2018-2019学年高中数学单元检测选修2-1第一章训练卷(一)-学生版
2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 §1
§1命题学习目标 1.了解命题的概念(重点).2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式(重点).3.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系(重、难点).4.会判断四种命题的真假(重、难点).知识点一命题(1)概念：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.(2)真假命题：命题中判断为真的命题叫作真命题，判断为假的命题叫作假命题. 知识点二命题的结构一般地，每一个命题都可以写成“若p，则q”的形式，其中命题中的p叫作命题的条件，q叫作命题的结论，也就是说，命题由条件和结论两部分组成.【预习评价】1.表述命题的语句有什么特点？提示必须是陈述句，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.2.语句“x＞0”可以判断真假吗？提示由于不知道x的范围，所以无法判断真假.知识点三四种命题的定义(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫作互逆命题，其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作原命题的逆命题.(2)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，把这样的两个命题叫作互否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的否命题.(3)如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，把这样的两个命题叫作互为逆否命题.如果把其中的一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作原命题的逆否命题.【预习评价】1.如何确定命题的条件和结论？提示命题中已知的事项为条件，由已知推出的事项为结论.2.如何确定“若p，则q”为真？提示能够利用公理、定理等已有知识和条件p推出结论q，则说明“若p，则q”为真.知识点四四种命题间的关系知识点五四种命题的真假判断(1)原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假.(2)原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真.(4)互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.【预习评价】1.四种命题中原命题是否是固定的？提示原命题不是固定的，任何一个命题都可以作为原命题，从而有另外的三种命题.2.由原命题写出逆命题、否命题、逆否命题的关键是什么？提示关键是分清楚原命题的条件和结论，然后按照逆命题、否命题、逆否命题的定义来写.题型一命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A.x－1＝0B.2＋3＝8C.你会说英语吗？D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________.①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 015是一个很大的数；④4是集合{2，3，4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.解析(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.答案(1)B(2)①④规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.【训练1】判断下列语句是不是命题.(1)求证3是无理数；(2)x2＋2x＋1≥0；(3)你是高二学生吗？(4)并非所有的人都喜欢苹果；(5)一个正整数不是质数就是合数；(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；(7)x＋3>0.解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.题型二四种命题的关系及真假判断【例2】下列命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题.其中是真命题的是________.解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy ＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③.答案①②③规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握.【训练2】下列命题为真命题的是()①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”，故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.③原命题为真命题，故其逆否命题也为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为①③④，故选B.答案 B【探究1】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假.解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”.判断真假如下：函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图像开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真.【探究2】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a＜2”的逆命题的真假.解原命题的逆命题为“已知a，x为实数，若a＜2，则关于x的不等式x2＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集”.判断真假如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a －7，因为a＜2，所以4a－7＜1，当0≤Δ＜1时，抛物线与x轴有交点，当Δ＜0时，抛物线与x轴无交点，所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不一定是空集，故原命题的逆命题为假命题.【探究3】判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集是R，则a＜74”的逆否命题的真假.解先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＞0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7＜0.所以a＜7 4.所以原命题是真命题.因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题.规律方法“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断，而逆否命题较容易判断真假时，可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时，可以证明它的逆否命题为真(假)命题，来间接地证明原命题为真(假)命题.(3)四种命题中，原命题与其逆否命题是等价的，有相同的真假性，否命题与其逆命题也是互为逆否命题，解题时不要忽视.课堂达标1.命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是()A.若a∉A，则b∉BB.若a∈A，则b∉BC.若b∈B，则a∉AD.若b∉B，则a∉A解析命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”，“∈”与“∉”互为否定形式.答案 B2.命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是()A.若A∪B＝B，则A∩B＝AB.若A∩B≠A，则A∪B≠BC.若A∪B≠B，则A∩B≠AD.若A∪B≠B，则A∩B＝A解析注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”.答案 C3.命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________________________，它是________命题(填“真”或“假”).答案若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线假4.给出以下命题：①“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题.其中为真命题的是________.解析①否命题是“若a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数”.假命题.②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题.③∵Δ＝1＋4m，m>0时，Δ>0，∴x2＋x－m＝0有实根，即原命题为真.∴逆否命题为真.答案③5.写出命题“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”的否命题、逆否命题.解原命题的否命题为：“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”；原命题的逆否命题为：“若x，y不全为0，则x2＋y2≠0”.课堂小结1.写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所求命题.2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论.3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.基础过关1.下列语句不是命题的个数为()①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数.A.0B.1C.2D.3解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.答案 B2.下列命题为真命题的是()A.互余的两个角不相等B.相等的两个角是同位角C.若a2＝b2，则|a|＝|b|D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角解析由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的.答案 C3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有()A.0个B.1个C.2个D.3个解析原命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题.当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5.故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题.又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题. 答案 B4.“若sin α＝12，则α＝π6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________命题(填“真”或“假”).解析逆否命题是“若α≠π6，则sin α≠12”是假命题.答案若α≠π6，则sin α≠12假5.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________.解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”.答案若x，y不全为零，则xy≠06.判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假.解∵m>0，∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真.又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真.7.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假.解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为b≤－1，所以Δ＝－4b≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b ＝0无实根，则b>－1”.方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真.能力提升8.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A.能被3整除的整数，一定能被6整除B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析互为逆否命题的两个命题是等价的.答案 B9.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是()A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB.若m⊥α，β⊥α，则m∥βC.若l⊥m，l⊥n，则m∥nD.若l⊥α，m⊥α，则l∥m解析当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确；当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确；当l⊥m，l⊥n时，m与n的位置关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D.答案 D10.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________(填序号).答案②和③①和③①和②11.已知命题“若m－1<x<m＋1，则1<x<2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是________.解析由已知得，若1<x<2成立，则m－1<x<m＋1也成立.∴⎩⎨⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2. 答案 [1，2]12.有下列命题：①mx 2＋2x －1＝0是一元二次方程；②函数y ＝ax 2＋2x －1的图像与x 轴至少有一个交点；③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.其中有哪些是真命题？解 ①当m ＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax 2＋2x －1＝0(a ≠0)的判别式Δ＝4＋4a ，其值不一定大于或等于0，所以与x 轴至少有一个交点不能确定；③④正确.13.(选做题)给出两个命题：命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为∅；命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙有且只有一个是真命题.分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围.解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0，即A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >13或a <－1； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >1或a <－12. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a >13或a <－12. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，13<a ≤1；当甲假乙真时，－1≤a <－12.所以甲、乙有且只有一个是真命题时，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |13<a ≤1或－1≤a <－12.。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试(含答案解析)(5)
一、选择题1．已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0q x ∀≥，20x a ->.若p ⌝和p q ∧都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()(),21,-∞-⋃+∞ B ．(]2,1- C ．(]1,2D ．[)1,22．下列命题中假命题是( ) A ．∃x 0∈R ，ln x 0＜0 B ．∀x ∈(－∞，0)，e x ＞x ＋1 C ．∀x ＞0,5x ＞3xD ．∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＜sin x 03．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝4．下列四个命题中，真命题的个数是（ ） ①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1”；④命题“已知22,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”. A ．1B ．2C ．3D ．45．命题“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．14a ≥-B ．14a >C ．12a ≥-D ．12a >-6．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（ ） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真7．“a ＜0”是“函数f （x ）＝ax 2﹣2x ﹣1在（0，+∞）上单调递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分要也不必要条件8．已知ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，则“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．命题p ：函数1()(0)f x x x x=+>最小值是2；命题q ：若1a b >，则a b >.下列说法正确的是( ) A ．p 或q 为真 B ．p 且q 为真 C ．p 或q 为假 D ．非p 为真 10．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．下列三个命题：①设命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．那么p ⌝真命题；②在ABC 中，“sin sin A B =”是“cos cos A B =”的充要条件；③“若1x >，则1x >”的否命题是“若1x >，则1x ≤”．其中真命题的个数为( ) A ．3B ．2C ．1D ．012．“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．给出以下四个结论： ①函数()211x f x x -=+的对称中心是1,2；②若关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，则k 的取值范围是2k ≥； ③在ABC 中，“cos cos b A a B =”是“ABC 为等边三角形”的充分不必要条件； ④若()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后为奇函数，则ϕ最小值是π12. 其中正确的结论是______14．已知函数22(1)(1)3y a x a x =-+-+（x ∈R ），写出0y >的充要条件________. 15．关于以下结论： ①*n N ∀∈，22n n ≤；②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期为π； ③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥； ④20182019log 2019log 2020>． 以上结论正确的个数为______． 16．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题 其中所有正确命题的序号是________.17．已知命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________. 18．“”是“”的_____条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 19．已知命题p ：不等式01xx <-的解集为{x |0<x <1}；命题q ：在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的必要不充分条件．有下列四个结论: ①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真， 其中正确结论的序号是________20．给出如下四个命题：①若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题； ②命题“若且，则”的否命题为“若且，则”；③在中，“”是“”的充要条件；④已知条件，条件，若是的充分不必要条件，则的取值范围是； 其中正确的命题的是________．三、解答题21．已知命题p ：(x ＋1)(x －5)≤0，命题q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． （1）若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；（2）若m ＝5，p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数x 的取值范围．22．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．23．（1）已知命题p ：()20a a a R -<∈，命题q ：对任意x ∈R ，都有()2410x ax a R ++≥∈，若命题“p 且q ”为假命题，命题“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围；（2）已知集合{}22|440A x x x a =-+-≤，{}2|41270B x x x =+-≤，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围.24．已知0c >,设p ：函数x y c =在R 上递减； q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，如果“p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，求c 的取值范围. 25．已知命题P ：函数()1()13f x x =-且()2<f a ，命题Q ：集合(){}2210,A x x a x x R =+++=∈，{}0B x x =>且AB =∅．（1）分别求命题P 、Q 为真命题时的实数a 的取值范围；（2）当实数a 取何范围时，命题P 、Q 中有且仅有一个为真命题； （3）设P 、Q 皆为真时a 的取值范围为集合,,,0,0mS T y y x x R x m x ⎧⎫==+∈≠>⎨⎬⎩⎭，若全集U =R ，T S ⊆，求m 的取值范围．26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】计算出当命题p 为真命题时实数a 的取值范围，以及当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知p 真q 假，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】若命题p 为真命题，则240a ∆=-<，解得22a -<<；若命题q 为真命题，0x ∀≥，20x a ->，则()min21xa <=.由于p ⌝和p q ∧都是假命题，则p 真q 假，所以221a a -<<⎧⎨≥⎩，可得12a ≤<.因此，实数a 的取值范围是[)1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用复合命题、全称命题的真假求参数，考查计算能力，属于中等题.2．D解析：D 【详解】∃x 0∈R ，lnx 0＜0，的当x ∈（0，1）时，恒成立，所以正确；x ∈（﹣∞，0），令g （x ）＝e x ﹣x ﹣1，可得g ′（x ）＝e x ﹣1＜0，函数是减函数，g （x ）＞g （0）＝0，可得∀x ∈（﹣∞，0），e x ＞x +1恒成立，正确； 由指数函数的性质的可知，∀x ＞0，5x ＞3x 正确；令f (x )＝sin x －x (x ＞0)，则f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )在(0，＋∞)上为减函数，所以f (x )＜f (0)，即f (x )＜0，即sin x ＜x (x ＞0)，故∀x ∈(0，＋∞)，sin x ＜x ，所以D 为假命题，故选D.3．D解析：D 【解析】试题分析：不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而¬p 为假命题，¬q 为真命题，所以根据复合命题的真值表得A 、B 、C 均为假命题，故选D ． 考点：本题考查复合命题真假的判断．点评：本题直接考查复合命题的真值判断，属于基础题型．4．C解析：C 【分析】①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()af x x =的图象判断.④由()222222a ba b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性. 【详解】①令()ln f x x x =+，()110f x x=+>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.③因为所有幂函数()af x x =的图象经过点()1,1，故正确.④因为()2222224a ba b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推不出224a b +≥，所以不必要，故正确.故选：C 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5．B解析：B 【分析】“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题，可得()2mina x x≥+，利用二次函数的单调性即可得出．再利用充要条件的判定方法即可得出. 【详解】解：因为“存在[]1,0x ∈-，使得20x x a +-≤”为真命题， 所以()22minmin 111244a xx x ⎡⎤⎛⎫≥+=+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此上述命题得个充分不必要条件是14a >. 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的单调性、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题， 故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．A解析：A 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 当0a <时，10a<， 211()()1f x a x a a ∴=---，在(0,)+∞上单调递减，当0a =时，则()21f x x =--在(0,)+∞上单调递减，∴ “0a <”是“函数2()21f x ax x =--在(0,)+∞上单调递减”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．本题属于基础题．8．C解析：C 【分析】结合余弦函数在()0,π上的单调性，分别判断充分性与必要性，可得出答案. 【详解】先来判断充分性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，由A B C <<可得0πA B C <<<<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos cos A B C >>，故充分性成立； 再来判断必要性：ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且0πA <<，0πB <<，0πC <<，因为函数cos y x =在()0,π上单调递减，且cos cos cos A B C >>，所以0πA B C <<<<，即A B C <<，故必要性成立.所以“A B C <<”是“cos cos cos A B C >>”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的充分性与必要性，考查余弦函数单调性的应用，考查学生的推理论证能力，属于基础题.9．A解析：A 【分析】求出函数()f x 的最小值判定p 的真假；举例说明命题q 为假，再由复合命题的真假判断得答案． 【详解】 由0x >时，得1122x x x x+⋅=（当且仅当1x x =，即1x =时取等号），∴命题p 为真命题；当4a =-，2b =-，满足1ab>，但a b <，故命题q 是假命题． p ∴或q 为真；p 且q 为假；非p 为假．故选：A ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查不等式的性质，考查复合命题的真假判断，是基础题．10．C解析：C 【分析】利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】22x y +≥ 且224x y+≤ ，422x y ∴≤⇒⇒+≤ ，等号成立的条件是x y =，又x y +≥，0,0x y >>21xy ∴≤⇒≤ ，等号成立的条件是x y =,2241x y xy ∴+≤⇒≤，反过来，当12,3x y ==时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.11．B解析：B 【分析】对各个命题分别判断． 【详解】命题p ：若m 是质数，则m 一定是奇数．2是质数，但2是偶数，命题p 是假命题，那么p ⌝真命题；①正确；在ABC 中，sin sin A B a b A B =⇔=⇔=⇔cos cos A B =，②正确； “若1x >，则1x >”的否命题是“若1x ≤，则1x ≤”，③错． 因此有2个命题正确． 故选：Ｂ． 【点睛】本题考查命题的真假判断，这种问题难度较大，需要对每个命题进行判断，才能得出正确结论，这样考查的知识点可能很多，考查的能力要求较高．12．A解析：A 【分析】由椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，分类讨论求得1c =或5c =时，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，椭圆22360mx y m +-=可化为22162x y m+=，当03m <<时，4c ==，解得1c =，当3m >时，4c ==，解得5c =， 即当1c =或5c =时，椭圆22360mx y m +-=的焦距为4，所以“1m =”是“椭圆22360mx y m +-=的焦距为4”的充分不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及几何性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记椭圆的标准方程和几何性质，结合充分条件、必要条件的判定求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.二、填空题13．①【分析】对四个结论逐个分析可选出答案【详解】对于①其图象由的图象向左平移1个单位再向上平移2个单位得到故的对称中心为即①正确；对于②由可得令且显然函数在上单调递减则又因为时故在的值域为所以当时关于解析：① 【分析】对四个结论逐个分析，可选出答案. 【详解】 对于①，()213211x f x x x -==-++，其图象由3y x =-的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到，故()f x 的对称中心为1,2，即①正确；对于②，由10x k x -+=，可得1k x x=-. 令()1g x x x=-，且()0,1∈x ，显然函数()g x 在()0,1∈x 上单调递减， 则()()10g x g >=，又因为0x →时，1+x x-→∞，故()g x 在0,1的值域为0,，所以当0k ≤时，关于x 的方程10x k x-+=在()0,1∈x 没有实数根，即②错误； 对于③，先来判断充分性，当cos cos b A a B =时，可得sin cos sin cos =B A A B ，所以()sin cos sin cos sin 0B A A B B A -=-=，即B A =，所以ABC 为等腰三角形，不能推出ABC 为等边三角形，即充分性不成立；再来判断必要性，当ABC 为等边三角形时，可得B A =，则sin cos sin cos =B A A B ，故cos cos b A a B =，即必要性成立，故③不正确；对于④，()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，得到()πsin 223g x x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()g x 为奇函数，可得πsin 203φ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则()π2π3φk k +=∈Z ，解得()ππ26k φk =-∈Z ，当1k =时，ϕ取得最小正值为π3，故④不正确.所以，正确的结论是①. 故答案为：①. 【点睛】本题考查函数的对称中心，考查三角函数的平移变换及奇偶性的应用，考查利用参变分离法解决方程的解的存在性问题，考查充分性与必要性的判断，考查学生的推理论证能力与计算求解能力，属于中档题.14．或【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可【详解】若则当即或当时不等式等价为满足条件当时不等式等价为不满足条件当时要使则解之得：或综上：或反之也成立故答案为：或【点睛】本题考查充分必要解析：1a ≥或1311a <- 【分析】根据不等式的性质结合充要条件的定义进行求解即可． 【详解】若22(1)(1)30y a x a x =-+-+>， 则当210a -=，即1a =或1a =-， 当1a =时，不等式等价为30>，满足条件， 当1a =-时，不等式等价为230x -+>，32x <，不满足条件， 当1a ≠±时，要使0y >，则22210(1)12(1)0a a a ⎧->⎨∆=---<⎩，解之得：1a >或1311a <-， 综上：1a ≥或1311a <-，反之也成立.故答案为：1a ≥或1311a <-. 【点睛】本题考查充分必要条件的应用，考查二次函数的性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.15．2【分析】对命题逐一分析正误得出结论即可【详解】解：对于①当时∴；故①错误；②函数所以的最小正周期为；故②正确；③若向量则向量；当时或当时但不垂直于；故③错误；④；④正确证明如下：∵；而∴；∴故②④解析：2 【分析】对命题逐一分析正误，得出结论即可． 【详解】解：对于①*n N ∀∈，22n n ≤，当3n =时，29n =，28n =，∴22n n >；故①错误；②函数44()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期为T π=；故②正确；③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥；当0a =时或当0b =时，0a b ⋅=，但a 不垂直于b ；故③错误；④20182019log 2019log 2020>；④正确，证明如下：∵220182019lg2019lg2020(lg2019)lg2018lg2020log 2019log 2020lg2018lg2019lg2018lg2019-⋅-=-=⋅；而22lg 2018lg 2020lg 2018lg 2020()2+⋅<=2220182020(lg)(lg 2019)2+<=． ∴2(lg2019)lg2018lg20200-⋅>； ∴20182019log 2019log 2020>． 故②④正确；正确的个数为2个； 故答案为：2． 【点睛】本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题．16．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断． 【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．17．【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果 【详解】因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02x R ax x ∀∈++>为真 所以011202a a a >⎧∴>⎨-<⎩ 【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题.18．必要不充分条件【解析】【分析】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1进而判断出结论【详解】由a2>1解得a>1或a<-1由a3>1解得a>1因为(-∞-1)∪(1+∞)⊃≠(1+∞)所以解析：必要不充分条件 【解析】 【分析】 由，解得或，由解得，进而判断出结论.【详解】由，解得或，由解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件，故答案是：必要不充分条件.【点睛】该题考查的是有关必要不充分条件的判断，涉及到的知识点有不等式的解法，必要不充分条件的定义，属于简单题目.19．①③【分析】先判断命题的真假然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假【详解】不等式等价于即命题为真在中命题为假因此②④为假①③为真【点睛】复合命题的真值表： 真 真 真 真 假 真 假解析：①③ 【分析】先判断命题,p q 的真假，然后由复合命题的真值表判断复合命题的真假． 【详解】 不等式01xx <-等价于()10x x -<，即01x <<，命题p 为真，在ABC ∆中，sin sin A B a b A B >⇔>⇔>，命题q 为假，因此②④为假，①③为真．【点睛】复合命题的真值表：pqp q ∧p q ∨p ⌝真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假假假假真复合命题的真假可按真值表进行判断．另外在ABC ∆中A B >与sin sin A B >是等价的，但在一般三角函数中此结论不成立．20．④【解析】试题分析：若或为真命题则pq 至少有一真所以命题 错误；命题若且则的否命题为若或则故命题‚错误；三角形ABC 中角A 时故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件由因p:所以由一解析：④ 【解析】试题分析：若“p 或q ”为真命题，则p 、q 至少有一真，所以命题•错误；命题“若且，则”的否命题为“若或，则”，故命题 错误；三角形ABC 中，角A时，，故命题 错误；若是的充分不必要条件即p 是q 的充分不必要条件．由因p:，所以由一元二次方程根的分布可得，解得，．故正确的命题是④．考点：命题的真假性判断．三、解答题21．（1）[4，＋∞)；（2）[4,1)(5,6]--⋃. 【分析】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ，由题意可得A ⊆B ，根据集合的包含关系，列出方程，即可求得结果；（2）由题意可得：p ，q 命题，一真一假，分别求得当p 真q 假时、 p 假q 真时x 的范围，即可得结果. 【详解】（1）设使命题p 成立的集合为A ，命题q 成立的集合为B ， 则A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }， 由题意得：A ⊆B ， 所以01511m m m >⎧⎪+≥⎨⎪-≤-⎩，解得m ≥4，故m 的取值范围为[4，＋∞)．（2）根据条件可得：p ，q 命题，一真一假，当p 真q 假时，156?4x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，无解；当p 假q 真时，5?146x x x ><-⎧⎨-≤≤⎩或，解得－4≤x <－1或5<x ≤6.故实数x 的取值范围为[4,1)(5,6]--⋃． 【点睛】本题考查根据充分条件求参数范围、利用复合命题真假求参数范围，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.22．（1）①是，②不是；理由详见解析（2）详见解析． 【分析】（1）①可取1λ=，说明函数()2x f x =是“依附函数”； ②对于任意正数λ，取11x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，说明2()log g x x =不是“依附函数”； （2）先证明必要性，再证明充分性，即得证. 【详解】（1）①可取1λ=，则对任意1x ∈R ，存在21x x =-∈R ，使得12221x x ⋅=成立， （说明：可取任意正数λ，则221log x x λ=-） ∴()2x f x =是“依附函数”，②对于任意正数λ，取11x =，则1()0g x =，此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解，∴2()log g x x =不是“依附函数”． （2）必要性：（反证法）假设0[,]m n ∈，∵()y h x =的值域为[,]m n ，∴存在定义域内的1x ，使得1()0h x =，∴对任意正数λ，关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解， 即()y h x =不是依附函数，矛盾， 充分性：假设0[,]m n ∉，取0mn λ=>， 则对定义域内的每一个值1x ，由1()[,]h x m n ∈，可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈=， 而()y h x =的值域为[,]m n ， ∴存在定义域内的2x ，使得21()()h x h x λ=，即12()()h x h x λ=成立，∴()y h x =是“依附函数”． 【点睛】本题主要考查函数的新定义，考查充分必要条件的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）11,0,122⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；（2）112a ≥或112a ≤-.【分析】(1)分别计算命题,p q 为真、假时参数a 的取值范围,再根据题意可知命题p ,q 一真一假,进而分情况求解a 的取值范围即可.(2)由题意可知B A ⊆,再分0a ≥与0a <两种情况,分别根据区间端点满足的条件列式计算即可. 【详解】（1）若命题p ：()20a a a R -<∈为真,解得01a <<.若p 为假,则0a ≤或1a ≥；若命题q ：对任意x ∈R ,都有()2410x ax a R ++≥∈为真,则21640a ∆=-≤,解得1122a -≤≤,若q 为假,则12a <-或12a >. 由命题p 且q 为假,p 或q 为真可知命题p ,q 一真一假.若命题p 真,q 假,则011122a a a <<⎧⎪⎨-⎪⎩或,解得112a <<；若命题p 假,q 真,则1,01122a a a ≥≤⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩,解得102a -≤≤. 综上可知,实数a 的取值范围是11,0,122⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭. （2）因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件,所以B A ⊆,71,22B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,()(){}|220A x x a x a =-+--≤,当0a ≥时,[]2,2A a a =-+,此时应有122722a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩,即112a ≥, 当0a <时,[]2,2A a a =+-,此时应有122722a a ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩,即112a ≤-. 故112a ≥或112a ≤- 【点睛】本题主要考查了根据命题的真假以及充分与必要条件等求解参数范围的问题,属于中档题.24．[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦【分析】计算p 为真时()0,1c ∈，q 为真时12c >，讨论p 真q 假，或p 假q 真两种情况，分别计算得到答案. 【详解】p ：函数x y c =在R 上递减，故()0,1c ∈；q ：不等式|2|1x x c +->的解集为R ，当2x c ≥时，|2|221x x c x c +-=->，即12c x <-，故min11222c x c ⎧⎫<-=-⎨⎬⎩⎭， 解得12c >； 当2x c <时，|2|21x x c c +-=>，解得12c >. 综上所述：12c >. “p 或q ”为真，且“p 且 q ”为假，故p 真q 假，或p 假q 真.当p 真q 假时，0112c c <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，故10,2c ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；当p 假q 真时，112c c ≥⎧⎪⎨>⎪⎩，故[)1,c ∈+∞.综上所述：[)10,1,2c ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题考查了根据命题的真假求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.25．（1）P 为真时，(5,7)a ∈-，Q 为真时，(4,)a ∞∈-+；（2）(5,4][7,)∞--⋃+；（3）(0,4] 【分析】（1）解出绝对值不等式可求出P 为真时a 的取值范围，讨论A =∅和A ≠∅时可求出Q 为真时a 的取值范围； （2）P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩；P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，即可解出；（3）可求出(4,7)S =-，利用基本不等式可求出(,[2,)T m =-∞-+∞，则利用包含关系列出式子可求. 【详解】（1）对于命题P ，由1|()|(1)23f a a =-<可得616a -<-<，即57a -<<， :(5,7)P a ∴∈-，对于命题Q ，若A =∅，则Δ(2)(2)40a a =++-<，解得40a ，若A ≠∅，则2Δ(2)40(2)0a a ⎧=+-≥⎨-+<⎩，解得0a ≥，综上，4a >-，:(4,)Q a ∞∴∈-+；（2）若P 真Q 假，则574a a -<<⎧⎨≤-⎩，解得54a -<≤-，若P 假Q 真，则574a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或 ，解得7a ≥，综上，(5,4][7,)a ∈--⋃+∞； （3）当P ，Q 皆为真时，574a a -<<⎧⎨>-⎩，解得47a -<<，即(4,7)S =-，,,0,0(,)mT y y x x R x mx ⎧⎫==+∈≠>=-∞-⋃+∞⎨⎬⎩⎭，(T ∴=-， T S ⊆，47⎧-≥-⎪∴⎨≤⎪⎩，解得04m <≤. 【点睛】本题主要考查了复合命题真假的应用，解题的关键是要把命题,P Q 为真时所对应的参数范围准确求出，还要注意集合包含关系的应用.26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围； （2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<， 故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤< ②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第一章章末综合检测 含解析
(时间：100分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．命题“任意x ∈R ，e x ＞x 2”的否定是( ) A ．存在x ∈R ，使得e x ≤x 2 B ．任意x ∈R ，使得e x ≤x 2 C ．存在x ∈R ，使得e x ＞x 2 D ．不存在x ∈R ，使得e x ＞x 2解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x ∈R ，使得e x ≤x 2”． 2．原命题“若x ≤－3，则x ＜0”的逆否命题是( ) A ．若x ＜－3，则x ≤0 B ．若x ＞－3，则x ≥0 C ．若x ＜0，则x ≤－3 D ．若x ≥0，则x ＞－3解析：选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x ≥0，则x ＞－3”．3．已知条件p ：x ＞0，条件q ：x ≥1，则p 是q 成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为{x |x ≥1}{x |x ＞0}，所以p 是q 的必要不充分条件．4．设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥β B ．a ⊥α，b ⊥β，α∥β C ．a α，b ⊥β，α∥β D ．a α，b ∥β，α⊥β 解析：选C.因为b ⊥β，α∥β，所以b ⊥α，又a α，所以a ⊥b .5．命题p ：将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin(2x －π3)的图像；命题q ：函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x )的最小正周期是π，则命题“p 或q ”“p 且q ”“非p ”中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.将函数y ＝sin 2x 的图像向右平移π3个单位长度得到函数y ＝sin 2(x －π3)＝sin(2x －2π3)的图像，所以命题p 是假命题，“非p ”是真命题，“p 且q ”是假命题．函数y ＝sin(x ＋π6)cos(π3－x )＝cos(π2－x －π6)·cos(π3－x )＝cos 2(π3－x )＝cos （2x －2π3）2＋12，最小正周期为π，命题q 为真命题，所以“p 或q ”为真命题，故真命题有2个，故选C.6．命题“存在x ∈R ，2x ＋x 2≤1”的否定是( ) A ．对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1，假命题 B ．对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1，真命题 C ．存在x ∈R ，2x ＋x 2＞1，假命题 D ．存在x ∈R ，2x ＋x 2＞1，真命题解析：选A.因为x ＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x ∈R ，2x ＋x 2＞1”是假命题．7．已知平面α，直线l α，直线m α，则“直线l ∥α”是“l ∥m ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B.l ∥α，l α，m α，l 与m 可能平行或异面；反过来，若l ∥m ，l α，m α，则l ∥α.8．命题p ：“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”，若p 为原命题，则p 的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.因为p 真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.9．已知命题p ：函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π；命题q ：若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (x )关于x ＝1对称．则下列命题是真命题的是( )A ．p 且qB ．p 或qC ．(非p )且(非q )D ．p 或(非q )解析：选B.函数f (x )＝|sin 2x |的最小正周期为π2知命题p 为假命题；若函数f (x ＋1)为偶函数，则f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )关于x ＝1对称，据此可知命题q 为真命题，根据真值表可得“p 或q ”为真命题．10．下列判断正确的是( )A ．命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”B ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是假命题C ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集，必有a ＞0且Δ≤0D ．x 2≠y 2⇔x ≠y 且x ≠－y解析：选D.对于A ：其逆否命题为“若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数”，排除A.对于B.若“p 或q ”为假命题，则p 、q 均为假命题，非p 、非q 均为真命题，故非p 且非q 为真命题，排除B.对于C ：ax 2＋bx ＋c ≤0的解集是空集， 当a ＝0时，可得b ＝0，c ＞0，当a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0Δ＜0，排除C ，故选D.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 11．若“x ＝2”是“x 2－2x ＋c ＝0”的充分条件，则c ＝________.解析：由题意x ＝2⇒x 2－2x ＋c ＝0，所以22－2×2＋c ＝0，所以c ＝0. 答案：012．若命题“存在x ＜2 015，x ＞a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为“存在x ＜2 015，x ＞a ”是假命题，所以其否定：“对任意x ＜2 015，x ≤a ”为真命题，所以a ≥2 015.答案：[2 015，＋∞)13．若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的________条件． 解析：若a·b ＝a·c ，则a·b －a·c ＝0，即a·(b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )；反之，若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0，即a·b －a·c ＝0，所以a·b ＝a·c .从而有a·b ＝a·c ⇔a ⊥(b －c )．答案：充要14．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若“p 或q ”为假，则实数m 的取值范围是________．解析：“p 或q ”为假，则非p 和非q 均为真．非p ：对任意x ∈R ，mx 2＋1＞0为真时，m ≥0；非q ：存在x ∈R ，x 2＋mx ＋1≤0为真时，Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2，故m 的取值范围是{m |m ≥0}∩{m |m ≤－2或m ≥2}＝{m |m ≥2}．答案：[2，＋∞)15．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，则下列四个命题：①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A -D 1PC 的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面ACD 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P -AD 1C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线D 1A 1.其中真命题的编号是________．解析：对①，P 在直线BC 1上运动时，S △AD 1P 为定值，C 到底面AD 1P 的距离为定值，①为真命题；对②，P 在直线BC 1上运动时，P 到底面ACD 1的距离PO (O 为垂足)不变，但线段OA 的长是变化的；所以②是假命题；对③，由于BC 1∥AD 1，③为真命题； 对④，由于直线D 1A 1上任一点到点D 和C 1距离相等，又D 1A 1平面A 1B 1C 1D 1，④为真命题．答案：①③④三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假． (1)“π是无理数”，及其逆命题；(2)“若实数a ，b 不都为0，则a 2＋b 2≠0”；(3)命题“对于任意x ∈(0，＋∞)，有x ＜4且x 2＋5x －24＝0”的否定． 解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；(2)原命题的逆否命题为“若a 2＋b 2＝0，则实数a ，b 同时为0”，显然为真，故原命题为真；(3)原命题的否定为：存在x ∈(0，＋∞)，使x ≥4或x 2＋5x －24≠0显然为真命题． 17．(本小题满分10分)已知命题p ：实数x 满足x 2－2x －8≤0；命题q ：实数x 满足|x －2|≤m (m ＞0)．(1)当m ＝3时，若“p 且q ”为真，求实数x 的取值范围；(2)若“非p ”是“非q ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)若p 真：－2≤x ≤4；当m ＝3时，若q 真：－1≤x ≤5，因为“p 且q ”为真，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤4，－1≤x ≤5，所以实数x 的取值范围为[－1，4]．(2)因为非p 是非q 的必要不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件， 因为若q 真：2－m ≤x ≤2＋m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ≤－2，4≤2＋m ，且等号不同时取得，所以m ≥4.18．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m 0，使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)＞0成立，求实数m 的取值范围．解：(1)不等式m 0＋f (x )＞0可化为m 0＞－f (x )，即m 0＞－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m 0＞－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m 0＞－4即可．故存在实数m 0使不等式m 0＋f (x )＞0对于任意x ∈R 恒成立，此时需m 0＞－4. (2)不等式m －f (x 0)＞0可化为m ＞f (x 0)，若存在一个实数x 0使不等式m ＞f (x 0)成立，只需m ＞f (x 0)min . 又f (x 0)＝(x 0－1)2＋4， 所以f (x 0)min ＝4， 所以m ＞4.所以所求实数m 的取值范围是(4，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知p ：x －5x －3≥2，q ：x 2－ax ≤x －a ，若非p 是非q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解：因为p ：x －5x －3≥2，所以x －1x －3≤0，所以1≤x ＜3.因为q ：x 2－ax ≤x －a ， 所以x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0. ①当a ＜1时，a ≤x ≤1； ②当a ＝1时，x ＝1； ③当a ＞1时，1≤x ≤a .因为非p 是非q 的充分条件， 所以q 是p 的充分条件．设q 对应集合A ，p 对应集合B ，则A ⊆B ，当a ＜1时，A B ，不合题意； 当a ＝1时，A ⊆B ，符合题意；当a ＞1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1＜a ＜3. 综上，a 的取值范围为a ∈[1，3)．20．(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2.(1)当b ＞0时，若对任意x ∈R ，都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；(2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b . 证明：(1)此题等价于对所有x ∈R 有ax －bx 2≤1，即bx 2－ax ＋1≥0， 因为b ＞0，所以Δ＝a 2－4b ≤0. 又因为a ＞0，所以a ≤2b .(2)①必要性：设对所有x ∈[0，1]，有|f (x )|≤1，即－1≤ax －bx 2≤1. 令x ＝1∈[0，1]，则有－1≤a －b ≤1，即b －1≤a ≤b ＋1.因为b ＞1，所以12－12b ≤a 2b ≤12＋12b.这说明a2b ∈[0，1]．所以f ⎝⎛⎭⎫a 2b ≤1，即a 22b －b ·a 24b2≤1.所以a 2≤4b ，a ≤2b .综上所述，有b －1≤a ≤2b . ②充分性：设b －1≤a ≤2b .因为b ＞1，所以a 2b ＝a 2b ·1b＜1.所以当x ∈[0，1]时f (x )的最大值为f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2b ＝a ·a 2b －b ·a 24b 2＝a 24b＜1.又因为f (x )的图像是开口向下的抛物线，所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.。
2018-2019年高二选修2-1模块综合测试卷含答案
模块综合测评(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标是( ) A ．(±5,0) B ．(0，±5) C ．(0，±12)D ．(±12,0)C [∵c 2＝a 2－b 2＝169－25＝122，∴c ＝12.又焦点在y 轴上，故焦点坐标为(0，±12)．]2．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 B ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0 C ．存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0C [全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并否定结论，即存在x ∈R ，x 3－x 2＋1>0.]3．如图1所示，已知平行六面体OAB -CO 1-A 1B 1C 1，点G 是上底面O 1A 1B 1C 1的中心，且OA →＝a ，OC →＝b ，OO 1→＝c ，则用a ，b ，c 表示向量OG 为→( )图1A.12(a ＋b ＋2c ) B ．12(2a ＋b ＋c ) C.12(a ＋2b ＋c )D ．12(a ＋b ＋c )A [OG →＝OO 1→＋O 1G →＝OO 1→＋12(OA →＋OC →)＝12a ＋12b ＋c ，，故选A.]4．已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1b ＝3，命题q ：∀x ∈R ，x 2－6x ＋10≥0恒成立，则下列命题是假命题的是( )A ．(﹁p )∨(﹁q )B ．(﹁p )∧(﹁q )C ．(﹁p )∨qD ．(﹁p )∧qB [对于命题p ，当a ＋b ＝1时，由于1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，故1a ＋1b ≠3，命题p 是假命题；对于命题q ，x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1≥0，故命题q 是真命题．从而﹁p 为真命题，﹁q 为假命题，(﹁p )∨(﹁q )为真命题，(﹁p )∧(﹁q )为假命题，(﹁p )∨q 为真命题，(﹁p )∧q 为真命题．故选B.]5．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋1相切，则该双曲线的离心率为( )A.3 B ．2 C.5D ． 6C [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝bxa ，代入抛物线方程并整理，得ax 2－bx ＋a ＝0，因为渐近线与抛物线相切，故b 2－4a 2＝0，即b 2＝4a 2.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2＝5a 2，所以e ＝ 5.]6．给出下列命题：①若A ，B ，C ，D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0； ②|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ③若AB →，CD →共线，则AB ∥CD ；④对空间任意一点O 与不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ，y ，z ∈R )，则P ，A ，B ，C 四点共面．其中不正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [显然①正确；若a ，b 共线，则|a |＋|b |＝|a ＋b |或|a ＋b |＝||a |－|b ||，故②错误；若AB →，CD →共线，则直线AB ，CD 可能重合，故③错误；只有当x ＋y ＋z ＝1时，P ，A ，B ，C 四点才共面，故④错误．故选C.]7．给出下列结论：①命题“∀x ∈(0,2)，3x >x 3”的否定是“∃x ∈(0,2)，3x ≤x 3”； ②“若θ＝π3，则cos θ＝12”的否命题是“若θ≠π3，则cos θ＝12”； ③若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 一真一假；④“函数y ＝2x ＋m －1有零点”是“函数y ＝log m x 在(0，＋∞)上为减函数”的充要条件．其中正确结论的个数为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [根据全称命题与存在性命题的否定关系，可知①是正确的；②中，命题的否命题为“若θ≠π3，则cos θ≠12”，所以②是错误的；③中，若(p ∧q )∨(p ∨q )是真命题，则命题p ，q 都是真命题或p ，q 一真一假，所以③是错误的；④中，由函数y ＝2x ＋m －1有零点，得1－m ＝2x >0，∴m <1，而函数y ＝log m x 为减函数，则0<m <1，所以④是错误的，故选A.]8．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，它的长轴长等于圆x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B ．x 24＋y 2＝1 C.x 216＋y 24＝1D ．x 216＋y 212＝1A [圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝42，故2a ＝4，即a ＝2，又e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.又椭圆的焦点在x 轴上，所以其标准方程为x 24＋y 23＝1，故选A.]9．已知命题p ：“若a >b >0，则log 12a ＜log 12b ＋1”，则命题p 的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．4B [对于命题p ，当a >b >0时，有log 12a <log 12b ，则必有log 12a <log 12b ＋1，因此原命题正确，逆否命题也正确；但当log 12a <log 12b ＋1时，得log 12a <log 12b 2，得a >b2＞0，不一定有a ＞b ＞0，因此逆命题不正确，故否命题也不正确．因此真命题的个数为1.]10．过点P (－4,0)的直线l 与曲线C ：x 2＋2y 2＝4交于A ，B 两点，则AB 中点Q 的轨迹方程为( )A ．(x ＋2)2＋2y 2＝4B ．(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1<x ≤0)C ．x 2＋2(y ＋2)2＝4D ．x 2＋2(y ＋2)2＝4(－1<x ≤0)B [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，Q (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4， ⇒x 22－x 21＝－2(y 22－y 21)⇒y 2－y 1x 2－x 1＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 1y 2＋y 1 ⇒k AB ＝－x2y⇒k PQ ＝yx ＋4＝－x2y ⇒(x ＋2)2＋2y 2＝4，AB 中点Q 的轨迹方程为(x ＋2)2＋2y 2＝4(－1＜x ≤0)．]11．已知m ，n ，s ，t 为正实数，m ＋n ＝4，m s ＋nt ＝9，其中m ，n 是常数，且s ＋t 的最小值是89，满足条件的点(m ，n )是双曲线x 22－y 28＝1一弦的中点，则此弦所在的直线l 的方程为( )A ．x ＋4y －10＝0B ．2y －y －2＝0C ．4x ＋y －10＝0D ．4x －y －6＝0D [s ＋t ＝19(s ＋t )⎝ ⎛⎭⎪⎫m s ＋n t ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n ＋ns t ＋mt s ≥19(4＋2mn )，当且仅当mt 2＝ns 2时等号成立．由题意19(4＋2mn )＝89，所以mn ＝4.又m ＋n ＝4，故m ＝n ＝2.设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由线段AB 的中点是(2,2)，知直线l 的斜率一定存在，且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4.设直线l 的斜率为k ，则x 212－y 218＝1，x 222－y 228＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)8＝0，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4(x 1＋x 2)y 1＋y 2＝4×44＝4，所以直线l 的方程为y －2＝4(x －2)，即4x －y －6＝0，故选D.]12．如图2所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB 1与平面AB 1C 1所成的角是( )图2A.π6 B ．π4 C.π3D ．π2A [以B 为坐标原点，以与BC 垂直的直线为x 轴，BC 为y 轴，建立空间直角坐标系，如图．则A (3，1,0)，B 1(0,0,3)，C 1(0,2,3)，AB 1→＝(－3，－1,3)，B 1C 1→＝(0,2,0)，BB 1→＝(0,0,3)．设平面AB 1C 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧AB 1→·n ＝0，B 1C 1→·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－3x －y ＋3z ＝0，2y ＝0，取z ＝1，得n ＝(3，0,1)，∵cos 〈BB 1→，n 〉＝BB 1→·n |BB 1→||n |＝33×2＝12，∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角的正弦值为12， ∴BB 1与平面AB 1C 1所成的角为π6.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填在题中的横线上．)13．已知抛物线C：4x＋ay2＝0恰好经过圆M：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心，则抛物线C的焦点坐标为________，准线方程为________.(1,0)x＝－1[圆M的圆心为(1,2)，代入4x＋ay2＝0得a＝－1，将抛物线C的方程化为标准方程得y2＝4x，故焦点坐标为(1,0)，准线方程为x＝－1.]14．已知命题p：一元一次不等式ax＋b>0的解集为{x|x＞－ba}，命题q：关于x的不等式(x－a)(x－b)<0的解集为{x|a＜x＜b}，则“p∧q”“p∨q”及“﹁p”形式的复合命题中真命题是________．﹁p[p为假命题，因为a的符号不确定，q为假命题，因为a，b的大小不确定．所以p∧q假，p∨q假，﹁p真．]15．如图3所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点，则异面直线C1D与A1C所成角的余弦值为________．【导学号：33242347】图31515[如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系．A1(0,0,2)，C(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,1,2)，则C 1D →＝(1，－1，－1)，A 1C →＝(0,1，－2)，|C 1D →|＝3，|A 1C →|＝5，C 1D →·A 1C →＝1，cos 〈C 1D →，A 1C →〉＝C 1D →·A 1C →|C 1D →||A 1C →|＝1515，故异面直线C 1D 与A 1C 所成角的余弦值为1515.]16．如图4所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点P 第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点P 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：图4①a 1＋c 1＝a 2＋c 2；②a 1－c 1＝a 2－c 2；③c 1a 2>a 1c 2；④c 1a 1＜c 2a 2.其中正确式子的序号是________．②③ [椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ中相同的量是|PF |，都为a －c ，所以②正确；两椭圆比较有a 1>a 2，c 1>c 2，∴a 1＋c 1>a 2＋c 2，所以①错误；两椭圆中轨道Ⅰ较扁，因此离心率较大，即c 1a 1＞c 2a 2，整理可得c 1a 2＞a 1c 2，所以③正确，④错误．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)已知命题p ：若函数f (x )＝1－x3，则实数m 满足不等式f (m )<2，命题q ：关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根．若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，求实数m 的取值范围.[解] 若命题p 为真命题，∵f (x )＝1－x3，f (m )＜2， ∴1－m3＜2，解得m >－5；若命题q 为真命题，则关于x 的方程2x ＋m ＝0(x ∈R )有实根，等价于函数y ＝2x 的图象与直线y ＝－m 有交点，数形结合(图略)，可知－m >0，∴m <0.若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则存在两种情况： ①当p 为真命题，q 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－5m ≥0，，∴m ≥0；②当q 为真命题，p 为假命题时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤－5m ＜0，∴m ≤－5.综上，若命题p ，q 中有且仅有一个真命题，则实数m 的取值范围是(－∞，－5]∪[0，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的实数根；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)·x ＋1＝0无实根．若“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．[解] 当p 为真时，有Δ＞0，即m 2－4＞0，解得m ＞2或m ＜－2. 当q 为真时，有Δ＝16(m －2)2－16＜0，解得1＜m ＜3.由题意，“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴命题p 与命题q 一真一假． ①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＞2或m ＜－2，m ≤1或m ≥3，解得m ＜－2或m ≥3.②若q 真p 假，则⎩⎪⎨⎪⎧－2≤m ≤2，1＜m ＜3，解得1＜m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，－2)∪(1,2]∪[3，＋∞)． 19．(本小题满分12分)已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程．(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值. [解] (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)，又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.20．(本小题满分12分)如图5所示，在四棱锥P -ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.图5(1)求证：PD ⊥平面P AB .(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AMAP 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)证明：因为平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面P AD .所以AB ⊥PD . 又因为P A ⊥PD ， 所以PD ⊥平面P AB .(2)取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .又因为PO ⊂平面P AD ，平面P AD ⊥平面ABCD ， 所以PO ⊥平面ABCD .因为CO ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .如图，建立空间直角坐标系Oxyz .由题意得A (0,1,0)，B (1,1,0)，C (2,0,0)，D (0，－1,0)，P (0,0,1)． 设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，即⎩⎨⎧－y －z ＝0，2x －z ＝0.令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2,2)． 又PB →＝(1,1，－1)，所以cos 〈n ，PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝－33.所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33. (3)设M 是棱P A 上一点， 则存在λ∈[0,1]使得AM →＝λAP →.因此点M (0,1－λ，λ)，BM →＝(－1，－λ，λ)．因为BM ⊄平面PCD ，所以要使BM ∥平面PCD 当且仅当BM →·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝14.所以在棱P A 上存在点M 使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝14. 21．(本小题满分12分)如图6所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0,1)，离心率e ＝32.图6(1)求椭圆C 的方程．(2)设直线x ＝my ＋1与椭圆C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为A ′(A ′与B 不重合)，则直线A ′B 与x 轴是否交于一个定点？若是，求出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．[解](1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1c a ＝32，a 2＝b 2＋c2可得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程是x 24＋y 2＝1.(2)由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1x ＝my ＋1，得(my ＋1)2＋4y 2＝4，即(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ′(x 1，－y 1)，且y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4.经过点A ′(x 1，－y 1)，B (x 2，y 2)的直线方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1.令y ＝0，则x ＝x 2－x 1y 2＋y 1y 1＋x 1＝(x 2－x 1)y 1＋x 1(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝x 2y 1＋x 1y 2y 1＋y 2＝(my 2＋1)y 1＋(my 1＋1)y 2y 1＋y 2＝2my 1y 2＋(y 1＋y 2)y 1＋y 2＝－6m m 2＋4－2mm 2＋4－2mm 2＋4＝4.故直线A ′B 与x 轴交于定点(4,0)．22．(本小题满分12分)如图7所示，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.图7(1)求证：EG ∥平面ADF ； (2)求二面角O -EF -C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值.[解] 依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以AD →，BA →，OF →的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系．依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1,0)，C (1，－1,0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0,0)．(1)依题意，AD →＝(2,0,0)，AF →＝(1，－1,2)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面ADF 的法向量， 则⎩⎨⎧n 1·AD →＝0n 1·AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝0x －y ＋2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n 1＝(0,2,1)，又EG →＝(0,1，－2)，可得EG →·n 1＝0.又直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF . (2)易证，OA →＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量． 依题意，EF →＝(1,1,0)，CF →＝(－1,1,2)． 设n 2＝(x ′，y ′，z ′)为平面CEF 的法向量，则 ⎩⎨⎧n 2·EF →＝0n 2·CF →＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋y ′＝0－x ′＋y ′＋2z ′＝0. 不妨设x ′＝1，可得n 2＝(1，－1,1)． 因为有cos 〈OA →，n 2〉＝OA →·n 2|OA →||n 2|＝－63，于是sin 〈OA →，n 2〉＝33.所以二面角O -EF -C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF .因为AF →＝(1，－1,2)，所以AH →＝25AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45，进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45，从而BH →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45，因此cos 〈BH →，n 2〉＝BH →·n 2|BH →|·|n 2|＝－721.所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。
2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 章
章末复习课网络构建核心归纳1.要注意全称命题、特称命题的自然语言之间的转换.2.正确理解“或”的意义，日常用语中的“或”有两类用法：其一是“不可兼”的“或”；其二是“可兼”的“或”，我们这里仅研究“可兼”的“或”.3.有的命题中省略了“且”“或”，要正确区分.4.常用“都是”表示全称肯定，它的特称否定为“不都是”，两者互为否定；用“都不是”表示全称否定，它的特称肯定可用“至少有一个是”来表示.5.在判定充分条件、必要条件时，要注意既要看由p能否推出q，又要看由q能否推出p，不能顾此失彼.证明题一般是要求就充要条件进行论证，证明时要分两个方面，防止将充分条件和必要条件的证明弄混.6.否命题与命题的否定的区别.对于命题“若p，则q”，其否命题形式为“若綈p，则綈q”，其命题的否定为“若p，则綈q”，即否命题是将条件、结论同时否定，而命题的否定是只否定结论.有时一个命题的叙述方式是简略式，此时应先分清条件p，结论q，改写成“若p，则q”的形式再判断.要点一转化与化归思想将所研究的对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思想方法称之为转化与化归思想.一般将有待解决的问题进行转化，使之成为大家熟悉的或容易解决的问题模式.本章主要体现原命题与其逆否命题之间的转化、逻辑语言与一般数学语言的转化等.通过转化，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.【例1】判断下列命题的真假.(1)对角线不相等的四边形不是等腰梯形；(2)若x∉A∩B，则x∉A且x∉B；(3)若x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|.解(1)该命题的逆否命题：“若一个四边形是等腰梯形，则它的对角线相等”，它为真命题，故原命题为真.(2)该命题的逆否命题：“若x∈A或x∈B，则x∈A∩B”，它为假命题，故原命题为假.(3)该命题的逆否命题：“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它为假命题，故原命题为假.【训练1】下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2(其中r>0)；(2)p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1.解(1)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c|a2＋b2，所以c2＝(a2＋b2)r2；反过来，若c2＝(a2＋b2)r2，则|c|a2＋b2＝r成立，说明圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，故p是q的充要条件.(2) 綈q：x＝－1且y＝－1，綈p：x＋y＝－2.∵綈q⇒綈p，而綈p⇒綈q，∴綈q是綈p的充分不必要条件，从而，p是q的充分不必要条件.【例2】设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是(1，3).由⎩⎨⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎨⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时，实数x 的取值范围是(2，3]. 若p 且q 为真，则⎩⎨⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2，3). (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则AB .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1，2].【训练2】 命题p ：任意x ∈R ，x 2＋1>a ，命题q ：a 2－4>0，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围. 解 若p 为真命题，则a <1；若q 为真命题，则a 2>4，即a >2或a <－2. 由已知条件知：p 与q 一真一假，当p 为真，q 为假时有：⎩⎨⎧a <1，－2≤a ≤2，所以－2≤a <1，当q 为真，p 为假时有：⎩⎨⎧a ≥1，a >2或a <－2，所以a >2，综上所述，－2≤a <1或a >2，即实数a 的取值范围是[－2，1)∪(2，＋∞).要点二 分类讨论思想分类讨论又称逻辑划分，是中学数学常用思想方法之一，分类讨论的关键是逻辑划分标准要准确，从而对问题进行分类求解，常用逻辑用语一章所涉及的不等式大多是含有字母参数的，对这类含参数的问题要进行分类讨论，讨论时要做到不重复、不遗漏.【例3】 已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋1)在x ∈(0，＋∞)内单调递减；q ：曲线y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果p 或q 为真，p 且q 为假，求a 的取值范围.解 方法一 由题意知，p 和q 有且只有一个为真.p 为真时，0＜a ＜1；∵y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1与x 轴有两个不同交点，∴Δ＝(2a －3)2－4＞0，得a ＜12或a ＞52，即q 为真时，0<a ＜12或a ＞52.(1)当p 为真，且q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，12≤a ＜1或1＜a ≤52，即a ∈[12，1). (2)当p 为假，且q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1，0＜a ＜12或a ＞52，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. 综上，a 的取值范围为[12，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.方法二 ∵A ＝{a |p (a )}＝{a |0<a <1}，B ＝{a |q (a )}＝{a |0<a <12或a >52}， ∴p 和q 有且只有一个为真⇔a ∈A ∪B 且a ∉A ∩B ， 故a 的取值范围为[12，1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.【训练3】 命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2＋2x ＋1)的定义域为R ；命题q ：函数g (x )＝x ＋ax －2在(2，＋∞)上是增函数.如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围.解 当p 为真命题时，ax 2＋2x ＋1>0恒成立， ∴⎩⎨⎧a >0，Δ<0，即⎩⎨⎧a >0，4－4a <0，解得⎩⎨⎧a >0，a >1，∴a >1.当q 为真命题时，g (x )＝x －2＋2＋a x －2＝1＋a ＋2x －2在(2，＋∞)上是增函数，∴a ＋2<0，即a <－2.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p 与q 一真一假，当p 真q 假时，有⎩⎨⎧a ＞1，a ≥－2，∴a ＞1，当p 假q 真时，有⎩⎨⎧a ≤1，a ＜－2，∴a ＜－2，∴a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞). 要点三 数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.本章中数形结合主要体现在命题真假的判断、充要条件的判定上.【例4】 设函数f (x )＝|log 2x |，则f (x )在区间(m ，2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件是________.解析 作出函数f (x )＝|log 2x |的图像如图所示，可得⎩⎨⎧0<m <1，2m ＋1>1，故0<m <1即为f (x )在区间(m ，2m ＋1)(m >0)上不是单调函数的充要条件.故填0<m <1. 答案 0<m <1【训练4】 设a ，b ，c 是非零向量.已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中真命题是( ) A.p 或qB.p 且qC.(綈p )且(綈q )D.p 或(綈q ) 解析 由于a ，b ，c 都是非零向量， ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b . ∵b ·c ＝0，∴b ⊥c .如图，则可能a∥c，∴a·c≠0，∴命题p是假命题，∴綈p是真命题.命题q中，a∥b，则a与b方向相同或相反；b∥c，则b与c方向相同或相反.故a与c方向相同或相反，∴a∥c，即q是真命题，则綈q是假命题，故p或q是真命题，p且q，(綈p)且(綈q)，p或(綈q)都是假命题.答案 A要点四反证法反证法是一种间接证法，它回避了从正面直接证明命题，它从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而肯定命题的结论.从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则綈q”，由此进行推理，如果产生矛盾，那么就说明“若p，则綈q”为假，从而可以得出“若p，则q”为真，达到证明的目的.反证法是高中数学解题的一种基本方法.【例5】如果a，b，c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd>1，求证a，b，c，d中至少有一个负数.证明假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，则a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.因为a＋b＝1，c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1，即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.因为a，b，c，d均为非负数，于是bc＋ad≥0，故由上式可以知道ac＋bd≤1，这与已知条件的ac＋bd>1矛盾，所以假设不成立，故a，b，c，d中至少有一个负数.【训练5】用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边上的中点， 求证：AD <12BC (如图所示). 证明 假设AD ≥12BC .①若AD ＝12BC ，由平面几何知识“如果三角形一边上的中线等于该边长的一半，那么这条边所对的角为直角”知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.所以AD ≠12BC . ②若AD >12BC ，因为BD ＝DC ＝12BC ， 所以在△ABD 中，AD >BD ， 从而∠B >∠BAD ， 同理∠C >∠CAD .所以∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ， 即∠B ＋∠C >∠BAC .因为∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ， 所以180°－∠BAC >∠BAC . 故∠BAC <90°，与题设矛盾. 由①②知AD <12BC .。
人教版高中数学选修2-1第一章单元测试(一)- Word版含答案
2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（ ） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ）A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（ ） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（ ）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知命题p ：函数()log 05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ， 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab =-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ；④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2． 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题， 所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确． 10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确． 11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意， 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．15．【答案】1a > (不惟一)【解析】2()(0)21a a -->的解集记为B ＝{1|a a >且a ≠2}，所找的记为集合{}1A a a =>，则B ⇒A ，B /⇐A ．16．【答案】①③【解析】对于①易知p 真，q 真，故命题p q ⌝∧假，①正确； 对于②1l 与2l 垂直的充要条件应为a ＋3b ＝0； 对于③利用两角和与差的正弦公式展开整理即得；，④错．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．【答案】见解析．【解析】p ⌝：∃非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，使≠b c ．p ⌝为真命题． 否命题：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-≠a b c ，则≠b c ．否命题为真命题． 18．【答案】()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【解析】命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立，则“a ＝0”，或“a >0且240a a -<”．解得0≤a <4．命题Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根，则140a ∆=-≥，得14a ≤． 因为P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，则P ，Q 有且仅有一个为真命题， 故P Q ⌝∧为真命题，或P Q ⌝∧为真命题，则0414a a a <≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或或0414a a ≤<⎧⎪⎨>⎪⎩， 解得a <0或144a <<．所以实数a 的取值范围是()1,0,44⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．19．【答案】见解析．【解析】一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是：4401a a ∆=->⇔<，并且10a<，从而a <0．有一个正根和一个负根的充分不必要条件应该是{a |a <0}的真子集，a <－1符合题意．所以结论得证． 20．【答案】a ≤9．【解析】由22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，得1324x x <<⎧⎨<<⎩，即2<x <3．∴q ：2<x <3．设{}290|2A x x x a =-+<，B ＝{x |2<x <3}，∵p q ⌝⌝⇒，∴q ⇒p ．∴B ⊆A ．∴2<x <3包含于集合A ，即2<x <3满足不等式2290x x a -+<．∴2<x <3满足不等式292a x x <-．∵当2<x <3时，222981819818192229,21616488x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎤-=--+-=--+∈ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎦，即2819928x x <-≤，∴a ≤9． 21．【答案】见解析．【解析】命题p 是假命题，证明如下：由OP 和OQ 不垂直， 得cos x (2cos x ＋1)－(2cos2x ＋2)≠0，变形得：22cos cos 0x x -≠， 所以cos x ≠0或1cos 2x ≠． 而当[]0,x ∈π时，cos2π=0，1cos 32π=， 故存在2x π=或3x π=，使向量OP OQ ⊥成立，因而p 是假命题． 22．【答案】见解析．【解析】必要性：∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴()()()32332232111a b ab a b a a a a a a ++--=+--+--- 323222133120a a a a a a a a a =+-+-+---+-=．充分性：∵33220a b ab a b ++--=，即()()()22220a b a ab b a ab b --+-+=+， ∴()()2210a ab b a b -+-=+，又ab≠0，即a≠0且b≠0，∴2222324b ba ab b a⎛⎫-+=-+≠⎪⎝⎭，只有1a b+=．综上可知，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．。
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1练习：第一章1 命题 1 含解析
[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，∵PO ⊥π，a π，∴PO ⊥a ， 又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ， ∴a ⊥平面P AO ，又c 平面P AO ， ∴a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为( )①已知－1≤x ＋y ≤1，1≤x －y ≤3，则3x －y 的范围是[1，7]；②若不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的所有m 都成立，则x 的范围是(7－12，3＋12)； ③如果正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是[8，＋∞)； ④a ＝log 132，b ＝log 123，c ＝(13)0.5的大小关系是a ＞b ＞c .A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2. ∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0， 解得7－12＜x ＜3＋12，②正确； 对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3.即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确； 对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________． 解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线， 则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确； 由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确； 由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．。
2018-2019学年高二下学期数学(人教版选修1-2)第一章章末综合检测 含答案
气温(℃) 18 13 10 4 －1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数 y 与气温 x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是( ) A ． y ＝x ＋6 B．y＝x＋42 C．y＝－2x＋60 D．y＝－3x＋78 解析：选 C.由表格可知，气温与杯数呈负相关关系． ^ 把 x＝4 代入 y＝－2x＋60，得 y＝52，e＝52－51＝1. ^ 把 x＝4 代入 y＝－3x＋78，得 y＝66，e＝66－51＝15.故应选 C. 7．医疗研究所为了检验新开发的流感疫苗对甲型 H1N1 流感的预防作用，把 1 000 名注射了疫苗的人与另外 1 000 名未注射疫苗的人的半年感冒记录作比较，提出假设 H0：“这种疫苗不能起到预防甲型 H1N1 流感的作用”，并 计算出 P(K2≥6.635)≈0.01，则下列说法正确的是( ) A．这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的有效率为 1% B．若某人未使用该疫苗，则他在半年中有 99%的可能性得甲型 H1N1 C．在犯错误的概率不超过 0.99 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用 D．在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用 解析：选 D.由 P(K2≥6.635)≈0.01 可知在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这种疫苗能起到预防甲型 H1N1 流感的作用，故选 D. 8.如图，5 个(x，y)数据，去掉 D(3,10)后，下列说法错误的是( ) A．相关系数 r 变大 B．残差平方和变大 C．相关指数 R2 变大 D．解释变量 x 与预报变量 y 的相关性变强 解析：选 B.由题中散点图知，去掉 D 后，x 与 y 的相关性变强，且为正相关，所以 r 变大， R2 变大，残差平方和变小． ^ ^ 9．(2014·平顶山高二检测)已知一组样本点(xi，yi)，其中 i＝1,2,3，…，30，根据最小二乘法求得的回归方程是y＝bx ^ ＋a，则下列说法正确的是( ) ^ ^ ^ A．若所有样本点都在y＝bx＋a上，则变量间的相关系数为 1 ^ ^ ^ B．至少有一个样本点落在回归直线y＝bx＋a上 ^ ^ C．对所有的解释变量 xi(i＝1,2,3，…，30)，bxi＋a的值与 yi 有误差 ^ ^ ^ ^ D．若y＝bx＋a斜率b>0，则变量 x 与 y 正相关 ^ ^ ^ 解析：选 D.A 中，当所有样本点都在y＝bx＋a上时，r＝±1，故错误；B 中，可能样本点都不在回归方程上，故错 ^ ^ 误；C 中，所有预报变量中，bxi＋a与 yi 也可能没有误差，故错误；只有 D 正确． 10．两个分类变量 X 和 Y 可能的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数满足 a＝10，b＝21，c＋d＝35，若认 为 X 与 Y 有关系的犯错误的概率不超过 0.1，则 c 的值可能等于( ) A． 4 B ．5 C ．6 D． 7 解析：选 B.若认为 X 和 Y 有关系的犯错误的概率不超过 0.1，则 K2 的观测值 k 所在的范围为 2.706≤k<3.841，根据 nad－bc2 计算公式 K2＝ ，其中 n＝a＋b＋c＋d，及 a＝10，b＝21，c＋d＝35 可估算出 c 的值． a＋bc＋da＋cb＋d 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分．把答案填在题中横线上) 11．从某地区 15 000 位老人中随机抽取 500 人，其生活能否自理的情况如下表所示： 男 女 能 178 278 不能 23 21 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多________人． 23 解析：由表中数据可知，男性不能自理的频率为 ， 500 21 女性不能自理的频率为 ， 500 23 21 － 故 15 000× 500 500 ＝60(人)．
2018-2019年人教版高中《数学选修2-1》练习题含答案1
2018-2019年人教版高中《数学选修2-1》练习题含答案单选题（共5道）1、如果命题“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）=0的解”是正确的，则下列命题中正确的是（）A曲线C是方程f（x，y）=0的曲线B方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上C不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上D方程f（x，y）=0是曲线C的方程2、已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4，则点M的坐标是（）A（1，3）B（1，4）C（-1，3）D（-1，-4）3、（2015秋•蕲春县期中）已知双曲线-=1的左右焦点分别为F1，F2，一条垂直于x轴的直线交双曲线的右支于M，N两点，且MF1⊥MF2，△F1MN为等边三角形，则双曲线的离心率为（）AB1+CD4、若双曲线-=1（b＞0）的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，则双曲线的离心率是（）ABCD5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，=，=，=，=，且E、F分别为AB、CD的中点，则（）A=B=C=D=简答题（共5道）6、如图梯形ABCD，AD∥BC，∠A=90°，过点C作CE∥AB，AD=2BC，AB=BC，，现将梯形沿CE折成直二面角D-EC-AB．（1）求直线BD与平面ABCE所成角的正切值；（2）设线段AB的中点为P，在直线DE上是否存在一点M，使得PM∥面BCD？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；7、四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=，（Ⅰ）证明SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小。
8、过点A（0，a）作直线交圆M：（x-2）2+y2=1于点B、C，（理）在BC上取一点P，使P点满足：=λ，=λ，(λ∈R)（文）在线段BC取一点P，使点B、P、C的横坐标的倒数成等差数列（1）求点P的轨迹方程；（2）若（1）的轨迹交圆M于点R、S，求△MRS面积的最大值．9、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.(Ⅰ)求证：PB⊥DM;(Ⅱ)求CD与平面ADMN所成的角10、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A-A1B1-C1的余弦值．填空题（共5道）11、在平面直角坐标系xOy内有两定点M（-1，0），N（1，0），点P满足||+||=4，则动点P的轨迹方程是______，||的最大值等于______．12、曲线在点处的切线方程为________．13、已知函数满足，则的单调递增区间是_______；14、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______．15、在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD、侧面PCD与底成ABCD都垂直，底面是边长为3的正方形，PD=4，则四棱锥P—ABCD的全面积为.-------------------------------------1-答案：tc解：由曲线与方程的对应关系，可知：由于不能判断以方程f（x，y）=0的解为坐标的点是否都在曲线C上，故方程f（x，y）=0的曲线不一定是C，所以曲线C是方程f（x，y）=0的曲线不正确；方程f（x，y）=0的每一组解对应的点都在曲线C上也不正确；不能推出曲线C是方程f（x，y）=0的轨迹，从而得到A，B，D均不正确，不满足方程f（x，y）=0的点（x，y）不在曲线C上是正确的．故选 C．2-答案：C3-答案：tc解：由题意，∠MF1F2=30°，MF1⊥MF2，∴|MF1|=c，|MF2|=c，∴c-c=2a，∴e===+1，故选：B．4-答案：tc解：双曲线-=1（b＞0）的a=4，c=，双曲线的一个顶点到与此顶点较远的一个焦点的距离为9，即有c+a=9，即+4=9，解得，b=3，c=5．即有离心率为e==．故选C．5-答案：tc解：根据梯形中位线定理可得：===，故选：C．-------------------------------------1-答案：（1）连接BE，因为梯形ABCD，∠A=90°，CE∥AB，所以DE⊥EC，又∵面DEC⊥面ABCE且交于EC，DE⊥面ABCE，所以∠DBE为所求．设BC=1，有AB=1AD=2，所以DE=1EB=，所以tan∠DBE==．…（6分）（2）存在点M，当M为线段DE的中点时，PM∥平面BCD，取CD的中点N，连接BN，MN，则MN∥=AB∥=PB所以PMNB为平行四边形，所以PM∥BN因为BN 在平面BCD内，PM不在平面BCD内，所以PM∥平面BCD．…（12分）2-答案：解：（I）作SO⊥BC垂足为O，连结AO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥底面ABCD，因为SA=SB，所以AO=BO，又∠ABC=45°，故△AOB为等腰直角三角形，AO⊥BO，由三垂线定理，得SA⊥BC；（II）由（I）知SA⊥BC，依题设AD∥BC，故SA⊥AD，由AD=BC=2，，又AO=AB，作DE⊥BC，垂足为E，则DE⊥平面SBC，连结SE，∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角，，所以，直线SD与平面SBC所成的角为。
2018-2019版高中数学北师大版选修2-1文档：第一章 章
章末检测(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1.下列语句中是命题的个数为()①“等边三角形难道不是等腰三角形吗？”；②“平行于同一条直线的两条直线必平行吗？”；③“一个数不是正数就是负数”；④“x·y为有理数，则x，y也都是有理数”；⑤“作△ABC∽△A′B′C′”.A.1B.2C.3D.4解析根据命题的概念，判断是不是命题.①不是陈述句，不是命题.②疑问句.没有对平行于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题.③是假命题.0既不是正数也不是负数.④是假命题.如x＝3，y＝－ 3.⑤是祈使句，不是命题.答案 B2.命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A.若α≠π4，则tan α≠1B.若α＝π4，则tan α≠1C.若tan α≠1，则α≠π4D.若tan α≠1，则α＝π4解析命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.答案 C3.设a >0且a ≠1，则“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 结合函数单调性的定义求解.由题意知函数f (x )＝a x 在R 上是减函数等价于0<a <1，函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数等价于0<a <1或1<a <2，∴“函数f (x )＝a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )＝(2－a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件. 答案 A4.设函数f (x )＝x 2＋mx (m ∈R )，则下列命题中的真命题是( ) A.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是奇函数 B.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是奇函数 C.任意m ∈R ，使y ＝f (x )都是偶函数 D.存在m ∈R ，使y ＝f (x )是偶函数解析 存在m ＝0∈R ，使y ＝f (x )是偶函数，故选D. 答案 D5.下列命题中的假命题是( ) A.存在x ∈R ，sin x ＝52 B.存在x ∈R ，log 2x ＝1 C.任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0D.任意x ∈R ，x 2≥0解析 因为任意x ∈R ，sin x ≤1<52，所以A 是假命题；对于B ，存在x ＝2，log 2x ＝1；对于C ，根据指数函数图像可知，任意x ∈R ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>0；对于D ，根据二次函数图像可知，任意x ∈R ，x 2≥0. 答案 A6.下列命题正确的是( )A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，则a >b 是cos A <cos B 的充要条件B.命题p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1>0，则綈p ：对任意的x ∈R ，x 2＋x ＋1≤0C.已知p：1x＋1>0，则綈p：1x＋1≤0D.存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝π2成立解析对于A，在△ABC中大边对大角，由a>b得A>B，又余弦函数在(0，π)上单调递减，所以cos A<cos B；又由A，B∈(0，π)，cos A<cos B时得A>B，故a>b，故A正确.对于B，命题p的否定綈p应为：存在x0∈R，x20＋x0＋1≤0，故B不正确.对于C，p：1x＋1>0⇔p：x>－1，故綈p为x≤－1，而不是1x＋1≤0，故C不正确.对于D，sin x＋cos x的最大值为2，小于π2，故D不正确.答案 A7.命题“任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是()A.任意x∈(－∞，0)，x3＋x<0B.任意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D.存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0解析全称命题：任意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0的否定是特称命题：存在x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0.答案 C8.命题“若函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2<0”的逆否命题是()A.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B.若log a2<0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C.若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D.若log a 2<0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内是减函数解析 先对命题取逆，然后取否可得“若log a 2≥0，则函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)在其定义域内不是减函数”，选A. 答案 A9.下列命题中真命题的个数是( ) ①任意x ∈R ，x 4>x 2；②若p 且q 是假命题，则p ，q 都是假命题；③命题“任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是“存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1>0”.A.0B.1C.2D.3解析 对于①，当x ＝0时，左边＝右边＝0，故①为假命题. 对于②，p ，q 有一个为假时，p 且q 也为假，故②为假命题. ③为真命题.故真命题有1个. 答案 B10.已知命题p ：任意x ∈R ，1－x 2≤1，则( ) A.綈p ：存在x ∈R ，1－x 2≥1 B.綈p ：任意x ∈R ，1－x 2≥1 C.綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1 D.綈p ：任意x ∈R ，1－x 2>1解析 根据全称命题的否定方法，当命题p ：任意x ∈R ，1－x 2≤1时，綈p ：存在x ∈R ，1－x 2>1.故选C. 答案 C11.已知命题p ：存在x 0∈(－∞，0)，使得3x 0<4x 0；命题q ：任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，有tan x >x ，则下列命题中的真命题是( ) A.p 且q B.p 或(綈q ) C.p 且(綈q )D.(綈p )且q解析 由3x<4x得⎝ ⎛⎭⎪⎫43x>1，当x <0时不等式不成立，故p 为假命题，由图像知，tan x >x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上恒成立.故q 为真命题.故D 项为真. 答案 D12.下列有关命题的说法正确的是( )A.命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”B.若p 或q 为假命题，则p ，q 均不为假命题C.命题“存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0”的否定是“对任意x ∈R ，均有x 2＋x＋1<0”D.命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题 解析 选项A 中否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”； 选项B 中，若p 或q 为假命题，则p ，q 均为假命题； 选项C 中命题的否定为“对任意x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”. 故A ，B ，C 三项说法均不正确.选项D 中，“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”是真命题，故其逆否命题也为真命题. 答案 D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.命题：“存在一个实数对，使2x ＋3y ＋3<0成立”的否定是_____________________________________________________________________.解析 特称命题的否定是全称命题. 答案 对任意实数对，2x ＋3y ＋3≥0恒成立14.命题“若a >b ，则2a >2b －1”的否命题为________________________________. 解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定. 答案 若a ≤b ，则2a ≤2b －115.在下列四个命题中，真命题的个数是________. ①任意x ∈R ，x 2＋x ＋3>0；②存在α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ③存在x 0，y 0∈Z ，使3x 0－2y 0＝10. 解析 ①中x 2＋x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋114≥114>0，故①是真命题.②中α＝π4，β＝－π4时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故②是真命题.③中x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故③是真命题.答案 316.已知命题p：不等式xx－1<0的解集为{x|0<x<1}；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”成立的必要不充分条件.有下列四个结论：①p真q假；②“p且q”为真；③“p或q”为真；④p假q真，其中正确结论的序号是________.解析解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，∴命题q是假命题，∴①正确，②错误，③正确，④错误.答案①③三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17.(10分)(1)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若x2＋y2＝0，则实数x，y全为零.(2)写出下列命题的否定并判断真假：①所有自然数的平方是正数；②任何实数x都是方程5x－12＝0的根；③任意x∈R，x2－3x＋3>0；④有些质数不是奇数.解(1)①逆命题：全等的两个三角形的面积相等，真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题.②逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题.否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题.逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题.(2)①綈p：有些自然数的平方不是正数，真命题.②綈p ：存在x 0∈R ，使得5x 0－12≠0，真命题.③綈p ：存在x 0∈R ，x 20－3x 0＋3≤0，假命题.④綈p ：所有的质数都是奇数，假命题.18.(10分)求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.证明 (1)充分性：∵0<m <13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m >0， 且3m >0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根.(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，x 1x 2＝3m>0，解得0<m <13. 综合(1)(2)知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13.19.(12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0 (m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围. 解 由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m >0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴綈q ：A ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}. 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴綈p ：B ＝{x |x >10或x <－2}. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件.∴AB ，∴⎩⎨⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎨⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，即m ≥9或m >9，∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}.20.(12分)设p ：关于x 的不等式a x >1 (a >0且a ≠1)的解集为{x |x <0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R .如果p 和q 有且仅有一个为真命题，求a 的取值范围.解 当p 真时，0<a <1，当q 真时，⎩⎨⎧a >0，1－4a 2<0， 即a >12， ∴p 假时，a >1，q 假时，a ≤12. 又p 和q 有且仅有一个为真命题.∴当p 真q 假时，0<a ≤12，当p 假q 真时，a >1. 综上得，a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪(1，＋∞).21.(13分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增，q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p 且q 假，p 或q 真，求实数a 的取值范围.解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2在[－2，＋∞)上单调递增，∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0， 解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R 得⎩⎨⎧a ≥0，Δ<0，即⎩⎨⎧a ≥0，（－a ）2－4a <0，解得0≤a <4， ∴q ：0≤a <4.∵p 且q 假，p 或q 真，∴p 与q 一真一假， ∴p 真q 假或p 假q 真， 即⎩⎨⎧a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4或⎩⎨⎧－1<a <2，0≤a <4， ∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2.∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，2)∪[4，＋∞).22.(13分)已知函数f (x )对一切实数x ，y 均有f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f (1)＝0. (1)求f (0)的值；(2)当f (x )＋2<log a x 对于x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立时，求a 的取值范围.解 (1)由已知等式f (x ＋y )－f (y )＝(x ＋2y ＋1)x ， 令x ＝1，y ＝0，得f (1)－f (0)＝2， 又因为f (1)＝0，所以f (0)＝－2. (2)由(1)知f (0)＝－2，所以f (x )＋2＝f (x )－f (0)＝f (x ＋0)－f (0) ＝(x ＋1)x . 因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以[f (x )＋2]∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34.要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，f (x )＋2<log a x 恒成立，显然当a >1时不成立， 所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≥34，解得344≤a <1. 所以a 的取值范围为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫344，1.。
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2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知命题："若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥"，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．命题“若A B ⊆，则A B =”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中， 真命题的个数是（ ） A ．0B ．2C ．3D ．43．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．已知p ：若a A ∈，则b B ∈，那么命题p ⌝是（ ） A ．若a A ∈，则b B ∉ B ．若a A ∉，则b B ∉ C ．若b B ∉，则a A ∉D ．若b B ∈，则a A ∈5．命题“p 且q ”与命题“p 或q ”都是假命题，则下列判断正确的是（ ） A ．命题“非p ”与“非q ”真假不同B ．命题“非p ”与“非q ”至多有一个是假命题C ．命题“非p ”与“q ”真假相同D ．命题“非p 且非q ”是真命题6．已知a ，b 为任意非零向量，有下列命题：①|a |＝|b |；②()()22=a b ；③()2⋅=a a b ，其中可以作为=a b 的必要非充分条件的命题是（ ） A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③7．已知A 和B 两个命题，如果A 是B 的充分不必要条件，那么“A ⌝”是“B ⌝”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若向量()(),3x x =∈R a ，则“4x =”是“5=a ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列全称命题中，正确的是（ ） A ．{},x y ∀∈锐角，sin sin s )n (i x y x y +>+ B ．{},x y ∀∈锐角，sin cos c )s (o x y x y +>+ C ．{},x y ∀∈锐角，cos sin c )s (o x y x y +<+ D ．{},x y ∀∈锐角，cos cos s )n (i x y x y -<+10．以下判断正确的是（ ）A ．命题“负数的平方是正数”不是全称命题B ．命题“x ∀∈Z ，32x x >”的否定是“x ∃∈Z ，32x x >”C ．“=2ϕπ”是“函数()sin y x ϕ=+为偶函数”的充要条件D ．“0b =”是“关于x 的二次函数()2f x ax bx c ++=是偶函数”的充要条件此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号11．已知命题p ：函数()log05()3f x x =-．的定义域为(－∞，3)；命题q ：若k <0，则函数()kh x x=在(0,)+∞上是减函数，对以上两个命题，下列结论中正确的是（ ）A ．命题“p 且q ”为真B ．命题“p 或q ⌝”为假C ．命题“p 或q ”为假D ．命题“p ⌝”且“q ⌝”为假12．已知向量),(x y =a ，co ()s ,sin αα=b ，其中x y α∈R ，，，若4=a b ， 则2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．λ>3或λ<－3 B ．λ>1或λ<－1 C ．－3<λ<3D ．－1<λ<1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．“对顶角相等”的否定为________，否命题为________．14．令()221:0p x ax x ++>，如果对x ∀∈R ，()p x 是真命题，则a 的取值范围是________．15．试写出一个能成为2()(0)21a a -->的必要不充分条件________． 16．给定下列结论：①已知命题p ：∃x ∈R ，t a n x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，210x x -+>．则命题“p q ⌝∧”是假命题；②已知直线1l ：ax ＋3y －1＝0，2l ：x ＋b y ＋1＝0，则12l l ⊥的充要条件是3ab=-；③若()1sin 2αβ+=，()1sin 3αβ-=，则t a nα＝5t a nβ； ④圆224210x y x y ++-+=与直线12y x =，所得弦长为2． 其中正确命题的序号为________(把你认为正确的命题序号都填上)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：∀非零向量a 、b 、c ，若()0⋅-=a b c ，则=b c ．写出其否定和否命题，并说明真假．18．(12分)给定两个命题P ：对任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；Q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根．如果P ∧Q 为假命题，P ∨Q 为真命题，求实数a 的取值范围．19．(12分)求证：一元二次方程()22100ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充分不必要条件是a <－1．20．(12分)已知p ：2290x x a -+<，q ：22430680x x x x ⎧-+<⎪⎨-+<⎪⎩，且p ⌝是q ⌝的充分条件，求实数a 的取值范围．21．(12分)给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1，2cos2x ＋2)和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP与OQ不垂直．”试判断该命题的真假并证明．22．(12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是33220a b ab a b++--=．2018-2019学年选修2-1第一章训练卷常用逻辑用语（一）答 案一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．【答案】B【解析】由题得原命题“若0x ≥，0y ≥，则0xy ≥”是真命题，所以其逆否命题也是真命题．逆命题为：“若0xy ≥，则0x ≥，0y ≥”，是假命题，所以否命题也是假命题，所以四个命题中，真命题的个数为2．故答案为B ． 2．【答案】B【解析】可设{}1,2A =，{}1,2,3B =，满足A B ⊆，但A B ≠，故原命题为假命题，从而逆否命题为假命题．易知否命题、逆命题为真． 3．【答案】C【解析】直线l 与平面α内两相交直线垂直⇔直线l 与平面α垂直，故选C ． 4．【答案】A【解析】命题“若p ，则q ”的否定形式是“若p ，则q ⌝”．故选A ． 5．【答案】D【解析】p 且q 是假命题⇒p 和q 中至少有一个为假，则非p 和非q 至少有一个是真命题．p 或q 是假命题⇒p 和q 都是假命题，则非p 和非q 都是真命题．故选D ． 6．【答案】D【解析】由向量的运算即可判断． 7．【答案】B【解析】由于“A ⇒B ，A /⇐B ”等价于“A B ⌝⌝⇐，A ⌝/⇒B ⌝”，故“A ⌝”是“B ⌝”的必要不充分条件．故选B ． 8．【答案】A【解析】由“4x =”，得)3(4,=a ，故5=a ；反之，由5=a ，得4x =±．所以“4x =”是“5=a ”的充分而不必要条件．故选A ． 9．【答案】D【解析】由于cos cos c (os sin sin )x y x y x y -+=，而当{},x y ∈锐角时，0cos 1y <<，0sin 1x <<，所以cos cos cos sin sin cos s (in )x y x y x y x y -<+=+，故选项D 正确．10．【答案】D【解析】A 为全称命题；B 中否定应为0x ∃∈Z ，3200x x ≤；C 中应为充分不必要条件．D 选项正确．11．【答案】D【解析】由题意知p 真，q 假．再进行判断． 12．【答案】B【解析】由已知1=b ，∴44==a b，4=．又∵()()cos sin 4sin 4x y αααϕαϕ⋅=++=+≤a b ，由于2λ⋅<a b 成立，则24λ>，解得λ>2或λ<－2，这是2λ⋅<a b 成立的充要条件，因此2λ⋅<a b 成立的一个必要不充分的条件是λ>1或λ<－1．故选B ．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）13．【答案】对顶角不相等 若两个角不是对顶角，则它们不相等【解析】“对顶角相等”的否定为“对顶角不相等”，否命题为“若两个角不是对顶角，则它们不相等”． 14．【答案】1a >【解析】由已知x ∀∈R ，2210ax x ++>恒成立．显然0a =不合题意， 所以0440a a ∆>⎧⎨=-<⎩⇒1a >．。