山东省、海南省新高考2019-2020高三4月份数学模拟试题(wd无答案)
2020年山东省、海南省新高考数学(4月份)模拟试卷 (Word 含解析)
2020年新高考数学（4月份）模拟试卷一、单项选择题1．设集合A ＝{x ||3x +1|≤4}，B ＝{x |log 2x ≤3}，则A ∪B ＝（ ） A ．[0，1]B ．（0，1]C ．[−53，8]D ．[−53，8）2．已知（2﹣i ）z =i 2019，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知A （1，﹣2），B （4，﹣1），C （3，2），则cos ∠BAC ＝（ ）A ．−√210B ．√210C ．−√22D ．√224．我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（ ） A ．1140B ．920C ．910D ．125．已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线与直线x ＝0的夹角为60°，若以双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C 的标准方程为（ ） A ．x 23−y 2＝1B ．x 29−y 23=1C ．x 23−y 29=1D ．x 2−y 23=16．函数f （x ）＝cos x •sin （3x −13x ）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ﹣sin B sin C ＝0，则sinB−sinC 2sinA 的取值范围为（ ）A ．（−12，12）B ．[0，14）C ．[0，12）D ．（﹣1，1）8．已知函数f （x ）＝﹣x 2+a ，g （x ）＝x 2e x ，若对任意的x 2∈[﹣1，1]，存在唯一的x 1∈[−12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（e ，4] B ．（e +14，4]C ．（e +14，4）D ．（14，4]二、多项选择题：9．对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ac 2≥bc 2C ．若a ＞0＞b ，则a 2＜﹣abD ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−b10．将函数f （x ）＝2sin x （sin x −√3cos x ）﹣1图象向右平移π3个单位得函数g （x ）的图象，则下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）在（π4，π2）上单调递增B ．函数f （x ）的图象关于直线x =5π6对称 C ．g （x ）＝2cos2xD ．函数g （x ）的图象关于点（−π2，0）对称11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22a ，以下结论正确的有（ ）A ．AC ⊥BEB ．点A 到△BEF 的距离为定值C ．三棱锥A ﹣BEF 的体积是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1体积的112D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值12．已知函数f （x ）={|log 2(x −1)|，1＜x ≤312x 2−6x +292，x ＞3，若方程f （x ）＝m 有四个不同的实根x 1，x 2，x 3，x 4满足x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则下列说法正确的是（ ）A ．x 1x 2＝1B ．1x 1+1x 2=1C ．x 3+x 4＝12D ．x 3x 4∈（27，29）三、填空题： 13．函数f （x ）=alnxe x 在点P （1，f （1））处的切线与直线2x +y ﹣3＝0垂直，则a ＝ ．14．如果（3x 1√x2）n 的展开式中各项系数之和为4096，则n 的值为 ，展开式中x 的系数为 ．15．各项均为正数且公比q ＞1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 5＝4，a 2+a 4＝5，则(S n +52)22a n的最小值为 ．16．如图所示，三棱锥A ﹣BCD 的顶点A ，B ，C ，D 都在半径为√2同一球面上，△ABD 与△BCD 为直角三角形，△ABC 是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP ＝CQ ，则三棱锥P ﹣QCO 体积的最大值为 ．四、解答题：17．（开放题）在锐角△ABC 中，a ＝2√3，_______，求△ABC 的周长l 的范围． 在①m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，②cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ，③f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14，f （A ）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解． 18．已知数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＝（n +1）•log 2a n ，求数列{1b n}（n ∈N*）的前n 项和S n ．19．如图，在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝2，AB ＝2DE ，且D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H 且DH ＝1． （1）证明：面BCE ⊥面ABC （2）求BD 与面CDE 夹角的余弦值．20．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2−√2且过点P（√2，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P'，判断直线P'Q是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数x（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．22．已知f（x）＝e x﹣ax2﹣x（a＞0）．（1）讨论f'（x）得单调性；（2）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＜2ln2a．参考答案一、单项选择题：1．设集合A ＝{x ||3x +1|≤4}，B ＝{x |log 2x ≤3}，则A ∪B ＝（ ） A ．[0，1]B ．（0，1]C ．[−53，8]D ．[−53，8）【分析】先求出集合A ，B ，由此能求出A ∪B ． 解：∵集合A ＝{x ||3x +1|≤4}＝{x |−53≤x ≤1}，B ＝{x |log 2x ≤3}＝{x |0＜x ≤8}， ∴A ∪B ＝[−53，8]． 故选：C ．2．已知（2﹣i ）z =i 2019，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由（2﹣i ）z =i 2019， 得z =i 20192−i =i 32−i =−i(2+i)(2−i)(2+i)=15−25i ， ∴z =15+25i ． ∴复平面内与z 对应的点在第一象限． 故选：A ．3．已知A （1，﹣2），B （4，﹣1），C （3，2），则cos ∠BAC ＝（ ）A ．−√210B ．√210C ．−√22D ．√22【分析】求出向量AB →，AC →的坐标，则cos ∠BAC ＝cos ＜AB →，AC →＞，套用向量夹角公式计算即可．解：由已知AB →=(3，1)，AC →=(2，4)， ∴cos∠BAC =cos ＜AB →，AC →＞=AB →⋅AC →|AB →||AC →|=3×2+1×4√3+1√2+4=√22． 故选：D ．4．我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（）A．1140B．920C．910D．12【分析】基本事件总数n=C63C63=400，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数m= C63+C62C41C31=200，由此能求出他们选课至少两科相同的概率．解：我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，基本事件总数n=C63C63=400，他们选课至少两科相同包含的基本事件个数m=C63+C62C41C31=200，∴他们选课至少两科相同的概率为：p=mn=200400=12．故选：D．5．已知双曲线C：x2a−y2b=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）A．x23−y2＝1B．x29−y23=1C．x23−y29=1D．x2−y23=1【分析】写出双曲线的渐近线方程，由已知可得ba ═tan30°=√33，再由双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8得关于a，b的另一方程，联立求得a，b的值，则答案可求．解：双曲线的渐近线为y＝±ba x，∵渐近线与直线x＝0的夹角为60°，∴ba ═tan30°=√33，①∵双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形的周长为8，∴4√a2+b2=8，②由①②，解得解得a2＝3，b2＝1．∴双曲线C 的标准方程为x 23−y 2＝1．故选：A ．6．函数f （x ）＝cos x •sin （3x −13x ）的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】由f （1）＞0，可排除AD ，再由f(12)＞f(1)，可排除B ，由此得出正确选项． 解：由f(1)=cos1⋅sin 83＞0，可排除A 、D ； 又f(12)=cos 12⋅sin(√31√3)＞f(1)=cos1⋅sin(3−13)，可排除B ． 故选：C ．7．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A ﹣sin B sin C ＝0，则sinB−sinC 2sinA 的取值范围为（ ）A ．（−12，12）B ．[0，14）C ．[0，12）D ．（﹣1，1）【分析】由已知结合正弦定理可得，a 2＝bc ，然后结合余弦定理，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b ﹣c ）2+2bc （1﹣cos A ），令p =sinB−sinC 2sinA =b−c2a，代换后结合余弦的性质可求． 解：因为sin 2A ﹣sin B sin C ＝0， 根据正弦定理可得，a 2＝bc ，由余弦定理可知，a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b ﹣c ）2+2bc （1﹣cos A ）， 令p =sinB−sinC 2sinA =b−c2a，则b ﹣c ＝2pa ， 因此a 2＝（2pa ）2+2a 2（1﹣cos A ）， 所以p 2=2cosA−14， 因为A 位锐角，0＜cos A ＜1， 所以p 2=2cosA−14＜14，所以−12＜p ＜12．故选：A ．8．已知函数f （x ）＝﹣x 2+a ，g （x ）＝x 2e x ，若对任意的x 2∈[﹣1，1]，存在唯一的x 1∈[−12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（ ） A ．（e ，4]B ．（e +14，4]C ．（e +14，4）D ．（14，4]【分析】求得f （x ）在（12，2]的值域A ，以及函数y ＝g （x ）的导数，判断单调性，求得在[﹣1，1]的值域B ，由题意可得B 包含于A ，可得a 的不等式，解不等式可得所求范围．解：f （x ）＝﹣x 2+a 在[−12，2]的值域为[a ﹣4，a ]， 但f （x ）在（12，2]递减，此时f （x ）∈[a ﹣4，a −14）．g （x ）＝x 2e x 的导数为g ′（x ）＝2xe x +x 2e x ＝x （x +2）e x ， 可得g （x ）在[﹣1，0]递减，（0，1]递增，则g （x ）在[﹣1，1]的最小值为g （0）＝0，最大值为g （1）＝e ，即值域为[0，e ]． 对任意的x 2∈[﹣1，1]，存在唯一的x 1∈[−12，2]，使得f （x 1）＝g （x 2）， 可得[0，e ]⊆[a ﹣4，a −14）， 可得a ﹣4≤0＜e ＜a −14， 解得e +14＜a ≤4．故选：B ． 二、多项选择题：9．对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为（ ） A ．若a ＞b ，则1a＜1bB ．若a ＞b ，则ac 2≥bc 2C ．若a ＞0＞b ，则a 2＜﹣abD ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−b【分析】根据个选项的条件，利用不等式的基本性质和特殊值法分别判断即可．解：A ．根据a ＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则1a＜1b不成立，故A 错误；B ．∵a ＞b ，∴由不等式的基本性质知ac 2≥bc 2成立，故B 正确；C ．由a ＞0＞b ，取a ＝1，b ＝﹣1，则a 2＜﹣ab 不成立，故C 错误；D ．∵c ＞a ＞b ＞0，∴（a ﹣b ）c ＞0，∴ac ﹣ab ＞bc ﹣ab ，即a （c ﹣b ）＞b （c ﹣a ）， ∵c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，∴a c−a＞b c−b，故D 正确．故选：BD ．10．将函数f （x ）＝2sin x （sin x −√3cos x ）﹣1图象向右平移π3个单位得函数g （x ）的图象，则下列命题中正确的是（ ） A ．f （x ）在（π4，π2）上单调递增B ．函数f （x ）的图象关于直线x =5π6对称 C ．g （x ）＝2cos2xD ．函数g （x ）的图象关于点（−π2，0）对称【分析】利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律求得g （x ）的解析式，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．解：因为f （x ）＝2sin x （sin x −√3cos x ）﹣1＝2sin 2x ﹣2√3sin x cos x ﹣1=−√3sin2x ﹣cos2x ＝﹣2sin （2x +π6）；∴g （x ）＝﹣2sin[2（x −π3）+π6]＝2cos2x ；故C 对； 对于A ，x ∈（π4，π2），2x +π6∈（2π3，7π6），此时函数f （x ）递增；故A 对；对于B ，x =5π6时，f （x ）＝﹣2sin （2×5π6+π6）≠±2，故B 错； 对于D ，因为g （−π2）＝2cos2×（−π2）≠0，故D 错； 故选：AC ．11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22a ，以下结论正确的有（ ）A．AC⊥BEB．点A到△BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的1 12D．异面直线AE，BF所成的角为定值【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D．解：对于A，根据题意，AC⊥BD，AC⊥DD1，AC⊥平面BDD1B1，所以AC⊥BE，所以A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到△BEF的距离为定值，则B正确；对于C，三棱锥A﹣BEF的体积为V三棱锥A﹣BEF=13•12EF•AB•BB1•sin45°=13×12×√22×a×a×√22a=112a3，三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的112，正确；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：ABC．12．已知函数f（x）={|log2(x−1)|，1＜x≤312x2−6x+292，x＞3，若方程f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列说法正确的是（）A．x1x2＝1B．1x1+1x2=1C ．x 3+x 4＝12D ．x 3x 4∈（27，29）【分析】作出函数f （x ）的图象，可知|log 2（x 1﹣1）|＝|log 2（x 2﹣1）|，x 3，x 4是方程12x 2−6x +292=m(0＜m ＜1)的两根，由此即可判断出正确选项．解：依题意，|log 2（x 1﹣1）|＝|log 2（x 2﹣1）|且1＜x 1＜2＜x 2＜3， ∴log 2（x 1﹣1）+log 2（x 2﹣1）＝0，即（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝1， ∴x 1x 2﹣x 1﹣x 2+1＝1， ∴1x 1+1x 2=1，即选项A 错误，选项B 正确；易知，x 3，x 4是方程12x 2−6x +292=m(0＜m ＜1)，即方程x 2﹣12x +29﹣2m ＝0的两根，∴x 3+x 4＝12，x 3x 4＝29﹣2m ∈（27，29），即选项C ，选项D 均正确． 故选：BCD ．三、填空题： 13．函数f （x ）=alnxe x 在点P （1，f （1））处的切线与直线2x +y ﹣3＝0垂直，则a ＝ e 2．【分析】先对函数求导数，利用切点处导数值为切线斜率求出a 的值． 解：由题意得：f′(x)=a x e x −ae xlnx(e x )2=ax −alnx e x ．又∵切线与直线2x +y ﹣3＝0垂直，故切线斜率k =12． ∴f′(1)=a e =12，∴a =e 2． 故答案为：e 2．14．如果（3x 1√x 2）n 的展开式中各项系数之和为4096，则n 的值为 6 ，展开式中x的系数为 1215 ．【分析】由二项展开式中各项系数之和求出n 的值，再利用展开式的通项公式计算含x 项的系数． 解：由（3x 1√x 2）n 的展开式中各项系数之和为4096，令x ＝1得（3+1）n ＝4096，解得n ＝6；利用T r +1=∁6r •36﹣r•x 6−52r ，令6−52r ＝1得：r ＝2，从而得展开式中x 的系数为∁62•36﹣2＝1215． 故答案为：6，1215．15．各项均为正数且公比q ＞1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 5＝4，a 2+a 4＝5，则(S n +52)22a n的最小值为 8 ．【分析】先根据等比数列的性质求出首项、公比，然后将结论表示出来，最后利用换元法结合基本不等式求最小值，注意取最小值时等号要成立． 解：由题意：a 1a 5＝a 2a 4＝4，又由a 2+a 4＝5，又公比q ＞1，∴a 2＝1，a 4＝4，故q 2=a4a 2=4，故q ＝2，a 1=12．∴a n =2n−2，S n =12(1−2n )1−2=12(2n −1)．∴(S n +52)22a n=(2n−1+2)22n−1，令t ＝2n ﹣1∈{1，2，22，23，……}，则原式=(t+2)2t =t +4t +4≥2√t ×4t+4=8，当且仅当t ＝2n ﹣1＝2，即n ＝2时取等号．故答案为：8．16．如图所示，三棱锥A ﹣BCD 的顶点A ，B ，C ，D 都在半径为√2同一球面上，△ABD 与△BCD 为直角三角形，△ABC 是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP ＝CQ ，则三棱锥P ﹣QCO 体积的最大值为112．【分析】设AP ＝x ，x ∈（0，√2）．由题意可知：BD 的中点O 为球心，当平面ABD ⊥平面BCD 时，三棱锥P ﹣QCO 体积V =13•PO •S △OCQ ，利用基本不等式的性质即可得出．解：设AP ＝x ，x ∈（0，√2）．由题意可知：BD 的中点O 为球心，当平面ABD ⊥平面BCD 时， 三棱锥P ﹣QCO 体积V =13•PO •S △OCQ =13×（√2−x ）•12×√2×x •sin45°=16x（√2−x ）≤16(x+√2−x 2)2=112，当且仅当x =√22时取等号．∴三棱锥P ﹣QCO 体积的最大值为112．故答案为：112．四、解答题：17．（开放题）在锐角△ABC 中，a ＝2√3，_______，求△ABC 的周长l 的范围． 在①m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，②cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ，③f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14，f （A ）=14注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解． 【分析】选①时，由平面向量的数量积与三角恒等变换求出A 的值， 再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围； 选②时，由正弦定理和三角恒等变换求出A 的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围； 选③时，由三角恒等变换求得A 的值，再利用正弦定理和三角恒等变换求出△ABC 周长的取值范围．解：若选①，则由m →=（﹣cos A 2，sin A2），n →=（cos A 2，sin A2），且m →•n →=−12，得−cos 2A 2+sin 2A 2=−12，∴cos A =12，又A ∈（0，π2），所以A =π3； 又asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3， 即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]． 若选②，由cos A （2b ﹣c ）＝a cos C ， 所以2b cos A ＝a cos C +c cos A ，所以2sin B cos A ＝sin A cos C +cos A sin C ＝sin （A +C ）＝sin B ； 又B ∈（0，π），所以sin B ≠0，所以cos A =12； 又A ∈（0，π2），所以A =π3；所以asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3， 即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]．若选③，则f （x ）＝cos x cos （x −π3）−14=12cos 2x +√32cos x sin x −14=12×1+cos2x 2+√32×sin2x 2−14=12（12cos2x +√32sin x 2）=12sin （2x +π6），又f （A ）=14，所以sin （2A +π6）=12，又A ∈（0，π2），所以A =π3；所以asinA=√3√32=4，△ABC 的周长为l △ABC =4sin(2π3−B)+4sinB +2√3，即l △ABC =4√3sin(B +π6)+2√3； 因为锐角△ABC 中，A =π3， 所以B ∈（π6，π2），所以B +π6∈（π3，2π3），所以△ABC 的周长为l △ABC ∈（6+2√3，6√3]． 18．已知数列{a n }满足a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2n （n ∈N *）． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若b n ＝（n +1）•log 2a n ，求数列{1b n}（n ∈N*）的前n 项和S n ．【分析】（1）当n ＝1时，a 1＝2．a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2n （n ∈N *）．①当n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2n ﹣1②，①﹣②得a n ．（2）由（1）得当n ＝1时b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝（n +1）log 2a n ＝（n +1）（n ﹣1），可得：1b n=1(n−1)(n+1)=12(1n−1−1n+1)(n ≥2)．即可得出．解：（1）当n ＝1时，a 1＝2． a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2n （n ∈N *）．① 当n ≥2时a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2n ﹣1②①﹣②得a n =2n−1经检验a 1不符合上式∴a n={2，n =12n−1，n ≥2．（2）由（1）得当n ＝1时b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝（n +1）log 2a n ＝（n +1）（n ﹣1）， ∴1b n=1(n−1)(n+1)=12(1n−1−1n+1)(n ≥2)．∴S n =12+12（1−13+12−14+13−15+⋯⋯+1n−2−1n +1n−1−1n+1）=12+12(32−1n−1n+1)=54−2n+12n(n+1)．∴S n =1b 1+1b 2+⋯+1b n =54−2n+12n(n+1)．19．如图，在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝2，AB ＝2DE ，且D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H 且DH ＝1． （1）证明：面BCE ⊥面ABC （2）求BD 与面CDE 夹角的余弦值．【分析】（1）证明：取BC 的中点F ，连接EF ，HF ．证明四边形DEFH 为平行四边形．然后证明DH ⊥平面ABC ，即可证明面ECB ⊥面ABC ．（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面CDE 的法向量，求出BD →=(12，−2，1)，然后通过空间向量的数量积求解即可． 【解答】（1）证明：取BC 的中点F ，连接EF ，HF ． ∵H ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴HF ∥AB ，且AB ＝2HF ． 又DE ∥AB ，AB ＝2DE ， ∴HF ∥DE 且HF ＝DE ， ∴四边形DEFH 为平行四边形． ∴EF ∥DH ，又D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ，∴DH ⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ，∵EF ⊂面BCE ∴面ECB ⊥面ABC ． （2）解：∵DH ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ， ∴以C 为原点，建立空间直角坐标系，则B （0，2，0），D （12，0，1），E （0，1，1）设平面CDE 的法向n →=（x ，y ，z ），CD →=（12，0，1），CE →=（0，1，1），则{12x +z =0y +z =0，取y ＝1，则x ＝2，z ＝﹣1．∴n →=（2，1，1）， ∵BD →=(12，−2，1)， ∴sinα=|cos〈BD →，n →〉|=|BD →⋅n→|BD →||n →||=2√1421， ∴BD 与面CDE 夹角的余弦值为√38521．20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2−√2且过点P （√2，1）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M （3，0）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，若点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P 'Q 是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组，求出a ，b 即可得到椭圆方程．（2）设出P 、Q 坐标，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合直线的斜率，推出直线系方程，然后求解定点坐标即可．解：（1）由题意{ (√2)2a 2+12b 2=1a −c =2−√2a 2=b 2+c2，解得{a =2b =√2c =√2，故椭圆C 的方程为x 24+y 22=1．（2）设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）． 将直线与椭圆的方程联立得：{y =k(x −3)x 24+y 22=1，消去y ，整理得（2k 2+1）x 2﹣12k 2x +18k 2﹣4＝0． 由根与系数之间的关系可得：x 1+x 2=12k22k 2+1，x 1⋅x 2=18k 2−42k 2+1．∵点P 关于y 轴的对称点为P '，则P '（x 1，﹣y 1）． ∴直线P 'Q 的斜率k =y 2+y1x 2−x 1方程为：y +y 1=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1)，即y =y 2+y 1x 2−x 1(x −x 1−x 2−x 1y 2+y 1y 1)=y 2+y1x 2−x 1(x −(y 2+y 1)x 1+(x 2−x 1)y 1y 2+y 1)=y 2+y 1x 2−x 1(x −x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1)=y 2+y1x 2−x 1(x −x 1k(x 2−3)+x 2k(x 1−3)k(x 2−3)+k(x 1−3)) =y 2+y 1x 2−x 1(x −2x 1x 2−3(x 1+x 2)x 1+x 2−6) =y 2+y1x 2−x 1(x −2×18k 2−42k 2+1−3×12k 22k 2+112k22k 2+1−6)=y 2+y1x 2−x 1(x −43)．∴直线P 'Q 过x 轴上定点(43，0)．21．《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N （μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下： （1）根据频率分布直方图，求样本平均数x（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．【分析】（1）结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值；（2）分析易知，X～N（70，102），而正品概率P＝P（60＜X＜90）＝P（60＜X＜70）+P（70＜X＜90），然后结合参考数据即可得解；（3）X所有可能为0，1，2，3，再利用超几何分布求出每个X的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可．解：（1）由频率分布直方图可知，x=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+0.005×10×86+962=70．（2）由题意可知，样本方差s2＝100，故σ≈√s2=10，所以X～N（70，102），该厂生产的产品为正品的概率P＝P（60＜X＜90）＝P（60＜X＜70）+P（70＜X＜90）=12(0.6827+0.9545)=0.8186．（3）X所有可能为0，1，2，3．P(X=0)=C30C53C83=528，P(X=1)=C31C52C83=1528，P(X=2)=C32C51C83=1556，P(X=3)=C33C50C83=156．所以X的分布列为X0123P52815281556156数学期望E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．22．已知f（x）＝e x﹣ax2﹣x（a＞0）．（1）讨论f'（x）得单调性；（2）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＜2ln2a．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系即可求解；（2）结合函数极值与导数零点的关系，然后结合函数的性质及导数进行合理的变形可证．解：（1）f'（x）＝e x﹣2ax﹣1，记g（x）＝f'（x）＝e x﹣2ax﹣1，则g'（x）＝e x﹣2a．由g'（x）＝0，即e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a．当x＜ln2a时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减；当x＞ln2a时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增．（2）由题意，函数f（x）有两个极值点x1，x2，记函数g（x）有两个零点x1，x2，不妨设x1＜x2，则x1∈（﹣∞，ln2a），x2∈（ln2a，+∞）．所以x1＜ln2a＜x2记p（x）＝g（x）﹣g（2ln2a﹣x）＝e x﹣2ax﹣[e2ln2a﹣x﹣2a（2ln2a﹣x）]＝e x﹣（2a）2e﹣x﹣4ax+4aln2ap'（x）＝e x+（2a）2e﹣x﹣4a，由均值不等式可得p′(x)≥2√e x×(2a)2e−x−4a=4a−4a=0（当且仅当e x＝（2a）2e﹣x，即x＝ln2a时，等号成立）．所以函数p（x）在一、选择题上单调递增．由x2＞ln2a，可得p（x2）＞p（ln2a）＝0，即g（x2）﹣g（2ln2a﹣x2）＞0，又因为x1，x2为函数g（x）的两个零点，所以g（x1）＝g（x2），所以g（x1）＞g（2ln2a﹣x2），又x2＞ln2a，所以2ln2a﹣x2＜ln2a，又函数g（x）在（﹣∞，ln2a）上单调递减，所以x1＜2ln2a﹣x2，即x1+x2＜2ln2a．。
2019-2020年高三第四次模拟考试数学含答案
（第6题）2019-2020年高三第四次模拟考试数学含答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但 与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 【答案】2． 设全集，集合．若，则集合 ▲ ． 【答案】3． 已知复数（为虚数单位，），若是纯虚数，则的值为 ▲ ． 【答案】34． 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班45名学生的高校招生体检表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如右图．若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 ▲ ． 【答案】185． 将函数f (x )的图象向右平移个单位后得到函数 的图象，则的值为 ▲ ． 【答案】46． 右图是一个算法的伪代码，则输出的i 的值为 ▲ ． 【答案】57． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量(1，0)，(2，1)．若向量与共线，则实数的值为 ▲ ． 【答案】8． 有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9．现从中任取3条，恰能构成三角形的概率为 ▲ ．APD COM（第15题）【答案】9．设数列{ln a n}是公差为1的等差数列，其前n项和为S n，且S1155，则a2的值为▲．【答案】e10．在△ABC中，已知，，，则边的长为▲．【答案】11．设一次函数为函数的导数．若存在实数(1，2)，使得，则不等式F(2x1)< F(x)的解集为▲．【答案】12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆：上存在一点到直线：的距离等于，则实数的值为▲．【答案】113．设正实数，满足，则实数的最小值为▲．【答案】14．在等腰三角形ABC中，已知ACBC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，且ADDBEF1．若，则的取值范围是▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD中，为菱形ABCD对角线的交点，M为棱PD的中点，MAMC．（1）求证：PB平面AMC；（2）求证：平面PBD平面AMC．证明：（1）连结，因为为菱形ABCD对角线的交点，所以为BD的中点，又M为棱PD的中点，所以，……2分又平面AMC，平面AMC，所以PB平面AMC；……6分（2）在菱形ABCD 中，ACBD ，且为AC 的中点，又MAMC ，故A ， …… 8分 而OMBD ，OM ，BD 平面PBD ，所以AC 平面PBD ， …… 11分 又AC 平面AMC ，所以平面PBD 平面AMC ． …… 14分16．(本小题满分14分)已知函数()()ππ()2sin sin 63f x x x =-+，．（1）求函数的值域；（2）若，求的值．解：（1）依题意，)()112cos sin 22x x x x =-)22sin cos cos sin x x x x =-- …… 3分， …… 5分 因为，所以，从而，所以函数的值域为； …… 7分 （2）依题意，，， 令，则，从而，且， …… 9分 所以，又22cos 12sin 2cos 122θθθ=-=-，，故，， …… 11分从而()()()πππ1sin sin sin 24623222x f x θθθ+=+=+=．…… 14分17．(本小题满分14分)某公司销售一种液态工业产品，每升产品的成本为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a 元(常数a ，且2≤a ≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x ≤41)，根 据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例．已知当每升产品的售价为 40元时，日销售量为10升．（1）求该公司的日利润y 与每升产品的售价x 的函数关系式；（2）当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取55，148)．解：（1）设日销售量(k 为比例系数)，因为当x 40时，p 10，所以k ， …… 2分从而，x ； …… 6分（2）设，，则401010e (30)10e ()=e e x tx a t a y ---=， 由，得ta 1， …… 9分 因为5≤t ≤11，2≤a ≤5，，所以a+13，4，5，6， 若a+13，4，5，则，函数在[5，11]上单调递减，所以当t 5即x 35时，5max 10(5)e 1480(5)y a a =-=-； …… 11分 若a+16，列表：所以当t 6即x 36时，，答：若a 2，3，4，则当每升售价为35元时，日利润最大为元； 若a 5，则当每升售价为36元时，日利润最大为550元．…… 14分 18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，设A (-1，0)，B (1，0), C (m ，n )，且△ABC 的周长为． （1）求证：点C 在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程； （2）设直线l ：．①判断直线l 与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点A 作直线l 的垂线，垂足为H ．证明：点H 在定圆上，并求出定圆的方程． （1）证明：依题意，CACBAB ，根据椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A (-1，0)，B (1，0)为焦点，为 长轴的椭圆(不含长轴的两个端点)，即证， …… 2分 不妨设该椭圆的方程为， 依题意知，，，从而，故该椭圆的标准方程为； …… 4分 （2）① 解：直线l 与（1）中的椭圆相切，下证之： 因为C (m ，n )在椭圆上，所以，由得，()()222224410m n x mx n +-+-=， …… 6分 判别式()()2222161621m m n n ∆=-+- ()2222161622m m m m =-+-，所以直线l 与（1）中的椭圆相切； …… 8分 ② 猜想：若点H 在定圆P 上， 故圆心P 必在x 轴上；当点C 时，H (0，)；当点C 时，H (0，)； 故圆心P 必在y 轴上，综上，圆心P 必为坐标原点O ，且半径为，从而定圆P 的方程为：， …… 10分 证明：过A (-1，0) 与直线l ：的垂直的直线方程为： ，联立直线l 与直线的方程解得，222222(2)42(2) 4H Hm n x m n m n y m n ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，， …… 12分从而OH 2()2222222222(2)44m n m n m n m n ⎡⎤-+⎡⎤⎢⎥=⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎣⎦+，其中，()()()222222242424m n m n mn-++=+()()()22222224222(2)42m m m m mm+-++-=+-()()()2222224(1)(2)22(2)22m m m m m m -+++-=+-，所以点H 在定圆上． …… 16分19．(本小题满分16分) 设，函数，其中常数a ． （1）求函数的极值；（2）设一直线与函数的图象切于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且． ①求的值； ②求证：．解：（1）依题意， 则 由得，，， 当时，，所以无极值； …… 3分所以函数的极小值为，极大值为； …… 6分 （2）①当时，，，直线AB 的方程为()34231111134()y ax x ax x x x -+=--， 或()34232222234()y ax x ax x x x -+=--，于是23231122343411223434 2323 ax x ax x ax x ax x ⎧-=-⎪⎨-+=-+⎪⎩，，即22121212112222221212121211223()()4()() 3()()()2()() a x x x x x x x x x x x x x x x x a x x x x x x ⎧+-=-++⎪⎨+-+=-++⎪⎩，，故(常数)； …… 11分 ②证明：设，，则 解得228a s a t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，，或 (舍去，否则)， 故()()3434212211y y ax x ax x -=---()()22222112121212()()x x a x x x x x x x x ⎡⎤=-++-++⎣⎦()2222128()22a a a a x x a -⎡⎤=--⋅⎢⎥⎣⎦ ，即证． …… 16分20．(本小题满分16分)（1）设为不小于3的正整数，公差为1的等差数列，，…，和首项为1的 等比数列，，…，满足…，求正整数的最大值；（2）对任意给定的不小于3的正整数，证明：存在正整数，使得等差数列： ，，…，和等比数列：，，…， 满足…．解：（1）设，，依题意得，234512121212121112345a b a b a b a b a b a <<<+<<+<<+<<+<<+…， …… 2分 从而234522222123456b b b b b <<<<<<<<<<<…， 即①，②，③，④，⑤，…，由①②③④得，；因为，所以由①②③④⑤得，不存在了，从而正整数的最大值为5； …… 6分 （2）依题意，111(1)n n n m a x x m x --=+-+-，，且，2，…，， 一方面，当时，，因此，()1111n mm m m m a a a x a a x x-+=+<+=+， 结合及是公比为的等比数列可得，()()21231111a a b b x x <+<+=，()()32341111a a b b x x<+<+=，…， 从而对任意的1，2，…，，都有； …… 11分 另一方面，因为()111111(1)m nn n n m m b a x x x m x x---<⇔+<+-+-()11111m n m n n x x x mx --+-+<+-(1，2，…，，其中为给定的不小于3的正整数)12(1)(1)2n n n n n x n x x ---+-++… …(＊)显然，(＊)式左边是关于的次式，右边是关于的次式，只要正整数充分大，(＊) 式即可成立,从而1，2，…，时，都有． 综上，必存在正整数，满足…． …… 16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学xx高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：ABACADAE．证明：连结EC，易得∠B∠E，……2分由题意，∠BAD∠CAE，所以△ABD∽△AEC，……6分从而，所以ABACADAE．……10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．AB CDE(第21—A题)解：依题意，NM1212⎡⎢⎥⎥⎥⎦，……4分由逆矩阵公式得， (NM)1414⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，……8分所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有，．……10分C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标系中，设直线过点，，且直线与曲线：有且只有一个公共点，求实数的值．解：依题意，，的直角坐标为，，从而直线的普通方程为，……4分曲线：的普通方程为，……8分因为直线与曲线有且只有一个公共点，所以，解得(负值已舍)．……10分D．选修4—4：不等式证明选讲（本小题满分10分）已知a，b＞0，且ab1，求证：．证明：因为(2a12b1)(1212)8，……8分所以．……10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）设为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，为这两条棱所成的角．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望E ()．解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有种不同方法，其中“”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法; ②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以； …… 4分（2）依题意，的所有可能取值为0，，，“”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法； 所以； …… 6分从而()()()517P P P ξξξππ==-=0-==32， …… 8分 所以的分布列为：数学期望E ()153290π1471484ππ=⨯+⨯+⨯=32． …… 10分23．（本小题满分10分）设整数3，集合P {1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满 足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数．（1）求a 3；（2）求a n ．解：（1）当3时，P {1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 3； …… 3分（2）设A 中的最大数为k ，其中,整数3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 可在A 中，故A 的个数为： ， …… 5分B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k 1，k 2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分 从而集合对(A ，B )的个数为，所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分。
2020届山东省、海南省新高考数学4月模拟试题和答案详细解析及家长必读
2020届山东省、海南省新高考数学4月模拟试题一、单项选择题：1．（3分）设集合A＝{x||3x+1|≤4}，B＝{x|log2x≤3}，则A∪B＝（）A．[0，1] B．（0，1] C．[﹣，8] D．[﹣，8）2．（3分）已知（2﹣i）＝i2019，则复平面内与z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）已知A（1，﹣2），B（4，﹣1），C（3，2），则cos∠BAC＝（）A．﹣B．C．﹣D．4．（3分）我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝0的夹角为60°，若以双曲线C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线C的标准方程为（）A．﹣y2＝1 B．﹣＝1C．﹣＝1 D．x2﹣＝16．（3分）函数f（x）＝cos x•sin（3x﹣）的图象大致为（）A．B．C．D．7．（3分）已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A﹣sin B sin C＝0，则的取值范围为（）A．（﹣）B．[0，）C．[0，）D．（﹣1，1）8．（3分）已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）＝x2e x，若对任意的x2∈[﹣1，1]，存在唯一的x1∈[﹣，2]，使得f（x1）＝g（x2），则实数a的取值范围是（）A．（e，4] B．（e+，4] C．（e+，4）D．（，4]二、多项选择题：9．（3分）对于实数a，b，c，下列命题是真命题的为（）A．若a＞b，则＜B．若a＞b，则ac2≥bc2C．若a＞0＞b，则a2＜﹣abD．若c＞a＞b＞0，则＞10．（3分）将函数f（x）＝2sin x（sin x﹣cos x）﹣1图象向右平移个单位得函数g （x）的图象，则下列命题中正确的是（）A．f（x）在（，）上单调递增B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．g（x）＝2cos2xD．函数g（x）的图象关于点（﹣，0）对称11．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝a，以下结论正确的有（）A．AC⊥BEB．点A到△BEF的距离为定值C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的D．异面直线AE，BF所成的角为定值12．（3分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝m有四个不同的实根x1，x2，x3，x4满足x1＜x2＜x3＜x4，则下列说法正确的是（）A．x1x2＝1 B．+＝1C．x3+x4＝12 D．x3x4∈（27，29）三、填空题：13．（3分）函数f（x）＝在点P（1，f（1））处的切线与直线2x+y﹣3＝0垂直，则a＝．14．（3分）如果（3x+）n的展开式中各项系数之和为4096，则n的值为，展开式中x的系数为．15．（3分）各项均为正数且公比q＞1的等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1a5＝4，a2+a4＝5，则的最小值为．16．（3分）如图所示，三棱锥A﹣BCD的顶点A，B，C，D都在半径为同一球面上，△ABD 与△BCD为直角三角形，△ABC是边长为2的等边三角形，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP＝CQ，则三棱锥P﹣QCO体积的最大值为．四、解答题：17．（10分）（开放题）在锐角△ABC中，a＝2，_______，求△ABC的周长l的范围．在①＝（﹣cos，sin），＝（cos，sin），且•＝﹣，②cos A（2b﹣c）＝a cos C，③f（x）＝cos x cos（x﹣）﹣，f（A）＝注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．18．（12分）已知数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a n＝2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（n+1）•log2a n，求数列{}（n∈N*）的前n项和S n．19．（12分）如图，在多面体ABCDE中，DE∥AB，AC⊥BC，BC＝2AC＝2，AB＝2DE，且D点在平面ABC内的正投影为AC的中点H且DH＝1．（1）证明：面BCE⊥面ABC（2）求BD与面CDE夹角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），椭圆上的点到焦点的最小距离为2﹣且过点P（，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（3，0）的直线l与椭圆C有两个不同的交点P和Q，若点P关于x轴的对称点为P'，判断直线P'Q是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．（12分）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N（μ，σ2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+σ，μ+2σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：（1）根据频率分布直方图，求样本平均数（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则：P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求X的分布列以及期望值．22．（12分）已知f（x）＝e x﹣ax2﹣x（a＞0）．（1）讨论f'（x）得单调性；（2）已知函数f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＜2ln2a．2020届山东省、海南省新高考数学4月模拟试题答案一、单项选择题：1．C； 2．A； 3．D； 4．D； 5．A； 6．C； 7．A； 8．B；二、多项选择题：9．BD； 10．AC； 11．ABC； 12．BCD；三、填空题：13．； 14．6；1215； 15．8； 16．；四、解答题：17．； 18．； 19．； 20．； 21．； 22．；陪孩子高考的10点建议1.了解本省现行的高考制度和高考改革情况，掌握每年本省的招生基本情况(含当年报考人数、文、理科的报考比例和主要院校的招生人数);2.了解当今主要高校文、理科的一般专业和新专业的设置走向以及近几年的就业形势;了解平行志愿填报的基本原则和某些误区;3.了解高三学生学习的基本情况(高考科目、学校课程开设情况、高三学生学习要求、生活要求、考试要求等);4.简要摘录今年全国主要高等院校的招生情况，主要专业的招生计划数以及专业的最低投档线和录取平均分;5.了解自己小孩的学习现状(在文科或理科的全级排名位置、主要优势和弱势、目前的主要存在问题和成因，以及今后的努力方向等);6.在沟通交流方面父母要学会借力，主动、持续地和小孩的班主任以及其他科任老师保持联系，随时把握小孩的学习和生活情况，并以此作为和小孩沟通的基础。
山东海南2020年新高考仿真数学试卷4月
1山东海南2020年新高考数学仿真试卷 4月一、单项选择题：1．{}{}2|314=log 3,=xA x xB x A B =+≤≤设集合，则UA．[]0,1 B．(]0,1C ．5[,8]3-D ．5[,8)3-2．已知2019(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知(1,2),A -(4,1),B -(3,2),C 则cos BAC ∠= A ．2-B ．2C ．2-D ．2 4．我省高考实行3＋3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科相同的概率为 A ．1140B ．920C ．910D ．125．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线x ＝0的夹角为60°，若以双曲线C 的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为223+，则双曲线C 的标准方程为A ．2213x y -=B ．22193x y -=C ．22139x y -=D ．2213y x -=6．1()cos sin(3)3xxf x x =⋅+函数的图像大致为7．已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin 2A －sin B sin C ＝0，则sin sin 2sin B CA-的取值范围为A ．11,22⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭， D ．()1,1- 8．已知函数f (x )＝－x 2＋a ，g (x )＝x 2e x ，若对任意的x 2∈[－1,1]，存在唯一的x 1∈1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围是A ．(],4eB ．1,44e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．1,44e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：9．对于实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的为 A ．若a >b ，则11a b <B ．若a >b ，则22ac bc ≥ C ．若a >0>b ，则a 2<－abD ．若c >a >b >0，则a c －a >bc －b10．将函数()2sin (sin 3cos )1f x x x x =--图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图像．则下列命题中正确的是 A ．()f x 在(,)42ππ上单调递增 B ．函数()f x 的图象关于直线56x π=对称 C ．()2cos 2g x x =D ．函数()g x 的图像关于点(,0)2π-对称11．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF=2a ，以下结论正确的有 A ．AC ⊥BE ； B ．点A 到ΔBEF 的距离为定值C ．三棱锥A －BEF 的体积是正方体1111ABCD A B C D －体积的112； D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值．12．已知函数22|log (1)|,13()1296,322x x f x x x x -<≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是A ．121x x =B ．12111x x +=C ．3412x x +=D ．34(27,29)x x ∈ 三、填空题： 13．函数ln ()xa xf x e=在点(1,(1))P f 处的切线与直线230x y +-=垂直，则a = ．14．如果n323x x ⎛+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数之和为4096，则n 的值为________，展开式中x 的系数为________．(本题第一空2分，第二空3分)315．各项均为正数且公比0q ＞的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若514a a ＝，245a a +=，则2522n S an⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为________．16．如图所示，三棱锥A －BCD 的顶点A ，B ，C ，D 都在半径为2同一球面上，△ABD 与△BCD 为直角三角形，△ABC 是边长为2的等边三角形，点P ，Q 分别为线段AO ，BC 上的动点(不含端点)，且AP ＝CQ ，则三棱锥P －QCO 体积的最大值为________．四、解答题：17． （10分）(开放题)在锐角△ABC 中，23a =,________，求△ABC 的周长l 的范围．在①m ＝⎝⎛⎭⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos A 2，sin A2，且12m n ⋅=-，②cos A(2b-c)＝a cos C ，③f (x )＝cos x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－14,()14f A = 注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．18． （12分）已知数列{}n a 满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n (n ∈N *).（1）{}n a 求数列的通项公式；（2）2(1)log na nb n =+若g ，,1()n n n N n S b *⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭求数列的前项和19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，DE ∥AB ，AC ⊥BC ，BC ＝2AC ＝2，AB ＝2DE ，且D 点在平面ABC 内的正投影为AC 的中点H ． （1）证明:ABC ⊥面BCE 面（2）求BD 与面CDE 夹角的余弦值．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，椭圆上的点到焦点的最小距离为22-且过点(2,1)P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点(3,0)M 的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点P 和Q ，若点P 关于x 轴的对称点为P '，判断直线P Q '是否经过定点，如果经过，求出该定点坐标；如果不经过，说明理由．21．（12分）《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领。
山东省2019届高三数学4月模拟训练试题文(含解析)
山东省2019届高三数学4月模拟训练试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.，则1. ( ) 设集合，或B.A.C.D.B 【答案】【解析】.，再利用集合的交集运算，即可求解分析：根据不等式，求解出集合或详解：由题意，B.所以，故选点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是2.( )B.A. 的虚部为的共轭复数为 D.C. 为纯虚数C 【答案】【解析】【分析】先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得．，所以A对于A不正确．，由得复数的虚部为，所以B对于B 不正确．，，所以为纯虚数，所以C正确．对于C，由于，所以D不正确．的共轭复数为D对于，故选C．1【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．，则（） 3.已知函数D.C. A. B.B 【答案】【解析】【分析】.先计算出的值，即可求出结果【详解】因为，所以，所以.B故选【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.，且在上为减函数的是（下列函数中，周期为） 4.B. A.D.C.A 【答案】【解析】上为减函数y＝sin周期为π，且在”是“”的（）5.“A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. D. 充要条件既不充分也不必要条件【答案】A2【解析】【分析】或，然后根据集合间的包含关系进行判断即可得到结论．解不等式得或．【详解】解不等式得∵，”的充分不必要条件．”是“∴“故选A．【点睛】判断充分条件、必要条件的方法有三种：（1）根据定义进行判断；（2）根据集合间的包含关系进行判断；（3）对于含有否定性词语的命题可从它的等价命题进行判断．解题时要灵活选择方法进行求解，属于基础题．，且在两点处各有一个通信基站，假设其信6.中，如图，在矩形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工和扇形区域号的覆盖范围分别是扇形区域作正常）.若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是（）D. C. A. B.【答案】C【解析】【分析】和扇形区域由条件求出扇形区域的面积，然后根据面积型的几何概型概率求解即可的到所求结果．的面积均为【详解】由条件得扇形区域和扇形区域，，又矩形区域的面积为根据几何概型概率公式可得所求概率为，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是．3故选C．【点睛】本题考查面积型的几何概型概率的求法，解题的关键是根据题意得到表示基本事件的区域的面积，属于基础题．单位：)10月份每月最低气温与最高气温(某城市收集并整理了该市7.2017年1月份至的数据，绘制了的折线图，已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是( )A. 每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B. 10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份最低气温低于的月份有4D. 个D 【答案】【解析】月份的最高气温大于正确；10由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A月份的温差最大，故，B正确；从各月的温差看，月份的最高气温为不超过20，而5120 D.错，选D4C正确；而最低气温低于21的月份是，，三月份，故故的平面去截正的中点，现用一个过点为线段如图正方体8.，点方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）B. A.D. C.B 【答案】【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为B故选：．高遵循“长对正，思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，【点睛】长是几何体的长；俯视图宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，平齐，由三视.的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽根据俯视图画出几何体地面的直观图；首先看俯视图，1、图画出直观图的步骤和思考方法：、画出整体，然后再根据三视32、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；. 图进行调整）为自然对数底数，则有（若 9. A. B.D.C.D 【答案】【解析】【分析】5. 的单调性，根据构造函数，得出函数，即可得出结果上单调递增，又R，则，【详解】令在，即，所以，解所以.故选. 【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型，则10.，若在成等比数列，且中，角所对的边长分别为）（的值D.C.B. A.B 【答案】【解析】【分析】，成等比数列得，再根据，故得可得由然后根据余弦定理求解即可得到所求．【详解】∵成等比数列，∴，由正弦定理得．，又∴，故得．∴． B．故选并【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意得到三角形中三边间的关系，用统一的参数表示，属于基础题．，则函数11.，当时，取得最小值已知函数( )的图象为6B. A.D. C.A 【答案】【解析】【分析】ba. 先根据基本不等式求出的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求，x），0，4【详解】∵∈（x1 +1∴＞xxxf，5＝+1∴5（）＝≥﹣142x，时取等号，此时函数有最小值当且仅当1＝2ba BC. ,排除，1＝∴，＝2x+1||xg此时，（）＝2y个单位的图象向左平移此函数可以看成函数1A结合指数函数的图象及选项可知正确A故选：．指数函数的图象及函数的【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，平移的应用是解答本题的关键。
2019-2020学年高考模拟山东省高三第二学期4月份摸底数学测试(B卷)试卷 解析版
2019-2020学年高三第二学期4月摸底数学试卷（B卷）一、选择题1．若集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{﹣2，2}C．{2}D．{0} 2．已知复数z满足3﹣z＝1﹣i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．2B．C．5D．3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺．A．5.45B．4.55C．4.2D．5.84．函数的零点所在区间为（）A．（﹣1，0）B．C．D．（1，2）5．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（）A．log0.87＜0.87＜70.8B．log0.87＜70.8＜0.87C．0.87＜70.8＜log0.87D．70.8＜0.87＜log0.876．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．7．设是非零向量，则＝2是＝成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件8．已知四棱锥P﹣ABCD的体积是，底面ABCD是正方形，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球体积为（）A．B．C．πD．二、多项选择题(共4小题）9．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式一定为正的是（）A．sinα+cosαB．cosα﹣sinαC．sinαcosαD．10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前11．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣1）为奇函数，则（）A．函数y＝f（x）是周期函数B．函数y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称C．函数y＝f（x）为R上的偶函数D．函数y＝f（x）为R上的单调函数12．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）A．以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣相离B．以线段BM为直径的圆与y轴相切C．当＝2时，|AB|＝D．|AB|的最小值为4三、填空题(共4小题）13．已知tanα＝3，则的值为．14．二项式（2x2﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）15．已知椭圆M：+＝1（a＞b＞0），双曲线N：﹣＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N的离心率为．16．已知函数，当x∈[0，10π]时，把函数F（x）＝f（x）﹣6的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，记数列{x n}的前n项和为S n，则2S n﹣（x1+x n）＝．四、解答题：共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①△ABC面积S△ABC＝2，②∠ADC＝这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，，CD＝2AB＝4，求AC．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列{a n}满足（n∈N*），b n＝log4a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD＝2BC ＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：PC⊥BC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．20．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝8x焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．22．已知函数f（x）＝+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：+＞．参考答案一、单项选择题1．若集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2＞1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜﹣1或x＞1}B．{﹣2，2}C．{2}D．{0}【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解：由B中不等式解得：x＞1或x＜﹣1，即B＝{x|x＞1或x＜﹣1}，∵A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，2}，故选：B．2．已知复数z满足3﹣z＝1﹣i（i为虚数单位），则复数z的模为（）A．2B．C．5D．【分析】由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．解：∵3﹣z＝1﹣i，∴z＝3﹣1+i＝2+i，∴．故选：D．3．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈＝10尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（）尺．A．5.45B．4.55C．4.2D．5.8【分析】由题意可得AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．解：如图，已知AC+AB＝10（尺），BC＝3（尺），AB2﹣AC2＝BC2＝9，所以（AB+AC）（AB﹣AC）＝9，解得AB﹣AC＝0.9，因此，解得，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．4．函数的零点所在区间为（）A．（﹣1，0）B．C．D．（1，2）【分析】直接利用零点判定定理求出函数值，判断即可．解：函数是增函数并且是连续函数，可得f（）＝﹣＜0，f（1）＝1﹣＞0．∴f（）f（1）＜0，所以函数的零点在（，1）．故选：C．5．三个数70.8，0.87，log0.87的大小顺序是（）A．log0.87＜0.87＜70.8B．log0.87＜70.8＜0.87C．0.87＜70.8＜log0.87D．70.8＜0.87＜log0.87【分析】可以得出70.8＞1，0＜0.87＜1，log0.87＜0，从而可找出正确选项．解：∵70.8＞70＝1，0＜0.87＜1，log0.87＜log0.81＝0，∴．故选：A．6．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A．B．C．D．【分析】由相互独立可求解恰有一个一等品的概率．解：由于两个零件是否加工为一等品相互独立，所以两个零件中恰有一个一等品为：两人一个为一个为一个一等品，另一个不为一等品．∴P＝+＝，故选：B．7．设是非零向量，则＝2是＝成立的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【分析】由已知＝2，得共线同向，则＝；反之，由＝，可得共线同向，不一定有＝2，结合充分必要条件的判定得答案．解：对于非零向量，由＝2，得共线同向，则＝；反之，由＝，可得共线同向，但不一定是＝2．∴＝2是＝成立的充分不必要条件．故选：B．8．已知四棱锥P﹣ABCD的体积是，底面ABCD是正方形，△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则四棱锥P﹣ABCD外接球体积为（）A．B．C．πD．【分析】首先求出锥体的下底面边长，进一步求出外接球的半径，最后求出球的体积．解：四棱锥P﹣ABCD的体积是，底面ABCD是正方形，如图所示：则：设正方形ABCD的边长为2x，在等边三角形PAB中，过P点作PE⊥AB，由于平面PAB⊥平面ABCD，所以PE⊥平面ABCD．由于△PAB是等边三角形，解得PE＝所以，解得x＝3．设外接球的半径为R，所以＝所以＝．故选：A．二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），则下列各式一定为正的是（）A．sinα+cosαB．cosα﹣sinαC．sinαcosαD．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，以及三角函数在各个象限中的符号，得出结论．解：角α以Ox为始边，终边经过点P（1，m）（m＜0），∴α是第四象限角，∴sinα＜0，cosα＞0，∴cosα+sinα不一定是正数，故排除A；∴cosα﹣sinα＞0，故B正确；∴cosα•sinα＜0，故C一定错误；∴＝cosα＞0，故D正确，故选：BD．10．某大学进行自主招生测试，需要对逻辑思维和阅读表达进行能力测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示，下列叙述正确的是（）A．甲同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D．甲同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【分析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前．甲同学的阅读表达成绩排名靠后．解：根据图示，对于A，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前，故A正确；对于B，乙同学的总排名比较靠前，但是他的逻辑思维排名比较靠后，说明他的阅读表达排名比逻辑排名成绩更靠前，故B错误．对于C，甲乙丙三位同学的逻辑思维排名顺序是甲，丙乙并列，故甲同学最靠前．故C 正确．对于D，甲同学的逻辑思维成绩排名更靠前，总成绩排名靠后，即有阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠后，故D错误．故选：AC．11．已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（x+2）＝﹣f（x），且函数y＝f（x﹣1）为奇函数，则（）A．函数y＝f（x）是周期函数B．函数y＝f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称C．函数y＝f（x）为R上的偶函数D．函数y＝f（x）为R上的单调函数【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，函数y＝f（x）满足f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，A正确；对于B，y＝f（x﹣1）是奇函数，则f（x﹣1）的图象关于原点对称，又由函数f（x）的图象是由y＝f（x﹣1）向左平移1个单位长度得到，故函数f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，B正确；对于C，由B可得：对于任意的x∈R，都有f（﹣1﹣x）＝﹣f（﹣1+x），即f（﹣1﹣x）+f（﹣1+x）＝0，变形可得f（﹣2﹣x）+f（x）＝0，则有f（﹣2﹣x）＝﹣f（x）＝f（x+2）对于任意的x∈R都成立，令t＝2+x，则f（﹣t）＝f（t），即函数f（x）是偶函数，C 正确；对于D，f（x）为偶函数，则其图象关于y轴对称，f（x）在R上不是单调函数，D错误；故选：ABC．12．过抛物线y2＝4x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）A．以线段AB为直径的圆与直线x＝﹣相离B．以线段BM为直径的圆与y轴相切C．当＝2时，|AB|＝D．|AB|的最小值为4【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B，M在准线上的射影为A'，B'，M'，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断A；当直线AB的斜率不存在时，显然成立；当直线AB的斜率存在时，设为1，求得A，B，M的横坐标，由直线和圆的位置关系可判断B；以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为ρ＝，设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），求得|AF|，|FB|，可判断C；考虑直线AB垂直于x轴，取得最小值，可判断D．解：y2＝4x的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A，B，M在准线上的射影为A'，B'，M'，由|AF|＝|AA'|，|BF|＝|BB'|，|MM'|＝（|AA'|+|BB'|）＝（|AF|+|FB|）＝|AB|，可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，故A对；当直线AB的斜率不存在时，显然以线段BM为直径的圆与y轴相切；当直线AB的斜率存在且不为0，可设直线AB的方程为y＝kx﹣k，联立y2＝4x，可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，设x1＝3+2，x2＝3﹣2，可得M的横坐标为1+，MB的中点的横坐标为（1++x2），|BM|＝|x2﹣1﹣|，当k＝1时，MB的中点的横坐标为﹣，|MB|＝2，显然以线段BM为直径的圆与y轴相交，故B错；以F为极点，x轴的正半轴为极轴的抛物线的极坐标方程为ρ＝，设A（ρ1，θ），B（ρ2，π+θ），可得ρ1＝，ρ2＝＝，可得+＝+＝1，又|AF|＝2|FB|，可得|AF|＝3，|FB|＝，则|AB|＝|AF|+|FB|＝，故C正确；显然当直线AB垂直于x轴，可得|AB|取得最小值4，故D正确．故选：CD．三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tanα＝3，则的值为．【分析】利用同角三角函数间的基本关系即可化简求值得解．解：∵tanα＝3，∴＝＝＝．故答案为：．14．二项式（2x2﹣）6的展开式中的常数项是60．（用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：（2x2﹣）6的展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•26﹣r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，∴展开式中的常数项是•22＝60，故答案为：60．15．已知椭圆M：+＝1（a＞b＞0），双曲线N：﹣＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N的离心率为2．【分析】利用已知条件求出正六边形的顶点坐标，代入椭圆方程，求出椭圆的离心率；利用渐近线的夹角求解双曲线的离心率即可．解：椭圆M：+＝1（a＞b＞0），双曲线N：﹣＝1．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，可得椭圆的焦点坐标（c，0），正六边形的一个顶点（，），可得：，可得，可得e4﹣8e2+4＝0，e∈（0，1），解得e＝．同时，双曲线的渐近线的斜率为，即，可得：，即，可得双曲线的离心率为e＝＝2．故答案为：；2．16．已知函数，当x∈[0，10π]时，把函数F（x）＝f（x）﹣6的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，记数列{x n}的前n项和为S n，则2S n﹣（x1+x n）＝．【分析】求出函数y＝sin（2x﹣）的对称轴，由对称性得出每隔两相邻零点的和，由等差数列的求和公式进而得到所求值．解：F（x）＝f（x）﹣6的零点即f（x）＝6，即sin（2x﹣）＝，由2x﹣＝2kπ+，k∈Z，解得x＝（2kπ+），k＝0，1，…，9，即为y＝sin （2x﹣）的图象的对称轴方程，则x1+x2＝，x3+x4＝，…，x19+x20＝，可得S n＝（+）×10＝，x1+x n＝（+arcsin+18π+π﹣arcsin+）＝，则2S n﹣（x1+x n）＝﹣＝，故答案为：．四、解答题：共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①△ABC面积S△ABC＝2，②∠ADC＝这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC．如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC＝，∠BAC＝∠DAC，①△ABC面积S△ABC＝2，CD＝2AB＝4，求AC．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】首先选出条件①，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：当①△ABC面积S△ABC＝2，CD＝2AB＝4，∠ABC＝，所以AB＝2．故，解得BC＝2则：，解得：AC＝2．故答案为：①△ABC面积S△ABC＝2．AC＝218．已知数列{a n}满足（n∈N*），b n＝log4a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝2当n≥2时由，，两式相减得，即，且上式对于n＝1时也成立，所以数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）因为，．所以，＝，＝，＝．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AD＝2BC ＝2，∠BAD＝∠ABC＝90°．（1）证明：PC⊥BC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为30°，求二面角B﹣PC﹣D的余弦值．【分析】（1）取AD的中点为O，连接PO，CO，说明PO⊥AD．证明CO⊥AD，然后证明AD⊥平面POC，推出AD⊥PC，又AD∥BC，所以PC⊥BC．（2）证明PO⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面PBC的法向量，平面PDC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角A﹣SB﹣C的余弦值．解：（1）取AD的中点为O，连接PO，CO，∵△PAD为等边三角形，∴PO⊥AD．底面ABCD中，可得四边形ABCO为矩形，∴CO⊥AD，∵PO∩CO＝O，∴AD⊥平面POC，∵PC⊂平面POC，AD⊥PC．又AD∥BC，所以PC⊥BC…（2）由面PAD⊥面ABCD，PO⊥AD知，∴PO⊥平面ABCD，OP，OD，OC两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30°，即∠CPO＝30°，由AD＝2，知，得CO ＝1．分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O﹣xyz，则，D（0，1，0），C（1，0，0），B（1，﹣1，0），，，设平面PBC的法向量为，∴，则…设平面PDC的法向量为，∴，则…．，∴二面角B﹣PC﹣D的余弦值为…20．某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450～950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（Ⅰ）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550，650），[750，850）内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列2×2列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计（参考公式：，其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据频率和为1，列方程求解即可；（Ⅱ）由题意，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X服从超几何分布，确定X的取值，求对应概率即可得到分布列，求出期望即可；（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人，列出列联表计算出K2＝5.024查临界值表判断即可．解：（Ⅰ）由题意知100×（0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001）＝1，解得a＝0.0035，样本平均数为＝500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10＝670元．（Ⅱ）由题意，从[550，650）中抽取7人，从[750，850）中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3．P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）所以随机变量X的分布列为：P0123X随机变量X的数学期望E（X）＝+2×+3×＝．（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下2×2列联表：属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男生152540女生105060合计2575100＝＝≈5.024，所以有97.5%的把握认为概型学生属于“高消费群”与性别有关．21．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2＝8x焦点重合，且椭圆的离心率为，过x轴正半轴一点（m，0）且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m使以线段AB为直径的圆经过点F，若存在，求出实数m的值；若不存在说明理由．【分析】（1）由抛物线y2＝8x得焦点坐标，结合已知条件及椭圆的离心率可求出c，a 的值，由b2＝a2﹣c2，求出b，则椭圆的方程可求；（2）由题意得直线l的方程为，联立，消去y得2x2﹣2mx+m2﹣6＝0，由△＞0，解得m的范围，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝m，，求出y1•y2，由，，求出，若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，求出实数m 的值即可．解：（1）∵抛物线y2＝8x的焦点是（2，0），∴F（2，0），∴c＝2，又∵椭圆的离心率为，即，∴，则b2＝a2﹣c2＝2故椭圆的方程为；……………………………………（2）由题意得直线l的方程为，由，消去y得2x2﹣2mx+m2﹣6＝0，由△＝4m2﹣8（m2﹣6）＞0，解得．又m＞0，∴．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝m，．∴．………∵，，……………………………………………∴＝．………………若存在m使以线段AB为直径的圆经过点F，则必有，即，………………………解得m＝0或m＝3．又，∴m＝3．即存在m＝3使以线段AB为直径的圆经过点F．……………………………………22．已知函数f（x）＝+lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：+＞．【分析】（1）求导数，分类讨论，利用函数f（x）＝+lnx﹣1（m∈R）的两个零点，得出ln2m﹣＜0，即可求实数m的取值范围；（2）由题意方程m＝有两个根为t1，t2，不妨设t1＝，t2＝，要证明+＞，即证明t1+t2＞，即证明h（t1）＜h（﹣t2）．令φ（x）＝h（x）﹣h（﹣x），证明φ（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立即可．【解答】（1）解：f′（x）＝．①m≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；②m＞0，f′（x）＞0可解得x＞2m，f′（x）＜0可解得0＜x＜2m，∴f（x）在（0，2m）上单调递减，在（2m，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（2m）＝ln2m﹣，由题意，ln2m﹣＜0，∴0＜m＜；（2）证明：令t＝，f（）＝mt﹣lnt﹣1＝0，由题意方程m＝有两个根为t1，t2，不妨设t1＝，t2＝．令h（t）＝，则h′（t）＝﹣，令h′（t）＞0，可得0＜t＜，函数单调递增；h′（t）＜0，可得t＞，函数单调递减．由题意，t1＞＞t2＞0，要证明+＞，即证明t1+t2＞，即证明h（t1）＜h（﹣t2）．令φ（x）＝h（x）﹣h（﹣x），下面证明φ（x）＜0对任意x∈（0，）恒成立，φ′（x）＝+，∵x∈（0，），∴﹣lnx﹣1＞0，x2＜，∴φ′（x）＞＞0，∴φ（x）在（0，）上是增函数，∴φ（x）＜φ（）＝0，∴原不等式成立．。
山东省2019届高三数学4月模拟训练试题文(含解析)
山东省2019届高三数学4月模拟训练试题文（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则 ( )A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】分析：根据不等式，求解出集合，再利用集合的交集运算，即可求解.详解：由题意或，所以，故选B.点睛：本题主要考查了集合的交集运算，其中正确的求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.2.若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是( )A.的虚部为B.C. 为纯虚数D.的共轭复数为【答案】C【解析】【分析】先得到复数的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论．【详解】由题意得．对于A，由得复数的虚部为，所以A不正确．对于B，，所以B不正确．对于C，由于，所以为纯虚数，所以C正确．对于D，的共轭复数为，所以D不正确．故选C．【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．3.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先计算出的值，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选B【点睛】本题主要考查分段函数求值的问题，由内向外逐步代入即可求出结果，属于基础题型.4.下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】y＝sin周期为π，且在上为减函数5.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式得或，然后根据集合间的包含关系进行判断即可得到结论．【详解】解不等式得或．∵，∴“”是“”的充分不必要条件．故选A．【点睛】判断充分条件、必要条件的方法有三种：（1）根据定义进行判断；（2）根据集合间的包含关系进行判断；（3）对于含有否定性词语的命题可从它的等价命题进行判断．解题时要灵活选择方法进行求解，属于基础题．6.如图，在矩形区域中，，且在两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域和扇形区域（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件求出扇形区域和扇形区域的面积，然后根据面积型的几何概型概率求解即可的到所求结果．【详解】由条件得扇形区域和扇形区域的面积均为，又矩形区域的面积为，根据几何概型概率公式可得所求概率为，即在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是．【点睛】本题考查面积型的几何概型概率的求法，解题的关键是根据题意得到表示基本事件的区域的面积，属于基础题．7.某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月最低气温与最高气温(单位：)的数据，绘制了的折线图，已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是( )A. 每月的最低气温与当月的最高气温两变量为正相关B. 10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C. 月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月份D. 最低气温低于的月份有4个【答案】D【解析】由图可以看出，当最低气温较大时，最高气温也较大，故A正确；10月份的最高气温大于20，而5月份的最高气温为不超过20，故B正确；从各月的温差看，1月份的温差最大，故C正确；而最低气温低于的月份是1，2，4三月份，故D错，选D.8.如图正方体，点为线段的中点，现用一个过点的平面去截正方体，得到上下两部分，用如图的角度去观察上半部分几何体，所得的左视图为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，然后判断侧视图即可．【详解】上半部分的几何体如图：由此几何体可知，所得的侧视图为故选：B．【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.9.若为自然对数底数，则有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，得出函数的单调性，根据，即可得出结果. 【详解】令，则在R上单调递增，又，所以，解，所以，即.故选D【点睛】本题主要考查不等式，可借助函数的单调性比较大小，属于基础题型.10.在中，角所对的边长分别为，若成等比数列，且，则的值（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由成等比数列得，故得，再根据可得，然后根据余弦定理求解即可得到所求．【详解】∵成等比数列，∴，由正弦定理得．又，∴，故得．∴．故选B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意得到三角形中三边间的关系，并用统一的参数表示，属于基础题．11.已知函数，当时，取得最小值，则函数的图象为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求. 【详解】∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4x+15≥25＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1，∴a＝2，b＝1，,排除BC.此时g（x）＝2|x+1|，此函数可以看成函数y的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点睛】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键。
2019-2020年高三4月模拟考试数学试题(文)含解析
2019-2020年高三4月模拟考试数学试题（文）含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＞1}，集合，则A∩B=（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（1，3]【考点】：交集及其运算．【专题】：计算题．【分析】：由题意求出集合B，然后直接求出集合A∩B即可．【解析】：解：因为集合={x|x≤3}，又集合A={x|x＞1}，所以A∩B={x|x＞1}∩{x|x≤3}={x|1＜x≤3}，故选D．【点评】：本题考查集合的基本运算，函数的定义域的求法，考查计算能力．2．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：p1：|z|=2；p2：z2=2i；p3：z的共轭复数为1+i；p4：z的虚部为﹣1．其中的真命题为（）A．p1，p2 B．p2，p4 C．p2，p3 D．p3，p4【考点】：复数代数形式的乘除运算；命题的真假判断与应用．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义即可判断出．【解析】：解：复数z===﹣1﹣i．∴|z|=，z2=2i，=﹣1+i，z的虚部为﹣1．因此只有p2，p4是真命题．故选：B．【点评】：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式、共轭复数的定义、虚部的定义，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a2+b2=0 D．a=b【考点】：函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．【解析】：解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选C．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质，属中档题，定义是解决该类题的基本方法．4．（5分）已知某几何三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．24 B．C．36 D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：由几何体的三视图知，该几何体是四棱锥，并且四棱锥的一条棱垂直于底面，由此能求出该几何体的表面积．【解析】：解：由几何体的三视图知，该几何体是如图所求的四棱锥S﹣ABCD，SC⊥平面ABCD，SC=DC=4，BC=3，ABCD是矩形，∴SD=4，AC=5，SA=，SB=5，cos∠ASD==，cos∠ASB==，∴sin∠ASD=，sin∠ASB=，∴S△SAD==6．S△ASB==10，∴该几何体的表面积S=S矩形ABCD+S△SDC+S△SBC+S△SAB+S△SAD=3×4+++10+6=36+6．故选B．【点评】：本题考查由几何体的三视图求几何体的表面积，是基础题．解题时要认真审题，注意空间想象能力的培养．5．（5分）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（）A．4 B．C．D．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y 的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．【解析】：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，此时z最大，由，解得即A（1，1），此时z=2×1+1=3，当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，∴3=4×3a，即a=．故选：D．【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．6．（5分）如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC′上的高，则•的值等于（）A．0 B． 4 C．8 D．﹣4【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：数形结合．【分析】：通过解直角三角形求出边AD，利用向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式求出．【解析】：解：因为AB=BC=4，∠ABC=30°，AD是边BC上的高，所以AD=4sin30°=2．所以•=•（+）=•+•==2×4×=4，故选B【点评】：本题考查向量的运算法则、向量垂直的充要条件、向量的数量积公式．7．（5分）已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．【解析】：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．【点评】：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．8．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω，0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解析】：解：由函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象可得A=1，根据==﹣，求得ω=2，再根据五点法作图可得2×+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）=sin2（x+），故把f（x）的图象向右平移个长度单位，可得g（x）=sin2x的图象，故选：C．【点评】：本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线﹣y2=1的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值是（）A．B．C．D．【考点】：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：求得抛物线的准线方程，再由抛物线的定义可得p=8，求出M的坐标，求得双曲线的左顶点和渐近线方程，再由斜率公式，结合两直线平行的条件：斜率相等，计算即可得到a的值．【解析】：解：抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得5=1+，可得p=8，即有y2=16x，M（1，4），双曲线﹣y2=1的左顶点为A（﹣，0），渐近线方程为y=±x，直线AM的斜率为，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，可得=，解得a=，故选A．【点评】：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的定义和渐近线方程，运用两直线平行的条件是解题的关键．10．（5分）已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，f′（x）+＞0，若a=f（），b=﹣2f（﹣2），c=（ln）f（ln），则a，b，c的大小关系正确的是（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b【考点】：利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的概念及应用．【分析】：利用条件构造函数h（x）=xf（x），然后利用导数研究函数h（x）的单调性，利用函数的单调性比较大小．【解析】：解：设h（x）=xf（x），∴h′（x）=f（x）+x•f′（x），∵y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，∴h（x）是定义在实数集R上的偶函数，当x＞0时，h'（x）=f（x）+x•f′（x）＞0，∴此时函数h（x）单调递增．∵a=f（）=h（），b=﹣2f（﹣2）=2f（2）=h（2），c=（ln）f（ln）=h（ln）=h（﹣ln2）=h（ln2），又2＞ln2＞，∴b＞c＞a．故选：C．【点评】：本题考查如何构造新的函数，利用单调性比较大小，是常见的题目．本题属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．（5分）在△ABC中，若b=1，c=，∠C=，则a=1．【考点】：三角形中的几何计算．【专题】：解三角形．【分析】：先根据b，c，∠c，由正弦定理可得sinB，进而求得B，再根据正弦定理求得a．【解析】：解：在△ABC中由正弦定理得，∴sinB=，∵b＜c，故B=，则A=由正弦定理得∴a==1故答案为：1【点评】：本题考查了应用正弦定理求解三角形问题．属基础题．12．（5分）在某市“创建文明城市”活动中，对800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为[25，30）的数据不慎丢失，据此估计这800名志愿者年龄在[25，30）的人数为160．【考点】：频率分布直方图．【专题】：概率与统计．【分析】：根据频率分布直方图中频率和等于1，计算年龄组为[25，30）的数据频率，求出对应的频数即可．【解析】：解：根据频率分布直方图中频率和等于1，得；年龄组为[25，30）的数据频率为1﹣（0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.2，∴估计这800名志愿者年龄在[25，30）的人数为800×0.2=160．故答案为：160．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．13．（5分）运行如图所示的程序框图，则输出的结果S为﹣1007．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．【解析】：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故答案为：﹣1007．【点评】：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键．14．（5分）已知函数f（x）=，则满足f（a）≥2的实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．【考点】：分段函数的应用．【专题】：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：讨论a，结合分段函数有或，由指数函数的单调性和一次不等式的解法，即可得到所求范围．【解析】：解：函数f（x）=，且f（a）≥2，则有或，即或，即有a≤﹣1或a≥0．则a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．【点评】：本题考查分段函数的运用，主要考查不等式的解法和运用，运用指数函数的单调性是解题的关键．15．（5分）（2015•东城区模拟）已知数集A={a1，a2，a3，a4，a5}（0≤a1＜a2＜a3＜a4＜a5）具有性质p：对任意i，j∈Z，其中1≤i≤j≤5，均有（a j﹣a i）∈A，若a5=60，则a3=30或36．【考点】：数列的函数特性．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：对a1分类讨论，利用性质p：对任意i，j∈Z，其中1≤i≤j≤5，均有（a j﹣a i）∈A，及其a5=60，即可得出．【解析】：解：①当a1=0时，则a2﹣a1=a2∈A，a2＞0，则a3﹣a2=a2，∴a3=2a2，同理可得a4=3a2，a5=4a2；由4a2=60，解得a2=15，即A={0，15，30，45，60}．5=∵a5=60，∴a3=30．②当a1≠0时，同理可得A={12，24，36，48，60}，∴a3=36．【点评】：本题考查了满足某种性质的数列、集合的求法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（12分）某中学在高二年级开设大学先修课程《线性代数》，共有50名同学选修，其中男同学30名，女同学20名．为了对这门课程的教学效果进行评估，学校按性别采用分层抽样的方法抽取5人进行考核．（I）求抽取的5人中男、女同学的人数；（II）考核前，评估小组打算从抽取的5人中随机选出2名同学进行访谈，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）按照分层抽样的方法：各层被抽到的比例相同解答；（Ⅱ）利用列举法分别明确从选出的5人中随机选出2名同学进行访谈和选出的两名同学中恰有一名女同学的所以可能，利用古典概率公式解答；【解析】：解：（Ⅰ）抽取的5人中男同学的人数为5×=3人，女同学的人数为×5=2人．（Ⅱ）记3名男同学为A1，A2，A3，2名女同学为B1，B2．从5人中随机选出2名同学，所有可能的结果有A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10个．用C表示：“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件，则C中的结果有6个，它们是A1B1，A1B2，A2B1，A2B2．A3B1，A3B2，所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率P（C）==【点评】：本题考查了统计与概率的问题，属于基础题．17．（12分）已知函数f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值为2，且最小正周期为π．（I）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；（II）若f（a）=，求sin（4α+）的值．【考点】：两角和与差的正弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）根据条件函数最值和周期，利用三角函数的公式进行化简即可求a和ω的值，即可求出函数的解析式和对称轴方程；（Ⅱ）根据f（a）=，利用余弦函数的倍角公式进行化简即可求sin（4α+）的值．【解析】：解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）∵f（x）的最小正周期为T=π∴，ω=1，∵f（x）的最大值为2，∴=2，即a=±1，∵a＞0，∴a=1．即f（x）=2sin（2x+）．由2x+=+kπ，即x=+，（k∈Z）．（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，则sin（4α+）=sin[2（2α+）]=﹣cos2（2α+）=﹣1+2sin2（2α+）=﹣1+2×（）2=﹣．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件求出函数的解析式是解决本题的关键．同时也考查三角函数倍角公式的应用．18．（12分）如图，已知四边形ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，CD=PD=2EA，PD∥EA，F，G，H分别为PB，BE，PC的中点．（I）求证：GH∥平面PDAE；（II）求证：平面FGH⊥平面PCD．【考点】：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）分别取PD的中点M，EA的中点N，连结MH、NG、MN，由已知得四边形CHMN是平行四边形，由此能证明GH∥平面PDAE．（Ⅱ）由线面垂直得PD⊥BC，由已知得BC⊥CD，从而BC⊥平面PCD，由三角形中位线定理得FH∥BC，从而FH⊥平面PCD，由此能证明平面FGH⊥平面PCD．【解析】：证明：（Ⅰ）分别取PD的中点M，EA的中点N，连结MH、NG、MN，∵G，H分别是BE，PC的中点，∴MH，NG，∵AB CD，∴MH NG，∴四边形CHMN是平行四边形，∴GH∥MN，又∵GH⊄平面PDAE，MN⊂平面PDAE，∴GH∥平面PDAE．（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，∵BC⊥CD，PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD，∵F，H分别为PB、PC的中点，∴FH∥BC，∴FH⊥平面PCD，∵FH⊂平面FGH，∴平面FGH⊥平面PCD．【点评】：本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查空间向量在立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和学生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．19．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（I）证明数列{a2n﹣}是等比数列；（II）若S n是数列{a n}的前n项和，求S2n．【考点】：数列递推式；数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（Ⅰ）设b n=a2n﹣，则=﹣，==，由此能证明数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）由b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，得+，从而a2n﹣1+a2n=﹣2•（）n﹣6n+9，由此能求出S2n．【解析】：（Ⅰ）证明：设b n=a2n﹣，则=（）﹣=﹣，====，∴数列{}是以﹣为首项，为公比的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得b n=a2n﹣=﹣•（）n﹣1=﹣•（）n，∴+，由a2n=﹣3（2n﹣1），得a2n﹣1=3a2n﹣3（2n﹣1）=﹣•（）n﹣1﹣6n+，∴a2n﹣1+a2n=﹣[（）n﹣1+（）n]﹣6n+9=﹣2•（）n﹣6n+9，S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）=﹣2[]﹣6（1+2+3+…+n）+9n==（）n﹣3（n﹣1）2+2．【点评】：本题考查等比数列的证明，考查数列的前2n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法、等比数列性质、分组求和法的合理运用．20．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），其中F1，F2为左、右焦点，且离心率e=，直线l与椭圆交于两不同点P（x1，y1），Q（x2，y2）．当直线l过椭圆C右焦点F2且倾斜角为时，原点O到直线l的距离为．（I）求椭圆C的方程；（II）若+=，当△OPQ面积为时，求||•||的最大值．【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【专题】：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】：（Ⅰ）根据椭圆得定义，即可求出椭圆C的方程；（Ⅱ）分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，再联立方程组，利用韦达定理，和弦长公式，得到=4（3﹣）（2+），再利用基本不等式即可求出答案．【解析】：解：（Ⅰ）因为直线l的倾斜角为，F2（c，0），∴直线l的方程为y=x﹣c，由已知得=，所以c=1，又e=，所以a=，b=，所以椭圆C的方程=1；（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，则x1=x2，y1=﹣y2，由P（x1，y1）在椭圆上，则+=1，而S=|x1y1|=，则|x1|=，|y1|=1，知||•||=2，当直线l的斜率存在时，设直线l为y=kx+m，代入=1可得，2x2+3（kx+m）2=6，即（2+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6=0，由题意△＞0，即3k2+2＞m2，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴|PQ|==，∵d=，∴S△POQ=d•|PQ|=|m|=，化为4m2（3k2+2﹣m2）=（3k2+2）2，（3k2+2）2﹣2•2m2（3k2+2）+（2m2）2=0，即（3k2+2﹣2m2）2=0，则3k2+2=2m2，满足△＞0，由于x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=﹣+2m=，∴=（x1+x2）2+（y1+y2）2==2（3﹣），=（1+k2）==2（2+），∴=4（3﹣）（2+）≤25，当且仅当3﹣=2+，即m=±时等号成立，故||•||≤5，综上可知||•||得最大值为5【点评】：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题21．（14分）已知函数f（x）=sinx，g（x）=e x•f′（x），其中e为自然对数的底数．（I）求曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣，0]，不等式g（x）≥x•f（x）+m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）试探究当x∈[﹣，]时，方程g（x）=x•f（x）的解的个数，并说明理由．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【专题】：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（Ⅰ）求出g（x）的导数，求得切线的斜率和切点坐标，运用点斜式方程即可得到切线方程；（Ⅱ）等价于对任意x∈[﹣，0]，m≤[g（x）﹣x•f（x）]min．设h（x）=g（x）﹣xf（x）=e x cosx﹣xsinx，x∈[﹣，0]．求出h（x）的导数，求得单调区间和最小值，即可得到m的范围；（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣xf（x）=e x cosx﹣xsinx，x∈[﹣，]．讨论①当x∈[﹣，0]时，②当x∈（0，]时，g（x）＞xf（x）恒成立，③当x∈（，]时，通过导数的符号判断单调性，结合零点存在定理，即可得到方程解的个数．【解析】：解：（Ⅰ）函数f（x）=sinx，g（x）=e x•f′（x）=e x cosx，g（0）=e0cos0=1，g′（x）=e x（cosx﹣sinx），曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）=1，所以曲线y=g（x）在点（0，g（0））处的切线方程为y﹣1=x﹣0．即为x﹣y+1=0．（Ⅱ）等价于对任意x∈[﹣，0]，m≤[g（x）﹣x•f（x）]min．设h（x）=g（x）﹣xf（x）=e x cosx﹣xsinx，x∈[﹣，0]．则h′（x）=e x cosx﹣e x sinx﹣sinx﹣xcosx=（e x﹣x）cosx﹣（e x+1）sinx因为x∈[﹣，0]，所以（e x﹣x）cosx≥0，sinx∈[﹣1，0]所以h′（x）＞0，故h（x）在[﹣，0]单调递增，因此当x=﹣时，函数h（x）取得最小值h（﹣）=﹣；所以m≤﹣，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）设H（x）=g（x）﹣xf（x）=e x cosx﹣xsinx，x∈[﹣，]．①当x∈[﹣，0]时，由（Ⅱ）知，函数H（x）在[﹣，0]单调递增，故函数H（x）在[﹣，0]至多只有一个零点，又H（0）=1＞0，H（﹣）=﹣＜0，而且函数H（x）图象在[﹣，0]上是连续不断的，因此，函数H（x）在[﹣，0]上有且只有一个零点．②当x∈（0，]时，g（x）＞xf（x）恒成立．证明如下：设φ（x）=e x﹣x，x∈[0，]，则φ′（x）=e x﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上单调递增，所以x∈（0，]时，φ（x）＞φ（x）=1，所以e x＞x＞0，又x∈（0，]时，cosx≥sinx＞0，所以e x cosx＞xsinx，即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0．故函数H（x）在（0，]上没有零点．③当x∈（，]时，H′（x）=e x（cosx﹣sinx）﹣（sinx+xcosx）＜0，所以函数H（x）在（，]上单调递减，故函数H（x）在（，]至多只有一个零点，又H（）=（﹣）＞0，H（）=﹣＜0，而且函数H（x）在（，]上是连续不断的，因此，函数H（x）在（，]上有且只有一个零点．综上所述，当x∈[﹣，]时，方程g（x）=x•f（x）有两个解．【点评】：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，主要考查导数的几何意义，同时考查单调性的运用和函数的零点存在定理，运用参数分离和分类讨论的思想方法是解题的关键．。
2019-2020年高三4月模拟考试数学理试题 含答案
2019-2020年高三4月模拟考试数学理试题含答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷l至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是是符合题目要求的。
1. 复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知全集，，，则（∁uM）N为A. B. C. D.3. 下列说法正确的是A. 命题“存在”的否定是“任意”B. 两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C. 函数在其定义域上是减函数D. 给定命题、，若“且”是真命题，则是假命题4. 已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5. 一几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球O的球面上，球O的表面积是A. B. C. D.6. 方程表示的曲线是A. 一个圆和一条直线B. 一个圆和一条射线C. 一个圆D. 一条直线7. 已知函数是周期为2的周期函数，且当时，，则函数的零点个数是A. 9B. 10C. 11D. 188. 已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是A. B.C. D.9. 如图：正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱A1B1CD的中点，点M是EF 的动点，FM=，过直线AB和点M的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是10. 抛物线与直线相交于A、B两点，点P是抛物线C上不同A、B的一点，若直线PA、PB分别与直线相交于点Q、R，O为坐标原点，则的值是A. 20B. 16C. 12D. 与点P位置有关的一个实数二、选做题：请考生在下列两题中任选一题作答。
若两题都做，则按做的第一题评阅计分，本题共5分。
11. （1）（坐标系与参数方程）曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（t为参数），以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，则曲线上的点与曲线上的点最近的距离为A. 2B.C.D.（2）若不等式对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是A. （0,3）B. （－1,1）C. （1,3）D. （1,4）第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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山东省、海南省新高考2019-2020高三4月份数学模拟试题(wd无
答案)
一、单选题
(★★) 1. 设集合 A＝{ x||3 x+1|≤4}， B＝{ x|log 2x≤3}，则A∪ B＝（）
A．[0，1]B．（0，1]C．[，8]D．[，8）
(★★) 2. 已知 i 2019，则复平面内与 z对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
(★★) 3. 已知 A（1,﹣2）, B（4,﹣1）, C（3,2）,则cos∠ BAC＝（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 我省高考实行3+3模式，即语文数学英语必选，物理、化学、生物、历史、政治、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们选课至少两科
相同的概率为（）
A．B．C．D．
(★★★) 5. 已知双曲线 C：1（ a＞0， b＞0）的一条渐近线与直线 x＝0的夹角为60°，若以双曲线 C的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8，则双曲线 C的标准方程为（）
A．y2＝1B．1
C．1D．x21
(★★) 6. 函数的图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
(★★★) 7. 已知在锐角三角形 ABC 中，角
的对边分别为 ， ，
则
的取值范围为（ ）
A ．（）
B ．[0，）
C ．[0，
）
D ．（﹣1，1）
(★★★★) 8. 已知函数
，
，若对任意的
，存在唯一的
[
，2]，使得
，则实数 的取值范围是（ ）
A ．（e ，4]
B ．（e
，4]
C ．（e
，4）
D ．（，4]
二、多选题
(★★) 9. 对于实数 a ， b ， c ，下列命题是真命题的为（ ）
A ．若a ＞b ，则
B ．若a ＞b ，则ac 2≥bc 2
C ．若a ＞0＞b ，则a 2＜﹣ab
D ．若c ＞a ＞b ＞0，则
(★★★) 10. 将函数 f （ x ）＝2sin x （sin x
cos x ）﹣1图象向右平移 个单位得函数 g （ x
）
的图象，则下列命题中正确的是（）
A．f（x）在（，）上单调递增
B．函数f（x）的图象关于直线x对称
C．g（x）＝2cos2x
D．函数g（x）的图象关于点（，0）对称
(★★★) 11. 如图，正方体 ABCD﹣ A 1 B 1 C 1 D 1的棱长为 a，线段 B 1 D 1上有两个动点 E， F，且 EF a，以下结论正确的有（）
A．AC⊥BE
B．点A到△BEF的距离为定值
C．三棱锥A﹣BEF的体积是正方体ABCD﹣A1B1C1D1体积的
D．异面直线AE，BF所成的角为定值
(★★★)12. 已知函数，若方程有四个不同的实根，，，满足，则下列说法正确的是（）
A．B．
C．D．
三、填空题
(★★★) 13. 函数 f（ x）在点 P（1， f（1））处的切线与直线2 x+ y﹣3＝0垂直，则 a
＝_____．
(★★★) 14. 各项均为正数且公比 q＞1的等比数列{ a n}的前 n项和为 S n，若 a 1 a 5＝4， a 2+ a 4＝5，则的最小值为 _____ ．
(★★★) 15. 如图所示,三棱锥 A﹣ BCD的顶点 A, B, C, D都在同一球面上, 过球心且,△ ABC是边长为2的等边三角形,点 P, Q分别为线段 AO, BC上的动点（不含端点）,
且 AP＝ CQ,则三棱锥 P﹣ QCO体积的最大值为_____．
四、双空题
(★★★) 16. 如果（3 x ）n的展开式中各项系数之和为4096，则 n的值为_____，展开式
中 x的系数为_____．
五、解答题
(★★★) 17. 在锐角△ ABC中， a＝2 ，_______，求△ ABC的周长 l的范围．
在① (﹣cos ，sin )，(cos ，sin )，且• ，②cos A(2 b﹣c)＝acos C，③ f( x)＝cos xcos( x ) ， f( A)
注：这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并对其进行求解．
(★★★) 18. 已知数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列{ }（n∈ N*）的前项和．
(★★★) 19. 如图,在多面体 ABCDE中, DE∥ AB, AC⊥ BC, BC＝2 AC＝2, AB＝2 DE,且 D点在平
面 ABC内的正投影为 AC的中点 H且 DH＝1．
（1）证明：面BCE⊥面 ABC
（2）求 BD与面 CDE夹角的余弦值．
(★★★★) 20. 已知椭圆 C：1（ a＞ b＞0）,椭圆上的点到焦点的最小距离为
且过点 P（,1）．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）若过点 M（3,0）的直线 l与椭圆 C有两个不同的交点 P和 Q,若点 P关于 x轴的对称点为
P',判断直线 P' Q是否经过定点,如果经过,求出该定点坐标；如果不经过,说明理由．
(★★★★) 21. 《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发
的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲
领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为
质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产
的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布 N（μ，σ 2），并把质量差在（μ﹣σ，μ+ σ）内的产品为优等品，质量差在（μ+ σ，μ+2 σ）内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废
品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得
产品质量差的样本数据统计如下：
（1）根据频率分布直方图，求样本平均数
（2）根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差 s作为σ的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率．（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
[参考数据：若随机变量ξ服从正态分布 N（μ，σ 2），则： P（μ﹣σ＜ξ≤ μ+ σ）≈0.6827，
P（μ﹣2 σ＜ξ≤ μ+2 σ）≈0.9545， P（μ﹣3 σ＜ξ≤ μ+3 σ）≈0.9973．
（3）假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱
子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为 X，求 X的分布列以及期望值．
(★★★★) 22. 已知．
（1）讨论的单调性；
（2）已知函数有两个极值点，求证：．。