测量物体的高度--三角函数的应用(2)
如何应用三角函数解决实际问题
如何应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
本文将介绍如何应用三角函数解决实际问题，并提供相关的例子进行说明。
一、三角函数简介三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos和tan表示。
这些函数可以描述直角三角形中各个角的关系。
例如，在一个直角三角形中，对于一个给定的角度Θ，sinΘ等于对边与斜边的比值，cosΘ等于临边与斜边的比值，tanΘ等于对边与临边的比值。
二、应用实例：测量高楼高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但我们无法直接得到高楼的实际高度。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
首先，在离高楼一定距离的地方A站立，测量与地平线之间的角度α。
然后，远离高楼一段距离B站立，再次测量与地平线之间的角度β。
由于我们可以测得AB之间的距离，我们可以根据三角函数的性质得到高楼的高度H。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = H/ABtanβ = H/(AB+d)其中，H表示高楼的高度，AB表示A点到高楼的距离，d表示A点到B点的距离。
将上述两式联立解方程，可以得到高楼的高度H：H = AB*(tanβ - tanα)/(1 + tanα*tanβ)通过测量角度α和β以及距离AB和d，我们可以应用这个公式计算高楼的高度H。
三、应用实例：测量不可达距离三角函数还可以用来解决测量不可达距离的问题。
假设我们要测量两座高楼之间的距离，但由于某些原因，我们无法直接测量这个距离。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
假设我们站在第一座高楼的顶部A点，测量与水平线的角度α。
然后移动到第二座高楼的顶部B点，测量与水平线的角度β。
由于我们可以测得AB之间的水平距离d，以及A点到底部的垂直高度h1和B点到底部的垂直高度h2，我们可以根据三角函数的性质得到两座高楼之间的距离D。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = h1/dtanβ = h2/d将上述两式联立解方程，可以得到两座高楼之间的距离D：D = (h1-h2)/（(1+tanα*tanβ)/tanα-tanβ)通过测量角度α和β以及距离d和垂直高度h1、h2，我们可以应用这个公式计算两座高楼之间的距离D。
数学中的三角函数应用之测量技术
数学中的三角函数应用之测量技术数学中的三角函数是一门重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
其中，测量技术是三角函数应用的一个重要领域。
本文将介绍三角函数在测量技术中的应用，通过具体案例来展示其在实际问题中的意义和作用。
一、三角函数在测量角度中的应用测量角度是测量技术中的基本内容之一，而三角函数则可以帮助我们准确地计算和测量角度。
三角函数中最常用的三个函数是正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数在测量中的应用正弦函数在测量中的应用非常广泛，特别是在测量高度、距离、倾角等方面。
例如，在测量一座建筑物的高度时，我们可以使用正弦函数来计算。
假设我们站在地面上，从我们眼睛的位置向上看建筑物的顶部，我们可以得到一个直角三角形。
设我们的眼睛和地面之间的距离为d，我们测得我们的视线与地面的夹角为θ。
根据正弦函数的定义，我们可以得到：sin(θ) = 高度/距离通过测量我们的视线与地面的夹角θ和我们与建筑物的直线距离d，我们可以通过正弦函数计算出建筑物的高度。
2. 余弦函数在测量中的应用余弦函数在测量中的应用主要是用来计算两地之间的水平距离。
例如，在导航系统中，我们可以使用余弦函数来计算两个位置之间的距离。
假设我们站在一个位置A，我们想知道该位置与目的地B之间的水平距离。
我们可以通过测量我们所处位置与目的地B之间的夹角α，以及我们与目的地B的直线距离d，使用余弦函数计算出水平距离。
根据余弦函数的定义，我们可以得到：cos(α) = 距离/水平距离通过测量夹角α和与目的地B的直线距离d，我们可以使用余弦函数计算出两个位置之间的水平距离。
3. 正切函数在测量中的应用正切函数在测量中的应用经常与测量高度和距离相关。
例如，在测量一座山的高度时，我们可以使用正切函数来计算。
假设我们站在山脚下的一个位置A，并测得我们与山顶之间的水平距离d1，以及我们与山顶的夹角β。
根据正切函数的定义，我们可以得到：tan(β) = 高度/距离通过测量夹角β和与山顶的水平距离d1，我们可以使用正切函数计算出山的高度。
应用三角函数解决实际问题
应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在实际生活中，我们可以利用三角函数解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算船只与灯塔之间的距离等。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍如何应用三角函数解决实际问题。
一、测量高楼的高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
此时，我们可以利用三角函数中的正切函数来解决这个问题。
我们可以站在离这座高楼较远的地方，仰望其顶部，并找到一个合适的角度。
然后，通过测量自己所站位置与地面的距离，以及仰望高楼时的角度，利用正切函数可以计算出高楼的高度。
例如，假设我们站在离高楼的位置为100米的地方，仰望高楼的角度为30度。
我们可以利用三角函数中的正切函数，根据公式tan(角度) = 高楼高度 / 100，计算出高楼的高度为100 * tan(30度) = 57.74米。
因此，高楼的高度约为57.74米。
二、计算船只与灯塔之间的距离假设我们在海上驾驶一艘船，远处有一座灯塔，我们想要知道船只与灯塔的距离。
此时，我们可以利用三角函数中的正弦函数来解决这个问题。
我们可以站在船只上，观察灯塔并记录下观察的角度。
然后，通过测量船只与海平面的高度，以及观察灯塔时的角度，利用正弦函数可以计算出船只与灯塔的距离。
例如，假设船只与海平面的高度为10米，我们观察灯塔的角度为45度。
我们可以利用三角函数中的正弦函数，根据公式sin(角度) = 灯塔的高度 / 距离，计算出船只与灯塔的距离为10 / sin(45度) = 14.14米。
因此，船只与灯塔的距离约为14.14米。
三、求解三角形的边长在一些实际问题中，给定三角形的某些角度和边长，我们需要求解其他未知边长。
这时，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数来解决。
例如，已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，我们需要求解斜边的长度。
根据勾股定理，我们知道斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：斜边的平方等于两个直角边平方和。
2利用三角函数测高教学课件
和β），再结合解三角形的
知识来求出东方明珠的高
度.
C
A
α D
B
β
E
N
新知讲解
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.
2.在测点B处安置测倾器,测得M的仰角∠MDE=β.
3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及A,B之间的距离AB=b.
则CD=AB=CE－DE=
x
设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝
m.
tan 35
∵BC＝CD－BD，
x
∴ tan 35 －x＝100.
∴x≈233.
答：热气球离地面的高度约为233 m.
新知讲解
总结：从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置之间有
距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用不同位置
之间的距离列方程来解决问题．
M
2.量出测点A到物体底部N的水平
距离AN=l；
3.量出测倾器的高
度AC=a，可求出
MN的高度.
C
A
α MN=ME+EN=l·tanα+a E
N
典例精析
例1、如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得
到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰
角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).
课堂练习
1.如图，山顶有一座电视塔，在地面上一点A处测得塔顶B处的
仰角α=60°，在塔底C处测得点A的俯角β=45°，已知塔高60米，
则山高CD等于( A )
A.30（1+ ）米
初中九年级数学 1.5测量物体的高度(2)三角函数的应用
2、解决这类测量问题往往是寻找或构造直角三角形 ，通过解直角三角形使问题得于解决。
直角梯形
直角三角形
解直角三角形
矩形
问题2、若旗杆不在操场上， 而在教学楼顶，如何在操场 上测得旗杆的高度呢？
方案： 分别解Rt △ABC
、Rt △FBC，求出AC，FC。 A ∴AF=AC-FC=a（tan β-tan α） F
E
BC
FD
辨析与研讨
1、从理论上讲方案一可以完成测量任务，但应考 虑到实际操作中测倾器本身有一个高度，不易实施。
2、方案二是一个切实可行的方案。 3、方案三由于在测量中涉及到了旗杆和人的影长 数据 需知，在实际测量时必须是晴天且影子清晰方 可实施。
反思与评价
1、充分体会将实际问题数学化的一种常用方式 ：即通过分析问题，建立数学模型，从而提出较 为完整的测量方案和解决问题的方法。
退出
问题1 学校操场上的国旗杆要更换，要求新 旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆 高的任务交给我们，为了课下顺利完成测量任 务，今天请同学们设计出一套切实可行的测量 方案。
测国旗杆的高度
一、测量工具：皮尺（长度用a、 b、c……表示 ）
示）
测倾器（角度用 α、β 、γ ……表
二、要求：1、设计测量方案
∵CDBE为矩形，
A
∴BE=CD=b，CE=BD=a
在RtΔAEC中，
E
AE=EC • tan α。
B
∴AB=AE+EB=b+a • tanα
αC
D
方案三：
知道自己的身高EF为c,用皮尺量出旗杆的影长BC=a，和
人的影长FD=b。
如何利用三角函数解决实际测量问题
如何利用三角函数解决实际测量问题三角函数是数学中重要的一部分，它在解决实际测量问题中发挥着重要作用。
通过利用三角函数，我们能够测量高度、距离、角度等重要的物理量。
本文将介绍如何在实际测量中应用三角函数，并提供实例来解决实际测量问题。
一、三角函数的基本概念在开始讨论如何利用三角函数解决实际测量问题之前，我们首先需要了解一些基本概念。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们分别表示了一个角的边与弦、余弦和正切之间的关系。
具体而言，正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之间的比值，余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之间的比值，正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之间的比值。
二、测量高度利用三角函数可以测量物体的高度。
我们可以通过测量两个角的大小和一个角的对边长度来计算出物体的高度。
具体的步骤如下：1. 测量观察者和物体之间的距离，并记录下这个值；2. 利用测量仪器测量物体与观察者之间的两个角的大小；3. 计算出一个角的对边长度；4. 应用正切函数来计算物体的高度。
三、测量距离三角函数还可以帮助我们测量两个物体之间的距离。
我们可以通过测量一个角的大小和两条边的长度来计算出物体之间的距离。
具体的步骤如下：1. 测量一个角的大小；2. 测量两条边的长度；3. 应用正弦函数或余弦函数来计算出物体之间的距离。
四、测量角度另外，三角函数也可以用来测量角度。
我们可以通过测量两条边的长度来计算角的大小。
具体的步骤如下：1. 测量两条边的长度；2. 应用正切函数来计算角的大小。
五、示例下面通过一个实例来解释如何利用三角函数解决实际测量问题。
假设我们要测量一座高楼的高度。
我们可以站在地面上，测量我们的眼睛与高楼塔顶的角度为30度，距离高楼100米。
根据这些数据，我们可以计算出高楼的高度。
首先，我们应用正弦函数来计算高楼的高度。
根据正弦函数的定义，正弦函数值等于对边与斜边之间的比值。
在这个例子中，对边的长度就是高楼的高度，斜边的长度是我们与高楼之间的距离，其中我们可以用100米表示。
三角函数的简单应用
三角函数的简单应用在数学领域中，三角函数是一种十分重要且广泛应用的工具。
它们不仅能解决与角度和直角三角形相关的问题，还可以在实际生活和工作中找到很多简单而有趣的应用。
本文将介绍三角函数的简单应用，并通过几个具体的实例来验证其有效性。
一、三角函数在测量中的应用三角函数常用于各种测量中，例如测量高楼、山脉、电线杆等物体的高度。
假设我们想要测量一座高楼的高度，但无法直接测量。
我们可以利用三角函数以及光学原理来解决这个问题。
首先，我们可以站在高楼的某一侧，测量自己与高楼底部的夹角，即α角。
然后，我们移动到与高楼底部垂直的位置，再次测量自己与高楼顶部的夹角，即β角。
接下来，我们可以利用三角函数中的正切函数来计算高楼的高度。
设高楼的底部到观测者的距离为a，观测者与高楼底部的夹角为α，观测者与高楼顶部的夹角为β，则可以得到下面的关系式：tan(α) = 高楼高度 / atan(β) = (高楼高度 + 高楼底部到观测者的距离) / a通过上述关系式，我们可以解得高楼的高度，这样就实现了间接测量。
二、三角函数在航海中的应用航海中的导航问题也经常涉及到三角函数的应用。
例如，在航海中，我们经常需要确定船只相对于目标的位置和方向。
假设我们知道自己所在位置（船只的经纬度），以及目标的经纬度，那么我们就可以通过三角函数来计算自己与目标之间的方位角和距离。
首先，我们可以利用维恩图(Wiencke's Chart) 或者皮亚勒表(Piazzi's Table)来查找两个位置之间的球面距离。
然后，我们可以利用反三角函数来计算方位角，即两个位置之间的角度。
通过这些计算，我们可以准确地确定船只相对于目标的位置和方向，从而进行导航和航行。
三、三角函数在音乐中的应用三角函数也广泛应用于音乐领域。
音乐中的音调和频率有着密切的关系，而三角函数可以帮助我们解释和计算这种关系。
例如，在一个音乐乐谱中，音调的高低可以通过频率来表示。
初中数学知识点精讲精析 测量物体的高度 (2)
6 测量物体的高度学习目标1.经历设计活动方案及撰写报告的过程。
2.能够对所得数据进行分析。
3.能运用解直角三角形的知识解决实际问题。
知识详解1.活动课题：利用直角三角形的边角关系测量物体的高度。
活动报告：2.活动方式：分组活动，全班交流研讨。
3.活动工具：侧倾器（或经纬器、测角仪等）、皮尺等测量工具。
简易测倾器可以自己制作，用木板做一个半圆刻度盘，半径是15～20cm（90°～0°～90°），用螺钉螺母把它和一根长130cm的木杆联在一起，并在半圆圆心处挂一铅垂线，直径的两端钉两个标针（如图1-5-2）。
当大杆与地面垂直时，通过标针的视线是水平的。
4.用测倾器测量倾斜角的方法（1）把测倾器插在一点（图1-5-3），使测倾器的木杆的中心线与铅垂线重合，这时标针连线在水平位置；（2）转动半圆刻度盘，使视线通过两标针，并且刚好落在目标物顶部B 处；（3）根据同角的余角相等，可以知道，所测倾斜角即仰角∠EOB 等于铅垂线与零度线间所夹的角，读出铅垂线所指的度数，就是∠EOB 的度数。
注意：（1）测倾器可用教学时用的量角器（木制的，半径为20cm ）只需把指针换成一根杆，长约130cm ，把刻度改为（90°～0°～90°），如图1-5-4所示。
（2）90°～0°～90°的意思是使半圆刻度盘的刻度以0°为中点，然后向左、向右分别增加到90°为止，也就是说，这个半圆刻度盘的刻度不是0°～180°。
（3）测倾器的制作和使用原理是：同角的余角相等。
【典型例题】例1： 如图1-5-7，A 、B 是两幢地平面高度相等、隔岸相望的建筑物，B 楼不能到达．由于建筑物密集，在A 的周围没有开阔地带，为了测量B 楼的高度只能利用A 楼的空间，A 的各层楼都可到达，且能看见B ．现有的测量工具为皮尺和测角器（皮尺可用于测量长度，测有器可以测量仰角、俯角或两视线间的夹角）。
部编北师大版九年级数学下册优质课件 6 利用三角函数测高 (2)
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角
2∠.在M测CE点=Bα.处安置测倾器,测得M的仰角
∠3.量M出DE测=倾β. 器的高度AC=BD=a,以及A,B之间
则的C距D离=AABB==Cb.E－tMaDnEE = taMnE =∴bME(=btatnan－ ttaann) ∴MN(=btatnan－ ttaann)
1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角 2∠.量M出CE测=点α. A到物体底部N的水平距离AN=l. 3.量出测倾器的高度AC=a. 可求出MN的高度:MN=ME+EN=ltanα+a.
活动三:测量底部不可以到达的物体的பைடு நூலகம்高所度谓. "底部不可以到达",就是在 地面上不能直接测得测点与被测物 体的底部之间的距离.如图,要测量物 体MN的高度,可以按下列步骤进行:
+a
新课 导入
活动课题:利用直角三角形的边角关系测量 物体的高度. 活动方式:分组活动、全班交流研讨.
活动工具:测倾器(或经纬仪、测角仪)、皮尺 等测量工具.
进行 新课
活动一:测量倾斜角.
测量倾斜角可以用测倾器.简单的测 倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如右图).
使用测倾器测量倾斜角的 步1. 骤把如支下架:竖直插入地面,使 支架的中心
线、铅锤线和度盘的0°刻 度线重合,
这时度盘的顶线PQ在水 平位置.
2. 转动度盘,使度盘的直径对准目标 P,记下此时
铅垂线所指的读数.
读数α就是目标的仰角,β就是目 标的俯角.
活动二:测量底部可以到达的物 体所的谓高"度底.部可以到达",就是在地 面上可以无障碍地直接测得测点与 被测物体的底部之间的距离.如图,要 测量物体MN的高度,可以按下列步骤 进行:
人教版高二数学必修二三角函数三角函数在几何与物理中的应用
人教版高二数学必修二三角函数三角函数在几何与物理中的应用近年来，随着科学技术的不断发展和应用的广泛拓展，三角函数在几何与物理中的应用越来越受到重视。
作为高中数学的重要内容，三角函数的应用不仅有助于理解数学概念，还能够帮助我们解决实际问题。
本文将从几何和物理两个方面，探讨三角函数在高二数学必修二中的应用。
一、三角函数在几何中的应用1. 三角函数的建立三角函数的核心概念是角度和比值。
在直角三角形中，我们可以定义正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数表示一个角的对边与斜边之比，余弦函数表示一个角的邻边与斜边之比，正切函数表示一个角的对边与邻边之比。
这些函数的建立为后续的应用打下了基础。
2. 应用一：三角函数的测量三角函数在测量中有着广泛的应用。
通过使用三角函数，我们可以测量无法直接测量的距离、高度和角度等。
例如，在航海中，我们可以通过测量角度和距离，利用正切函数计算两个物体之间的距离。
在建筑工程中，可以利用正弦函数测量物体的高度。
3. 应用二：三角函数的相似性在几何学中，相似三角形是一个重要的概念。
利用三角函数的比值关系，我们可以判断两个三角形是否相似，并且计算相似三角形的比例尺。
这在地图制作和模型设计等领域有着广泛的应用。
4. 应用三：三角函数的角度变换在几何变换中，三角函数也能发挥重要作用。
例如，我们可以利用正弦函数和余弦函数来描述旋转、伸缩和平移等几何变换。
这些变换不仅在计算机图形学和计算机动画中被广泛运用，还在建筑设计和机械工程中有着重要的应用。
二、三角函数在物理中的应用1. 应用一：简谐振动三角函数在物理学中的应用最为突出的就是对简谐振动的描述。
在机械振动和波动中，我们可以利用正弦函数或余弦函数来表示物体随时间变化的位置。
例如，在弹簧振动和声波传播等现象中，三角函数能够精确地描述物体的运动状态。
2. 应用二：波形分析在信号处理和电子工程中，波形分析是一项重要任务。
通过使用三角函数，我们可以将复杂的波形信号分解成不同角频率的正弦函数和余弦函数的叠加。