广东省梅州市皇华中学2013届高三上学期第二次质检数学理试题
广东省梅州市2013届高三数学总复习质检试题 理(含解析)新人教A版
广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题一、选择题（40分）1．（5分）（2013•梅州一模）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分母变成一个实数，分子进行复数的乘法运算，整理成复数的标准形式，写出对应点的坐标，看出所在的象限．解答：解：∵复数===，∴复数对应的点的坐标是（，）∴复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A．点评：本题考查复数的实部和虚部的符号，是一个概念题，在解题时用到复数的加减乘除运算，是一个比较好的选择或填空题，可能出现在高考题的前几个题目中．2．（5分）（2013•梅州一模）设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}，集合B=（﹣2，2），则A∩B为（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，3）D．（﹣2，2）考点：交集及其运算．分析：先将A化简，再求A∩B．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0，x∈R}=（﹣1，3）∵B={﹣2，2}，∴A∩B=（﹣1，2）故选：A．点评：集合的运算经常考查，本题主要是考查交集的运算，可以借助数轴来帮助解决．3．（5分）（2013•梅州一模）下列函数中，在（0，+∞）上单调递增的偶函数是（）D．y=e x+e﹣xA．y=cosx B．y=x3C．y=考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据基本初等函数的单调性及单调性，逐一分析答案四个函数在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，逐一比照后可得答案．解答：解：y=cosx是偶函数，但在（0，+∞）上有增有减，故排除A；y=x3在（0，+∞）上单调递增，但为奇函数，故排除B；y=y=是偶函数，但在（0，+∞）上单调递减，故排除C；y=e x+e﹣x是偶函数，由于y′=e x﹣e﹣x，在（0，+∞）上，y′＞0，故其在（0，+∞）上单调递增的；正确．故选D．点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性与单调性的综合，熟练掌握各种基本初等函数的单调性和奇偶性是解答的关键．4．（5分）（2013•梅州一模）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是3，则a=（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：先由三视图画出几何体的直观图，理清其中的线面关系和数量关系，再由柱体的体积计算公式代入数据计算即可．解答：解：由三视图可知此几何体为一个三棱柱，其直观图如图：底面三角形ABC为底边AB边长为2的三角形，AB边上的高为AM=a，侧棱AD⊥底面ABC，AD=3，∴三棱柱ABC﹣DEF的体积V=S△ABC×AD=×2×a×3=3，∴a=．故选C．点评：本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力5．（5分）（2010•浙江）某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？考点：程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．解答：解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：K S 是否继续循环循环前 1 1/第一圈 2 4 是第二圈 3 11 是第三圈 4 26 是第四圈 5 57 否故退出循环的条件应为k＞4故答案选A．点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6．（5分）（2013•梅州一模）把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．分析：先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案．解答：解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数；再将图象向右平移个单位，得函数，是其图象的一条对称轴方程．故选A．点评：本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值．7．（5分）（2013•梅州一模）如图所示2X2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字可以是1、2、3、4中的任何一个，允许重复，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．分析：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43种，对于A、B两个方格，由于其大小有序，则可以在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，由组合数公式计算可得其填法数目，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，由分步计数原理可得其填法数目，最后由分步计数原理，计算可得填入A方格的数字大于B方格的数字的填法种数，利用古典概型的概率计算公式求概率．解答：解：根据题意，在图中的四个方格中填入数字的方法种数共有43=256种，对于A、B两个方格，可在l、2、3、4中的任选2个，大的放进A方格，小的放进B方格，有C42=6种情况，对于另外两个方格，每个方格有4种情况，则共有4×4=16种情况，则填入A方格的数字大于B方格的数字的不同的填法共有16×6=96种，则填入A方格的数字大于B方格的数字的概率为p=．故选D．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式，考查排列、组合的运用，注意题意中数字可以重复的条件，这是易错点，此题是基础题，也是易错题．8．（5分）（2013•梅州一模）若不等式x2+2xy≤a（x2+y2）对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为（）A．2B．C．D．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；压轴题；不等式的解法及应用．分析：x2+2xy≤a（x2+y2）⇔2xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔（a﹣1）﹣2×+a≥0对于一切正数x，y恒成立，依题意，令f（t）=（a﹣1）t2﹣2t+a，列不等式组，解之即可得答案．解答：解：∵x＞0，y＞0，∴x2+2xy≤a（x2+y2））⇔2xy≤（a﹣1）x2+ay2⇔（a﹣1）﹣2×+a≥0，令t=（t＞0），f（t）=（a﹣1）t2﹣2t+a，依题意，即，解得a≥．∴实数a的最小值为．故选D．点评：本题考查函数恒成立问题，考查转化与构造函数思想，考查解不等式组的能力，属于难题．二、填空题（30分）9．（5分）（2013•梅州一模）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；压轴题．分析：由a＞b＞0，∴，从而判断渐近线的倾斜角为，得到，再根据c2=a2+b2，得到离心率．解答：解：∵a＞b＞0，∴，因为两条渐近线的夹角为，所以，渐近线的倾斜角为，即，∴，∴．故答案为：．点评：本题考查双曲线的性质及其应用，解题的关键是由渐近线的夹角求出a．10．（5分）（2013•梅州一模）在2012年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：价格x 9 905 M 10.5 11销售量y 11 N 8 6 5由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是：，且m+n=20，则其中的n= 10 ．考点：线性回归方程．专题：应用题．分析：先求出横标和纵标的平均数，把所求的平均数代入方程中，得出m，n的关系式，题目中给出m+n=20，只要代入求解即可得到结果．解答：解：=（9+9.5+m+10.5+11）=（40+m），=（11+n+8+6+5）=（30+n）∵其线性回归直线方程是：，∴（30+n）=﹣3.2×（40+m）+40，即30+n=﹣3.2（40+m）+200，又m+n=20，解得m=n=10故答案为：10．点评：本题考查线性回归方程的应用，是一个运算量比较小的问题，解题时注意平均数的运算不要出错，注意系数的求法，运算时要细心，不然会前功尽弃．11．（5分）（2013•梅州一模）展开式中的常数项为﹣372 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：通过二项展开式的通项公式求出展开式的通项，利用x的指数为0，求出展开式中常数项解答：解：展开式中的常数项为T r+1==2r×（﹣1）r 9﹣3r=0可得r=3此时常数项为×（﹣1）=﹣372故答案为：﹣372点评：本题是基础题，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．考查计算能力．12．（5分）（2013•梅州一模）设x，y满足，则z=x+y﹣3的最小值为﹣1 ．考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分，再将目标函数z=x+y﹣3对应的直线进行平移，可得当x=2且y=0时，目标函数z取得最小值﹣1．解答：解：作出不等式组中相应的三条直线对应的图象，如图所示可得点A（2，0）是直线2x+y=4与x﹣2y=2的交点，点B（0，﹣1）是直线x﹣y=1与x﹣2y=2的交点，点C（，）直线2x+y=4与x﹣y=1的交点，不等式组表示的平面区域是位于直线BC的下方、AC的右方，且位于直线AB上方的区域设z=F（x，y）=x+y﹣3，将直线l：z=x+y﹣3进行平移，可得当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（2，0）=2+0﹣3=﹣1故答案为：﹣1点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+y﹣3的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．13．（5分）（2013•梅州一模）设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+l）≥f（x），则称f（x）为M上的l高调函数．如果定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，且f（x）为R上的8高调函数，那么实数a的取值范围是．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：新定义．分析：定义域为R的函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）=|x﹣a2|﹣a2，画出函数f（x）的图象，可得8≥3a2﹣（﹣a2），从而可得结论．解答：解：当x≥a2时f（x）=x﹣2a2，当0≤x＜a2时f（x）=﹣x，再根据奇函数图象关于原点对称可作出f（x）的图象，如下图所示：由f（x）为R上的8高调函数，知f（x+8）≥f（x）恒成立，由图象得8≥3a2﹣（﹣a2），即a2≤2，解得﹣a≤．点评：本题考查基本初等函数的性质，考查学生的阅读能力，应用知识分析解决问题的能力，考查数形结合的能力，是一个新定义问题，注意对于条件中所给的一个新的概念，要注意理解．14．（5分）（2013•梅州一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线=3的距离的最小值是 1 ．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离减去半径即得所求．解答：解：圆ρ=2 即x2+y2=4，圆心为（0，0），半径等于2．直线=3即ρsinθ+ρcosθ=6 即y+x﹣6=0，圆心到直线的距离等于=3，故圆上的点到直线的距离的最小值为 3﹣2=1，故答案为 1．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．15．（2013•梅州一模）（几何证明选讲选做题）如图⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，且∠CPA=30°，则BP= 3 cm．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的性质定理的证明．专题：直线与圆．分析：利用切线的性质可得OC⊥PC．利用直角三角形的边角关系可得，进而即可得出．解答：解：连接OC，∵CP与⊙O相切于点C，∴OC⊥CP．∵OC=3，∠CPA=30°，∴==6．∴BP=OP﹣OB=6﹣3=3．故答案为3．点评：熟练掌握圆的切线的性质和直角三角形的边角关系是解题的关键．三、解答题（80分）（2013•梅州一模）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．16．（12分）（1）求角C（2）若向量与共线，且c=3，求a、b的值．考点：两角和与差的正弦函数；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）利用三角函数的倍角公式和两角和的正弦公式即可得出；（2）利用向量共线定理、正弦定理及余弦定理即可得出．解答：解：（1）∵，∴，化为，∴，∵C∈（0，π），∴，∴，解得C=．（2）∵向量与共线，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理得，∴b=2a．由余弦定理得c2=a2+b2﹣2absinC，∴，化为a2+b2﹣ab=9．联立，解得．点评：熟练掌握三角函数的倍角公式、两角和的正弦公式、向量共线定理、正弦定理及余弦定理是解题的关键．17．（12分）（2013•梅州一模）某工厂在试验阶段大量生产一种零件，这种零件有甲、乙两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，为估计各项技术的达标概率，现从中抽取1000个零件进行检验，发现两项技术指标都达标的有600个，而甲项技术指标不达标的有250个．（1）求一个零件经过检测不为合格品的概率及乙项技术指标达标的概率；（2）任意抽取该零件3个，求至少有一个合格品的概率；（3）任意抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，求随机变量ξ的分布列．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）记一个零件中甲项技术达标的事件为A，乙项技术达标的事件为B，求出两项技术都达标的概率为P（AB），及甲项技术不达标的概率P（），然后可求一个零件经过检测不合格的概率为1﹣P （AB），进而由P（B）=（2）任意抽取该种零件3个，至少有一个合格品的对立事件是都不合格，利用对立事件的概率可求（3）先判断随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，然后求出各取值下的概率，即可求解分布列解答：解：（1）记一个零件中甲项技术达标的事件为A，乙项技术达标的事件为B由题意可得，两项技术都达标的概率为P（AB）=甲项技术不达标的概率P（）==因此一个零件经过检测不合格的概率为1﹣P（AB）=1﹣=由独立性可知，P（AB）=P（A）P（B）∴P（B）===即乙项技术指标达标的概率为（2）任意抽取该种零件3个，至少有一个合格品的概率1﹣=（3）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4P（ξ=0）==P（ξ=1）==P（ξ=2）==P（ξ=3）==P（ξ=4）==∴ξ的分布列为点评：本题主要考查了离散型随机变量的分布列的求解，解题的关键是利用相互对立事件的概率公式及对立事件的概率的求解．18．（14分）（2013•梅州一模）已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E，F分别是AB、PD的中点．（1）求证：AF∥平面PEC；（2）求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；（3）求点B到平面PEC的距离．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由题意可知AP，AB，AD三边所在直线两两互相垂直，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出图中点的坐标，取PC中点M，求出向量与的坐标，由坐标可知向量与平行，从而得到AF∥EM，由线面平行的判定得结论；（2）求出两个平面PEC和ECD的法向量，利用法向量所成角的余弦值求二面角P﹣EC﹣D的余弦值；（3）在平面PEC内任取一点E，和B连线后得一向量，由公式求点B到平面PEC的距离．解答：（1）证明：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，所以以A为原点，如图建立直角坐标系．则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），E（1，0，0），F（），P（0，0，1）．取PC的中点M，连结ME．则M（），，．故，即AF∥EM，又EM⊂平面PEC，AF⊄平面PEC，所以AF∥平面PEC；（2）设平面PEC的法向量为，，则，可得，令z=﹣1，得y=1，x=﹣1．则，取平面ABCD的一个法向量为．=．所以二面角P﹣EC﹣D的余弦值等于；（3），平面PEC的法向量，所以点B到平面PEC的距离d=．点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了二面角的平面角及其求法，考查了点到面的距离，利用空间向量进行证明和计算能够使问题变得简单化，但关键是掌握向量的用法．理解其中的算理．此题是中档题．19．（14分）（2013•梅州一模）已知F1，F2分别是椭圆C：的上、下焦点，其中F1也是抛物线C1：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且．（1）求椭圆C1的方程；（2）已知A（b，0），B（0，a），直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆C1相交于点E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线的标准方程即可得出焦点坐标，再利用抛物线的定义和点M在抛物线上即可得到点M的坐标；利用点M在椭圆C1上满足椭圆的方程和c2=a2﹣b2即可得到椭圆的方程；（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，由点F满足，及，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF==，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）由抛物线C1：x2=4y的焦点，得焦点F1（1，0）．设M（x0，y0）（x0＜0），由点M在抛物线上，∴，，解得，．而点M在椭圆C1上，∴，化为，联立，解得，故椭圆的方程为．（2）由（1）可知：|AO|=，|BO|=2．设E（x1，y1），F（x2，y2），其中x1＜x2，把y=kx代人，可得，x2＞0，y2=﹣y1＞0，且．，，故四边形AEBF的面积S=S△BEF+S△AEF===≤=．当且仅当时上式取等号．∴四边形AEBF面积的最大值为．点评：本题综合考查了椭圆抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、四边形的面积转化为三角形的面积计算、基本不等式的性质等基础知识与方法，需要较强的推理能力和计算能力．20．（14分）（2013•梅州一模）已知函数．（Ⅰ）当a=1时，∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题．分析：（I）将a的值代入f（x），求出f（x）的导函数；，将∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m转化为f （x）的最小值小于等于m，利用[1，e]上的函数递增，求出f（x）的最小值，令最小值小于等于m 即可．（II）将图象的位置关系转化为不等式恒成立；通过构造函数，对新函数求导，对导函数的根与区间的关系进行讨论，求出新函数的最值，求出a的范围．解答：解：（I）当a=1时，，可知当x∈[1，e]时f（x）为增函数，最小值为，要使∃x0∈[1，e]使不等式f（x0）≤m，即f（x）的最小值小于等于m，故实数m的取值范围是（2）已知函数．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即恒成立．设．即g（x）的最大值小于0.（1）当时，，∴为减函数．∴g（1）=﹣a﹣≤0∴a≥﹣∴（2）a≥1时，．为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当时，g（x）在上为减函数，在上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意．综上．实数a的取值范围是．点评：解决不等式恒成立及不等式有解问题一般都转化为函数的最值问题，通过导数求函数的最值，进一步求出参数的范围．21．（14分）（2013•梅州一模）已知函数，数列{a n}满足a1=3a，a n+1=f（a n），设，数列{b n}的前n项和为T n．（1）求b1，b2的值；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）求证：．考点：数列的求和；数列的函数特性；等比数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）依题意，f（x）=，a1=3a，a n+1=f（a n），可求得a2，又b n=，从而可求得b1，b2的值；（2）由a n+1=，b n=，可求得b n+1=，结合（1）中求得的b1，b2可知{lgb n}是以2为公比，首项为﹣lg2的等比数列，从而可求数列{b n}的通项公式；（3）由（2）得T n=+++…+，易证当n≤3时，T n＜；当n＞3时，利用二项式性质2n﹣1=（1+1）n﹣1＞1++＞1+（n﹣1）+1=n+1，亦可证得T n＜．解答：解：（1）∵f（x）=（a＞0），a1=3a，a n+1=f（a n），∴a2=f（a1）==a．由b n=得b1=，b2=…2分（2）∵a n+1=，b n=，∴b n+1====…4分又b1=，故对一切正整数n，都有b n＞0，∴lgb n+1=2lgb n，又lgb1=lg=﹣lg2≠0，∴{lgb n}是以2为公比，首项为﹣lg2的等比数列．故lgb n=（﹣lg2）×2n﹣1=lg…6分∴b n=…7分（3）由（2）得T n=+++…+，当n≤3时，T n≤++=＜；…8分当n＞3时，T n=+++…+=+[++…+]，…9分又当n＞3时，2n﹣1=（1+1）n﹣1＞1++＞1+（n﹣1）+1=n+1，…10分∴T n＜+[++…+]=+=+[1﹣]＜+=…13分综上，T n＜…14分点评：本题考查数列的求和，突出考查数列的函数特性，考查等比数列的确定及通项公式与求和公式的综合应用，考查二项式定理，属于难题．。
广东省梅州市高三年级总复习(二模)理科数学试卷Word版含答案
梅州市高三总复习质检试卷（2018.5）理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.全集U R =，{}|01A x x =<<，{}2|40B x x x =->，则()U AB =ð（ ）A ．(0,4]B ．[]0,4C ．(0,1)D ．(,4]-∞2.在复平面内，复数z 满足(1)|1|z i +=，则z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是（ ）A ．cos y x =B ．y =C ．||2x y =D ．|lg |y x =4.若中心在原点，焦点在y ）A ．y x =±B ．12y x =±C ．y =D ．2y x =±5.公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接正多边形的边数无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n 1.732≈，sin150.258︒≈，sin 7.50.1305︒≈）（ ）A ．12B ．24C ．48D ．966.下列选项中，说法正确的是（ ）A ．若随机变量η满足(1)5E η-=，(1)5D η-=，则()5E η=-，()5D η=B ．向量(2,2)a m =，(,21)b m m =-共线的充要条件是0m =C ．命题“*n N ∀∈，13(2)2n n n ->+⋅”的否定是“0*n N ∃∈，00103(2)2n n n -<+⋅”D ．已知函数()f x 在区间[],a b 上的图象是连续的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题7.若110a b>>，有下列四个不等式：①33a b <；②21log 3log 3a b ++>；④3322a b ab +>，则下列组合中全部正确的为（ ） A ．①②B ．①③C ．①④D ．②③8.甲、乙两人在同一天上午8时至10时随机到达养老院为老人服务，并且工作1小时后离开，则两人在养老院相遇的概率为（ ） A ．34B ．13C ．78D ．359.四棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．815πB ．8120πC ．1015πD ．10120π10.已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--++在[]1,3-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A ．4B ．2C ．1D ．011.过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 作平面α，使棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，则这样的平面可以作（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12.已知函数1()(21)cos 2(sin cos )2f x a x x a x x =---+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1(,]3-∞B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,)+∞D ．[1,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知角A ，B ，C 成等差数列，75A =︒，b =a 的长为 ．14.记不等式组10,330,10,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域为D ，若对任意00(,)x y D ∈，不等式0020x y c -+≤恒成立，则c 的取值范围是 ．15.某校开设10门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是 ．（用数字作答） 16.已知抛物线C ：22(0)y px p =>，过抛物线焦点F 的弦的中点到准线的最小距离是4，设11(,)A x y ，22(,)B x y 是抛物线C上的两个动点，若12||4)2AB x x =++，则AFB ∠的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.若数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-，*n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a -=（*n N ∈），求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．18.某学校共有1500名学生，为调查该校学生每周使用手机上网时间的情况，采用分层抽样的方法，收集100名学生每周上网时间的样本数据（单位：小时）．根据这100个样本数据，得到学生每周上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[]0,2，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]．（1）估计该校学生每周平均使用手机上网时间（每组数据以组中值为代表）； （2）估计该校学生每周使用手机上网时间超过4个小时的概率；（3）将每周使用手机上网时间在(4,12]内的定义为“长时间使用手机上网”；每周使用手机上网时间在(0,4]内的定义为“不长时间使用手机上网”．在样本数据中，有25名学生不近视．请完成每周使用手机上网的时间与近视程度的22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周使用手机上网时间与近视程度有关”．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19.如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，AD FC ⊥，点M 是棱FC 的中点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（1）求证：MN ⊥平面CDEF ；（2）当CD EA ⊥，2EF ED ==，4CD AD ==时，求直线DM 与平面ABEF 所成角的正弦值．20.已知以1(1,0)F -，2(1,0)F 为焦点的椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点3(1,)2-，点(2,0)D a ．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知不与x 轴平行且过点D 的直线与椭圆C 交于E ，F 两点，椭圆C 的左，右顶点分别为1A ，2A ，试探究直线1A E ，2A F 的交点是否在一条定直线上？若是，证明你的结论，并求出定直线的方程；若不是，说明理由．21.已知函数2()(ln 1)f x ax x x =--（a R ∈）恰有两个极值点1x ，2x ，且12x x <． （1）求实数a 的取值范围；（2）若不等式12ln ln 1x x λλ+>+恒成立，求实数λ的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）已知圆C 与x 轴相交于A ，B 两点，直线l ：2y x =关于点(0,)M m 的对称直线为'l ，若'l 上存在点P 使得90APB ∠=︒，求m 的最大值． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|1||2|f x x x =+--． （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．。
【VIP专享】广东省梅州市高三总复习质检试题(梅州二模2013.5)
梅州市高三总复习质检试题(2013.5)英语本试卷分选择题和非选择题两部分，共页，满分135分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。
用2B铅笔将答题卡试卷类型填涂在答题卡上。
在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分：语言知识及运用（共两节，满分45分）第一节完形填空（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下面短文，掌握其大意，然后从1～15各题所给的A、B、C和D项中，选出最佳选项，并在答题卡上将该项涂黑。
High school students in Asia often do better than American students on international math and science tests. Experts say 1 is because schools in countries like China and South Korea do better at preparing students to take tests. Yet some of these 2 countries want to learn what makes American students good at 3 and critical thinking.Evan Glazer, the principal of Thomas Jefferson High School in America, says the school 4 science and math with literature and other liberal arts.EVAN GLAZER: “Curriculum, when it’s seen within one 5 context, you’re really just 6 knowledge and skills. But if you want to look at the complexity of real problems and 7 solutions, it requires people to come at them from different 8. And so we foster (培养) a lot of team teaching, 9 with teachers from different 10 so that, when they’re offering challenges to students, that they have 11 view-points as they approach problems.”He points out that as East Asian countries consider greater 12 for their schools, American education is 13 in the opposite direction. Most states have recently approved 14 standards in math and reading.Evan Glazer: “In China and in Korea there is a strong interest in trying to get students to be more creative. And in America there is a strong interest in standardization. And, you know, the reality is we don’t operate 15 . It’s trying to find that right balance."1. A. absolutely B. partly C. hardly D. impossibly2. A. poor B. small C. same D. ancient3. A. creativity B. argument C. relaxation D. independence4. A. confuses B. examines C. evaluates D. combines5. A. popular B. useful C. scientific D. particular6. A. developing B. inventing C. destroying D. considering7. A. difficult B. original C. ideal D. easy8. A. moods B. spirits C. angles D. theories9. A. talked B. agreed C. compared D. mixed10. A. countries B. subjects C. ages D. religions11. A. various B. same C. unbelievable D. enough12. A. tasks B. freedom C. pressure D. disciplines13. A. lost B. refused C. headed D. stopped14. A. usual B. ordinary C. right D. common15. A. oppositely B. willingly C. properly D. eagerly第二节：语法填空（共10小题；每小题1.5分，满分15分）阅读下面短文，按照句子结构的语法性和上下文连贯的要求，在空格处填入一个适当的词或使用括号中词语的正确形式填空。
2013年广东省梅州中考数学试卷及答案(word解析版)
梅州市2013年初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的．1． （2013广东梅州，1，3分）四个数－1，0，12，2中为无理数的是 A ．－1B ．0C ．12D ．2【答案】D ．2． （2013广东梅州，2，3分）从上面看如左图所示的几何体，得到的图形是A ．B ．C ．D ．【答案】B ．3． （2013广东梅州，3，3分）数据2，4，3，4，5，3，4的众数是A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】B ．4． （2013广东梅州，4，3分）不等式组2020x x +>⎧⎨-≥⎩的解集是A ．2x ≥B ．2x >-C ．2x ≤D ．22x -<≤ 【答案】A ．5． （2013广东梅州，5，3分）一个多边形的内角和小于它的外角和，则这个多边形的边数是A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】A ．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分． 6． （2013广东梅州，6，3分）－3的相反数是 ． 【答案】3．7．（2013广东梅州，7，3分）若42α∠=︒，则α∠的余角的度数是 ． 【答案】48°．8．（2013广东梅州，8，3分）分解因式：22m m -= ． 【答案】(2)m m -．9．（2013广东梅州，9，3分）化简：23a b ab ÷= ．【答案】3a ． 10． （2013广东梅州，10，3分）“节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为 吨． 【答案】6810⨯．11． （2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是 ．【答案】105°．12． （2013广东梅州，12，3分）分式方程211xx =+的解是x = ． 【答案】1．13． （2013广东梅州，13，3分）如图，已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt △ACD ，再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边，画第三个等腰Rt △ADE ，…，依此类推，则第2013个等腰直角三角形的斜边长是 ．【答案】20132．三、解答下列各题：本大题共10小题，共81分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．14． （2013广东梅州，14，7分）本题满分7分． 计算：()1120138|322cos 452-⎛⎫--+︒ ⎪⎝⎭．解：原式=12223222⨯-=．15． （2013广东梅州，15，7分）本题满分7分． 解方程组251x y x y +=⎧⎨-=⎩．【解】251x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，①+②，得36x =，即2x =，将2x =代入②，得1y =．所以原方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩．16． （2013广东梅州，16，7分）本题满分7分． 如图，在平面直角坐标系中，A （－2，2），B （－3，－2） （1）若点C 与点A 关于原点O 对称，则点C 的坐标为 ； （2）将点A 向右平移5个单位得到点D ，则点D 的坐标为 ； （3）由点A ，B ，C ，D 组成的四边形ABCD 内．（不包括边界．．．．．）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率．【解】（1）∵点C 与点A 关于原点O 对称，且A （－2，2），∴点C 的坐标为（2，－2）． （2）∵将点A 向右平移5个单位得到点D ，∴点D 的坐标为（3，2）．（3）四边形ABCD 内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点有15个，如图其中横、纵坐标之和恰好为零的有3个，所以所取的点横、纵坐标之和恰好为零的概率是51153 ．17．本题满分7分（2013广东梅州，17，7分）“安全教育，警钟长鸣”，为此，某校随机抽取了九年级（1）班的学生对安全知识的了解情况进行了一次调查统计，图①和图②是通过数据收集后，绘制的两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息，解答以下问题： （1）九年级（1）班共有 名学生；（2）在扇形统计图中，对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是 ；（3）若全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有 名．【解】（1）九年级（1）班中“很好”所占的比例为30%，“很好”的人数为18，所以九年级（1）班共有18÷30%=60（人）．（2）九年级（1）中“较好”的人数为30，所以“较好”所占的比例为30÷60=50%，所以“较差”的所占比例为1-30%-15%-50%=5%．所以对安全知识的了解情况为“较差”部分所对应的圆心角的度数是360°×5%=18（人）．（3）全校有1500名学生，估计对安全知识的了解情况为“较差”、“一般”的学生共有（5%+15%）×1500=300（人）．18．本题满分8分．（2013广东梅州，18，8分）已知，一次函数1y x =+的图象与反比例函数(0)ky k x=≠的图象都经过点A （a ，2）．（1）求a 的值及反比例函数的表达式； （2）判断点B （22，22）是否在该反比例函数的图象上，请说明理由． 【解】（1）∵一次函数y=x+1的图象经过点A （a ，2），∴2=a +1，解得a =1．又反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过点A （a ，2），∴12k =，∴k =2． ∴a 的值为1，反比例函数的表达式为xy 2=．（2）∵22222=⨯，∴点B （22，22）是在该反比例函数的图象上．19．本题满分8分． （2013广东梅州，19，8分）如图，在矩形ABCD 中，AB =2DA ，以点A 为圆心，AB 为半径的圆弧交DC 于点E ，交AD 的延长线于点F ，设DA =2． （1）求线段EC 的长；（2）求图中阴影部分的面积．【解】（1）∵在矩形ABCD 中，AB =2DA ，∴AE =2AD ，且∠ADE =90°.又DA =2，∴AE =AB =4，∴DE =3221622=-=-AD AE ，∴EC =DC -DE =324-.（2）ADE AEFS S S ∆=-阴影扇形=2604182232336023ππ︒⨯⨯-⨯⨯=-︒.20．本题满分8分． （2013广东梅州，20，8分）为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A ，B 两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A ，B 两种树苗的相关信息如项目 品种单价（元/棵）成活率 植树费（元/棵）A 20 90% 5 B3095%5设购买A 种树苗x 棵，绿化村道的总费用为y 元．解答下列问题： （1）写出y （元）与x （棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？ （3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B 种树苗多少棵？ 【解】解：（1）设购买A 种树苗x 棵，则购买B 种树苗（1000－x ）棵，绿化村道的总费用为y =(20+5)x +(30+5)（1000－x ）=25x +35000－35x =35000－5x ． （2）90%x +95%（1000－x ）=925．解得x =500（棵），则购买B 种树苗500棵． (20+5) ×500×90%+(30+5) ×500×95%=27875（元）．（3）(20+5)x +(30+5)（1000－x ）≥31000，解得x ≤400．则1000－x ≥1000－400=600．所以最多可购买B 种树苗600棵．21．本题满分8分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，21，8分）如图，在四边形ABFC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线EF 交于点D ，交AB 于点E ，且CF =AE ．（1）求证：四边形BECF 是菱形；（2）若四边形BECF 为正方形，求∠A 的度数． 【解】（1）∵BC 的垂直平分线EF 交于点D ，∴BF =FC ，BE =EC .又∵∠ACB =90°，∴EF //AC . ∴BE ：AB=DB ：BC ，∵D 为BC 中点，∴DB ：BC=1：2，∴BE ：AB=1：2，∴E 为AB 中点，即BE=AE ，∵CF=AE ，∴CF=BE ，∴CF=FB=BE=CE ，∴四边形BECF 是菱形．（2）如图，∵四边形BECF 为正方形，∴∠BEC =90°.又AE =CE ，∴∠A =45°.22．本题满分10分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，22，8分）如图，已知抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）写出以A ，B ，C 为顶点的三角形面积；（2）过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），以MN 为一边，抛物线上的任一点P 为另一顶点作平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P 的坐标；（3）过点D （m ，0）（其中m >1）且与x 轴垂直的直线2l 上有一点Q （点Q 在第一象限．．．．），使得以Q ，D ，B 为顶点的三角形和以B ，C ，O 为顶点的三角形相似，求线段QD 的长（用含m 的代数式表示）．【解】（1）∵抛物线222y x =-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．∴2220x -=，C (0，-2)∴1x =±.∴A （-1，0），B （1，0）.∴AB =2.∴12222ABC S ∆=⨯⨯=. （2）∵过点E （0，6）且与x 轴平行的直线1l 与抛物线相交于M 、N 两点，∴2226x -=，解得2x =±，∴MN =4.又平行四边形的面积为8时，∴点P 到MN 的距离为2，即P 点的纵坐标为4，∴2224x -=，解得3x =±，∴点P 的坐标为（3-，4）或（3，4）.（3）设Q （m ，b ），则可分两种情况： ①当OB OC BD DQ =时，121m b =-，解得22b m =-（1m >）. ②当OB OC DQ BD =时，121b m =-，解得1122b m =-（1m >）.23．本题满分11分．（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）（2013广东梅州，23，8分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在．．．．．．．．．．图中已标出．．．．．），完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图③拼接（BC 和ED 重合），在BC 边上有一动点P ． （1）当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连接AP ，求线段AP 的长； （2）当点P 在运动的过程中出现P A =FC 时，求∠P AB 的度数．探究二：如图④，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF ，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连接MN ，在旋转△DEF 的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在．求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【解】（1）过点A 作AG ⊥BC ，垂足为G .当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，∠PFC =∠BFP=30°，∴PC=12PF.又∵∠CBF=30°，∴BP=PF.∵BC=3，∴BP=2.在Rt△BAC中，∵∠ABC=45°，∴AG=BG=12BC=32.∴GP=12.∴在Rt△AGP中，AP=229110 442AG GP+=+=.（2）如图，过点A作AG⊥BC，垂足为G.在Rt△APG中，AP=CF=3，AG=32，则PG=2293 342AP AG-=-=，所以∠P AG=30°，所以∠P AB=15°.当点P位于点P′处时，∠BAP=75°.探究二：过点D分别作DH⊥AB于点H，DI⊥AC于点I.在Rt △ABC 中，∵点D 是BC 中点，AB =AC ，∴HD =DI .∴四边形HDIA 是正方形.∵∠HDI =∠MDN ，∴∠HDM =∠IDN .在△HDM 与△IDN 中，HDM IDN HD DIDHM DIN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△HDM ≌△IDN （ASA ）. ∴DM =DN ，HM =IN .设MA =x ，则HMx ， ∴ANxx -∴MN当x =MN34=. 所以最小周长为AM +AN +MN 有最小值=2AH +34=AB +3434.。
广东省梅州市2013届高三总复习检测(二)数学理试题(WORD解析版)
广东省梅州市2013届高三5月复习质检（二）数学（理）试题一、选择题（40分）1．（5分）（2013•梅州二模）已知集合A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，则A∪B=（）A．{0，1，3} B．{1，2，4} C．{0，1，2，3} D．{0，1，2，3，4}考点：并集及其运算．专题：计算题．分析：由A与B交集的元素为1，得到1属于A且属于B，得到a2=1，求出a的值，进而求出b的值，确定出A与B，找出既属于A又属于B的元素，即可确定出两集合的并集．解答：解：∵A={3，a2}，集合B={0，b，1﹣a}，且A∩B={1}，∴a2=1，解得：a=1或a=﹣1，当a=1时，1﹣a=1﹣1=0，不合题意，舍去；当a=﹣1时，1﹣a=1﹣（﹣1）=2，此时b=1，∴A={3，1}，集合B={0，1，2}，则A∪B={0，1，2，3}．故选C点评：此题考查了交、并集及其运算，是一道基本题型，熟练掌握交、并集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•梅州二模）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．1﹣i B．1+i C．D．考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：化简复数分母为实数，然后求出复数的共轭复数即可得到选项．解答：解：因为复数==．所以=．故选D．点评：本题考查复数的代数形式的表示法与运算，复数的基本概念的应用．3．（5分）（2013•梅州二模）为了研究一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm），根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约中（）A．3000 B．6000 C．7000 D．8000考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于100cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．解答：解：由图可知：底部周长小于100cm段的频率为（0.01+0.02）×10=0.3，则底部周长大于100cm的段的频率为1﹣0.3=0.7那么在这片树木中底部周长大于100cm的株树大约10000×0.7=7000人．故选C．点评：本小题主要考查样本的频率分布直方图的知识和分析问题以及解决问题的能力．统计初步在近两年高考中每年都以小题的形式出现，基本上是低起点题．4．（5分）（2013•梅州二模）已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．﹣B．C．﹣D．考点：平面向量的综合题；数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：先求出向量与的坐标，再利用2个向量垂直，数量积等于0，求出待定系数λ的值．解答：解：∵已知，，向量与垂直，∴（）•（）=0，即：（﹣3λ﹣1，2λ）•（﹣1，2）=0，∴3λ+1+4λ=0，∴λ=﹣．故选A．点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量垂直的性质，求得3λ+1+4λ=0，是解题的关键．5．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为的是（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：通过验证法可得双曲线的方程为时，．解答：解：选项A中a=，b=2，c==，e=排除．选项B中a=2，c=，则e=符合题意选项C中a=2，c=，则e=不符合题意选项D中a=2，c=则e=，不符合题意故选B点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了双曲线方程中利用，a，b和c的关系求离心率问题．6．（5分）（2013•梅州二模）函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．a•b=0 B．a+b=0 C．a2+b2=0 D．a=b考点：函数奇偶性的判断；必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用．分析：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，根据恒等式成立的条件即可求得a、b的值．解答：解：若f（x）是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即﹣x|x﹣a|+b=﹣x|x+a|﹣b恒成立，亦即x（|x﹣a|﹣|x+a|）=2b恒成立，要使上式恒成立，只需|x﹣a|﹣|x+a|=2b=0，即a=b=0，故函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是a=b=0，故选C．点评：本题考查函数奇偶性的性质，属中档题，定义是解决该类题的基本方法．7．（5分）（2013•梅州二模）一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A．29πB．30πC．D．216π考点：球内接多面体；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．。
广东省梅州市2013届高三总复习检测(二)理综物理试题
梅州市2013届高三总复习质检试卷（二）物理一、单项选择题：本大题共4小题，每小题4分。
共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
13.下列说法中正确的是A.物体的温度越高，分子的平均动能越大B.布朗运动是用显微镜观察到的分子的运动C.气体从外界吸收热量，其内能一定增加D.气体对外界做功，其内能一定减少14.一定质量的理想气体由状态A经过如图所示过程变到状态B，在此过程中气体的密度A.一直变大B.一直变小C.先变小后变大D.先变大后变小15.如图所示，足够长的光滑金属导轨固定在竖直平面内，匀强磁场垂直导轨所在的平面里。
金属棒AC与导轨垂直且接触良好。
现将导轨接上电阻R，导轨和金属棒的电阻忽略不计，则金属棒AC由静止释放后A.电流方向沿棒由C指向AB.金属棒所受安培力的最大值与其重力大小相等C.在金属棒加速下落的过程中，金属棒减少的重力势能全部转化为在电阻上产生的热量D.金属棒达到稳定速度后的下落过程中，金属棒的机械能守恒16.如图所示，在圆柱体上放一小物块P，圆柱体绕水平轴O缓慢转动，从A 转至B的过程中，物体与圆柱体保持相对静止，则物块P受到的力先变小后变大的是A.重力B.支持力C.摩擦力D.合外力二、双项选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，有两个选项符合题目要求，全部选对得6分，只选1个且正确的得3分，有选错或不答的得0分。
17.某电场的电场线分布如图所示，下列说法正确的是A.a点的电势高于b的电势B.c点的电场强度小于d点的电场强度C.若将一正电荷由b点移到a点，电场力做正功D.正电荷在a点的电势能大于在b点的电势能18.关于天然放射现象，下列说法中正确的是A.γ射线不带电，它是频率很高的电磁波B.核裂变与核聚变都伴有质量亏损C.某原子核经过一次α衰变和两次β衰变后，核内中子数不变D.采用物理或化学方法可以有效地改变放射性元素的半衰期19.一矩形线圈，绕垂直于匀强磁场并位于线圈平面内的固定轴转动，线圈中的感应电动势e随时间t的变化如图所示。
广东省2013届高三最新理科试题精选(37套含13大市区的二模)分类汇编9：圆锥曲线
广东省2013届高三最新理科试题精选（37套含13大市区的二模）分类汇编9：圆锥曲线一、选择题1 ．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）椭圆221x m y +=的焦点在y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m 的值为 （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】A2 ．（广东省湛江一中等“十校”2013届高三下学期联考数学（理）试题）定义:关于x 的不等式||x A B-<的解集叫A 的B 邻域.已知2a b +-的a b +邻域为区间(2,8)-,其中a b 、分别为椭圆12222=+by ax 的长半轴和短半轴.若此椭圆的一焦点与抛物线x y542=的焦点重合,则椭圆的方程为 （ ）A ．13822=+yxB ．14922=+yxC ．18922=+yxD ．191622=+yx【答案】B3 ．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）已知椭圆()2222:10x y C a b ab+=>>的离心率为,双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C 的方程为.A 22184xy+= .B 221126xy+= .C221168xy+= .D 221205xy+=【答案】B4 ．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）若抛物线22y p x =的焦点与双曲线22122xy-=的右焦点重合,则p 的值为 （ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．4【答案】D 双曲线22122xy-=的右焦点为(2,0),所以抛物线22y p x =的焦点为(2,0),则4p =.5 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））设F 1,F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by ax 的左右焦点,若直线x =m a (m >1)上存在一点P,使ΔF 2PF 1是底角为300的等腰三角形,则m 的取值范围是（ ）AD ．【答案】A6 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知双曲线22221x y ab-=的渐近线方程为y =,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率等于（）A ．12B．2C ．2D ．1【答案】A7 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））方程||||169x x y y +=-1的曲线即为函数y=f(x)的图象,对于函数y=f(x),有如下结论:①f(x)在R 上单调递减;②函数F(x)=4f(x)+3x 不存在零点;③函数y=f(x)的值域是R;④f(x)的图象不经过第一象限,其中正确的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D二、填空题8 ．（广东省珠海一中等六校2013届高三第一次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0b 0)x y a ab-=＞，＞和椭圆22xy=1169+有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为____________.【答案】22143xy-=9．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线方程为20x y +=,则双曲线的离心率e 的值为__________ .【答案】210．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）双曲线的焦点在x 轴上,实轴长为4,离心率为3,则该双曲线的标准方程为___,渐近线方程为___.【答案】221432xy-=y =±11．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）已知动点P 在抛物线y 2=4x 上,那么使得点P 到定点Q(2,,-1)的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和最小的点P 的坐标为___【答案】)1,41(-12．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的两条近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为___313．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））已知点A 是抛物线C 1:y 2=2px(p>0)与双曲线C 2:22221(0,0)x y a b ab-=>>的一条渐近线的交点,若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p,则双曲线的离心率等于____14．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线221x k y -=的一个焦点是0),则其渐近线方程为________. 【答案】2y x =±;15．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点,且经过抛物线28y x =的焦点,则圆C 的方程为______________.【答案】22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=];易得圆心坐标为11(,)22,半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】16．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）在平面直角坐标系Oxy 中,若双曲线14222=+-m ymx的焦距为8,则=m _______.【答案】3(未排除4-,给3分)17．（2013年广东省佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学（理）试题）已知抛物线24x y =上一点P 到焦点F 的距离是5,则点P 的横坐标是_____.【答案】4±18．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）设点P 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点,若21tan 3PF F ∠=,则双曲线的离心率为______________.19．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降2米后水面宽________米.【答案】20．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）过双曲线221916xy-=的右焦点,且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 ________.【答案】双曲线221916xy-=的右焦点为(5,0),渐近线的方程为43y x =±,所以所求直线方程为4(5),3y x =-即43200x y --=.三、解答题 21．（广东省韶关市2013届高三第三次调研考试数学(理科)试题（word 版） ）在平面直角坐标系xoy 中,设点F (1,0),直线l :1x =-,点P 在直线l 上移动,R 是线段P F 与y 轴的交点,,R Q F P P Q l ⊥⊥.(Ⅰ)求动点Q 的轨迹的方程;(Ⅱ) 记Q 的轨迹的方程为E ,过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为N M ，.求证:直线MN 必过定点)0,3(R .【答案】解:(Ⅰ)依题意知,直线l 的方程为:1x =-.点R 是线段F P 的中点,且R Q ⊥F P ,∴R Q 是线段F P 的垂直平分线∴P Q 是点Q 到直线l 的距离.∵点Q 在线段F P 的垂直平分线,∴P Q Q F =故动点Q 的轨迹E 是以F 为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为:24(0)y x x =>(Ⅱ) 设()()B B A A y x B y x A ,,,,()()N N M M y x N y x M ,,，,直线AB 的方程为)1(-=x k y则⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422BB AA x y x y(1)—(2)得ky y B A 4=+,即ky M 2=,代入方程)1(-=x k y ,解得122+=kx M . 所以点M 的坐标为222(1,)kk+ 同理可得:N 的坐标为2(21,2)k k +-. 直线MN 的斜率为21kk x x y y k NM N M MN -=--=,方程为)12(1222---=+kx kk k y ,整理得)3()1(2-=-x k k y ,显然,不论k 为何值,(3,0)均满足方程, 所以直线MN 恒过定点R (3,0).1422．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）在平面直角坐标系中,已知点()2,0A 、()2,0B -,P 是平面内一动点,直线P A 、P B 的斜率之积为34-.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)过点1,02⎛⎫⎪⎝⎭作直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点,线段E F 的中点为M ,求直线M A 的斜率k 的取值范围.2013年4月汕头一中高三模拟考【答案】(1)依题意,有3224P A P B y y k k x x ⋅=⋅=--+(2x≠±), -----------------------------化简得:22143xy+= (2x ≠±),为所求动点P 的轨迹C 的方程------------------------(2)依题意,可设(,)Mx y 、(,)E x m y n ++、(,)F xm y n --,则有2222()()143()()143x m y n x m y n ⎧+++=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩,两式相减,得4430014342E F m x n n x y k m yx -+=⇒==-=-,由此得点M 的轨迹方程为:226830x yx +-=(0x≠).------------------------------设直线M A :2xm y =+(其中1mk=),则22222(68)211806830x m y m y m y x y x =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩, ------------------------------故由22(21)72(68)0||8m mm ∆=-+≥⇒≥,即18k≥,解得:k 的取值范围是11,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. ---------------------------23．（广东省汕头一中2013年高三4月模拟考试数学理试题 ）已知抛物线C :212x y =,过焦点F 的动直线l 交抛物线于A 、B 两点,O 为坐标原点.(1)求证:O A O B ⋅为定值;(2)设M 是线段A B 的中点,过M 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ,证明:抛物线C 在点N 处的切线与A B 平行.【答案】(1)设直线l的方程为:18y k x =+,()11,A x y ,()22,B x y .-------------------------由21218x y y k x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得:2110264x k x --=,∴12116x x =------------------------- ∴()2121212123464O A O B x x y y x x x x ⋅=+=+=-为定值----------------------------(2)由(1)得:点M 的横坐标为4k ,∴点N 的横坐标为4k ----------------------------∵'4y x = ∴4'|k x y k == ----------------------------∴平行另解:设()00,N x y ,则12024x x k x +==,220028ky x ==----------------------------设抛物线C 在点N 处的切线为284kk y m x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 由228412k k y m x x y ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩得:2202816m m k k x x -+-= ------------------------------- ∴22404816mm k k ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭,解得:m k = ------------------------------- ∴平行24．（广东省东莞市2013届高三第二次模拟数学理试题）已知椭圆22122:1(0)x y C a b ab+=>>的离心率为e =,直线:2l y x =+与以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.(1)求椭圆C 1的方程;(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=⋅RS QR ,求||QS的取值范围.【答案】解:(1)由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切,b =,即b =由e =得222213b e a=-=,所以a =所以椭圆的方程是221:132xyC +=(2)由条件,知2||||MF MP =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42=(3)由(2),知(0,0)Q ,设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴222121121,,,44y y y QR y RS y y ⎛⎫⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由0=⋅RS QR ,得()()222121121016y yy y y y -+-=∵12y y ≠,∴21116y y y ⎛⎫=-+⎪⎝⎭,∴222121256323264y y y =++≥+=,当且仅当2121256y y =,即14y =±时等号成立又||QS == ∵2264y ≥,∴当2264y =,即28y =±时,min ||QS =, 故||QS的取值范围是)⎡+∞⎣25．（广东省肇庆市2013届高三上学期期末统一检测数学（理）试题）已知两圆222212:20,:(1)4C x yx C x y+-=++=的圆心分别为12,C C ,P为一个动点,且12||||P C P C +=(1)求动点P 的轨迹M 的方程;(2)是否存在过点(2,0)A 的直线l 与轨迹M 交于不同的两点C 、D,使得11||||C C C D =?若存在,求直线l 的方程;若不存在,请说明理由.【答案】解:(1)两圆的圆心坐标分别为1(1,0),C 和2(1,0)C-∵1212||||||2P C P C C C +=>=∴根据椭圆的定义可知,动点P 的轨迹为以原点为中心,1(1,0),C 和2(1,0)C -为焦点,长轴长为2a =的椭圆, 1,1a c b =====∴椭圆的方程为2212xy+=,即动点P 的轨迹M 的方程为2212xy+=(2)(i)当直线l 的斜率不存在时,易知点(2,0)A 在椭圆M 的外部,直线l 与椭圆M 无交点,所以直线l 不存在.(ii)设直线l 斜率存在,设为k ,则直线l 的方程为(2)y k x =-由方程组2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2222(21)8820k x k x k +-+-=①依题意28(21)0k ∆=-->解得22k -<<当22k -<<时,设交点1122(,),(,)C x y D x y ,CD 的中点为00(,)N x y ,方程①的解为12224242x x kk==++ ,则212024221x x k x k+==+∴2002242(2)22121k ky k x k k k ⎛⎫-=-=-= ⎪++⎝⎭要使11||||C C C D =,必须1C N l ⊥,即11CNk k ⋅=-∴222212114021kk k kk--+⋅=--+,即2102k k -+=②∵1114102∆=-⨯=-<或,∴2102kk -+=无解所以不存在直线,使得11||||C C C D =综上所述,不存在直线l ,使得11||||C C C D =26．（广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>3,.(1)求椭圆C 的方程;(2)设直线l 与椭圆C 交于A B ，两点,坐标原点O 到直线l的距离为2,求A O B △面积的最大值.【答案】(2)设11()A x y ，,22()B x y ，.27．（广东省汕头市东山中学2013届高三下学期入学摸底考试数学（理）试题）己知斜率为1的直线l 与双曲线2222:1x y Cab-=(0a >,0b >),相交于B 、D 两点,且B D 的中点为(1,3)M(1)求双曲线C 的离心率;(2)设C 的右顶点为A ,右焦点为F ,||||17D FB F ⋅=,证明:过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.【答案】解:(1)由题设知,直线l 的方程为2y x =+代入双曲线C 的方程,并化简得:2222222()440b a x a x a a b----=设11(,)B x y ,22(,)D x y ,则212224ax x b a+=-,22212224aa bx x b a +⋅=- ①由(1,3)M为B D 的中点知:1212x x +=,故2221412ab a⋅=-,即223b a= ②所以2223ca a-=,即224c a= 故2c ea==所以双曲线C 的离心率为2e = (注:本题也可用点差法解决) (2)由①、②知,双曲线C 的方程为:22233x ya-= (,0)A a ,(2,0)F a ,122x x +=,2124302ax x +⋅=-<1|||2|B F x a ====-同理2|||2|D Fx a =-2222121212|||||(2)(2)||42()||864||548|B F D F x a x a x x a x x a a a a a a ⋅=--=-++=----=++又因为||||17D F B F ⋅= 且25480a a ++>所以254817a a ++= 解得:1a=,95a =-(舍去)12|||6B D x x =-===连结M A ,则由(1,0)A ,(1,3)M 知||3M A =,从而||||||M A M B M D ==,且M A x⊥轴,因此以M 为圆心,M A 为半径的圆经过A 、B 、D 三点,且在点A 处与x 轴相切. 所以过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切28．（广东省汕头市东山中学2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题（详解））已知直线33=+-y x 经过椭圆C :12222=+by ax (0>>b a )的一个顶点B 和一个焦点F .⑴求椭圆的标准方程;⑵设P 是椭圆C 上动点,求||||||PB PF -的取值范围,并求||||||PB PF -取最小值时点P 的坐标.【答案】【答案】⑴依题意,)1 , 0(B ,)0 , 3(-F , 所以1=b ,3=c ,222=+=cba ,所以椭圆的标准方程为1422=+yx5分.⑵||||||||0BF PB PF ≤-≤,当且仅当||||PB PF =时,0||||||=-PB PF ,当且仅当P 是直线BF 与椭圆C 的交点时,||||||||BF PB PF =- ,2||=BF ,所以||||||PB PF -的取值范围是]2 , 0[ .设) , (n m P ,由||||PB PF =得013=++n m ,由⎪⎩⎪⎨⎧=++=+0131422n m n m ,解得⎩⎨⎧-==10n m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=13111338n m ,所求点P 为)1 , 0(-P 和)1311, 1338(-P .29．（广东省汕头市第四中学2013届高三阶段性联合考试数学（理）试题）在平面直角坐标系xOy 中,动点P到两点(0),0)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ,B 两点.(1)求曲线C 的轨迹方程;(2)是否存在△AOB 面积的最大值,若存在,求出△AOB 的面积;若不存在,说明理由.【答案】解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点P 的轨迹C是以(0),0)为焦点,长半轴长为2 的椭圆.故曲线C 的方程为2214xy +=(Ⅱ)存在△AOB 面积的最大值因为直线l 过点(1,0)E -,可设直线l 的方程为 1x my =-或0y =(舍).则221,4 1.x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩整理得 22(4)230m y my +--=由22(2)12(4)0m m ∆=++>. 设1122()()A x y B x y ，，，.解得1y =2y =则21||y y -=因为1212AOBS OE y y ∆=⋅-==设1()g t t t=+,t =t ≥.则()g t在区间)+∞上为增函数.所以()g t ≥.所以AOB S ∆≤当且仅当0m =时取等号,即max ()AOB S ∆=.所以AOB S ∆30．（广东省汕头市2013届高三3月教学质量测评数学（理）试题）〔本小题满分14分)如图.已知椭圆22221(0)xy a b ab+=>>的长轴为AB,过点B 的直线l 与x 轴垂直,椭圆的离心率e =为椭圆的左焦点且11AF F B=1 .(I)求椭圆的标准方程;(II)设P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点,PH⊥x 轴,H 为垂足,延长HP 到点Q 使得HP=PQ.连接AQ 并延长交直线l 于点M.N 为MB 的中点,判定直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系.【答案】解:(Ⅰ)易知A )0,(a -, B )0,(a )0,(1c F -1)()0,(11=+⋅-=⋅∴c a c a B F AF1222==-∴bca又23=e 43122222=-==∴aa ac e ,解得42=a1422=+∴y x 所求椭圆方程为：(Ⅱ)设),(00y x P 则)2,(00y x Q )22(≠-≠x x 及 2200+=∴x y k AQ所以直线AQ 方程)2(22:00++=x x y y)28,2(00+∴x y M )24,2(00+∴x y N4222242000000-=--+=∴x y x x y x y k QN又点P 的坐标满足椭圆方程得到:442020=+y x ,所以 2244y x -=-0200200024242y x y y x x y x k QN -=-=-=∴∴直线 QN 的方程:)(220000x x y x y y --=-化简整理得到:442202000=+=+y x y y x x 即4200=+y y x x 所以 点O 到直线QN 的距离244220=+=y x d∴直线QN 与AB 为直径的圆O 相切.31．（广东省梅州市2013届高三3月总复习质检数学（理）试题）(本小题满分14分)已知F 1,F 2分别是椭圆C:22221(0)y x a b ab+=>>的上、下焦点,其中F 1也是抛物线C 1:24x y =的焦点,点M 是C 1与C 2在第二象限的交点,且15||3MF =.(1)求椭圆C 1的方程;(2)已知A(b,0),B(0,a),直线y=kx(k>0)与AB 相交于点D,与椭圆C 1相交于点E,F 两点,求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】32．（广东省茂名市实验中学2013届高三下学期模拟（二）测试数学（理）试题（详解））如图,已知点M0(x0,y0)是椭圆C:222yx+=1上的动点,以M0为切点的切线l0与直线y=2相交于点P.(1)过点M0且l0与垂直的直线为l1,求l1与y轴交点纵坐标的取值范围;(2)在y轴上是否存在定点T,使得以PM0为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由.【答案】解:(1)由椭圆得:y=,'y=1222(22)x x---切线的斜率为2x-,所以,直线l1的方程为:00)2y y x xx-=-, 与y轴交点纵坐标为22因为11x-≤≤,所以,201x≤≤,20222x≤-≤,所以,当切点在第一、二象限时l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:02y≤≤则对称性可知l1与y轴交点纵坐标的取值范围为:22y-≤≤.(2)依题意,可得∠PTM0=90°,设存在T(0,t),M0(x0,y0)由(1)得点P的坐标(22000222y y xx-+,2),由P T M T=可求得t=1所以存在点T(0,1)满足条件.33．（广东省茂名市2013届高三第一次模拟考试数学（理）试题）已知椭圆1C:22221x ya b+= (0a b>>)的离心率为3,连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为(1)求椭圆1C的方程;(2)设椭圆1C的左焦点为1F,右焦点为2F,直线1l过点1F且垂直于椭圆的长轴,动直线2l垂直1l于点P ,线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;(3)设O 为坐标原点,取2C 上不同于O 的点S ,以OS 为直径作圆与2C 相交另外一点R ,求该圆面积的最小值时点S 的坐标.【答案】解:(1)解:由3e =得223a c =,再由222c a b =-,解得2a =由题意可知1222a b ⋅⋅=,即a b ⋅=解方程组2a ab ⎧=⎪⎨⎪=⎩得a b ==所以椭圆C 1的方程是22132xy+=(2)因为2M P M F =,所以动点M 到定直线1:1l x =-的距离等于它到定点2F (1,0)的距离,所以动点M 的轨迹2C 是以1l 为准线,2F 为焦点的抛物线, 所以点M 的轨迹2C 的方程为24y x =(3)因为以O S 为直径的圆与2C 相交于点R ,所以∠ORS = 90°,即0O R S R ⋅=设S (1x ,1y ),R (2x ,2y ),S R =(2x -1x ,2y -1y ),O R=(2x ,2y )所以222221*********()()()()016y y y O R S R x x x y y y y y y -⋅=-+-=+-= 因为12y y ≠,20y ≠,化简得12216y y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭所以221222256323264y y y =++≥=,当且仅当2222256y y =即22y =16,y 2=±4时等号成立圆的直径|OS===因为21y ≥64,所以当21y =64即1y =±8时,m inO S=,所以所求圆的面积的最小时,点S 的坐标为(16,±8)34．（广东省揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟数学（理）试题（含解析））如图(6),设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a yax C 的左、右焦点,P 为椭圆C 上任意一点,且12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0.(1)求椭圆C 的方程;(2)若动直线12,l l 均与椭圆C 相切,且12//l l ,试探究在x 轴上是否存在定点B ,点B 到12,l l 的距离之积恒为1?若存在,请求出点B 坐标;若不存在,请说明理由.图（6）F 2F 1oyx【答案】解:(1)设),(y x P ,则有),(1y c x P F +=,),(2y c x P F -=[]a a x c x aa cy x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅由12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ,∴椭圆C 的方程为1222=+yx(2)①当直线12,l l 斜率存在时,设其方程为,y kx m y kx n =+=+把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切,∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=,化简得2212m k =+同理,2212n k =+∴22m n =,若m n =,则12,l l 重合,不合题意,∴m n =- 设在x 轴上存在点(,0)B t ,点B 到直线12,l l 的距离之积为1,则1=,即2222||1k t m k -=+,--- 把2212k m +=代入并去绝对值整理,22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立;而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=,解得1t =±;--------------------------------------------------------- ②当直线12,l l 斜率不存在时,其方程为x =x =,定点(1,0)-到直线12,l l的距离之积为1)1-+=; 定点(1,0)到直线12,l l的距离之积为1)1+-=; 综上所述,满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0)35．（广东省江门市2013年高考模拟考试（即一模）数学（理）试题 ）已知椭圆C 的中心在原点O ,离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F .⑴求椭圆C 的方程;⑵设椭圆的上顶点为A ,在椭圆C 上是否存在点P ,使得向量OA OP +与FA 共线?若存在,求直线AP 的方程;若不存在,简要说明理由.【答案】解:⑴设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b ab+=>>, 椭圆C 的离心率23=e ,右焦点为)0 , 3( F ,∴c c a==,222a b c =+,∴2,1,a b c ===故椭圆C 的方程为2214xy +=⑵假设椭圆C 上是存在点P (00,x y ),使得向量OA OP +与FA 共线,00(,1)OP OA x y +=+,(FA =,∴011y +=,即001)x y =+,(1)又 点P (00,x y )在椭圆2214xy +=上,∴22014x y += (2)由⑴、⑵组成方程组解得0001x y =⎧⎨=-⎩,或0017x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴(0,1)P -,或1()7P , 当点P 的坐标为(0,1)-时,直线AP 的方程为0y =,当点P的坐标为1()7P 时,直线AP440y -+=,故直线AP 的方程为0y =440y -+=36．（广东省华附、省实、深中、广雅四校2013届高三上学期期末联考数学（理）试题）已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点D (0, 2 )为圆心,1为半径的圆相切,又知双曲线C 的一个焦点与D 关于直线y =x 对称. (Ⅰ)求双曲线C 的方程;(Ⅱ)设直线y =mx +1与双曲线C 的左支交于A ,B 两点,另一直线l 经过M (-2,0)及AB 的中点,求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围;(Ⅲ)若Q 是双曲线C 上的任一点,F 1F 2为双曲线C 的左,右两个焦点,从F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线,垂足为N ,试求点N 的轨迹方程.【答案】解:(Ⅰ)设双曲线C 的渐近线方程为y =kx ,则kx -y =0∵该直线与圆x 2+(y - 2 )2=1相切,有｜－ 2 ｜k 2 + 1= 1 ⇒ k =±1.∴双曲线C 的两条渐近线方程为y =±x , 故设双曲线C 的方程为 x 2a 2－y2a 2= 1 . 易求得双曲线C 的一个焦点为 ( 2 ,0),∴2a 2=2,a 2=1.∴双曲线C 的方程为x 2-y 2=1.(Ⅱ)由 ⎩⎨⎧ y =mx +1 x 2－y 2=1得(1-m 2)x 2-2mx -2=0. 令f (x )= (1-m 2)x 2-2mx -2直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f (x )=0在(-∞,0)上有两个不等实根. 因此 ⎩⎪⎨⎪⎧ △>02m1－m 2 <0－21－m2 >0 解得1<m < 2 .又AB 中点为(m 1－m 2 ,11－m2 ),∴直线l 的方程为y =1－2m 2+m +2 (x +2). 令x =0,得b =2－2m 2+m +2=2－2(m －14 )2+178.∵1<m < 2 ,∴-2(m -14 )2+178 ∈ (-2+ 2 , 1),∴b ∈ (-∞,-2- 2 )∪(2,+∞).(Ⅲ)若Q 在双曲线的右支上,则延长2QF 到T ,使||||1QF QT =, 若Q 在双曲线的左支上,则在QF 2上取一点T ,使| QT |=|QF 1 |.根据双曲线的定义| TF 2 |=2,所以点T 在以F 2( 2 ,0)为圆心,2为半径的圆上,即点T 的轨迹方程是(x - 2 )2+y 2=4 (x ≠ 0) ①由于点N 是线段F 1T 的中点,设N (x ,y ),T (x T ,y T ).则 ⎩⎪⎨⎪⎧ x =x T － 22y =yT2,即 ⎩⎨⎧ x T =2x + 2 y T = 2y.代入①并整理得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.(x ≠ -22) (或者用几何意义得到| NO |=12| F 2T |=1, 得点N 的轨迹方程为x 2+y 2=1.)37．（广东省海珠区2013届高三上学期综合测试一数学（理）试题）(本小题满分14分)设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ,()()000,0A x y x ≠是抛物线C 上的一定点. (1)已知直线l 过抛物线C 的焦点F ,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于,Q R 两点, S 为C 的准线上一点,若QRS ∆的面积为4,求p 的值;(2)过点A 作倾斜角互补的两条直线AM ,AN ,与抛物线C 的交点分别为()11,,M x y ()22,N x y .若直线AM ,AN 的斜率都存在,证明:直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.【答案】(本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识,考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法,考查数学探究能力以及运算求解能力) 解: (1)由题设0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设1,,2p Q x ⎛⎫ ⎪⎝⎭则1,2p R x ⎛⎫- ⎪⎝⎭QR =2p ===.∴由QRS ∆的面积为4,得:1242p p ⨯⨯=,得: 2.p =(2)由题意()100,A x y -首先求抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.解法一:设抛物线在1A 处的切线的斜率为k ,则其方程为()00y k x x y =++ 联立()0022y k x x y x py⎧=++⎪⎨=⎪⎩得2002220x pkx px k py ---=将2002py x =代入上式得:2200220x pkx px k x ---=()()22002420pk px k x ∆=-++=即2220020p k px k x ++=即()200pk x +=得0.x k p=-即抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率为0.x p-解法二:由22x py =得212y x p=,∴'x y p=∴抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点()100,A x y -处的切线的斜率为0.x p-再求直线MN 的斜率.解法一:设直线AM 的斜率为1k ,则由题意直线AN 的斜率为1k -直线AM 的的方程为()010y y k x x -=-,则直线AN 的的方程为()010y y k x x -=--.联立()21002x py y k x x y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得221100220x pk x pk x x -+-=(1)方程(1)有两个根01,x x ,∴()()2210102420pk px k x ∆=--->∴0,1x =0112x x pk +=,即1102x pk x =-,同理可得2102x pk x =--直线MN 的斜率222121122121222MN x x y y x x ppk x x x x p--+===--0022x x pp-==-∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率解法二:AM AN k k =-01020102y y y y x x x x --∴=---将22212012,,222x x x y y y ppp===分别代入上式得:22221201022222x x x x pp ppx x x x --=---,整理得0122x x x =+∴直线MN 的斜率222121122121222MN x x y y x x ppk x x x x p--+===--0022x x pp-==-∴直线MN 的斜率等于抛物线C 在点A 关于对称轴的对称点1A 处的切线的斜率.38．（广东省广州市2013届高三调研测试数学（理）试题）如图5, 已知抛物线2P yx:=,直线A B 与抛物线P 交于A B ,两点,O A O B ^,O A O B O C uur uuu r uuu r+=,O C 与A B 交于点M .(1) 求点M 的轨迹方程;求四边形A O B C 的面积的最小值.,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) 解法一: (1)解:设()()()221122Mx y A yy Byy ,,,,,,∵O A O B O C +=,∴M 是线段A B 的中点 ∴()222121212222yy y y y y x +-+==,①122y y y +=. ②∵O A O B ⊥, ∴0O A O B ⋅=.∴2212120y y y y += 依题意知120y y ≠,∴121y y =-. ③把②、③代入①得:2422yx +=,即()2112yx =-∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-(2)解:依题意得四边形A O B C 是矩形,∴四边形A O B C 的面积为S O A O B ==⋅===∵22121222y y y y +≥=,当且仅当12y y=时,等号成立,∴2S ≥=∴四边形A O B C 的面积的最小值为2 解法二:(1)解:依题意,知直线O A O B ,的斜率存在,设直线O A 的斜率为k , 由于O A O B ⊥,则直线O B 的斜率为1k-故直线O A 的方程为y k x =,直线O B 的方程为1y x k=-.由2y k x yx ,.⎧=⎨=⎩ 消去y ,得220k xx -=.解得0x =或21x k=∴点A 的坐标为211k k,⎛⎫⎪⎝⎭同理得点B 的坐标为()2k k ,-∵O A O B O C +=,∴M 是线段A B 的中点 设点M 的坐标为()x y ,,则221212k k x kky ,.⎧+⎪=⎪⎪⎨⎪-⎪=⎪⎩消去k ,得()2112yx =-∴点M 的轨迹方程为()2112yx =-(2)解:依题意得四边形A O B C 是矩形, ∴四边形A O B C 的面积为S O A O B ==⋅=≥2=当且仅当221kk=,即21k=时,等号成立∴四边形A O B C 的面积的最小值为239．（广东省广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一）数学（理）试题）已知椭圆1C 的中心在坐标原点,两个焦点分别为1(2,0)F -,2F ()20,,点(2,3)A 在椭圆1C 上,过点A 的直线L 与抛物线22:4C x y =交于B C ,两点,抛物线2C 在点B C ,处的切线分别为12l l ,,且1l 与2l 交于点P .(1) 求椭圆1C 的方程;(2) 是否存在满足1212P F P F A F A F +=+的点P ? 若存在,指出这样的点P 有几个(不必求出点P 的坐标); 若不存在,说明理由.【答案】(本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识,考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识) (1) 解法1:设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴ 椭圆1C 的方程为2211612xy+=解法2:设椭圆1C 的方程为22221x y ab+=()0a b >>,根据椭圆的定义得1228a A F A F =+=,即4a =, ∵2c =, ∴22212b a c =-=∴椭圆1C 的方程为2211612xy+=(2)解法1:设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ,则))(41,(212212x x x x BC --=,)413,2(211x x BA --=,∵C B A ,,三点共线, (苏元高考吧:)∴B C B A //∴()()()222211211113244x x x xx x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,化简得:1212212x x x x ()+-=. ①由24xy=,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-,即211412x x x y -=. ②同理,抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③设点),(y x P ,由②③得:=-211412x x x 222412x x x -,而21x x ≠,则 )(2121x x x += 代入②得 2141x x y =,则212x x x +=,214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ,即点P 的轨迹方程为3-=x y . 若1212P F P F A F A F +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,而点P 又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个 解法2:设点),(11y x B ,),(22y x C ,),(00y x P ,由24xy=,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴112y x x y -=. ∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① 同理, 20202y x x y -=. ②综合①、②得,点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x x y -=002∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的,∴直线L 的方程为y x x y -=002,∵点)3,2(A 在直线L 上, ∴300-=x y ∴点P 的轨迹方程为3-=x y若1212P F P F A F A F +=+ ,则点P 在椭圆1C 上,又在直线3-=x y 上, ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0), ∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点∴满足条件1212P F P F A F A F +=+ 的点P 有两个 解法3:显然直线L 的斜率存在,设直线L 的方程为()23y kx =-+,由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ,得248120x k x k -+-=设()()1122B x y Cxy ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-由24xy=,即214y x ,=得y '=12x∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-,即2111212x y x x y -+=∵21141x y =, ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-∵1212P F P F A F A F +=+,∴点P 在椭圆22111612xyC :+=上∴()()2222311612k k -+=.化简得271230kk --=.(*)由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>,可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个40．（广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）已知点(4,0)M 、(1,0)N ,若动点P 满足6||M N M P N P =⋅.(1)求动点P 的轨迹C ; (2)在曲线C 上求一点Q ,使点Q 到直线l :2120x y +-=的距离最小.【答案】解:(1)设动点(,)P x y ,又点(4,0)M 、(1,0)N ,∴(4,)M P x y =-,(3,0)M N =-,(1,)N P x y =-由6||M N M P N P =⋅,得3(4)x --=∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++,故223412x y +=,即22143xy+=,∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆;评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分.(2)椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l :2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离. 设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩,消去y 得2242120x m x m ++-= (*). 依题意得0∆=,即0)12(16422=--m m ,故216m =,解得4m =±.当4m =时,直线1l :240x y ++=,直线l 与1l的距离|412|15d +==.当4m =-时,直线1l :240x y +-=,直线l 与1l的距离5d ==.55<,故曲线C 上的点Q 到直线l5当4m =-时,方程(*)化为24840x x -+=,即2(1)0x -=,解得1x =. 由1240y +-=,得32y =,故3(1,)2Q .∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小41．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）设椭圆22221(0,0)x y a b ba+=>>的离心率为12,其左焦点E 与抛物线21:4C x y =-的焦点相同.(Ⅰ)求此椭圆的方程;(Ⅱ)若过此椭圆的右焦点F 的直线与曲线C 只有一个交点P ,则(1)求直线的方程;(2)椭圆上是否存在点(,)M x y ,使得12MPF S ∆=,若存在,请说明一共有几个点;若不存在,请说明理由.【答案】解:(Ⅰ)抛物线C 的焦点为(1,0)E -,它是题设椭圆的左焦点.离心率为112b=,所以,2b =.由2221b a -=求得a =因此,所求椭圆的方程为22143xy+= (*)(Ⅱ)(1)椭圆的右焦点为(1,0)F ,过点F 与y 轴平行的直线显然与曲线C 没有交点.设直线的斜率为k ,① 若0k =,则直线0y =过点(1,0)F 且与曲线C 只有一个交点(0,0),此时直线 的方程为0y =;② 若0k ≠,因直线过点(1,0)F ,故可设其方程为(1)y k x =-,将其代入24y x =-消去y ,得22222(2)0k x k x k --+=.因为直线与曲线C 只有一个交点P ,所以判别式22224(2)40k k k --⋅=,于是1k =±,从而直线的方程为1y x =-或1y x =-+.因此,所求的直线的方程为0y =或1y x =-或1y x =-+.(2)由(1)可求出点P 的坐标是(0,0)或(1,2)-或(1,2)--. ①若点P 的坐标是(0,0),则1PF =.于是12MPF S ∆==112y ⨯⨯,从而1y =±,代入(*)式联立:221431x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或221431x yy ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,求得x =此时满足条件的点M 有4个: 1,1,1,1⎫⎛⎫⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭⎝⎭. ②若点P 的坐标是(1,2)-,则PF =点M 到直线:1y x =-+于是有11122MPF S y ∆==⨯+-,从而112x y +-=±,与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩或22143112x yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫- ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭. ③ 若点P 的坐标是(1,2)--,则PF =点(,)M x y 到直线:1y x =-于是有11122MPF S y ∆==⨯--,从而112x y --=±,与(*)式联立:22143112x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=⎪⎩或22143112x yx y ⎧+=⎪⎪⎨⎪--=-⎪⎩,解之,可求出满足条件的点M 有4个:,,1115,714⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 综合①②③,以上12个点各不相同且均在该椭圆上,因此,满足条件的点M 共有12个.图上椭圆上的12个点即为所求.42．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知抛物线C:y 2=4x, F是抛物线的焦点,设A(x 1,y 1),B (x 2 ,y 2)是C 上异于 原点O 的两个不重合点,OA 丄OB ,且AB 与x 轴交于点T (1) 求x 1x 2的值;(2) 求T 的坐标;(3) 当点A 在C 上运动时,动点R 满足:FR FB FA =+,求点R 的轨迹方程.。
【2013梅州二模】广东省梅州市2013届高三总复习检测(二)理综试题 Word版含答案
梅州市高三总复习质检试卷(2013. 5 )理科综合一、单项选择题：本大题共4小题，每小题4分。
共16分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1.下列关于遗传物质的叙述正确的是A.蛙的成熟红细胞中不含有遗传物质(DNA)B.自然界中生物的遗传物质基本单位是脱氧核昔酸C. HIV的遗传物质是RNAD.噬菌体中的DNA分布在拟核中2.下列有关细胞结构与功能叙述不正确的是A.真核生物、原核生物都可利用氨基酸脱水缩合形成多肤或蛋白质，产生水B.酵母菌、醋酸菌都能通过有氧呼吸在细胞质基质、线粒体中产生ATPC.叶绿体、线粒体都可合成DNA、RNA、ATP等有机物D.茎尖、根尖等幼嫩的植物细胞能利用色氨酸作为原料合成生长素3.据调查了解，广东3、4月份开始进入“流感季”，其中甲型流感病毒占了90%，医学工作者进行了有关疫苗的研究，其中增加了第三代疫苗一ANA疫苗(由病原微生物中的一段表达抗原的基因制成的)。
相关叙述正确的是A.研究过程可利用牛肉膏蛋白陈培养基来培养甲型流感病毒B.研究过程中，若不小心被感染，可及时注射青霉素等抗生素来消灭体内甲型流感病毒C.甲型流感病毒自身可发生基因突变或基因重组来改变其传染性D. DNA疫苗引起免疫，反应前必须经过转录和翻译的过程4.下列有关实验或研究方法，叙述正确的是A.菊花不同部位的细胞经培养获得的组织的基因可能不相同B.用纸层析法提取叶绿体色素C.美国遗传学家萨顿用蝗虫细胞作材料证实了基因在染色体上D.在“DNA粗提取和鉴定”实验中，将所得到的DNA粘稠物加入到0.14 mol/L的NaCl溶液中溶解，过滤，此时应取滤液继续提纯DNA5.下列叙迷正确的是A.生长素对无子果实的成熟起促进作用B.效应T细胞可诱导靶细胞发生凋亡C.甘氨酸是一种抑制性神经递质，以自由扩散的方式经突触前膜释放到突触间隙与突触后膜上受体结合后引起膜外电位由正变负D.胰岛素和胰高血糖素等激素协同作用，使内环境的葡萄糖保持相对稳定6.对下列四个图描述正确的是A.图1表示人的成熟红细胞中ATP生成速率与氧气浓度的关系B.图2中的植物细胞，细胞液浓度一定小于外界溶液浓度C.图3中曲线M2在B点以后，植物根细胞通过中耕松土可进一步促进对K+的吸收D.图4细胞发生过交叉互换和染色体变异7．下列说法正确的是A．淀粉和蛋白质均可作为生产葡萄糖的原料B．实验室可用酸性高锰酸钾溶液鉴别甲苯和己烯C．石油裂化和油脂皂化都是高分子生成小分子的过程D．装饰材料中的甲醛和芳香烃会造成居室污染8．能在透明溶液中大量共存的一组离子是A．Na+、NH4+、OH–、HCO3–B．Mg2+、Ag+、NO3–、SiO32–C．K +、Cu2+、Cl–、SO42–D．H+、Fe3+、I–、ClO–9．下列实验操作正确且能达到目的是A．向苯中滴加溴水制备溴苯B．用碱式滴定管量取20.00mL KMnO4溶液C．向沸腾的NaOH稀溶液中滴加FeCl3饱和溶液，以制备Fe(OH) 3胶体D．向含有I–的溶液中滴加氯水和CCl4，振荡、静置检验I–的存在10．N A表示阿伏加德罗常数，下列叙述正确的是A．常温下，9g H2O中含N A个O–H键B．1 molFe2+与足量稀硝酸反应，转移3 N A个电子C．常温常压下，22. 4L SO2和O2的混合气体中含2N A个氧原子D．1 L 0. 1 mol·L–1，KAl(SO4)2溶液含0.1N A个Al3+11．下列有关物质性质和应用叙述正确并且有因果关系的是A．烧碱具有碱性，能用于治疗胃酸过多B．焦炭具有还原性，一定条件下能将二氧化硅还原为硅C．浓硝酸具有强氧化性，能和浓氨水反应产生白烟D．二氧化硫具有漂白性，与氯水混合使用漂白效果更好12．某小组为研究电化学原理，设计如右图装置。
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高三级数学（理科）质检试题2012年12月一．选择题。
（每小题5分，共40分）1．集合2{|1,}A x y x x Z ==-∈，则 （ ） A ．i A ∈ B ．2i A ∈ C ．3i A ∈ D ．4i A ∉ 2．已知函数()(cos 2cos sin 2sin )sin f x x x x x x =+，x ∈R,则()f x 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数3.已知函数||lg )(x x f =，R x ∈且0≠x ，则)(x f 是（ ）A ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递增B ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递增C ．奇函数且在) , 0(∞+上单调递减D ．偶函数且在) , 0(∞+上单调递减4.设数列{}n a 是公差为为0的等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则41a a =（ ）A ．3B ．4C ．6D ．75．“1m <”是“函数2()f x x x m =++有零点”的( )A ．充分非必要条件 B.充要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件6．已知向量(4,3)=a , (2,1)=-b ，如果向量λ+a b 与b 垂直，则|2|λ-a b 的值为 ( ) A ．1 B ．5 C.5 D ．55 7．已知,x y 满足3,2,326,39x y x x y y x ≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则2z x y =-的最大值是( ).A.152B.92C.94D. 2⒏定义bc ad dc b a -=，其中a ，b ，c ，{}4 , 3 , 2 , 1 , 1-∈d ，且互不相等．则dc b a 的所有可能且互不相等的值之和等于( ).A ．2012B ．2012-C ．0D ．以上都不对二．填空题。
（每小题5分，共30分）9. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且151,9a a ==，则6S = .10．在A B C ∆中，已知a bc ，，分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为A B C ∆的面积．若向量2224 1p a b c q S =+-=()()，，，满足//p q，则C ∠= ．11. 0211x dx --=⎰ .12.设抛物线C ：x y 42=的准线与对称轴相交于点P ， 过点P 作抛物线C 的切线，切线方程是 ．13．已知()f x 是R 上的奇函数，2)1(=f ，且对任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，则(3)f = ； =)2009(f .14.如图，圆O 的直径8=AB ，C 为圆周上一点，4=BC ，过C 作圆的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，D为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．三．解答题（共80分）15. （本小题满分12分）已知函数（1）求f （x ）的最大值；（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若B ＝2A ，且，求角C 的大小．16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =- ，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+ ，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，83S =，求b 的值.17.已知数列{}n a 是首项为２，公比为12的等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和. （1）求数列{}n a 的通项n a 及n S ；（2）设数列{}n n b a +是首项为－２，第三项为２的等差数列，求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .18.已（本小题满分14分）知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a ，(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值为20，求函数f (x )在该区间上的最小值.19．（本题满分14分）设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，且123,,S S S 成等差数列.第14题图（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记2n n na b =的前n 项和为n T ，求n T .20．（本小题满分14分）已知函数ln 1af x x a x =+∈+R ()()． （1）当92a =时，如果函数g x f x k =-()()仅有一个零点，求实数k 的取值范围；（2）当2a =时，试比较f x ()与1的大小；（3）求证：1111ln 135721n n +>+++++ ()n ∈*N ()．高三级数学（理科）质检试题参考答案2012年12月15.解：（1）)6cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 21cos 23sin ++= ………………2分⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x cos 21sin 233)6sin(3π+=x ．（注：也可以化为)3cos(3π-x ） …4分所以)(x f 的最大值为3． …………………………………………………………6分（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分）（2）因为)6(2π-=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2sin32sin =．………………7分又A B 2=，所以A A 2sin 322sin =，即A A A 2sin3cos sin =， ………………9分而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =，33tan =A ， ………………11分所以6π=A ，32π==A B ，2ππ=--=B A C ． ……………………………………12分16.解：（1）//a b 24cos sin cos 202BB B ∴⋅+= 21cos 4cos 2cos 102B B B -∴⋅+-= 1cos 2B ∴=(0,180)B ∠∈ 60B ∴∠=……………………6分（2）83S = 1sin 832ac B ∴=……………………7分得 4c =……………………8分2222cos b a c ac B =+-22084284cos120=+-⋅⋅……………………10分47b ∴=……………………12分18.解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9，令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)；令f ′(x )＞0，解得－1＜x ＜3，所以函数f (x )的单调递增区间为(－1,3). (2)因为f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，所以f (2)＞f (－2).因为在区间(－1,3)上，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－1,2)上单调递增. 又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值， 于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2， 故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝－7，即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.17. 解：（1）∵数列{}n a 是首项12a =，公比12q =的等比数列∴1212()22n nn a --=⋅=，---------------------------3分12(1)124(1)1212nn nS -==--.------------------------------7分（2）依题意得数列{}n n b a +的公差2(2)22d --==----------- 8分∴22(1)24n n b a n n +=-+-=-∴2242nn b n -=-------------------------------------9分设数列{}n n b a +的前ｎ项和为n P 则(224)(3)2n n n P n n -+-==---------------------------------10分∴221(3)4(1)3422nn n n nT P S n n n n -=-=---=--+.--------- 14分19.解：（Ⅰ）∵11S a =，212122S a a a =+=+，3123136S a a a a =++=+，-------------------------------2分 由123,,S S S 成等差数列得，2132S S S =+，即11122236a a a +=++，解得11a =，故21n a n =-； ---------------------------------------4分（Ⅱ）211(21)()222nnn n na nb n -===-， ---------------------------------------6分 法1：12311111()3()5()(21)()2222n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ， ①①12⨯得，23411111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ， ② ①-②得，2311111112()2()2()(21)()222222n n n T n +=+⨯+⨯++⨯--⨯ 11111(1)113121222(21)()12222212nn n n n n +-+--=⨯---⨯=---， ---------------------------------------10分 ∴4212333222n nnnn n T -+=--=-． ----------------------------14分20.解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞，22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x xx f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． …2分当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ，∴函数)(x f 在)21,0(、),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． …4分)(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．当0+→x 时，-∞→)(x f ； 当+∞→x 时，+∞→)(x f ， ∴当)(x g 仅有一个零点时，k 的取值范围是2ln 3->k 或2ln 23+<k ．……………5分（2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞．令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x xx h ，)(x h ∴在),0(+∞上是增函数． ………………………7分①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ； ②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ． …………………………………9分（3）（法一）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令kk x 1+=，则有1211ln +>+k kk ， ∑∑==+>+∴nk nk k kk 111211ln． ……………12分∑=+=+nk kk n 11ln )1ln( ，1215131)1ln(++++>+∴n n ． ……………………………………14分(法二)当1n =时，ln(1)ln 2n +=．3ln 2ln 81=> ，1ln 23∴>，即1n =时命题成立． ………………………10分设当n k =时，命题成立，即 111ln(1)3521k k +>++++ ．1n k ∴=+时，2ln(1)ln(2)ln(1)ln 1k n k k k ++=+=+++1112ln 35211k k k +>++++++ ． 根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．令21k x k +=+，则有21ln123k k k +>++，则有1111ln(2)352123k k k +>++++++ ，即1n k =+时命题也成立．……………13分因此，由数学归纳法可知不等式成立． ………………………………14分 （法三）如图，根据定积分的定义， 得1121171151⨯+++⨯+⨯n ⎰+<ndx x 1121．……11分)12(1212112111++=+⎰⎰x d x dx x nnxy o1 2 3 4 5 6 n-1 n…。