证明-最短路径问题
两点之间线段最短的证明
两点之间线段最短的证明当我们面对两个点之间的线段最短问题时，我们需要寻找一条路径，使得该路径的长度最小。
这个问题在数学中被广泛研究和应用，而下面我将给出一个简单而直观的证明。
假设我们有两个点A和B，它们的横坐标分别为x1和x2，纵坐标分别为y1和y2。
我们可以将这两个点的坐标表示为(A(x1, y1), B(x2, y2))。
现在，我们可以构造一条路径连接这两个点。
假设这条路径由若干个线段组成，每个线段的长度为d，路径的总长度为L。
我们的目标是找到一条路径，使得L最小。
我们可以使用勾股定理来计算每个线段的长度。
根据勾股定理，两点之间的线段长度可以表示为：d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)我们可以将路径的总长度表示为：L = d₁ + d₂ + ... + dn其中，d₁、d₂、...、dn分别为路径上的每个线段的长度。
现在，我们需要证明的是，在满足A和B的坐标不变的情况下，L 的值最小。
假设我们有另一条路径，它的长度为L'。
我们可以假设L'比L要小，即L' < L。
那么，根据路径的定义，我们可以得到：L' = d'₁ + d'₂ + ... + d'n我们可以注意到，对于任意的d'₁、d'₂、...、d'n的取值，我们都可以找到一个d₁、d₂、...、dn的取值，使得L < L'。
这是因为勾股定理中的平方根函数是一个递增函数，即当x < y时，√x < √y。
因此，我们可以得出结论：在满足A和B的坐标不变的情况下，L 的值最小。
我们证明了在两点之间，路径的长度最小。
这个结论在数学中是被广泛接受和应用的，它有助于我们在实际生活中解决各种问题，如最短路径规划、最优化问题等。
通过这个证明，我们更加深刻地理解了两点之间线段最短的原理和特性。
《最短路径问题》课件
E
M
CF
G B
N
H
随堂练习
某大学建立分校,本部与分校隔着两条平行的小河.如图,
小河甲的两岸为l1,l2,且l1//l2,小河乙的两岸为l3,l4,且l3//l4， A为本部大门,B为分校大门.为了方便两校区人员来往,
要在两条小河上各建一座桥,桥面垂直于河岸.为使A,B
两点间来往路径最短,试在图中画出
B′
AB′交直线l于点C，此时点C就是
所求作的点.
2.两线一点型问题. 如图，在直线l1和直线l2上分别找 到点M，N，使得△AMN的周长 最小.此时过点A分别作关于直线 l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2 分别交直线l1，l2于点M，N，则 点M，N即为所求.
A2 N
l2 A
M
l1
A1
3.两线两点型问题.
A A1
符合条件的路径,并标明桥的位置.
ll12
l3 B1 l4 B
课堂小结
最
短
A∙
路 径
造桥选址问题
M
问
A′
a b
题
N
∙B
《最短路径问题》
知识回顾
1.两点一线型.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找
一点C,使得AC+BC的值最小，此时点C就是线段AB与
直线l的交点.
A
C
பைடு நூலகம்
l
B
1.两点一线型.
如图，点A，B是直线l同侧的两
B
点，在直线l上找一点C使得
A
AC+BC的值最小，这时先作点B
l
C
关于直线l的对称点的B′，连接
即AM+NB+MN的值最小.
变分法证明球面上两点的最短路径
变分法证明球面上两点的最短路径本文将采用变分法证明球面上两点的最短路径。
为了方便，我们先介绍一些必要的定义和定理。
1. 定义：球面上的一个曲线可以看做是一组参数关于时间的函数，即$\vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$。
这个曲线的长度可以表示为：$$S=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{dx}{dt}^2+\frac{dy}{dt}^2+\frac{dz}{dt}^2}dt$$其中$t_1$和$t_2$表示曲线的起点和终点。
2. 定理：两个点之间最短曲线的长度等于这两个点之间的大圆弧长度。
假设我们要求球面上从点$A$到点$B$的最短路径$\vec{r}(t)$，其中$t$表示时间。
我们首先构造一个任意的曲线$\vec{p}(t)$，它连接点$A$和点$B$，并且与$\vec{r}(t)$在$t=t_1$和$t=t_2$时相交，如下图所示：我们将$\vec{p}(t)$的长度表示为：同时，我们按照下列步骤对$\vec{p}(t)$进行优化：1. 将$\vec{p}(t)$变形为$\vec{p}(t)+\epsilon\vec{\eta}(t)$，其中$\epsilon$是一个趋近于0的小值，$\vec{\eta}(t)$是任意的可微向量函数。
这样，我们就得到了另一条曲线$\vec{p}'(t)$，如下图所示：$$S=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{dx'}{dt}^2+\frac{dy'}{dt}^2+\frac{dz'}{dt}^2}d t=\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{\frac{dx}{dt}^2+\frac{dy}{dt}^2+\frac{dz}{dt}^2+2\epsi lon(\frac{d\vec{\eta}}{dt}\cdot\frac{d\vec{p}}{dt})+(\epsilon\frac{d\vec{\eta} }{dt})^2}dt$$3. 将上述式子展开，只保留一阶项，得到：4. 根据定义，我们可以将$\vec{\eta}(t)$的表达式写成一组傅里叶级数：$$\vec{\eta}(t)=\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\vec{X}_n+b_n\vec{Y}_n+c_n\vec{Z}_n)$$其中$\vec{X}_n$、$\vec{Y}_n$和$\vec{Z}_n$分别是球面上的一组正交基，满足：$a_n$、$b_n$和$c_n$是常数。
最短路径问题例题与讲解
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
17.1勾股定理的应用最短路径问题(教案)
在今天的教学中，我重点关注了勾股定理在实际问题中的应用，尤其是最短路径问题的求解。通过这节课的教学，我发现以下几点值得反思：
1.学生对勾股定理的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对勾股定理的理解还不够深入，导致在实际问题中不知如何运用。针对这个问题，我需要在今后的教学中加强对勾股定理原理的讲解，让学生真正理解并掌握这个定理。
4.学生参与度。在课堂教学中，我注意到部分学生的参与度不高，可能是因为他们对课程内容不感兴趣或跟不上教学进度。为了提高学生的参与度，我需要关注每一个学生，及时了解他们的需求和困惑，调整教学节奏和策略。
5.课堂氛围的营造。在今天的教学中，课堂氛围较为活跃，学生们积极讨论、互动。我认为这是一个好的现象，说明学生们对课程内容感兴趣。在今后的教学中，我需要继续保持这种氛围，让学生在轻松愉快的氛围中学习。
17.1勾股定理的应用最短路径问题（教案）
一、教学内容
本节课选自教材第十七章第一节，主要围绕勾股定理的应用——最短路径问题展开。内容包括：
1.勾股定理的复习与巩固：引导学生回顾勾股定理的内容及其证明，理解直角三角形边长之间的数量关系。
2.最短路径问题引入：通过实际生活中的例子（如城市规划、园林设计等），引出最短路径问题，激发学生兴趣。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。它是解决最短路径问题的关键工具，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何利用勾股定理在实际中找到两点之间的最短路径，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的运用和最短路径问题的求解方法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
13.4课题学习 最短路径问题
作法：作点B关于直线 a 的对称点C,连接AC交直线a于点D，则点D为建抽 水站的位置。
证明：在直线 a 上另外任取一点E，连接AE，CE，BE，BD。
∵点B，C关于直线 a 对称,
点D，E在直线 a上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC,
A
·
B·
a
AE+EB=AE+EC
在△ACE中，AE+EC＞AC,
M
C
∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN
ND E
所以桥的位置建在CD处，A、B两地的路程最短。
B
2. 如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便 灌溉作物， 要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地 问该站建在河边什么地方， 可使所修的渠道最短，试在图 中确定该点。
谢谢பைடு நூலகம்赏
You made my day!
我们，还在路上……
即 AE+EC＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D处
D E
C
再见！
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
13.4 课题学习-最短路径问题人教版数学八年级上册同步课堂教案
第十三章轴对称13.4 课题学习最短路径问题一、教学目标1.能利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为数学问题的思想．二、教学重难点重点：利用轴对称、平移等变换解决简单的最短路径问题.难点：体会图形的变化在解决最值问题中的作用．三、教学过程【新课导入】[复习导入]1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？你的依据是什么？(②最短，依据“两点之间，线段最短”)2.如图，P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？你的依据是什么？(PC 最短，依据“垂线段最短”)3.如图，直线l是线段AB的对称轴，C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？你的依据是什么？(AC=BC.依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”.)4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？(作法：（1）过点A作直线l的垂线，垂足为O；（2）在垂线上截取OA′=OA.点A′就是点A关于直线l的对称点.可简记为：作垂线；取等长)教师带领学生复习与最短路径相关的知识，为本节课的学习做准备.【新知探究】知识点1牧人饮马问题[提出问题]引例如图，若点A，B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？这里强调一下两点的位置：直线l异侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画过程：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现第3条线段很明显是最短的.依据是“两点之间，线段最短”.[提出问题]根据这个依据，你可以得到作法吗？[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：连接AB,与直线l相交于一点C.点C即为所求作的点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题1 如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？[提出问题]这是一个实际问题，那么我们怎样把它转化成数学问题呢？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地看成点，把笔直的河边看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：那么该实际问题就转化为这样的数学问题：如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找到一个点C，使得AC+CB的最小？这里注意强调点A，B的位置：是直线l同侧的两个点.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出两幅图中，A，B两点的位置有什么不同吗？（同侧、异侧）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把点B“移”到l 的另一侧B′处，同时对于直线l 上的任一点C，都保持CB 与CB′的长度相等，就能把这个“同侧”的问题转化为“异侧”的问题. 那么怎么找到B′呢？（作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质，可以得到CB′=CB.）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：此时，问题就转化为:当点C在l的什么位置时，AC+CB′最小.[学生回答]很明显，连接AB′，与l的交点即为点C.[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′;连接AB′,交直线l于点C.点C即为所求作的点.[提出问题]怎样证明点C的位置即为所求？在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC+CB＜AC′+C′B.[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，A、C、B在一条直线上.学生思考完毕，教师点名学生说出自己的答案，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下证明过程：证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC =B′C，BC′=B′C′．∴AC +BC=AC +B′C=AB′，∴AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC +BC＜AC′+BC′．即AC +BC 最短．[归纳总结]利用”牧人饮马“模型解决最值问题的应符合的条件：（1）定直线l；（2）两定点A，B，且两定点在直线l的同侧;（3）所求作的动点C在直线l 上.解决”牧人饮马“问题的步骤：（1）找：由轴对称的性质，作其中一个定点（如B）关于直线l 的对称点（B′）；（2）连：连接另外一个定点（A)与对称点（B′）；（3）交：连线与直线l 的交点（C′）所在的位置即为所求作的点（C）.[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5，F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定教师根据“牧人饮马”模型解决最值问题的应符合的条件，在图中依次找到定直线、两定点、一动点.【解析】∵△ABC为等边三角形，D是BC边的中点，∴点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.思考：作点E关于AD的对称点可以吗？为什么不选择这个方法？知识点2造桥选址问题[课件展示]教师利用多媒体展示如下问题1：问题2 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）[提出问题]这是一个实际问题，我们同样需要把它转化成数学问题来解决.经过了刚才我们对问题1的转化，你能将这个实际问题转化为数学问题吗？[小组讨论]学生分组讨论，教师引导学生可分别把A地、B地和造桥的起始两个位置看成点，把河岸看成直线，再用数学语言描述一下问题.学生讨论完毕，教师点名每组代表回答，教师纠错.[课件展示]教师利用多媒体展示如下转化过程：问题转化一：该实际问题就转化为这样的数学问题：N 为直线b 上一点，且NM ⊥直线a 于点M ，当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]你找到的是哪个点？[学生回答]学生观察后，发现很难找到点的位置.此时，教师引导学生发现，桥的长度是不变的，进而可得到：问题转化二：由于河岸的宽度MN 是固定的，这样问题就转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小.[课件展示]教师利用多媒体展示如下两幅对比图：[提出问题]你能找出这两幅图有什么不同吗？（两条直线、一条直线）[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：[提出问题]我们分析，如果我们能把两条直线转化成一条直线，就能把这个问题转化成“引例”的问题了.[课件展示]教师利用多媒体展示如下动画：转化成了引例中的模型该折线即为最短路径[课件展示]教师利用多媒体展示如下作图过程：作法：（1）平移点A到点A′，使AA′等于河宽;（2）连接A′B,A′B与直线b的交点，即为所求作的点N；（3）过点N作NM⊥直线a于点M.点M和点N的位置即为造桥的位置.[提出问题]怎样证明造桥位置的正确性呢？在直线b上另外任取一点N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB ＜AM′+M′N′+N′B.你能完成这个证明吗？[学生思考]给学生思考时间，教师提示，蓝色的两条线段相等，绿色的两条线段相等，黄色的两条线段相等，A′、N、B在一条直线上.学生思考完毕，将解题过程写在练习本上，教师巡视，帮助有困难的学生，之后教师点名学生说出自己的答案，并纠错.[归纳总结]解决”造桥选址“问题的步骤：（1）一移；（2）二连；（3）三交；（4）四垂直.在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把未知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.【课堂小结】【课堂训练】1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ D ）A.转化思想B.三角形两边之和大于第三边C.两点之间，线段最短D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角2.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）3.(2021•天津二模)如图所示的平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,2),点B的坐标为(1，-3),在y轴上有一点P，使PA+PB的值最小，则点P的坐标为( D )A. (2,0) B . (-2,0) C. (0,2) D. (0，-2)【解析】如图，作B点关于y轴的对称点B',连接AB',交y轴于一点，该点即为所求的点P.过点A作x轴的垂线，交B'B的延长线于点C，则∠C=90°，设BB'交y轴于点D,则OD=|-3|=3.∵点B坐标为(1，-3) ,∴B'(-1 ,-3 ) .∵易得B'C=1+4=5,AC=2=3=5 ,∴B'C=AC.∴∠B'=45°.∴PD=B'D=1.∴OP=2 ,∴P (0,-2 ).故选D.4.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是1000米.【解析】延长AC至点A′，使得A′C=AC，连接A′B交CD于点E，连接AE，则E即为所求的点.易得A′C=AC=BD，又AC⊥CD，BD⊥CD，∠A′EC=∠BED.∴△A′CE≌△BDE（AAS），则E是CD 的中点，∴AE=500，所以AE+BE=500+500=1000.5．（2021•江西模拟）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，面积是40，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F．若D为BC边的中点，M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为 13 ．【解析】如图，连接AD，AM．∵△ABC是等腰三角形，D是BC边的中点，BC=10，∴CD=5，AD⊥BC，∴S△ABC＝BC•AD＝×10×AD＝40，解得AD＝8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴MA＝MC，∵MC+MD＝MA+MD≥AD，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长的最小值＝AD+CD＝8+5＝13．故答案为13．6.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.方法一：解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.方法二：解：如图，作点D关于AB的对称点D′，连接CD′，同样交AB于点E的位置，则点E即为所求.7.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？解：（1）作AF⊥CD,且AF=河宽；（2）作BG⊥CE，且BG=河宽；（3）连接GF,与河岸相交于E ′,D ′；（4）作DD′,EE′即为桥.8.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点．（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点．（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点．【变式】（2021•吉安模拟）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，BC＞AB，DE ＞AE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为 120° ．【解析】如图，作A点关于BC的对称点A'，关于ED的对称点A''，连接A'A''，A'A''与BC的交点即为所求的点M，A'A''与ED的交点即为所求的点N，∵∠B＝∠E＝90°，∴A、B、A'共线，A、E、A''共线，∴∠A'＝∠A'AM，∠A''＝∠NAE，∴∠A'AM+∠NAE＝∠A''+∠A'＝180°﹣∠BAE=180°﹣120°＝∠60°，∴∠AMN+∠ANM＝180°﹣∠MAN＝180°﹣（120°﹣∠A'AM﹣∠NAE）＝120°，故答案为120°．【教学反思】本节课我通过引例（两点在直线的异侧）,让学生认识到找最短路径的根本是通过"两点之间,线段最短”找出解决问题的途径,接下来通过"牧人饮马”让学生带着兴趣进入教学。
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。
这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。
理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。
教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。
考的较多的还是“饮马问题”。
知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
“饮马问题”，“造桥选址问题”。
考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。
一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。
解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
（根据：两点之间线段最短.）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点．三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。
最短路径(将军饮马造桥选址)
M N P Q
G
H
B
问题解决 A
A1
沿垂直于河岸方向依次把A点平 A 2 移至A１、A２、A3，使AA１ A3 ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
M N
P Q
G H
B
问题解决
沿垂直于河岸方向依次把A点平 移至A１、A２、A3，使AA１ ＝MN，A１A２ ＝PQ，A2A3 =GH ； 连接A3B交于B点相邻河岸于H 点，建桥GH； 连接A2G交第二河与G对岸的P 点，建桥PQ； 连接A1P交第一条河与A的对岸 于N点，建桥MN. 此时从A到B点路径最短.
B
Ｑ＋ＱＢ．
思维方法二
沿垂直于第一条河岸方
A
向平移Ａ点至Ａ１ 点，沿 A1
垂直于第二条河岸方向平移
Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1
M
分别交A、B的对岸于N、P 两点，建桥MN和PQ.
N P
最短路径 AM+MN+NP+PQ+QB转化为
AA1+A1B1+BB1.
Q B
思维方法三
沿垂直于河岸方向依次把 B点平移至B１、B２，使 BB１＝PQ，B１B２ ＝MN ； 连接B２A交于A点相邻河 岸于M点，建桥MN； 连接B１N交B１的对岸于 P点，建桥PQ； 从Ａ点到Ｂ点的最短路径 为ＡM＋MN＋NP＋ＭＮ ＋ＮＰ＋ＰＱ＋ＱＢ转化 为AB2+B2B1+B1B．
13.4--课题学习--最短路径问题
知识点 2 运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题
问题1 牧人饮马问题 相传，古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，
名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一 个百思不得其解的问题：
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马， 然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走 的路径最短？
B
A
l
C
B
两点之间，线段最短.
分析：
B
A
A
C
l
l
C
B
（1）这两个问题之间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把左图A、B两点转化到直线l 的异侧呢？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B A
l
C
B′
1. 最短路径问题的类型： (1)两点一线型的线段和最小值问题； (2)两线一点型线段和最小值问题； (3)两点两线型的线段和最小值问题； (4)造桥选址问题．
2. 解决最短路径问题的方法：借助轴对称或平移的知 识，化折为直，利用“两点之间，线段最短”或 “垂线段最短”来求线段和的最小值．
B A
l
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
分析：
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与BC的和最小？
联想：
如图，点A、B分别是直线l异侧的两个点， 如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点A、点B 的距离的和最短？