【学海风暴】2015-2016学年九年级数学上册 21.2.2 公式法解一元二次方程课件 (新版)新人教版
人教版九年级数学(上)课件：21_2_2公式法
x
2
1
2.
2
x1
1
2
2， x2
1
2.
2
导入新知
用配方法解一元二次方程的步骤
化：把原方程化成 x2＋px＋q = 0 的形式.
移项：把常数项移到方程的右边，如x2＋px =－q.
配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方.
p 2
p 2
2
x ＋px＋ ( 2 ) = －q＋ ( 2 )
2
（2）当 △ b 4ac 0 时，一元二次方程有两个相
等的实数根;
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般形式，并写出a，b，c 的值.
2. 求出 ∆ 的值.
b b 2 4ac
3. (1)当 ∆ >0 时，代入求根公式 :x
2
b
b 2 4ac
x
.
2a
2a
x
b
b 2 4ac
.
2a
一元二次方程的求根公式
−b+ b2−4ac
−b− b2−4ac
x1 =
， x2 =
.
2a
2a
探究新知
公式法的概念
由上可知，一元二次方程
ax 2 bx c 0
（a 0）.
的根由方程的系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
【学海风暴】2016湘教版九年级数学上册(同步导练)2.2一元二次方程的解法
2.2一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：解一元二次方程需根据方程特点选用适当方法，一般情况下：（1）首先看能否用平方根的意义或因式分解法；（2）不能用以上方法的可考虑公式法；（3）除特别指明外，一般不用配方法.基础导练1.一元二次方程x2-4x+2=0的根是.2.已知x=1是一元二次方程x2+m x+n=0的一个根，则m+n的值是.3.一元二次方程x2+5x+6=0的根是.4.方程x2-x-12=0的解是.5.下列方程中，不能用平方根的意义求解的是( )A.x2-3=0B.(x-1)2-4=0C.x2+2x=0D.(x-1)2=(2x+1)26.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时，方程变形正确的是( )A.(x-1)2=2B.(x-1)2=4C.(x-2)2=1D.(x-2)2=77.方程4(x-3)2+x(x-3)=0的根为( )A.x=3B.x=C.x1=-3，x2=D.x1=3，x2=8.方程x2+x-1=0的根是( )A.1-B.C.-1+D.能力提升9.阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad-bc.例如：=1×4-2×3=-2,=(-2)×5-4×3=-22.(1)按照这个规定请你计算的值；(2)按照这个规定请你计算：当x2-4x+4=0时，的值.10.已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根，求△ABC的周长.11.分解因式x2+2x-1.参考答案基础导练1.x1=2+，x2=2-2.-13.x1=-2，x2=-3 4.x1=4，x2=-3 5.C 6.B 7.D 8.D能力提升9. (1)=5×8-6×7=-2.（2）由x2-4x+4=0得x=2，==3×1-4×1=-1.10.原方程可化为x(x-2)-5(x-2)=0，∴(x-5)(x-2)=0，∴x1=5，x2=2.∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∴第三边的长x的取值范围是1<x<5，∴x=2，∴△ABC的周长为2+3+2=7.11..解：x2+2x-1=x2+2x+1-1-1= (x+1)2-2= (x+1+) (x+1-)。
【学海风暴】2015-2016学年九年级数学上册 21.3 实际问题与一元二次方程课件 (新版)新人教版
新课讲解
经过计算,你能得出什么结论?成本下降额 较大的药品,它的成本下降率一定也较大 吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?
经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本 下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.
新课讲解
要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝, 正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果 要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边 衬的宽度?（结果保留小数点后一位） 分析:这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两 边之比也为9:7 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm. 依题意得 3
解：设平均每月降价的百分数为 x ，又设两个月前的价格为 a 元，则现在的价格为 a(1 36%) 元， 根据题意，得 a(1 x)2 a(1 36%)，
2 ∴ (1 x ) 1 36% ∵a 0 ∴1 x 0.8 ∴ x1 0.2 x2 1.8 x2 1.8不合题意舍去．
27
9x 7x
3 3 x1 2
4
27 21
解得
3 3 x2 (不合题意, 舍去) 2
新课讲解
3 3 27 9 故上下边衬的宽度为: 27 9 x 2 54 27 3 1.8 2 2 4 3 3 21 7 21 7 x 42 21 3 2 左右边衬的宽度为: 1.4 2 2 4
∴ x 0.2 20% 答：平均每月降价 20％ ．
课堂练习
4.学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的 长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花 圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使 它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平 方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况 下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能， 请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.
2015秋人教版数学九上21.2《解一元二次方程》(直接开平方法)ppt课件
21.2
解一元二次方程
1．一元二次方程x2－4＝0的根为 C(
A．x＝2
)
B．x＝－2
C．x1＝2，x2＝－2
( ) A．0个 C．2个 B．1个 D．3个
D．x＝4
2．方程5y2－3＝y2＋3的实数根的个数是 C
x1 7, x2 7
3．一元二次方程x2＝7的根是
．
21.2
解一元二次方程
x1 0, x2 6
21.2
解一元二次方程
6．一元二次方程(x＋6)2＝16可转化为两个一元一 次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另 一个一元一次方程是( D ) A．x－6＝－4 C．x＋6＝4 B． x－ 6＝ 4 D．x＋6＝－4
7．若关于x的方程(x＋1)2＝1－k没有实数根，则k 的取值范围是( D ) A．k＜1 B．k＜－1
1.理解一元二次方程“降次”的转化思想． 2.配方法．
21.2
解一元二次方程
1．若x2＝a(a≥0)，则x就叫做a的平方根，记为x＝___( aa≥0)，
由平方根的意义降次来解一元二次方程的方法叫做直接开平方 法． 2．直接开平方，把一元二次方程“降次”转化为 ________________________. 两个一元一次方程
解：x 1＝－7，x 2＝－1
21.2
解一元二次方程
5．某工程队在实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁 工程，原计划每天拆迁1 250 m2，因为准备工作不足， 第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快 了拆迁速度，第三天拆迁了1 440 m2，求：
(1)该工程队第一天拆迁的面积；
(2)若该工程第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天 增长的百分比相同，求这个百分数．
人教版数学九年级上册 21.2.2一元二次方程的解法 ---公式法(共18张PPT)
3、代入求根公式 : xb b2 4ac 2a
4、写出方程的解：
x
、
1
x
2
例1 用公式法解下列方程： (1)2x2-x-1=0
(2)4x2-3x+2=0 (3) 2x222x10
注意: 用公式法解一元二次方程的前提是: 先化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
总结提高
我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根的判别式,通常用△表示. 判别式定理
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 . 2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 .
3、已知关于x的一元二次方程x2+2x+k=0
有实数根，则k的取值范围是
(A )
A.k≤1
B.k≥1
C.k<1
D.k>1
已知 :关于
m x 2 (3 m 2 )x 2 m 2 0 (m 0 )
（1）将常数项移到方程的右边，得 ax2bxc .
（2）方程两边同除以a，得
x2 b x c
a
a
.
（3）方程两边同时加上__( _2b_a _) 2__，得
x2bx(b)2c(b)2. a 2a a 2a
左边写成完全平方式，右边通分，得
（4）开平方…
(x b )2 b2 4ac.
2a
4a2
(x b )2 b2 4ac.
这是收获的 时刻，让我 们共享学习 的成果
一、由配方法解一般的一元二
次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)
九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.3因式分解法1_1-5
把一个多项式分解成几个整式乘积的程的概念,并会用 分解因式法解某些一元二次方程.
三、导入新课
自学指导
认真思考下面大屏幕出示的问题,列出一元二次 方程并尽可能用多种方法求解.
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数 是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x 2 = 3 x.
小颖是这样解的 : 解 : x2 − 3x = 0.
x = 3 9 . 2
这 个 数 是 0或 3.
小颖做得对吗?
小明是这样解的 :
解 : 方程x2 = 3x两 边都同时约去x, 得.
x = 3. 这 个 数 是3.
小明做得对吗?
第21章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法
一、知识回顾
1.我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
直接开平方法 x2=a (a≥0)
配方法 (x+m)2=n (n≥0)
公式法 2.什么叫分解因式?
( ) x = − b b2 − 4ac . b2 − 4ac 0 . 2a
有一次，吴王准备进攻楚国。
在一个庄严的村子里——对，就在赛格林纳村。 “宽恕我吧，仁慈的上天，宽恕我过去的一切罪恶!”狼苦苦哀告着：“都怪我年幼无知经不住诱惑而犯下不可饶恕的罪过，咳，痛心哪，连我自已也无从统计亲手溺杀了多少无辜的小生命。 玛特迪夫 一次他听说那只狗喜欢喝酒，于是就在一个傍晚带来两瓶好酒去找狗，请他喝酒，狗刚开始不愿意，还要赶走狐狸，但是当狐狸把酒塞子打开时候，狗闻到了味道，把狐狸手中的瓶子抢去，直到喝完为止。”
【学海风暴】2015-2016学年九年级数学上册 21.2.1 配方法解一元二次方程课件 (新版)新人教版
新课引入
问题1 一桶某种油漆可刷的 面积为1500dm2,李林用这桶油漆 恰好刷完10个同样的正方体形状 的盒子的全面外表面，你能算出 盒子的棱长吗？
新课讲解
设未知数，列方程
实际问题
一元二次方程
设问1：如何列方程？分哪些步骤？
（1）设未知数. 设正方体的棱长为 x dm. （2）找相等关系.
x2 2 x
4 3
4 x2 2 x 1 1 3 1 ( x 1)2 3 1 因为 <0,所以此方程无实根. 3
课堂练习
课本P9练习
课堂小结
1.你今天学会了解怎样的一
元二次方程？有哪些步骤？
2.今天讨论的问题中涉及哪
些数学思想方法？
左边写成平方的形式 降次 x 3 5
x 3 5, x 3 5 解一次方程 x1 2, x2 8
新课讲解
设问3：以上方程的两根，它们都符合问题的实 际意义吗？ 场地的宽不能为负数，所以场地的宽为2m,长为 8m. 设问4：以上解方程中“配方”起了什么作用？ 通过配方，方程的左边变形为含x的完全平方形 式，可直接开平方，将一个一元二次方程转化为两个 一元一次方程. 这样解一元二次方程的方法叫做配方法.
分别解这两个一元一次方程得
1 5 1 5 x1 , x2 . 2 2
新课讲解
利用转化思想解方程 ③ ：
方程的左边是完全平方形式， 即为
( x 3) 2,
2
方程两边开平方得 方程的根为
x 3 2, x1 2 3.
x1 2 3,
新课讲解
以上方程 ① ② ③ 在解法上有什么类似的地方， 可归纳为怎样的步骤？ 以上方程① ② ③ 都可用开平方法，将一元二次方 程降次转化为两个一元一次方程.
【学海风暴】2015-2016学年九年级数学上册 22.2 二次函数与一元二次方程课件 (新版)新人教版
新课讲解
h
20 10 o
1
2
h 20t 5t
3
4
2
t
那么为什么 你能结合图 那么为什么 只在一个时 形指出为什 两个时间球 间求得高度 么在两个时 的高度为零 为20m呢？ 间球的高度 呢？ 为15m吗？
从上面我们看出， 对于二次函数 h= 20 t – 5 t2中，已知h的值，求时 间t？其实就是把函数值h换成常数， 求一元二次方程的解.
二次函数与一元二次 方程
新课引入
在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图 象有关的问题.
如：被抛射出去的物体沿抛物线轨道飞行；抛物线 形拱桥的跨度、拱高的计算等．
利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具 有很现实的意义. 本节课，我将和同学们共同研究解决这些问题的方 法，探寻其中的奥秘.
新课讲解
2.5
1
2
3
例题分析
归纳
重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625,2.75 之间，在2.6875,2.75之间……可以得到：
问题 如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不 考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t ( 单位:s)之间具有关系:h= 20 t – 5 t2 2 2 考虑下列问题:
20= 20 t 20 –20 5ttt 20.5= –– 55 t t2 15=
(1)每个图象与x轴有几个交点？ 2个，1个，0个 (2)一元二次方程 x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根? 验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗? 两个根，两个相等的根，无实数根 (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
人教版九年级数学上学海风暴同步练22.2二次函数与一元二次方程(含答案)
基础导练
1.某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为 (只写一个)，此类函数都有______值(填“最大”“最小”).
2.若抛物线y =x 2－(2k +1)x +k 2+2，与x 轴有两个交点，则整数k 的最小值是______.
3.等腰梯形的周长为60 cm ，底角为60°，当梯形腰x =______时，梯形面积最大，等于______.
能力提升
4.关于二次函数y =ax 2+bx +c 的图象有下列命题，其中是假命题的个数是（ ）
①当c =0时，函数的图象经过原点; ②当b =0时，函数的图象关于y 轴对称; ③函数的图象最高点的纵坐标是a
b a
c 442
;④当c >0且函数的图象开口向下时，方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根.
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
5.抛物线y =kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )
A.k >－47;
B.k ≥－47且k ≠0;
C.k ≥－47;
D.k >－4
7且k ≠0 6.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的根.
(1)4x 2-8x +1=0; (2)x 2-2x -5=0;
(3)2x 2-6x +3=0; (4)x 2-x -1=0.
参考答案
1.y =－x 2+x －1 最大
2. 2
3. 15 cm
4.B
5.B
6.解：(1)x 1≈1.9,x 2≈0.1;(2)x 1≈3.4,x 2≈-1.4;(3)x 1≈2.4,x 2≈0.6;(4)x 1≈1.6,x 2≈-0 .6。
九年级数学上册 21.2解一元二次方程21.2.2公式法1_1-5
第21章：一元二次方程
21.2 解一元二次方程
21.2.2 公式法
用配方法解一元二次方程的步骤 1._____________移到方程右边.
2.二次项系数化为１；
3.将方程左边配成一个_______________式。
(两边都加上_________________________)
4.用_________________写出原方程的解。
常数项完全平方一次项系数一半的平方平方根的意义
一、知识回顾
二、目标展示
学习目标：
1.理解用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是：b2-4ac≥0
2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.
03642=−−x x
2463,
x x −=2
33,24x x −=解:移项，得：配方，得：由此得:二次项系数化为1，得22
23333,2444x x ⎛⎫⎛⎫−+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1).用配方法解方程：请问：一元二次方程的一般形式是什么？
三、新课讲解
1、探究新知
(x -)2=3421
16x -=±3421 4。
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时，方程无解.
（3）代入求根公式: x
x1、 x2 . （4）写出方程的解：
b
b 2 4ac ； 2a
课堂练习
课本P12练习
课堂小结
1．求根公式的推导过程.
2．用公式法解一元二次方程的一般步骤： 先确定a、b、c的值、再算出b2－4ac的值、 最后代入求根公式求解． 3．用判别式判定一元二次方程根的情况.
相等的实数根.
例题分析
（ 3 ） 5 x 2 3x x 1
解 ：
原方程可化为： 5 x 2 4 x 1 0.
变形:化已知方程为一般 形式; 确定系数:用a,b,c写 出各项系数; 计算: 求判别式的值;
a 5, b 4, c 1.
b 2 4ac (4) 2 4 5 (1) 36＞0.
二次项系数化为1， b c 2 x x . 得 a a 配方 即
x2 b c b b x , a a 2a 2a
2
2 2
b b 2 4ac . x 2 2a 4a
②
新课讲解
因为a≠0,4a2>0,式子b2－4ac的值有以下三种情况：
b 2 4ac x 2a (4) 36 46 . 25 10 46 46 1 即：x1 1, x2 . 10 10 5
b
代入:把有关数值代入 公式计算;
定根:写出原方程的根.
例题分析
（4）x2 17 8x
解 原方程可化为x2 8x 17 0. ： a 1, b 8, c 17.
2
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
（2）当
b 4ac 0
2
时，有两个相等的实数根.
b x1 x2 ; 2a
时，没有实数根.
（3）当
b 4ac 0
2
例题分析
2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）把方程化成一般形式，并写出a、b、c的值； （2）求出b2-4ac的值；
解一元二次方程 ——公式法
新课引入
一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c = 0(a≠0) 如果使用配方法解出一元二次方 程一般形式的根，那么这个根是 不是可以普遍适用呢？
新课讲解
任何一元二次方程都可以写成一般 形式 ax 2 bx c 0 （a 0）. ① 你能否也用配方法得出①的解呢？ 2 移项，得 ax bx c.
2
2 ax bx c 0 （a 0） （1）当b 4ac 0时，一元二次方程
有实数根．
b b2 4ac b b2 4ac x1 , x2 ; 2a 2a
（2）当b 2 4ac 0 时，一元二次方程 ax2 bx c 0 （a 0）
(, b 2 2, c 1，
b 4ac (2 2) 4 2 1 0.
2 2
b 2 2 2 x1 x2 . 2a 2 2 2
结论：当 b2 4ac 0 时，一元二次方程有两个
一般地,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
0时，它的根是： b b2 4ac 2 x (b 4ac 0). 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.
例题分析
例1：用公式法解方程 ： （1）x2-4x-7=0；
b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0.
∴方程无实数根.
结论：当 b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
例题分析
归纳： 1.一元二次方程的根的情况
ax bx c 0 （a 0） （1）当 b 2 4ac 0 时，有两个不等的实数根.
有实数根．
2
2 ax bx c 0 （a 0） （3）当 b 4ac 0 时，一元二次方程
b x1 x2 ; 2a
没有实数根．
一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别 式.通常用希腊字母 表示，即 = b2-4ac. 由上可知当 ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当 =0 时，方程有两个相等的实数根；当 ＜0时，方程无实数根.
a 1, b 4, c 7, 解： b 2 4ac 44 0.
方程有两个不相等的实数根： b b 2 4ac 4 2 11 x = 2a 2 = 2 11.
结论：当
△ b 2 4ac＞0
时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
例题分析