，而重在建立极大似然估计的统计思想．利用极大似然估计的原始定义，判断似然函数的极大值点时，比值法[4]是常用的一种方法．这种方法适用于待估参数是离散情形，当待估参数取相邻两数值时，用所得似然函数的比值确定其极大值点．例[5] 鱼池中有许多条鱼，从中捕得1 200条鱼，做了红色的记号之后再放回池中，经过适当的时间之后，再从池中捕得1 000条鱼，数出其中有红色记号的鱼的数目，共有100条，试估计池中有多少条鱼．解采用极大似然法估计鱼池中的鱼数．为了估计鱼池中鱼的数目，更一般地，假设第一次捕出条鱼，第二次捕出条鱼，结果发现这条鱼中有条标有记号．根据这个信息，如何估计鱼池中鱼的数目．第二次捕出有记号的鱼的数目是一个离散型随机变量，而且服从超几何分布按照极大似然原理，在一次试验中就出现的事件，其概率达到最大．这里的一次试验是指在第二次捕鱼中发现条有记号的鱼，既然这个随机事件发生了，有理由相信这个事件发生的概率达到最大．因此，求使得概率达到最大，并把这个数值作为池中鱼的数目的估计值．显然，所得样本的似然函数为．由于，因此，当时，，而当时，．即当时，似然函数关于单调递增；而当时，关于单调递减，所以当等于时，似然函数达到最大，这样就把作为鱼池中鱼总数的估计量．在本例子中．许多学生在应用统计理论处理实际问题时，常常不知道选择何种统计方法进行数据分析，对统计分析的结果不知道如何合理地解释，这些都源于对统计理论的思想和原理没有真正地理解．概率论与数理统计作为工科的公共基础课程，在平时的教学过程中，教师应该避免复杂的数学推导，而更注重统计思想的传授，尝试以日常生活经验为基础，建立学生的统计直觉，以统计思想为桥梁为学生提炼一般的统计方法．[1] 盛骤，谢式千，潘承毅．概率论与数理统计[M]．4版．北京：高等教育出版社，2008[2] 韦博成．参数统计教程[M]．北京：高等教育出版社，2006[3] 魏宗舒．概率论与数理统计教程[M]．2版．北京：高等教育出版社，2008[4] 李时．应用统计学[M]．北京：清华大学出版社，2005[5] 李贤平．概率论基础[M]．3版．北京：高等教育出版社，2010。
大学数理统计教学中有关极大似然估计方法的课堂讲授
大学数理统计教学中有关极大似然估计方法的课堂讲授摘要极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是统计学中应用广泛的一个参数估计方法。
在大学数理统计教学中，极大似然估计方法通常是数理统计学课程的一部分，也是应用统计学和数理方法课程的一个重要内容。
本文通过对数理统计学课堂讲授中有关极大似然估计方法的介绍和阐述，对学生有关这一主题的问题进行了解答，并深入分析了这一方法的具体应用。
引言极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）是统计学中应用广泛的一个参数估计方法，成为了现代统计学的重要组成部分。
极大似然估计方法的核心思想是利用已知的样本数据，通过对概率分布函数进行研究，得到最优的估计参数值。
在数理统计学课程中，极大似然估计方法通常是一个重要的内容点，也是应用统计学和数理方法课程中的一个重要主题。
本文针对大学数理统计教学中有关极大似然估计方法的课堂讲授进行介绍和阐述，旨在帮助读者更加深入地理解这一方法的原理和应用。
极大似然估计方法的介绍极大似然估计方法的思路是给定一个概率模型，根据观测数据来估计其中的未知参数值。
其核心思想是找到一组参数，使得样本观测出现的概率最大。
因此，极大似然估计方法也被称为最大似然估计方法。
在数理统计学课程中，通常会详细介绍极大似然估计方法的理论基础，并通过一些典型的问题来解释其应用。
比如，在二项分布中有两个参数需要确定，一个是成功的概率（p），一个是试验次数（n）。
在数理统计学课程中，我们通常需要根据一些试验数据，利用极大似然估计方法来求解这些参数的值。
具体操作是对所有试验的结果进行统计，然后找到一个成功率最高的n和p的组合，使得该组合的似然值最大。
极大似然估计方法通常需要满足以下的条件： 1. 样本独立：每个观测值之间相互独立。
2. 可重复性：样本中每个观测值可以重复出现。
3. 概率模型具有可调参数：给定的概率分布函数具有一个或多个未知参数需要估计。
概率统计17 极大似然估计法 教学设计
极大似然估计法教学设计【教学题目】§4.2 极大似然估计法【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；理解极大似然估计的思想；掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计量。
【教学思想】1、极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一种重要的统计推断方法，统计推断思想不同于逻辑推断，它所基于的最基本的思想仍然是来源于我们现实生活中的一些很常见的推断法则，常以人们的思维习惯和经验常识为依据，推断时必然伴随着一定的犯错误的概率。
因此从逻辑上认起死理来，统计推断似乎因为不太严谨而被排斥在“科学推断”之外了。
但是在实际生活中，如果都要按照逻辑推断来思考，那么将会给你的生活带来很大的麻烦。
在教学过程中，要让学生逐步体会统计推断思想的利与弊。
2、极大似然估计法的“极大似然”的原始含义就是“看起来最像”的意思，故极大似然原理指的是：概率最大的事件最可能发生，或一次实验中已发生事件的概率应该最大。
3、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用极大似然估计法来解决实际问题的目的，体现“授人以渔”。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）分析引例，说明极大似然估计的原理；（2）求极大似然估计值的一般步骤；（3）极大似然估计法的简单应用。
2、重难点分析：极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法，其原理是根据“概率最大的事件最可能发生；反之，在一次实验中，若某事件已发生，则其概率应该最大”的统计推断思想去估计未知参数。
极大似然估计值的求解是本次课的重点。
全概率公式的难点在于对极大似然思想原理的阐述。
在教学中常出现以下难点：一是原理复杂，导致教师难于讲解，学生理解困难；二是学生对方法机械地记忆，忽略了统计思想的建立与统计方法的掌握。
概率统计17 极大似然估计法 教学设计
极大似然估计法教学设计【教学题目】§4.2 极大似然估计法【教学目的】根据《教学大纲》要求和学生已有的知识基础和认知能力，确定以下教学目标：明确极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法；理解极大似然估计的思想；掌握求极大似然估计值的一般步骤，会求常见分布参数的极大似然估计量。
【教学思想】1、极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一种重要的统计推断方法，统计推断思想不同于逻辑推断，它所基于的最基本的思想仍然是来源于我们现实生活中的一些很常见的推断法则，常以人们的思维习惯和经验常识为依据，推断时必然伴随着一定的犯错误的概率。
因此从逻辑上认起死理来，统计推断似乎因为不太严谨而被排斥在“科学推断”之外了。
但是在实际生活中，如果都要按照逻辑推断来思考，那么将会给你的生活带来很大的麻烦。
在教学过程中，要让学生逐步体会统计推断思想的利与弊。
2、极大似然估计法的“极大似然”的原始含义就是“看起来最像”的意思，故极大似然原理指的是：概率最大的事件最可能发生，或一次实验中已发生事件的概率应该最大。
3、“以教师为主导、以学生为主体”引导学生主动学习、思考，并通过实际问题案例的分析及应用，达到教会学生使用极大似然估计法来解决实际问题的目的，体现“授人以渔”。
【教学分析】1、本次课主要包括以下内容：（1）分析引例，说明极大似然估计的原理；（2）求极大似然估计值的一般步骤；（3）极大似然估计法的简单应用。
2、重难点分析：极大似然估计法是在总体分布类型已知的情况下的一种常用的参数估计方法，其原理是根据“概率最大的事件最可能发生；反之，在一次实验中，若某事件已发生，则其概率应该最大”的统计推断思想去估计未知参数。
极大似然估计值的求解是本次课的重点。
全概率公式的难点在于对极大似然思想原理的阐述。
在教学中常出现以下难点：一是原理复杂，导致教师难于讲解，学生理解困难；二是学生对方法机械地记忆，忽略了统计思想的建立与统计方法的掌握。
极大似然估计课程设计
极大似然估计课程设计一、教学目标本课程的教学目标是使学生掌握极大似然估计的基本概念、原理和方法，能够运用极大似然估计解决实际问题。
具体分为以下三个部分：1.知识目标：使学生了解极大似然估计的定义、原理和计算方法，理解极大似然估计在统计推断中的应用。
2.技能目标：通过实例分析，培养学生运用极大似然估计解决问题的能力，使学生能够独立完成极大似然估计的计算和分析。
3.情感态度价值观目标：培养学生对统计学的兴趣和热情，使学生认识极大似然估计在科学研究和实际应用中的重要性，培养学生的科学精神和创新意识。
二、教学内容本课程的教学内容主要包括极大似然估计的基本概念、原理和方法。
具体安排如下：1.第一课时：介绍极大似然估计的定义和原理，讲解极大似然估计的计算方法。
2.第二课时：通过实例分析，展示极大似然估计在统计推断中的应用，引导学生学会运用极大似然估计解决问题。
3.第三课时：讲解极大似然估计的性质和局限性，使学生了解极大似然估计的适用范围和注意事项。
4.第四课时：通过练习题，巩固学生对极大似然估计的理解和应用能力。
三、教学方法为了提高教学效果，本课程将采用多种教学方法相结合的方式进行教学：1.讲授法：讲解极大似然估计的基本概念、原理和方法，使学生掌握基础知识。
2.讨论法：通过分组讨论，引导学生深入理解极大似然估计的原理和应用，培养学生的思考和交流能力。
3.案例分析法：通过实例分析，使学生学会运用极大似然估计解决实际问题，提高学生的实践能力。
4.实验法：安排课后实验，让学生独立完成极大似然估计的计算和分析，巩固所学知识。
四、教学资源为了支持本课程的教学，我们将准备以下教学资源：1.教材：《统计学原理》等相关教材，为学生提供基础知识。
2.参考书：《极大似然估计的应用》等参考书籍，为学生提供更多的学习资料。
3.多媒体资料：制作课件、视频等多媒体资料，丰富教学手段，提高学生的学习兴趣。
4.实验设备：为学生提供计算机、统计软件等实验设备，方便学生进行课后实验。
EM(最大期望算法)极大似然估计PPT课件
• 思想：已知某个参数能使这个样本出现的概率最 大，我们当然不会再去选择其他小概率的样本， 所以干脆就把这个参数作为估计的真实值
极大似然估计
设总体X是离散型随机变量，其分布中含有未知 参数θ，设x （x1，x2.....xn）是取自总体X的一 个样本，（x1，x2.....xn）是其观察值。则取到 这组样本观察值的概率是：
的概率分别为
令z1和y1-z1分别表示落入这两部分的次数；再假设第
三种结果分成两部分，其发生的概率分别为
令z2和y3-z2分别表示落
入这两部分的次数。显然z1,z2是我们认为引入的，它是不可观测的，数据
（y , z）为完全数据，而观测到的数据称之为不完全数据，此时完全数据
的似然函数为：
EM算法
Expectation-maximization algorithm
定义似然函数为：
这里x1，x2.....xn是观测值，且独立同分布，L(θ) 看做参数θ的函数，它可作为θ已多大可能性产 生样本值X1，X2，....Xn的一种度量
极大似然估计
最大似然估计法就是使用L（θ）达到最大值的 去 估计θ
称 为θ的最大似然估计值。而相应的统计量θ（X1， X2，....Xn）称为θ的最大似然估计量。 同理，设总体X是连续型随机变量，密度函数为f(x;θ), 其中θ为未知参数，则定义似然函数为：
极大似然估计
上式，其中x1，x2.....xn是样本观察值，
称 为θ的最大似然估计值。而相 应的统计量θ（X1，X2，....Xn）称 为θ的最大似然估计量。
极大似然估计法--微课
则称 是ˆ 的极(最)大似然估计，简记为
MLE（Maximum Likelihood Estimate）。
通常人们更习惯于由对数似然函数lnL( )出发寻 找 的极大似然估计。 当L( )是可微函数时，求导是求极大似然估计最 常用的方法，对lnL( )求导更加简单些。
下面举例说明如何求极大似然估计值
例 设X1,X2,…Xn是取自总体 X~B(1, p) 的一个样本，求参 数p的极大似然估计值.
解：似然函数为:
L(p)= f (X1,X2,…Xn; p )
n
pxi (1 p)1xi
0 1 Xi ~ 1 p p
i 1
n
n
xi
n xi
p i1 (1 p) i1
n
n
xi
n xi
L( p) p i1 (1 p) i1
野兔的概率一般要大于这位同学开一枪命中
野兔的概率. 看来这一枪是猎人是开枪打中
思 考
的可能性要大 .这个例子所作的推断已经体
问
现了极大似然法的基本思想 ：按照最大可
题
能性准则进行推测。
那我们如何从具体的实际问题抽象 到数学问题呢?这用到了概率论中的随机 变量:
0, 兔子未被击中
X 1,兔子被击中
对数似然函数为：
n
n
ln L( p) xi ln( p) (n xi ) ln(1 p)
i 1
i 1
对p求导并令其为0，
d ln L( p)
dp
1 p
n i 1
xi
1 (n 1 p
n i 1
xi )
得
pˆ
1 n
n i1
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Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｍａ ｘｉ ｍｕ ｍ ｌ ｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ ｌ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ
第３ ５ 卷 第 ６期
２ ０ １ ５年 ６月
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｏ ｆ Ｔｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｒ ｓ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ ａ ｎ ｄ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ １ ． ３ ５ Ｎｏ ． ６
关键 词 ：极 大似 然估计 ；极 大似 然原理 ；教 学设 计 中图分 类号 ：Ｏ ２ １ １： Ｇ ６ ４ ２ ． ０ 文 献标 识码 ：Ａ ｄ ｏ ｉ ：１ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １ ． ２ ０ １ ５ ． ０ ６ ． ０ １ ６
Ｔｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｕ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ ｌ ｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
Ｌ Ｉ Ｕ Ｑ ｉ ａ ｎ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｓ ，Ｘ ｉ ｄ ｉ ａ ｎ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ，Ｘ ｉ ａ ｎ ７ １ ０ ０ ７ １ ，Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ １ ｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ Ｓ ａ ｎ ｉ ｍｐ ｏ ｒ ｔ ａ ｎ ｔ ｗａ ｙ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｅ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｂ ｏ ｕ ｔ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ．Ｔ ｈ ｉ ｓ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｈ ａ ｓ ｂ ｅ ｅ ｎ ｗｉ ｄ ｅ ｌ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｉ ｎ ｖ ａ ｒ ｉ ｏ ｕ ｓ ｉ ｆ ｅ ｌ ｄ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｅ ｘ ｃ ｅ ｌ ｌ ｅ ｎ ｔ ｓ ｔ ａ ｔ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ａ １ ｐ ｒ ｏ ｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ． Ｂ ｅ ｃ ａ ｕ ｓ ｅ ｔ ｈ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ｍｏ ｒ ｅ ｃ ｏ ｍｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｅ ｄ ａ ｎ ｄ ｓ ｏ ｍｅ ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｈ ａ ｖ ｅ ｍｏ ｒ ｅ ｄ ｉ ｉｃ ｆ ｕ ｌ ｔ ｙ ｔ ｏ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ， ｇ ａ ｖ ｅ ａ ｐ ｌ ａ ｎ ｏ ｆ ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ ｄ ｅ ｓ ｉ ｇ ｎ ｏ ｆ ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ
ｌ ｉ ｋｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ．Ｂｙ ｉ ｎ ｔ ｒ ｏ ｄ ｕｃ ｉ ｎ ｇ ａ ｓ ｉ ｍｐ ｌ ｅ ｅ ｘ ａ ｍｐ ｌ ｅ，ｄ ｉ ｓ ｃ ｕ ｓ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ ｌ ｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ ｐｒ ｉ ｎ ｃ ｉ ｐ ｌ ｅ ａ ｎ ｄ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
生活 中处处蕴含着统计思想 ，相比参数的矩估计方法 ，极大似然估计方法较难掌握．本文对极大似然 估 计 方法 的教学 设计 给 出新 的尝试 ，通过 引 入简单 实例 ，讲 授极 大似 然估计 的基 本思 想 ，让学 生形 成对新
方 法 的直 观理解 ，在教学 中取 得 了 良好 的效 果．
ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｏ ｆ ｍａ ｘ ｉ ｍｕ ｍ ｌ ｉ ｋ ｅ ｌ ｉ ｈ ｏ ｏ ｄ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ．Ｔ ｈ ｕ ｓ 。ｓ ｔ ｕ ｄ ｅ ｎ ｔ ｓ ｃ ｏ ｕ ｌ ｄ ｆ ｏ ｒ ｍ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｔ ｕ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｕ ｎ ｄ ｅ ｒ ｓ ｔ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ｇ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ
１ 引例
设总体的分布函数的形式 已知 ，但是它的一个或者多个参数未知 ，借助于总体的一个样本估计总体未 知参 数 的问题称 为参 数 的点估 计． 矩估计 是 参数 的一种 点估 计方 法 ，它 的思想 是利用 同阶 、同类 的样本 矩
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０ １ ５
文章 编号 ：１ ０ ０ ７ — ９ ８ ３ １（ ２ ０ １ ５）０ ６ — ０ ０ ５ ５ — ０ ４
极大似然估计方法 的直观教学设计
刘 倩
（ 西 安 电子科 技大 学 数学 与 统计学 院 ，陕 西 西安 ７ １ ０ ０ ７ １ ）
摘要 ： 极 大似然估计是求解参数点估计的一个重要方法．该方法具有很 多优 良的统计性质 ，因而 在各个领域 中得到广泛的应用．针对该方法计算复杂，学生理解较为 困难的问题 ，对极大似然估 计 的教 学方 案进行 了设 计． 通过 引入 简单 实例 ，讨论 了极 大似 然估 计所使 用的极 大似 然原理 及 其 求解方法，让学生形成对新方法的直观理解 ， 在教学中取得 了良好的效果．